SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar öce bulumuşlar. Ama hepside, büyü matematiçileri de ilgisii çemiş esteti taraflar var. Keyfii çıarı! A. Yeti Sayılar Yeti sayı diye edisi dışıdai dahil bütü bölelerii yai öz bölelerii toplamıa eşit ola pozitif tamsayıya diyoruz. E üçü yeti sayı 6 dır, çüü 6 ı özböleleri,, 3 tür ve 3 6. Çoğu tamsayı yeti değildir; özböleleri toplamı ya sayıı ediside büyütür ya da üçü. 4 ü özböleleri,, 3, 4, 6, 8, dir ve 3 4 6 8 36 > 4; 5 i özböleleri, 3, 5 tir ve 3 5 9 < 5. İl dört yeti sayı şulardır: Y 6 Y 8 3 Y 3 496 4 5 Y 4 88 6 7. Bu ısa listeyi gördüte sora geellemeler yapmaya çalışalım; e de olsa matematitei pe ço teori bilie bazı basit örelerde ortaya çımıştır. Meselâ, her yeti sayı bir öceide bir basama fazladır veya yeti sayıları birler basamaları sırayla 6 ve 8 olur diye tahmi edebiliriz. Ama bu tahmiler hiçbir matematisel düşüceye dayamıyor ve daha öteye gidemiyor, çüü Y 5 33550336 3 Y 6 8589869056 6 7. Diat ettiyseiz her yeti sayıyı a a şelide yazmaya öze gösterdi; üsteli a her defasıda bir asal sayıydı, yai de ve ediside başa bölei olmaya bir pozitif tamsayı. İl altı yeti sayı a, 3, 5, 7, 3, 7 değerleri ile elde edildi, bir asal sayı ola atlaara. Bu hiç de tesadüf değil. Şu gerçe M.Ö. 3. yüzyılda Ölit tarafıda biliiyordu: Eğer a bir asal sayıysa, o zama S a a yeti bir sayıdır. Buu ispatlama içi S i bütü bölelerii yazalım. Tabii i,,,..., a bölelerde bir ısmı; buları toplamıa T diyelim. Paratez içidei ifade asal, ama ou az öcei bölelerle çarparsa S i yei bölelerii elde ederiz ve a dahil; buları toplamıa da T diyelim. Buda başa da bölei yotur S i. Şimdi hepsii toplayalım: T T a a a T a T a T. T toplamıı ise solu geometri serii toplamı formülüde elde ederiz; serimizde il terim, so terim a ve orta çarpa : O halde T a a. T T a a [ a a ] S. Nede S yerie S elde etti? S i böleleri arasıda edisii de saydı da oda; bu fazlalığı çıarırsa özböleler toplamı olara S elde ederiz ve bu da S i bir yeti sayı olduğuu gösterir. İspatımızda, a i asal olması öemli yer tuttu. Şimdi bilmemiz geree a şelidei hagi sayıları asal sayı olduğu. Bu tip sayılara Mersee sayıları deiyor. a i asal olması içi a ı da asal olması gereiyor, yai a asal değilse a de asal değil. Buu ODTÜ Matemati Bölümü öğretim üyesi
görme ço olay. Eğer a asal değilse a bc yazabiliriz. O zama a b c, b [ b c b c b ] şelide çarpalara ayrılabilir. Bu öermei arşıtı ise doğru değil, yai a asal olduğu zama a de asal olaca diye bir ural yo. Yuarıda il biraç yeti sayıyı yazare atladığımız a ie a asal değil, çüü 047 3 89. Dolayısıyla 0 i de yeti olması geremiyor, değil de zate. 8. yüzyılda Alma matematiçi Euler, Ölit i bildiği soucu tersii de doğru olduğuu gösterdi; yai bir çift sayıı yeti olabilmesi içi gere ve yeter şartı, a asal ie sayıı Ç a a şelide yazılabilmesi olduğuu ispatladı. İspatıda, her pozitif tamsayıı asal sayıları çarpımı olara te bir şeilde yazılabildiğii ve bütü bölelerii toplamıı vere formülü ulladı; bu uzu ispatı burada vermiyoruz. Çift yeti sayıları bulma içi artı iş hagi Mersee sayılarıı asal olduğuu bulmaya alıyor. Bu da hiç olay değil; hiç