GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI

GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜM BAĞINTILARI Q z Genel ükleme durumund, ir Q noktsını üç outlu olrk temsil eden küik gerilme elemnı üzerinde 6 ileşeni gösterileilir: σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z. Söz konusu küik elemn --z eksenleri erine döndürülmüş - -z eksenlerine prlel lınsdı gerilme ileşenleri; σ, σ, σ z, τ, τ z, τ z olcktı. z z Gerilme dönüşüm ğıntılrı kullnılrk --z eksen tkımındki 6 gerilme ileşeninin döndürülmüş şk ir eksen tkımındki krşılıklrı ulunur. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-1

Düzlem gerilme durumund dönüşüm ğıntılrı z z z 0 3 outlu küik elemn İnce ir plkd ort düzlemde etkien kuvvetlerden dolı düzlem gerilme oluşur. Ypısl ir elemnın ve mkine prçsının dış/serest üzeinde düzlem gerilme durumu (üzee ugulnmış dış kuvvet/kuvvetler oks) ort çıkr. İnce cidrlı sınçlı tnk ve tüplerde de düzlem gerilme durumu söz konusudur. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-

F 0 A Acos cos Acos Asin sin Asin cos cos sin sin sin cos K düzlemi F 0 A A cos sin A cos Asin cos Asin sin ( )sin cos (cos cos sin ) cos( 90 ) sin sin( 90 ) cos 1 cos cos 1 cos sin cos cos sin sin sin cos σ ğıntısınd θ= θ+90 zılrk: Trigonometrik dönüşüm ğıntılrı kullnılrk u denklemler şu şekilde düzenleneilir: sin cos cos cos sin cos sin cos sin sin (1) () (3) 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-4

Mohr Çemeri, Asl Gerilmeler ve Mksimum Km Gerilmesi (1)ve (3) nolu denklemler eniden düzenlenip kreleri lınrk trf trf toplnırs prmetrik ir dire denklemi elde edilir cos sin sin cos ort R ort ort ;R Mohr Çemerinin Çizimi Y düzlemi X düzlemi ( ) ( ) Verilen düzlem gerilme durumu için X ve Y düzlemlerindeki gerilmelere krşılık gelen noktlr σ-τ eksenlerinde işretlenir. Bu iki noktı çp kul eden ir çemer çizilir. Çemerin merkezi (C noktsı) orijinden (O noktsı) σ ort kdr uzkt er lır. min ort m K Mohr Çemeri m,min p tn ort R 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-5

En üük ve en küçük norml gerilmeleri (sl gerilmeler) Mohr çemerinden de rhtlıkl ulunilir: m,min Asl gerilmelerin medn geldiği düzlemlerde km gerilmeleri 0 dır. Bun göre sl gerilme doğrultulrını (θ p ) veren ğıntı: 0 tn p Gerilme elemnı üzerinde θ kdr ir dönme Mohr Çemeri üzerinde θ kdr ir dönmee krşılık gelmektedir. Burd θp rlrınd 90 o ulunn iki sl gerilme doğrultusunu göstermektedir. Mksimum km gerilmeleri m R Burd θ s rlrınd 90 o ort tn s ulunn iki mksimum km gerilme düzleminin normlini vermektedir. θ p ile θ s rsınd 45 o lik ir çı vrdır. Mksimum km gerilmeleri ortlm norml gerilme düzlemlerinde medn gelir. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-6

Örnek: c 70 60 MP 45 MP 10 MP Ynd verilen gerilme durumu için; ) Asl gerilmeler ve doğrultulrını ulrk ir gerilme elemnı üzerinde gösteriniz, ) c düzlemindeki norml ve km gerilmelerinin değerini hesplınız. Burd nlitik çözüm verilmiştir (Mohr çemeri ile de çözüm pılilir). 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-7

Örnek: Eksenel ükleme için Mohr çemeri P, 0 A 45lik doğ. için Örnek: Sf urulm (pure torsion) durumu için Mohr çemeri P A 0 Tc J 45lik doğ. Tc J için 0 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-8

