FONKSİYONLAR BÖLÜM 4 FONKSİYON TÜRLERİ: BİRE BİR FONKSİYON Bir fonksionun grafiğinden bire bir olup olmadığını anlamak için verilen tanım aralığında çizilen ata doğruların sadece bir defa grafiği kesmesini isteriz f : A B fonksionu için 1 2 için f(1) f(2) oluorsa ; ani farklı elemanların görüntüleri de farklı ise f fonksionuna bire bir fonksion denir. Örnek...1 : Örneğin; Şekildeki gibi grafiği olan f, bire bir fonksiondur =f() A={,1,2} kümesinden reel saılara tanımlı f()=³ fonksionu bire bir midir? Örnek...2 : Reel saılara tanımlı,f()=3+5 fonksionu bire bir midir? Şekildeki gibi grafiği olan f, bire bir fonksion değildir. =f() Örnek...3 : A={,1,2} kümesinden reel saılara tanımlı f()=² fonksionu bire bir midir? A dan A a (kısaca A 'da) tanımlı birebir fonksiona permütaon fonksionu da denir. ÖRTEN FONKSİYON Örnek...4 : Şekilde grafiği verilen fonksion R de bire bir midir? =f() f : A B fonksionu için f(a)=b ise f fonksionu örten bir fonksiondur. Tanıma göre f fonksionun, B kümesinin tüm elemanlarını A kümesinin elemanlarıla eşleştirdiği sonucunu çıkarırız. A f B 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 214 215 1/7
Bir fonksionun grafiğinden örten olup olmadığını anlamak için verilen değer kümesinin her değeri için çizilen ata doğruların grafiği en az bir defa kesm esini isteri z. Örnek...5 : Şekilde grafiği verilen fonksion reel saılarda tanımlıdır. Bu fonksionun örten olması için değer kümesi ne olmalıdır? 1 4 3 =f() İçinelik ve Örtenlik birbirinin tersidir. Örnek...7 : Fonksionları inceleiniz, örten olup olmadıklarını belirtiniz 1) f : R R, f ()= 2 1 2 +1 2) f : R R, f ()= 3 Örnek...8 : Grafikleri inceleiniz. Tanım aralıklarında verilen fonksionların örten vea içine olup olmadıklarını belirtiniz f : R R Örnek...6 : f: (,2] K fonkionu örtense en geniş K kümesini azınız. 8 2 =f() f : R R =f() 5 6 2 =f() İÇİNE FONKSİYON : f : A B fonksionu için f(a) B ise f fonksionu içine bir fonksiondur. Tanıma göre f fonksionun B kümesinde A kümesinin elemanlarıla eşleştirmediği elm anlar içerdiği sonucunu çık arır ız. A f B f : R + R + =f() 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 214 215 2/7
Örnek...9 : Hangileri reel saılar kümesinde birebir ve örtendir? =f() =g() SABİT FONKSİYON Tanım kümesinin her elemanının görüntüsü anı olan fonksiona sabit fonksion denir. Örnek; A={,1,2} kümesinden reel saılara tanımlı f()=5 fonksionu sabit f onksi ondur. Örnek...11 : f : R R, f()=(k 2) 3 +(m+3)+k m fonksionu sabit fonksion ise f( 23)=? =h() =k() Örnek...12 : f : R R, f()= 4 2 (a 2)+b+2 2 ++5 fonksionu sabit fonksion ise a+b=? =m() Örnek...1 : s(a)=n 2 n ve s(b)=5n A kümesinden B kümesine tanımlı bir f fonksionu birebir değil ama örtense ise s(a) en az kaçtır? Örnek...13 : A={, Z, 2 2 } olmak üzere A kümesinde kaç tane sabit fonkion tanım lanır? 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 214 215 3/7
BİRİM FONKSİYON A kümesinden A kümesine tanımlı bir f fonksionu her elemanı kendisile eşliorsa f fonksionuna sabit fonksion denir. Birim fonksion genellikle I() ile gösterilir. =f()= 1. Doğrusal fonksionlar reel saılarda bire bir ve örten fonksionlardır. 2. =f ()=a+b fonksionun grafiğini çizmek için iki nokta bulur ve grafiği bu noktalardan geçecek şekilde çi zeri z. Örnek...17 : =f ()=3 6 fonk si o nun grafiğini çizini z Örnek...14 : f : R R, f()=(k 2 4) 2 +(k+3)+k m fonksionu birim fonksion ise f(k m )=? Örnek...15 : f : R R, =f () fonksionu birim fonksion ve f(g())+f( 3 )+= 3 4+7 ise g(1) kaçtır? Örnek...18 : =f ()= 4 fonk si o nun grafiğini çizini z DOĞRUSAL FONKSİYON a R,b R, a koşulula =f ()=a+b biçimindeki fonksionlara doğrusal fonksion denir. Doğrusal fonksionların grafikleri düzl em de doğru belirtir. Örnek...19 : Yanda ki grafik =f() in grafiği olmak üzere, g()=f( 6) biçiminde tanımlanan g fonksionunun eksenlerle oluşturduğu bölgenin alanı kaç birim karedir? =f()= 2 Örnek...16 : =f () doğrusal fonksion ve f(2)=6 ve f(3)=9 ise f() değerini hesaplaınız. 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 214 215 4/7
