Çalışma soruları Tanim [Basit egri] α : (a, b) R 3 egrisi verilsin. Farkli t 1, t 2 (a, b) noktalari icin α(t 1 ) α(t 2 ) oluyorsa α egrisine basit egri adi verilir (kendisini kesmeyen egriye basit egri denir). S α : R R 3, α(t) = (t 2 + t, sin t, e t ) seklinde verilen egrinin p = (,, 1) noktasindaki Frenet vektorlerini hesaplayiniz. S1 α : ( 2, 2) R 3 egrisi su sekilde tanimlansin: ( ) α(t) = x(t), y(t), z(t) = (t 2 1, t 3 t, ). S2 1. α egrisinin reguler bir egri olup olmadigini arastiriniz. 2. α egrisinin basit bir egri olup olmadigini arastiriniz. 3. α egrisini ciziniz. α : (, π 2 ) R2, α(t) = (cos 3 t, sin 3 t) egrisinin yay uzunlugunu x 2 + y 2 = 4 cemberini saat yonunun tersi yonunde ve baslangic noktasi (, 2) olmak uzere parametrize ediniz. S5 S6 α(t) = (15 cos t t, 15 sin 17, 8t 17 17 ) helis egrisinin egriligini y 2 = x 3 seklinde verilen egriyi patametrize ediniz ve (, ) ve (4, 8) noktalarn birlestiren yayn uzunlugunu S7 Parametrik denklemi α(t) = (t, t 2 ) seklinde verilen parabolun burulmasini S8 α : [, L] R 3 egrisi yay uzunlugu cinsinden parametrize edilmis ve α(t) α (t) = olsun. Eger α(l/3) = (1, 3, 4) ise α( 2L ) degerini 3 S9 x 2 + y 2 = 1 cemberini saat yonu yonunde parametrize ediniz. S3 S4 y = f(x) = e x egrsinin egriligini hesaplayiniz. egriligin maksimum oldugu noktayi S1 Parametrik denklemi: x = cos t, y = sin t ve z = t seklinde verilen helis e grisinin: Frenet çatısını bulunuz E grili gini bulunuz Burulmasni bulunuz yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 1 Sunday 15 th June, 214 19:49
S11 xy duzlemin de birim hizli bir egri α(s) olsun. e 1 = (1, ) ve e 2 = (, 1) xy duzleminin stantard bazlari olmak uzere α egrisinin hiz vektoru T (s) = α (s) = cos(θ(s))e 1 + sin(θ(s))e 2 seklinde veriliyor. (i) θ(s) nin T (s) ile e 1 arasindaki aci oldugunu ispat ediniz. S12 (ii) α egrisinin egriliginin: κ = θ (s) oldugunu ispat ediniz. α : R R 3 egrisi α(t) = (3 cos ht, 4 sin ht, 3t) seklinde verilen α egrisini yay uzunlugu cinsiden yeniden parametrize ediniz. S13 birim hizli oldugunu gosteriniz. α : R R 3 birim hizli ve kabul edelimki her t icin α(t) = 1 olsun. Bu taktirde α(t), α (t) = 1 S14 α : R R 3 birim hizli ve kabul edelimki her t icin egrilik κ(t) = 1 ve burulmasi τ = olsun. Eger α() = (2,, ), α () = (,, 1) ve α () = (1,, ). Bu taktirde α( π 2 ) =? S15 Birim hizli α egrisi icin asagidaki tanimlari yaziniz. a) egrilik κ(s) b) asli normal vektor N(s) c) binormal vektor B(s). S16 β : [c, d] R 3 egrisi α : [a, b] R 3 regular egrisinin yeniden paremetrelenmisi olsun. Bu taktirde α ve β egrilerinin ayni uzunluga sahip olduklarini ispat ediniz. S17 Bir otomobil α : [, 3] R 2 regular egrisi boyunca hareket etmektedir. Burada α(t) = (2t, t 2 ) seklinde veriliyor. 3 saat sonra otomobilin aldigi yolun uzunlugunu S18 α(t) = (sin(t), cos(t), t) egrisine t = π/2 noktasinda dik olan duzlemin denklemini yaziniz. S19 Merkezi (a, b) ve yaricapi R olan cemberin cevresini 2πR oldugunu gosteriniz. S2 R 3 de p = (x, y, z ) noktasindan gecen ve v = (x 1, y 1, z 1 ) vektoru yonundeki bir L dogrusunun parametrik denklemi: seklinde verilir. x = x + x 1 t, y = y + y 1 t, z = z + z 1 t. yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 2 Sunday 15 th June, 214 19:49
