Ölçme ilgisi Ders Notlr KOELĐ ÜNĐVERĐTEĐ Yyın No: 48 ÖNÖZ Jeodezi ve Fotogrmetri Mühendisliği uzmnlık lnının nbilim Dllrındn birisi oln Ölçme Tekniği; temel ölçü letleri, bu letler ile gerçekleştirilen ölçme yöntemlerini ve bu letler ile elde edilen ölçülerin değerlendirilmesi konulrını kpsmktdır. Ölçme ilgisi yd Topogrfy dersleri ltınd Ölçme Tekniği n ilim dlının konulrı tmmı yd bir bölümü işlenmektedir. Küçük lnlrı kpsyn çlışmlrd düzlem geometri, bir kenti kpsyn çlışmlrd küresel geometri, bir bölgeyi (birkç kenti) yd bir ülkeyi kpsyn çlışmlrd elipsoit geometrisinden yrrlnılır. 006 yılındn beri sım Kocbıyık Meslek Yüksekokulu Đnşt ölümü, Đnşt Teknolojileri nde Ölçme ilgisi ve güncellenmiş dıyl Topogrfy dersinden bşrılı oln öğrencilerin, temel ölçme ve değerlendirme tekniklerini kullnbilmesi ön görülmüştür. u bğlmd, öğrencilerin; ÖLÇME ĐLGĐĐ Ders Notlrı Temel trigonometrik bğıntılrı ve temel üçgen çözümlerini kullnbilmesi, Temel ödevleri kullnbilmesi, Uygulmd kullnıln koordint ve yükseklik bilgilerini kvrmsı, Yty konum belirleme yöntemlerini (prizmtik lım, kutupsl lım) kullnbilmesi, Düşey konum belirleme yöntemlerini (geometrik, trigonometrik, brometrik) kullnbilmesi ln ve hcim hesplrı ypbilmesi, mçlnmktdır. Ders notlrının gözden geçirilmesi ve sım KOIYIK Meslek Yüksekokulu nd ders notu olrk bstırılmsı konulrınd beni cesretlendiren ve yrdımlrını esirgemeyen Đnşt Teknolojileri ölüm şknı Yrd.Doç Dr. Önder EKĐNĐ ye sonsuz teşekkürlerimi sunrım. Öğrencilerimize ve meslektşlrımız yrrlı olmsı en büyük dileğimdir. Yrd. Doç.Dr. Orhn KURT Orhn KURT 0 KOELĐ ÜNĐVERĐTEĐ Mühendislik Fkültesi Hrit Mühendisliği ölümü Öğretim Üyesi 0 Koceli / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Đçindekiler 0. Giriş ÖNÖZ... Đçindekiler...3 0. Giriş...4. Noktlrın Đşretlenmesi...0.. Geçici Đşretler...0.. Klıcı Đşretler.... Konum elirlemede Kullnıln Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri..... Uzunluk Kvrmı ve Uzunluklrın Ölçülmesi:..... çı Kvrmı ve çılrın Ölçülmesi:...3.3. Yükseklik Kvrmı ve Yüksekliklerin Ölçülmesi...8 3. Yty Konum ilgilerinin Elde Edilmesi...9 3.. Yty Konum ilgileri rsındki dönüşümler:...9 3.. Yn Nokt (Prizmtik lım) Hesbı :...9 3.. Kutupsl lım... 4. Düşey Konum ilgilerinin Elde Edilmesi...4 4.. Kullnıln let-ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri...4 4.. Geometrik Nivelmn:...4 4.3. Trigonometrik Nivelmn:...6 4.4. rometrik Yükseklik Ölçüsü:...7 4.5. Yüzey Nivelmnı...8 5. ln Hesplrı...30 5. Düzgün Geometrik Şekillerin lnlrı...30 5. Çokgenlerde ln Hesplrı:...3 6. Hcim Hesplrı...35 6.. Plnkote (Kotlu Pln) Çıkrılmsı...36 7. Üç oyutlu Konum ilgilerinin Elde Edilmesi...36 7.. Kullnıln let-ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri...36 8. Kynklr...37 Ek. Trigonometri...38 Ek. Temel ödevler...39 Ek 3. rzi Uygulmsı Örnekleri...40 Ek 4. Hftlık Ödevler...57 Konum belirleme üç n bölüme yrılır.. Yty konum belirleme: u yöntemde; noktlr rsı yty bğıl ilişkiler yty çı ve yty kenr ölçülerinden elde edilir. Yeni noktlrın mutlk konumlrı, yty referns sisteminde mutlk konumlrı bilinen dynk noktlrı ile sğlnır.. Düşey konum belirleme : u yöntemde; noktlr rsı düşey bğıl ilişkiler yükseklik frkı, düşey çı - yty kenr y d düşey çı - eğik kenr ölçülerinden elde edilir. Yeni noktlrın yükseklikleri, yükseklik referns sisteminde mutlk yükseklikleri bilinen dynk noktlrı ile sğlnır. 3. Üç boyutlu konum belirleme: Üç boyutlu konum belirmede noktlr rsı bğıl ilişkiler eğik uzunluklr, düşey çılr ve yty çılr elde edilir. u işlem iki frklı şekilde gerçekleştirilebilir. irincisi üç boyutlu konum bilgilerinin yrı yrı düşünülerek elde edildiği yöntemlerdir (yty+düşey). Đkincisi ise üç boyutlu bğıl konumlrın ynı nd belirlenebileceği bir referns sistemin ile sğlnır. ğıl ilişkiler belirlendikten sonr noktlrın konumlrı referns sistemindeki konumlrı bilinen dynk noktlrı ile sğlnır. Dönel elipsoit: üyük yrı ekseni ve küçük yrı çpı b yrıçplı bir elipsin eksenleri biri etrfınd döndürülmesi ile elde edilen Geoit: Krlrın ltınd devm ettiği düşünülen durgun deniz yüzeyinin oluşturduğu yüzeye verilen ddır. u yüzeyin biçimini, büyük çoğunlukl Dünyyı oluşturn frklı yoğunluktki kitlerin dğılımı ve dünynın kendi ekseni etrfınd dönmesi oluşmktdır. Pürüzsüz bir pttese benzeyen Geoit yklşık olrk /300 ornınd bsıklığı oln bir dönel elipsoide benzemektedir. Dtum: Kelime nlmı bşlngıç yeri y d referns noktsı nlmın gelen dtum; jeodezi kullnıln ölçme sistemlerine göre iki n bölüme yrılır. Yty dtum düşey dtum. Düşey dtum: Düşey dtum Geoittir. Mühendislik projelerindeki yükseklikler bu dtum göre belirlenir. Yty dtum: Düşey dtum oln Geoit üzerinde yty konum belirlemek çok güçtür. unun yerine Geoidi iyi temsil eden, mtemtik yüzeyi koly tnımlnn ve üzerinde mtemtik modellemelerin dh koly kurulduğu bir dönel elipsoit seçilir. Yty dtum belirleme, bu dönel elipsoidin yere uygun bir şekilde yerleştirilmesi işlemidir (Şekil-) Tblo. Dünyd yygın olrk kullnıln Dönel Elipsoit prmetreleri (GP:Globl Positioning ystem) Elipsoit (m) b (m) çıklm Hyford (ED50) 6378388 63569.9463 Europe Dtum 950, Uluslr rsı elipsoit GR80 637837 635675.344 Geodedic Referns ystem 980, D WG84 637837 635675.345 World Geodedic ystem 884, GP essel 6377397.5508 6356078.9690 lmnyd Kullnılır Krssowsky 637845 6356863.0877 Doğu loku Ülkelerinde Kulnılır UTM (Universl Trnsversl Merktor) Projeksiyonu: Uygulmd kullnıln yty koordintlr bu projeksiyon göre hesplnırlr. UTM projeksiyonı benzerlik korum özelliği oln ytık konumlu silindirik projeksiyon türüdür. Dönel elipsoit (yklşık Geoit yd deniz yüzeyi) üzerine indirgenen ölçüler yd mutlk konum bilgileri, bir düzlem yüzey oln projeksiyon yüzeyine ktrılırlr. X,Y,Z Krtezyen koordintlr ϕ, λ, h Jeodezik (elipsoidl koordintlr) koordintlr x, y UTM (Universl Trnsversl Merctor) Projeksiyon koordintlrı H Ortometrik yükseklik (Geoit ten oln yükseklik) h Elipsoit yüksekliği (Referns Elipsoidinden oln yükseklik) N Geoit yükseklikleri (ondilsyonlrı, dlglnmlrı) 3 / 60 4 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Not : Uygulmd (x,y,h) konum bilgileri kullnılır. X Greenwich Geoit H = h + N (X,Y,Z) (ϕ,λ,h) (x,y,h) (x,y,h) (ϕ,λ,h) (X,Y,Z) Şekil. Krtezyen koordintlr (X, Y, Z) ile elipsoidl koordintlr (ϕ, λ, h) ve UTM projeksiyon koordintlrı (x, y) rsındki ilişki. (*) ; * ın projeksiyonu nlmınd kullnılmıştır. Z ekseni: Yerin dönme eksenine prlel XY düzlemi: Greenwich meridyen düzlemine prlel Y ekseni: ğ el koordint sistemini tmmlyck