bir ural eşfedilemedi şimdiye de. Frasız matematiçi Mersee 7. yüzyılda il biraç taesii buldu; oda sora bulualar da bir avuçta fazla değil. Yei bir tae bulma içi haftalar tuta bilgisayar hesapları gereiyor, çüü bilerce basamalı sayılar ve böleleri söz ousu. Yeti ola te sayı var mı, yo mu; bu da bilimiyor. Çift yeti sayılar haıda bilie bir şey ise birler basamalarıı sırayla gitmese de 6 veya 8 olduğu. Buu da doğruluğuu gösterme zor değil. a bir uvveti olduğu içi birler basamağı hep, 4, 8, 6 da biri olacatır. Bua arşılı gele a i birler basamağı ise sırasıyla 3, 7, 5, olacatır. Birici, iici ve dördücü hallerde çarpımı birler basamağı sırasıyla 6, 8, 6 olur. Üçücü hal ise a aca 4 ü atı ie mümüdür; bular ise asal değildir ve çift yeti sayı vermezler. Çift yeti sayıları bir başa özelliği de şu: Y,..., Y 6 ı basamalarıı toplarsa ve bu işleme te basamalı bir sayı alıcaya adar devam ederse hep aldığıı görürüz. Bu bir rastlatı mı? Hayır, hiç de değil; cevabı da modüler aritmetite yatıyor. 6 yı bir eara ayırırsa, diğer çift yeti sayılar, a bir te asal sayı olma üzere, Ç a a şelidedir. O zama a çift sayı olur. mod 3 deliğide a a mod 3 elde ederiz [3]. Bu bize, t diye bir tamsayı içi, a 3t olduğuu söyler. Her ii tarafı ile çarpara a 6t ve a 6t buluruz. Dolayısıyla a a 3t 6t 8t 9t mod 9 olur, çüü 8t ve 9t, 9 ile bölüür. Yai her çift yeti sayı 9 a bölüdüğüde ala olmatadır. Bu ise 9 a bölüebilme uralıda [3] basamalar toplamıı olmasıa detir. 6 yı bu hesabı dışıda tuttu, çüü ou vere a çift ve o zama a çift olamıyor. So olara, 6 dışıdai her çift yeti sayıı bir üpler toplamı olara yazılabileceğii söyleyelim. Eğer sayımız a a ise, il a te sayıı üplerii toplamıa eşittir. Öreği, a 7, 88 i verir. İl 7 8 te sayıı üplerii toplamı da 3 3 3 5 3 7 3 9 3 3 3 3 5 3 88. Nedeii görebiliyor musuuz? B. Pascal Üçgei Öce egatif olmaya bir tamsayı ie x y 0 x y açılımıa baalım. ye biom atsayısı ya da i li ombiasyou deir. Bu sayı bize tae şey de taesii sıra gözetmesizi aç türlü seçilebileceğii ya da elemalı bir ümei elemalı aç tae altümesi olduğuu söyler; bu yüzde de tamsayıdır. 0 ve tamsayı ise buları!!! şelide hesaplarız; egatifse veya de büyüse ifadeye 0 değerii veririz. Burada 0! ve! diye taımlaır ve fatöriyel diye ouur. Sıra gözetilere yapıla seçimler permütasyo adıı alır ve!/! şelide hesaplaır; tabii daha az sayıdadırlar. Hesaplama yötemide ile i yerlerii değiştirme yi değiştirmediği içi, 3
doğrudur. Yai, 7 elemalı bir ümede elemaı seçmei 5 elemaı seçme adar yolu vardır; bu da şaşılaca bir gerçe değildir, çüü elema seçildiğide diğer 5 elema da seçilmiş olur. Pascal formülü de deile eşitliği ispat etme fatöriyelleri yazara olduça olay olsa da, biz gee de alamıı açılayaca bir ispat vermeye çalışalım. elemalı bir K ümemiz olsu ve elemalarıda birie x diyelim. K i li ombiasyoları x i içerip içermedilerie göre A ve B gibi ii tiptir. A tipi ombiasyolar aslıda elemalı K \ {x} ümeside elema seçilip olara x i elemele oluşturulur ve dolayısıyla bu tipte tae ombiasyo vardır. B tipi ombiasyolar ise K \ {x} ümeside tae elema seçilere oluşturulurlar ve dolayısıyla bu tipte tae ombiasyo vardır. İi