Örnek: Şekildeki düzlem gerilme durumu için () sl gerilmeleri ve doğrultulrını, () mksimum km gerilmelerini ve düzlemlerini, ulunn düzlemlerdeki norml gerilmeleri ulunuz. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-9

Örnek: Şekildeki düzlem gerilme durumu için Mohr Çemerini çizerek () sl gerilmeleri ve doğrultulrını/düzlemlerini, () mksimum km gerilmelerini ve düzlemlerini, ulunn düzlemlerdeki norml gerilmeleri ulunuz. ort 50 10 0 MP CF 50 0 30 MP FX 40 MP Yrıçp: R CX 30 40 50 MP Asl gerilmeler ve düzlemleri : m OA OC CA 0 50 m 70MP min OB OC BC 0 50 min 30 MP FX tn p CF 40 30 p 6. 6 p 6. 6 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-10

Örnek: Şekildeki düzlem gerilme durumu için () sl gerilmeleri ve doğrultulrını, () elemnın 30 derece döndürülmesile elde edilen üzelerdeki gerilmeleri ulunuz. ve R 100 60 80MP CF FX 0 48 5MP XF 48 tn p.4 CF 0 p p 67. 4 33.7 clockwise m m min min OA OC CA 80 5 13MP OA OC BC 80 5 8MP θ=30 deki gerilmeler 180 60 67.4 5.6 OK OC KC 80 5cos5.6 OL OC CL 80 5cos5.6 KX 5sin 5.6 48.4 MP 111.6 MP 41.3MP 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-1

Örnek: 600 N luk kuvvet D noktsınd z eksenine prlel olrk şekildeki diresel kesitli dirseğe etkimektedir. Bun göre; H noktsındki ir gerilme elmnı (- düzleminde) üzerinde ) medn gelen norml ve km gerilmelerini gösteriniz, ) sl gerilmeleri ve doğrultulrını ulunuz. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-13

Örnek: Dış çpı 300 mm oln şekildeki çelik oru 6 mm et klınlığındki ir sçın kntılmsıl (.5 lik helis çısıl) üretilmiştir. P=160 kn ve T= 800 N.m için knğ prlel (teğet) ve dik doğrultulrdki gerilmeleri (km gerilmesi ve norml gerilme ) ulunuz. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-14

Örnek: 19.5 kn luk kuvvet D noktsınd şekildeki gii 60 mm çplı diresel kesitli dirseğe etkimektedir. Bun göre; H ve K noktlrındki sl gerilmeleri ve mksimum km gerilmelerini ulunuz ve doğrultulrı ile irlikte gösteriniz. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-15

Genel gerilme durumund dönüşüm ğıntılrı ve Mohr Çemeri z C B A ABC noktlrındn geçen ve üze normli N oln (doğrultmn kosinüsleri λ, λ, λ z ) ir düzlemde kesim pılırs: z Sttik dengeden F n 0 α, β ve γ üze normlinin (N) sırsıl, ve z eksenlerile ptığı çılr olmk üzere: λ =cos α, λ =cosβ, λ z =cos γ Herhngi ir N doğrultusundki norml gerilme (not: km gerilmeleri de enzer şekilde ulunilir) n z z z z z z 3 outlu küik gerilme elemnın etkien kuvvetler sdece norml gerilme/sl gerilme ise (ni km n c c gerilmeleri oks): 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-16

Üç outlu durum için Mohr Çemeri: σ c σ σ Her ir dire/çemer; küik gerilme elemnının sl gerilme eksenleri etrfınd döndürülmesile oluşn norml ve km gerilmelerini göstermektedir. Yni,şekildeki BC çemeri etrfındki ir dönmee, AC çemeri etrfındki ir dönmee, AB çemeri c etrfındki ir dönmee krşılık gelmektedir. En üük km gerilmesi üük çemerin rıçpın krşılık gelmektedir: m 1 m min Not: Dh önce düzlem gerilme durumund sl gerilme hesplnmıştı. Anck gerçekte değeri 0 d ols üçüncü ir sl gerilme de vrdır. Mohr çemerleri un göre oluşturulilir. Özellikle düzlem durum için ulunn σ m ve σ min değerlerinin ikisi de pozitif ve ikisi de negtif ise; üçüncü gerilmenin 0 olrk göz önüne lınmsı son derece önemlidir. Çünkü mksimum km gerilmesi değeri ve km düzlemi değişmektedir. τ m düzlem içi (in-plne) km neden olur. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-17

