4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR

4. DEVİRLİ ALT GRUPLAR Tım 4.1. M, bi G gubuu bi lt kümei olu. M yi kpy, G i bütü lt guplıı keitie M i üettiği (doğuduğu) lt gup dei ve M ile göteili. M i elemlı d M gubuu üeteçlei (doğuylı) dei. Öeme 4.2 : G bi gup ve M i) M vey { } ie M ii) M ie, G olu. Bu tkdide ={ } di. M ={ 1. 2... : M, N, Z, i 1,2,... } dı. 1 2 i i İpt : i) { } ve G i he lt gubu yi kpdığıd { } di. Ayıc { } ie M ={ } olduğu çıktı. 1 2 ii) H {.... : M, N, Z, i 1,2,... } kümeii G i bi lt gubu 1 2 i i olduğuu göteelim: 1. 2... m1 m2 m ve b b1. b2... b olmk üzee, b H içi 1 2 1 2 1 2 2 1..... m b... b m b m H olduğud H G di. 2 1 m M llım. m yi kedii bi kuvvet çpımı olk düşüeek yi H i tımıd 1 ve 1 1 lk m H buluu. Şu hlde M Hdı. H G olduğud, M H elde edili. Teie H M kpmıı göteelim: 1 1. 2 2... H llım. 1, 2,..., M M ve M bi gup olduğud bu elemlı kuvvetlei ve bulı çpımı d M de klı. Şu hlde 1. 2... M, yi H M elde edili. Souç olk H M di. 1 2 1 b Uyı: G toplml gup ve ie { } di. Tım 4.3 : Bi G gubu içi, G M olck şekilde bi M G lt kümei bulubiliyo, G ye M ile üetilmiş gup dei. Eğe M olu bi küme ie G ye olu üetilmiş gup, M {} tek elemlı bi küme ie G ye ile üetilmiş devili gup dei ve ile göteili. Öeme 4.2 de G, ile üetilmiş çpıml devili gup ie G = { : Z} ve G, ile üetilmiş toplml devili gup ie G = { } olcğı çıktı. Öekle 4.4. 1) Z, 1 ile üetilmiş ouz devili guptu. Geçekte, 1

Z 1 1 olduğuu göebiliiz. 2) G {1, i, 1, i} gubu i ile üetilmiş 4. metebede bi (olu) devili guptu. 3) Z {0, 1, 2,..., m 1}, 1 ile üetilmiş m. metebede bi devili guptu. m 4) T {6,15} Z içi T 3Z di. ( 1)12 15 3 ve 6=2.3, 15=5.3 olduğud T 3Z dı. 5) Z de 5 i üettiği gup 5 {5 : Z} di. 6) ( Q, ) bi devili gup değildi. Ipt. ( ) bi devili gup olu. Şu hlde ve ( ) olck şekilde vdı. olduğud olck şekilde vdı. Böylece çelişkii elde edili. 7) (Z3 x Z 4, + ) ypııı bi devili gup olduğuu göteelim. (, b),( c, d) Z3 x 4 gup olduğu çıktı. Z içi (, b) ( c, d) ( c, b d) işlemie göe (Z3 x Z 4, + ) ı bi Şimdi gubu devili olup olmdığı bklım. (1,1) Z 3 x Z 4 elemıı göz öüe llım. 1(1,1)=(1,1) 4(1,1)=(1,0) 2(1,1)=(2,2) 5(1,1)=(2,1) 3(1,1)=(0,3) 6(1,1)=(0,2) 7 (1,1)=(1,3) 10(1,1)=(1,2) 8 (1,1)=(2,0) 11(1,1)=(2,2) 9(1,1)=(0,1) 12(1,1)=(0,0) olup Z3x Z 4 =<(1,1)> olduğud gup devilidi. 8), b Z olu. ) Z bz { k bd : k, d Z} Z b) ve b 7 elemlı Z bz yi üeti. Yi Z bz =<, b 7> dı. Çözüm : ) Açık. b) k bl Z bz k bl ( k 7 l) ( b 7 ) l olduğud Z bz = di. 2

