FREKANS ATLAMALI DİZİLER KÜBRA BAYRAKTAR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI TOBB EKONOMİ VE TEKNOLOJİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FREKANS ATLAMALI DİZİLER KÜBRA BAYRAKTAR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI TOBB EKONOMİ VE TEKNOLOJİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ARALIK 010 ANKARA

Fen Bller Ensttü onayı Prof. Dr. Ünver KAYNAK Müdür Bu tezn Yüksek Lsans derecesnn tü gereksnlern sağladığını onayları. Prof. Dr. Öer AKIN Mateatk Anabl Dalı Başkanı Kübra BAYRAKTAR tarafından hazırlanan FREKANS ATLAMALI DİZİLER adlı bu tezn Yüksek Lsans tez olarak uygun olduğunu onayları. Tez Jür Üyeler Başkan : Prof. Dr. Ferruh ÖZBUDAK Yrd. Doç. Dr. Zülfükar SAYGI Tez Danışanı Üye : Yrd. Doç. Dr. Zülfükar SAYGI Üye : Yrd. Doç. Dr. Çetn ÜRTİŞ

TEZ BİLDİRİMİ Tez çndek bütün blglern etk davranış ve akadek kurallar çerçevesnde elde edlerek sunulduğunu, ayrıca tez yazı kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışada orjnal olayan her türlü kaynağa eksksz atıf yapıldığını bldrr. (İza) (Adı Soyadı)

Ünverstes : TOBB Ekono ve Teknoloj Ünverstes Ensttüsü : Fen Bller Anabl Dalı : Mateatk Tez Danışanı : Yrd. Doç. Dr. Zülfükar SAYGI Tez Türü ve Tarh : Yüksek Lsans Aralık 010 Kübra BAYRAKTAR FREKANS ATLAMALI DİZİLER ÖZET Bu tezn aacı, Elektronk, İletş ve Blgsayar Mühendslğ ndek kodlarda blg let sağlaak çn gerekl olan FHS lern cebrsel yolla oluşturulasıdır. Bu aaçla bazı akaleler ncelenş ve FHS üret etotlarına dayalı detaylı br anlatı yapılıştır. Bu anlatıın çerğnde FHS ve optal FHS nn tanıı, optallk krterler vardır. Optallk çn alt sınırlara da yer verlştr. Ayrıca bu anlatılardan sonra akalelerdek optal FHS oluşturaya dayalı yönteler nceleyp bu yönteler yce anladıktan sonra, hepsnde ortak ve sonlu cslerde de uygulaası olan br yönte olan, z fonksyonu yardııyla FHS oluşturanlara bakılıştır. Makalelerde verlen örnekler detaylı br şeklde anlatılıştır. Bu anlatıdan sonra da akalelerdek oluşuları sağlaaya yönelk başka örnekler de MAGMA prograı yardııyla ncelenştr. Bunun ötesnde akalelerdek oluşuları sağlaayan paraetrelern neden çalışadığına dar örnekler de ncelenştr. Bu sorun net br yanıt bulaaakla beraber, cevap araak çn teorelern spatlarına bakılıştır. Bu tezde bu spatlara yer verleştr, ancak sadece bazı sout örnekler çn MAGMA prograı sayesnde nceleeler yapılıştır. Sonuçta se bu üret etotları çn açıkça br karşılaştıra yapılıştır. Brbrn kapsayan ve brnn dğernn dışında kaldığı paraetreler gözlelenş ve tartışılıştır. Sonuç olarak bu yapılar çn br tablo oluşturuluş ve bu tablo bze hang paraetrenn nerede olduğuna dar kesn br sonuç verştr. Yen paraetreler ve farklı yönteler arayışıız deva etekte olup, başka fonksyonlar yardııyla da nceleneblecek olan bu FHS yöntelernden, z fonksyonu yardııyla oluşturuluş olanları çn başka yen paraetreler de bulunablr. Anahtar Keleler: Frekans atlaalı dzler, cebrsel frekans atlaalı dz yönteler, optal frekans atlaalı dzler, optal frekans atlaalı dz çftler, optal frekans atlaalı dz ales. v

Unversty Insttute Scence Prograe Supervsor : TOBB Econocs and Technology Unversty : Insttute of Natural and Appled Scences : Matheatcs : Assstant Professor Dr. Zülfükar SAYGI Degree Awarded and Date : M.Sc. Deceber 010 Kübra BAYRAKTAR FREQUENCY HOPPING SEQUENCES ABSTRACT Purpose of ths thess s algebrac constructon of freuency hoppng seuences(fhs) whch are needed for securng transsson of nforaton n codes of Electronc, Telecouncaton and Coputer Engneerng. It s studed for ths purpose ve there s an detaled expresson about constructons of generatng FHS. In ths expresson,there are defntons of FHS, optal FHS and crterons of optalty. There are also lower bounds for optalty. Algebrac constructons of optal FHS are analysed n soe papers. These constructons are abstracted ute well. Especally t s looked trace functons to for optal FHS. Ths trace functon s also an applcaton of Fnte Felds. The exaples gven n soe papers are analysed too detaled. Soe other exaples are also analysed by the ad of MAGMA prograe. Beyond these analyses, we looked at soe other exaples that t s not gven n the papers. But there s no answer to ths. We also looked at the proofs of theores and leas, yet there s no proof n ths thess. We looked at just for soe crude exaples. In concluson we dd a clear coparson for the constructons. We dd the table for dstngushng dstnctons aong paraetres. And ths table answered us exactly. One can fnd other paraetres and other functons to construct lke these optal FHS. Keywords: Freuency hoppng seuences, algebrac constructons of optal freuency hoppng seuence, optal Freuency hoppng seuences, optal Freuency hoppng seuence par, optal Freuency hoppng seuences faly. v

TEŞEKKÜR Çalışaları boyunca bana yol gösterp katkıda bulunan, ben yönlendren hoca Yrd. Doç. Dr. Zülfükar SAYGI ya, Onun değerl yardılarına, yne kıyetl tecrübelernden faydalandığı TOBB Ekono ve Teknoloj Ünverstes Mateatk Bölüü öğret üyelerne teşekkür eder. Ayrıca bu tez Cebrsel Eğrler ve Üssel Toplalar Kullanarak Bazı Krptografk Uygulaalar adlı TÜBİTAK projes kapsaında yürütülüştür. Yne çalışaları boyunca yazdığı kodlarla teze katkıda bulunan ve çalışalarıda her açıdan bana yardı eden ofs ve proje arkadaşı Seda KAHRAMAN a ve anev olarak bana destek olan dğer bütün ofs arkadaşlarıa teşekkür eder. Son olarak desteklern benden hçbr zaan esrgeeyen, ben yetştrp bugünlere gele sağlayan sevgl annee, babaa, ablaa ve nk yeğen Kayra ya çok üteşekkr. v

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR İÇİNDEKİLER ÇİZELGELERİN LİSTESİ KISALTMALAR v v v v x x 1. GİRİŞ 1 1.1. Genel Blgler 1 1.. Frekans Atlaalı Dzler (FHS) 3 1.3. Blnen Optallk Sınırları 7. CEBİRSEL YÖNTEMLER 1.1. Genel Üret Metodu 14.1.1. [4] dek Dzler 15.1.. [5] dek Dzler 0.1.3. [9] dak Dzler 3.1.4. [3] dek Dzler (p= duruu) 6.1.5. [3] dek Dzler ( p duruu) 9 3. KARŞILAŞTIRMALAR 33 3.1. [4] le [5] dek Paraetrelern Karşılaştırılası 35 3.. [4] le [9] dak Paraetrelern Karşılaştırılası 36 3.3. [5] le [9] dak Paraetrelern Karşılaştırılası 37 KAYNAKLAR 38 v

EKLER 40 ÖZGEÇMİŞ 43 v

ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çzelge Sayfa Çzelge 1.1., Y, Z dzler çn Hang korelasyon değerler 4 Çzelge 3.1. Çzelge 3.1. [4,5,9,3] akalelerndek dzlern paraetreler 33 x