Akm ve Kırılm Kriterleri (Düzlem Gerilme) Eksenel olmn üklere mruz mkin prçlrınd hsrın medn gelip gelmeeceğini thmin etmek için çeşitli teoriler geliştirilmiştir. Bu teorilerde genellikle, sl gerilme ileşenleri göz önüne lınrk eşdeğer ir gerilme değeri ulunmkt ve u değer eksenel üklemedeki km ve kırılm mukvemet değerleri ile krşılştırılmktdır. 1- Sünek Mlzemeler için Akm Kriterleri Mksimum Km Gerilmesi Kriteri (Tresc Kriteri): (Mimum Shering Stress Criterion, Frnsız mühendis Henri Edourd Tresc, 1814-1885) Tek eksenli ükleme durumu Y Y Bu kritere göre; çok eksenli durumdki mksimum km gerilmesi, denesel olrk elde edilen tek eksenli durumdki km km gerilmesine ulştığınd mlzemede km şlr. Emnietli sınırlr içinde klmk için m Y, ni m m Asl gerilmeler ( ve ) nı işrete shipse: Asl gerilmeler ( ve ) zıt işretli ise: min Y m m olmlıdır. or Y Y 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-19

Çrpılm Şekil Değiştirme Enerjisi Kriteri (Von Mises Kriteri): (Mimum Distortion Energ Criterion, ugulmlı mtemtikçi Richrd von Mises, 1883-1953) Bu kritere göre; irim hcim için, çok eksenli durumdki çrpılm şekil değiştirme enerjisi, denesel olrk elde edilen tek eksenli durumdki çrpılm şekil değiştirme enerjisine ulştığınd mlzemede km şlr. Kriter sl gerilmeler cinsinden şğıdki gii ifde edilir. Birim hcim için kullnıln şekil değiştirme enerjisi ğıntısı dh sonr çıkrılcktır. Akm olmmsı için 1 6G ud u Y olmlıdır: 1 0 Y Y 0 6G Y elips denklemi Von Mises Kriterlerindeki elips Tresc kriteri ile oluşturuln ltıgenin köşelerinden geçmektedir. Her iki kriter irirlerine çok kın sonuçlr vermektedir. Her iki kriterde ltıgen ile elips içinde kln noktlr emnietli gerilme değerlerini vermektedir. Von mises kriteri gerçekte dh doğru sonuçlr vermektedir. Bun krşılık Tresc kriterine göre pılck ir tsrımd emniet ktsısı dh üksek lınmış olur. Sdece urulm mruz ir diresel kesitli ir milde: m Tresc: Y Von Mises: ( ) Y Y 0. 5 Y min Y ( ) ( ) Y 0.577 Y 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-0

Örnek: Şekildeki düzlem gerilme durumu, ir mkin prçsının kritik ir noktsındki gerilmeleri temsil etmektedir. Söz konusu çelik prçnın eksenel üklemedeki km gerilme değeri σ =50 MP olduğun göre, Tresc ve von Mises kriterlerine göre prçnın mevcut gerilme durumu için emniet ktsısını ulunuz. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-1

Örnek: Şekildeki BD çelik millinin km gerilme değeri σ =76 MP dır. Emniet ktsısını n= lrk, milin emnietli çpını mksimum km gerilmesi kriterine göre (Tresc) ulunuz. z P=44 kn 00 mm 150 mm 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-

