DERS Türevin Ugulamaları: Kapalı Türev, Değişim Oranları.. Kapalı Türev(İmplici Differeniaion). Eğer f (), denkleminde olduğu gibi kapalı(implici olarak verilmişse, ü bulmak için zincir kuralı kullanılabilir: F(, ) düzlemde bir eğri belirler. Bu eğri üzerinde bir (, ) nokası ( ani, F (, ) olan bir (, ) ) için o nokadaki eğein eğimi, nün (, ) için değeridir ve eğein denklemi, nün (, ) için değeri m olmak üzere m( - ) + dır. nün (, ) için değeri ile göserilir. Yukarıdaki örneke ), ( + F ( ) ( ) ), ( ), ( d F d F ( ) ( ) d d + + + ' ' zincir kuralı ( ), ' m 5 5 ' 5, 5
ür ve + eğrisine, 5 5 nokasında eğe olan doğrunun denklemi + + 5 5 5 ür. Burada, 5 5 nokasının + denklemini sağladığına dikka ediniz. Örnek. - + + eğrisinin (, -) nokasındaki eğeinin denklemini bulalım. + + ' ' + ( ) ' ( ) ' (, ) + ' ( ) + ( ) Örnek. ln e ifadesile verilen ( için ' d ( ( ) i bulunuz ve () olduğuna dikka ederek ' i hesaplaınız. (,) ln e ln + e + e ( e ) e ln ' e ln e e ln e e ln. e ' (,)
.. Değişim Oranları (Rae of Change). Günlük aşamda en çok karşılaşılan problemlerden biri, her ikisi de zamana göre değişen iki niceliğin birbirlerine göre değişim oranlarını (arış vea azalış oranlarını) belirlemekir. Örnek olarak, Bir işleme, giderindeki arışın kârını ne oranda ekileeceğini bilmek iser. Bir aırımcı, borsadaki arış oranı ile fer başına milli gelir arasındaki ilişkii bilmek iseebilir. Bir oomobil saıcısı, faiz oranları arıkça saığı oomobil saısının ne oranda düşeceğini bilmek iser. Yukarıdaki örneklere benzer soruları içeren problemlere değişim oranı problemleri (rae of change problems) denir. Değişik bir örnekle başlaalım. Problem. Yandaki şekilde görüldüğü gibi, dik bir duvara daalı 6 cm uzunluğunda bir merdivenin ukarı ucu cm/sn hızla aşağıa kamağa başlıor. Merdivenin üs ucu erden cm ükseklike iken aşağı ucu duvardan hangi hızla uzaklaşmakadır? Bir değişim oranı problemini çözmek için şu adımları izleebilirsiniz:. Yardımcı olacaksa bir şekil çiziniz.. Büün değişkenleri, bunlardan değişim oranları verilenleri ve değişim oranları bulunacak olanları belirleiniz.. Verilen ve bulunacak olan üm değişim oranlarını ürev olarak ifade ediniz.. İkinci adımda belirlediğiniz değişkenlerin sağladığı bir denklem azınız. 5. Dördüncü adımda bulduğunuz denkleme kapalı ürev ugulaınız ve ürevde verilen değerleri erleşiriniz. 6. Bilinmeen değişim oranını, elde eiğiniz denklemi çözerek bulunuz. Merdiven probleminin çözümü. Merdivenin üs ucunun erden üksekliği, al ucunun duvara uzaklığı ile göserilsin. in zamana göre değişim oranı verilmiş, iken nin değişim oranı bulunmak isenior. d cm / sn,?