şekilde XY düzlemine dik : Ekvtordki yrıçp b: yerin dönme eksenindeki yrı çp. ) (X,Y,Z) (ϕ,λ,h) Dönüşüm Yinelemeli y d doğrudn olmk üzere iki çözüm yöntemi kullnılır. şğıd doğrudn çözüm bğıntılrı verilmiştir. Yinelemeli çözüm için (Hofmn-Wellenhof vd., 997; eeber, 993; Leick, 999) kynklrındn yrrlnılbilir. e= b e = b N = cos ϕ+ b sin ϕ = ( e) esin ϕ 3 Z+ e b sin t Y ϕ= rctn 3 λ= rctn cos t X b) (ϕ,λ,h) (X,Y,Z) Dönüşüm N = = cos ϕ+ b sin ϕ b Z λ i λ 0 Y i h i ϕ i ( e) esin N i Ekvtor ϕ b M= ( e) 3/ p = X + Y esin ϕ p h = cosϕ b X = (N+ h) cosϕ cosλ Y = (N+ h) cosϕ sinλ Z= ( N+ h) sinϕ P i H i Z i X i Y x (Kuzey) x i (λ 0 ) y i //x γ (λ i ) Z t = rctn p b (P i ) (ϕ i ) Ekvtor cos ϕ+ b sin ϕ y (Doğu) c) (ϕ,λ) (x,y) Dönüşüm L = λ-λ 0 t = tnϕ η = ( b )(cosϕ/b) N = /b/(+η) / n = ( b)/(+b) b = (+b)( / + n /8 + n 4 /8 ) b = 3n / + 9n 3 /6 3n 5 /3 b 3 = 5n / 6 5n 4 / 3 b 4 = 35n 3 / 48 + 05n 5 / 56 b 5 = 35n 4 / 5 x = b ( ϕ + b sin(ϕ) + b 3 sin(4ϕ) + b 4 sin(6ϕ) + b 5 sin(8ϕ) ) + (L cosϕ) t N / + (L cosϕ) 4 ( 5 t + 9η + 4η ) / 4 + (L cosϕ) 6 ( 6 58t + t 4 + 70η - 330t η ) / 70 + (L cosϕ) 8 ( 385 3t + 543t 4 t 6 ) / 4030 +... y = N L cosϕ + (L cosϕ) 3 ( t + η ) / 6 + (L cosϕ) 5 ( 5 8t + t 4 + 4η 58t η ) / 0 + (L cosϕ) 7 ( 6 479t + 79t 4 t 6 ) / 5040 +... d) (x,y) (ϕ,λ) Dönüşüm n = ( b) / ( + b) b = (+b)( / + n /8 + n 4 /8 ) b = 3/ η 7/3 η 3 + 69/5 η 5 b 3 = /6 η 55/3 η 4 b 4 = 5/96 n 3 + 47/8 η 5 b 5 = 097/5 η 4 ϕ 0 = x/b + b sin(x/b ) + b 3 sin(4x/b ) + b 4 sin(6x/b ) + b 5 sin(8x/b ) t = tnϕ 0 η = ( b )(cosϕ 0 /b) N = /b/(+η) / ϕ = ϕ 0 + t(y/n) ( η )/ + t(y/n) 4 ( 5 + 3t + 6η 6t η 3η 9t η )/4 + t(y/n) 6 ( 6 90t - 45t 4 07η + 6t η + 45t 4 η )/70 + t(y/n) 8 ( 385 + 3633t + 4095t 4 + 575t 6 )/4030 +... λ = λ 0 + y / (N cosϕ 0 ) + (y/n) 3 ( t η)/(6cosϕ 0 ) + (y/n) 5 ( 5 + 8t + 4t 4 + 6η + 8t η )/(0cosϕ 0 ) + (y/n) 7 ( 6 66t 30t 4 70t 6 )/(5040cosϕ 0 ) +... 5 / 60 6 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Ülkemizde kullnıln dtum türleri. (http://www.hgk.mil.tr/urunler/jeodezikurunler.sp) ĐNĐ ŞEKLĐ DEDĐ ÖZELLĐKLERĐ Türkiye Ulusl Temel Nirengi ğı Noktlrı Türkiye Ulusl Düşey Kontrol (TUDK) ğı Noktlrı (Nivelmn ) Türkiye Ulusl Deniz eviyesi Đzleme istemi (TUDE) Türkiye Ulusl Temel GP ğı (TUTG) Noktlrı Türkiye Ulusl bit GP Đstsyonlrı ğı (TUG) Türkiye Temel Grvite ğı (TTG) Noktlrı 4495 545 Tmmlnn Plnlnn 594 5 Fl 9 Plnlnn 6658 904 det I inci Derece,33 det II nci Derece, 95000 3 üncü Derece ve 350000 4 üncü Derece nokt ihtiv etmektedir. 307 det I ve I inci Derece nirengi noktsınd stronomi ölçüsü ypılmıştır. 997 det I inci Derece ve 654 det II nci Derece nokt ihtiv etmektedir. Đskenderun,Erdemli,ntly II, odrum II, Mentes/Izmir, Erdek, Mrmr Ereglisi, Đgned, msr, inop nd Trbzon II siteleri tmmlndı. Türkiye geneline 5-70 km rlıklr ile homojen olrk dğılmış, her noktsınd 3 boyutlu konum ve hızlrı belirli oln 594 noktdn oluşn ğdır. Türkiye genelinde dğılmış noktlrd 365 gün 4 st kesintisiz olrk jeodezik ve jeodinmik mçlr doğrultusund uydu bilgileri toplyn sbit GP istsyonlrındn oluşn bir ğdır.. 55 det I inci Derece, 3 det mutlk grvite, 3940 det II nci Derece ve 650 det sıklştırm noktsı ihtiv etmektedir TNIMLR (http://www.hgk.mil.tr/urunler/jeodezikurunler.sp) Jeodezi : Yeryuvrının şekil, boyut ve grvite lnı ile zmn bğlı değişimlerinin üç boyutlu bir koordint sisteminde tnımlnmsını mçlyn bir bilim dlıdır. Jeoid : Durgun okynus yüzeyi ile özdeş oln ve krlrın ltınd d devm eden eşpotnsiyelli bir yüzeydir. Jeoid Yüksekliği : ir noktdn geçen çekül eğrisinin jeoidi kestiği nokt ile kullnıln elipsoid rsındki yükseklik frkıdır. Diğer bir ifde ile elipsoid yüksekliği ile ortometrik yükseklik rsındki frktır. Grvite : Yeryüzündeki bir cismi etkileyen; yerçekimi kuvveti ve yerin dönmesinden kynklnn merkezkç kuvvetlerinin bileşkesidir. Ortometrik Yükseklik : ir noktnın çekül eğrisi boyunc jeoide oln uzklığın o noktnın ortometrik yüksekliği denir. Nivelmn : Noktlr rsındki yükseklik frkının ölçme yöntemidir. GP : D vunm Diresi (DoD) trfındn işletilen; dünynın her hngi bir yerinde konum, hız ve zmn belirleyen, 4 (+3 yedek) uydudn oluşn bir rdyo nvigsyon uydu sistemidir. Jeodezik GP uygulmsı; GP verilerinden, fz ve kod bilgileri kullnılrk en z iki jeodezik lıcı ile toplnn verilerden nokt koordintı ve koordint frklrı belirlenir. DGP (Difernsiyel GP) : GP ölçülerine çeşitli etkenlerden kynklnn htlrı gidermek için Difernsiyel GP düzeltmesi uygulnrk ypıln konumlm türüdür. Ülke Temel Jeodezik ğlrı : Ülkemizin bütününü kpsyn, yeryüzüne uygun rlılrl işretlenen, konumlrı ve grvite değeri bilinen noktlrın oluşturduğu ğlrdır. Ülkemizde TUTG, TUG, TUDK, TTG, TUDE, Mnyetik ğ ve TUD-54 mevcut olup bunlr şğıd çıklnmktdır. TUTG (Türkiye Ulusl Temel GP ğı) : WG-84 koordint sisteminde, 998.0 zmn noktsınd, her noktsınd enlem, boylm, elipsoid yüksekliği, ortometrik yükseklik ve jeoid yüksekliği bilinen,5-70 km. rlıklı 594 noktdn oluşn ğdır. TUG (Türkiye Ulusl bit GP Đststsyonlrı ğı) : Jeodezik ve jeodinmik mçlrl kullnmk ve Difernsiyel GP (DGP) hizmeti sunmk için, sürekli GP verisi toplyn, Türkiye geneline dğılmış sbit GP noktlrındn oluşn bir ğdır. TUDK (Türkiye Ulusl Düşey Kontrol (Nivelmn) ğı) : Ülke boyutund kryollrı boyunc - km. rlıklrl işretlenen ve ortometrik yükseklikleri bilinen noktlrın oluşturduğu ğdır. TTG (Türkiye Temel Grvite ğı) : Jeodezik, jeofizik ve jeodinmik mçlı çlışmlrd kullnıln, yüksek doğrulukl grvite değeri bilinen, ülke genelinde 6658 noktdn oluşn ğdır. TUDE (Türkiye Ulusl Deniz eviyesi Đzleme istemi) : Düşey Kontrol ğının bşlngıcını (Düşey Dtum) belirlemek mcıyl işletilen veri merkezi ve mreogrf istsyonundn oluşn ğdır. Mnyetik ğı : Ülke boyutund 50-00 km. rlıklı işretlenen ve mnyetik ln prmetreleri ile zmnl değişiminin bilindiği noktlrdn oluşn ğdır. Yty Kontrol (Nirengi) ğı (Türkiye Ulusl Dtumu-954 (TUD-54) ) : Ülke bütününü kpsyn, yeryüzüne 5-40 km. rlıklrl işretlenen, çı ve kenr ölçüleri ile enlem ve boylmlrı hesplnn noktlrın oluşturduğu ğdır. Türkiye Ulusl Mnyetik ğı Noktlrı 085 85 det seküler nokt ve 000 det sıklştırm noktsı ihtiv etmektedir. 