KISALTMALAR Kısaltalar Açıklaa FHS Frekans Atlaalı Dzler (Freuency Hoppng Seuence) FHSS Frekans Atlaalı Yayılı İzge (Freuency Hoppng Spread Spectru) DSSS Dogrudan Sıra Yayılı İzge (Drect Seuence Spread Spectru) MA Çoklu Erş (Multple Access) CDMA Kod Bölel Çoklu Erş (Code Dvson Multple Access) FHMA Frekans Atlaalı Çoklu Erş (Freuency Hoppng Multple Access) FH-CDMA Frekans Atlaalı Kod Bölel Çoklu Erş (Freuency Hoppng Code Dvson Multple Access) S(n;F) F alfabesnde, n uzunluklu bütün dzlern kües H() dzsnn Hang oto-korelasyonu H(,Y) ve Y dzlernn Hang kros-korelasyonu M(U) U alesnn Hang korelasyonu ( n, k, λ ) Elean sayısı k olan alfabe üzernde, uzunluğu n olan dzler çn H()= λ ken elde edlen dz. ( n, k, λ ; N) Elean sayısı k olan alfabe üzernde, uzunluğu n olan dzleryle oluşturulan ale çn H()= λ ve N de aledek elean sayısını gösterektedr. eleanlı sonlu cs F w() dzsnn Hang ağırlığı d (, ) H Y ve Y dzlernn Hang uzaklığı x

BÖLÜM 1. 1.GİRİŞ 1.1. Genel Blgler Frekans atlaalı yayılı zge (freuency-hoppng spread spectru, FHSS) ve doğrudan sıra yayılı zge (drect seuence spread spektru, DSSS) teel k yayılı kodlaa teknolojsdr. FHSS, brçok frekans kanalı arasından br tanesn seçerek radyo snyallern lete yöntedr. Bu seç frekansı leten ve frekans letlen kşler tarafından blnen rastgele br dzy kullanarak yapar. Bu rastgele dz, teelde br kurala göre hazırlanış olasına rağen, karaşıklığı ve ender rastlanasından dolayı rastgele adını alır. FHSS yönte, çoklu erş etodu olarak frekans atlaalı kod bölel çoklu erş şeasında (freuency-hoppng code dvson ultple access, FH-CDMA) kullanılır[0]. Çoklu erş etodu, blgsayar letş ağlarında, brden fazla uç noktanın, br let ortaına erşp let yapableler özellğdr. Bu let erkez br zaan bölüşüü ya da frekans bölüşüü oladan yapar. Çoklu erş kod bölel, zaan bölel ya da frekans bölel olarak yapılır. FHSS yönte çn kod bölel çoklu erşden (code dvson ultple access, CDMA) faydalanılır. DSSS se, letşde kullanılan br teknktr. İletlen snyaln bant genşlğ ne kadar fazlaysa o kadar hızlı let gerçekleşr. Bu yöntelerdek 'Yayılı zge' se, taşıyıcı snyallern br chazın let frekansı bant genşlğ (spektru) üzernden gerçekleşr[18]. Daha fazla blg çn [18], [0] ve [1] e bakılablr. FHS ler FH-CDMA letş sstenn taalayıcı br parçasıdır. FHS, FHSS etodu çn yararlıdır. Yukarıda bahsedlen sstelerden br olan FHMA(freuency hoppng ultple access, frekans atlaalı çoklu erş) ssteler çn ver göndere teknğnden faydalanılablr. Ayrıca brçok letş sstelernn yayılı zgesnde da FHS etkldr. Asker letşlerde kullanılan ant snyal karıştırıcı(antjang) çn, güvenlk ve çoklu erş yöntelernde, ayrıca günüüzde asker olayan letşlerde de, bluetooth, kablosuz ağ letşlernde (ultra-wde band, UWB) de, 1

FHS kullanılaktadır. Bluetooth, teelde FHS ler kullanarak, blg alışverş sağlar. Bluetoothla herhang br very blgsayara ya da cep telefonuna doğru br şeklde aktarak çn FHS lerden yararlanılaktadır. Yukarıda saydığıız çeştl ssteler çn kullanılan FHS lern, y Hang korelasyonuna sahp olası gerekektedr. Bu tezde se FHS, Hang korelasyonu ve optal dz tanıları anlatılıp, y Hang korelasyonuna sahp olanları ncelenecektr. FHS nn çeştl üret yolları vardır. Bu yollar çeştl fonksyonlarla yapılablr. Bz burada z fonksyonu yardııyla oluşturuluş olan cebrsel oluşu yöntelern nceleyeceğz. Bu yöntelerle bulunan FHS lern çnde en y hang korelasyona sahp olanları bulanın bazı kısa yöntelerne dar alt sınırlar verp, bunların yanı sıra optal dz şartlarını sağlayan cebrsel oluşulardan 5 tanesn detaylı br şeklde anlatacağız. Bu detayın çnde en y ola şartlarını sağlayan/sağlaayan örnekler bulunaktadır. Ayrıca MAGMA prograı tarafından hesaplanan dzlern korelasyonlarına da bakılıp optallkle lgl doğrulukları teyt edlecektr. [5],[4],[9] ve [3] nuaralı akalelerde anlatılan z fonksyonu kullanılan cebrsel yönteler, karşılaştıralı tabloyla beraber ortaya konacak ve paraetrelern teker teker kıyaslaası yapılıp, aradak farklar/benzerlkler ortaya konup br tablo hazırlanacaktır. Brbrn çeren, kesşen paraetreler açıkça ortaya konacaktır. Böylece FHS lern cebrsel üret yöntelernden brs bütün yönleryle ele alınış olunacaktır.

1.. Frekans Atlaalı Dzler(FHS) Olablecek bütün frekans değerlernden oluşan F = { fo, f1, L, fk 1} küesne alfabe denr. n poztf br ta sayı olak üzere, F küesndek eleanlarla oluşturulan n uzunluğundak bütün dzlern kües S( n; F ) le gösterlr, S( n; F) = { = ( x, K, x ) : x F ve = 1,,..., n}. 1 n S( n; F ) küesnden alınan herhang br eleana F üzernde uzunluğu n olan frekans atlaalı dz (freuency hoppng seuence), kısaca FHS, denr. Örnek 1: F = Z 3 = {0, 1, } ve n = 13 olsun. S (13; Z 3) = {( a 1, a, K, a 13 ) : a Z 3 ve =1,,,13} küesnde, Y ve Z dzler aşağıdak gb tanılanablr: = (0,,,, 1,,, 0, 0,, 1, 0, 1), Y = (0, 1, 1, 1,, 1, 1, 0, 0, 1,, 0, ), Z=( 1, 1, 1, 0,,,, 0, 1, 1,,, 1). O halde, Y ve Z dzler Z 3 üzernde uzunluğu 13 olan brer FHS olurlar. İk dz arasındak uzaklığı hesaplaak çn hang korelasyonu tanıına htyaç duyarız. FHS ler çn Hang korelasyonu aşağıdak gb tanılanır. Tanı 1.1: (Hang Korelasyonu) S( n; F ) küesnden alınan herhang k,y dzs, =( x 1, x, K, xn ) Y=( y 1, y, K, yn ) çn, t zaanda geckey gösterek üzere, Hang korelasyonu H, Y, n 1, Y ( ) = (, + t ), 0 t n = 0 H t h x y <, (1.1) 1, x= y se olarak tanılanır. Burada h( x, y) = olur ve yer nds +t üzerndek 0, x y se bütün şleler, dznn uzunluğu n olduğu çn, (od n) de hesaplanır. 3

