DES İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Doğrusal Denklem Sistemleri. Günlük aşamda aşağıdakine benzer pek çok problemle karşılaşırız. Problem. Manavdan alışveriş eden bir müşteri, kg armut ve kg portakal için YTL, diğer bir müşteri de kg armut ve kg portakal için 9 YTL ödemiştir. Armut ve portakalın satış fiatını belirleiniz. Çözüm için, bir kg armutun YTL den, bir kg portakalın da YTL den satıldığı varsaılırsa, olduğu görülür. 9 Problemimiz, ukarıdaki iki denklemi sağlaan ve saılıarını bulmaktır. Bu tür problemler için çözüm öntemlerini vermeden önce konu ile ilgili bazı matematiksel terimler tanımlaacağız. Tanım. a, b, h olmak üzere a b h denklemine bir doğrusal denklem denir. Bu ifadede ve sembollerine değişkenler, a ve b saılarına katsaılar, h saısına da sağ taraf sabiti denir. Tanım. Verilen, reel saıları için a b h doğrusal denkleminde erine ve erine azılınca denklem sağlanıorsa, başka bir deimle, a b h oluorsa, bu takdirde (, ) reel saı ikilisine bu denklemin bir çözümü denir. Eğer a ve b saılarından en az biri sıfırdan farklı ise, a b h doğrusal denkleminin sonsuz çoklukta çözümü vardır. Örnek. 6 doğrusal denkleminin bazı çözümleri, (,), (, ), (-,), (,6), (,) dır. (,) bu denklemin bir çözümü müdür? Neden? Her t için bu denklemde erine t azılarak hesaplanırsa, - t 6 elde edilir. Dolaısıla, her t için (t, -t 6) bu denklemin bir çözümüdür. Diğer andan, bu denklemin bir çözümünün birinci bileşeni t ise, ikinci bileşeni de -t 6 olacağından bu denklemin çözüm kümesi, Ç{(t,-t 6) : t } olarak ifade edilebilir.
DES.. Uarı. Her iki katsaısı da sıfır, sağ taraf sabiti sıfırdan farklı olan bir doğrusal denklemin hiç çözümü oktur. Örneğin, doğrusal denkleminin hiç çözümü oktur. Eğer hem katsaılar hem de sağ taraf sabiti sıfır, ani ise, her reel saı ikilisi, bu denklemin bir çözümüdür. Geometrik olarak, katsaılarından en az biri sıfırdan farklı olan her doğrusal denklemin grafiğinin düzlemde bir doğru olduğunu anımsaınız. Doğrusal denklemin çözümleri, grafik üzerindeki noktalara karşılık gelen reel saı ikilileridir. Yukarıdaki örnekte, 6 denkleminin çözümleri, aşağıdaki doğrunun noktalarına karşılık gelen reel saı ikilileridir. (,6) (,) Tanım. a, b, c, d, h, k olmak üzere a b h c d k doğrusal denklemler topluluğuna bir doğrusal denklem sistemi denir. Böle bir doğrusal denklem sisteminin bir çözümü denince her iki denklemin de çözümü olan bir (, ) reel saı ikilisi anlaşılır. Başlangıçta ele aldığımız problemin çözümünün 9 doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesinin belirlenmesine denk olduğunu görmüştük. Bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için çeşitli öntemler vardır. Biz aşağıda üç öntem üzerinde duracağız: Grafik Yöntemi, Yerine Koma Yöntemi, Yoketme Yöntemi.
İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Grafik Yöntemi. Her doğrusal denklemin grafiğinin bir doğru olduğunu anımsaınız. Düzlemde iki doğrunun birbirine göre konumu üç biçimde olabilir: Kesişen doğrular Paralel doğrular Çakışık doğrular Bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için o denklem sistemindeki doğrusal denklemlerin grafikleri anı düzlem üzerinde(örneğin, anı grafik kâğıdı üzerinde) çizilir ve elde edilen doğruların ortak noktalarına ani kesişim noktalarına bakılır. a b h denklem sistemine karşılık gelen doğrular c d k paralel doğrular ise, denklem sisteminin hiç çözümü oktur. kesişen doğrular ise, sistemin bir tane (tek) çözümü vardır. çakışık doğrular ise, sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır. Örnek. 9 denklem sistemini grafik öntemi ile çözelim. (,) (,) (,) (,) (9, 9
DES.. Görüldüğü üzere, bu denklem sistemine karşılık gelen doğrular bir noktada kesişmektedir. Dolaısıla, sistemin tek bir çözümü vardır ve çözüm kümesi, Ç {(, )} dir. Örnek. doğrusal denklem sisteminin grafik öntemi ile çözümü. (,) (-,) (,-) (,) - Bu örneğimizde, sisteme karşılık gelen doğrular paraleldir. Dolaısıla, sistemin hiç çözümü oktur; çözüm kümesi, boş küme, Ç dir. Örnek. doğrusal denklem sisteminin grafik öntemi ile çözümü. (,) (,)
İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Bu örneğimizde, sisteme karşılık gelen doğrular çakışıktır. Başka bir deimle sistemdeki denklemlerin çözüm kümeleri anıdır. Denklemlerden biri kullanılarak çözüm kümesi, olarak ifade edilebilir. Ç{(t, (/)t) : t }.. Yerine Koma Yöntemi. Denklemlerden birinden değişkenlerden biri diğeri cinsinden ifade edilir ve diğer denklemde erine konur; elde edilen bir değişkenli denklem çözülerek sonuca gidilir. Örnek. 9 ( ) 9 6 9 9-6 Bu örnekte, ilk denklem den değişkeni cinsinden olarak ifade edilerek bu ifade ik,inci denklem olan 9 da erine konulup birkaç aritmetik işlem sonunda 9 denklemi elde edilmiş ve buradan olduğu görülmüştür. değişkeninin cinsinden ifadesinde erine erleştirilerek olduğu ve bölece, çözüm kümesinin Ç {(, )} olduğu görülmüştür. Aşağıdaki örneklerde de anı olun izlendiğini gözlemleiniz. Örnek. - ( ) - - 7 7 7 - - Sonuç olarak, çözüm kümesi, Ç {(, -)} dir.
DES.. 6 Örnek. - - ( )!!!... Ulaşılan bu ifade, denklem sisteminin hiç çözümü bulunmadığını, ani, Ç olduğunu gösterir. Örnek. - - ( )!!!... Son eşitlikten, sistemin, her değeri için bir çözümü bulunduğu; çözüm kümesinin sonsuz olduğu sonucu çıkar. Şimdi, t alıp ukarıda için ikinci denklemden bulduğumuz ifadeden t - elde ederiz. Dolaısıla, bu örneğimizdeki denklem sisteminin çözüm kümesi, Ç {(t, t - ) : t } dir. Bu ifadede görülen t simgesi parametre olarak adlandırılır. Parametree atanacak her değer sistemin bir özel çözümünü verir. Örneğin, t için (,); t için (,) çözümü elde edilir. Bu bağlamda, çözüm kümesinin herhangi bir elemanını göstern (t, t - ) ikilisine, sistemin genel çözümü denir... Yoketme Yöntemi. Bu öntemde, verilen bir denklem sistemi, çözümü daha kola ancak verilen sistemle anı çözüm kümesine sahip bir sisteme dönüştürülerek adım adım çözüme ulaşılır. Tanım. Çözüm kümeleri anı olan iki denklem sistemine denk sistemler denir.
İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 7 Örnek. ve 9 sistemin de çözüm kümesi Ç {(, )} dir. sistemleri denktir, çünkü her iki YoketmeYöntemi aşağıdaki teoremin ugulanmasıla gerçekleştirilir. Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir denklem sistemine dönüştürür: A. İki denklemin erini değiştirmek. B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir saı ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını başka bir denkleme (taraf tarafa) toplamak. Örnek. 9 (-) (birinci) (ikinci) Birinci denklem (-) ile çarpılıp ikinci denkleme toplanmıştır. (-/) (ikinci) İkinci denklem çarpılmıştır. ile (-) (ikinci) (birinci) İkinci denklem (-) ile çarpılıpbirinci denkleme toplanmıştır. (ikinci) (birinci) İki denklemin erleri değiştirilmiştir. En sondaki denklem sisteminin çözüm kümesinin ne olduğu açıkça görülmeketedir. Bu sistem, başlangıçtaki sisteme denk olduğundan, başlangıçtaki denklem sisteminin çözüm kümesi, Ç {(, )} dir. Örnek. (-) (birinci) (ikinci) Bu işlem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, ikinci denklemin erine, daima doğru olan eşitliği gelmiştir. O halde, bu örneğimizdeki doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi, doğrusal denkleminin çözüm kümesi ile anıdır. Bu denklemde i
DES.. cinsinden olarak ifade edip çözüm kümesini, Ç {(t,-(/)t) : t } olarak elde ederiz. Örnek. 6 (-) (ikinci)(birinci) Bu işlem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, birinci denklemin erine, asla doğru olmaan - eşitliği gelmiştir. Bu nedenle, bu örneğimizdeki denklem sisteminin hiç çözümü otur; çözüm kümesi Ç dir. Örnek. (birinci), (ikinci) (birinci) (ikinci) 9 (/9) (ikinci) - (ikinci) (birinci) (-/) (birinci) (ikinci) (birinci) Son denklem sisteminden, çözüm kümesinin Ç {(, -)} olduğu görülür.
İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 9.. Günlük Yaşamdan Örnekler: Fiat-Talep ve Fiat-Arz Denklemleri. Günlük aşamda karşılaşılan problemlerden önemli bir kısmının matematiksel modeli doğrusal denklem sistemleri olarak oluşturulabilir. Örneğin, tüketicilerin belli bir zaman aralığında belli bir üründen ne kadar satın alacakları o ürünün fiatına bağlı olarak değişir. Genel olarak fiat ükse-dikçe talep azalır; fiat düştükçe talep artar. Benzer şekilde, satıcıların belli bir zaman aralığında belli bir ürünün ne kadarını satışa sunacakları da o ürünün fiatına bağlı olrak değişir. Genel olarak, satıcı, üksek fiatla sattığı üründen daha çok, düşük fiatla sattığı üründen ise daha az satmak ister. Piasa araştırmaları ile tüketicilerin bir ürünü hangi fiattan ne kadar tüketmee eğilimli oldukları; satıcıların da bir ürünü hangi fiattan ne miktarda satmaa eğilimli oldukları tahmin edilebilir. Tüketicilerin bir ürünü hangi fiattan ne kadar tüketmee eğilimli olduklarını gösteren denkleme fiat talep denklemi, satıcıların bir ürünü hangi fiattan ne kadar satmak eğiliminde olduklarını gösteren denkleme de fiat arz denklemi denir. Örnek. Bir beldede kiraz satışlarıla ilgili olarak apılan arştırmalar, piasada tonu p YTL den q ton kiraz talep edileceği düşünüldüğünde, fiat talep denkleminin p -(.)q, onu p YTL den q ton kiraz satılabileceği düşünüldüğünde, fiat arz denkleminin ise p (.7)q.76 olduğu görülüor. Denge fiatını, ani arz ile talebin çakıştığı fiatı, bulunuz. Çözüm. Örneğin, tonluk talep olduğunu varsaalım. Fiat - talep denklemi, fiatın YTL olmasını gerektirir. Bu fiat için fiat arz denklemi de arzın 7.7 ton olmasını gerektirir. Bu durumda talepten çok kiraz arz edilecek ve muhtemelen fazla kiraz çürümee terk edilecektir. Denge fiatı, hem fiat talep denkleminin hem de fiat arz denkleminin sağlandığı fiattır. Başka bir deimle, her iki denklemi de sağlaan p ve q değerleri bulunursa denge fiatı belirlenmiş olur. Her iki denklemi de sağlaan p ve q değerlerinin bulunması, aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesinin bulunması demektir. Çözüm için, istenilen herhangi bir öntem ugulanabilir. Yerine koma öntemini ugulaalım. p (.) q p (.7) q.76 p -(.)q -(.)q (.7)q.76 -(.7)q -. q, p.6 Denge fiatı p.6 YTL dir. Piasaa q ton kiraz sürülmelidir.
