TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7
TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aa Bilim Dalı YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr. Mehmet KÜÇÜKASLAN MERSİN Hazira - 7
Bu tezi gerek bilimsel içerik, gerekse elde edile souçlar açısıda tüm gerekleri sağladığı kaaatie ulaşa ve aşağıda imzaları bulua biz jüri üyeleri, suula tezi oy birliği ile Yüksek Lisas Tezi olarak kabul ediyoruz. Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr. Mehmet KÜÇÜKASLAN Jüri Üyesi Prof. Dr. Nazim KERİMOV Jüri Üyesi Doç. Dr. Hayrullah AYIK Bu tezi Fe Bilimleri Estitüsü yazım kurallarıa uygu olarak yazıldığı Estitü Yöetim Kurulu u.../.../...tarih ve.../... sayılı kararıyla oaylamıştır. Prof. Dr. Mahir TURHAN Estitü Müdürü Not: Bu tezde kullaıla özgü bilgiler, şekil, çizelge ve fotoğraflarda kayak göstermede alıtı yapmak 5846 sayılı Fikir ve Saat Eserleri Kauu hükümlerie tabidir.
ÖZ olmak üzere olsu. ike G üzeride taımlı aritmetik foksiyou ile toplamsal aritmetik yarı grup { } G : = # g G : ( g = A >, >, ν < sayıları G yarı grubua bağlı sabitler olmak üzere G = A + O( ν ifadesie G( içi bir asimptotik gösterim deir. Bu çalışmada, G yarı grubuu üretici foksiyouu yardımıyla = = F( z G z H ( z = ( z F( z biçimide taımlaa foksiyo üzerie koyulacak koşullar altıda vo Magolt foksiyouu Taylor katsayısı λ içi asimptotik ifadeler elde edildi. Ayrıca, = ( λ serisii kala kısmı içi asimptotik değerledirme verildi. π ve Ters Möbiüs döüşümüde yararlaarak bezer asimptotik değerledirmeler serisii kala kısmı içi verildi. = π Aahtar Kelimeler: Derece foksiyou, Toplamsal aritmetik yarı grup, # Aksiyom A I
ABSTRACT Let G be a semi group with arithmetic fuctio ad let { δ } G : = # g G : ( g =. The expressio G = A + O( ν, is called asymptotic expressio for G( whe A >, >, ν < real umbers depedig semi group G. I this thesis, By usig geeratig fuctio of G = = F( z G z H ( z = ( z F( z is defied ad uder the restrictio coditios o H ( z some asymptotic expressio is obtaied for λ the coefficiet of taylor series of vo Magolt fuctios. Also, asymptotic expressio is obtaied the rest of ( λ. = Similar asymptotic results for π ad the rest of the series = π is obtaied by usig Möbiüs iversio formula. Key Words: Degree fuctio, Additive arithmetical semi group, # Aksiyom A II
TEŞEKKÜR Akademik hayata atılmama destek ola ve çalışmalarımı her aşamasıda baa yol göstere Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Fahreddi ABDULLAYEV e, bu çalışma boyuca öerilerii esirgemeye değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Mehmet KÜÇÜKASLAN a sosuz teşekkürlerimi suarım. Ayrıca başta, sağladığı imkalar içi Matematik Bölüm Başkaı Prof. Dr. Hüsü KIZMAZ a ve bölümdeki bütü öğretim üyelerie ve araştırma görevlisi arkadaşlarıma teşekkür ederim. III
İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER... IV SİMGELER VE KISALTMALAR... V. GİRİŞ.... KAYNAK ARAŞTIRMASI... 3 3. MATERYAL VE METOT... 5 3.. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER........ 5 3.. TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUP VE ÖZELLİKLERİ. 3.3. 3.4. # AKSİYOM A I SAĞLAYAN TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ... p H SINIFININ TANIMI VE TEMEL ÖZELLİKLERİ... 6 4. BULGULAR VE TARTIŞMA... 9 4.. TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR İLE İLGİLİ TEMEL SONUÇLAR... 9 4.. YARDIMCI SONUÇLAR..... 3 4.3. TEOREMLERİN İSPATI... 6 5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 38 5.. SONUÇLAR... 38 5.. ÖNERİLER 39 KAYNAKLAR. 4 ÖZGEÇMİŞ. 43 IV
SİMGELER VE KISALTMALAR C N Kompleks sayılar kümesi Doğal sayılar kümesi := Taım olarak eşit A Ω it γ D H ( A P G A bölgesi kompakt olarak Ω bölgesii içidedir γ eğrisii içi Birim daire A bölgeside aalitik foksiyoları kümesi Derece foksiyou Asal elemaları kümesi Yarı grup µ Möbius foksiyou f r f ( re iθ H p G ( Hardy uzayı G yarı grubuda derecesi ye eşit ola elemaları sayısı π G yarı grubuda derecesi ye eşit ola asal elemaları sayısı Λ Vo Magoldt foksiyou λ Vo Magoldt foksiyouu taylor katsayısı F P G Üretici foksiyo Asal üretici foksiyo ω ( a Asal böle foksiyou # Kümei elema sayısı r Yakısaklık yarıçapı Uδ ( z { z : z z < δ } V { z : r < z z < r, r < r < } (.,. İç çarpım Re s ( f, z z oktasıda f foksiyouu kalıtısı (rezidüsü V
. GİRİŞ Sayılar Teorisi ve Aalitik Teori de toplamsal aritmetik yarı gruplar üzeride taımlaa foksiyoları aalitik özelliklerii icelemesi e temel problemlerde biridir. Bu bağlamda, yarı gruplar üzerie koa belli koşullar altıda taımlaa foksiyoları aalitik özelliklerii bilimesie ihtiyaç duyulmaktadır. P ve ( G, sayılabilir P kümesii asal elemaları tarafıda üretile ve birim elemaı G ola değişmeli yarı grup olsu. G üzeride şeklide taımlaa ve içi ( p > ve (i p P { } : G N =, (ii a, b G içi ( ab = ( a + ( b, içi G #{ a G : ( a } (iii = = kümesi solu, koşullarıı sağlaya foksiyoua derece foksiyou deir. Ayrıca, ( G,, toplamsal aritmetik yarı grubuda P i G yi ürete asal elemaları ile oluşturula kümesi de soludur. #{ p P: ( p } π = = Diğer tarafta, G toplamsal aritmetik yarı grup olmak üzere G ye bağlı olarak A >, > ve ν < sabitleri içi ike G = A + O ν (. sağlası. (. ile verile G ( üzerideki bu koşula G toplamsal aritmetik yarı grubu içi # Aksiyom A deir. G ( sayılarıı yardımıyla taımlaa F z = = G z foksiyoua G yarı grubuu üretici foksiyou deir.