Örnek : Hang korelasyon hesabını, Örnek1 de verlen, Y ve Z dzler çn nceleyel. = (0,,,, 1,,, 0, 0,, 1, 0, 1), Y = (0, 1, 1, 1,, 1, 1, 0, 0, 1,, 0, ), Z=( 1, 1, 1, 0,,,, 0, 1, 1,,, 1). Verlen herhang k dz çn Hang korelasyonu H, Y ( t ) = 1 = 0 h( x, y + ), 0 t<13 t olduğundan dzlern korelasyonları çn Çzelge 1.1 elde edlr. Burada dzlern +t nds değerler, od 13 e göre hesaplanır. Çzelge 1.1., Y, Z dzler çn Hang korelasyon değerler t H, ( t ) H Y, Y ( t ) H Z, Z ( t ) H, Y ( t ) H, Z ( t ) H Y, Z ( t ) 0 13 13 13 4 4 6 1 4 4 7 4 4 3 4 4 3 4 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 5 4 4 4 4 5 4 6 4 4 6 4 6 7 4 4 6 4 1 8 8 4 4 4 4 6 5 9 4 4 4 4 5 6 10 4 4 4 6 3 11 4 4 3 4 5 4 1 4 4 7 4 4 6 FHS dzlernn brbrlernden ayırt edlebles çn olası bütün t değerler üzernden Hang korelasyonlarının aksu değerler göz önüne alınır. 4

Tanı 1.: S( n; F ) küesnden alınan herhang k farklı,y dzs çn; H() = aks{ H, ( t) } 1 t< n (1.) 0 t< n {, Y } H (, Y ) = aks H ( t) (1.3) { } M (, Y ) = aks H ( ), H ( Y ), H (, Y) (1.4) olarak tanılanır. Tanı 1. dek (1.) eştlğ br dznn kendsyle korelasyonu olan, Hang oto-korelasyonu, (1.3) eştlğ br dznn farklı br dzyle korelasyonu olan, Hang kros-korelasyonudur. Tezn bundan sonrak bölülernde, elean sayısı k olan br alfabe üzernde, n uzunluklu br FHS dzs çn, λ =H() olak üzere, (n,k,λ )-FHS göster kullanılacaktır. Örnek 3: = (0,,,, 1,,, 0, 0,, 1, 0, 1), Y = (0, 1, 1, 1,, 1, 1, 0, 0, 1,, 0, ), Z=( 1, 1, 1, 0,,,, 0, 1, 1,,, 1) olak üzere Örnek de elde edlen Çzelge 1.1 den H() = aks{ H, ( t) } 1 t< 13 H(Y) = aks{ HY, Y ( t) } 1 t< 13 H(Z) = aks{ H Z, Z ( t) } 1 t< 13 olarak bulunur. Benzer şeklde; 0 t< n {, Y } =4, =4, =7 H (, Y ) = aks H ( t) =4, 0 t< 13 {, Z } H (, Z) = aks H ( t) =7, 0 t< 13 { Y, Z } H ( Y, Z) = aks H ( t) =8. Yukarıdak değerler kullanılarak; 5

M(, Y)=aks{4, 4, 4) =4, M(, Z)=aks{4, 7, 7}=7, M(Y,Z)=aks{4, 7, 8}=8 elde edlr. Dolayısıyla dzs (13,3,4)-FHS, Y dzs (13,3,4)-FHS, Z dzs (13,3,7)-FHS olur. Hang korelasyon değerlerne bakılarak, dzlern optallk krterler şu şeklde verlr [11]. 1. S( n; F) olak üzere, eğer her ' S( n; F ) çn H ( ) H ( ') eştszlğ sağlanırsa e optal dz denr.., Y S( n; F) ve Y olak üzere, eğer brbrnden farklı herhang ', Y ' S( n; F) çn M (, Y ) M ( ', Y ') eştszlğ sağlanırsa,y dzlerne optal dz çft denr. 3. S( n; F ) küesnn herhang br alt kües K olsun. K küesnden alınan herhang k farklı dz, optal dz çft oluşturuyorsa K küesne optal ale denr. Uyarı: S( n; F ) küesnde F = k olak üzere; n k farklı dz bulunduğundan, bu küeden alınan herhang br dzsnn optal olup oladığına tanı yardııyla karar verek güç ve uzun br süreçtr. Bu nedenle br sonrak bölüde özetleyeceğz sınırlar kullanılablr. 6

1.3. Blnen Optallk Sınırları Br öncek bölüde verlen optallk krterlernn tanıları ışığında, br dznn optal olables çn, en küçük Hang korelasyonlu dz optal olacağından, o dznn Hang oto-korelasyonunun, yan (1.) denklenn, nu olası gerekektedr. Br dz çftnn optal olables çn o dz çft çn tanılanan Hang oto-korelasyonlarının ve Hang kros-korelasyonlarının aksuunun, yan (1.4) denklendek fadenn, nu olası gerekektedr. Optal br alenn de optal dz çftlernden oluşası ve olabldğnce fazla sayıda farklı elean çeres gerekektedr. Dolayısıyla br dznn optal olası çn, nu değerlerne lşkn, aşağıda verlen Lepel-Greenberger alt sınırı kullanılablr. Lea 1.3: [11] Her ( n, k, λ)-fhs dzs çn, ε, n ε (od k) olan en küçük negatf olayan ta sayı olak üzere; ( n ε )( n+ ε k) H ( ) k( n 1) (1.5) eştszlğ sağlanır. Burada x, x ten büyük veya x e eşt olan en küçük ta sayıdır. Dzlern optal olası çn, Lea 1.3 ün sonucu olarak bulunan aşağıdak alt sınır da kullanılablr. Sonuç 1.4: [6] Her ( n, k, λ)-fhs dzs çn, n=sk+ε, 0 ε <k-1 olak üzere; s, n k se H ( ) 0, n= k se (1.6) eştszlğ sağlanır. 7

Sonuç 1.5: [6] ( n, k, λ)-fhs dzs çn, n>k, n=sk+ε, 0 ε <k-1 olak üzere, H()= n k ta sayıdır. =s se optaldr. Burada x, x ten küçük veya x e eşt olan en büyük Örnek 4: Örnek de verlen, Y ve Z dzler çn k=3, n=13 olduğundan Lea 1.3. de kullanılan n ε (od k) değer ε 1(od 3) olarak bulunur. Buna göre, (13 1)(13+ 1 3) (1.5) denklende sağ taraf = 4 3(13 1) bulunur. O halde ve Y dzler çn, Örnek den, H()=4, H(Y)=4 ve H(Z)=7 olduğundan ve Y dzler optaldr. Z dzs se optal değldr. Şd de Lepel-Greenberger alt sınırı dz çft çn verlecektr. Teore 1.6: [11] Ayrık k, Y ( n, k, λ) - FHS çn; M (, Y ) k 1 ( + + ) İ= 0 d e d e n 3n (1.7) eştszlğ sağlanır. Burada d, e, 0 k-1, ve Y dzler çn d = µ ( f ), Y e = µ ( f ). Burada µ ( a ) fonksyonu dzsndek a ların sayısını, µ ( a ) fonksyonu Y dzsndek a ların sayısını gösterektedr. Y Örnek 5: Z 3 = {0,1,} alfabe kües üzernde tanılı, = (0,,,, 1,,, 0, 0,, 1, 0, 1), Y = (0, 1, 1, 1,, 1, 1, 0, 0, 1,, 0, ) dzler çn dzsndek 0 ların sayısı 4, yan d 0 = 4, 1 lern sayısı 3, yan d 1= 3, lern sayısı 6, yan d = 6 olduğu görülür. Benzer şeklde Y dzs çn e 0 = 4, e 1= 6, e = 3 olur. O halde (1.9) denklenn sağ tarafı 8

4 + 4 + 16+ 3 + 6 + 18+ 6 + 3 + 18 13 3 13 = 4 olduğundan, ve Y dzler optal br çft oluşturur. bulunur. Örnek 3 te M(,Y)=4 Alfabedek elean sayısı br asal sayının kuvvet olduğundan aşağıdak sınır elde edlştr. Lea 1.7: [11] br asal sayının poztf br kuvvet olak üzere, k farklı,y ( 1,, λ) -FHS dzs çn; M (, Y ) 1 (1.8) eştszlğ sağlanır. Dz alelernn optallkler ncelenrken, bu alelerdek dz ve dz çftlernn aldığı Hang korelasyon değerler göz önüne alınır. Tanı 1.8: U, S( n; F) nn N eleanlı br alt kües olsun. U dz ales çn Hang korelasyonu; { } x U, Y U, Y M ( U ) = ax ax H ( ), ax H (, Y ) (1.9) olarak verlr. Br dz alesnn optal olası çn aşağıda verlen alt sınır kullanılablr. Lea 1.9: [13] Elean sayısı k olan br F alfabes üzernde tanılı, N eleanlı U S( n; F ) küesnde, I nn = k olak üzere; 9

