YILDIZ TENİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ UADRATİ SAYI CİSİMLERİNDE ÇARPANLARA AYIRMA, İDEAL SINIF GRUBU ve L-FNSİYNLARI Matematikçi Bület ÖLÜCE FBE Matematik Aabilim Dalı Matematik Programıa Hazırlaa DTRA TEZİ Tez Savuma Tarihi: 8 Aralık 005 Tez Daışmaı : Doç. Dr. Ömer GÖ (YTÜ) Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Göksel AĞARGÜN (YTÜ) : Doç. Dr. Mustafa BAYRAM (YTÜ) : Prof. Dr. Mehmet BAYRAMĞLU(YTÜ) : Prof. Dr. Elimha MAHMUDV (İÜ) İSTANBUL, 005
İÇİNDEİLER ii Sayfa SİMGE LİSTESİ...iv ISALTMA LİSTESİ...vi ÇİZELGE LİSTESİ...vii ÖNSÖZ...viii ÖZET...i ABSTRACT.... GİRİŞ.... CEBİRSEL SAYI CİSİMLERİ ve UADRATİ SAYI CİSİMLERİ... 6. Cebirsel Sayı Cisimleri... 6. uaratik Sayı Cisimlerie Giriş... 0. uaratik Sayı Cisimlerii Tamlık Halkası ve Diskrimiatı.... uaratik Sayı Cisimlerie Birimseller Grubu... 7.5 Bölümle İlgili Pari omut ve Programları.... UADRATİ SAYI CİSİMLERİNDE ÇARPANLARA AYIRMA ve İDEALLER... 5. Tek Türlü Çaralara Ayrılabilme Özelliği Üzerie... 5. Eucli Bölgeleri.... uaratik sayı Cisimlerii İealleri... 5. İeal Sııf Grubu... 5.5 Asalları Parçalaışı... 58.5. Bölümle İlgili Pari omut ve Programları... 75.5. Bölümle İlgili Male omut ve Programları... 77. İİLİ UADRATİ FRMLAR ve UADRATİ SAYI CİSİMLERİYLE BAĞLANTISI... 8. İkili uaratik Formlar... 8. İkili uaratik Formlar ve uaratik Sayı Cisimlerii İealleri Arasıaki Bağlatı... 87. Bölümle İlgili Pari omut ve Programları... 9 5. ZETA ve L-FNSİYNLARI... 98 5. Dirichlet arakterleri... 98 5. Zeta ve L-Foksiyoları... 0 5. uaratik Sayı Cisimlerii Zeta ve L-Foksiyoları... 08 5. Bölümle İlgili Pari omut ve Programları...
6. SNUÇLAR... 7 AYNALAR... 8 ÖZGEÇMİŞ... 0 iii
SİMGE LİSTESİ a b a böler b a b(mo ) a ektir b mo a Legere sembolü a roecker sembolü a ( α,β ) ı α ve β tarafıa üretile ieali a a ı eşleiği a b a ieali b yı böler veya b a a a kesirsel iealii tersi a ~ b a ve b iealleri ek iealler [ a ] a ı eklik sııfı B. Beroulli sayısı C omleks sayılar Cl ı ieal sııf grubu çek f f ' i çekireği erp F ( α, ) α ı F üzerieki erecesi ebob ( a, b) a, b ieallerii e büyük ortak bölei ekok ( a, b) a, b ieallerii e küçük ortak katı ı iskrimiatı Q ikili kuaratik formuu iskrimiatı Q F ı sıfıra farklı kesirsel ieallerii kümesi h ı sııf sayısı : Q sayı cismii Q rasyoel sayı cismi üzerieki boyutu [ ] Q( ) kare-bağımsız tamsayı olmak üzere, yi içere kuaratik sayı cismi L ( s, χ) χ Dirichlet karakteri ile s e Dirichlet L-foksiyou L (, χ) χ Dirichlet karakteri ile e Dirichlet L-foksiyou M Mikowski sıırı N Doğal sayılar kümesi N ( α ) α ı ormu N a iealii ormu ( a) Q( ) i tamlık halkası P F ( α, ) α E cebirsel sayısıı ( ) F[ X ] miimal oliomu, q ı asal iealleri P ı temel kesirsel ieallerii kümesi Q Rasyoel sayılar kümesi Q (, y), y eğişkeli ikili kuaratik form Q ~ Q Dek kuaratik formlar R Regülatör R Reel sayılar kümesi iv
R [] R halkası üzerie oliom halkası r C reel otomorfizmaları sayısı r C saal otomorfizmaları yarı sayısı SL ( ) lik etermiatı a farklı ola reel sayı bileşeli matrisleri kümesi SL ( ) lik etermiatı ola tamsayı bileşeli matrisleri oluşturuğu gru Tr α α ı izi ( ) u ı birimsel elemaı U ı birimsel elemalarıı grubu Z [] Z halkası üzerie oliom halkası Z Tamsayılar kümesi, ı tamlık tabaı { ω } ( α ) α tarafıa üretile temel ieal α α ı eşleiği χ () Dirichlet karakteri ε Q( ) i temel birimi σ i (α ) a C ye σ C otomorfizması ω uaratik sayı cismi Q( ) i : e,(mo ) ise ω ; (mo) ise ω biçimie taımlaa komleks sayı w saal kuaratik sayı cismieki birimselleri sayısı ζ i. erecee kökü ζ (s) Riema zeta foksiyou ζ (s) sayı cismi üzerieki zeta foksiyou ( α,...α ) α,...α ı iskrimiatı v
ISALTMA LİSTESİ ALP Ayrık Logaritma Problemi DB Deeki Bölgesi EB Eucli Bölgesi FST Fermat ı So Teoremi İF İkili uaratik Form İTS İirgemiş Tam Temsilciler Sistemi TB Tamlık Bölgesi TÇAB Tek Türlü Çaralara Ayrılabile Bölge TİB Temel(Esas) İeal Bölgesi vi
ÇİZELGE LİSTESİ Çizelge. Q( ) Sayfa e temel birimi hesalaması... Çizelge. Sürekli kesirler kullaılarak temel birimi buluması... 5 Çizelge. Bazı reel kuaratik sayı cisimlerii temel birimleri... 7,,...70 kare-bağımsız ler içi, Q( ) reel kuaratik sayı ε a bω listesi... 7 Çizelge. cisimlerie temel birimleri, ( ),...,050 içi temel birimi küçük ola bazı Q( ) reel kuaratik sayı cisimlerie temel birimleri örek bir listesi... 9 Q reel kuaratik sayı cisimlerii regülatörleri ( R log( ε )).. 0 Çizelge.5 Bazı ( ) Çizelge. TÇAB olmaya tamlık halkası bazı Z [ ω ] lere çaralara ayrılmaı tek türlü olmaığıa air örekler (Stewart ve Tall, 00)... 0 Çizelge.. 70 ola kare bağımsız ler içi Q kuaratik sayı cisimlerie Çizelge. ( ) M karşılık gele Mikowski sıırlarıı ( )eğerleri... 57,,...6 içi TİB olmaya reel kuaratik sayı cisimlerie ( ) Q i ieal sııf grularıı yaıları... 7 Çizelge. are-bağımsız ( < 870 ) eğerleri içi Q( ) reel kuaratik sayı cisimlerii sııf sayıları ( h h )... 7 Çizelge.5 are-bağımsız,,..., 78 Çizelge. Q( 9 ) Çizelge. Q( 7) Çizelge. eğerleri içi Q( ) saal kuaratik sayı cisimlerii sııf sayıları ( h h )... 7 saal kuaratik sayı cismi içi iirgemiş kuaratik formlar. 87 saal kuaratik sayı cismi içi iirgemiş kuaratik formlar... 89,,... 00 içi, TİB olmaya saal kuaratik sayı cisimleri ( ) Q lere ieal sııf grularıı yaıları.... 9 Çizelge 5. mo5 Dirichlet karakterleri... 0 Çizelge 5. < ve 5 içi χ i eğerleri. Eğer (mo ) ise χ, ( ) mo Dirichlet karakteri,,(mo ) ise χ, mo Dirichlet karakteriir... 0 Çizelge 5. 0,,,...,50 içi Beroulli sayıları... 07 Çizelge 5. Zeta foksiyouu bazı tamsayı eğerleri... 08 Çizelge 5.5... içi Q( ) lere karşılık gele L (, χ ) foksiyolarıı eğerleri... Çizelge 5.6... içi Q( ) saal kuaratik sayı cisimlerie karşılık gele L, χ foksiyolarıı eğerleri... ( ) vii
ÖNSÖZ Bu tez çalışması sırasıa yatığı eğerli katkılarıa ötürü öcelikle aışma hocam Doç. Dr. Ömer Gök e sosuz teşekkür eerim. Bei, sayılar teorisiyle ve özellikle e kuaratik sayı cisimleriyle taıştıra Fatih Üiversitesi Öğretim Üyesi Prof. Dr. Barış eirli ye teşekkürlerimi belirtmek istiyorum. Ayrıca tez izleme komitemi iğer eğerli üyelerie Prof. Dr. Göksel Ağargü e eğerli tavsiyeleriyle yol göstermesie olayı ve Doç. Dr. Mustafa Bayram a tezimi ikkatli bir şekile okuyu ou gelişmesi kousua fayalı tavsiyelere bulumasıa olayı çok teşekkür eerim. So olarak, oktora çalışmalarım boyuca büyük bir sabırla bee sevgi ve esteklerii hiç esirgemeye ve bei sürekli cesaretleire başta ailem olmak üzere ost, akraba, arkaaşlarım ve ümiimi yitiriğim alara bei hayat olu sözleriyle ümitleire ama bugü aramıza olmaya sevgili ablama sosuz şükralarımı belirtmek istiyorum. viii