foksiyo ( G,, toplamsal aritmetik yarı grubu F z biçimide de yazılabilir. Böylece, A = + z # Aksiyom A ı sağladığıda üretici r z = : = ( z F ( z H z biçimide yei bir foksiyo taımlaır. Bu çalışmada, üretici foksiyo yardımı ile taımlaa H ( z foksiyou üzerie belirli koşullar koymakla taımlaacak ve bu yei taımlaa aksiyomlar altıda = ( λ ve π # Aksiyom A da farklı yei aksiyomlar = ( serilerii geel terimlerii ve kuyruk kısımlarıı asimptotik gösterimi karmaşık aalizi yötemleri kullaılarak elde edilecektir. Bu bağlamda, Materyal ve Metot kısmıda esas teoremleri ispatları içi yardımcı lemma ve teoremler, gerekli taım ve kavramlar verilecektir. Bulgular ve Tartışma kısmıda yer ala teoremlerde 4... Teorem i ifadesi [3] çalışmasıda yer almasıa rağme ou ispatı [3] de verile ispatta farklı olarak karmaşık aalizi yötemleri kullaılarak yeide verilmiştir.
. KAYNAK ARAŞTIRMASI Sayılar Teorisi ve Aalitik Teori de toplamsal aritmetik yarı gruplar üzeride taımlaa foksiyoları aalitik özelliklerii icelemesi 979 yılıda Joh Kopfmacher [5] tarafıda E. Fogels ı [3] çalışmasıda esileerek # Aksiyom A ı sağlaya toplamsal aritmetik yarı grupları üretici foksiyou aalitik özellikleri hakkıda bilgiler verilmesi ile başlamıştır. Buu içi Joh Kopfmacher tarafıda [5] de ( G, sayılabilir P kümesii asal elemaları tarafıda üretile ve birim elemaı G ola değişmeli yarı grup olmak üzere içi ( p > ve (i p P =, (ii a, b G içi ( ab = ( a + ( b, içi G #{ a G : ( a } (iii koşullarıı sağlaya = = kümesi solu, { } : G N foksiyouu taımlamıştır ve yı derece foksiyou olarak adladırmıştır. derece foksiyou ve P i G yi ürete asal elemaları ile oluşturula #{ p P: ( p } π = = doğal sayısı içi > ve her α > olmak üzere ike π α = + O ( asimptotik gösterimii vermiştir. π içi bu biçimde verile asimptotik gösterime kayaklarda Abstract Prime Number Teorem deir. K.- H. Idlekofer, E. Mastavicius ve R. Warlimat [6] çalısmalarıyla toplamsal aritmetik yarı gruplar üzeride taımlaa üretici foksiyou ve F z = = G z : = ( z F ( z H z 3
foksiyouu z = oktasıda sıfıra eşit olduğuu göstermişlerdir. K.- H. Idlekofer [] çalışmasıda # Aksiyom A ile gösterdiği yei aksiyom ve H ( z foksiyou yardımı ile taımlaa H ( z foksiyouu Nevalia sııfıda olduğuu göstermiştir. K.- H. Idlekofer [3] çalışmasıda Aksiyom A ve Aksiyom A olarak adladırdığı yei aksiyomlar ile = ( λ serisii geel terimii ve kısmi toplamıı asimptotik gösterimii vermiştir. Bua ek olarak, = ( π serisii de geel terimi ve kısmi toplamı içi asimptotik gösterim vermiştir. 4
3. MATERYAL VE METOT Bu bölümde gerekli temel taım ve yardımcı teoremler verilecektir. verilecektir. 3. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER Bu bölümde çalışma boyuca kullaılacak kavramlar ve bazı temel teoremler 3...Taım A C ve z A olsu. (i δ > sayısı içi z z < δ ( < z z < δ koşuluu sağlaya oktaları kümesie z oktasıı (delimiş δ komşuluğu deir. (ii z oktasıı her delimiş δ komşuluğuda A kümesii e az bir elemaı varsa z oktasıa A kümesii bir yığılma oktası deir. 3...Taım A C bir bölge, f : A C bir foksiyo ve z oktası A kümesii bir yığılma oktası olsu. Her ε > sayısı içi e az bir ( z δ ε, > reel sayısı buluabilir öyle ki z z < δ koşuluu sağlaya oktalar içi f z f z < ε sağlaıyorsa f foksiyoua z oktasıda süreklidir deir []. 3..3. Taım: f foksiyou z oktasıı belli bir komşuluğuda taımlı kompleks değerli bir foksiyo olsu. Eğer, ( + z lim f z z f z limiti var ve solu ise f foksiyoua z oktasıda türevleebilirdir deir. Bu limit ' f z ile gösterilir []. z 5
3..4. Taım: f foksiyou z oktasıda ve ou herhagi bir komşuluğudaki bütü oktalarda türevleebilirse f foksiyoua z oktasıda aalitiktir deir []. Eğer f foksiyou her z A oktasıda aalitik ise f foksiyoua A de aalitiktir deir. 3..5. Taım: f kompleks değerli foksiyou z oktasıı belli bir komşuluğuda aalitik fakat z oktasıda aalitik değilse, z oktasıa f i aykırı (sigüler oktası deir []. O halde, deir. 3..6. Taım: z oktası f foksiyouu bir ayrık sigüler oktası olsu. (i lim z z (ii lim f ( z z z (iii lim f ( z z z f z = A ise z oktasıa kaldırılabilir sigüler okta, = ise z oktasıa kutup oktası, limiti mevcut değil ise, z oktasıa esaslı sigüler okta, 3..7. Taım: a C ( =,,,... = +, r R ve z C olmak üzere a z z, z z < r serisie kuvvet serisi deir. Burada r kuvvet serisii yakısaklık yarıçapıdır ve formülü ile hesaplaır. r a = limsup a + 6