1. Hangi t degerleri icin L dogrusu a. xy-duzlemi ile kesisir b. xz-duzlemi ile kesisir S27 α(t) = (2t, ln t, t 2 ) seklinde verilen egrinin α(1) ve α(e) noktalarn birlestiren yayin uzunlugunu c. yz-duzlemi ile kesisir S21 2. L dogrusuna paralel olan bir duzlemin denklemini R 2 de goruntusu A = {(x, y) : xy = 1, x > } kumesi ile ayn olan parametrik bir egri S28 x = e 2t + e 2t, y = 3 4t, t 1, t 1 parametrik form da verilen egrinin yay uzunlugunu S29 S22 Yay uzunlugu cinsiden paremetrize edilmis bir egriye ait teget(t), normal(n) ve binormal(b) vektorlerin turevi icin Frenet formullerini yaziniz (matris formunda yazabilirsiniz). r(t) = ((1/2) sin(t 2 ), (1/2) cos(t 2 ), (1/4)t 4 ), verilen egrinin uzunlugunu S3 π t π S23 Eger α(t) yay uzunlugu cinsiden paremetrize edilmis bir egri ise α (t) α (t) oldugunu gosteriniz. S24 Eger α(t) birim hizli bir egri ise κ(t) = S25 Eger α(t) birim hizli bir egri ise τ(t) = Compute the length of the arc of the semicubical parabola y 2 = x 3 between the points (, ) and (4, 8). S31 k(u) duzgun bir fonksiyon olmak uzere θ(s) = s k(u)du olarak tanimlansin. ( s α(s) = cos θ(u)dt, s ) sin θ(u)dt egrisinin birim hizli ve yonlendirilmi egriliginin(signed curvature) S26 Parametrik denklemi α(t) = (1 + t 2, t, t 3 ) seklinde verilen egrinin Frenet catisini oldugunu gosteriniz. κ(s) = κ(s) yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 3 Sunday 15 th June, 214 19:49
S32 α egrisi basit kapali ve cevresinin uzunlugu L α, ve kapsadigi alan A α olsun. α egrisinin cevre uzunlugu λ defa buyutululmesi ile elde edilen yeni egri β olsun. β egrisinin kapsadigi alan ise A β olsun. Bu taktirde Aα L 2 α S33 ile A β L 2 β arasinda nasil bir iliski oldugunu R 2 de duzgun bir egri α olsun. Kabul edelimki α (s) olsun. α egrisi hakkinda ne soyleyebilirsiniz? S34 α : I R 2, α(t) = (x(t), y(t)) birim hizli olmayan regular bir egri olsun. α egrisinin egriligini S35 α : (, ) R, α = at + b fonksiyonunu yay uzunlugu cinsiden yeniden parametrize ediniz. S36 α : I R 3 birim hızlı ve e grili gi κ > olsun. T, N, B Frenet çatısı için T = κn, B = τn, N = κt + τb Frenet förmulleri denir. 1. B S37 vektör alanını T, N, B cinsiden yazınız. 2. N N < oldu gunu gösteriniz. λ > icin α(t) = (e t cos(λt), e t sin(λt)), λ > egrisinin 1. (, t ] araligi uzerinde yay uzunlugunun 2. α ile α arasindaki aciyi S38 α egrisi R 3 de birim hizli ve egriligi κ olsun. Bu taktirde det[α, α, α ] = κ 2 τ oldugunu gosteriniz. Burada τ (torsion) burulma fonksiyonunu temsil eder. S39 + y2 = 1 (a > b > ) elips egrisinin b 2 1. parametrik formunu yaziniz x 2 a 2 2. egriligini hesaplayiniz 3. egriligin maximum oldugu noktalari S4 ) α : I R 3 birim hızlı e grisi α(s) = (3 cos( s5 ), 3 sin( s5 ), 45 s şeklinde veriliyor. α e grisi için 1. Frenet çatısı:{t, N, B} yi S41 2. E griliḡi 3. Torsion(burulma)i α : R R 3 birim hizli ve kabul edelimki her t icin α egrisinin e grili gi: κ α (t) olsun. β(t) = α (t) seklinde tanimlanan yeni β egrisi icin: 1. β nin reguler oldugunu 2. β nin egriliginin :κ β = 1 + τ 2 κ 2 oldugunu gosteriniz. Burada τ, α egrisinin burulmasini (torsion) temsil eder. yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 4 Sunday 15 th June, 214 19:49