DES...6. Matrisler. Şu ana kadar a, b, c, d, h, k olmak üzere a b h c d k biçiminde denklem sistemlerini ele aldık. Burada ve sembollerine değişkenler, a,b, c ve d saılarına katsaılar, h ve k saılarına da sağ taraf sabitleri dediğimizi anımsaalım. Bu denklem sistemi iki değişkenli iki denklemden oluşmaktadır. Değişken saısını artırarak çok değişkenli doğrusal denklemlerden ve denklem saısını da artırarak ikiden çok saıda denlemden oluşan denklem sistemlerinden bahsedilebileceği açıktır. Doğrusal denklem sistemleri ile ilgili olarak belirtmek istediğimiz diğer bir husus da bir doğrusal denklem sisteminin katsaıları ve sağ taraf sabitleri tarafından tamamen belirlendiğidir. Örneğin ukarıdaki doğrusal denklem sistemi, katsaıları ve sağ taraf sabitlerinin oluşturduğu şu saı tablosu tarafından tamamen belirlenir: a c b d h k Bu tabloa söz konusu doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi denir. Dersimizin ileren kısımlarında matis kavramını daha arıntılı olarak ele alacağız ve denklem sistemlerinin çözümünde nasıl etkin bir araç olarak kullanıldığını göreceğiz. Denklem sistemlerinin oketme öntemi ile çözümünde, katsaıların ve sağ taraf sabitlerinin temel rolü onadığını gözlemlemiştik. Matris kavramı bu çözüm sürecinin daha etkin ugulanabilmesini ve bilgisaar kullanımına uarlanabilmesini sağlar. Tanım. m tane satır ve n tane sütun oluşturacak biçimde dizilmiş mn tane saının oluşturduğu tabloa bir m n matris denir. Örnek olarak, A, B 6 tablolarından ilki bir matris A, diğeri de bir matris B i göstermektedir.
İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Tanım. Bir matrisi oluşturan saılardan her birine o matrisin bir girdisi denir. Yukarıda, A matri-sinin 6 adet girdisi satır ve sütun oluşturacak biçimde; B matrisinin adet girdisi de satır ve sütun oluşturacak biçimde düzenlenmiştir. Bir matrisin girdileri ait oldukları satır ve sütuna gönderme apılarak belirtilir. Tanım. Bir matrisin i inci satırında ve j inci sütununda bulunan girdie o matrisin i-j girdisi denir. Örneğin, A matrisinin - girdisi, B matrisinin - girdisi - tir. Bir m n matris A genellikle aşağıdaki gibi gösterilir. a a A a m a a a m K K K K a n a a n mn m n ifadesine A matrisinin büüklüğü, m ve n saılarına da A denir. matrisinin boutları Tanım. Sadece bir satırdan oluşan bir matrise satır matrisi, sadece bir sütundan oluşan bir matrise sütun matrisi denir. Örneğin, aşağıda A bir satır matrisi, B bir sütun matrisidir. A [ ] B Bir matrisin her bir satırı bir satır matrisi, her bir sütunu da bir sütun matrisi olarak düşünülebilir. Örneğin ukarıdaki m n matris olan A nın birinci satırı [ a ] a K a n ikinci satırı [ a a ] a K n dir.