3..8. Taım: (i a, b R, a b < olsu. z z ( t :[ a, b] = C sürekli foksiyo olmak üzere γ : = { z ( t : t [ a, b] } kümesie başlagıç oktası oktası z ( b ola bir eğri deir. (ii Bir γ eğrisi verildiğide z ' var ve sürekli ise γ eğsie diferasiyelleebilir eğri deir. (iii t, t [ a, b] içi t t (Jorda eğri, eğer z ( a z ( b olduğuda z ( t z ( t z a, bitim ise γ eğrisie basit = ise γ eğrisie kapalı Jorda eğrisi deir. (iv z '( t ise, γ ya düzgü eğri deir [6]. 3..9. Taım: [ a, b ] aralığıı P { t t t } ailesi ile gösterilsi ve : = O halde k k k = =,,..., şeklideki tüm bölütülerii l P z t z t olsu. { l ( P P } lim sup : ise γ eğrisie ölçülebilir eğri deir. < 3... Teorem: (Cauchy İtegral Formülü Ω C bir bölge ve f H ( Ω olsu. γ eğrisi it γ ile Ω bölgeside yerleşe ölçülebilir Jorda eğrisi ise her dir [7]. z it γ içi ( ξ f f ( z = dξ π i ξ z γ 3... Teorem: (Cauchy Türev Formülü Ω C bir bölge ve f H ( Ω olsu. γ eğrisi it γ ile Ω bölgeside yerleşe ölçülebilir Jorda eğrisi olsu. Bu durumda, z it γ ve her =,,,... içi f ( ξ + ( ξ z (! f ( z = dξ, π i γ 7
dır[7]. 3... Teorem(Taylor Teoremi: z C oktasıı δ komşuluğuda aalitik ola f foksiyou bu komşulukta f z = a z z, z z < r = açılımıa sahiptir. Bu kuvvet serisie f foksiyouu z = z oktasıda Taylor açılımı deir ]. 3..3.Teorem(Lauret Teoremi: V : = { z : r < z z < r, r < r < } olmak üzere f H ( V olsu. f foksiyouu bir z oktasıda ayrık sigülerliği varsa, f foksiyou V halkasıda açılımıa sahiptir. Burada, olmak üzere, dir[] = ( f z a z z = { z : z z r, r r r } γ = = < < a = π i γ f ( ξ + ( ξ z dξ 3..4. Taım: z C oktası f foksiyouu ayrık sigüler oktası ve = ( f z a z z = serisi < z z < r halkasıda f foksiyouu Lauret serisi olsu. Bu durumda bazı pozitif m tam sayıları içi a m ve her j < m içi a j = ise z oktasıa f foksiyouu m. derecede kutup yeri deir[7]. Özel olarak m = durumuda bu kutup yerie basit kutup yeri deir. 8
3..5. Taım: z C oktası f foksiyouu ayrık sigüler oktası olsu. f foksiyouu z oktasıdaki Lauret açılımıda a katsayısıa f foksiyouu z oktasıdaki kalıtısı(rezidüsü deir ve Res( f ; z ile gösterilir[7]. 3..6. Teorem: (Cauchy Rezidü Teoremi Γ basit kapalı pozitif yölü eğri ve f foksiyou Γ eğrisi üzeride ve z,..., it z Γ oktaları dışıda Γ eğrisii içide aalitik olsu. Bu durumda, sağlaır. [7] Γ f ( z dz = πi Res( f ; zk k = 3..7. Teorem: Eğer z oktası f foksiyouu m ici derecede kutup yeri ise m d m Res( f ; z = lim ( z z f ( z z z m ( m! dz formülü ile hesaplaır [7]. 3..8. Souç: Eğer z oktası f foksiyouu basit kutup yeri ise dir [7]. Res( f ; z = lim( z z f ( z z z 3..9. Taım: X bir lieer uzay, (.,. : X X C foksiyou içi, ( x, x ve ( x x (a x X (b x, y X içi, ( x, y = ( y, x, = x = (c x, y, z X içi, ( x + y, z = ( x, z + ( y, z (d α C ve x, y X içi, ( α x, y = α ( x, y koşullarıı sağlarsa, bu foksiyoa X de bir iç çarpım ve (,(.,. çarpım uzayı deir [8]. X ikilisie de bir iç 9
(b şıkkıda ( y, x ile (, y x i kompleks eşleiği gösterilmektedir. 3.. Teorem: (Schwarz Eşitsizliği X bir iç çarpım uzayı olmak üzere, x, y X içi eşitsizliği doğrudur [8]. ( x, y ( x, x ( y, y 3. TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUP VE ÖZELLİKLERİ 3.. Taım: G olmak üzere G üzeride G G G biçimide taımlaa foksiyoa bir ikili işlem deir []. ( a, b elemaıı ikili işlem altıdaki görütüsü işlem kolaylığı bakımıda şeklide gösterilir. ab (Çarpımsal otasyo a + b (Toplamsal otasyo 3... Taım: G üzeride taımlaa ikili işlem a, b, c G içi = a bc ab c koşuluu sağlıyorsa ( G, ikilisie G de bir yarı grup deir. Her a G içi ae = ea = a koşuluu sağlaya e elemaıa G yarı grubuu birim(etkisiz elemaı deir. ( G, yarı grubu birim elemaa sahip ise (, a G olmak üzere her bir a G içi a a = aa = e koşuluu sağlaya ( G, ikilisie G de bir Grup deir. a, b G içi ab G ikilisie G de bir Mooid deir. = ba
ise ( G, ikilisie değişmeli grup deir [9]. 3..3. Taım: P ve ( G, sayılabilir P kümesii elemaları tarafıda üretile birim elemaı G ola bir değişmeli yarı grup olsu. G üzeride şeklide taımlaa ve içi ( p > ve (i p P { } : G N =, (ii a, b G içi ( ab = ( a + ( b, içi G #{ a G: ( a } (iii = = solu, koşullarıı sağlaya foksiyoua derece foksiyou ve ( G,, yapısıa ise toplamsal aritmetik yarı grup deir []. 3..4.Taım: P sayılabilir kümesii G yi ürete elemalarıa P i asal elemaları deir. P kümesii asal elemaları içi #{ p P: ( p } π = = şeklide taımlaa π soludur []. # 3..5. Aksiyom A : G toplamsal aritmetik yarı grup olmak üzere A >, > ve ν < sabitleri vardır öyle ki ike dir. = + G A O ν Burada, A >, > ve ν < sabitleri G ye bağlıdır. Bu ifade literatürde # Aksiyom A ı taımı olarak biliir.