- Gevrek Mlzemeler için Kırılm Kriterleri Mksimum Norml Gerilme Kriteri: Bu kritere göre; çok eksenli durumdki mksimum norml gerilme değeri, mlzemenin denesel olrk elde edilmiş tek eksenli durumdki kırılm değerine ulştığınd kırılm/hsr medn gelir. İç Sürtünme Teorisi -Coulom Kriteri: UC UC UT Bu kritere göre; mlzemenin hsr uğrmsınd mksimum gerilme ile erer iç sürtünme kuvvetleri de etkilidir. Gevrek mlzemelerin çeki ve sıdki mukvemet değerleri de (mlzeme içindeki süreksiz noktlr ve mlzeme kusurlrı nedenile, micro kırıklr gii) iririnden frklıdır. sm urulm / çekme UT Kriteri ifde eden şğıdki ğıntıd ve sırsıl mksimum km gerilmesini ve iç sürtünmeleri krkterize eden prmetrelerdir. Bu ktsılr sit çekme ve sm testleri ile ulunur. ( ) Sdece çekme durumund: UT UT UT, 0 ( UT UT 0 0 )...( )...(1) Sdece sm durumund:, 0 UC 0 ( UC ) (0 UC UC emniet için UC UT UC, olmlıdır....( 3 ) ) ( ) () ve (3) nolu denklemlerden UC UT UT UC UC UC UT UT UC UT UC UT 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-3

ve ifdeleri (1) nolu denklemde erine zılırs, hsr olmmsı için; UT UC 1 olmlıdır. UT UC UT Not: u ğıntı çıkrılırken UT ve UC İşretlerile erer (+ ve ) kullnıldı. Bu nedenle ğıntıd mutlk değer olrk zılmlıdır. Yni her ikisi de + olrk erlerine zılmlıdır. UT UC UT Örnek: Dökme demirden iml edilmiş şekildeki kolun çekme ve smdki mukvemet değerleri sırsıl σ UT =180 MP ve σ UC =300 MP dır. Emniet ktsısını n=3 olduğun göre, milin OA kısmının çpı için emniet kontrolü pınız. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-4

İçten sınc mruz ince cidrlı kplrd gerilmeler (düzlem gerilme) P iç sıncın mruz iki ucu kplı, ince cidrlı (r>>t) silindirde gerilmeler 1 = teğetsel gerilme, = eksenel gerilme Burd 1 ve nı zmns sl gerilmeleridir. Çünkü km gerilmesi ok. Teğetsel Gerilme σ 1 da p da σ 1 da σ da p da Fz 0 1 1 t pr pr t Eksenel Gerilme rt p r 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. F 0 pr t 1 m( inplne) 1 A ve B noktlrı sırsıl teğetsel gerilmei ( 1 ) ve eksenel gerilmei ( ) göstermektedir. Mksimum düzlem içi (in-plne) km gerilmesi: pr 4t Düzlem dışı (out-of-plne) mksimum km gerilmesi: m pr t Emniet kontrolünde ve tsrımd göz önüne lınmsı gereken km gerilme 7-5

P iç sıncın mruz ince cidrlı (r>>t) küresel kplrd gerilmeler 1 pr t Burd 1 ve nı zmns sl gerilmeleridir. Çünkü km gerilmesi ok. Her ikisi de Mohr çemerinde nı noktı gösterir. Bu nedenle; m(in 0 - plne) Üçüncü sl gerilme 0 olduğundn; mksimum km gerilmesi; m 1 1 pr 4t 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-6

Örnek: 1. MP lık iç sınc mruz ir hv tnkı silindirik ve küresel kısımlrdn oluşmktdır. Silindirik kısmın et klınlığı 10 mm küresel kısmın et klınlığı 8 mm ise; )Küresel ve silindirik kısımlrd medn gelen mksimum norml ve km gerilmelerini )Knk dikişinde medn gelen norml ve km gerilmelerini ulunuz. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-7