Not 4.5. Pozitif tmyıı içi 1 ve (, ) 1 ol tm yılı yıı ( ) ile göteili ve budki fokiyo Eule fokiyou dei. Eule fokiyouu şu özelliklei vdı: 1) p l ie ( p) p 1 2) p l ve N ie ( p ) p p p (1 ). p 3) ( m, ) =1 ie ( m) ( m) ( ) 1 2 4) m p 1. p 2... p Öek 4.6. gupt üeteçti. Not 4.7. 1 1 1 2 ie ( m) ( 1 ). ( 2 )... ( p p p ) = 1 1 1 1. 2 2 p p... p (1 )...(1 ) p p * Z 10 devili guptu. * 3 Z 10 ııfıı metebei 4 tü. Geçekte, * Z 10 ı metebei (10) (2) (5) 4 ol bi guptu. Bu 2 3 9, 1 3 4 3 7, 3 1. Yi 3 bi Eule Teoemi : m Z olu. ( m, ) 1 ol Z içi ( m) 1(mod m) vey ( m) 1. Femt Teoemi : Özel olk m p l yı ie Z içi p 1 1(mod p) di. Öekle 4.8. * 1 ) Z 15 bi devili gup değildi. Z * 15 içi (15) (3) (5) 8 di. 4 1 olu. Hlbuki, * Z 15 metebei 2 ) olmk üzee ltee gubu 3 uzuluğudki devile tfıd üetilmişti. İlk olk he elemıı 3-lü devililei bi çpımı olduğuu göteelim. olu. ve çift tm yı olmk üzee tpoziyolı içi olu. Hehgi ( ) tpoziyou içi ( ) ( )( )( ) olduğud m çift tm yı olmk üzee ( )( ) ( ) elde edeiz. Fkt ( )( ) ( ) olduğud f lü devilei bi çpımıdı. He üçlü devi çift pemütyo olduğud he üçlü devi gubuu bi elemıdı. Yukıd götediğimiz gibi gubuu he elemı 3-lü devilei bi çpımıdı. Böylece gubu 3-lü devile tfıd üetilmişti. 3

Not 4.9. G olu. ı bütü pozitif kuvvetleii göz öüe ldığımızd iki duum öz kouudu. Duum 1 ) ı bütü kuvvetlei bibiide fklıdı. Şu hlde, G ouz devili guptu. Duum 2 ) ı bzı kuvvetlei yıdı. Eğe özeliğii kullk tmyılı içi e buluu. Pozitif tmyılı iyi ılı oluşud, küçük pozitif tmyı bulubili. Bu e küçük pozitif tmyı t ie olu. Geçekte Z olmk üzee G llım. qt,0 t, q, Z şeklide yzbiliiz ( ) olduğud e 2 t {,,..., } yi ie kıltm m e ol e G e 2 t {,,..., } yi t ile kllı böleek, { } buluu. G olduğud te kpm d doğudu. Tım 4.10. G bi gup ve G olu. ı üettiği < > devili gubuu metebeie elemıı metebei dei ve o ( ) vey ile göteili. Şu hlde o ( ), ğly 0 tmyıl ıd e küçük olıdı. e koşuluu Öeme 4.11. G bi gup, G ve o ( ) = olu. Şu hlde di. İpt : : m e olu. m yi ile kllı böleek, m k,0 olck şekilde k Z bulubili. o ( ) = olduğud, m k e ve e ( ) buluu. Fkt 0 ie e olmı i bu koşulu ğly e küçük pozitif tmyı olmı ile çelişi. Şu hlde 0, yi olmlıdı. m k k : olu. m k, k Z ie ( ) e e olu. Öeme 4.12. G,. metebede bi devili gup olu. olmı içi geek ve yete koşul (, ) 1 olmıdı. i G i bi üeteci İpt : :, G i bi üeteci ie G di. ( ) t, t N. t 1 Kıltm özelliği kullk, e ve Öeme 4.11 de buluu. Şu hlde, bi y Z içi t 1 y ve böylece t y 1 olcğıd (, ) 1 elde edili. :(, ) 1 olu. Şu hlde x y 1 olck şekilde x, y Z. Böylece ( ) ( ) ( ) olcğıd G olduğu d çıktı. Böylece G di. G dı. olduğud Öeme 4.13. G bi ouz devili gup ie üeteçlei ve 1 di. İpt :, G ı bi üeteci ie ( ) ouz devili gup olmı edeiyle x 1 yi 1 buluu. x olck şekilde x Z. Bud < i 4