7 / 60 8 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr. Noktlrın Đşretlenmesi Çlışm bölgesinde lımı yd pliksyonu ypılck oln bölgede rzi çlışmlrı sırsınd kullnılck oln nokt işretleme türleridir. Geçici ve klıcı olmk üzere iki türlü işretleme ypılır (Şekil-4,5). Đstikşf: lımın en uygun şekilde gerçekleştirilebilmesi, sbit noktlrın lımı ypılck noktlrı ve birbirlerini iyi görebilmeleri için rzide dolşılrk önceden sbit nokt yerlerinin belirlenmesi işlemine denir. özgelimi; Nirengi Đstikşfı, Poligon Đstikşfı yd Rs Đstikşfı. Knv: bit noktlrın birbirlerine göre konumlrını ve ölçme plnı gösteren krokilere denir. özgelimi; Nirengi Knvsı, Poligon Knvsı yd Rs Knvsı (Şekil-3). N N N P. P.5 P.6 P. P. Rs. P. P.0 P.7 N3 N0 N N P.4 P. P.3 P.9 P.4 P.8 P.3 P. Rs. Şekil 3. Nirengi, Poligon ve Rs(Referns eviyesi) Knvlrı... Geçici Đşretler Jlon : rzide noktlrın geçici olrk işretlenmesinde, doğrultuy girme, dik inme ve dik çıkm işlemlerinde kullnıln, vey 3 m uzunluğund, 3-4cm çpınd bir ucund demir çrık bulunn, fırınlnmış ğç yd demir borudn ypılmış bsit bir lettir (Şekil-4). Jlon ehpsı : Jlonun geçebileceği demir bir çembere bğlnmış üç yktn oluşn 70-80cm boyund bir düzenektir (Şekil-4b). () (b) (c) (d) Şekil-. 3 o Dilimlik UTM Prokseyonund pft bölümlemesi ve isimlendirmesi. (Hzırlyn: Erdinç Örsn ÜNL). Şekil 4. Jlon, jlon sehpsı, çekül ve fiş. 9 / 60 0 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Çekül (Şkul) : ir ipe sılmış lt ucu sivri bir ğırlıktn ibrettir. Çekül srkıtıldığınd ipin doğrultusunun ğırlığın sivri ucundn geçmesi gerekir (Şekil-4c). Fiş : ir ucu hlk şeklinde kıvrılmış ipe sılmış lt ucu sivri bir ğırlıktn ibrettir (Şekil-4d)... Klıcı Đşretler Demir Çivi yd oru : 0-0cm uzunluğund -3cm klınlığınd dire kesitli demir çiviler yd borulrdır. Genellikle meskun lnlrd yd sert zeminlerde (sflt, beton,..vb.) kullnıln zemin tesisleridir. kör poligonlrın işretlenmesinde ve küçük bölgesel çlışmlrd kullnılır (Şekil-5,5b). Tht kzık : 0-5cm uzunluğund 3-5cm klınlığınd kre kesitli hşp kzık. Kzığın toprk üstünde kln bölümünde krenin köşegenlerinin kesişim ine çivi çkılrk kullnıln zemin tesisidir. Genellikle kör poligonlrın işretlenmesinde ve küçük bölgesel çlışmlrd kullnılır (Şekil-5c). eton Zemin : 30-70cm uzunluğund dr kısmı 0-30cm ve geniş kısmı 30-40cm rsınd değişen büyük çoğunlu toprk ltınd kln beton zemin tesisleridir. Genellikle meskun olmyn lnlrd yd yumuşk zeminlerde kullnıln zemin tesisleridir. Nirengi, Rs ve poligon noktlrının işretlenmesinde kullnılırlr (Şekil-5d). Pilye : 0-40cm'si zemin dışınd kln, genişliği 30-40cm rsınd değişen ve yerinde inş edilen beton zemin tesisleridir. Genellikle meskun olmyn lnlrd yd yumuşk zeminlerde kullnıln zemin tesisleridir. Nirengi noktlrının işretlenmesinde kullnılırlr (Şekil-5e). Rs Duvr Tesisi: Genellikle resmi bin, cmi duvrı yd okul duvrlrın tkıln tesislerdir. Yklşık 5-7cm klınlığınd 0-5cm uzunluğunddır. Rs noktlrı işretlenmesinde kullnılırlr (Şekil-5f).. Konum elirlemede Kullnıln Ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri.. Uzunluk Kvrmı ve Uzunluklrın Ölçülmesi: ÇŞM (Çelik Şerit Metre) EUÖ (Elektronik Uzunluk Ölçer) Optik (bz ltlrı ve yty çı yrdımıyl) ) ÇŞM: Uygun bir kuvvetle (genellikle ~0kg) gerdirilen ÇŞM yty düzleme prlel hle getirilerek uzunluk okunmsı ile elde edilir. Uzun mesfelerde ÇŞM doğrultuy sokulduktn sonr, bsmklı ölçme yöntemine göre prç prç uzunluklrın toplmı sonucu elde edilir (Şekil 6). Şekil 6. Çelik Şerit Metre ile yty uzunlulrın elde edilmesi. b) Optik:Genellikle bir bz ltsının (m) iki ucu gerçekleştirilen yty doğrultu gözlemleri elde edilir (Şekil 7). z ltsı yty konumlu yd düşey konumlu (klsik tkeometrik lımd) olbilir. = r - r tg = b c = + b +c b den = cotg olur. b=m lınırs = cotg m olur. b b b r r Şekil 7. Optik uzunluk ölçüsü. b () (b) (c) (d) (e) (f) Şekil 5. Demir çivi, demir boru, ğç kzık ve beton zemin, pilye, Rs duvr tesisi. {Poligon: eton, boru, demir çivi ve ğç kzık, Nireng : Pilye, zemin tesisi, Rs(Referns eviyesi): Zemin tesisi, duvr çivisi } / 60 c) EUÖ: Elektronik tkeometre ile yty doğrultulr (r), eğik uzunluklr (E) ve düşey çılr (Z) doğrudn ölçülebilen büyüklüklerdir. Yty uzunluklr (), eğik uzunluklr (e) ve bu eğik uzunluklr it düşey çı (Z) ölçüleri ile elde edilirler (Şekil 8). E cosz Z = E sinz E Şekil 8. Elektronik Tekeometre ile yty ve düşey uzunlulrın elde edilmesi. Z = E sinz E E cosz / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr.. çı Kvrmı ve çılrın Ölçülmesi: b) Teodolitlerin genel ypısı ve eksenleri ) çı kvrmı Yty doğrultu ve düşey çı ölçülerinde kullnıln letlere teodolit denir. Çekül eğrisi:yerçekimi ve merkez kç kuvvetinin etkisiyle oluşn, bulunduğu noktd Geoide dik oln ve uzntısı ğırlık merkezinden geçen çekül doğrultusudur. Çekül eğrisi, ölçme sistemlerimiz ile fiziksel yeryüzü rsınd ilişki kurbildiğimiz tek olgudur (Şekil-9). şucu (Zenit) : Çekül eğrisini dış uzy uznn doğrultusu (Şekil-9). yk ucu (Ndir): Çekül eğrisinin yerin merkezine uznn doğrultusu (Şekil-9). DÜŞEY ÇI DĐREĐ FENKLJ M sl eksen Y Yöneltme y d Nişn (Kolimsyon) ekseni Yty çı ( i =r i -r 0 ): let kuruln noktnın yty düzleminde ölçülen çılrdır. Yty çı doğrudn ölçülmez. Đki doğrultunun frkı ile st ibresi yönünde elde edilen çıdır (Şekil-9). Düşey çı (ş ucu çısı) ( Z ): Duruln ve bkıln noktyı içinde bulundurn ve yty düzleme dik düşey düzlemde bulunn düşey çı, bşucu noktsı ile dürbünün yöneltme ekseni rsındki çıdır. Doğrudn ölçülebilen bir çıdır (Şekil-9). P DÜRÜN Y ĐLĐNDĐRĐK DÜZEÇ D Yty (muylu) ekseni M Düzeç ekseni D Yty Eksen Düzlemi Z Z γ δ r Üç yklr YTY ÇI DĐREĐ Şekil 0. Teodolitin temel ypısı ve n eksenleri. r Şekil 9. Doğrudn ölçülebilen ve doğrudn ölçülemeyen çı türleri ( :Çekül doğrultusu). Eğim çısı ( δ=π/ Z ): Düşey çı ile ynı düzlemde bulunn ve π/ Z bğıntısı ile hesplybileceğimiz eğim çısı, düşey düzlemde yer lır. Doğrudn ölçülebilir yd düşey çılrdn elde edilebilir(şekil-9). Uzy çı ( γ ): Üç boyutlu uzydki iki doğrultu rsındki çıdır. Doğrudn ölçülemeyen uzy çı bileşenleri oln yty ve düşey çı rcılığı ile hesplnbilir (Şekil-9). Doğrudn Ölçülebilen büyüklükler Z i (i=,) r i (i=,) δ i (i=,) : Düşey çı: Teodolitler ile ölçülürler : Yty doğrultu: Teodolitler ile ölçülürler : Eğim çılrı (i=,): Klizimetre ile ölçülürler Đlk ölçülerin doğrusl fonksiyonlrı ile türetilebilen büyüklükler = r r : Yty çı: iki yty doğrultu frkı δ i = π/ Z i (i=,) : Eğim çılrı: (i=,) Klizimetre ile ölçülürler γ : Uzy çı: Üç boyutlu uzyd iki doğrultunu kesişimi ile elde edilen çı cosγ = cosz cosz + sinz sinz cos Küresel trigonometride kenr kosinüs teoreminden δ P ir Teodolitin doğru olrk çlışbilmesi için gerekli oln eksen koşullrı ve eksen htlrının giderilmesi: ) DD : Düzeç eksen htsı: Düzeç ekseni sl eksene dik olmlı: Ölçe yöntem ile giderilemez, let kullnılmdn önce bu ht giderilmelidir. u htyı gidermek için; letin silindirik düzeci düzeçlenir ve let sl eksen etrfınd 00 g döndürülür. ilindirik düzeç kymış ise lette düzeç eksen htsı vr demektir. Htnın yrısı üç yk vidlrındn diğer yrısı ise silindirik düzeç yr vidsındn giderilir. Düzeç eksen htsı kontrolü tekrrlnır. Ht vr ise yukrıdki işlemleler silindirik düzeç htsı giderilene kdr tekrrlnır. ) MM : Yöneltme eksen htsı (Yty Kolimsyon): Yty eksen sl eksene dik olmlı, letin üretimi sırsınd fbrikd giderilmelidir. 