3.3. # AKSİYOM A I SAĞLAYAN TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ Bu bölümde, # Aksiyom A ı sağlaya (, G toplamsal aritmetik yarı grubu üzeride taımlaa foksiyoları temel özellikleri verilecektir. Buda sora, ( G, ikilisi toplamsal aritmetik yarı grup olarak kabul edilecektir. 3.3.. Taım: ( G, yarı grubu # Aksiyom A ı sağlası. = G z (3.3. = F z şeklide taımlaa F foksiyoua G yarı grubuu üretici foksiyou (Zeta foksiyou deir [3]. 3.3.. Taım: ( G, yarı grup olmak üzere şeklide taımlaa P deir [3]. G G = = π P z z z foksiyoua G yarı grubuu asal üretici foksiyou 3.3.3. Taım(vo Magoldt Foksiyou: ( G, yarı grubuda Λ ( a r p, eğer a = p r, p asal, =, diğer durumlarda, şeklide taımlaa foksiyoa vo Magoldt Foksiyou deir []. 3.3.4. Taım: p P olmak üzere ( a :, a G, ω = biçimide taımlaa foksiyoa Asal Böle Foksiyou deir. Burada toplam a yı böle p ler üzeride alımıştır. Ayrıca, asal böle foksiyou yardımıyla p a
µ ( a, eğer p a ise, = ω ( a, diğer durumlarda, şeklide taımlaa foksiyoa Möbius foksiyou deir []. 3.3.5. Taım: f : G C bir foksiyo olsu. Bu durumda, şeklide taımlaa F : deir []. f ( a F = a G ( a = N C foksiyoua f foksiyouu toplam foksiyou 3.3.6. Teorem(Ters Möbius formülü: F foksiyou f : foksiyouu toplam foksiyou olmak üzere = µ d d F ( d f dir [6]. Burada toplam yi böle d ler üzeride alımıştır. N C 3.3.7. Teorem: ( G, yarı grubu taımlaa Zeta foksiyouu yakısaklık yarıçapı İspat: ( G, yarı grubu # Aksiyom A ı sağlası. (3.3. de dir. # Aksiyom A ı sağladığıda ike = + G A O ν eşitliği doğrudur. Bu so eşitlik (3.3. ifadeside yerie yazılırsa elde edilir. : ν = + F z A O z = = = ν = A z + O z = işaretlemesi ile bu so eşitlik r G A (3.3. = = F z = A z + r z = I + II şeklide yazılır. (3.3. yi iki kısma ayırarak yakısaklığıı iceleyelim: 3
(3.3. de I serisi bir geometrik seri olduğuda yakısaktır ve toplamı A z dir. z < daireside Şimdi (3.3. de II serii yakısaklık yarıçapıı hesaplayalım: olarak elde edilir. R + ν ( + r O = lim sup = lim sup r O ν ( + ν O = lim sup = ν O R = > ve ν < olduğuda ν ν eşitsizliği doğrudur. < ν Dolayısıyla Zeta foksiyouu yakısaklık yarıçapı ve dir. F z A = + z r z = 3.3.8. Teorem: Zeta foksiyou yakısaklık bölgeside F z = N z π (3.3.3 biçimide gösterilir []. (3.3.3 gösterimie kayaklarda Zeta foksiyouu Euler Çarpımı deir. 3.3.9. Teorem: Zeta foksiyou aalitiklik bölgeside sıfırda faklıdır. İspat: (3.3.3 ifadeside Zeta foksiyou F z = N z π 4
dir. Bu so eşitlikte z z < 3.3.. Teorem: Zeta foksiyou aalitik geişler. İspat: Zeta foksiyou F z biçimideki gösterimide ou oktaya sahip olmadığı görülür. geişler. O halde Zeta foksiyou içi F ( z dır. A = + r z, z = z < v daireside z olmak üzere z olmak üzere z < z < v dairesie z = oktası dışıda sigüler z < v dairesie aalitik 3.3.. Teorem: Zeta foksiyou z = oktasıda basit kutup yerie sahiptir ve bu oktada kalıtısı A değerie eşittir. İspat: Zeta foksiyouu F z A = + r z, z = z < biçimideki gösterimide z = oktasıı ou basit kutup yeri olduğu kolayca görülür. Diğer tarafta, Zeta foksiyouu z = oktasıdaki kalıtısı Re s F z, lim z F z = z formülü ile hesaplaır. Zeta foksiyou (3.3.4 ifadeside yerie yazılır ise (3.3.4 z A z lim z F ( z lim r z = z + z z = 5
z = A + lim z = r z r = A + = elde edilir. Bu so eşitlikte yer ala = A + = r serisii yakısaklık bölgesi z değere sahiptir. O halde r z = < ν olduğuda z = oktasıda bu seri solu bir olarak buluur. Re s F ( z, = A 3.4 P H SINIFININ TANIMI VE TEMEL ÖZELLİKLERİ Bu bölümde adıı G. H. Hardy de ala, kompleks aalizde ve özellikle sayılar teoriside oldukça geiş uygulama alaıa sahip ola öemli özellikleri verilecektir. P H uzaylarıı bazı göre 3.4.. Taım: < r, θ [,π ] iθ iθ ve fr ( e : f ( re = olmak üzere p ye π p p iθ f ( re dθ, < p < ise π iθ fr : = sup f ( re, p ise p = θ [,π ] π + iθ exp log f ( re dθ, p = ise π 6
foksiyoları taımlıdır. p > içi f r foksiyou p f ve f = f = r p r p r α R olmak üzere α fr = α fr p p 3 fr + gr f p r + g p r p koşullarıı sağladığıda bir ormdur [8]. Burada, log f, f ise + > log f : =, f ise biçimide taımlaır. olmak üzere 3.4.. Taım: P H sııfı biçimide taımlaır. p = içi şeklide gösterilir [8]. f H D ve p içi { r p } f : = sup f : r < p { p } p H : = f : f H D ve f <, < p P H sııfı özel olarak Nevalia sııfı olarak adladırılır ve { : ve } N = f f H D f < 3.4.3. Souç: < s < p < içi içermesi doğrudur [8]. p s H H H N 3.4.4. Teorem: f (a H D olsu. p içi f r r i azalmaya bir foksiyoudur. p 7