( nn k) n M ( U ) ( nn 1) k (1.10) ve INn ( I+ 1) ki M ( U ) ( nn 1) N (1.11) eştszlkler sağlanır. Eğer br dz ales Lea 1.9 da verlen alt sınırları sağlarsa o dz alesne Peng- Fan optaldr denr. Örnek 6: Örnek 5 dek ve Y dzler çn U={,Y} olsun. N=, n=13, k=3 olak üzere Örnek 3 ve Tanı 1.8. den M(U)=4 olarak bulunur. (1.10) denklende sağ (13 3)13 taraf = 4 (13 1)3 olduğundan U optal br ale tanılar. Teore 1.10: [13,14],Y ayrık k ( n, k, λ) -FHS olsunlar. 0 r<k olak üzere; I nn = k ve n=ik+r, 4 In ( I+ 1) Ik M (, Y ) 4n (1.1) eştszlğ sağlanır. Teore 1.11: [10] Her, Y K S( n; F) dzs çn, F = k, nn I = k ve K küesnn elean sayısı N olak üzere, H(), dznn oto-korelasyonu (1.), H(,Y), dzlern kros-korelasyonu (1.3) ve I= nn k olak üzere; ( n 1) kh ( ) + ( N 1) nkh (, Y ) ( nn k) n (1.13) 10

( n 1) NH ( ) + ( N 1) NkH (, Y) InN ( I+ 1) Ik (1.14) eştszlkler sağlanır. 11

BÖLÜM..CEBİRSEL YÖNTEMLER Tezn kalan bölüünde FHS lern üretlesnde kullanılan özel br yönte ele alınacaktır. Bu yönte kullanılarak [4,5,9,3] çalışalarında farklı FHS ler elde edlştr. Bu yöntelern detaylarına geçeden önce sonlu cslerde blnes gereken bazı teel blgler verlecektr. Bu konudak detaylı blgler çn [1] nceleneblr. p br asal sayı ve, p nn poztf br kuvvet olak üzere, F le eleanlı sonlu cs gösterlecektr. Bu csn eleanları görüleblr. 1 poztf br ta sayı olak üzere, genşlees gösterlecektr. x x polnounun kökler olarak F le F nun. ertebeden F \{0} çarpısal br gruptur ve bu grubun devrl olduğu blnektedr. F \{0}= denr. olur. = { : 0 } olak üzere, α ya α α F nn prtf (lkel) eleanı j β = α ve ebob( j, 1) = 1 şartını sağlayan tü β eleanları da prtf F den F ya tanılı ve br çok uygulaada karşııza çıkan z (Trace, Tr) fonksyonu aşağıdak gb tanılanır. Tr : F F 1 α a Tr ( α) = α+ α + L+ α. / Fonksyonun özellğ herhang br α eleanını, eşlenklernn toplaına götüresdr. Bu fonksyon kullanılarak br çok özellğe sahp dz ve dz aleler elde edlştr ve uygulaalarda kullanılaktadır. Verlen br dzsnn sıfırdan farklı eleanlarının sayısına o dznn Hang ağırlığı denr ve w() şeklnde gösterlr. 1

Aynı uzunluktak, Y dzler çn aynı ndeks değerndek farklı eleanların sayısına le Y nn Hang uzaklığı denr ve d (, Y) le gösterlr. Dzlern uzunluğu n olak üzere, d (, Y ) =w(-y) olduğu açıktır. H H 13

.1. Genel Üret Metodu p br asal sayı ve, p nn poztf br kuvvet olsun. poztf ta sayısı çn l, 1 1 n poztf br bölen ve n= olarak tanılansın. l l eleanı α olak üzere β = α olarak alalı. Her 0 çn n uzunluğundak c dzler; n ( ( ), ( ),, ( ) 1 α α β α β ) / / / F nn herhang br prtf c = Tr Tr K Tr (.1) olarak tanılansın. Burada seçlen özel p,, ve l değerlerne bağlı olarak optal FHS dzlernn, optal FHS dz çftlernn ve optal FHS alelernn nasıl elde edlebleceğn nceleyeceğz. Göz önüne aldığıız FHS dzler [4,5,9,3] da elde edlen dzlerdr. Dzlern Hang Korelasyonlarını hesaplayablek çn aşağıdak üssel toplaı hesaplaak gerekldr. Bu toplaı hesaplaak çn [4,5,9,3] de farklı teknkler kullanılıştır. c dzsnn ağırlığı w( c ) olak üzere n w( c ) = n 1 1 j= 0 c F 1 = n+ 1 = n+ π ξ Tr p j ( ctr ( α β )) n 1 c F * j= 0 n 1 c F * j= 0 p olur, burada ξ = e olarak alınır. ξ ξ p p j ( ( α β )) Tr Tr c Tr lj ( α cα ) 14

.1.1. [4] dek dzler Bu bölüde (.1) de verlen dzlern paraetrelernn aşağıdak gb alınası sonucu ortaya çıkan FHS dzler ncelenecektr p : den farklı br asal sayı : p nn poztf br kuvvet : 3'den büyük veya 3'e eşt tek br tasayı l : 1 n : Lea.1 [4]: 3 tek br ta sayı ve 0 olak üzere c dzsnn Hang ağırlığı: 1 w( c ) = (.) olur. c dzlernn Hang korelasyonları -1 H ( c ) = H ( t) = n d ( c, c ) = w c ( t β ) c, t c H β olduğundan dolayı aşağıdak şeklde elde edlr. Burada 1 t< n olak üzere her t çn t t+ ( ( ), ( ) ( )) 1 t+ n,, 1 / / / c t = Tr α β Tr α β K Tr α β β t t n ( ( (1 )), ( (1 )),, ( )) 1 t (1 ) / / / c t = Tr α β Tr α β β K Tr α β β olarak β tanılanır. Lea. [4]: 3 tek br ta sayı ve 0 olak üzere; 1 1 H ( c ) = (.3) 15

olur. Örnek 7: p=3, =3, =3, l=, c 0 = (0,, 1,, 0, 1, 1,,,, 0,, 0) olarak bulunur. Lea.. den 3 1 3 1 n= = = 13 olak üzere 1 3 1 1 3 1 H ( c0 ) = = = 4 olacağından c 0 br (13,3,4)-FHS olur. Lea 1.3. den (13,3,4)-FHS dzler çn ( n ε )( n+ ε k) (13 1)(13+ 1 3) H ( ) = = 4 k( n 1) 3(13 1) (13,3,4)-FHS dzs olduğu görülür. olduğundan c 0 ın optal br Örnek 8: p=5, =5, =3, l=, yardııyla) 3 1 5 1 n= = = 6 olak üzere (MAGMA c 0 = ( 3, 4, 3, 3, 1, 4, 4, 4, 1, 4, 3, 0, 4, 3, 1, 3, 0,, 0,, 1, 1, 3,, 0, 4, 4, 0, 0, 1, 4,, 1,,, 4, 1, 1, 1, 4, 1,, 0, 1,, 4,, 0, 3, 0, 3, 4, 4,, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 1 ) olarak bulunur ve H ( c 0) = 1 elde edlr. Bu duruda c 0 br (6,5,1)-FHS olur. Lea 1.3. den (6,5,1)-FHS dzler çn olduğundan c 0 ın optal br (6,5,1)-FHS dzs olduğu görülür. (6 1)(6+ 1 5) H ( ) = 1 5(6 1) Teore.3 [4]: 3 tek br ta sayı ve 0 olak üzere; c br optal,, 1 1 1 -FHS oluşturur. j Teore.4 [4]: 3 tek br ta sayı, a = α ; 0 j, F \{0} da karesel br elean, yan a F \{0} ve br c F çn a α, k = c, ve b= ; 0 k F \{0} de karesel olayan br elean, yan b F \{0} ve her olsun. Bu duruda c j ve c k optal br dz çft olurlar. c F çn b c 16