ÖZET Q( ) kuaratik sayı cismii tamsayılar halkası TÇAB oluğua sayılar teorisie tamsayılar içi yaıla birçok işlem bu tamlık halkalarıa trasfer eilebilir. Fakat maalesef cebirsel sayı cisimlerii tamlık halkalarıa her zama çaralara ayrılma tamsayılaraki gibi tek türlü olmayabiliyor. Bu özelliği yokluğuu ölçüsü sııf sayısı olarak alaırılır. Sayılar teorisiyle uğraşaları bu özelliği olmayabileceğii fark etmesie sora bu roblemi üstesie gelebilmek içi eeyce çaba harcamışlarır. Bu çalışmalar yei bir alaı, ieal teorisii oğurmuştur. a beri ieal teorisi ve sııf sayısı hesalama roblemi üzerie çok sayıa çalışmalar yaılmıştır. Sııf sayısıı hesalamasıı zorluğu kritografik uygulamalara kuaratik sayı cisimlerii kullaılmasıı souç vermiştir. Bu teze Q( ) kuaratik sayı cisimlerie çaralara ayırma ve ieal teorisi geişçe ele alımıştır. İeal sııf grularıı yaısı ve sııf sayısı iye alaırıla mertebeleri icelemiştir. İkisi cebirsel birisi aalitik ola üç farklı sııf sayı bulma metou ele alımıştır. Dirichlet karakterleri ve bir kuaratik sayı cismie karşılık gele kuaratik formlar, ζ ve L- foksiyoları çalışılmış ve kuaratik sayı cisimleriyle bağlatılarıa air souçlar ele eilmiştir. Pari rogramıı cebirsel sayı cisimleri aketii geiş bir kısmıı kalaya kuaratik sayı cisimleriyle ilgili bölümü taıtılı. Her bir bölümü soua bölümle ilgili Pari koları ve teze çözüle roblemlere ve çizelgeleri oluşturulmasıa kullaıla Pari rogramları verili. Aahtar kelimeler: uaratik sayı cisimleri, tamsayılar halkası, temel birim, Eucli bölgesi, tek türlü çaralara ayrılabile bölge, iealler, temel ieal bölgesi, ieal sııf grubu, ikili kuaratik formlar, iirgemiş formlar, sııf sayısı, Dirichlet karakterleri, zeta foksiyoları, L-foksiyoları, Pari GP. i
ABSTRACT Whe the rig of itegers of a quaratic umber fiel Q( ) is UFD, the most of the alicatios ca be trasferre from oriary itegers to this rigs which ca be oe i oriary umber theory. But ufortuately the factorizatio is ot always uique for the rig of itegers of a algebraic umber fiel as i the case of oriary itegers. The size of oeistece of this roerty is calle the class umber. After realizig the failure of uique factorizatio roerty i most of such rigs, umber theorists has bee eee a great amout of effort to overcome this roblem. Such works has give rise to a ew fiel, the ieal theory. Sice the there has bee oe so may works o ieal theory a the class umber comutatio roblem. The ifficulty of comutig the class umber has give rise to crytograhic algorithms base o arithmetic i quaratic fiels. I this thesis the factorizatio a ieal theory i a quaratic fiel Q( ) has bee stuie, wiely. The structure a ie of ieal class grous is ivestigate. Three ifferet class umber comutatio metho has bee stuie, two of which are base o algebraic a oe is o aalytic methos. The Dirichlet characters, biary quaratic forms, ζ a L- fuctios of quaratic umber fiels has bee stuie a some results are obtaie from this subjects. Quaratic umber fiels art of the algebraic umber fiels ackage of Pari rogram is itrouce. At the e of each chater relate Pari coes a scrits are give which are use for solvig some roblems a rearig the figures i the thesis. eywors: Quaratic fiels, rig of itegers, fuametal uit, Eucliea omai, uique factorizatio omai, ieals, ricial ieal omai, ieal class grou, biary quaratic forms, reuce forms, class umber, Dirichlet characters, zeta fuctios, L-fuctios, Pari GP.
. GİRİŞ Fermat ı(60-665) So Teoremi (FST) kısaca; y z eklemii > içi tamsayı çözümüü olmaığıı ifae eer. Yaklaşık 50 yıl araa sora 99 yılıa Arew Wiles(95-) tarafıa isatlaa bu teorem üzerie yaıla çalışmalar sayılar teorisii gelişmesie öemli katkıa bulumuştur. ummer ı(80-89) FST üzerieki çalışmalarıa beri sayılar teorisi birçok matematikçi içi büyük bir ilgi alaı olmuştur. Cebirsel sayı cisimleri ve özellikle e kuaratik sayı cisimleri üzerie o tarihlere bu yaa eeyce çaba sarf eilmiştir. uaratik sayı cisimleri ummer, Deeki (8-96) ve iğerleri tarafıa soraları aha yüksek ereceli sayı cisimlerie geişletilmiştir. ları başarılı çalışmaları matematiği öemli braşlarıa ola cebirsel sayılar teorisii temelii e oluşturmaktaır. ummer ı cebirsel sayı cisimleri ile ilgili çalışmaları ou FST üzerieki e başarılı souçları ele etmesie rol oyamıştır öyle ki, ou kullaığı metotlar moer matematiği yaıtaşları halie gelmiştir. Cebirsel sayı cisimlerii iyi bilie öreklerie bazıları; ζ, i. erecee kökü olmak üzere Q ( ζ ) biçimie gösterile cyclotomik cisimler, θ,. erecee iirgeemez bir oliomu kökü olmak üzere Q ( θ ) biçimie gösterile kübik sayı cisimleri ve karebağımsız bir tamsayı olmak üzere Q ( ) biçimie gösterile ve tezimi kousu ola kuaratik sayı cisimleriir. Geel olarak θ,. erecee tamsayı katsayılı bir miimal oliomu kökü ise Q (θ ) cismi. erecee bir cebirsel sayı cismi iye alaırılır. Bu bağlama ikici erecee bir iirgeemez oliomu kökü ola θ ı Q ya katılmasıyla oluşturula kuaratik sayı cisimleri Q ( ),. erecee cebirsel sayı cisimleriir. Buraa eğer > 0 ise Q ( ) yi reel, < 0 ise Q ( ) yi saal kuaratik sayı cismi iye isimleirerek ayırt eeriz. Her iki tür sayı cismie çalışma a Gauss u taıttığı a by cy : a, b, c Z biçimieki ikili kuaratik formları teorisiyle olukça yakıa bağlatılıır. sayı cismieki moik, tamsayı katsayılı bir oliomu kökü ola sayılar (cebirsel tamsayılar) bir halka oluşturur, bu halkaya ı tamlık halkası aı verilir ve gösterilir. a tersleebilir elemaları oluşturuğu isimleirilir. ( ) ı alt grubu ola biçimie U birim grubu şeklie Q kuaratik sayı cismii birim grubu < 0 ike solu, > 0 oluğua