(b ormlu lieer uzaydır. uzay değildir. p < içi f üçge eşitsizliğii sağladığıda p (c p < içi üçge eşitsizliği sağlamadığıda (d p içi P H uzayı bir Baach uzayıdır [8]. P H uzayı bir P H uzayı ormlu lieer 8
4. BULGULAR VE TARTIŞMA 4.. TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR İLE İLGİLİ TEMEL SONUÇLAR Bu bölümde, G bir küme ( G, yarı grup, : G N { } 3..3.Taım ı sağlaya derece foksiyou olmak üzere ( G,, yapısı toplamsal aritmetik yarı grup olsu. Buda sora ( G, ikiliside toplamsal aritmetik yarı grup alaşılacaktır. 3..3. Taım ve 3..4. Taım da ve dir. biçimidedir. = #{ : = } G a G a #{ p P: ( p } π = = G yarı grubuu üretici foksiyou 3.3. Taım da F z ( G, ikilisi 3..5. ile verile 3.3.4.Teorem de F z = = G z # Aksiyom A ı sağlası. Bu durumda, A = + z r z = biçimide de yazılabilir. Üretici foksiyoda yararlaarak foksiyou taımlayalım. taımlayalım: : = ( z F ( z H z H ( z foksiyou üzerie koşullar koyularak aşağıdaki aksiyomu Aksiyom A : ( G, ikilisi içi > sabiti vardır öyle ki, 9
(i A H ( : = > olmak üzere z < daireside H ( z foksiyou aalitik ve (ii z de sürekli, z < daireside H ( z foksiyouu türevi H ' sıırlı, koşulları sağlaır. Aksiyom A i sağlaya (, G ikilisi içi aşağıdaki Teorem elde edilmiştir. 4...Teorem: ( G, Aksiyom A i sağlası. Bu durumda ike aşağıdakiler doğrudur: (i H ( ise λ = + o, (4.. m ( λ ( m = H ' ( o + (4.. m> H ( ve bazı C R sayıları içi (ii H ( ( m H '( λ C o. m + = + m> m H ( (4..3 = ise ve bazı C R sayıları içi λ λ ( + = + o (4..4 m ( λ ( m = H ' ( o + (4..5 m> f ( ( m λ ( m H '( C m m λ + + = + o m> m f (4..6
4...Souç: ( G, Aksiyom A i sağlası. Bu durumda ike aşağıdakiler doğrudur. (i H ( ise π = + o, m> m m = H ' ( o + H ( m ( π ve bazı C R sayıları içi m> ( m ( mπ H ' C m + = + o m H ( (ii H ( = ise m> ve bazı C R sayıları içi ( π ( π + = + o (, m m = H ' ( o + f ( m ( π m> π ( H '( C m m mπ m m m + + = + o m f Aksiom A e ek olarak H ( z foksiyou üzerie koyulacak yei koşul ile aşağıdaki aksiyom elde edilir.
Aksiyom A : Aksiyom A i koşulları sağlası ve olara ek olarak z daireside H ' foksiyouu kuvvet serisi mutlak yakısak olsu. Aksiyom A i sağlaya (, G ikilisi içi aşağıdaki Teorem elde edilmiştir. 4...Teorem: ( G, Aksiyom A i sağlası Bu durumda ike aşağıdaki ifadeler doğrudur: (i H ( ise (ii H ( λ = + o, = ise, ν < θ < koşuluu sağlaya her θ içi λ θ O( = + 4...Souç: ( G, Aksiyom A i sağlası. Bu durumda aşağıdakiler doğrudur. (i H ( ise (ii H ( π = + o, = ise, ν < θ < koşuluu sağlaya her θ içi π θ O( = +
4. YARDIMCI SONUÇLAR Bu bölümde 4. de verilmiş ola teoremleri ispatı içi gerekli ola yardımcı souçlar ve ispatları verilecektir. 4... Teorem: ( G, Aksiyom A i sağlası. daireside H ( z foksiyou ya sıfırda faklıdır ya da f ( z H z : = + z Bu durumda z şeklide taımlaa foksiyo z daireside sürekli ve sıfırda faklıdır. İspat: Aksiyom A de dolayı H ' H olduğuda z = çemberii z = dışıdaki her bir oktası içi H ( z dır [6]. Şimdi H ( = ise her < r < içi öyle bir r ' vardır ki r ' < r < içi ( ( H r H ( ' f r = = H r r dir. H ' H olduğuda sup r< f ( r < (4.. sağlaır. olmak üzere F z H z = z g z = çift π + z : = z (4.. işaretlemesi altıda ( = F z F z g z F z elde edilir. 3
g foksiyou komşuluğuda kuvvet serisie açılımı g z < daireside aalitik olduğuda z = oktasıı g z şeklide yazılır. Diğer tarafta, eşitliği ve π katsayısı N ı elemaıdır. z biçimide yazılır. + z z g z, = + = = olmak üzere ( z = + k = z z < k N olduğuda (4.. ifadesideki sosuz çarpımı her bir daireside F z olmak üzere g z ( ( F z F z f z f z = = F z F z (4.. ifadeside yararlaarak foksiyouu yakısak olduğu görülür. O halde r lim f r = : f z = oktasıda g ( z eşitliği doğrudur. Böylece, f foksiyou z daireside süreklidir. 4... Lemma: Aksiyom A i sağlaya toplamsal aritmetik yarı gruplar içi aşağıdaki ifadeler doğrudur: (i H ( z foksiyou z = çemberi boyuca mutlak yakısaktır. (ii ike m h m m o = dır. m mh( m = o (4..3 m İspat: (i ( G, Axiom A i sağladığıda H ( z foksiyouu türevi H sııfıdadır. Parseval eşitliğide 4