Örnek 9: p=3, =3, =3, l=, 3 1 3 1 n= = = 13 olak üzere c 1= ( 0,,, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1,, 1 ), c = (,, 0,, 0, 0,, 1,, 0, 1, 1, ) olarak bulunur. MAGMA yardııyla H( c 1 )=4, H( c )=4, H( c 1, c )=4, dolayısıyla M( c 1, c )=4 elde edlr. Lea 1.9 (1.10) ve (1.11) den (13,3,4)-FHS dzler çn ( nn ) ( nn ) k n (13 3)13 M (, Y ) = 4 1 k = (13 1)3 INn ( I+ 1) ki M (, Y ) = 4 ( nn 1) N ve olduğundan c1 ve c dzlernn optal br çft olduğu görülür. Bu bölüde verlen dzler üretlrken nn tek sayı olarak seçle şartı vardı. Aşağıdak 4 örnekte değer çft sayı alınarak farklı paraetrelerde dzler üretlştr. Örneklern sonucunda optal dzler elde edleedğ gözlenştr. Örnek 10: p=3, =3, =, l=, yardııyla) 1 3 1 n= = = 4 olak üzere (MAGMA c 0 = (, 0, 1, 0 ) c 1=( 1, 1,, ) c =( 0, 1, 0, ) c 3 =( 1,,, 1 ) c 4 =( 1, 0,, 0 ) c 5 =(,, 1, 1 ) 17

c 6 =( 0,, 0, 1 ) c 7 =(, 1, 1, ) olarak bulunur ve her 0 7 çn H( c )= elde edlr. Bu duruda her 0 7 çn c ler brer (4,3,)-FHS olurlar. Lea 1.3 den (n,k,λ )=(4,3, λ ) dzler çn ( n ε )( n+ ε k) (4 1)(4+ 1 3) H ( ) = = 1 k( n 1) 3(4 1) sınırda verlen eştlğe ulaşaadıkları gözlenştr. olduğundan yukarıdak dzlern 4 1 3 1 Örnek 11: p=3, =3, =4, l=, n= = = 40 olak üzere (MAGMA yardııyla) c =( 1, 1, 0,, 1, 1, 0, 0,, 1,, 1, 0, 1,, 0, 1, 0, 0, 0,,, 0, 1,,, 1 0, 0, 1,, 1,, 0,, 1, 0,, 0, 0, 0) olarak bulunur ve H( c 1 )=40 elde edlr. Bu duruda c 1 dzs br (40,3,40)-FHS olur. Lea 1.3 den (n,k,λ )=(40,3, λ ) dzler çn ( n ε )( n+ ε k) (40 1)(40+ 1 3) H ( ) = = 13 k( n 1) 3(40 1) sınırda verlen eştlğe ulaşaadığı gözlenştr. olduğundan c 1 dzsnn, Örnek 1: p=5, =5, =, l=, yardııyla) c = (,, 1, 4, 4,, 3, 3, 4, 1, 1, 3 ) 0 1 5 1 n= = = 1 olak üzere(magma olarak bulunur ve H( c 0 )=4 elde edlr. Bu duruda c 0 br (1,5,4)-FHS olur. Lea 1.3 den (n,k,λ )=(1,5,λ )-FHS dzler çn ( n ε )( n+ ε k) (1 )(1+ 5) H ( ) = = 1 k( n 1) 5(1 1) sınırda verlen eştlğe ulaşaadığı gözlenştr. olduğundan c 0 dzsnn 18

Örnek 13: p=3, =9, =, l=, n= = = 1 9 1 40 =0 çn, v, yardııyla) p( x) = x + x+ polnounun kökü olak üzere, (MAGMA c 0 = (,, 1, 5 v, 3 v, 5 v,, v, 3 v,, 7 v, 3 v, 1, 7 v, 1, 6 v, 6 v, 7 v,, 7 v, v, 6 v, v, 3 v, 3 v, v, v, v, v, v, 7 v, 5 v, 6 v ) 5 v, 6 v, 5 v, v, 1, 1, v, olarak bulunur ve H( c 0 )=40 elde edlr. Lea 1.3 ten (n,k,λ )=(40,9,λ )-FHS dzler çn ( n ε )( n+ ε k) (40 4)(40+ 4 9) H ( ) = = 4 k( n 1) 9(40 1) dzsnn sınırda verlen eştlğe ulaşaadığı gözlenştr. olduğundan c 0 19

.1.. [5] dek dzler Bu bölüde (.1) de verlen dzlern paraetrelernn aşağıdak gb alınası sonucu ortaya çıkan FHS dzler ncelenecektr p : br asal sayı : p nn poztf br kuvvet : poztf br tasayı l : 1 1 n : 1 Burada c dzler ndeks değerler, 0 olarak alınıştır. Aşağıdak lea Teore 6 [5] n spatından elde edlştr. Lea.5: 0 l 1 ve Hang ağırlığı: 1 ebob 1, = 1 olak üzere c dzsnn = 0 w( c ) 1 = = 1 1 (.4) olur. c dzlernn Hang korelasyonları -1 H ( c ) = H ( t) = n d ( c, c ) = w c l ( β t ) c, t c H β olduğundan dolayı aşağıdak şeklde elde edlr. Lea.6: 0 l 1 ve 1 ebob 1, = 1 olak üzere; = 0 1 1 H ( c ) = 1 (.5) olur. 0

Teore.7 [5]: 0 l 1 ve 1 ebob 1, = 1 olak üzere; her br çn c = 0 optal br,, 1 1 1 1 1 -FHS oluşturur. Örnek 14: p=5, =5, =3, l=4, yardııyla) n= = = 1 5 1 3 1 5 1 31 olak üzere (MAGMA =( 4, 3, 4, 4, 4, 0, 3, 3,,, 1,, 4, 0, 1,,, 4, 1, 4,, 1, 4, 0, 0, 4,, 0, 1, 0, 1 ) olarak bulunur ve H()=6 elde edlr. Lea 1.3. den (31,5,6)-FHS dzler çn ( n ε )( n+ ε k) (31 1)(31+ 1 5) H ( ) = = 6 k( n 1) 5(31 1) (31,5,6)-FHS dzs olduğu görülür. olduğundan c 0 ın optal br Örnek 15: p=5, =5, =3, l=4, yardııyla) n= = = 1 5 1 3 1 5 1 31 olak üzere (MAGMA =( 4, 3, 4, 4, 4, 0, 3, 3,,, 1,, 4, 0, 1,,, 4, 1, 4,, 1, 4, 0, 0, 4,, 0, 1, 0, 1 ) Y=( 0, 0, 3, 4, 0,, 0,, 3, 1, 3, 3, 3, 0, 1, 1, 4, 4,, 4, 3, 0,, 4, 4, 3,, 3, 4,, 3 ) olarak bulunur ve H()=6, H(Y)=6, H(,Y)=6, dolayısıyla M(,Y)=6 elde edlr. Lea 1.9 (1.10) (1.11) den (31,5,6)-FHS dzler çn ( nn ) ( nn ) k n (31 5)31 M (, Y ) = 6 1 k = (31 1)5 INn ( I+ 1) ki M (, Y ) = 6 ( nn 1) N ve 1

olduğundan ve Y dzlernn optal br çft olduğu görülür. Teore.8 [5]: 1 ebob 1, = 1 = 0 se S { c : 0 l 1} = küesn gösterek üzere S kües br optal 1 1 1,, ; 1 -FHS ales olur. 1 1 Örnek 16: p=5, =5,=3,l=4, yardııyla) n= = = 1 5 1 3 1 5 1 31 olak üzere, (MAGMA =( 0, 0, 3, 4, 0,, 0,, 3, 1, 3, 3, 3, 0, 1, 1, 4, 4,, 4, 3, 0,, 4, 4, 3,, 3, 4,, 3 ), Y=( 4, 3, 4, 4, 4, 0, 3, 3,,, 1,, 4, 0, 1,,, 4, 1, 4,, 1, 4, 0, 0, 4,, 0, 1, 0, 1 ), Z=( 1, 1, 3, 1,, 0, 3, 1, 1,, 3,, 1, 3,, 0, 0,, 1, 0, 3, 0, 3,, 4,,,, 0, 4, 4 ), T=( 3, 1, 4, 1, 3, 4, 1, 0, 0, 1, 3, 0, 4, 0, 4, 1,, 1, 1, 1, 0,,, 3, 3, 4, 3, 1, 0, 4, 3 ) olarak bulunur. U={,Y,Z,T} alındığında M(U)=6 olarak elde edlr. Lea 1.9 (1.10) ve (1.11) den ( nn k) n (31 4 5)31 M ( U ) = = 6 ( nn 1) k (31 4 1)5 INn ( I+ 1) ki ve M ( U ) = 6 ( nn 1) N br ale olduğu görülür. olduğundan dolayı U alesnn (31,5,6;4) optal