ise sosuz evirli bir grutur. übik sayı cisimlerie ise birim grubu, rakı veya olmasıa bağlı olarak eğişir. FST i ve 5 gibi özel haller içi isatıa kullaıla yötem ve malzemeler kuaratik sayı cisimlerii rasyoel tamsayılar teorisi üzerie ilk uygulamalarıı oluşturmaktaır. Euler 770 te Q( ) saal kuaratik sayı cismii tamlık halkası Z yi FST i özel hali, Dirichlet(805-859) ve Legere(75-8) e 85 te, Q( 5) 5 reel kuaratik sayı cismii tamlık halkası Z yi 5 özel hali içi teoremi oğru oluğuu isatlamaa kullamışlarır. Ama bu alaa ilk öemli aımlar 80 lara Gauss u(777-855) bikuaratik reziüler üzerie çalışmaları sırasıa Z [] i içi sayılar teorisi geliştirmekle başlamıştır. Bugü Z [] i halkası Gauss u kuaratik sayı cisimlerie öcü çalışmalarıa ötürü ou ourua Gauss tamsayıları iye alaırılmaktaır. Gauss u arıa, ou göze öğrecisi Eisestei(8-85), Z yi kübik reziülerle ilgili sayılar teorisiyle bağlatılı souçlar ele etmek içi kullamıştır. yüze bu sayılar a Eisestei sayıları olarak isimleirilirler. ummer, cebirsel sayı cisimleri üzerie çalışmaları sırasıa FST i isatlaığıı zaetmiştir ama cyclotomic cisimlere tamsayılara farklı olarak tek türlü çaralara ayrılma özelliğii olmayabileceği gerçeğii göz arı etmiştir. yüze bu roblem üzerieki çalışmaları başarısızlıkla souçlamıştır. Daha soraları tek türlü çaralara ayrılma özelliğii olabilmesi içi gerek ve yeter şartı sayı cismii sııf sayısıı olması gerektiği soucua varacaktır. ummer tek türlü çaralara ayrılma özelliğii eksikliği roblemii üstesie gelebilmek içi e ieal komleks sayıları geliştirerek yei bir çığır açmıştır. İlerleye yıllara FST i bütü üzgü asal sayılar ( :, k Q ζ ) sayı cismii sııf sayısıı bölmez şartıı sağlaya asal sayı) içi oğru oluğuu isatlamıştır. ummer a sora Deeki, ou ieal komleks sayılarıa karşılaştığı roblemleri üstesie gelebilmek içi oları üzerie ieal teorisii geliştirmiş ve ummer ı ieal komleks sayılar iye tarif ettiği sayıları ismii iealler iye eğiştirmiştir. Souç olarak 800 leri solarıa oğru roecker(8-89) i e katkısıyla cebirsel sayılar içi bir bütü teori ortaya çıkmıştır. (
ı bütü ieallerii kümesi, iealler arası taımlaa çarma işlemi altıa bir yarıgru oluşturur. Bu yarı grubu gruba çevirmek içi kesirsel iealleri hesaba katmak gerekliir. ı bütü kesirsel ieallerii grubu F, ı iealleri tarafıa üretile serbest eğişmeli bir grutur. F i bütü temel kesirsel iealleri ou bir P alt grubuu oluşturur. F P bölüm grubu sayı cismii sııf grubu iye alaırılır ve Cl( ) Cl biçimie gösterilir. Mikowsky teoremi bu grubu elema sayısıı solu oluğuu belirtir. Bu solu grubu erecesi ı sııf sayısı olarak isimleirilir ve h ile gösterilir. İkili kuaratik formlarla bağlatılı ola kuaratik sayı cisimleri, cebirsel sayı cisimleriyle uğraşalar içi her zama iyi bir test alaı olmuştur. uaratik sayı cisimleri, cebirsel sayı cisimleri arasıa e alaşılır teoriye sahi olmasıa rağme hala çok sayıa zor ve çözülmemiş roblem varır. Mesela sııf sayısı ola reel kuaratik sayı cisimlerii solu olu olmaığı heüz çözülmemiş bir roblemir. Zegi geçmişi ile birlikte hala cebirsel sayılar teorisie kaya eğer öemli çalışmalar yaılmaktaır. Bulara birisi 966 a H. M. Stark ı TÇAB ola saal kuaratik sayı cisimlerii 9 taee ibaret oluğuu göstermesiyle bu roblemi çözümüe so oktayı koymasıır. Güümüze sııf sayısı roblemi, sııf sayısıı belli sayılar tarafıa bölüebilirliği ve kritografik uygulamalar üzerie çok sayıa yei çalışmalar yaılmaktaır. Gauss, ayı ( b ac) iskrimiatlı kuaratik formları hesaba katarak formları ekliğii taımlaı. Belli bir iskrimiata sahi formları sııf sayılarıı oları eklik sııflarıı sayısı olarak taımlaı. Bu sııf sayısı ile ayı iskrimiatlı kuaratik sayı cisimlerii sııf sayıları arasıa basit bir bağlatı varır. Aslıa ı içieki ieal sııfları ile ikili kuaratik formları eklik sııfları arasıa birebir bir eşleme varır. Bu bize < 0 ike sııf sayısıı hesalamasıa e kolay metotlara birii verir. uaratik formları bileşkesi iyebileceğimiz bir bileşke kuralı varır ve bu kural ieal sııflarıı çarımı işlemie karşılık gelir. a by cy İF ua karşılık gele ieal sııf sayısıı hesalamak içi b i b şartıı sağlaya bütü iealleri olaşmasıı ve ye bağlı olarak ou a tek veya çift sayı olmasıı isteriz. Bu tite her b içi ac ( b ) c a ve a c ise 0 b şartıı sağlaya ( a b, c) sııf sayısı olmak üzere tam olarak h tae bu biçime üçlü varır. yi çaralarıa ayırırız ve a b > a,, üçlülerii hesalarız. Buraa, h, ı
Hem reel hem e saal kuaratik sayı cisimlerii sııf grubu ve sııf sayılarıı belirlemesi çoğu zama zor olabilmekteir. uaratik sayı cisimlerie sııf sayılarıı hesalamasıa kullaıla metot ve materyaller olukça karmaşık olmasıa rağme sııf grubu ve sayısıı hesalamasıı zorluğu kritografik rotokolleri güveliğie ratik kullaımıa olayı bu alaa kritografik çalışmaları başlamasıı beraberie getirmiştir. Öreği, aahtar eğişim rotokolleri hem saal hem e reel sayı cisimlerii kullaımlarıı içermekteir. Bu rojelere güvelik cismi seçimie bağlıır, olayısıyla kuaratik sayı cismii yaısıı bilimesie ihtiyaç varır. Güümüz oüler krito sistemleri geellikle tamsayılar üzerie ya çaralara ayırmaı ya a Ayrık Logaritma Problemi (ALP) i çözümüü zorluğu üzerie işa eilmiştir. Moulo tamsayılar üzerie işa eilmeye bir aahtar eğişim roblemi tamsayı sistemi kırılığıa hala güveli kalabileceği içi aha kullaışlı hale gelir. İşte bu maksatla Buchma ve Hugh Williams saal kuaratik sayı cisimlerii sııf grubu üzerie kurulu bir aahtar eğişim taımlamışlarır. Bu çalışma aha sora reel kuaratik sayı cisimlerie, kübik sayı cisimlerie ve foksiyo cisimlerie e geişletilmiştir. Çalışmamızı birici ve ikici bölümü kuaratik sayı cisimleri ile ilgili temel taım ve teoremlere ayılmıştır. Üçücü bölüme, kuaratik sayı cisimlerie çaralara ayırma üzerie urulu. Çaralara ayırmaı tek türlü olmaığı urumlara iealleri asıl bu roblemi üstesie gelmee kullaılabileceği alatılı ve ieal teorisi geiş bir şekile ele alıı. Dörücü bölüme öcelikle kuaratik formlar taıtılı aha sora ieallerle kuaratik formlar arasıaki bağlatı üzerie urulu. Her ikisi içi e ieal sııf grubuu yaısı ve mertebesi eğişik taım ve teoremlerle ele alıı. Bu gruları mertebelerii hesalaması içi iki cebirsel metot gösterilmiş ve grubu üretecii ele eilmesi öreklerle açıklamıştır. Beşici bölüme öcelikle geel maaa Dirichlet karakterleri taıtılarak bir kuaratik sayı cismie karşılık gele Dirichlet karakterleri ele alıı. Daha sora Riema ζ ve L foksiyoları taıtılarak kuaratik sayı cisimlerie karşılık gele ζ ve L foksiyoları ele alıı. Bazı kuaratik sayı cisimlerie karşılık gele Dirichlet karakterleri hesalaarak (, χ ) L foksiyolarıı eğerleri ele eili. Bu foksiyoları eğerleriyle sııf sayısı arasıaki bağlatı üzerie urulu. (, χ ) L foksiyou eğerlerii hesalaması içi farklı metotlar verili ve gösterile bu metotlarla sııf sayısıı aalitik yolla hesalamasıı e kaar kolay oluğu öreklerle gösterili. Heme her bölümle bağlatılı olarak olukça yei ola ayrıca heüz kullaımı çok yaygılaşmaya ve cebirsel sayılar
5 teorisi üzerie geiş bir altyaısı ola Pari rogramı kullaılı. Bölüm solarıa, ilgili bölümlerle bağlatılı Pari komutları eklemiş, açıklamaları yaılmış ve örek olarak verile roblemleri çözümü ve tabloları hazırlamasıa kullaıla Pari rogramları eklemiştir.