Öeme 4.14. Devili bi gubu he lt gubu d devilidi. İpt : G çıktı. ve H G olu. H {} e ie H i e ile üetile bi devili gup olduğu H {} e ve 0 tmyıı içi dı. Şu hlde geelliği bozmd 0 olmk üzee iyi ılı olduğud H olcğıı göteelim. Teie bi H olu. H G olduğud, ( ) 1 H H kbul edeiz. Pozitif tmyıl H olck şekilde e küçük pozitif tmyı olu. Bu duumd H ve H G olduğud < H llım. yi ile kllı böleek q,0, q, Z şeklide yzlım. Şu hlde ( ) ve böylece ( ) olu. Fkt 0< ve H olmı i eçimi ile çelişi. Bu duumd 0 ve bud dolyı q buluu. Bud q ( ), yi buluu. He iki kpmd d H Öeme 4.15 G dı. buluu. bi ouz devili gup ie lt gubu d bi ouz devili guptu. İpt : Öeme 4.14 e göe devili bi gubu he lt gubu d devilidi. Şimdi ouz bi devili gubu he lt gubuu d ouz olcğıı göteelim. H olu. Öeme 4.14 de H ol e küçük pozitif tmyı ie H olduğuu götemiştik. < > ouz bi devili gup olduğud, ı bütü kuvvetlei dolyııyl kuvvetlei fklıdı. Şu hlde H de bi ouz devili gup olu. m Öeme 4.16. G bi gup, G ve o( ) olu. o ( ) dı. ( m, ) İpt : G, o( ) ve ( m, ) d olu. m dm ve d m m o ( ) = olduğuu göteelim. o( ) k olu. ( m, ) ie ( m, ) 1 olu. ( ) ( ) / m k ve (, m ) 1 olduğud buluu. Diğe tft ( ) ( ) m ( ) buluu. Şu hlde, o( ) k di. ( m, ) i bütü Öeme 4.17. metebei ol olu devili gup olu. Şu hlde G gubuu i he pozitif bölei içi metebei d ol tek bi lt gubu vdı. İpt. ve d, m i bi pozitif bölei olu. Şu hlde olck şekilde vdı. Böylece ve Öeme 4.16 d ( ) ( ) ( ) elde edili. olu. Böylece ( ) elde edili. Souç olk metebei d ol bi gup elde etmiş olduk. Şimdi H i tek olduğuu göteelim. 5

K metebei d ol bi lt gup ve t de olck şekilde e küçük pozitif tm yı olu. Bud dolyı di. K ı metebei d olduğud ( ) di. Öeme 4.16 de ( ) ( ) ve böylece ( ) elde edeiz. Bu ie olduğuu ve böylece olck şekilde vdı. Bud dolyı ( ) ve böylece elde edeiz. Fkt olduğud ve H, K lt guplı olu olduğud olu. Böylece metebei ol tek bi lt gup vdı. Öekle 4.18. 1) G x < 1 ve < x > =30 ie < x > i lt guplı şuldı. 29 x >=< x >={ e, x,..., x } 2 28 x >={ e, x,..., x }, < x 2 > =15 < 2 3 27 3 x >={ e, x,..., x }, x 10 < 3 5 25 5 x >={ e, x,..., x }, x 6 < 5 6 24 6 x >={ e, x,..., x }, x 5 < 6 10 20 10 x >={ e, x, x }, x 3 < 10 { } = 2 { }, 2) Z 30 u tüm lt guplı şuldı. <0> ={0}, <0> =1 <1> ={0,1,,29}, <1> =30 <2> ={0,2,4,,28}, <2> =15 <3> ={0,3,,27}, <3> =10 <5> ={0,5,,25}, <5> =6 <6> ={0,6,,24}, <6> =5 <10> ={0,10,20}, <10> =3 <15> ={0,15}, <15> =2 3) G, 20. metebede bi devili gup ie bütü üeteçleii ve lt guplıı bullım. o ( ) 20 olduğud G ı üeteçlei yıı Bul (,20) 1 ve 1 20 olmk üzee ledi. Yi 3 7 9 11 13 17 19 G 2 (20) (2 ) (5) 2.4 8 tedi. Alt guplıı yıı d 20= 2 2.5 i pozitif böleleii yıı yi (20) 2.3 6 dı. olmk üzee, d. metebede lt gup 20/d ile belilidi. 6

4) G bi gup, H ve K b ııyl m. ve. metebede lt guplı olmk üzee ( m, ) 1 olu. H K, m metebede devili bi guptu. m m m Geçekte, (, b) d olu. (, b) (, b ) ( e, e) olduğud di. Ayı d d d zmd, ( e, e) (, b) (, b ) olduğud elde edili. Souç olk m gubuu üeti. Böylece =<( b, ) di. d d e b di. Böylece ve de d di. ( ) olduğud ( b, ) elemı 5 ) 4. öekte ( ) ie gubu devilidi. Öek 4.19. gubu Dihedl gup dei. Şimdi { } olduğuu göteelim : olmı ( ) olmıı geektii. Bu şekilde ( ) devm edeek içi elde edeiz. Fkt ( ) olduğud olmk üzee di. Böylece { } { } olduğu göülü. Tım 4.20., =, ve G gubu ve b tfıd üetiliyo ( ) G ye Quteio gup dei. Öek 4.21. T, Ȼ komplek yıl kümei üzeide teleebili mtilei bi kümei olu. bilie mti çpımı ltıd bi guptu. T gubuu [ ] ve [ ] ile üetilmiş lt gubu G olu. Şu hlde, ve olduğud i bi Quteio gup olduğu göülü. Öeme 4.22. uzuluğudki bi devii metebei di. İpt : ( ) yi uzuluğudki bi devi kbul edelim. içi ie ie dı. Bud ve içi olduğu göülü. Bu duumd i metebei di. 7