Düzlem şekil değiştirme ve dönüşüm ğıntılrı Düzlem şekil değiştirme durumund:, z, z z 0 Gerilme dönüşüm ğıntılrı ile şekil değiştirme dönüşüm ğıntılrı rsınd enzeşim vrdır.gerilme dönüşüm ğıntılrınd σ erine ε ve τ erine γ/ zılrk dönüşüm ğıntılrı elde edileilir. cos sin cos sin sin cos z 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-8

Düzlem şekil değiştirmede Mohr Çemeri Asl gerilme düzlemleri ile sl şekil değiştirme düzlemleri ve doğrultulrı nıdır. Çünkü km gerilmeleri ve dolısıl km şekil değiştirmeleri oktur (Hooke ğıntılrı). Düzlem şekil değiştirme durumund sl gerilmelerin üçüncüsü gerilmede olduğu gii 0 dır. Bu durum göz önüne lınrk Mohr çemeri çizilmeli ve mksimum km irim şekil değiştirmesi ulunmlıdır. ort ; R Asl irim şekil değiştirmeler ve doğrultulrı tn m Düzlem içi mksimum km irim şekil değiştirmesi p ve R; R min ve m R Düzlem gerilme durumu için sl şekil değiştirmeler: σ ve σ sl gerilmeler σ c =0 ise de ε c 0; E E E E c E 1 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-9

Deformson Rozetleri: Strin-Gges Strin gges irim şekil değiştirme ölçümünde kullnıln dirençlerdir. 45 o lik ir rozet ile ve doğrudn, ise dollı olrk ölçülmüş olur: OB cos 45 1 OB cos 1 sin Arlrınd herhngi ir çı ulunn rozetler kullnılırs, - düzlemindeki norml ve km irim şekil değiştirmeleri 3 ilinmeenli 3 denklem kullnılrk ulunur. Burd ε 1, ε ve ε 3 strin gges lerden denesel olrk elde edilen değerlerdir. 1 sin sin cos 1 sin cos 1 1 cos sin sin cos 3 cos 3 sin 3 sin cos 3 3 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-30

Örnek: Bir mkin prçsının serest üzeindeki ir noktdn strin gge ler ile pıln ölçümlerden rrlnılrk sl şekil değiştirmeler ε =+400 μ ve ε =-50 μ olrk hesplnmıştır. Ölçüm pıln mlzemenin Poisson ornı ν=0.3 olduğun göre; ) mksimum düzlem-içi irim km deformsonunu, ) gerçek mksimum irim km deformsonunu ulunuz (E=00 GP). 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-31

Örnek: T urulm momentine mruz şekildeki içi dolu mile pıştırıln ir strin gge den ε=+50 μ değeri okunmuştur. G=75 GP olduğun göre T nin değerini ulunuz. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-3

Örnek: Şekildeki ükleme durumu için A noktsındn okunn strin gge değerleri ε 1 =-60 μ, ε =+40 μ, ve ε 3 =+00 μ olrk okunmuştur. E=00 GP, G=79 GP ve ν=0.3 olduğun göre, ugulnn P ve Q kuvvetlerini ulunuz. 75 mm 75 mm 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-33

Örnek: 600 mm Bsınçlı gz tşımd kullnıln 600 mm çpındki ve 0 mm et klınlığındki ir tnkın üzeindeki ir nokt şekildeki gii oun ve enine pıştırıln strin gge lerden ε 1 =+55 μ ve ε =+60 değerleri okunmuştur. G=80 GP olduğun göre, ) tnk içindeki sıncı ve ) tnkın cidrındki sl gerilmeleri ve mksimum km gerilmesini ulunuz. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-34

Örnek: 600 mm çpındki ve 6 mm et klınlığındki silindirik ir tnkın (E=00 GP, ν=0.3) iç sıncını ölçmek için; tnkın üzeine tl β=18 lik çı pck şekilde ir strin gge pıştırılmıştır. Strin gge den okunn değer ε=80 μ olduğun göre, tnkın iç sıncını ulunuz. 009 The McGrw-Hill Compnies, Inc. All rights reserved. 7-35