D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü, 6, aşlıçiftli-oat, üriye, e-mail: bbucu@yahoo.com veya bucu@gop.edu.tr ABRAC I this study are two alterative methods give for rotatio of semi-positive orthogoal matrix ad foud rotatio axis ad rotatio agle with those methods. Keywords: Loretz space, emi- sewsymmetric matrix, emi-rotatio matrix. EMİ-POZİİF OROGONAL MARİLER İÇİN ALERNAİF İKİ YÖNEM (Doğru mudur?) ÖZE Bu çalışmada, semi pozitif ortogoal döme matrisii bulumasıda alteratif diye adladırıla ii farlı metot veriliyor. Ayrıca, semi-pozitif ortogoal A matrisie arşılı gele ese ve açı formülize ediliyor. Aahtar Kelimeler: Loretz uzayı, emi-atisimetri matris, emi-döme matrisi. 1. EMEL KAVRAMLAR eorem 1.1 f reel değişeli, reel atsayılı bir poliom ve A bir are matrisi olsu. Au = λu ( u ) ise f( A) u = f( λ) u dır. Başa bir ifadeyle, A ı bir öz değeri λ ise f ( A ) ı öz değeri f ( λ ) dır [1]. aım 1.1 V, bir Loretz uzayı olsu. v V içi, deir []. v = ise v ye spacelie vetör, < vv, >> veya < vv, >< ise v ye timelie vetör, < vv, >= ise v ye ull (lightlie) vetör, 45
D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem 1. ayı Mayıs 6 eorem 1. Bir Loretz uzayıda u ve w gibi ii timelie vetör ayı oidedir aca ve aca dır []. < uv, >< 1 aım 1. A = ε A ε eşitliğii sağlaya bir A matrisie, semi-ortogoal matris deir. Burada işaret matrisimiz ola ε, bir öşege matris olup, il v bileşei -1 ve diğer bileşeleri +1 dir []. aım 1.3 = ε ε eşitliğii sağlaya bir A matrisie, Loretz alamıda atisimetri matris deir []. c b = c a b a matrisi = ε ε şartıı sağladığıda Loretz alamıda bir atisimetri matristir. Ayrıca s= ( abc,, ) ise.s= dır []. aım 1.4 x = ( x1, L, x ), y = ( y1, L, y ) E olsu. <>, : ExE R ( x, y) < x, y >= x y + x y v i i j j i= 1 j= v+ 1 metri tesörüe sahip olma üzere x E sayısıa vetörüü ormu deir []. uzayıa, semi Ölidiye uzay deir ve E v ye, Miowsi uzayı deir. Eğer x E v ile gösterilir. = y ise < x, x > reel aım 1.5 x = ( x, x, x ), y = ( y, y, y ) E stadart vetörel çarpımı, 1 3 1 3 3 gibi ii vetörü Loretz alamıda x y = ( x y x y, x y x y, x y x y ) 3 3 3 1 1 3 1 1 biçimide taımlaır. Eğer X. y = x y dir []. x vetörüe arşılı gele atisimetri matris X ise b aım 1.6 Her i, j içi, elemaları b ye yaısıyor ise { } B dizisi de, B = b ij matrisie yaısar [1]. ij ij B = b matrislerii ij 46
D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 aım 1.7 { } dizisii ısmi toplamları B ye yaısa ise yaısar, burada = B = e dır. A emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem A A A = = I + + + L! 1!! = = B sosuz serisi, B ye biçimide verile sosuz serileri eyfi bir A matrisie yaısadığı görülür. Böylece her matris içi taımlıdır [1]. A e, eorem 1.3, Loretz alamıda atisimetri matris ve ile birleştirilmiş vetör s = ( a, b, c)olsu. spacelie bir vetör ise i öz değerleri;, -1 ve 1 dir. 3 λ ( a b c ) λ İspat: det( λi) = da, + + + = eşitliğie varılır. spacelie ve birim vetör olduğuda, λ = ve ± 1 olur. ALERNAİF YÖNEMLER.1 Lieer Cebir Yötemi Birici alteratif yötem, lieer cebir metoduu ullaara semi pozitif ortogoal A matrisii bulmaı yötemii vere bir metodtur. 