S43 Uzunlu gu 6m ve kapsadı gı alan 3m 2 olan basit kapal bir e gri vardır. Do gru Yalnış S44 γ diferansiyellenebilir bir egri, v(t) = γ (t) egrinin hizini ve κ egriligini gostersin. 1. γ (t) = v (t)t (t) + κ(t) γ (t) 2 N(t) 2. seklinde yazilabilecegini gosteriniz. Burada T ve N birim teget ve normal vectorleri temsil eder. oldugunu gosteriniz. S45 x 2 γ = ( (v ) 2 + κ 2 v 4) 1/2 a + y2 = 1 (a > b > ) 2 b2 elips egrisinin uzunlugu L ve kapsadigi alan A ise oldugunu gosteriniz. S46 L 2π ab z = x 2 + y 2 paraboloid yuzeyinin Gauss egriligini S47 Parametrik formu r(u, v) = (u cos v, u sin v, v) seklinde verilen yuzeyin ikinci temel formunu S48 Parametrik formu r(u, v) = (3u cos v, 2u sin v, u 2 ) seklinde verilen yuzeyin birinci temel formunu S49 paraboloid yuzeyi uzerinde z = x 2 + y 2 α : ( π, π) R 3, t (r cos t, r sin t, t 2 ) seklinde verilen egrinin uzunlugunu S5 a ve b sabit olmak uzere, r(u, v) = ( ) a(u + v), b(u v), 4uv seklinde verilen yuzeyin Gauss egriligini S51 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 küre yüzeyinin bir paremetrizasyonu: x = r sin(θ) cos(φ) ϕ(θ, φ) : y = r sin(θ) sin(φ) z = r cos(θ) seklinde veriliyor. Burada < θ < π, < φ < 2π. (i) Bu kure yuzeyi uzerindeki Riemann metrik tensorunu (ii) Metrik tensorunu kullanark kurenin yuzey alanini yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 5 Sunday 15 th June, 214 19:49
Cozum: E = g 11 =< ϕ θ, ϕ θ >= r2 F = g 12 = g 21 < ϕ θ, ϕ φ >= G = g 22 =< ϕ φ, ϕ φ >= r2 sin 2 (θ) Sonuc olarak metrik tensor: [ ] r 2 g = r 2 sin 2 (θ) b) Yuzey alani: S(A) = S52 2π π EG F 2 dθdφ = 2π π x 2 + y 2 = a 2 silindir yuzeyinin bir paremetrizasyonu: x = a cos(α) ϕ(h, α) : y = a sin(α) z = h r 4 sin 2 (θ)dθdφ = 4πr 2 seklinde veriliyor. (i) Bu silindir yuzeyi uzerindeki Riemann metrik tensorunu S53 (ii) Metrik tensorunu kullanark silindirin yanal yuzey alanini r(u, v) = f(u) cos v, f(u) sin v, u) parametrik denklemi ile verilen donel yuzeyin 1. I. esas formunu 2. II. esas formunu 3. Gauss egriligini r u = (f (u) cos v, f (u) sin v, 1), r v = ( f(u) sin v, f(u) cos v, 1), r uu = (f (u) cos v, f (u) sin v, ), r uv = ( f (u) sin v, f (u) cos v, ), r v = ( f(u) cos v, f(u) sin v, ) elde edilir. E = r u r u = 1+f 2, F = r u r v =, G = r v r v = f 2 metrik tensorun katsaylari elde edlir. Birinci esas form: I = ds 2 = Edu 2 + 2fdudv + Gdv 2 II. esas form icin once yuzeyin normalini bulalim: II. esas formun katsayilari: L = r uu n = f ve II. esas form: S54 n = r u r v r u r v = ( cos v, sin v, f ) 1 + f 2 1 + f 2, M = r uv n =, N = r vv n = f 1 + f 2 II = f 1 + f 2 du2 + f dv2 1 + f 2 f κ G = f(1 + f 2 ) 2 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 küre yüzeyinin bir paremetrizasyonu: x = r sin(θ) cos(φ) ϕ(θ, φ) : y = r sin(θ) sin(φ) z = r cos(θ) seklinde veriliyor. Burada < θ < π, < φ < 2π. (i) Bu kure yuzeyi uzerindeki I. esas formu yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 6 Sunday 15 th June, 214 19:49