3) YY MM : Yty eksen htsı (Düşey Kolimsyon): Yöneltme ekseni yty eksene dik olmlı, dürbünün her iki durumund ypıln ölçüler ile giderilir. c) Dürbünler - Mercekler Ykınsk mercekler Irksk mercekler - üyütme - Görüş lnı 3 / 60 4 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr d) Düzeçler - ilindirik düzeçler ilindirik düzecin duyrığı ilindirik düzeç htsı ve giderilmesi - Küresel düzeçler e) Teodolitlerde eksen htlrı ve giderilmesi - Yty kolimsyon - Düşey kolimsyon - Đndeks Htsı çı okum yeteneklerine Göre Teodolitlere Verilen Genel Đsimler T (Tkeometreler): Dety ve yrıntı nokt ölçümlerinde kullnıln; doğrultu ve düşey çı ölçülerini virgülden sonr. y d 3. bsmğ kdr doğrudn okuybilen letlerdir. ) Optik uzunluk ölçüsü b) Okum düzenleri c) Tkeometre ölçüsü ve hesbı T: Tmmlyıcı, yrdımcı (Üçüncü, dördüncü ve dizi) nirengi ve poligon ölçümlerinde kullnıln; doğrultu ve düşey çı ölçülerini virgülden sonr 4. bsmğ kdr doğrudn okuybilen letlerdir. ) Okum düzenleri b) Yty-düşey çı ölçüsü ve hesbı: T3: n (birinci ve ikinci derece) nirengi ölçümlerinde kullnıln; dürbün büyütmesi oldukç iyi oln, doğrultu ve düşey çı ölçülerini virgülden sonr 5. bsmğ kdr doğrudn okuybilen letlerdir. ) Okum düzenleri b) çı ölçüsü ve hesbı T4 (Evrensel teodolit): stronomik ölçümlerde kullnıln; dürbün büyütmesi oldukç iyi oln, doğrultu ve düşey çı ölçülerini virgülden sonr 5. bsmğ kdr doğrudn okuybilen letlerdir. Jiroskop: Genel ypısı teodolitlere benzeyen üzerine eklenen jiroskop dı verilen donnım yrdımı ile gözlemciyi kendi coğrfi meridyenine sokmy yryn ve böylece gözlemcinin ölçtüğü kenrın mnyetik kuzeyle yptığı çıyı doğrudn ölçebilmeyi sğlyn letlerdir. ) Yty çı Ölçme Yöntemleri:.) ir Tm Dizi (ilsile) çı Ölçme Yöntemi: u çı ölçme yönteminde kç dizi gözlem ypılck ise bşlngıç doğrultulrı 00 g /n (n:dizi syısı) kdr kydırılır. Örneğin 5 dizi ypılck oln bir çı ölçüsünde 00 g /5=40 g her bir dizi bşlngıçlrı rsındki frk yklşık 40 g olmlıdır. şlngıç doğrultulrı ~0., ~40., ~80., ~0., ~60. şeklinde lınır. u seçimin htsı bölümleme htsını zltmk ve bir önceki çı okumlrındn etkilenmemek için ypılır. let birinci doğrultuy yönlendirilir. t ibresi yönünde ikinci, üçüncü ve sonuncu noktlr doğrultu okumlrı ypılır. let ikinci durum lınrk; son noktdn st ibresinin tersi yönünde hreket edilerek birinci nokty ulşılır. öylece bir tm dizi tmmlnmış olur. 5 dizi ölçülecek is bu işlem beş kez ynı şekilde tekrrlnır. u ölçme yöntemi sonund; letin yty-düşey kolimsyon, bölümleme ve sürüklenme htlrının etkileri ölçülerden rındırılmış y d zltılmış olur. Ölçme ilgisi Ders Notlr Uygulm : Đki tm dizi yty çı ölçüsü ve hesbı. n= olduğundn iki tm dizinin bşlngıç doğrultulrı rsındki frk 00 g / ~ 00 g olur. =r r =4.08 g β=r 3 r =64.0756 g Tm dizi yty çı ölçüsü ve hesbı tblosu. Dizi Doğrultulr (g) No DN N (I+II) ıfır Ortlm I. Durum II.Durum Đndirgeme (g) 0.573 00.585 0.579 0.0000 0.0000 4.3368 4.3400 4.3384 4.0805 4.08 3 06.44 306.447 06.436 06.557 06.567 65 3 99 6 78 00.6885 300.686 00.6873 4.7680 34.7700 4.7690 0.0000 4.087 3 06.8435 6.846 06.8449 06.576 00 3 93.) Đki Yrım Dizi (ilsile) çı Ölçme Yöntemi: u çı ölçme yönteminde birinci dizinin ilk yrımı herhngi bir bşlngıç doğrultusu ile bşlr ve tm dizi çı ölçüsünün birinci yrımın (I. durumun) benzer şekilde st ibresi yönünde son nokty kdr oln bütün doğrultulr ölçülür. let ikinci durum lınır, birinci ölçümün etkisinde klmmk için bşlngıç doğrultusu birkç grd(gon) kydırılır. Tekrr birinci noktdn bşlnrk st ibresi yönünde son nokty kdr oln bütün doğrultulr ölçülür. öylece iki yrım dizi (= tm dizi) yty çı ölçümü gerçekleştirilmiş demektir. enzer şekilde yrım dizi ölçü syılrı rtırılrk hesplnn doğrultu ve çılrın güvenirlikleri rtırılbilir. u ölçme yöntemi sonund; letin yty-düşey kolimsyon rındırılmış y d zltılmış olur. Uygulm : ir önceki uygulmnın şekline göre (DN: ve N:, ve 3 ) dört yrım (iki tm) dizi yty çı ölçüsü ve hesbı. =r r =4.08 g β=r 3 r =64.0756 g 4 yrım (= tm dizi) yty çı ölçüsü ve hesbı tblosu. Dizi Doğrultu (g) ıfır Đndirgeme No DN N (I+II) Ortlm I. Durum II.Durum I.Durum II.Durum (g) 0.573 00.585 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4.3368 4.3400 4.0795 4.085 4.0805 4.0804 3 06.44 306.447 06.55 06.56 06.557 06.559 65 3 46 77 6 63 0.6885 0.689 0.0000 0.0000 0.0000 6.7680 6.7700 4.0795 4.0809 4.080 3 6.8435 36.846 06.550 06.57 06.56 00 53 45 80 63 3 r3 3 β r3 r β r r r 5 / 60 6 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr b)düşey çı Ölçüsü Hesbı:.3. Yükseklik Kvrmı ve Yüksekliklerin Ölçülmesi Düşey çılr; ister elektronik ister meknik olsun teodolitlerin düşey çı direlerinden okunur. Teodolitten kynklnn ve düşey çılr doğrudn etki ypn en önemli ht kynğı gösterge htsıdır. Gösterge Htsı ve Giderilmesi: Đndeks htsı letin düşey çı diresinin 0 nın letin sl ekseniyle çkışmmsındn kynklnır. u htyı gidermek için iki durumd çı ölçüsü ypılır. Đndeks htsı olmyn bir lette her iki durumd ölçülen çılrın toplmı 400 g olmlıdır. Düşey çı ölçebilen her tür lette frklı büyüklükte olmk üzere bu hty rstlnır. ynı nokty her iki durumd ölçülen çılrın toplmı 400 g dn frkının yrısı indeks htsının ölçü ht sınırlrı içerisindeki değerini verir (Şekil-). 