.1.3. [9]dak dzler Bu bölüde (.1) de verlen dzlern paraetrelernn aşağıdak gb alınası sonucu ortaya çıkan FHS dzler ncelenecektr p : br asal sayı : p nn poztf br kuvvet : poztf br tasayı 1 l : 1 n br bölen ve ebob, l = 1 1 1 n : l Lea.9 [9]: Her 0 çn c dzsnn Hang ağırlığı: olarak verlr. 1 w( c ) = (.6) l c dzlernn Hang korelasyonları -1 H ( c ) = H ( t) = n d ( c, c ) = w c l ( β t ) c, t c H β olduğundan dolayı aşağıdak şeklde elde edlr. Lea.10 [9]: Her 0 çn c dzsnn Hang korelasyonu 1 1 H ( c ) = (.7) l olur. Teore.11 [9]: Her 0 çn c optal br dzs oluşturur. l,, 1 1 1 l -FHS 3

Örnek 17: p=7, =7, =, l=3, yardııyla) 1 7 1 n= = = 16 olak üzere (MAGMA l 3 =( 1, 4, 6, 1,, 0,, 6, 6, 3, 1, 6, 5, 0, 5, 1) 1 1 1 7 1 olarak bulunur. Lea.10. den H ( c0 ) = = = olacağından br l 3 (16,7,)-FHS olur. Lea 1.3. den (16,7,)-FHS dzler çn ( n ε )( n+ ε k) (16 )(16+ 7) H ( ) = = k( n 1) 7(16 1) (16,7,)-FHS dzs olduğu görülür. olduğundan n optal br Teore.1 [9]: c ve c j F de ertebes l olan ayrık saykloto sınıflarına at olsunlar, bu duruda c ve c j optal çft olurlar. Örnek 18: p=7, =7, =, yardııyla) 1 7 1 n= = = 16 olak üzere (MAGMA l 3 =(,, 1, 5,, 4, 0, 4, 5, 5, 6,, 5, 3, 0, 3 ) Y=( 1, 4, 6, 1,, 0,, 6, 6, 3, 1, 6, 5, 0, 5, 1 ) olarak bulunur ve H()=, H(Y)=, H(,Y)=, dolayısıyla M(,Y)= elde edlr. Lea 1.9 (1.10) (1.11) den (16,7,)-FHS dzler çn ( nn ) ( nn ) k n (16 7)16 M (, Y ) = 1 k = (16 1)7 ve INn ( I+ 1) ki M (, Y ) = ( nn 1) N olduğundan c1 ve c dzlernn optal br çft olduğu görülür. Not: Burada U={ c, c j } olarak alınırsa U elean sayısı olan br optal ale olur. 4

Teore.13 [9]: { a0, a1, K } F de ertebes l olan saykloto sınıfları çn teslclern bütün küesnn br alt kües olsun. Bu takdrde br ale oluşturur. Yukarıdak teore özetlenrse teel sonuç bulunur. { c, c, K } optal a0 a1 Teore.14 [9]: { a0, a1, K, al 1}, F de ertebes l olan saykloto sınıf teslcler kües olsun. S = { ca, c,, } 0 a K c 1 a l optal br ale oluşturur. 1 Teore.15 [9]:, br asalın poztf br kuvvet, ve l poztf ta sayılar olak 1 1 1 1 üzere l 1 ve ebob, l = 1 şartları altında br,, ; l 1 l l optal ale vardır. Aynı zaanda bu alenn her alt kües de optal br aledr. 5

.1.4. [3] tek dzler (p= duruu) Bu bölüde (.1) de verlen dzlern paraetrelernn aşağıdak gb alınası sonucu ortaya çıkan FHS dzler ncelenecektr p : : p nn poztf br kuvvet : 4 l : 1 4 1 n = + : 1 1 Burada c dzler, ndeks değerler, 0 l 1 olarak alınıştır. Aşağıdak sonuç Teore 9 [3] un spatından elde edlştr. Lea.16: Her 0 l 1 çn c dzsnn Hang ağırlığı 1 4 4 1 w( c ) = = (.8) olarak verlr. c dzlernn Hang korelasyonları -1 H ( c ) = H ( t) = n d ( c, c ) = w c 1 ( t β ) c, t c H β olduğundan dolayı aşağıdak şeklde elde edlr. Lea.17: Her 0 l 1 çn c dzsnn Hang korelasyonu : olur. 1 1 4 1 = + = H ( c ) 1 Teore.18 [3]: S { c : 0 l 1} ( 1,, 1; 1) + + -FHS ales olur. = olak üzere (.9) S br optal 6

Örnek 19: p=, =4, l= 15, n= n= + 1= 17 olak üzere (MAGMA yardııyla) = (0, t, t, 1, t, 1, 1, 1, t, t, 1, 1, 1, t, 1, t, t) olarak bulunur ve H()=5 elde edlr. Lea.17 den H ( ) = + 1= 5 olacağından br (17,4,5)-FHS olur. Lea 1.3. den (17,4,5)-FHS dzler çn ( n ε )( n+ ε k) (17 1)(17 + 1 4) H ( ) = = 5 k( n 1) 4(17 1) br (17,4,5)-FHS olur. olduğundan dzs optal Örnek 0: p=, =4, l= 15, üzere n = + 1= 17 ve t, p( x) = x + x+ 1 n kökü olak 1 =( 0, t, t, 1, t, 1, 1, 1, t, t, 1, 1, 1, t, 1, t, t ), = ( 1, 1, 1, 0, t, 0, t, t, t, 0, t, t, t, 0, t, 0, 1 ), 3 = ( 1, 0, 1, t, 1, t, 0, t, t, 0, 0, t, t, 0, t, 1, t ), 4 = ( 1, t, t, 1, t, t, t, 0, 0, t, 0, t, 0, 0, t, t, t ), 5 = ( 1, 0, 0, 0, 1, t, t, t, 1, 0, t, t, 0, 1, t, t, t ), 6 = ( t, t, 1, 1, t, t, t, t, t, 1, t, 0, t, 1, t, t, t ), 7 = ( 1, t, t, 0, t, t, 1, 0, t, 0, t, t, t, t, 0, t, 0 ), 8 = ( 0, t, 1, 0, 0, 1, t, 0, 1, t, 1, t, 0, t, 1, t, 1 ), 9 = ( 1, 0, 0, t, 0, t, 0, 0, 1, 1, t, t, t, t, t, t, 1 ), 10 = ( t, 1, t, 0, t, t, 0, t, 1, t, t, t, 0, 0, 0, t, t ), 11= ( t, 1, t, t, 1, 0, 1, t, t, 1, t, t, t, t, t, t, t ) 1 = ( t, 0, 1, 0, t, t, t, t, 0, 1, 0, t, 1, 1, 0, 1, 1 ), 13= ( 1, 0, t, t, t, t, 0, t, t, t, t, 0, 1, t, 0, 0, t ), 7