tipte ombiasyoları toplayara souca ulaşırız []. Bu formülü ve 0 başlagıç değerlerii ullaara, artı fatöriyele gere almada biom atsayılarıı idirgemeli olara hesaplayabiliriz. Biom açılımıı elde edilmesi ve olayca hesaplamasıa olaa verdiği bazı toplamlar [4] de gösterilmişti. Biz burada sadece bazılarıı alamlarıda bahsedeceğiz. Biom açılılmıda x y alıara elde edile 0 eşitliği bize elemalı bir ümei tam tae altümesi 0 elemalı boşüme ve ümei edisi dahil olduğuu söyler. x ve y alıara elde edile 0 0 eşitliğii 0 3 şelide yazarsa, bir öcei eşitlite her ii tarafı olduğuu görürüz ve bu da bize elemalı bir ümei te sayıda elema içere altümeleriyle çift sayıda elema içere altümelerii eşit sayıda ve tae olduğuu söyler. Bir diğer özelli 0 eşitliğidir. Sağ taraf elemalı bir K ümesii elemalı altümelerii li ombiasyolarıı sayısıdır. Şimdi buları terar değişi biçimde sayalım. K yi elemalı A ve B diye ii ümeye parçalayalım. K i her li ombiasyou, bir içi A ı bir li ombiasyou ile B i bir li ombiasyouu bileşimidir. Bular sırayla ve taedirler. Dolayısıyla, K i bu ciste li ombiasyoları şeilde seçilebilmetedir. K i bütü li ombiasyolarıı sayısı ise bu ifadeyi 0 da ye adar toplayara buluur. Biom açılımıda y oyara elde ettiğimiz ifadei x e göre türevii alıp x oyarsa veya y oyma, türev alma, x ile çarpma, 0 3 3 3 4 4 6 4 5 5 0 0 5 6 6 5 0 5 6 7 7 35 35 7 8 8 8 56 70 56 8 8 9 9 36 84 6 6 84 36 9. Şeil 4
türev alma, x oyma işlemlerii yaparsa türüda eşitliler elde ederiz. Buları türev ullamaya ispatlarıı ve daha yüse uvvetler içere bezerlerii bulmayı ouyucuya bıraıyoruz []. Biom atsayılarıı Şeil dei gibi dizilişie Pascal üçgei diyoruz. Bu üçge il olara Frasız matematiçi Pascal da dört yüzyıl öce 3. yüzyılda Çili matematiçi Yag Hui tarafıda eşfedilmiştir []. Üçgei yici satırıdai yici sayı dir 0,...,. olduğuda, üçgedei sayılar e tepede aşağı ie bir esee göre simetritir. Yuarıda elde edile toplamlarda, yici satırdai sayıları toplamı, arelerii toplamı ise dir. Pascal formülü, üçgei çerçevesidei ler dışıda ala tüm sayıları heme uzeydoğu ve uzeybatısıdai sayıları toplamıda elde edilebileceğii söyler. İici ve sorai satırlardai diye yazılabilece üçücü sayıya üçgesel sayı deir, çüü bu sayılar adar ota, Şeil de görüldüğü gibi, her earıda eşit sayıda ota bulua birer üçge halide dizilebilir. üçgesel sayısı il tamsayıı toplamıa eşittir. 3 6 0 Şeil Diat edilirse, Pascal üçgeide yici satırdai sayılar de başlayara artmata, sora terar e adar imete. tese ortadai ii sayı eşit olmata, çiftse ortada te bir e büyü sayı olmata. Buları edeii görme içi ie esirii pay ve paydasıı birbirleride büyü veya üçü ya da birbirlerie eşit olduları durumlara bamamız gereir. < ile < eşdeğerdir. Eğer çiftse, < ile eşdeğer, tese < ile eşdeğerdir. Bu ise üçgedei satırı sol yarısıdai ler içi esiri de büyü olduğuu ve dolayısıyla sayıları artara gittiğii gösterir. Azalmayı gösterme içi ise < işaretleri > e çevrilir. Pay ve paydaı eşitliği demetir ve bu da e detir. Burada da satırdai ii ardışı sayıı eşit olabilmesi içi i te ve i olması geretiği ortaya çıar. Şimdi olaca şeilde Pascal üçgeii yici satırıı e so sayısıda başlayıp