300 g Z I +ε Z I 0 g 0 g Z II +ε Z II 300 g Jeodezide kullnıln yükseklikler, referns sitemleri ve bunlrın rsındki ilişkiler Şekil- de gösterilmiştir. H h N g, i Ortometrik yükseklik (Geoit den oln yükseklik) Elipsoit yüksekliği (Referns Elipsoidinden oln yükseklik) Geoit yükseklikleri (ondilsyonlrı, dlglnmlrı) Geri ve ileri okumlr H = h N Jeodezi biliminde yükseklik bilgileri üç şekilde belirlenir ve bu yükseklik ölçüleri incelikleri ile birlikte şğıd verilmiştir. Geometrik nivelmn ( ±mm ~ ±cm ) Trigonometrik nivelmn ( ±cm ~ ±dm ) rometrik nivelmn ( ±m ~ ±3m ) 00 g 00 g Nivelmn düzlemi 00 g 00 g Şekil. Düşey çı gösterge htsı (ε). Z I ve Z II Ölçülen I. ve II. durum düşey çılrı. Z I +ε ve Z II +ε Đndeks htsı giderilmiş I. ve II. durum düşey çılrı. Şekilden (Z I +ε)+(z II +ε)=400 g olduğu kolyc görülmektedir. Ölçülen büyüklükler eşitliğin bir trfın toplnır ve eşitlik düzenlenirse indeks htsı şğıdki bğıntı ile hesplnır. g 400 (ZI + ZII ) ε = Düşey çı indeks htsı Yeryüzü Geoit Referns Elipsoidi h g H N Şekil. Ortometrik ( H k ), elipsoit ( h k ), geoit ( N k ) yükseklikleri ( k =, ) ve ölçülebilen büyüklük ( H=g i ). H h i H N Uygulm 3: Đki tm dizi düşey çı ölçüsü ve hesbı. Z Noktlr rsı yükseklik frkı nivelmn düzleminden yrrlnrk şğıdki gibi ölçülür. Nokt yükseklikleri ise yüksekliği bilinen noktlrdn ve ölçülen yükseklik frklrındn yrrlnrk hesplnır. H = H H = g i H = H + H Tm dizi düşey çı ölçü ve hesbı tblosu. Nivelmn düzlemi Geometrik nivelmnd Trigonometrik nivelmnd : H + g = H + i : g ve i doğrudn ölçülür. : g = + cotg Z = + E cos Z hesplnır ve i doğrudn ölçülür. Dizi No DN N letin Durumu I II I II Z I (g) Z II (g) ε(g) Z I +ε (g) Z II +ε (g) Ortlm Z(g) 0.30 0.055 0.75 0.00 89.880 0.055 89.85 89.800 400.0 0.0 400.000 400.000 0.300 0.075 0.55 89.850 0.075 89.775 400.50 0.50 400.000 7 / 60 8 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr 3. Yty Konum ilgilerinin Elde Edilmesi ϕ, λ : Referns elipsoidi üzerindeki koordintlr, x, y : Projeksiyon (hrit) düzlemindeki koordintlr. Geçerli konum bilgileri oln bu bilgiler dilim numrsı ile kullnılır. Dilim numrsı dilim ort meridyeni ile nılır. UTM projeksiyon koordintlrı 3 ve 6 derecelik dilimlere yrılrk gerçekleştirilir. Koceli nin λ 0 =3 o lik dilim ort meridyeni değeri 30 o (Mühendislik projelerinde). Koceli nin λ 0 =6 o lik dilim ort meridyeni değeri 7 o (/5000 ölçekli hritlrd). 3.. Yty Konum ilgileri rsındki dönüşümler: Dilim ort meridyenin boylmı (λ 0 ), referns elipsoit prmetreleri (,b), jeodezik enlem, boylm (ϕ, λ) ve projekisyon koordintlrı (x,y) olmk üzere; yty konum bilgileri rsındki dönüşümler Giriş bölümünde verilen bğıntılrl sğlnır. ( λ 0,,b, ϕ, λ ) ( λ 0,,b, x, y ) Noktlr rsı yty ilişkiler yty uzunluk ve yty çı ölçüleri ile gerçekleştirilir. 3.. Yn Nokt (Prizmtik lım) Hesbı : Verilenler (y, x ) (y, x ) Ölçülenler s i h i x s cos() Noktsının koordintlrı Noktsının koordintlrı Dik yk uzunluğu Dik boy uzunluğu (gidiş yönünün sol trfı için ( h) lınır s cos() s sin() s h h () h cos() s sin() s () 0.00 x x y y h sin() h cos() () y h sin() Şekil 3.Yn nokt hesbı. s Tblo. Yn nokt hesbı. Çözüm Ölçü yönünün sğdki noktlr için Ölçü yönünün solundki noktlr için y = y + s sin() + h cos() y = y + s sin() h cos() x = x + s cos() h sin() x = x + s cos() + h sin() y i = y + sin() s i + cos() h i y i = y + sin() s i + cos() ( h i ) x i = x + cos() s i sin() h i x i = x + cos() s i sin() ( h i ) y k= =sin()= y x x k= β=cos()= s s FĐN : Verilen koordintlr göre sdece dik yklrını düzelten yn nokt hesbı y y x x x x y = k = b = β = c = k = d = β = y s s y i = y + s i + b h i y i = y + s i + b ( h i ) x i = x + c s i d h i x i = x + c s i d ( h i ) ENZERLĐK:Verilen koordintlr göre dik yk ve dik boylrını düzelten yn nokt hesbı y y x = k = x b = k β = s s y i = y + s i + b h i x i = x + b s i h i y i = y + s i + b ( h i ) x i = x + b s i ( h i ) Tblo 3. Prizmtik (dik y d ortogonl) lımd yd yn nokt hesbınd ENZERLĐK hesp tblosu. =(y y )/s b=(x x )/s y i = y + s i +b h i x i = x +b s i h i NN s i (m) h i (m) (m) (m) 0.00 0.00 y x s 0.00 y b x b s h y x s h y x L L L L L n s n h n y n x n Uygulm 4: ve nokt koordintlrı, ynd verilen ölçü krokisindeki dik yk (s i ) ve dik boy (h i ) ölçülerinden yrrlnrk,, 3 nolu noktlrın koordintlrını FĐN ve ENZERLĐK le göre hesplyınız. FĐN: = 60.03m y i = y + s i + b h i x i = x + c s i - d h i = 0.950 b= 0.380 c= 0.38 d= 0.945 NN s i (m) h i (m) y i (m) x i (m) 0.00 0.00 6.00 5.43 60.00 0.00 70.50 38.30 5.00 8.90 6.48 9.38.0.0 39.75 3. 3 40.60 8.0 46.6 47.73 5.60 3 8.0.0 8.90 60.00 40.60 35.00.0 5.00 0.00 9 / 60 0 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr ENZERLĐK: y i = y + * s i + b * h i x i = x + b * s i - * h i = 60.03 = 0.9083 b= 0.38 NN s i (m) h i (m) y i (m) x i (m) 0.00 0.00 6.00 5.43 60.00 0.00 70.50 38.30 5.00 8.90 6.3 9.3.0.0 39.40 3.39 3 40.60 8.0 46.94 47.44 Ödev : ve nokt koordintlrı, ynd verilen ölçü krokisindeki dik yk (s i ) ve dik boy (h i ) ölçülerinden yrrlnrk,, 3 nolu noktlrın koordintlrını benzerliğe göre hesplyınız. = ds= s = = b= NN s i (m) h i (m) y i (m) x i (m) 050.3 0.75 90.96 0.7 3 66.67 99.70 3 9.53 89.95 6.7.43 0.00 3.. Kutupsl lım Verilenler (y, x ) (y, x ) Ölçülenler r i e i Z i Şekil-4 Noktsının koordintlrı Noktsının koordintlrı Şekil-4 Yty doğrultulr Eğik uzunluklr Düşey çılr n r n () 0 n r 0 r r n Şekil 4. Kutupsl lım ölçüsü. Çözüm i =r i r 0 (i)= i +() i =e i sinz i y i =y + i sin(i) x i =x + i cos(i) Tblo-4 şlngıçtn oln yty çılr noktsındn i noktsın çıklık çısı Yty uzunluklr i noktsının y i koordintı i noktsının x i koordintı Tblo 4. Kutupsl lımd hesp tblosu. DN N r i [g] i [g] (i) [g] i y i x i r 0 0 () 0 y x r () y x r () y x L L L L L L L n r n n (n) n y n x n / 60 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Uygulm 5: şğıd verilenlerden yrrlnrk ve noktlrı rsındki uzunluğu (x) bulunuz. ve x kenrı prlel olup olmdığını kontrol ediniz.. Yol: üçgeninde kosinüs teoreminden yrrlnrk çözüm. = = 5.0 g x = + cos =60.89m. Yol: x =x =0 ve doğrusu x ekseni kbul edilirse, i çılrı çıklık çılrı olur. ve nolu noktlrın koordintlrı; y i = i sin i x i = i cos i bğıntılrındn hesplnır. DN N i (g) (i)(g) i (m) y i (m) x i (m) 0.00 0.00 4.50 4.50 9.46 78.54 0.9 56.70 56.70 73.6 56.88 46.0 y y = x= (y y) + (x x) = 60.88m ( ) = rctg = 3.558 g x x () () olduğundn x kenrı kenrın prlel değildir. Uygulm 6: Verilenlerden yrrlnrk ve noktlrı rsındki uzunluğu hesplyınız. Verilenler: NN y i (m) x i (m) 0.00 0.00 00.00 0.00 0.00 80.00 DN N i (g) i (m).3 -- 67.68 7.36 Đstenen: x=? Çözüm: 3.64 94. -- 7.36 DN N i (g) i (m) i (g) emt (g) y i (m) x i (m).3 -- 0.00 300.00 -- -- 67.68 7.36 55.5 355.35 53. 55. 3.64 94. -- 7.36 0.00 380.57 y) + (x x) 00.00 80.57 -- 9.7 = x= (y = 7.8m x=? i (g) 4.50 56.70 x -- 8.7 i (m) 9.46 73.6 x=? 4. Düşey Konum ilgilerinin Elde Edilmesi Jeodezide kullnıln yükseklikler, referns sitemleri ve bunlrın rsındki ilişkiler Şekil- de gösterilmiştir. 