Merdivenin uzunluğu 6 cm olduğundan, şekildeki dik üçgen kullanılarak + (6),. Kapalı ürevle d +,,, olunca, ve olduğundan d d 8 ( )( ) + ( ) 8 cm/sn. elde edlir. Merdivenin aşağı ucu duvardan saniede 8 cm hızla uzaklaşmakadır. Benzer bir örnekle devam edelim. Problem. İki bisikleli, dik olarak kesişen, kuze-güne ve doğu-baı doğrulusundaki iki caddenin kesdişme nokasından anı anda hareke ediorlar. Bisiklelilerden biri kuzee doğru dakikada mere hızla, diğeri de doğua doğru dakikada mere hızla giiğine göre, harekein 5-inci dakikasında bu iki bisikleli arasındaki uzaklık hangi hızla değişmekedir? Çözüm. Başlangıçan dakika sonra, doğua doğru giden bisiklelinin aldığı ol mere, kuzee doğru giden bisiklelinin aldığı ol mere, iki bisiklelinin arasındaki uzaklık z mere olsun(şekilden izleiniz.) Bu akdirde, z + olur. Burada, ve z den her biri zamana bağlı olarak değişmekedir. Çoğu zaman olduğu gibi, zamanı ile gösereceğiz. Bölece, m/dak z m/dak d, m/dak
z + ifadesinden kapalı ürev ile dz z + d dz z + z d 5 olunca,. 5,.55 ve z 5 olacağından dz 5 + 5 5 5 m/dak. elde edilir. Harekeen 5-inci dakikasında iki bisikleli arasındaki uzaklık dakikada 5 mere armakadır. Problem. Bir noka, eğrisi üzerinde hareke emekedir. Noka (,-8) konumunda iken -koordinaı dakikada birim armakadır. O halde nokanın -koordinaı hangi hızla değişmekedir? Çözüm. Nokanın herhangi bir andaki koordinaları, ve, ve zamana göre değişmekedir. bağınısını sağlamaka Zamanı ile gösererek ifadesinde e göre (kapalı) ürev alınırsa, d (,-8) konumunda, ani ve -8 olunca, birim/dak. olur. O halde, ( 8) d d 6 6 olup koordinaı dakikada 6 birim azalmakadır. Önceki problemde sözü edilen eğrisini grafik çizim sraejisini ugulaarak çizebilirsiniz. Eğer bu ifade için çözülürse,
± ± elde edilir. Doısıla, grafik ve nin grafiklerinin birleşimidir. Bilioruz ki bu grafiklerden her biri diğerinin -ekseni erafında ansıılmasıla elde edilir. nin grafiğini çizip -eksenine göre ansıalım. Denklem, için anımlıdır. Arıca, > için ' >, '' > olduğu da göz önüne alınırsa, grafik aşağıdaki gibi elde edilir.
Problem. Hafada rado üreen bir firmanın oplam gideri ve oplam geliri C() 5 + R () (.) YTL olarak verilior. Bu firma rado üremeke iken, üreimini her hafa 5 rado arırmağa karar verior. Bu durumda firmanın gider, gelir ve kârında medana gelecek değişiklikleri bulunuz. Çözüm. Hafalık üreim saısı olan, zamana ( e) göre değişior. iken dir. iken 5 olacakır. Dolaısıla, giderin hafalık değişim oranı dc dc 5 olur ve gider hafada YTL arar. Gelirdeki değişim dr (.) olup iken dr (.) 5 5 den hafada YTL (arış) olarak elde edilir. Kârdaki değişime gelince, P() R() C() -5 + 8 (.) olduğundan dp 8 (.)
dir ve bölece, iken kâr hafada YTL arar. dp (.) 5 8 5 Problem. Bir ürün üzeride eni üreime başlaan bir firma ilk dör a için, -inci hafada ( + + 75 ade ürün üremei planlıor. Üreilen ürün saısıla bağlanılı olarak, bir ürünün saış fiaı da p (.)( YTL olarak belirlenecekir. Bu firmanın hafalık sabi gideri 5 YTL ve bir ürün için gideri YTL olduğuna göre, 5-inci hafa iibarile, gider, gelir ve kârdaki hafalık değişim oranlarını bulunuz. Çözüm. -inci hafada ( + + 75 ürün üreileceğine göre, -inci hafa iibarile hafalık oplam gider : C 5 + ( YTL; bir ürünün saış fiaı p (.)( YTL olduğundan hafalık gelir: R (- (.)( )( ( - (.)( ve bölece hafalık kâr : P R - C ( (.)( -(5 + (), P 8( (.)( - 5 YTL dir. Değişim oranlarına gelince ( + + 75 ' ( + C 5 + ( dc '(
R ( - (.)( P 8( (.)( - 5 dr '(. ( '( dp 8 '(. ( '( 5-inci hafa iibarile, '(5) 5 + ürün/haf. dc 8 YTL/haf. dr. 96 dp 8. 76 YTL/haf. YTL/haf. 5-inci hafa iibarila, gider, hafada 8 YTL arar; gelir, hafada 96 YTL ve kâr, hafada 76 YTL arar.
