Lisans Ayrık Matematik Cebirsel Yapılar H. Turgut Uyar Ayşegül Gençata Yayımlı Emre Harmancı 2001-2012 You are free: to Share to copy, distribute and transmit the work to Remix to adapt the work c 2001-2012 T. Uyar, A. Yayımlı, E. Harmancı Under the following conditions: Attribution You must attribute the work in the manner specified by the author or licensor (but not in any way that suggests that they endorse you or your use of the work). Noncommercial You may not use this work for commercial purposes. Share Alike If you alter, transform, or build upon this work, you may distribute the resulting work only under the same or similar license to this one. Legal code (the full license): http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ 1 / 70 2 / 70 Konular Cebirsel Yapı Cebirsel Yapılar Giriş Gruplar Halkalar Kafesler Kısmi Sıralı Kümeler Kafesler Boole Cebirleri cebirsel yapı: <küme, işlemler, sabitler> taşıyıcı küme işlemler: ikili, tekli sabitler: etkisiz, yutucu 3 / 70 4 / 70 İşlem Kapalı İşlem leri her işlem bir fonksiyon ikili işlem: : S S T tekli işlem: : S T çıkarma işlemi Z kümesinde kapalı çıkarma işlemi Z + kümesinde kapalı değil kapalı: T S 5 / 70 6 / 70
İkili İşlem Özellikleri İkili İşlem Örneği değişme: a, b S a b = b a birleşme: a, b, c S (a b) c = a (b c) : Z Z Z a b = a + b 3ab değişme: a b = a + b 3ab = b + a 3ba = b a birleşme: (a b) c = (a + b 3ab) + c 3(a + b 3ab)c = a + b 3ab + c 3ac 3bc + 9abc = a + b + c 3ab 3ac 3bc + 9abc = a + (b + c 3bc) 3a(b + c 3bc) = a (b c) 7 / 70 8 / 70 Sabitler Sabit leri etkisiz eleman: x 1 = 1 x = x soldan etkisiz: 1 l x = x sağdan etkisiz: x 1 r = x yutucu eleman: x 0 = 0 x = 0 soldan yutucu: 0 l x = 0 sağdan yutucu: x 0 r = 0 < N, max > için etkisiz eleman 0 < N, min > için yutucu eleman 0 < Z +, min > için yutucu eleman 1 a b c a a b b b a b c c a b a b soldan etkisiz a ve b sağdan yutucu 9 / 70 10 / 70 Sabitler Evrik 1 l 1 r 1 l = 1 r 1 l 1 r = 1 l = 1 r 0 l 0 r 0 l = 0 r 0 l 0 r = 0 l = 0 r x y = 1 ise: x elemanı y elemanının sol evriği y elemanı x elemanının sağ evriği x y = y x = 1 ise x ile y evrik 11 / 70 12 / 70
Evrik Cebir Ailesi işlemi birleşme özelliği taşıyorsa: w x = x y = 1 w = y w = w 1 = w (x y) = (w x) y = 1 y = y cebir ailesi: cebirsel yapı, aksiyomlar değişme, birleşme evrik elemanlar 13 / 70 14 / 70 Cebir Ailesi leri Altcebir aksiyomlar: x y = y x (x y) z = x (y z) x 1 = x bu aksiyomları sağlayan yapılar: < Z, +, 0 > < Z,, 1 > < P(S),, > altcebir: A =< S,,, k > A =< S,,, k > olsun A cebrinin A cebrinin bir altcebri olması için: S S a, b S a b = a b S a S a = a S k = k 15 / 70 16 / 70 Altcebir leri Yarıgruplar < Z +, +, 0 > cebri, < Z, +, 0 > cebrinin bir altcebridir. < N,, 0 > cebri, < Z,, 0 > cebrinin bir altcebri değildir. yarıgrup: < S, > a, b, c S (a b) c = a (b c) 17 / 70 18 / 70