4.. Kullnıln let-ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri Noktdn nokty yükseklik tşım işlemine nivelmn denir. Uygulmd üç frklı yükseklik tşım yöntemi kullnılır. u ölçme yöntemleri duyrlıklrı ile birlikte şğıd verilmiştir. ) Geometrik Nivelmn (±mm ~ ±cm): Nivo-mir donnımı kullnılrk noktlr rsı ortometrik yükseklik frklrı elde edilir. Duyrlı yükseklik bilgisine ihtiyç duyuln mühendislik projelerinde kullnılır. b) Trigonometrik Nivelmn (±cm ~ ±dm): çı ve uzunluk ölçülerinden yrrlnrk trigonometrik bğıntılrl elipsoit yükseklik frklrı elde edilir. u yöntemin, genellikle duyrlığının (inceliğinin) yeterli görüldüğü mühendislik projelerinde y d geometrik nivelmn ile erişilemeyen dğlık bölgelerde vb. kullnılır. b) rometrik Nivelmn (±m ~ ±3m): Yükseklik ile bsıncın düşmesi ilkesinden yrrlnılrk noktlrın denizden oln yükseklikleri hesplnır. Genellikle çok kb yükseklik bilgisi elde etme işlemlerinde kullnılır. Genellikle proje hzırlık şmlrınd kb yükseklik bilgisi elde etmek için kullnılır. 4.. Geometrik Nivelmn: Geometrik nivelmn işlemi nivolrl gerçekleştirilir. Nivolrın genel ypısı ve eksenleri şğıdki Şekil de, gösterilmiştir. Eksen Koşullrı: Şekil 5. ir nivonun genel ypısı ve eksenleri ( :sl eksen, YY :Yöneltme ekseni, DD :Düzeç ekseni, KK :Küresel Düzeç ekseni). DD. YY 3. // KK 4. Kıllr şebekesinin yty kılı nivonun yty düzlemine prlel olmlı. Nivolrd yöneltme ekseninin (YY ) sl eksene ( ) dikliğini sğlyn düzeneğe kompnstör denir. u tür nivolr kompnstörlü nivolr denir ve bu nivolrd silindirik düzeç bulunmz. Uygulmd bu tür nivolr yygın olrk kulnılır. Trihsel gelişim çısındn nivo çeşitleri şğıdki gibi sırlnbilir. bit dürbünlü nivolr Fenkljlı nivolr Tersinir Nivolr Kompstörlü nivolr. D Y K K D' Y' 3 / 60 4 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Geometrik Nivelmn Ölçü ve Hesbı: Geometrik nivelmnın genel ypısı, ölçüsü, hesbı ve hesp kontrolleri şğıdki Şekil-6 ve Tblo-5 de gösterilmiştir. Şekil 6. Geometrik nivelmn. Tblo-5 Nivelmn ölçü ve hesp çizelgesi. NĐVELMN ÖLÇÜÜ VE HEI Şehir vey Ksb dı: Koceli / Hereke yf No : Đstsyon No. Okumlr r (mm) Uzklıklr G O Đ G Đ (mm) ± Kot (m) g H g i H =g -i H =H + H o H =g -o H =H + H D g 3 i H D =g -i H D =o -i H D =H + H D H D =H + H D E i 3 H DE =g 3 -i 3 H E =H D + H DE Σg Σo Σi Σ H = H E H E Σi H H E H E Uygulm 6: 55.70m kotlu Rs noktsındn bşlyn ve mir okum değerleri şğıd verilen geometrik nivelmn değerlerini nivelmn krnesine işleyiniz ve gerekli hesplmyı (kotlmyı) ypınız. Çözüm: g i g o i g 3 3 i 3 645 3650 Rs Đstsyon r Okumlr G Đ Kot No. Uzklıklr G O Đ Rs 645 55 70 0960 3650.005 53 705 735 743.783 5 9 350 375 0.440 5 48 D 0065 3.455 54 937 8860 9633-0.773 54 937 9633 55 70 0733-0 773 D 0960 743 3 350 4 0065 735 375 E D 4.3. Trigonometrik Nivelmn: Trigonometrik yükseklik ölçüsü; düşey çı, yty yd eğik uzunluklr ölçülerek ypılır. Trigonometrik yükseklik ölçüsü bğıntılrı; düşey çı/yty uzklık ve düşey çı/eğik uzunluk ölçüleri için yrı rı çıkrılmıştır. Trigonometrik nivelmn, trigonometrik yükseklik ölçüsünün rdışık ypıln hlidir. Şekil 7. Trigonometrik yükseklik ölçüsü. şğıdki lt bşlıklrd elde edilen bğıntılrın son terimleri dışındkiler Şekil-7 den kolyc türetilebilir. on terim; yerin küreselliğinin ve refrksyon (ışığın tmosferde kırılmsı ve düz bir yol izlemesi) htsının toplm etkisi bğıntılr doğrudn eklenmiştir. yrıntılı bilgi için kynklr bölümünde verilen Ölçme ilgisi kitplrındn yrrlnılbilir. Düşey çı ve yty mesfe (Teodolit ve ÇŞM) : Kıs kenrlı noktlr rsınd kullnılır (0-500m), 300m den sonr küresellik ve refrksiyon etkisi kesinlikle göz önünde bulundurulmlıdır. Yty uzklık ve noktlrının yty koordintlrındn d hesplnbilir. H = H + + cotgz i + = H + + tn Z i + k R k R u bğıntıd geçen R ölçme bölgesine it Guss eğrilik yrıçpı ve k refrksyon ktsyısıdır. Ülkemizde refrksyon ktsyısı k = /8 = 0.5 ve Guss eğrilik yrıçpı yerine R=6370km lınbilir. (Düşey çı ve eğik uzunluk (Elektronik Tkeometre): H = H + + E cosz i + k (E sinz) R Uygulm 8: Yüksekliği bilinen bir noktsındn noktsın yükseklik tşımk mcı ile şğıdki düşey çı gözlemleri gerçekleştirilmiş, bu ölçüler let ve işret yükseklikleri ile birlikte şğıdki tblod sunulmuştur. Yty konum bilgileri ve noktsının yüksekliği de verildiğine göre; Verilenler Ölçülenler NN y i (m) x i (m) H i (m) DN N 6. 370.7 E cosz H Z 3.45 437.6 64.56? E sinz E (=.55) i H (i=0.00) Z I (g) Z II (g) 99.46 300.760 5 / 60 6 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr ) Đndeks htsını (ε) hesplyrk, indeks htsı giderilmiş düşey çılrı, b) Refrksyon ve küresellik düzeltmelerinin toplm etkisini (k=0.5 ve R=6370km lınız), c) noktsının yüksekliğini, d) Đndeks htsı, refrksyon ve küresellik etkileri göz rdı edilseydi noktsının yüksekliğinde ypılck oln ht miktrını, e) ve noktlrı rsındki uzy uzunluğu, hesplyınız. Çözüm: y ) + (x x ) = (y =55.5m 400 (Z Z ) ) ε = I + II = 0.007 g DN N Z I (g) Z I +ε(g) 99.38 E Z II (g) ε(g) Z II +ε(g) 99.46 99.46 0.007 99.38 ε 300.760 0.007 300.768 399.9856 0.044 400.000 D g ρ g 00 = ~ 63.660 g π E = = 55.55m sin Z 0.007 δ = g E = 55.55 = 0.06m Đndeks htsının yüksekliğe etkisi. ρε 63. 660 0.875 b) δ = 0.875 = (0.555km)*(55.5m) = 0.0m 740km 740km δ H 4.5. Yüzey Nivelmnı Genellikle hcim hesplrı y d plnkote (kotlu pln) ypımı sırsınd rziye dğılmış oln noktlrın yüksekliklerinin ölçülmesi ve hesplnmsı işlemine yüzey nivelmnı denir (Şekil-8). Genellikle geometrik nivelmn yöntemi kullnıln bu yöntem, diğer yükseklik belirleme yöntemleriyle de gerçekleştirilebilir. let kurulduktn sonr yüksekliği bilinen bir nokty (Rs) bkılrk geri okum (g) ypılır. Rs noktsının yüksekliğine geri okumsı eklenerek nivelmn düzlemi yüksekliği (gözleme düzlemi yüksekliği, let yüksekliği) bulunur (Tblo-6). Tblo 6. Yüzey nivelmn ölçüsü ve hesp tblosu. NĐVELMN ÖLÇÜÜ VE HEI Şehir vey Ksb dı: Koceli / Hereke yf No : Okumlr G Đ Đstsyon r (mm) (mm) Kot No. Uzklıklr G O Đ ± (m) Rs g H GD =H Rs +g H Rs o (Göz.Düz.) H =H GD o o H =H GD o o 3 H =H GD o 3 D i H D =H GD i Σg Σ(o+i) 4*H GD ΣH 4*H GD Σ(o+i) Diğer noktlrın yükseklikleri bu noktlr ypıln ort (r) (o) okumlr ile belirlenir. let kldırılmdn önce okunn son okum ileri (i) okum olrk kydedilir. on okum bilinen bir nokty bkılrk ypılırs nivelmn düzleminin yüksekliği tekrr belirlenerek kontrolü ypılmış olur. c) H = H + + i + δ = 64.5+.55+ 6.67 0.00 + 0.0 = 7.49m tn(z+ε) H = H + + tn(z) δ = H H = 0.06m d) dh = δ + δ = 0.06m + 0.0m = 0.04m i + δ = 64.5+.55+6.73 0.00 + 0.0 = 7.55m y ) + (x x ) + (H H ) e) D= ( y = + (H H ) =55.57m g Rs H Rs x o H o HRs+g D i o 3 4.4. rometrik Yükseklik Ölçüsü: ir noktnın denizden yüksekliği (H); brometre ile mmhg biriminde ölçülen bsınç () ve o cinsinden ölçülen ısı (t) değerine göre düzenlenmiş oln şğıdki bğıntı ile metre birimli olrk hesplnır. H = 8464 ( + 0.0037 t ) (log760 log ) metre Uygulm 9: o sıcklıkt 748.5 mmhg bsınç değeri okunn noktnın yüksekliğini hesplyınız. H = 8464*( + 0.0037* ) (log760 log748.5 ) = 38m y Referns Düzlemi Şekil 8. Yüzey nivelmn ölçüsü. 