= h < ifadesi doğrudur. Schwarz eşitsizliği ile birlikte h h < (4..4 = = = buluur. Böylece H ( z foksiyouu olduğu açıkça görülür. (ii (4..4 ifadesii yardımı ile z = çemberi boyuca mutlak yakısak m m h m m m h m m m m eşitsizliği yazılabilir. Bu so eşitsizlikte elde edilir. Burada ve m dx m x + m m h m m h m dx O = x + m h m o = m m asimptotik gösterimleride dolayı ike m h( m = O o = o (4..5 m eşitliği elde edilir. Diğer tarafta kısmi toplam formülü yardımı ile m m m mh m = h m h m du m m m u dır. Bu so eşitlikte (4..5 kullaılarak gerekli işlemler yapılırsa 5
m u u = h( m h( u h( u du m u= u = u= u O h u o du buluur. Böylece olduğu görülür. = O + o O du m mh m m = o 4.3. TEOREMLERİN İSPATI 4... Teoremi İspatı: (i H ( olsu. Vo Magoldt foksiyou '( z F Λ ( z : = = d d z = : z F z = d = biçimide yazılır [5]. (4.3. i her iki tarafı z ile çarpılırsa elde edilir. '( z F z. F z = ( z F ( z eşitliğide H z F z π λ (4.3. = λ z (4.3. = şeklide yazılır ve (4.3.3 ifadesii türevi alıırsa F ' ( z F z foksiyou H z = (4.3.3 z ( + ( z H ' z z H z = buluur. (4.3.4 de elde edile ifade (4.3. de yerie yazılırsa (4.3.4 6
= λ z buluur. Burada z z ( z H ' z z + z H z z H ' z z = = z + H z H z z z ifadesi eşitliği sol tarafıa geçirilirse = λ z eşitliği elde edilir. Bu so eşitlikte serisie açılır ve yerie yazılırsa eşitliği buluur ve burada eşitliği elde edilir. = '( z z H = z z H z z = = foksiyou z = oktasıda Taylor '( z H λ z ( z = z H z '( z H ( λ = (4.3.5 z daireside z z H z H z ve H ' H olduğuda (4.3.5 i sol tarafıda yer ala serii yakısak olduğuu söyler. Yakısak her serii geel terimii limiti sıfır olacağıda λ = + o eşitliği elde edilir. Bu ise (4.. i ispatıı verir. Şimdi (4.. i ispatıı verelim: buu içi (4.3.5 de = ( λ buluur, gerekli sadeleştirmeler souda elde edilir. '( H = H ( λ H '( H ' H H dur. Bu ise z = yazılırsa = (4.3.6 = H 7
H z = h z foksiyou = z < daireside aalitik ve Aksiyom A de sıırıda sürekli olduğuda H ( z foksiyouu türevii z = oktasıda değeri iceleebilir: =. H ' z h z = Burada, z = oktası yerie yazılır ve eşitliği her iki tarafı = H ' h ile çarpılırsa = ' = (4.3.7 H h = eşitliği elde edilir. (4.3.6 eşitliğide (4.3.7 kullaılırsa elde edilir. ( λ = = h = Bu eşitlikte yararlaarak ike eşitliği elde edilir. m ( λ ( m H m = mh m (4.3.8 m> m> H ( m m = = + (4.3.9 ' H h mh m mh m = m m> (4.3.9 ve (4..3 ifadeside yararlaarak H '( + o = mh( m m, ( (4.3. m> elde edilir. (4.3. ifadesi (4.3.8 ifadeside yerie yazılır m> ve gerekli işlemler yapılırsa m = H ' + o, H ( m ( λ 8
'( H ( m ( λ ( m = +, ( (4.3. m> H H buluur. Bu ise (4.. i ispatıdır. o (4..3 ü ispatı içi (4.3. i her iki tarafı ile bölüürse; o H m ( λ ( m = +, H H m> elde edilir. Bu so eşitlik '( ( + λ ( + H '( ( λ H biçimide de yazılabilir. Her bir m + +... = + o + + > içi < olduğuda m ( + λ ( + λ... + + + + + + ( + λ ( + λ... + + + + sağlaır. Bu so eşitsizliği sağ tarafı (4.3. ile ayı olduğuda m> ( m H '( λ o m + m H buluur. Öyle bir C R sayısı buluabilir ki yeterice büyük ler içi m> ( m H '( λ C m + = + m H eşitliği doğrudur. Bu ise (4..3 ifadesii ispatıdır. (ii H ( o = olsu. 4... Teorem ide f ( z H z = + z 9
foksiyou z daireside sürekli ve sıfırda farklıdır. (4.3.5 i her iki yaı + z ile çarpılır ve düzeleirse elde edilir. Bu ifade + z z z zh z H z ( λ ( λ + + + = ' = = λ + H ' z + ( λ z + ( λ ( z = z = = f z biçimie çevrilir ve ( z = yazılırsa H ' λ + = + ( λ + λ ( = f = H ' f ( z λ ( + = + λ + λ ( (4.3. = foksiyou z = çemberide mutlak yakısak olduğuda (4.3. u sağ tarafıda yer ala serii yakısak olduğuu söyler. Yakısak her serii geel terimii limiti sıfır olacağıda λ λ ( + = + o + eşitliği elde edilir. Bu ise (4..4 ü ispatıı verir. Şimdi (4..5 i ispatıı verelim: buu içi (4.3.5 de = ( λ '( H = H buluur. Bu eşitlikte gerekli sadeleştirmeler yapılırsa elde edilir. f ( z ( λ H '( z = yazılırsa = (4.3.3 = H H z = eşitliğide + z ve gerekli işlemler souda z = oktası yerie yazılır ( = ( ( + H f 3
= f ( H elde edilir. Bu so eşitlik (4.3.3 de yerie yazılırsa ( λ H ' ( = (4.3.4 = f eşitliği elde edilir. (4.3.4 eşitliğide (4.3.7 kullaılırsa ( λ = = f ( = buluur. Bu eşitlikte yararlaarak ike m ( λ ( m h m = mh ( m m> f ( (4.3.5 m> eşitliği elde edilir. (4.3.5 de (4.3. ifadesi yerie yazılırsa m> m = H ' o, + f ( m ( λ ve gerekli işlemler yapılırsa m> m ( λ buluur. Bu ise (4..5 i ispatıdır. m = H ' o, + f ( Şimdi (4..6 ı ispatıı verelim: (4.3.7 göz öüde tutularak (4.3. eşitliği f λ + h ( λ λ ( = + + = = biçimide yazılır. Bu eşitlikte ike f m λ m m mh( m ( λ ( m λ ( m + (4.3.6 = + + m> m> eşitliği elde edilir. (4.3. ifadesi (4.3.6 ifadeside yerie yazılırsa 3