3 eorem.1 E1 uzayıda, s spacelie esei etrafıda θ adarlı bir Loretziya döme R(, s θ ) ile gösterilsi. Bu durumda, R(, s θ ) = Ar, (si ) (cos 1) ( ) dir. Burada A= + hθ + hθ = f semi ortogoal bir matristir. İspat : 3 E1 dir. Ayı zamada A pozitif uzayıda, eyfi bir r vetörü, s spacelie ve ξ timelie bir vetör olma üzere biçimide ifade edilebilir. r = s+ ξ, R, s spacelie bir ese ve ξ timelie bir vetör olsu. ξ vetörüü, edisie di ola s esei etrafıda θ adar dödürdüğümüzde elde edilece semi pozitif ortogoal A matrisii bulalım. (i) Loretz düzlemideξ timelie vetörü, s space esei boyuca θ adar dödürülürse, ( ) Rs (, θ ) ξ = coshθ ξ + si hθ( s ξ) 47
D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 ( ) ( ) Rs (, θ ) ξ = coshθ ξ + si hθ( ξ ) Rs (, θξ ) = coshθ ξ+ si hθ( r) elde edilir. Ayrıca aşağıdai eşitlileri, (ii) şııda ullaacağız. o eşitlite, elde edilir. olsu. Bu durumda dir. (ii) 3 r E 1 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem s ( s ξ ) = s, s ξ s, ξ s []. = ss, ξ. s = 1.ξ = ξ. s (s ξ ) = ξ veya ξ = ξ r = s + ξ, (r başlagıç pozisyo vetörüdür.) s ξ =.ξ s r = r s r = ( s+ ξ ) = s + ξ s r = ξ olsu. Bu durumda döme matrisi aşağıdai işlemlerde sora Rs (, θ ) r= Rs (, θ)( s+ ξ) = R ( s, θ )( s) + R( s, θ ) ξ = s + R(s,θ )ξ ( cos θ) ξ ( si θ) ( cos θ 1) ξ ( si θ) ( cos θ 1) ( si θ) = s + h + h r = r+ h + h r = r+ h r+ h r = I + (si hθ) + (cos hθ r 1 R( s, θ). r = [ + (si hθ) + (cos hθ )] r R(, s θ ). r = Ar. = + (si ) + (cos 1) ) = ( ). 1 A hθ hθ f biçimide buluur. Şimdi A matrisii semi ortogoal olduğuu gösterelim. Yai, dır. Gerçete, A = ε A ε 1 48
D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 A = + (si hθ) + (cos hθ emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem ( ) ε A ε = ε + (si hθ) + (cos hθ ( ) ε ε A ε = ε ε + ε(si hθ) ε + ε(cos hθ 1)( ) ε = + (si ) + (cos 1)( ) ε hθε ε hθ ε (si ) (cos 1).1. = hθ + hθ ε ε (si ) (cos 1).. = hθ + hθ ε ε ε (si ) (cos 1)( )(. ) = hθ + hθ ε ε ε ε = (si hθ) + (cos hθ ( )( ) εa ε = (si hθ) + (cos hθ 1) = f( ) dır. Diğer tarafta, R s θ = R s θ = f olduğuda, 1 (, ) (, ) ( ) (si ) (cos 1) 1 A = hθ + hθ A = ε A ε 1 elde edilir. Dolayısıyla A semi ortogoaldir. Şimdi de A matrisii determiat ıı +1 olduğuu gösterelim. A = f( ) dir. semi atisimetri matrisii öz değerleri eorem 1.3 de dolayı, -1, 1 dir. eorem 1.1 de dolayı da f( ) i öz değerleri de, () = 1 + (si ). + (cos 1). = 1 f hθ θ (1) 1 (si ).1 (cos 1).1 f = + hθ + θ = e θ ( 1) 1 (si ).( 1) (cosh 1).( 1) f = + hθ + θ = e θ dir. Bir matrisi determiatı baz değişimide bağımsız olduğu içi, θ θ det A= 1. e.e =1 dir. Böylece A, bir semi pozitif ortogoal matristir. Dolayısıyla ispat tamamlamış olur. Şimdi, verile bir semi pozitif ortogoal A matrisie arşılı gele açıyı ve esei bulalım. eorem.. A, -1 öz değerie sahip olmaya pozitif semi ortogoal bir matris olsu. Bu dururmda A ya arşılı gele Loretziya (hiperboli) açı ve ese sırasıyla, IzA = 1+ coshθ ve (sih ) 1 A A = θ 49