. CEBİRSEL SAYI CİSİMLERİ ve UADRATİ SAYI CİSİMLERİ 6. Cebirsel Sayı Cisimleri Taım.. E ve F iki cisim olmak üzere F i bir geişlemesi aı verilir. F E (Yai F, E i bir alt cismi) ise E ye Taım.. E, F i bir geişlemesi olmak üzere eğer [ E : F] solu ise E ye solu geişleme eir. Taım.. E, F i bir geişlemesi olsu. Eğer α E içi f ( α) 0 olacak şekile sıfıra farklı bir f ) a a... a X F[ ] oliomu varsa α ya F üzerie ( 0 X cebirsel elema eir. α, F üzerie cebirsel eğilse α ya trasaatal elema eir. Örek.. C (komleks sayılar kümesi) ve Q u (rasyoel sayılar kümesi) her ikisi e tolama ve çarma işlemi altıa birer cisimirler. Q C oluğu içi C, Q u bir cisim geişlemesiir. 5 C sayısı Q üzerie cebirselir. Çükü kolayca görüleceği üzere 5, f ( ) 5 Q[ X ] oliomuu bir köküür. Örek.. π sayısı Q rasyoel sayı cismi üzerie trasaattır ama R (reel sayılar cismi) üzerie cebirselir. Çükü Q [X ] te π yi kök kabul ee herhagi bir oliom bulumamasıa rağme π sayısı, f ( ) π R[ X ] oliomuu bir köküür. Taım.. C i Q üzerieki cebirsel ola elemalarıa cebirsel sayı eir. C i Q üzerie cebirsel olmaya elemalarıa a trasaatal sayı eir. Örek.. i C sayısı Q üzerie cebirselir. Çükü eğer α i alırsak α sayısı, ( i) α eklemii bir kökü oluğu açıktır. Buraa i ( α ) α α. Her iki tarafı karesi alıırsa i i 6 5 Q[ X ] oliomuu bir kökü oluğu görülür. Bezer şekile, 6 Q[ X ] oliomuu kökü, i e 9 Q[ ] oliomuu kökü oluğu içi cebirsel sayıırlar. Taım.5. Eğer α E cebirsel ise aşağıaki şartları sağlaya bir ( ) F[ X ] oliomu varır ve bu olioma α ı sağlaığı miimal oliom (miiol) eir. α ı F
üzerieki miimal oliomu P F ( α, ) biçimie gösterilir. 0 ve ( α) 0, () moik (baş katsayısı ola) oliomur, (), F [] i iirgeemez oliomuur. 7 Diğer yaa bu () oliomu α yı kök kabul ee muhtemel iğer bütü oliomları a böler. Taım.6. Taım.5 ile taımlaa oliomu erecesie α ı F üzerieki erecesi eir ve erp F ( α, ) biçimie gösterilir. Taım.7. F E ve α E olmak üzere F (α ), F F(α ) ve α F(α ) şartlarıı sağlaya e küçük cisim olarak taımlaır. F (α ) cismie F ye α katmakla ele eile basit cisim eir. Teorem.. Eğer {,, α,... α } α E cebirsel ve erpf ( α, ) α, F (α ) / F i bir bazıır. ise [ F ) : F] : (α ir. Ayrıca Örek.. [ Q ( ) : Q] erp Q (, ) ir. Buraa P Q (, ) ir ve alıırsa Eisestei kriterie göre oliomu iirgeemezir. Bu uruma {, }, ( ), Q ( ) cismi içi bir bazır. hale Q ( ) ı elemaları a a ( ) a ( ) : a, a a Q biçimie sayılarır. 0 0, Taım.8. E, F i bir geişlemesi ve eğer α E sayısı F üzerie cebirsel ise E ye F i bir cebirsel geişlemesi aı verilir. Teorem.. Eğer [ F] < E : E / F cebirselir. Teorem.. α,α E cebirsel iseler α ± α, α. α sayıları a cebirselirler. Ayrıca eğer, 0 α α /α e F üzerie cebirselir. Taım.9. Q rasyoel sayılar cismii solu geişlemelerie cebirsel sayı cismi eir. Örek.5. Cebirsel sayı cisimlerii e bilie öreklerie bazıları; i-) kare-bağımsız bir tamsayı olmak üzere Q ( ) şeklie belirtile kuaratik sayı
8 cisimleri, ii-) ζ, i. ve iii-) θ,. ζ erecee kökü olmak üzere ( ) Q biçimie gösterile cyclotomik cisimler erecee iirgeemez bir oliomu kökü olmak üzere ( θ ) gösterile kübik sayı cisimleriir. Q biçimie Örek. te veriğimiz Q ( ) cismi Q u bir solu geişlemesiir ve bir kübik sayı cismiir. Taım.0. Özel olarak eğer α C, katsayıları tamsayı ola bir moik oliomu kökü ise α ya cebirsel tamsayı eir. Bir cebirsel sayı cismie cebirsel tamsayıları kümesi bir halka oluşturur. Bu halkaya tamlık halkası eir ve sembolü ile gösterilir. Örek.6. θ sayısı tamsayı katsayılı f ( ) moik oliomu kökü oluğu içi cebirsel bir tamsayıır. Bua rağme γ / 5 cebirsel tamsayı eğilir. / 5 sayısı, ( ) 5 f oliomuu bir köküür fakat bu oliom moik eğilir. Öte yaa / 5, g ( ) / 5 moik oliomuu bir köküür ama bu oliomu a katsayıları tamsayı eğilir. Aslıa γ / 5 i kökü oluğu tamsayı katsayılı bir oliom buluamaz. Dolayısıyla bir cebirsel tamsayı eğilir fakat cebirsel sayıır. Her cebirsel tamsayıı bir cebirsel sayı oluğu açıktır. Ama tersi oğru eğilir. Q i tamlık halkasıı (mo) oluğua Z ve, (mo ) oluğua ise Z [ ] oluğu isatlayacağız. Q ( ) cismii tamlık halkası Bölüm. te ( ) ise Z [ ζ ] ir. Teorem.. Q(α ), Q üzerie. erecee bir sayı cismi olsu. Bu uruma ζ α olmak üzere a C ye -tae faklı σ : C, σ ( α) α :,( i... ) olacak şekile i i i otomorfizma varır. Buraa P ( α, ) ( α ), α ı miimal oliomuu komleks Q i i sayılar üzerieki arçalaışıı göstermek üzere, farklı köküür. σ ( α) α ler, PQ ( α, ) i C eki - i i
9 PQ ( α, ) i reel köklerii sayısı içi r, komleks kök çiftlerii sayısı içi r sembolleri kullaılır. Buraa r r eşitliği mevcuttur. Taım.. Teorem. te verile α i leri her birie α ı eşleikleri eir. Bu α i leri her biri cebirsel sayılarır ve her birii miimal oliomları PQ ( α, ) tir. α içi keisi ile birlikte farklı eşleik varır. Örek.7. α ve Q(α ) olsu. α ı miimal oliomu. erecee (, ) P Q α oliomuur. Bu oliom iki tae reel köke ( ± ), iki tae e komleks köke ( ± i ) sahitir. Buraa r, r oluğu alaşılmaktaır. σ C omorfizmalar aşağıaki gibiir. σ σ σ σ ( α ) ( α ) ( α ) i ( α ) i Taım.. Q(α ), Q üzerie. erecee bir sayı cismi ve σ, σ,... σ, a C ye otomorfizmalar olmak üzere, taımlaır. N / Q ( ) σ i ( β ) i β ı ormu ve iz(trace) i sırasıyla aşağıaki gibi β, (.) Tr / Q ( β ) σ i ( β ). (.) i i : Taım..,. erecee bir sayı cismi olmak üzere iskrimiatı, α, α, α,... α ları ( α α, α,... α ) ( ( σ ( α ), et i j biçimie verilir. Örek.8. Q( ), olmak üzere P (, ) (, ) Q α PQ. Bu oliomu kökleri, ve - tür. Yai iki tae reel kök varır ve otomorfizmalar;
0 σ ( ), σ ( ) şeklie iki taeir. α, α olmak üzere, (, ) ( ( ) ( ) ) 08. Teorem.5.,. erecee bir sayı cismi ve α α, α,... α, ı iskrimiatı ( α, α, α,... α ) et Tr / Q ( α iα j ) Teorem.6. ( ) Q ( α α, α,... α ) Z α, α, α,... α olmak üzere ( ) şeklieir. α, α, α,... α ur. Özel olarak eğer α i ler cebirsel tamsayı ise, ir. Taım.. sayı cismii iskrimiatı, iskrimiatı ( α α,..., ), α olarak taımlaır. ı bir tamlık tabaı α α,... α, Taım.5. Bir cebirsel sayı cismi a ı bütü iealleri ieal çarma işlemie göre bir semi-gru oluşturmaktaır. Bu semi-grubu, gruba öüştürmek içi kesirsel iealler hesaba katılabilir. Bir kesirsel a ieali α içi α a şartıı sağlaya ı bir alt moülüür. ı bütü kesirsel iealleri grubu F, ı asal iealleri tarafıa üretilmiş ola serbest eğişmeli grutur. F i bütü temel kesirsel ieallerii kümesi P ile gösterile F i bir alt grubuur. Cl F P kesrie ı sııf grubu aı verilir, bu grubu mertebesi Cl ye ise sayı cismii sııf sayısı aı verilir bu a h sembolüyle gösterilir. Bu bölüme cebirsel sayılar ve cebirsel sayı cisimlerii bazı temel taım ve özellikleri verili. Soraki bölüme itibare tezi esas kousu ola kuaratik sayı cisimleri ele alıı.. uaratik Sayı Cisimlerie Giriş Taım.6. / Q bir cebirsel geişleme olmak üzere özel olarak, [ : Q] cebirsel sayı cismie kuaratik sayı cismi eir. ise Teorem.7., kare-bağımsız (böleleri arasıa e başka tam-kare içermeye) bir tamsayı olmak üzere kuaratik sayı cisimleri, Q ( ) biçimieirler.
İsat: bir kuaratik sayı cismi ve {, α}, ı Q üzerieki bir bazı olsu. Bu uruma Q(α) ve b, c Z : α c bα ır. α, f ( ) b c (.) oliomuu bir köküür. Diğer tarafta (.) eklemiyle verile f i kökleri b ± b c ir. kare-bağımsız bir tamsayı olmak üzere b b ± b c b a a Q varır. Böylece ± ir. Dolayısıyla Q( ) Yai kare-bağımsız bir sayı olmak üzere Q ( ) Q( ). ( ) α {, } c a olacak şekile α ve Q( α ). bir baz oluğu içi Q i elemaları q :, q Q şeklieir. Böylece, kare-bağımsız olmak üzere, ( ) { q, q } Q : Q. (.) biçimie verilir. Taım.7. Q( ) bir kuaratik sayı cismi olmak üzere eğer > 0 ise ya reel kuaratik sayı cismi, < 0 ise ya saal (imajier) kuaratik sayı cismi eir. Örek.9. Q ( 05) reel, ( ) (.) te ( ) fakat Q( ) Q ise saal kuaratik sayı cisimleriir. Buula birlikte Q i oluğu a alaşılmaktaır. σ varır. Teorem.8. uaratik sayı cisimlerie iki tae otomorfizma, : Q( ) C Bu otomorfizmalar α a b Q( ) olmak üzere; a b ) a b σ σ ( özeşlik öüşümü ve σ a b ) a b şeklie verile öüşümlere oluşa otomorfizmalarır. ( İsat: ( ) f ( ) P Q, oluğu açıktır. ( ) olmak üzere iki taeir. Buraa otomorfizmaları görülmekteir. hale a b Q( ) f i C eki kökleri ise ve σ, : oluğu : σ α olmak σ ( a b ) a b özeşlik öüşümü ve σ a b ) a b öüşümleri mevcuttur. (
Diğer yaa eğer, reel kuaratik sayı cismi ise r, r 0, saal kuaratik sayı cismi ise r, r oluğu a açıktır. 0 Taım.8. Q( ) bir kuaratik sayı cismi olsu. α a b Q( ) (α ), ormu ( N ( )) ve iz i ( Tr ( ) ) sırasıyla aşağıaki gibi taımlaır. / Q α α a b, / Q α i eşleiği N / Q ( α) σ i ( α) σ ( a b ) σ ( a b ) ( a b )( a b ) a b, i / Q α σ i α σ ( σ i Tr ( ) ( ) a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) a Bu taıma (.) ve (.) eklemleri kullaılarak orm ve iz taımları verilmiş aha sora formüller kuaratik sayı cisimleri içi aha basit hale getirilmiştir. Bua böyle α ı ormu ve iz i içi geel kullaıma uyarak sırasıyla kısaca N ( α ) ve ( α ) kullaacağız. N ( ) αα ve ( ) α α α Tr sembollerii Tr α oluğu açıktır. İlere görüleceği üzere orm, Q ( ) eki çarma ve bölüebilme ile ilgili roblemleri Z ye trasfer etmee olukça yarayışlıır. Örek.0. ( ) α, Q e α alalım. Bu uruma; N ( α) ( )( ) 9. 5, Tr ( α ) ( ) ( ). 6 ele eilir. Teorem.9. β Q( ) α α, olmak üzere orm ve iz i aşağıaki özellikleri varır. αβ, i-) ( ± β ) α ± β, ( ) α β ii) N α. β ) N( α ). N( β ) (, iii-) Tr ( α β ) Tr( α ) ± Tr( β ) ±,.