14 = ( 0, 0, t, t, 1, t, 1, 1, t, 1, t, t, 0, 0, 1, 0, 1 ), 15 = ( 0, t, t, 1, 1, t, 0, 0, 0, t, 1, 1, t, t, 0, 1, 1 ) dzler bulunur ve U {,,, } = K olarak alındığında M(U)=5 olarak elde 1 15 edlr. Lea 1.9 (1.10) ve (1.11) den ( nn k) n (17 15 4)17 M ( U ) = = 5 ( nn 1) k (17 15 1)4 INn ( I+ 1) ki ve M ( U ) = 5 ( nn 1) N br ale olduğu görülür. olduğundan dolayı U alesnn (17,4,5;15) optal 8

.1.5. [3] tek dzler ( p duruu) Bu bölüde (.1) de verlen dzlern paraetrelernn aşağıdak gb alınası sonucu ortaya çıkan FHS dzler ncelenecektr p : tek br asal sayı : p nn poztf br kuvvet : poztf br ta sayı l : 1 n poztf br bölen 1 n : l Aşağıdak sonuç Teore 10 [3] un spatından elde edlştr. l Lea.19: Her 0 l 1 ve l çft ve ebob(n,l)=1, -1 (od l) ve 1 ebob (od l ), l = olak üzere, c dzsnn Hang ağırlığı: 1 w( c ) = olarak verlr. ( 1)( ± ) l c dzlernn Hang korelasyonları -1 H ( c ) = H ( t) = n d ( c, c ) = w c ( t β ) c, t c H β (.10) olduğundan dolayı aşağıdak şeklde elde edlr. l Lea.0: Her 0 l 1 l çft ve ebob(n,l)=1, -1 (od l) ve ebob 1 (od l ), l = 1 olak üzere, c dzsnn Hang korelasyonu : olur. + ( 1) H ( c ) = l (.11) 9

Örnek 1: p=13, =13, =, l=4, yardııyla) 1 13 1 n= = = 7 olak üzere (MAGMA l 4 =( 10, 10, 1, 6, 9, 6, 1 ) Y=( 1, 4, 0, 9, 1, 7, 6 ) olarak bulunur ve H()=1, H(Y)=0, H(,Y)=1, dolayısıyla M(,Y)=1 elde edlr. Lea 1.9 (1.10) dan (7,13,1)FHS dzler çn ( nn ) ( nn ) k n (7 13)7 M (, Y ) = 1 1 k = (7 1)13 INn ( I+ 1) ki ve M (, Y ) = 1 ( nn 1) N olduğundan ve Y dzlernn optal br çft olduğu görülür. l Teore. [3]: l çft ve ebob(n,l)=1, 1 (od l) ebob 1 (od l ), l = 1 ve 1 l> olak üzere S = { c : 0 l 1} kües br optal 1 + ( 1),, ; l -FHS ales olur. l l Örnek : p=13, =13, =, l=4, 1 13 1 n= = = 7 olak üzere l 4 1 =(, 10, 7, 8, 8, 7, 10 ) = ( 1, 4, 0, 9, 1, 7, 6 ) 3 = ( 10, 10, 1, 6, 9, 6, 1 ) 4 = ( 8,, 1, 1, 11, 5, 0 ) 30

5 = ( 1, 8, 1,, 6, 6, ) 6 = ( 11, 4, 3, 0, 10, 9, ) 7 = ( 9, 1, 1, 9, 11, 10, 11 ) 8 = ( 0, 6, 8, 9, 4, 5, 7 ) 9 = ( 8, 4, 6, 4, 8, 11, 11 ) 10 = ( 8, 5, 3, 1, 0, 1, 10 ) 11= ( 5, 10, 4, 4, 10, 5, 1 ) 1 = (, 0, 11, 6, 10, 3, 7 ) 13= ( 5, 6, 3, 11, 3, 6, 5 ) 14 = ( 1, 6, 7, 1, 9, 0, 4 ) 15 = ( 4, 7, 1, 3, 3, 1, 7 ) 16 = (, 8, 0, 5, 11, 1, 1 ) 17 = ( 7, 7, 11, 1, 5, 1, 11 ) 18 = ( 3, 4, 11,, 9, 10, 0 ) 31

19 = (, 3,, 4, 1, 1, 4 ) 0 = ( 9, 8, 6, 0, 7, 5, 4 ) 1 = ( 5,,, 5, 9, 7, 9 ) = ( 0, 1, 3, 5, 8, 10, 1 ) 3 = ( 3, 8, 1, 8, 3, 9, 9 ) 4 = ( 3, 10, 6, 11, 0,, 7 ) olarak bulunur ve U {,,, } = K olarak alındığında M(U)=1 olarak elde 1 4 edlr. Lea 1.9 (1.10) ve (1.11) den ( nn k) n (7 4 13)7 M ( U ) = = 1 ( nn 1) k (7 4 1)13 INn ( I+ 1) ki ve M ( U ) = 1 ( nn 1) N olduğundan dolayı U alesnn (7,13,1;4) optal br ale olduğu görülür. 3

BÖLÜM 3. 3.KARŞILAŞTIRMALAR Bu bölüde bölü de ayrıntıları verlen üret yöntelernn brbrleryle olan karşılaştıraları verlecektr. Öncelkle Çzelge 3.1. de paraetreler ve paraetreler üzerndek şartlar özetlenecektr. Daha sonrak bölülerde se optal dz elde etek çn kullanılan şartlar da göz önüne alınarak karşılaştırılablen paraetreler hakkında elde edlen sonuçlar verlecektr. Çzelge 3.1. [4,5,9,3] akalelerndek dzlern paraetreler [4] dak [3] tek [5] dek dzler [9] tek dzler [3]tek dzler dzler dzler p asal, br asal sayı br asal sayı p= asal, P nn poztf p nn poztf br br kuvvet kuvvet 3 tek br ta sayı. poztf br ta sayı p nn poztf br kuvvet p nn poztf br kuvvet p nn poztf br kuvvet poztf br poztf br 4 ta sayı ta sayı l -1-1 n poztf br bölen -1-1 n poztf br bölen. * 1 ebob 1, = 1 1 1 ebob, l = 1 1 l çft ve ebob(n,l)=1, l 1 (od l) 1 ebob (od l ), l = 1 1 ve l> 33

n 1 l α β c F nn br prtf eleanı. l α n ( Tr ( ), ( ),, ( ) 1 α Tr αβ K Tr αβ ) / / / * optallk çn l nn seç üzerndek şartlar 34

3.1. [4] le [5] dek Paraetrelern Karşılaştırılası A: Bölü.1.1. de anlatılan [4] dak dzlern paraetreler B: Bölü.1.. de anlatılan [5] dek dzlern paraetreler olak üzere aşağıdak sonuçlar elde edlştr. A B p : 3 : 3 : 3 ten büyük veya 3 e eşt br tek ta sayı l : n : 1 A\B p : ve 3 ten farklı br asal sayı : p nn poztf br kuvvet : 3 ten büyük veya 3 e eşt br tek ta sayı l : n : 1 B\A p : asal sayı : 3 ten farklı olak üzere, p nn poztf br kuvvet : poztf br ta sayı l : 1 1 ve ebob 1, = 1 1 1 n : 1 35

3.. [4] le [9] dek Paraetrelern Karşılaştırılası A: Bölü.1.1. de anlatılan [4] dak dzlern paraetreler B: Bölü.1.3. de anlatılan [9] dek dzlern paraetreler olak üzere aşağıdak sonuçlar elde edlştr. A B p : den farklı br asal sayı : p nn br kuvvet : 3 ten büyük veya 3 e eşt br tek ta sayı l : 1 ve ebob, = 1 n : 1 A\B p : den farklı br asal sayı : p nn poztf br kuvvet : 3 ten büyük veya 3 e eşt br tek ta sayı l : 1 ve ebob, 1 n : 1 B\A p : br asal sayı : p nn poztf br kuvvet : poztf br ta sayı l : 1 1 n den farklı br bölen ve ebob, l = 1 1 n : 1 l 36