Yarıgrup leri Monoidler < Σ +, & > Σ: alfabe, Σ + : en az 1 uzunluklu katarlar &: katar bitiştirme işlemi monoid: < S,, 1 > a, b, c S (a b) c = a (b c) a S a 1 = 1 a = a 19 / 70 20 / 70 Monoid leri Grup < Σ, &, ɛ > Σ: alfabe, Σ : herhangi uzunluklu katarlar &: katar bitiştirme işlemi ɛ: boş katar grup: < S,, 1 > a, b, c S (a b) c = a (b c) a S a 1 = 1 a = a a S a 1 S a a 1 = a 1 a = 1 Abel grubu: a, b S a b = b a 21 / 70 22 / 70 Grup leri Grup Örneği: Permutasyon Bileşkesi < Z, +, 0 > bir gruptur. < Q,, 1 > bir grup değildir. < Q {0},, 1 > bir gruptur. permutasyon: küme içi bijektif bir fonksiyon gösterilim: ( ) a1 a 2... a n p(a 1 ) p(a 2 )... p(a n ) 23 / 70 24 / 70
Permutasyon leri Grup Örneği: Permutasyon Bileşkesi A = {1, 2, 3} ( ) 1 2 3 p 1 = 1 2 3 ( ) 1 2 3 p 3 = 2 1 3 ( ) 1 2 3 p 5 = 3 1 2 ( ) 1 2 3 p 2 = 1 3 2 ( ) 1 2 3 p 4 = 2 3 1 ( ) 1 2 3 p 6 = 3 2 1 permutasyon bileşkesi birleşme özelliği gösterir birim permutasyon: 1 A ( a1 a 2... a n a 1 a 2... a n bir küme üzerindeki permutasyonların kümesi, permutasyon bileşkesi işlemi ve birim permutasyon bir grup oluşturur ) 25 / 70 26 / 70 Grup Örneği: Permutasyon Bileşkesi Grup Örneği: Permutasyon Bileşkesi ({1, 2, 3, 4} kümesindeki permutasyonlar) A 1 A p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 p 9 p 10 p 11 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 1 1 3 3 4 4 3 3 4 2 4 2 3 3 4 1 4 1 3 4 4 3 4 2 3 2 4 3 4 1 3 1 p 12 p 13 p 14 p 15 p 16 p 17 p 18 p 19 p 20 p 21 p 22 p 23 1 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 2 1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 3 3 3 2 4 1 4 1 2 2 3 1 3 1 2 4 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 2 1 p 8 p 12 = p 12 p 8 = 1 A : p 12 = p8 1, p 8 = p12 1 p 14 p 14 = 1 A : p 14 = p14 1 G 1 =< {1 A, p 1,..., p 23 },, 1 A > bir gruptur 27 / 70 28 / 70 Grup Örneği: Permutasyon Bileşkesi Sağdan ve Soldan Kaldırma 1 A p 2 p 6 p 8 p 12 p 14 1 A 1 A p 2 p 6 p 8 p 12 p 14 p 2 p 2 1 A p 8 p 6 p 14 p 12 p 6 p 6 p 12 1 A p 14 p 2 p 8 p 8 p 8 p 14 p 2 p 12 1 A p 6 p 12 p 12 p 6 p 14 1 A p 8 p 2 p 14 p 14 p 8 p 12 p 2 p 6 1 A < {1 A, p 2, p 6, p 8, p 12, p 14 },, 1 A > G 1 in bir altgrubudur a c = b c a = b c a = c b a = b a c = b c (a c) c 1 = (b c) c 1 a (c c 1 ) = b (c c 1 ) a 1 = b 1 a = b 29 / 70 30 / 70