iv-) ( α ) Tr( α ) Q N,, v-) Q( ) α, f ) Tr( α ) N( α ) ( oliomuu bir köküür. İsat: α a b, β e f olsu. i-) ( α ± β ) ( a b ± e f ) ( a ± e) ( b ± f ) ) ( a ± e) ( b ± f ) ( a b ) ± ( e f ) α ± β ( αβ ) ( a b )( e f ) ( ae bf ) ( af eb) ) ( ae bf ) ( af eb) ) ( a b )( e f ) ( a b ) ( e f ) α β.. ele eilir. ii-)özellik (i) kullaılırsa, N ( α β ) ( αβ )( αβ ) αβα β αα ββ N( α ) N( β ) iii)bezer şekile; Tr ± ( α ± β ) ( α ± β ) ( α ± β ) α ± β α ± β ( α α ) ± ( β ± β ) Tr( α ) Tr( β ) iv-) a b Q, Z N a b, oluğu içi ( α ) Q ve ( a) a Q Tr oluğu açıktır. f Tr N oluğu v-) ( α ) α ( α ) α ( α ) α ( α α ) α αα α α α α αα 0 içi aşikarır... uaratik Sayı Cisimlerii Tamlık Halkası ve Diskrimiatı ( ) Q bir kuaratik sayı cismi olmak üzere, a bulua cebirsel tamsayıları kümesii ile göstereceğiz. Herhagi bir kuaratik sayı cismi a olacak şekile Q u Z ile ilişkisie bezer bir ilişki kurabileceğimiz bir tamsayılar kümesi varır. Eğer a ve b birer tamsayı iseler N( a b ) a b ve Tr( a b ) a tamsayı olukları içi eğerleri a b sayısı tamsayı katsayılı, f ( ) Tr( ) N( ) moik oliomuu bir kökü oluğuu Teorem.9 u beşici özelliğie olayı biliyoruz. Dolayısıyla, eğer a, b Z ise α a b sayısı cebirsel bir tamsayıır. Yai ı bir elemaıır. Fakat a başka cebirsel sayılar a varır. Aşağıaki teoremle a cebirsel sayıları içere e geiş kümeyi ele eeceğiz.
Teorem.0. ;,(mo ) ω (.5) ; (mo) olmak üzere, ir. { m : m Z} ω (.6), m m, İsat: α Q( ): Q olsu. Eğer 0 ise α m Q cebirsel tamsayıır m Z 0 oluğuu varsayalım. α ı Q üzerieki miimal oliomu X Tr( α ) X N( α ), ir. yai X mx m ir. hale, α m m Z ve m Z (.7) olmalıır. m Z a a : m Z ir. Diğer tarafta (.6) a ( ) Z m Z m Z ve ( m ) m Z ( ) Z ele eilir. Çükü m Z ele eilir. Fakat kare-bağımsız oluğu içi ( ) Z. Dolayısıyla Z ir. hale b b Z : ir. Dolayısıyla m Z a b 0(mo ) tür. Fakat tam kare sayıları mo e göre 0 veya e ek olukları göz öüe alıırsa iki urum ortaya çıkar; Eğer,,(mo ) a b 0(mo ). Yai a ve b çift sayılarır. Eğer (mo ) a b 0(mo ) ya a a b (mo ) tür.
5 a b 0(mo ) a, b çift sayı m, Z'ir. a b (mo ) a, b tek sayı olacakları içi s Z : m,, s tiieir. Bu souçlar birleştirilirse istee ele eilmiş olur. (.6) ile belirtile yı aşağıaki gibi yazmakta mümküür. [ ] Z, Z,,(mo ) (mo ) (.8) İlerleye kısımlara kuaratik sayı cismii cebirsel tamsayılarıı ifae etmek içi veya ω (.5) te belirtiliği gibi olmak üzere [ ω] ω Örek.. Q( 79) Z sembollerie birii kullaacağız. alıırsa 79 (mo ) oluğua (.5) te olayı, 79 ω 79 ir. Dolayısıyla ı cebirsel tamsayılarıı kümesi (.6) a 79 79 m : m, Z oluğu kolayca görülür. Örek olarak; 79. 79 ve, Z oluğu içi Q( 79) cismii cebirsel bir tamsayısıır. Fakat m olacak şekile m, Z buluamayacağı içi ( ) Q oluğu hale cebirsel bir tamsayı eğilir. Teorem.. İsat: cebirsel tamsayılar kümesi Q( ) ı ı alt halkası oluğuu göstermek içi oluğuu göstermeliyiz. α m ω, β m i bir alt halkasıır. ω olmak üzere; α, β içi α - β, α. β ( m m ) ( ω ır, çükü ( m m ),( ) Z α β ) ir. ( m m ) ω ω ω α. β mm,(mo ) ır.
6 (mo ) ω ω : Z ir. αβ m m m m ω ( ) Dolayısıyla Ayrıca bir alt halkaır. ır. α m ω içi eğer,(mo ) ω oluğua ω α m m ır. Yie, eğer (mo ) ω olur ki bu uruma a m ( m ) ( m ) ω α her iki uruma a α ele eeriz. ır. Yai Özel olarak Z [] i tamlık halkasıa Gauss sayıları, Z tamlık halkasıa a Eisestei sayıları aı verilir. Taım.9. ya ( ) tamlık tabaı aı verilir. { },ω Q i tamlık halkası eir, ve { },ω ye e tamlık halkasıı tamlık tabaı oluğu içi a, b Z olmak üzere ı her bir elemaı a. b. ω biçimie ifae eilebilir. Bölüm e bir sayı cismii iskrimiatıı ou tamlık halkasıı tamlık tabaıı iskrimiatı olarak taımlamıştık. hale Q ( ) i iskrimiatıı artık belirleyebiliriz. Teorem.. Q( ) bir kuaratik sayı cismi olmak üzere ı iskrimiatı; ( mo ) ( ),, (.9), mo ir. İsat:, ( mo ) olsu. Bu uruma ı tamlık tabaı {, } (, ) ( ) ( ), ir. Dolayısıyla;
7 ( mo ) olsu. ı tamlık tabaı, ir. hale;, ( ).. uaratik Sayı Cisimlerie Birimseller Grubu Taım.0. u u olmak üzere eğer kısaca birimsel eir. sayı cismii tamlık halkası U ile göstereceğiz. Bazı kayaklara U yerie ise u ya a birimsel elema veya aki birimsel elemaları kümesii kullaılmıştır. Teorem.. u olsu. U N( u) ± u ir. İsat: u birimsel ise u () N( uu ) N( u) N( ) N u ( u) ± ır, olayısıyla N ( u), N( u ) Z ir. ' i böleleri ir. Diğer yaa m e ibaret oluğu içi N ( u) ± N ise uu ± ir. Dolayısıyla u ± u. Teorem. i soucua gösteriliği üzere eğer u ise u olacağı açıktır. Böylece u ır. hale Örek.. {, } alırsak U u ır. Fakat, 6 6 olacağıa U ır. ır. Çükü; u U. ir. Teorem.. u yω :, y Z olmak üzere u U ır acak ve acak y ±, y y ±,,(mo ) ise (mo ) ise. İsat: ı her bir elemaıı yω biçimie oluğu ve (.5) te veriliği gibi
8 ω,,, (mo ) (mo ) oluğu göz öüe alıı Teorem. ile birleştiriliğie istee ele eilmiş olur. Teorem.5. < 0 ise a saece solu sayıa birimsel varır ve, halleri ışıa birimseller ± olmak üzere iki taee ibarettir. ise birimseller ±, ± i olmak üzere ört taeir. İsat: ise birimseller m ± ± ±, olmak üzere altı taeir. α ı birimsel olması içi ( α ) ± oluğua ( α ) 0 ( α ) N olmalıır. N olmalıır. Fakat < 0 N olur. hale < 0 urumua α ı birimsel olması içi (.6) a, (mo ) ise α ı m : m, Z biçimie oluğuu biliyoruz. Dolayısıyla ( ) Eğer ise N m m m ir. m (.0) eklemii çözümleri Z [] i i(gauss Sayılarıı) birimsellerii verir. olayca gösterileceği üzere (.0) ile belirtile eklemi tamsayı çözümleri (, ) ( ±,0 )(, 0, ± ) m olmak üzere ört taee ibarettir. Bulara karşılık gele m ler ise ±, ± i ir. hale; Q( ) ise U { ±, ± i}. Eğer, (mo ) ve < m eklemii bütü çözümleri (,0 ) ± e ibarettir. Çükü, m 0 oluğua 0 olmalıır. Eğer 0 alıırsa m ele eilir ki bu a m ± emektir. Dolayısıyla a birimseller ± olmak üzere iki taeir. oluğuu varsayalım. α, m : m, Z biçimieir. Şimi, ( mo )