Çizilmiş doğrusal fonksionların kuralını bulmak için a) noktalar sıradan noktalar ise =f()=m+n ifadesinde noktalar erine konur ve m ile n bulunur. b) eksenleri kestiği noktalar A(a,) ve B(,b) olan noktalar ise a + f () b =1 eşiliğinden f( ) çekilebilir. HATIRLATMA =f ()=a 2 +b+c fonksionları r= b 2a doğrusuna göre simetrik olup ine e bu değer verildiğinde a saısına bağlı olarak en bü ük ve a en k üçük değerini alır. Örnek...22 : Reel saılarda tanımlı =f ()= 2 +6+1 fonksionunun görüntü kümesinin en küçük değeri kaçtır? Örnek...2 : Grafiği verilen fonksionun kuralını bulunuz 2 3 =f() A( 2,1) PARABOLİK FONKSİYONLAR a R,b R, c R,a koşulula =f ()=a 2 +b+c biçimindeki fonksionlara parabolik fonksion denir. Parabolik fonksionların grafikleri düzl em de parabol belirtir. =g() HATIRLATMA Parabol grafiğini çizmek için 3 noktaa eterlidir. (Bazen tepe noktası ve çukurluğun ön ü de e terli olabilir) Grafiğin genel şekli u ile v arasındadır (kollar ukarı durumlu ise). Bu noktalar genellikle grafiğin eksenleri kestiği noktalar ve tepe nok tas ıdır Örnek...23 : =f ()= 2 2 8 fonksionun grafiğini çiziniz Örnek...21 : f : R R, f()=(a+3) 3 +(b 2) 2 +b+b 3 fonksionun grafiği orjinden geçen bir parabol ise bu grafiğin eksenini kestiği diğer nok ta ı bulunuz. Örnek...24 : =f ()= 2 fonksionun grafiğini çiziniz. 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 214 215 5/7
HATIRLATMA Parabollerin tanım kümeleri sınırlandırılmazsa bire bir de değildir, örten de değildir. Tanım ve değer kümelerine göre bire bir vea örten ap ıl abilirler. Örnek...25 : f : R R, f()= 2 1+21 fonksionun görüntü küm esini bulunuz? PERMÜTASYON FONKSİYONU f : A A fonksionu bire bir ve örten bir fonksiona f e A da bir permütason f onksi onu denir. Örneğin A={a,b,c} de tanımlı f={(a,b), (b,c),(c,a)} fonksionu bire bir ve örten olduğu için bir permütason fonksionudur. Bu fonksion f=( a b c b c a) olarak da sıklıkla belirtilir. Örnek...27 : A={a,b,c} kümesinde tanımlı f=( a b c c a b) permütason fonksionu için {f(b),f(c)} küm esini a zınız? Örnek...26 : f :(3,8) K, f ()= 2 4+1 fonksionun görüntü kümesinde kaç farklı tamsaı vardır? Örnek...28 : s(a)=n olmak üzere A da kaç tane perm ütas on f onksi onu tanım lanabilir? 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 214 215 6/7
DEĞERLENDİRME 1) f : R R, f()= (p 2)3 +3 2 (a 2)+k 2 ++5 fonksionu sabit fonksion ise f(k)=? 5) Grafiği verilen =f() fonksionu için f(f(f(3))) =? =f() A(1,3) 2) f : R R, f (2 2 +6+2)=(k 2 +4) 2 +(m+3)+c m fonksionu birim fonksion ise ise k.m.c en az kaç olabilir? 6) f : R R, f()= 2 2 15 fonksionun simetri eksenini belirleiniz ve grafiğini çiziniz. 3) s(a)=5 olmak üzere A da tanımlanabilecek en fazla kaç değişik permütason fonksionu tanımlanabilir? 7) f : [3,8] K, f ()= 2 2+4 fonksionu bire bir ve örtense K kümesi ne olabilir? 4) A={a,b,c,d} olmak üzere f(a)=b olacak şekilde A kümesinde kaç tane birebir fonkion tanımlanır 12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 214 215 7/7