3.3. [5] le [9] dek Paraetrelern Karşılaştırılası A: Bölü.1.. de anlatılan [5] dak dzlern paraetreler B: Bölü.1.3. de anlatılan [9] dek dzlern paraetreler olak üzere aşağıdak sonuçlar elde edlştr. A B p : br asal sayı : p nn br kuvvet : poztf br ta sayı l : 1 1 ve ebob 1, = 1 1 n : 1 l A\B B\A p : br asal sayı : p nn poztf br kuvvet : poztf br ta sayı l : 1 1 n kendnden farklı br bölen ve ebob, l =1 1 n : 1 l 37

KAYNAKLAR [1] Ayvalık, A., 007, Frekans atlaalı haberleşenn karıştırılası, Yüksek Lsans Tez, Hacettepe Ünverstes, Fen Bller Ensttüsü, Ankara. [] Chu, W., Colbourn, C.J., Optal freuency-hoppng seuences va cyclotoy, IEEE Transacton On Inforaton Theory, 51,1139-1141, 005. [3] Dng, C., Fuj-Hara, R., Fujwara, Y., Jbo, M., Msha, M., Sets of Freuency Hoppng Seuences: Bounds and Optal Constructons IEEE Transacton On Inforaton Theory, 55(7), 397-3304, 009. [4] Dng, C., Moso, M., Yuan, J., Algebrac constructons of optal freuency hoppng seuences, IEEE Transacton On Inforaton Theory, 53(7), 606-610, 007. [5] Dng, C., Yn, J., Sets of optal freuency hoppng seuences, IEEE Transacton On Inforaton Theory, 54(8), 3741-3745, 008. [6] Fuj-Hara, R., Mao, Y., Msha M., Optal freuency hoppng seuences: A cobnatoral approach, IEEE Transacton On Inforaton Theory, 50, 408-40, 004. [7] Fujwara, Y., Fuj-Hara, R., Freuency hoppng seuences wth optal auto- and cross-correlaton propertes and related codes, Proc. 10th Internatonal Workshop on Algebrac Cobnat. Codng Theory, 83-96, Zvengorod, Russa, Eylül 006. [8] Ge, G., Fuj-Hara, R., Mao, Y., Further cobnatoral constructons for optal freuency hoppng seuences, Journal of Cobnatoral Theory Seres A, 113(8), 1699-1718, 006. [9] Ge, G., Mao, Y., Yao, Z., Optal Freuency Hoppng Seuences: Auto- and Cross-Correlaton Propertes IEEE Transacton On Inforaton Theory, 55(), 867-879, 009. [10] Kuar, P.V., Freuency-hoppng code seuence desgns havng large lnear span, IEEE Transactons On Inforaton Theory, 34(1), 146-151, 1988. [11] Lepel, A., Greenberger, H., Fales of seuences wth optal Hang correlaton propertes, IEEE Transacton On Inforaton Theory, 0, 90-94, 1974. [1] Ldl, R., Nederreter, L., Fnte Felds, Cabrdge Unversty Press, Cabrdge, U.K., 1997. [13] Peng, D., Fan, P., Lower bounds on the Hang auto- and cross correlatons 38

of freuency-hoppng seuences, IEEE Transacton On Inforaton Theory, 50, 149-154, 004. [14] Sarwate, D.V., Reed-Soloon codes and the desgn of seuences for spreadspectru ultple-access councatons, IEEE Press, 1994. [15] Sarwate, D. V., Coents on Lower bounds on the Hang auto and cross correlatons of freuency-hoppng seuences, IEEE Transacton On Inforaton Theory, 51, 1615, 005. [16] Son, M.K., Oura, J.K., Scholtz, R.A., Levtt, B.K., Spread spectru councatons handbook, McGraw-Hll, New York, 00. [17] Scholtz, R.A., Kuar, P.V., Corrada-Bravo, C.J., Sgnal desgn for ultrawdeband rado, Sprnger, London, U.K., 001. [18] NTIA Manual of Regulatons and Procedures for Federal Rado Freuency Manageent. [19] Specfcaton of the Bluetooth Syste Core. Bluetooth res web stes erş adres: http://www.bluetooth.co/, erş tarh: 5 Kası 010. [0] Kozaczuk, W., Enga: how the geran achne cpher was broken, and how t was read by the alles n World War Two, Unversty Publcatons of Aerca, Aerca, 1984. 39

EKLER (.1) dzler çn MAGMA kodu [Bu kod Seda Kahraan tarafından yazılıştır.] Bu kod [4] dek Trace fonksyonu le p=3, =3, =3 ve l= optal dz oluşturasını gerçekleektedr. p:= 3; //tek br asal p:= 3; //tek br asal r:= 1; //genşleenn boyutu K:=FnteFeld(p); //asal cs f r ne 1 then p1:=prtvepolynoal(k,r); M<t>:=ext< K p1>; //alt cs else M<t>:=K; //alt cs end f; := p^r; //alt csn boyu := 3; //tek tasayı l:=; //atlaanın ertebes n:=((^)-1) dv l; //dznn boyu s:=1; //gcd(s,^-1)=1 olacak şeklde f ne 1 then p:=prtvepolynoal(m,); F<z>:=ext< M p>; //alt csn genşlees lkel eleanı z yan alfa else F<z>:=M; end f; 40

t:=z^(l*s); //beta Dz:=[M ]; //optal dz ndex1:={} ; for :=1 to ((^)-1) do ndex1 jon:={}; end for; ndex:={} ; for j:=1 to n do ndex jon:={j}; end for; D_ales:=[Dz : x n ndex1]; //Optal dzlern oluşturduğu dz for n ndex1 do prnt " "; prnt " "; prnt z^," cn dz"; for j n ndex do Dz[j]:=Trace((z^)*(t^(j-1))); end for; Dz; D_ales[]:=Dz; end for; //Buradan tbaren Hang Korelasyonu hesaplanaktadır. D1:=[x: x n ndex]; //H. Korelasyonu çn 1. dz D:=[x: x n ndex]; //H. Korelasyonu çn. dz korelasyon:=[0: x n ndex]; h_korelasyon:=0; for n ndex1 do 41

D1:=D_ales[]; prnt, ". dz cn Cross veya auto Korelasyon"; for j n ndex1 do prnt j,". dz le korelasyonlar:"; D:=D_ales[j]; D cat:= D; for k n ndex do for l n ndex do f D1[l] e D[(l+k-1)] then korelasyon[k] +:=1; end f; end for; end for; korelasyon; korelasyon:=[0: x n ndex]; end for; end for; 4

ÖZGEÇMİŞ Kşsel blgler Adı Soyadı Doğu yer ve tarh :KÜBRA BAYRAKTAR :ANKARA/08.11.1985 Eğt blgler Tarh Yer İlkokul: 1991-1996 Abdnpaşa İlköğret Okulu Ortaokul: 1996-1999 Abdnpaşa İlköğret Okulu Lse: 1999-003 Başkent Lses (Y.D.A.) Ünverste: 004-008 Ankara Ünverstes Mateatk Bölüü(Lsans) Yüksek Lsans:008-010 TOBB ETÜ Mateatk Bölüü(Burslu) İş deney TOBB Ekono ve Teknoloj Ünverstes nde Verlen Uygulaa Dersler: 008-009 Güz Döne MAT 309 Cebr (Erah Kılıç) 008-009 Bahar Döne MAT 10 Genel Mateatk-II (Haydar Eş) 008-009 Yaz Döne MAT 10 Genel Mateatk-II (Zülfükar Saygı) 009-010 GüzDöne MAT 103 Mateatk-I (Arf Sabuncuoğlu) 009-010 Bahar Döne MAT 103 Mateatk-I (Mustafa Bayraktar) 010-011 Güz Döne MAT 101 Genel Mateatk-I (Çetn Ürtş) İlg Alanları: Krptoloj, Sayılar Teors, Topoloj. İnglzce Blgs: Konuşa: İy. Yaza: İy. Dnlee: Orta. 43