7 / 60 8 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Uygulm: Yukrıdki şekilde verilen yüzey nivelmnın d şğıdki okumlr ypılmıştır.,, ve D noktlrının yüksekliklerini hesplyınız. NĐVELMN ÖLÇÜÜ VE HEI Şehir vey Ksb dı: Koceli / Hereke yf No : Đstsyon No. r Uzklıklr Okumlr (mm) G O Đ G Đ (mm) ± Kot (m) Rs 36 67.50 64.375 986 (Göz.Düz.) 64.55 533 64.968 906 65.595 D 34 65.59 Σg= 36 Σ(o+i)= 9767 4*H GD=4*67.50 ΣH=60.37 4*H GD Σ(o+i)= 60.37 533 906 5. ln Hesplrı Düzgün olmyn şekillerin lnlrı, ln bğıntılrı bilinen düzgün şekillere bölünerek gerçekleştirilir. 5. Düzgün Geometrik Şekillerin lnlrı ) Herhngi ir Üçgenin lnı Herhngi bir üçgen için ln hesplm bğıntılrının yygın olrk kullnılnlrının birkç tnesi şğıdki tblod verilmiştir. Dh yrıntılı bilgi için (Şerbetçi ve tsoy, 994) kynğındn yrrlnılbilir. Herhngi bir üçgenin tnımlybilmek için biri kenr olmk koşulu ile en z üç elemn ihtiyç vrdır. Özel üçgenler herhngi üçgenin koşullu özel durumlrı olduğundn, koşul syısı kdr bilinmeyen zlır. Örneğin ikizkenr ve dik üçgende bilinmeyen syısı biri kenr olmk koşulu ile iki, eşkenr üçgende ise bilinmeyen syısı bir kenrdır. Herhngi bir üçgen için verilen bğıntılr özel durumlr içinde geçerlidir. γ R b r h β c 36 Şekil 9. Herhngi bir üçgenin, içine ve dışın çizilebilen çemberler. Rs 986 34 Tblo 7. Herhngi bir üçgende ln bğıntılrı D Verilenler ln (F) Verilenler ln (F), h h, β, γ b, h b b hb b,, γ c, h c, b, γ c, hc c,, β b sinγ, b, c, R (cotβ+ cotγ) b (cot+ cotγ) c (cot+ cotβ) b c 4 R, c, β b, c, c sinβ, β, γ, R R sin sinβ sinγ, b, c u (u ) (u b) (u c) b c sin Heron ğıntısı u = + b + c b) Herhngi ir Dörtgenin lnı Herhngi bir dörgen için ln hesplm bğıntılrının yygın olrk kullnılnlrının birkç tnesi şğıdki tblod verilmiştir. Dh yrıntılı bilgi için (Şerbetçi ve tsoy, 994) kynğındn yrrlnılbilir. 9 / 60 30 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr δ b m c ω n β γ d 5. Çokgenlerde ln Hesplrı: Düzgün olmyn şekillerin lnlrı, ln bğıntılrı bilinen düzgün şekillere bölünerek gerçekleştirilir. Eğrisel lnlr, bu lnı iyi tnımlyn düzgün şekillere bölünerek hesplnır. ) Düzgün Şekillere ölerek ln Hesplrı: Uygulm 0: şğıdki prizmtik lım krokisindeki DEFGH çokgeninin lnı, prizmtik lım ölçülerine uygun oln ymuk ve üçgen lnlrının toplmlrı y d frklrı şeklinde elde edilir. Verilenler: Prizmtik ölçü krokisi. Şekil 0. Herhngi bir dörtgende ölçülebilen büyüklükler. Tblo 8. Herhngi bir dörtgende ln bğıntılrı Verilenler ln (F) 0.00 00.00 89.00 Y=8.00 m, n, ω, b, c, d, ω, b, d,, β, c,, β, γ, δ m n sinω ( b +d c ) tnω 4 { b sin + d sinβ b d sin(+β) } c + cot+ cotβ cotγ+ cotδ 34.00 53.70 76.40 56.70 43.0.50 6.50 37.60 D 35.00 45.00 E F c) Direnin lnı X=3.03 R yrıçplı direnin lnı: F = π R çısın ile oluşn dire diliminin lnı. R 0.30 H.00 4.90.00 0.00 G g F = 400 g o π R = 400 o π R = ) R Çözüm: 0.3/ = (3.9-x)/x x =.03.00+.03 = 3.03m x/(.6-x) =.5/0 x = 4.6 74.4+4.6 = 8.00m y d X = ( h G *s H + h H *s G )/( h G + h H ) = 3.03 m Y = ( h D *s + h *s D )/( h + h D ) = 8.00 m F= 0.3*3.90+(0.3+53.7)*.7+(53.7+34)*3.9+(34+0)*7.5 8.00*0 +4.34*.5+(.5+35)*9.70+(35+45)*3.5+(45+)*3..03* F = 9300.48 m F = 4650.8 m 3 / 60 3 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr b) Koordintlrl ln Hesbı: lnı bulunck şekil, düzgün şekillerin lnlrındn yrrlnrk belirlenir. Düzgün şekillerin ln bğıntılrı koordintlrl ilişkilendirilerek, düzenlenirse Guss ve ross yöntemlerinin ln bğıntılrın ulşılır. Guss Yöntemi: u yöntemde koordint sistemindeki noktlrdn oluşn kplı poligonlrdn oluşn ln ymuk lnlrının toplmı ve frkı şeklinde düşünülerek şğıdki bğıntılr uygulnır (Şekil-). y F y x x x 3 x x x x 3 x x 3 3 y 3 NN x y x y x y 3 x 3 y 3 x y x y Şekil. Ymuk lnlrındn yrrlnrk Guss ln Hesbı. F = (,, x, x ) + (, 3, x 3, x ) (, 3, x 3, x ) =(y +y )(x x )/+(y +y 3 )(x 3 x )/ (y +y 3 )(x 3 x )/ F =(y +y )(x x ) + (y +y 3 )(x 3 x ) (y +y 3 )(x 3 x ) Eşitliğin sğ trfı çılıp düzenlenirse şğıdki Guss ln formülüne ulşılır. NN x y x y x y 3 x 3 y 3 x y x y F = y (x x 3 ) + y (x 3 x ) + y 3 (x x ) = x (y y 3 ) + x (y 3 y ) + x 3 (y y ) ross Yöntemi: Guss ln Hesp bğıntılrı uygun şekilde düzenlenirse ross yöntemi ile ln hesbın ulşılır. urd ross yönteminin (ve Guss yönteminin) bşk bir yoldn elde edilişi gösterilecektir. Uygulm : şğıdki dikdörtgenin lnını Guss ve ross yöntemine göre hesplyınız. ) Guss Yöntemi ile ln Hesbı F = 4(0-5)+4(0-5)+(5-0)+(5-0) = 0 +0-0 0 = 0m F = 0m F = 5(4-)+0(-4)+0(-4)+5(4-) = 0-0 -0 +0 = 0m F = -0m b) ross Yöntemi ile ln Hesbı F = (5*4+5*4+0*+0*)-(*5+4*0+4*0+*5) = (0 +0 +0 +0)-(0 +40 +40 +0) = (80) -(00) = -0 F = -0m 4 (5,4) (0,4) (5,) (0,) D 5 0 NN x y NN x y 5 5 5 4 5 4 0 4 0 4 D 0 D 0 5 5 5 4 5 4 NN x y 5 5 4 0 4 D 0 5 y y F NN x y x y x y 3 x 3 y 3 x y x x 3 Şekil. Dikdörtgen ve üçgen lnlrındn yrrlnrk ross ln Hesbı. F = (,,,) (,,) (,,3) (,3,) F =(y y )(x 3 x ) (y y )(x x )/ (y y 3 )(x 3 x )/ (y 3 y )(x 3 x )/ Eşitliğin sğ trfı çılıp düzenlenirse şğıdki ross ln formülüne ulşılır. 3 F = (y x + y x 3 + y 3 x ) ( x y + x y 3 + x 3 y ) = Σy k x k+ Σx k y k+ Not: Guss ve ross yöntemleriyle ln hesplnırken, koordintlrın sırlnmsın dikkt edilmelidir. ir noktdn bşlyrk herhngi bir yöne doğru lnı çevreleyen hiç bir noktyı tlmdn ynı noktnın d düşülmelidir. ynı nokt koordintlrı tekrr yzılmlıdır. Uygulm : Prizmtik ölçü krokisi ile lımı ypıln prselin lnını ross yöntemine göre hesplyınız. Σy i x i+ = 3667.57 m Σx i y i+ = -563.98 m F = Σy i x i+ + Σx i y i+ = 9300.55 m F = 4650.8 m NN s h 37.60 53.70 6.50 34.00 89.00 0.00 D 76.40.50 E 56.70 35.00 F 43.0 45.00 G.00.00 H 4.90 0.30 37.60 53.70 Ödev : Prizmtik ölçü krokisi ile lımı ypıln prselin lnını Guss yöntemine göre hesplnmsı. 