9 N m m m m m (.) ir. Buraa (mo ) oluğua Z ir. Şimi r alalım, bu uruma (.) eklemi, m m r (.) eklemie öüşür. Bu eklemi egatif olmaya ( m ) ve ( ) yazarsak; ( ) m ( r ) 0 m terimleri cisie m (.) ( ) m ( r ) 0 m (.) eklemlerii ele eeriz. Özel olarak ise r olur. Bu uruma (.) ve (.) yerie m 0 ve m 0 eklemleri gelir ki, buları bir tek ek ekleme birleştirirsek ele eeriz. Bu şartı ve (.) yi sağlaya ( m, ) ikilileri ise, ( m, ) (,0),(0,),(,0),(0, ),(, ),(, ) ir. m Bular α m e yerie yazılırsa, ± ± ±, olmak üzere altı tae birimsel ele eilir. Özetle; Q( ) ise U ±, ± ± ir. Eğer < r > ir. Bu uruma a 0 ise m ± ir. > 0 ise (.) ve (.) te ( r ) ir ve m 0 ve m 0 ele eeriz ki bu uruma çözüm olmaığı açıktır. Souç olarak < 0 olması halie birimselleri belirlemiş oluk. > 0 olması urumua ise
0 teori olukça farklıır. Bu uruma aki birimselleri sayısı solu eğilir ve buları belirlemesi her zama kolay olmayabilir. Teorem.6. > 0 ise ı sosuz sayıa birimsel elemaı varır. İsat: Öcelikle, y Z içi u y oluğuu gösterelim. (.5) ve (.6) a,(mo ) ise ω ir ve u y oluğu açıktır. Eğer (mo ) ise yie y ( y) (y) ω biçimie yazılabilir. hale her iki uruma a u y ır. u y U olması içise ( u) y ± Diğer yaa biliiği üzere eğer > 0 kare-bağımsız ise, N olmalıır. ( u) y N (.5) Pell(6-68) eklemii her zama çözümü varır ve sosuz sayıaır, (Silverma, 00). Eğer (, y) ikilisi (.5) eklemi bir çözümü ise u y U birimsel elemaır. Ayrıca Z içi u ( y ) y olmak üzere, y ) ikilileri e bu Pell ( eklemii çözümüür, olayısıyla u U ır. Bu uruma sosuz sayıa birimsel varır ve alaşılacağı üzere buları sataması (.5) ile verile Pell eklemii çözümü ile oğrua bağlatılıır. Teorem.7. (Aams ve Golstei, 976) u birimsel ise u ve birimselirler. u Ayrıca u u U u. u U ır., ise İsat: u birimsel ise ( u) ± N ir. Normu çarımsallık özelliğie ( u) N( ) N( u) ± N ve açıktır. ( ) ( u) N N ± oluğua u, U oluğu u N ± u Yie Yai u u, u U ise ( u ) ± u U. N ve N ( u ) ir. hale ( u u ) N( u ) N( u ) ± N. ± Birimselleri kümesi çarma işlemi altıa gru özelliklerii sağlaığı içi bir gru oluşturur. Bu gruba kuaratik sayı cismii birim grubu aı verilir.
Teorem.8. (Aams ve Golstei, 976) B > olmak üzere < u < B şartıı sağlaya saece solu sayıa u varır. İsat: u bir birimsel olsu. ı herhagi bir elemaı u u, tamsayı katsayılı X Tr( u) X N( u) 0 eklemii kökü oluğuu biliyoruz. u, birimsel oluğua N ( u) ± ir, olayısıyla; X ır. u >, N( u) uu ± u < Tr( u) X ± 0 Böylece, Tr ( u) u u u u < B ir. u ir. Bu uruma a B olmak üzere u, X ax ± 0 eklem çiftie birii köküür. Bu şekile saece solu sayıa eklem varır ve bu eklemler kuaratik oluğua her biri e fazla iki tae çözüme sahitir. Dolayısıyla saece solu sayıa sağlaya u varır. < u < B şartıı Buu sağlaya solu sayıa elema oluğua buları e küçüğüe rahatlıkla söz eebiliriz. Taım.. gösterilir. Teorem.9. > 0 U ir { ± Z} ı e büyük e küçük birimsel elemaıa temel birim eir ve ε ile ve {, ω } olsu. Bu uruma; ε (.6) : İsat: u ı bir birimseli olsu. ε > oluğua ike ε ir. hale 0 olacak şekile Z buluabilir öyle ki, ε u < ε (.7) ir. (.7) ile verile eşitsizliği her iki yaı Fakat ε ε ile bölüürse uε < ε ele eilir. ı taımıa ou e büyük e küçük birimsel oluğuu biliyoruz. hale uε olmalıır. Bu a u ε oluğuu gösterir.
Fakat başta u oluğuu kabul etmiştik. Aslıa u U ise u, u, u,( u) e e az biri olacağıa 0 olmak üzere ε biçimieir. Dolayısıyla bütü birimseller temel birimi tamsayı kuvvetlerie oluşmaktaır. Teorem.0. (Aams ve Golstei, 976) > 0 ve u ω y >, ı birimsel elemaı olmak üzere 5 ve İsat: ω > 0 5 u ışıa > 0, y > 0 ır. N oluğua u u u ± > 0 u ω ır. Ayrıca ( u) uu ± u ± u u u ω ω y > 0 y > 0. Diğer tarafta u > ve u u ± oluğua u ω y < Buula birlikte ω < 0 oluğua 0 ise > 0 olmalıır. Eğer 0 olsayı ( u) ± N oluğu içi y ω ω ± olur. Ama (.5) teki taımıa olayı ( ) ω ω veya tür. > oluğua biricisi mümkü eğil. hale (mo) tür. Eğer > 5 ise y ω ω > ir. Eğer 5 ve y y ±. Böylece u > ve u 5 ir. Teorem.. (Aams ve Golstei, 976) > 0 olmak üzere u ω y, ı bir birimsel elemaı olsu. u > ve 0 oluğuu varsayalım. Bu uruma, irrasyoel sayısıa e yakı tamsayıır. ω y İsat: Teorem.0 e > 0, y > 0 oluğuu gösterik, ve y tamsayı oluğua, y ir. Ayrıca ω > oluğua ω y > ir. N ( u) uu ± u < ir. u
u ω y ω y <. (.8) Delem (.8) bize tamsayısıı ω y ye e yakı tamsayı oluğuu belirtmekteir. ω i taımıı kullaırsak aşağıakii ele eeriz. y,, (mo ) ω y (.9) y, (mo ) tür. Teorem.. (Aams ve Golstei, 976) > 0 ve u ω y >, ı bir birimsel elemaı olsu. ola her bir tamsayı içi u ω y yazarsak 0 < < < <... ve 0 < y y < y.... İsat: u uu ( ω y )( ω y ) ( y y ) ω ( y y ) y y ω ( y y y y ),,,(mo ) (mo ) Böylelikle ve y içi ve y, y, e bağlı ola bir formül ele ettik. Teorem. ve. yi temel birimi belirlemek içi kullaabiliriz, öyle ki tamsayısı ω y ye e yakı tamsayı olmak üzere y,,,... içi ω y leri hesalarız. Normu ± ola ele ettiğimiz ilk elema araığımız temel birimir. Aşağıaki örekte bu metou kullaarak Q( ) kuaratik sayı cismieki temel birimi belirleik. y 6 içi ω y i ormu oluğu içi 6. aıma temel birimi ele etmiş oluk. Örek.. Q( ) ω y y y olsu (mo ) ω 7 oluğu görülür. Bua göre çizelgeyi oluşturarak temel birimi belirleyebiliriz. tür. (.9) kullaılırsa
Böylelikle Q( ) y Çizelge. Q( ) y y y e temel birimi hesalaması N y y ω ( ) 5.8 6.66 8 7.9 7-7. -5 5 9.5 9-9 6.99 5 cismii temel birimii ε 5 6 olarak ele etmiş oluk. hale ı birim grubuu (.6) eklemii kullaarak; U { ± ( 5 6 ) Z} : olarak ele eeriz. Sırasıyla,,, 5 eğerlerii alırsak her birii ormu bir ola, 9 0, 795 99, 9950 05760, 899675 97806 birimsellerii ele eeriz. Yie,, içi e 5 6, 9 0 biçimie farklı birimseller ele eilir. Fakat metou işleyişie alaşılacağı üzere e kaar büyük y eğeri içi temel birim ele eilmişse o kaar çok aıma sora souca varılmıştır. Reel kuaratik sayı cisimlerii temel birimleri sık sık şaşırtıcı şekile büyük olabilmekteir. Öreği; 005 içi temel 005 birim ε 97 9 olmasıa rağme 999 içi ω ω aha öcee taımlaığı gibi olmak üzere temel birim, 077099898086959950688678800 9008665000609075509ω. olarak ele eilmekteir. olayca görüleceği üzere böyle bir temel birimi ele etmee bu algoritma olukça kullaışsızır, çükü bu temel birim bu yolla acak 9008665000609075509. aıma hesalaır. Bu ti temel birimleri ele eilmesie bu algoritmayı baz alarak yaıla rogramları bilgisayara bile souçlaması olukça uzu süre almaktaır. Çizelge. te kare-bağımsız,..., 70 eğerleri içi Q ( ) reel kuaratik sayı cisimlerii temel birimlerii listesi verilmiştir.