f λ H '( + o = + m + m + m> eşitliği alıır ve gerekli işlemler yapılırsa f m m ( λ λ λ H '( + o + = m + m + m> m m ( λ λ λ buluur. Bu so eşitlikte C : = şeklide işaretleir ve eşitliği her iki tarafı ile bölüürse: H ' C + o + = m m f + m> elde edilir. Bu ise ' H C + o + = f biçimide de yazılabilir. Her bir m > içi m m+ λ λ (4.3.7 ( m + ( m ( m + ( m + λ λ λ λ = +... m+ m + + m+ m+ + < olduğuda m ( m + ( m ( m + ( m + λ λ λ λ +... m+ m + + m+ m+ + + + ( m + ( m ( m + ( m + λ λ λ λ +... m+ m + + m+ m+ + eşitsizliği doğrudur. Bu so eşitsizliği sağ tarafı (4.3.7 ile ayı olduğuda m> λ ( H '( m m f ( λ m m C + + o + m buluur. Öyle bir C R sayısı buluabilir ki yeterice büyük ler içi m> ( m λ ( m H '( C m m λ + + = + o m f eşitliği doğrudur. Bu ise (4..6 ifadesii ispatıdır. 3
4... Soucu İspatı: Her N içi π G yarı grubu üzeride derecesi ye eşit ola asal elemaları sayısıı göstersi. λ vo Magoldt foksiyouu katsayısı (4.3. de yararlaarak λ = dπ ( d d biçimidedir. Möbius ters döüşüm formülü yardımı ile π = λ ( d µ d d biçimide yazılabilir [3]. Bu so eşitlik 4.. Teorem de verile eşitliklerde yerie yazılarak isteile elde edilir. 4.. Teorem i İspatı: (i H ( olsu. (4.. eşitliğii sağ tarafıda yer ala '( z H z H z foksiyou Aksiom A de z daireside mutlak yakısaktır[3]. O halde (4.3.5 i sol tarafıda yer ala serii yakısak olduğuu söyler. Yakısak her serii geel terimii limiti sıfır olacağıda λ = + o dir. (ii (4.3. eşitliğii her iki tarafı z ile çarpılırsa z F '( z = λ (4.3.8 F z eşitliği elde edilir. Bu so eşitliği sol tarafıı biçimide işaretleyelim. = z '( z F ς ( z : = z F z 33
(4.3.8 eşitliğide λ i ayı zamada ( z oktasıda Taylor katsayısı olduğu açıktır. O halde, dir. Ayrıca, Cauchy türev formülüe göre eşitliği yazılabilir. ς ς ( ς λ = ( (! ( z! ς = dz, ( r + π i < < z ( (! λ z = r = olduğuda λ = ς π i z z = r ( z + dz ς foksiyouu z = olarak ta hesaplaabilir. Bu so eşitlikte ς ( z foksiyou yerie yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa '( z F λ = z dz π i (4.3.9 F z z = r eşitliği elde edilir. Şimdi (4.3.9 ifadeside bulua olarak hesaplayalım: H ( = olduğuda f ( z şeklide taımlaa foksiyo 4...Teorem de sıfırda farklıdır. Diğer tarafta H ( z F ( z( z f ( z F ' ( z F z foksiyouu açık H z = (4.3. + z z daireside sürekli ve = olduğuda (4.3. eşitliği F z = ( z ( + z biçimide yazılabilir. Bu so eşitliği her iki tarafıı logaritması alıırsa log f ( z ( z ( + z F z = log elde edilir ve logaritma foksiyouu özellikleride = + ( ( + log f z log F z log z log z 34
buluur. Bu so eşitlikte her iki tarafı türevi alıırsa elde edilir. ' ' f z = F z f z F z z + z Burada, ' ' F z = f z + + F z f z z + z (4.3. dir. (4.3. eşitliğii her iki tarafı sırasıyla z ile çarpılır ve < r < olmak üzere z = r boyuca itegralleirse '( z F λ = z dz π i = F z eşitliği buluur. z = r ' f z = z dz z dz z dz π i + f z π i + z π i + z z = r z = r z = r Şimdi bu so eşitliği sağ tarafıda yer ala her bir itegrali Cauchy türev formülüde yararlaarak hesaplayalım: z dz z dz dz π i = = z π i z π i z z z = r z = r z = r = i π z = r eşitliği elde edilir. Bu so eşitlik ( z z dz (! ( z =! i z π z = r dz şeklide yazılır ve işaretlemesi yapılırsa ( z ξ : = z 35
olarak buluur. Şimdi ( z ξ ' = ( z olarak buluur. Burada ve olarak buluur. Diğer tarafta z dz ξ π i = z! z = r ( ( z ξ, ξ ''( z = ( yi hesaplayalım: ( z 3 ξ ( ( z, ξ ''' ( z ( z ( ( 3 = 4 = (! ( z ( = ( ξ!,,! ( ξ ( z = + z dz z dz dz π i = = + z π i + z π i + z z z = r z = r z = r eşitliği elde edilir. Bu so eşitlik = i π z = r ( + z z (! ( + z =! i z π z = r dz dz ( z şeklide yazılır ve işaretlemesi yapılırsa ( z ξ : = + z z dz ξ π i = + z! z = r ( ( olarak buluur. Şimdi ( ( z ξ i hesaplayalım: 36
olarak buluur. Burada ve olarak buluur. dır [5]. ξ ''' ξ '( z =, ξ ''( z ( + z ( z 3 = ( + z 3 So olarak ike ( ( z,, = ( + z 3, (! ( + z ( ξ ( z = + ( ( + z! ξ = ( = ( ( ξ! ' f z z dz O π i = < < f z z = r θ,( ν θ 4... Soucu İspatı: Möbius ters döüşüm formülü yardımı ile π = λ ( d µ d d dir [3]. Bu so eşitlik 4... Teorem de verile eşitliklerde yerie yazılarak isteile elde edilir. 37