33 / 60 34 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr 6. Hcim Hesplrı 6.. Plnkote (Kotlu Pln) Çıkrılmsı Dolgu yd yrm hcmini belirlemek için hesplnmsı gereken noktlrın yty koordintlrı herhngi bir yöntemle belirlenir. Yükseklikler ile duyrlı çlışmlr için geometrik nivelmn ile belirlenir. Yty koordintlr ile tbn lnı belirlenir. Noktlrın hesplnn yüksekliklerin ortlmsı lınır. Yükseklik ortlmsı ile tbn lnı çrpılrk referns yüksekliğe göre hcim belirlenmiş olur. u hesplm biçimi ortlm bir hcim değeri verir. Uygulm hcim hesbınd kullnıln en yygın yöntemlerden biriside; genellikle *m lnlrdn oluşn krelj ğının köşe noktlrın ypıln yükseklik ölçmeler ile hcim hesplm ilkesine dynn plnkote y d kotlu pln lım işlemidir. E E D D x H H G F H G F y Şekil 3. rzinin uygun üçgenlere bölünmesi. urd dikkt edilmesi gereken seçilen noktlrın rzinin krkteristik ypısını yeterince ynsıtck şekilde seçilmelidir. Dh sonr noktlr rzinin topoğrfik yüzeyini en iyi şekilde ynsıtck biçimde üçgenlere yrılır (Şekil-3). Üçgenlerin tbn lnlrı yty konum bilgilerinden hesplnır ve üçgeni oluşturn noktlrın yüksekliklerinin ortlmsının lınır. Tbnlrı üçgen oln prizmlrın hcimleri yrı yrı üçgen lnlrı ve yükseklik ortlmlrı ile çrpılrk bulunur. Toplm hcim üçgen prizmlrın toplmıdır. Đki dolgu y d iki kzı rsındki hcim, frklı zmnlrd ölçülen ve belirli bir referns göre yukrıdki şekilde hesplnn iki hcmin frkı ile bulunur. Uygulm : Şekildeki noktlr yüzey nivelmnı ypılmış ve yükseklikleri hesplnrk şğıdki tblod prizmtik lım değerleri ile birlikte şğıdki tblod verilmiştir. 50 referns kotun göre oluşn hcmi hesplyınız. Çözüm : Yklşık Çözüm. N NN s h H H-50 37.60 53.70 55.000 5.000 6.50 34.00 54.0 4.0 3 89.00 0.00 55.346 5.346 4 D 76.40.50 53.46 3.46 5 E 56.70 35.00 56.000 6.000 6 F 43.0 45.00 5.900.900 7 G.00.00 55.640 5.640 8 H 4.90 0.30 5.000.000 Referns Düzlemi F = 4650.8 m Hort = 54.78 m Href = 50.000 m Hort = 4.78 Hcim = F*Hort = 948.87 m 3 Çözüm : rzinin krkteristik özelliğine göre çözüm. N Üçgen lnı[m ] Hort Hcim[m 3 ] H 6.750 3.7067 308.550 D 5.350 4.940 38.5700 3 DH 6.50 3.787 3694.3330 4 DEF 60.50 3.770 6.795 5 DFH 558.0050.4387 3799.5070 6 FGH 75.8800 3.800 308.980 Toplm 4650.75 4575.7500 x y Şekil 3. Plnkote Çıkrılmsı. Hcim hesbı tbn lnı m oln dikdörtgen prizmlrın hcimleri toplmı şeklinde gerçekleştirilir. Frklı zmnd gerçekleştirilen iki plnkote lımı ile yrm y d dolgu hcimleri de frk lınrk bulunur (Şekil) 7. Üç oyutlu Konum ilgilerinin Elde Edilmesi Konum ilgileri rsındki Dönüşümler (X,Y,Z) WG84 (ϕ,λ) WG84 (x,y) WG84 ve H=h WG84-N WG84 (x,y) WG84 (x,y) ED50 h WG84 H TUDK TUDK: Türkiye Ulusl Düşey Konum ğı 7.. Kullnıln let-ölçme ve Değerlendirme Yöntemleri Yersel ölçülerle (yty çı, düşey doğrultu ve eğik uzunluk ölçüleri yrdımı ile) GP (Globl Positioning ystem) { (X,Y,Z) WG84 ve ( X, Y, Z) WG84 } LR (telite Lser Rnging) { (X,Y,Z) ITRF ve ( X, Y, Z) ITRF } VLI (Very Long se Interferometer) { (X,Y,Z) ITRF ve ( X, Y, Z) ITRF } H 35 / 60 36 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr 8. Kynklr ydın, Ö. (978), Jeodezide Elektronik Uzunluk Ölçüsü ve Ölçme letleri, ĐDMM. ydın, Ö. (984), Ölçme ilgisi I, YTÜ, MF, Đstnbul. nger, G. ve Şen, K. (994), yısl Nivolr (Digitl Levels), MMF, Fk. Yy. No: 994/8, Trbzon, 994. onford, (), Geodesy Hofmnn-Wellenhof,., Lichtenegger, H. nd ollins, J. (997), Globl Positioning ystem, Theory nd Prctice, Fourth Edition, IN 0-387-8477-4. Irvine, W. (988), urveying for onstruction, Third Edition, McGRW-HILL ook ompny, London. Koç, Đ., (998), Ölçme ilgisi I, YTÜ, Đnşt Fk., Đstnbul, 998. Leick,. (999), GP tellite urveying econd Edition, IN 0-47-3066-6. Ormn, M., Özen, H. Ve Öksüzoğlu, H. (978) Ölçme ilgisi ( Topoğrfy), ME, Devlet Kitplrı, nkr, 978. Orhn KURT (006) pliksyon, Ders Notlrı, KOÜ, Đhsniye MYO, Koceli. Özbenli, E. ve Tüdeş, T., (986) Ölçme ilgisi Prtik Jeodezi, KTÜ, MMF, Trbzon, 986. Rüeger, J.M., (989), Electronic Distnce Mesurements, Third Totlly Revised Edition, pringer-werlg, Newyork. eeber, G. (), tellite Geodesy, ongu,., (98), Ölçme ilgisi, ilt, nkr, 98. Şen, K. (995), Teodolit ve Nivolr Kullnımlrı ve Eksen Htlrının Düzeltilmesi, Ders Notlrı, KTÜ, MMF, Ders Notlrı No: 43, Trbzon. Muzffer ŞERETÇĐ ve Veysel TOY (994), Jeodezik Hesp, Đkinci skı, KTÜ, MMF, Genel Yyın No:53, Fkülte Yyın No: 44, Trbzon. User, F. (986), Temel Fizik, Dlglr, Geometrik ve Fizik Optik, Demsn Kitpçılık.Ş., Đstbbul. Uzel, T. (), çı Okumsınd Çkıştırm Düzeni çı ölüm Htlrının Konyrolu Modern Dürbünler, YTÜ, FE. Ek. Trigonometri b cos = sin = co cos cot g= = = = b sin sin b sin sin tg = = = cos cos = + b tg +β=00 g +β=00 g 0 g tg sin=cosβ sin=sinβ cos= cosβ tg=cotgβ tg= tgβ sin cotg= cotgβ sin( )= sin cos( )=cos 300 cos + sin = g sin( ±β) = sin cosβ± cos sinβ 00 g cos( ±β) = cos cosβm sin sinβ sin = ( cos ) cos = (+ cos ) cos + cos sin = cos = 00 g +β β +β β sin + sinβ= sin cos cos + cosβ= cos cos +β β +β β sin sinβ= cos sin cos cosβ= sin sin inüs Teoremi Kosinüs Teoremi b c = b + c bc cos = = = R b = + c c cosβ sin sinβ sinγ c = + b b cosγ b c I. Öklid Teoremi (=π/) II. Öklid Teoremi (=π/) h b = p c h = p q γ p=b cosγ q=c cosβ = q β Tnjnt Teoremi Projeksiyon Teoremi (Neper ğıntısı) R + β tg + b = b cosγ + c cosβ = b β tg Tles ğıntısı Çemberde Temel ksiyomlr çı dönüşümleri Grd Derece Rdyn = = g o 00 80 π g o g 00 o 80 ρ = ρ = π π E E = = D E DE D E g ρ E Grd= Rdyn Derece= ρ Rdyn D o cos = β = γ ϕ=00 g β = cos R ϕ b= sin cotg γ R 37 / 60 38 / 60
Ölçme ilgisi Ders Notlr Ölçme ilgisi Ders Notlr Ek. Temel ödevler Herhngi bir koordint sisteminde, koordint hesplrınd krşılşıln dört temel ödev şğıd verilmiştir.. temel ödev : Koordint tşım. Verilenler Đstenenler Çözüm (y, x) (y,x) y = y + sin() (), x = x + cos(). temel ödev : Kenr ve semt hesplm. Verilenler Đstenenler Çözüm y (y, x) () () = rctn x y x (y, x) ( ) ( ) = y y + x x 3. temel ödev : Đki kenr rsındki çıyı hesplm. Verilenler Đstenenler Çözüm y (y, x) () = rctn x y (y, x) () = rctn x y x y x (y, x) = () () x x x cos() y sin() () y y y x x y Ek 3. rzi Uygulmsı Örnekleri rzi Uygulmsı : 09.05.006 / irinci Öğretim Yty çı rzi ölçümleri ve ölçü krokisi. DN N I II I ıfır II ıfır (I+II)/ çıklm T 375.00 74.99 0.00 0.00 0.00 in Köşesi 5.8 5.79 76.8 76.80 76.8 Prtonel 3 85.6 85.8 0.6 0.9 0.8 Vinç 4 48.66 348.66 73.66 73.67 73.67 Trfo T 48.73 48.739 0.0000 0.0000 0.0000 in Köşesi 39.6763 9.6878 80.953 80.9487 80.950 Prtonel 3 358.7455 58.7668 0.04 0.077 0.05 Vinç 4.987.9984 73.640 73.593 73.67 Trfo Elk 399.9455 99.980 0.0000 0.0000 0.0000 in Köşesi 78.9490 78.935 79.0035 79.0045 79.0040 Prtonel 3 0.45 30.7 0.970 0.937 0.954 Vinç 4 73.5395 373.570 73.5940 73.5990 73.5965 Trfo 3 4. temel ödev : emt tşım. Verilenler Đstenenler Çözüm Koşul () () () = () + β + π () + β π β () = () + β π () + β π () β () 4 çıklık çısının ölgelere Göre Đncelenmesi ölge I II III IV ( y) ( x) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) çıklık çısı I II + π III + π IV + π ( ) ( + ) ( ) ( ) x IV I sin I III II cosi ( + ) ( + ) ( + ) ( ) y T Elktrnk T Güzel ntlr Şekil irim çemberde bölgelere göre k sin k = rctn ( k=i, II, III, VI ). cos k 39 / 60 40 / 60