D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem eşitlileride elde edilir. İspat: (i) İz operatörüü lieerli özelliğide, A= + (sih θ) + (coshθ = Iz + (sih θ) + (coshθ ( ) [ θ ] = Iz + Iz (sih ) + Iz (coshθ ( θ) ( θ) IzA = 3+ sih Iz( ) + Iz (coshθ = 3+ sih + (coshθ 1)( b + c + c a + b a ) 3 (coshθ 1)..( ); = + a + b + c s spacelie = 3+ (coshθ..1 = 3+ coshθ = 1+ coshθ buluur. (ii) Döme açısı buluur. A A 1 de buluur. Bu far hesaplaırsa, 1 A A = (sih θ ). Loretziye Döme Matrisii Üstel Formu İici alteratif yötemimiz, matrisleri üstel formuu ullaara semi pozitif ortogoal A matrisii elde etme içi ullaıla metodtur. eorem.3 (a) = içi, 1 = olsu. Bu durumda, Loretz düzlemide matrisi 1 ile birleştirilmiş, s = (,1) spacelie vetörü içi döme matrisi dır. = 3 θ e = (cosh θ ) I + (sih θ ) c b = c a s = ( a, b, c) b a (b) ve ; 5 s = 1 olsu. Bu durumda Loretz
D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem düzlemide s spacelie vetörü içi döme matrisi dır. İspat: (a) e = I + (sih θ) + (coshθ 1) θ ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ e = I + + L+ + L 1!!! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 θ θ θ θ θ e = + + L+ I + + + L 1! 3!! 4! 4 1 = I, = I,..., = I ve + = ; =,1,,... 3 4 θ θ θ θ θ e = + + L + 1+ + + 1! 3! L I! 4! θ e = (cosh θ ) I + (sih θ ) elde edilir. Hatta açı yazılırsa, θ 1 1 e = (cosh θ) I + (sih θ) = sihθ + coshθ 1 1 θ coshθ sihθ e = = A( θ ) sihθ coshθ 1 Loretz (hiberboli) düzlemide alışılmış döme matrisi elde edilir. A = ε A ε eşitliği sağladığıda ve det A( θ ) = 1 olduğuda, A semi pozitif ortogoal matristir. (b) (a) dai bezer işlemler burada da yapılırsa, yazılabilir. Diğer tarafta, ( ) ( ) ( ) θ θ θ θ e = I + + L+ + L 1!!! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 θ θ θ θ θ e = I + + + L+ + + L 1! 3!! 4! 51
D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem 1. ayı Mayıs 6 c b c b b + c ab ac = = b a b a ac bc b a c a c a ab c a bc b + c ab ac c b c b = = = ac bc b a b a b a 3 ab c a bc c a c a = = = = = = 3 5 + 1 +,,,..., ;,,1,,... eşitlileri vardır. Yuarıdai eşitliler de göz öüde tutulursa, 3 4 θ θ θ θ θ e = I + + + L + + + + 1! 3! L! 4! 3 4 θ θ θ θ θ e = I + + + L + 1+ + + 1 1! 3! L! 4! θ e = + (sih θ) + (coshθ buluur. s i timelie vetör seçilmesi durumuda, yuarıdai bezer işlemler yapılırsa, θ e = + (si θ) + (1 cosθ) buluur. KAYNAKLAR [1] Broso, R., Matrix Methods: A Itroductio Academic Press, Bosto, 54-55, 6-64 (1991). [] O Neill, B., emi-riema Geometry with Applicatio to Relativity, Academic Press, New Yor, 78-9 (1983). 5