5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER 5.. SONUÇLAR Bu tezde ele alıa problem ile ilgili souçlar, Bulgular ve Tartışma bölümüde 4. Toplamsal aritmetik yarı grupları özellikleri başlığı altıda toplamıştır. Ayrıca 4. Yardımcı Souçlar bölümüde de esas teoremleri ispatıda kullaılacak lemmalar ve ispatları verilmiştir. H ( 4... Teorem de ( G, Aksiyom A i sağladığıda = içi ike vo Magoldt foksiyouu Taylor katsayısı olarak bilie λ içi bir asimptotik değerledirme verildi. Ayrıca, = ( λ serisii kala kısmı içi bir asimptotik değerledirme yapıldı. 38
Ayı özellikler H ( olduğuda da iceledi. 4... Souç ta ( G, Aksiyom A i sağladığıda H ( = içi ike Möbius ters döüşüm formülü yardımı ile π içi bir asimptotik değerledirme verildi. Ayrıca, = ( π serisii kala kısmı içi bir asimptotik değerledirme yapıldı. Bu özellikler H ( olduğu durum içide iceledi. 3 4.. Teorem de ( G, Aksiyom A i sağladığıda H ( olduğuda ike λ içi bir asimptotik değerledirme verildi. Ayrıca, H ( = ise ike asimptotik gösterimi elde edildi. λ θ = ( + O( 4 4... Souç ta ( G, Aksiyom A i sağladığıda H ( içi ike Möbius ters döüşüm formülü yardımı ile π içi asimptotik değerledirmesi verildi. Ayrıca, H ( π = + o( = ise ν < θ < olmak üzere ike π asimptotik değerledirmesi yapıldı. θ O( = + 5. ÖNERİLER 39
iceleebilir. Bu çalışmaı devamıda aşağıdaki problemler de iceleebilir: ( G, ikilisi üzerie koyulacak yei aksiyomlar ile ayı problem ( G, ikilisi üzeride taımlaa aksiyomlar altıda 3.3..Taım ve p 3.3..Taım da verile foksiyoları H, ( < p üzeride taımlaa orm ile yaklaşım hızı yarı grup üzerie koyula aksiyomu parametrelerie bağlı olarak iceleebilir. 3 Ω karmaşık düzlemde basit bağlatılı bir bölge olmak üzere Riema döüşüm teoremi kullaılarak bu çalışmada icelee problem Ω bölgesie taşıabilir ve Ω bölgesii sıırlaya eğrii geometrik özelliklerie bağlı olarak asimptotik gösterim elde edilebilir. 4
KAYNAKLAR [] Wusch, A.D., Complex Variables with Applicatios, Addiso Wesley Publishig Compay, U.S.A., 696 s., (5 [] Zill, D.G., Shaaha, P.D. A First Course i Complex Aalysis with Applicatios, Joes ad Bartlett Publishers, U.S.A., 449 s., (3 [3] Idlekofer, K.-H, Some remarks o additive arithmetical semigroups, Lietuvos Matematikos Rikis, Vol 4(:85-4, ( [4] Kopfmacher J., Zhag W.-B., Number Theory arisig from fiite Fields. Aalytic ad Probabilistic Theory, Marcel Dekker, New York, 9 s., ( [5] Kopfmacher J., Aalytic arithmetic of algebraic fuctio fields, Lecture Notes i Pure ad Applied Mathematics 5, Marcel Dekker, New York, 44 s., (979 [6] Depree, J.D., Gehrig, C.C. Elemets of Complex Aalysis, Addisiom Wesley Publishig Compay, USA, 58 s., (969 [7] Saff, E.B., Sider, A.D. Fudametals of Complex Aalysis, Pretice Hall, Upper saddle River, New Jersey, 58 s., (993 [8] Walter R., Reelle ud Komplexe Aalysis, Oldebourg Wisseschaftsverlag GmbH, 46 s., (999 4
[9] Hugerford Thomas W., Algebra, Spriger Sciece+Busiess Media,LLC, 55 s., (974 [] Wehmeier S., Arithmetical Semigroups, Dr. Hut, Müche, s. 3, (5 [] Remmert R., Schmacher G., Fuktioetheorie, Spriger Verlag Berli Heidelberg New York, 39 s., ( [] Idlekofer K.-H, The abstract prime umber theorem for fuctio fields, Acta Math. Hugar., Vol 6, 37-48, (993 [3] Fogels E., O the abstract theory of primes. I-III, Acta Arith., Vol., 3-8, (964 [4] J. Kopfmacher., A Abstract prime Number Theorem Relatig Algebraic Fuctio Fields, Arch. Math. Vol 9, (7-79, (977 [5] Idlekofer K.- H, Mastavicius E., Warlimot R., O a vertai of ifiite products with a applicatio to arithmetical semigroups, Arch. Math., Vol. 56, (446-453, (99 [6] Budschuh P., Eiführug i die Zahletheorie, Spriger-Verlag Berli Heidelberg New York, 336 s., (996 [7] Markushevich, A.I., Theory of fuctios of a complex variable, Chelsea publishig compay, Vol. (3, 367 s., (985 4
ÖZGEÇMİŞ 979 yılıda İskederu da doğdum. İlköğreim ve ortaöğreimimi İskederu da tamamladım. yılıda Mersi Üiversitesi Fe Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü lisas programıı bitirdim. -5 yılları arasıda Almaya Paderbor Üiversitesi Matematik Bölümüde Bilişim üzerie dersler aldım. 5 yılıda bu yaa Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü yüksek lisas öğrecisiyim. 43
44