Öeme 4.23. Bi uzuluklıı ekok dı. pemütyouu metebei, yıldığı yık devilei İpt : i yık devilee yılışı olmk üzee deviii uzuluğu ve olu. yık devilei çpımı değişmeli olduğud di olduğud di. Bud di. Diğe tft i deki yıl kııtlışı yi vediğide olmı he içi olmıı geektii. Şu hlde di. Böylece ol e küçük pozitif tm yıı ( ) = olduğu göülü. Öek 4.24. f= (3 4)(1 2 5) ve SORULAR 1 ) ( { } ) gubuu devili olmdığıı göteiiz. 2) ( { } ) çpıml gubud devili lt gubuu belileyiiz. 3) Devili guplı değişmeli olduğuu göteiiz. 4) Devili olmy olu gub öek veiiz. 5) Devili olmy ouz gub öek veiiz. 6) Metebei 3 ol gubu devili olduğuu göteiiz. 7) Ylız bi üeteci ol gub öek veiiz. 8) He öz lt gubu devili ol gup devili midi? Nede? 9) G bi gup ve ie olduğuu göteiiz. 10) G bi gup ve,b olu. Şu hlde olduğuu göteiiz. 11) G bi gup ve,b ie olduğuu göteiiz 8

12) Sıfıd fklı komplek yılı çpıml lt kümei ı devili lt gubu diyelim. ı elemlıı ve metebeii belileyiiz. 13) Aşğıdki guplı metebeleii belileyiiz. () u ile üetile devili lt gubu, (b) u ile üetile devili lt gubu. 14) Aşğıdki guplı tüm lt guplıı metebeleii belileyiiz. () (b) (c) (d) (e) 15)( ) ve (, ) guplıd elemı metebeleii buluuz. 16) gubudki tüm elemlı metebeleii buluuz. 17) 36. metebede devili bi gubu tüm lt guplıı ve üeteçleii belileyiiz. 18) gubuu metebei 4 ol lt guplıı buluuz. 19) gubuu {( ) ( )} lt kümeii üettiği lt gubu belileyiiz. 20) ( ) gubud { } lt gubuu belileyiiz. 21) ( ) gubud m, olmk üzee gubuu üetecii buluuz. 22) G bi gup ve b=b olck şekilde,b olu. ( ) ( ) ve ( ) ie ( ) olduğuu göteiiz. 23) gubud ve olck şekilde buluuz. 24 ) devili gup mudu? Nede? 25) ( ) ( ) olu. i) ( ) ve ( ) yi buluuz. ii) olduğuu göteiiz. iii) de yi buluuz. iv) yi buluuz. 26) Klei 4-lü gubuu tüm lt guplıı buluuz. 9

27) ( ) yi belileyiiz. 28) G,, = ve olmk üzee ve b tfıd üetile bi Quteio gup olu. Aşğıdki ifdelei iptlyıız. i) G gubuu he elemıı olmk üzee şeklidedi. ii) G gubuu elem yıı 8 di. iii) G değişmeli olmy bi guptu. 29) ( ) gubuu {[ ] } lt kümeii bi devili lt gup olduğuu göteiiz. 30) { } toplml gubu devili midi? 31) G bi gup ve H ve K d lt guplı olu. olmı içi geek ve yete koşulu vey olmıdı. Göteiiz. 32) ve iki devili gup olmk üzee ( ) ( ) olduğuu iptlyıız. 33) bi gup, H ve K d G i lt guplı olu. olmı içi geek ve yete koşulu olduğuu göteiiz. 34) ve iki fklı l yı olu. gubuu kç te devili lt gubu vdı? 35) l yı, olu. devili gubuu kç te üeteci vdı? 36) Aşğıdki ifdele doğu vey ylış mıdı? Doğu ie ipt ediiz, ylış ie bi öek bulk ebebii çıklyıız. () He değişmeli gup devilidi. (b) toplml devili guptu. (c) Devili bi gubu he elemı gubu üetecidi. (d) Veile he içi metebede e z bi değişmeli gup vdı. (e) Metebei ol he gup devilidi. (f) i tüm üeteçlei l yıldı. (g) ve, gubuu iki lt gubu ie, i lt gubudu. (h) Metebei ol he devili gubu e z iki fklı üeteci vdı. 10