güeybatı yöue doğru yolumuza çıa sayıları toplayara m yici satıra de ilerleyelim. Öreği, ve m 7 ise 3605 56 toplamıa baalım. Bu toplamı, m ici satırda so elediğimiz sayıı heme güeydoğusudai sayı olduğuu görürüz. yici satırı il sayısida başlayıp m yici satıra de güeydoğu yöüe ilerlerse bezer bir toplama erişiriz. Bu ii toplam biom atsayıları ciside şöyle yazılabilir: m m m m 0 m m Pascal üçgeii simetriliğide dolayı bu ii ifadede birii doğruluğu diğeriiii de geretirir. İl ifade daha geel haliyle [4] de vardır. İici ifade bulmaı bir yolu da sağ tarafıa ere Pascal formülü uygulamatır. İl ifadei geel halii bir başa özel hali ise 0 eşitliğidir. hali bize bilie formülüü, yai üçgesel sayıları, verir. Pascal üçgeii beşici sırasıdai ler dışıdai bütü sayılar 5 e bölüebildiği halde 5
altıcı sırasıdaileri hepsi 6 ile bölümezler. Buu edeii 5 i asal sayı olması biraz şaşırtıcı gelebilir, ama ifadesie batığımızda asal sayı ise paydadai yi götüre hiç bir şey olamaz paydada, ve sayısı i bir çarpaı olara alır. Terside, asal değilse, i çarpaı ola e üçü asal sayıya diyelim. Eğer sayısı ile bölüebilseydi, bir tamsayı olurdu. Bu imâsızdır, çüü paydadai sayıları hiçbiri i e üçü olma özelliğide dolayı ye bölüemez. Yai i asallığı gere ve yeter şarttır. 9. yüzyılda Frasız matematiçi Lucas, asal sayılar, modüler aritmeti ve biom atsayıları arasıda aşağıdai bağıtıları elde etti []. Buları ispatıı ouyuculara bıraıyoruz. a bir asal sayı olsu. i Her pozitif tamsayı içi, a a mod a. b, b de üçü veya b ye eşit e üçü tamsayıyı gösterir. ii a ise a 0 mod a. iii a ise a 0 mod a. iv 0 a ise a mod a. v 0 a ise a mod a. vi 0 a 3 ise a 3 mod a. So olara x y r ifadeside r tamsayı değil de herhagi bir gerçel sayıysa e olacağıa baalım. Her şeyde öce r bir gerçel sayıysa r ifadesi r üzeride fatöriyeller ullamada r rr r! şelide taımlaır. Öreği, 7 5 şu demetir: 7 7 5 3 7 5 5! 56 Şimdi i r de büyü olmasıı egelleye hiçbir şey olmadığıda, egatif olmaya herhagi bir tamsayı olabilir, ve hatta az sora göreceğimiz gibi bu gerelidir de. Tabii ümeleri elemalı altümelerii sayısı gibi alamlar verme artı mümü değildir. Newto 7. yüzyılda x < içi y x y r 0 r x y r olduğuu gösterdi. Buu ispatı birtaım deri yaısalı avramları geretiriyor ve buraya almıyoruz. Burada z x y ve r alara ve biraz sadeleştirere z z 0 gibi eşitliler çıartabiliriz. oyara ve z yi z ile değiştirere elde edeceğimiz z z z z 0 eşitliği bize il terimi ve orta çarpaı z z < ola sosuz geometri serii toplamı formülüü verir. Newto ı formülüde r yazarsa r 0 0 olur ve epeyi bir sadeleştirmede sora toplamımız, z < içi, z z şelide yazılabilir. Burada il biraç terimi toplamıa baara sayıları areöüü yalaşı hesaplayabiliriz. Aslıda hesap maieleri de bezer bir yötemle çalışır. Meselâ, 0 6 4 6 0.5 4 0.5 [ 4 0.5 8 0.5 ] 6 0.53 4.47. KAYNAKÇA [] R. A. Brualdi, Itroductory Combiatorics, Elsevier North-Hollad, New Yor, 977. [] C. C. Che & K. M. Koh, Priciples ad Techiques i Combiatorics, World Scietific, Sigapur, 99. [3] A. Nesi, Üçe, Douza ve Obire Bölüebilme, Matemati Düyası, 3, sayı 4, 5 7 993. [4] H. Oral, Nasıl Toplamalı?, Matemati Düyası, 3, sayı 3, 6 8 993. 6