Problemler. Aşağıdaki her bir denklem için verilen (a,b) nin denklemi sağladığını konrol ediniz ve f() olduğunu düşünerek ' i bulunuz. ( a, b) a) - +, (a,b) (-,) b) e, (a,b) (,) c), (a,b) (,-) d) 5, (a,b) (-,). Her bir denklemden ü ve verilen nokadaki eğein eğimini bulunuz, sonra da eğe denklemini azınız. a) - +, (-,) b) e, (,) c), (,-) d) 5, (-,). Aşağıda, ve nin e bağlı olarak değişiklerini, ani (, ( olduğunu kabul ediniz ve verilen bilgii kullanarak isenilen oranı bulunuz. a) -, için. için d i bulunuz. b) ln, için. için d i bulunuz. d c) + 5, için. için i bulunuz. d) +, için. için d i bulunuz.. İki ane moorlu kaık, biri kuze diğeri de doğu önünde olmak üzere anı erden, anı anda hareke ediorlar. Kuzee gidenin hızı, saae 5 mil, doğua gidenin hızı ise saae mil olduğuna göre, harekelerinden saa sonra kaıklar arasındaki uzaklığın (zamana göre) değişim oranını bulunuz.
5. Bir noka + 5 eğrisinin üzerinde hareke edior. Noka, (, ) e iken - koordinaı (ordinaı) saniede. birim arıor. Nokanın -koordinaı (apsisi) hangi hızla değişiir? 6. Bir noka, eğrisinin üzerinde hareke edior. Noka (, ) de iken - koordinaı (apsisi) saniede birim azalıor. -koordinaının (ordinaının) değişim oranını bulunuz. 7. Durgun bir havuza aılan bir aş dairesel dalgacıklar medana geirior. Bu şekilde oluşan bir dalgacığın arıçapı saniede.5 mere arığına göre, dalgacığın arıçapı mere iken içine aldığı alanın hangi hızla değişiğini bulunuz. 8. Dik bir duvara daanmış olan f. uzunluğundaki bir merdivenin al ucu kaarak duvardan saniede f. hızla uzaklaşmağa başlıor. Kama devam ederken, merdivenin al ucu duvar dibine 6 f. uzaklıka olduğu anda, üs ucunun (aşağıa doğru) hangi hızla kadığını bulunuz. 9. m. lik bir direğin epesinde bulunan bir sokak lambası ile adınlanan bir sokaka, 8 cm bounda bir öğrenci saniede 5 m. hızla lambanın bulunduğu direken uzaklaşmakadır. Öğrenci direken m. uzakaken, gölgesinin ucunun direğe olan uzaklığı hangi hızla değişmekedir?. Bir su ısııcısından er halısına su sızmağa başlıor ve halı üzerinde dairesel bir alan ıslanıor. Islanan alan saniede 5 cm arığına göre, ıslanan alanın arıçapı cm. olduğu anda bu arıçapın hangi oranda değişiğini bulunuz.. Hafada ade ürün üreen bir firmanın gider ve gelir fonksionları C( ) 9 +, R( ) YTL olarak verilior. Üç a için üreim apmaı planlaan firma, ilk hafa ürün üreerek başlıor ve bundan sonraki her hafa üreimini 5 arırmaa karar verior. Bu durumda a) Hafalık üreilen ürün saısını zamanın( nin) fonksionu olarak ifade ediniz. b) Dördüncü hafa iibarile, gider, gelir ve kârdaki hafalık değişim oranını belirleiniz.