(ii) Bu kure yuzeyi uzerindeki II. esas formu (iii) Kurenin Gauss egriligini (iv) Kurenin yuzey alanini S55 < t < olmak uzere α(t) = (t 2, t 3 at) seklinde verilen duzlem egrisi icin asagidakilerini cevaplayiniz. 1. Hangi a degerleri icin α(t) reguler bir egridir. S56 2. Hangi a degerleri icin α(t) basit bir egridir. 3. α(t) nin egriligini hesaplayiniz. ( ) 1 + x R 2 2 y uzerinde, g = y y 2, (x, y ) Riemann metrigini goz onune alalim. Bu metrige gore (, 1) noktasini (1, ) noktasina baglayan dogrunun uzunlugunu S57 denklemi ile verilen yuzeyin 1. I. esas formunu 2. II. esas formunu 3. Gauss egriligini z = f(x, y) S58 α : I R 3 birim hızlı e grisi ve s (a, b) icin α() = (,, ), N(s) = ( sin s, cos s, ) B(s) = (,, 1) şeklinde veriliyor. α(s) e grisini S59 A olmak uzere, parametrik formu seklinde verilen yuzeyin 1. I. temel formunu 2. II. temel formunu 3. Gauss egriligini r(u, v) = (v cos u, v sin u, Au) 4. Gauss egriliginin hangi nokta da minimum oldugunu S6 α : I R 3 birim hızlı egrisi veriliyor. α vektör alanını T, N, B cinsiden yazınız. α (s) = T (s) = κn dir. Tekrar turev alinirsa elde edilir. S61 α = κ N + κn = κ N + κ( κt τb) yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 7 Sunday 15 th June, 214 19:49
R 2 nin ust yari duzlemini, yani uzayini H = {(x, y) : y > } ds 2 = dx2 + dy 2 y 2 metrigi ile goz onune alalim. Bu ust yari duzlemde 1. [1, ɛ] araliginin uzunlugunu bulunuz S62 2. ɛ iken [1, ɛ] araliginin uzunlugunu bu uzayda verilen metrige gore yorumlayiniz. α : R R 3 α() = (,, 3) α () = (1,, ) α () = (, 2, ) κ ( t) = 2 τ(t) = seklinde verilen birim hizli α egrisini Not: 62. ve 14. sorular ayni tip olmasina ragmen 62. soruyu 14. soru gibi cozmek zor. 62. soruyu cozen 14. soruyu da cozer.:) Biraz ipucu verelim. Frenet formullerini kullaniniz. T yi T cinsinden yaziniz. Yani T icin 2. mertebeden diferensiyel denklem elde etmelisin ve bu Diferensiyel denklemi verilen sınır deger kosullari altinda cozmelisin. S63 γ : [a, b] R 3 birim hizli ve egriligi κ olsun. T ve N birim teget ve normal vektorler olmak uzere, λ R sayisi icin γ λ (s) = γ(s) + λn(s). seklinde tanimlanan γ λ (s) egrisinin egriligini S64 z = x2 a + y2 2 b 2 denklemi ile verilen yuzeyin 1. I. esas formunu 2. II. esas formunu 3. Gauss egriligini S65 S R 2 nin ust yari duzlemini, yani uzayini H = {(x, y) : y > } ds 2 = dx2 + dy 2 y 2 metrigi ile goz onune alalim. Bu ust yari duzlemde α(t) = (r cos t, r sin t) parametrik sekilde verilen egrinin α(π/6) den α(5π/6) ye kadar olan kismin uzunlugunu ***Ders notlari*** Haftanın sözleri: If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I do mathematics to keep happy ( Alfred Renyi) The only way to learn mathematics is to do mathematics. (Paul Halmos) yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 8 Sunday 15 th June, 214 19:49
We must know, we will know! David Hilbert yazim hatalari var... /yeni sorular eklenecek... 9 Sunday 15 th June, 214 19:49