Aşağıaki ε 5 yı hesalamak içi vereceğim algoritma sürekli kesirler yötemii kullamaktaır. Bu yötemle temel birimi büyük ola kuaratik sayı cisimlerie temel birimi hesalaması bilgisayar rogramlarıyla çok aha kısa süree gerçekleştirilebilmekteir. ( ) Q reel kuaratik sayı cismi ve α 0 α ω olsu. Biz öcelikle α ı sürekli kesre açılımıı a, a,..., a ] yi hesalamak istiyoruz. Buu içi e 0 ve α [ 0 m içi a α olarak alalım. Buraa her içi a ir. Bu roseürü α m α ele α a eee ve bu oktaa sora a izii buraya kaar ola terimleri tekrar ettiğii göree kaar evam ettiririz. Daha sora α i yakısaklığıı, yai; / q 0 [ a, a a ],..., : ebob (, q ) ve q olacak şekile, q eğerlerii q q a a q (.0) formüllerii kullaarak ve Çizelge. i bezeri oluşturarak hesalarız. Çizelge. Sürekli kesirler kullaılarak temel birimi buluması - - 0 a a 0 a a a a 0 q 0 Bu uruma Q( ) Teorem.. (Molli,999) ( ) ε m m i temel birimi q ω ur. Q bir reel kuaratik sayı cismi, i eriyot uzuluğu m ve m. yaklaşımı olsu. Bu uruma; q
6 ε q ε q, veya ε q,,(mo ) veya 5(mo8) ise (mo8) ise Ayrıca m çift ise N( ε ) > 0, m tek ise N( ε ) < 0 Taım.. log( ) eğerie Q( ) R ε Saal kuaratik sayı cisimlerie R ir. ır. reel kuaratik sayı cismii regülatörü eir. Çizelge.5 te reel kuaratik sayı cisimlerii regülatörlerii bir listesi verilmiştir.
7 Çizelge. Bazı reel kuaratik sayı cisimlerii temel birimleri,,...70 kare-bağımsız ler içi, Q( ) reel kuaratik sayı cisimlerie temel ε a bω listesi. birimleri, ( ) ε ε ε w 7 9 50 w 9 8 5 w w 7 5 w 5 78800 0669 w 5 w 79 80 9 w 5 95 76 w 6 5 w 77 w 55 9 0 w 7 8 w 79 80 9 w 57 98 7 w 0 w 8 9 w 58 77 66 w 0 w 8 8 9 w 59 05 w w 85 w 6 087 856 w 5 w 87 8 w 6 608006 5095 w 5 w 89 7 06 w 65 6 w 7 w 9 57 65 w 66 70090565 056 w 9 70 9 w 9 w 67 68 w w 9 95 06 w 70 w 97 w 95 9 w 7 6 w 5 w 97 505 8 w 7 5 0 w 6 5 w 0 9 w 77 577 98 w 9 w 0 0 0 w 78 60 0 w 0 w 0 758 9 w 79 900 9 w 50 7 w 05 7 8 w 8 60 97 w 9 8 w 07 96 9 w 8 7 w 5 6 w 09 8 5 w 8 87 6 w 5 6 w 0 w 85 6 0 w 7 5 w 95 8 w 86 750 550 w 8 7 6 w 70 6 w 87 68 w 9 5 w 05 96 w 90 50 77 w 7 0 w 5 6 05 w 9 899000 65078 w 8 5 w 8 0697 85 w 9 677 5970 w 7 8 7 w 9 0 w 9 95 w 5 50 7 w w 95 w 5 w w 97 w 55 89 w 7 706 9775 w 99 6669650 5080099 w 57 0 w 9 57 968 w 0 7876 766 w 58 99 w 060 97 w 0 w 59 50 69 w 79 5 w 0 57 w 6 7 5 w 595 606 w 05 0 w 6 6 8 w 7 595 98 w 06 5955 8 w 65 7 w 9 775650 657889w 09 60 w 66 65 8 w 87 6 w 0 9 w 67 88 5967w w 7857650 967055w 69 w w 5 w 70 5 0 w 5 w 695598995 7577566w 7 80 w 6 5 w 5 w
8 ε ε 5 w 9 90 7 w 7 58 590 w 9 8 w 8 5 7 w 95 0999 7900 w 9 7 5 w 98 09557 75 w 7 w 99 5 w 9 0 w 0 077 w 5 w 0 766 609 w 6 5 w 0 5 5 w 7 6 5 w 05 6 56 w 9 7 w 07 88598 5056 w 0 9 6 w 09 79 87 w 76 5 w 0 8879 80 w 69 0 w 688880 95797 w 5 6 w 96968 70 w 7 6 5 w 5 w 8 66 756 w 7 5 w 9 6950 0079 w 8 07 6 w 6668 9850 w 9 90780 76 w 6 88805 566 w 0 w 7 859 57 w 8 w 9 8079 085 w 8 w 5 67890 957 w 6 5 8 w 5 87 7 w 7 7 w 5 55 6 w 9 599 60 w 55 6 w 0 09 6 w 57 5 w 78558980970 50986657 w 58 57 6 w 680779695 99999 w 59 875 56 w 5 60 w 6 098057 68578 w 7 9609695 0678 w 6 98 8579 w 9 97970 5 w 65 5699 76 w 5 w 66 685 w 5 697 78 w 67 0 7 w 6 9 5 w 69 77 0 w 7 660 w 7 59798600 7097857 w 9 877 986 w 7 68 88 w 5 677 7586 w 7 07 85 w 5 58065 76 w 77 8 57 w 55 95809 50676 w 78 50 50 w 57 9 w 8 000087 6890 w 58 76579805797 9576 w 8 5 0 w 59 60 9 w 8 8708 895 w 6 9 w 85 8 w 65 9 w 86 5685 w 66 90795 758 w 87 88 7 w 67 909995568 9985687 w 90 7 w 70 7 7 w
9 Çizelge.,..., 050 cisimlerie temel birimleri örek bir listesi. içi temel birimi küçük ola bazı Q( ) reel kuaratik sayı ε ε ε ε ε w 6 5w 58 7w 7 05w 075 w w 95 6w 585 7w 66 08w 077 w 5 w 97 5w 50 7w 665 07w 06 5w 0 w 70 7w 577 7w 88 09w 7 5w 5 w 8w 566 75w 099 0w 60 7w 7 w 5 9w 5777 75w 0 09w 905 7w 6 5w 599 0w 590 77w w 0 9w 5 6w 60 9w 608 78w 5 w 99 50w 7 5w 76 w 6085 77w 55 w 50 9w 65 7w 765 w 6 79w 770 w 80 5w 8 9w 97 w 60 79w 995 w 05 5w 0 9w 06 5w 656 8w 997 w 0 5w w 7 5w 6890 8w 6 5w 77 5w w 0 7w 7055 8w 57 5w 06 55w 5 w 05 7w 7057 8w 6 9w 5 56w 70 w 0 9w 76 85w 0 9w 7 55w 95 w 50 9w 795 86w 6 w 96 58w 97 w 60 5w 797 85w 885 w 965 57w 6 5w 70 5w 7570 87w 50 w 58 59w 55 6w 705 5w 77 88w 577 w 5599 60w 57 5w 80 5w 775 87w 566 5w 560 59 w 90 7w 95 5w 79 89w 5877 5w 59 6w 8w 97 5w 8099 90w 60 7w 6 6w 6 9w 06 55w 80 89w 68 8w 65 6 w 99 0w 5 56w 88 9w 685 7w 6570 6w 0 9w 7 55w 86 9w 66 9w 6895 6w w 6 58w 865 9w 6899 0w 6897 6 w 8 w 65 57w 885 9w 690 9w 76 65w 85 w 8 59w 887 9w 76 w 7555 66w 50 w 599 60w 906 95w 7 w 7557 65 w 577 w 60 59w 95 96w 7690 w 7890 67w 66 5w 7 6w 97 95w 7957 w 856 69w 677 5w 85 6w 90 97w 86 5w 890 69 w 70 7w 970 6w 9605 97w 897 5w 9 7w 785 7w 097 6w 000 99w 8770 7w 9585 7 w 8 9w 6 65w 00 0w 90 8w 990 7w 899 0w 55 66w 00 0w 905 7w 077 7 w 90 9w 57 65w 005 0w 9 9w 066 75w 96 w 90 67w 060 0w 9599 0w 0977 75 w 0 w 6 68w 085 0w 960 9w 0 77w 090 w 76 69w 087 0w 988 w 68 78w 55 w 899 70w 06 05w 06 w 685 77 w 57 w 50 7w 5 06w 065 w 0 79w