DES.. Aşağıda, bir matrisin satır ve sütunlarının numaralanışı görülmektedir. A 6 birinci satır ikinci satır üçüncü satır dördüncü satır üçüncü sütun ikinci sütun birinci sütun.7. Matrisler üzerinde satır işlemleri. İki değişkenli doğrusal denklem sistemlerini oketme öntemi ile çözerken aşağıdaki teoremi ugulamıştık. Teorem. Aşağıdaki işlemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir denklem sistemine dönüştürür: A. İki denklemin erini değiştirmek. B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir saı ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını başka bir denkleme (taraf tarafa) toplamak. Arıca, her doğrusal denklem sisteminin, ilaveli matrisi ile tamamen belirlendiğini görmüştük. a b h c d k nin ilaveli matrisi a c b d h k dir. Teoremdeki A, B, C işlemlerinin ilaveli matris üzerinde, sırasıla, aşağıdaki satır işlemlerine karşılık geldiği kolaca görülebilir: İki satırın erini değiştirmek. Bir satırı sıfırdan farklı bir saı ile çarpmak. Bir satırın bir sabitle çarpımını başka bir satıra toplamak.
İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Yukarıdaki işlemlere matrisler üzerinde satır işlemleri denir. Matrisler üzerindeki satır işlemleri için aşağıdaki gösterimler kullanılır. İki satırın erini değiştirmek. i j (i-inci satır ile j-inci satırın erlerini değiştirmek) Bir satırı sıfırdan farklı bir saı ile çarpmak. c i i (i-inci satırı sıfırdan farklı c sabiti ile çarpmak) Bir satırın bir sabitle çarpımını başka bir satıra toplamak. c i j j (i-inci satırı c sabiti ile çarpıp j-inci satıra toplamak) Bir matrisin bir satırını bir sabitle çarpmak, o satırdaki tüm girdileri o sabitle çarpmak demektir. Yine bir satırı başka bir satıra toplamak, o satırdaki her girdii diğer satırın karşılık gelen girdisine toplamak demektir. Örnek. Örnek. Burada, ikinci satırın her girdisi ile çarpılmıştır. Örnek. Bu örnekte, birinci satırın her girdisi ile çarpılıp elde edilen saı üçüncü satırın karşılık gelen girdisine toplanmıştır. Yoketme öntemi ile denklem sistemlerini çözerken, denklemler üzerinde A, B, C işlemlerini ugulaarak başlangıçtaki denklem sistemine denk ve çözümü daha kola olan sistemler elde ederek sonuca gittiğimizi anımsaınız. Denklemler üzerinde ugulanan işlemler sistemin ilaveli matrisi üzerinde satır işlemlerine karşılık gelmektedir ve ilaveli matris üzerinde bu işlemleri ugulamak ve izlemek, denklemler üzerinde işlemler ugulamaktan daha elverişlidir. İlaveli matris üzerinde ugulanan her satır işlemi bize başlangıçtaki denklem sistemine denk olan bir sistemin ilaveli matrisini verir. Bu nedenle, A A 6 A
DES.. çözümün adımlarını ilaveli matris üzerinde gerçekleştirmei tercih ederiz. Daha önceki bir örneğimizi eniden ele alarak bunu gerçekleştirelim: Şimdi 9 sisteminin ilaveli matrisi üzerinde aptığımız işlemlere ve elde ettiğimiz son matrise bakalım: Son ilaveli matrise karşılık gelen ve başlangıçtaki denklem sistemine denk olan denklem sistemi o kadar basittir ki, çözümü hemen sölemek mümkündür. Dolaısıla, sistemin çözüm kümesi Ç {(, )} dir. Bu basit örnekte olduğu gibi, her hangi bir denklem sistemini çözmek için, sistemin ilaveli matrisine ugun satır işlemleri ugulanarak öle basit bir matris elde edilir ki, o basit matrise karşılık gelen denklem sisteminin çözüm kümesi hemen belirlenebilir. Burada basit matris ile ne sölenmek istendiği sonraki dersimizin konusu olacaktır. 9 (-) (birinci) (ikinci) (-/) (ikinci) (-) (ikinci) (birinci) (birinci) (ikinci) 9 9
İki Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler Problemler. Aşağıda, ilk iki denklemi grafik öntemi ile, sonraki ikişini erine koma ve diğer ikisini de oketme öntemi ile çözünüz. a) b) c) ç) 6 d) u v 7u v 6 e) 7. Aşağıdaki denklem sistemlerini erine koma vea ok etme öntemi ile çözünüz. a) 9 b) 6 9 c)...7 ç)...7...79 d) 7 6 6 e)... 6,, ve denklemleri ile verilen doğruları anı koordinat düzleminde çiziniz ve bu doğrulardan iki vea daha fazlasının kesiştiği noktaların koordinatlarını bulunuz.. Bir tatil beldesinde satışa sunulan üzeri azılı T-şörtler için, tanesi p YKr tan q tane T- şörtün satışa sunulması durumunda, haftalık fiat-arz denklemi p 7 q ve fiat-talep denklemi p 7 q 6 olarak verilior. Denge fiatını ve denge satış miktarını bulunuz.. adet dinleici kapasiteli konser salonuna, fiatları YTL ve YTL olan biletler satılmaktadır. Tüm biletler satılacağına göre, bilet satışından a) YTL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? b) YTL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? c) YTL gelir elde etmek için her biletten kaç adet satılması gerekir? ç) YTL gelir elde etmek mümkün müdür? YTL gelir elde etmek mümkün müdür?