Çizelge.5 Bazı Q( ) 0 reel kuaratik sayı cisimlerii regülatörleri ( log( ) R ε ). R R R R R 0.8876 7.58 9..70576 98.65979.6958 77.86 5.966 5.69708 99 6.7 5 0.88 78.6650 5 0.65975 6.0788 0 0.00 6.9 79 5.0755 55 6.0596 6.007 0 5.968 7.768659 8.89 57 5.6 7 6.677 0 8.5677 0.886 8 5.09989 58 9.6769 9.765 05 6.885509.99 85.098 59 7.88560 0 5.0976 07 8.9999.976 86 9.989 6 0.06688 5.087 09 8.565.0008 87.050 6 8.668790 0.756 0.6 5.067 89 6.907756 65.558979 5.5670 7.507 7.097 9 8.055 66.9757 7.67 9.576 9 5.8897 9.6605 67 5.870 8 0.057 6.78678.566799 9 5.700 70.5957 9 6.0 7.8876 5.976 95.565 7.57085 8.779 8 5.6595.870767 97 9.8 7 7.9755 6.0875 9 7.0660 6.8 0.998 77.786 7.0698 6.06780 9.67 0 5.08 78 8.075 9 6.65505 6.70797 0.088970 0.0875 79 5.909 5 5.808.5876 8.096 05.06570 8 7.7959 5 7.58869 6 6.76970.8868 06 8.9886 8.9886 5 6.07 7 6.0709.89 07 7.566 8 6.880 55.6758 9 5.75 5.77889 09 5.5655 85.9709 57.667 0 5.87 7.9780 0.770 86 9.6599 58 6.9 6.568 8.088 6.800 87 8.0886 59.869.79990 9.96 7.700 90.55550 6 9.6 5 7.0967.597 7.65595 9 6.7055 6.5697 7.6.566 5 7.7957 9 5.0767 65 9.059 9.8556 8.88509 8.780 9 5.9660 66 7.565 5.600 6 0.7988 9 5.806 95.097 67 8.770 5 9.507 7.560.090 97.78 69 5.09990 6 5.5776 5.605070 5.975 99.0550 7 6.69788 7.0687 5.96570 7 6.067 0.855 7 7.807 9 9.89 55 5.875 9 0.5550 0 8.75 7 7.96 5.8679 57 5.706 0.7675 0.76 77 7.8685 5.5 58 5.889 9.96699 05.760659 78 8.5759 55.6 59 6.9660 5.558 06.68767 8.5705 57.9657 6.668.58995 09.5 8 8.557 58 6.59086 6.869 7 8.5708 0.0606 8 9.7896 59 6.5799 65.7767 8.58 7.0508 85.8975 6.6878 66.86775 9 8.85975.907 86.9 65.9798 67.899 5.6996 7.9608 87 6.5605 66.06 69.77 5.655980 5.7708 90.57 67.690 70 6.8596.76 7 5.85588 9 6.605 70 6.80 7 8.8795 5.79785 8 6.860 9.86656 7 8.8585 7 7.666690 6 5.669869 9.99767 95 5.7 7 9.666
.5 Bölümle İlgili Pari omut ve Programları cotfrac(): sayısıı sürekli kesre açılımıı bulur (Buraa s, rasyoel sayı, reel sayı veya rasyoel foksiyo olabilir). Örek.. cotfrac(sqrt(7)) yazarak 7 i sürekli kesre açılımıı bulabiliriz. core(,{flag0}): sıfıra farklı bir tamsayı, kare-bağımsız bir tamsayı ve f biçimie yazılabiliyorsa souç olarak sayısıı verir. Eğer flag eğeri alıırsa souçta f eğeri e ele eilebilir. Buraa eğer kare-bağımsız eğilse Q ( ) kuaratik sayı cismii aslıa hagi kuaratik sayı cismi Q ( ) yi belirttiğii ele eebiliriz. coreisc(,{flag0}): core(,{flag0}) e farkı, souç olarak iskrimiatı vermesiir. fiboacci():. Fiboacci sayısıı verir. isfuametal(): i bir kuaratik sayı cismii iskrimiatı olu olmaığıı bulur. Eğer, bir kuaratik sayı cismii iskrimiatı ise, eğilse 0 soucuu verir. Örek.5. 75 (mo ) oluğua iskrimiatı 75 ola bir kuaratik sayı cismi yoktur. Buu isfuametal(75) ile görebiliriz. Ama, eğer isfuametal(75*) yazılırsa soucu olacağı yai buu bir iskrimiat olacağı alaşılır. Alıa 75. 500, Q ( 75) reel kuaratik sayı cismii iskrimiatıır. issquarefree(): Verile sayısıı kare-bağımsız olu olmaığıı tesit eer. quaisc(): kare-bağımsız bir tamsayı olmak üzere Q ( ) kuaratik sayı cismii iskrimiatıı verir. Ayı iskrimiatı bulmak içi, f ilere belirteceğimiz sayı cisimleri hakkıa bilgi vere komut olmak üzere, fisc(f) e kullaılabilir. Aslıa karebağımsız eğilse e komut çalışmaktaır. Bu uruma s biçimie ve kare-bağımsız olacak şekile Q ( ) i ek oluğu Q ( ) kuaratik sayı cismii iskrimiatıı verecektir. Örek.6. quaisc(7), quaisc(7*), quaisc(7*5*6*6) komutlarıı hesi Q ( 7) kuaratik sayı cismii iskrimiatı 7 yi souç verecektir. Çükü Q ( 68) ve Q ( 800) ayı sayı cismi Q ( 7) ye karşılık gelmekteir. quage(k): ( ) Q kuaratik sayı cismi e {,ω}, ı tamlık tabaı olacak şekile
Teorem.0 a ele ettiğimiz ω kuaratik sayısıı oluşturur. Bua sora artık cisim içie bu elema kullaılarak çalışılabilir. 57 Örek.7. Q ( 57) e 57 (mo ) oluğua ω 57 ω olmak üzere ω ω işlemii yatırmak içi wquage(quaisc(57)); w^-*w^ yazmak yeterliir. Soucu -899w oluğuu görürüz. Yie N ( ω) yu hesalatmak içi orm(*w) yazmak gerekir. Bua a souç -50 çıkacaktır. *w)/(-7*w) yazılığıa soucu 89/6-5/6*w oluğu yai oluğu görülecektir. 7 ω işlemi içi (7-7ω 89 5 ω 6 6 Aşağıa veriğim rogram bir saal kuaratik sayı cismie ormu, belli bir ozitif tamsayı eğerie küçük ola bütü sayıları bulur. Fakat souçta çıka kuaratik tamsayılara bazıları birbirlerii eşleikleri olabilir. Yatığım bu rogramı çalıştırmak içi bu kolar Pari'ye aktarılıkta sora ormsiir(,m) kouu girilmesi gerekir. Buraa eğeri çalışıla Q ( ) kuaratik sayı cismii m eğeri ise sıır eğerii belirtmekteir. Ayı rogram reel kuaratik sayı cisimlerie çalıştırılığıa bütü souçları vermeyecektir. Çükü ayı orma sahi ola sosuz tae kuaratik tamsayı olabileceği gibi reel kuaratik sayı cisimlerie orm egatif eğer e almaktaır. {ormsiir(,m) local(i,j,w);\ wquage(quaisc()); for(i0,rou(sqrt(abs(m))), for(j0,rou(sqrt(abs(m))), if(orm(ij*w)<m,rit(orm(ij*w)," ",i,"",j," ",w," ",i,"-",j," ",w)))) } quaoly(k): iskrimiatlı kuaratik sayı cismie karşılık gele eğişkeli miimal oliomu verir. Eğer quaoly(k,v) biçimie kullamılırsa oliom v eğişkeli olarak ele eilir.
Örek.8. Q ( 87987) kuaratik sayı cismii miimal oliomuu - -079968 oluğuu quaoly(87987) yazarak görebiliriz. Aşağıaki rogram,..,00 ola kare-bağımsız ler içi Q ( ) kuaratik sayı cisimlerii miimal oliomlarıı vermekteir. for(i,00,if(issquarefree(i),rit(i," ",quaoly(quaisc(i))))) Bu a ayı şeyi saal kuaratik sayı cisimleri içi yaar. for(i,00,if(issquarefree(i),rit(-i," ",quaoly(quaisc(-i))))) quaregulator(k): iskrimiatlı reel kuaratik sayı cismii regülatörüü bulur. Eğer, bir kuaratik sayı cismii isrimiatı eğilse hata verir. Örek.9. Çizelge.5 i oluşturmak içi, for(i,00, if(issquarefree(i),\ write("regulator.oc",i,",",quaregulator(quaisc(i))))) kullaılmıştır. Buraa souç, regulator.oc isimli Microsoft Wor okümaıa yazılacaktır. quauit(k): iskrimiatlı reel kuaratik sayı cismii temel birimii verir. Buraa w yie Teorem.0 a belirttiğimiz kare-bağımsız ye karşılık gele ω yi belirtmekteir. Örek.0. Q ( 005) kuaratik sayı cismii temel birimii belirlemek içi quauit(quaisc(005)) komutuu kullaığımıza ou 97 9ω oluğuu görürüz. 005 (mo ) oluğua 005 97 9ω 97 9 ir. Çizelge. ü oluşturmak içi aşağıaki rogramı yazım. for(i,77,if(issquarefree(i),\ write("temelbirimler.oc",i," ",quauit(quaisc(i))))) Buraa souçlar temelbirimler.oc isimli okümaa kayeilecektir. Daha öce, bazı kuaratik sayı cisimlerie temel birimleri eğerii büyüklüğüe azara şaşırtıcı erecee büyük veya küçük olabileceğii belirtmiştim. Eğer karebağımsız sayısı içi veya e birisi tam kare ise Q ( ) kuaratik sayı cismii