DES.. 6 6. Beslenme rejimi ugulaan bir kişi, günlük dietindeki kalsium ve protein miktarını artırmak için beaz penir ve oğurt kullanıor. Kullandığı ölçeğe göre, bir ölçek beaz penirde 6 gram kalsium ve miligram protein; bir ölçek oğurtta da gram kalsium ve miligram protein bulunmaktadır. Bu dietten günde 6 gram kalsium ve 77 miligram protein kazanabilmesi için bu kişi günde kaç ölçek beaz penir ve kaç ölçek oğurt tüketmelidir? 7. Bir firma, Selan dan ithal ettiği ça ile ize çaından harman aparak Buruk A ve Buruk B markalarıla satışa sunmak istior. Bir kg. Buruk A, gr. Selan ve 7 gr. ize çaı karıştırılarak elde edilior. Bir kg. Buruk B, 6 gr. Selan ve gr. ize çaı karıştırılarak elde edilior. Firmanın elinde, her birinin ağırlığı 6 kg. olan çuval Selan ve çuval ize çaı bulunmaktadır. Firmanın elindeki çaın tamamını piasaa sürebilmesi için kaç kg. Buruk A ve kaç kg. Buruk B marka ça üretmesi gerekir?. Türkie genelinde dağıtım apan bir kargo şirketi, irmi dört saat içinde adresine teslim etmek üzere paket kabul etmekte; her paketin grama kadar olan ( gram dahil) ağırlığı için sabit bir ücret alıor, ve ilk gramdan sonraki her gram için de başka bir sabit ücret uguluor.. kg. lık bir paket gönderen bir müşteri YTL,. kg. lık paket gönderen bir müşteri de 9 YTL ödediğine göre, ilk gram için ve ondan sonraki her gram için ugulanan ücreti belirleiniz. 9. İkinci alıştırmadaki her denklem sisteminin ilaveli matrisini azınız ve ilaveli matris üzerinde satır işlemleri ugulaarak çözüm kümesini belirlemee çalışınız.. A, B 9 ve C matrisleri verilior. 6 a) A nın birinci satırındaki girdileri sırasıla azınız. b) A nın ikinci sütunundaki girdileri sırasıla azınız. c) A nın - girdis kaçtır? - girdisi kaçtır? - girdisi kaçtır? ç) A a satır işlemi ugulanınca elde edilen matrisi bulunuz. d) A a satır işlemi ugulanınca elde edilen matrisi bulunuz. e) A a satır işlemi ugulanınca elde edilen matrisi bulunuz. f) A a hangi satır işlemleri ugulanırsa B matrisi elde edilir? g) A a bazı satır işlemleri ugulaarak C matrisi elde edilebilir mi?. İlaveli matrisi aşağıda verilmiş olan denklem sistemlerini azınız ve çözüm kümelerini belirleiniz. a) b) c)