Grupların Temel i Halka a x = b denkleminin tek çözümü: x = a 1 b. a c = b a 1 (a c) = a 1 b 1 c = a 1 b c = a 1 b halka: < S, +,, 0 > a, b, c S (a + b) + c = a + (b + c) a S a + 0 = 0 + a = a a S ( a) S a + ( a) = ( a) + a = 0 a, b S a + b = b + a a, b, c S (a b) c = a (b c) a, b, c S a (b + c) = a b + a c (b + c) a = b a + c a 31 / 70 32 / 70 Alan Kaynaklar alan: < S, +,, 0, 1 > bütün halka özellikleri a, b S a b = b a a S a 1 = 1 a = a a S a 1 S a a 1 = a 1 a = 1 Grimaldi Chapter 5: Relations and Functions 5.4. Special Functions Chapter 16: Groups, Coding Theory, and Polya s Method of Enumeration 16.1. Definitions, Examples, and Elementary Properties Chapter 14: Rings and Modular Arithmetic 14.1. The Ring Structure: Definition and Examples 33 / 70 34 / 70 Kısmi Sıralı Küme Kısmi Sıra leri kısmi sıra bağıntısı: yansımalı ters bakışlı geçişli kısmi sıralı küme (poset): elemanları üzerinde kısmi sıra bağıntısı tanımlanmış küme (kümeler kümesi, ) A A A B B A A = B A B B C A C 35 / 70 36 / 70
Kısmi Sıra leri Kısmi Sıra leri (Z, ) x x x y y x x = y x y y z x z (Z +, ) x x x y y x x = y x y y z x z 37 / 70 38 / 70 Karşılaştırılabilirlik Karşılaştırılabilirlik leri a b: a b nin önündedir a b b a: a ile b karşılaştırılabilir çizgisel sıra: her eleman çifti karşılaştırılabiliyor Z +, : 3 ile 5 karşılaştırılamaz Z, : çizgisel sıra 39 / 70 40 / 70 Hasse Çizenekleri Hasse Çizeneği leri a b: a b nin hemen önündedir x a x b Hasse çizeneği: a b ise a ile b arasına çizgi önde olan eleman aşağıya {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24} bağıntısı 41 / 70 42 / 70
Tutarlı Sayılama Tutarlı Sayılama leri tutarlı sayılama: f : S N a b f (a) f (b) birden fazla tutarlı sayılama olabilir {a 5, b 3, c 4, d 1, e 2} {a 5, b 4, c 3, d 2, e 1} 43 / 70 44 / 70 En Büyük - En Küçük Eleman En Büyük - En Küçük Eleman leri en büyük eleman: max x S max x x = max en küçük eleman: min x S x min x = min max : 18, 24 min : 1 45 / 70 46 / 70 Sınırlar Sınır Örneği (36 nın bölenleri) A S A nın üstsınırı M: x A x M M(A): A nın üstsınırları kümesi A nın en küçük üstsınırı sup(a): M M(A) sup(a) M A S A nın altsınırı m: x A m x m(a): A nın altsınırları kümesi A nın en büyük altsınırı inf (A): m m(a) m inf (A) inf = en büyük ortak bölen sup = en küçük ortak kat 47 / 70 48 / 70
Kafes Kısmi Sıralı Küme - Kafes İlişkisi kafes: < L,, > : karşılaşma, : bütünleşme a b = b a a b = b a (a b) c = a (b c) (a b) c = a (b c) a (a b) = a a (a b) = a P bir kısmi sıralı küme ise < P, inf, sup > bir kafestir. a b = inf (a, b) a b = sup(a, b) Her kafes bu tanımların geçerli olduğu bir kısmi sıralı kümedir. 49 / 70 50 / 70 Dualite Kafes leri dual: yerine, yerine (Dualite i) Kafeslerde her teoremin duali de teoremdir. a a = a a a = a (a (a b)) 51 / 70 52 / 70 Kafes leri Kafes leri a b a b = a a b = b < P{a, b, c},, > bağıntısı 53 / 70 54 / 70
Sınırlı Kafesler Kafeslerde Dağılma L kafesinin altsınırı: 0 x L 0 x Sonlu her kafes sınırlıdır. L kafesinin üstsınırı: I x L x I dağılma özellikli kafes: a, b, c L a (b c) = (a b) (a c) a, b, c L a (b c) = (a b) (a c) 55 / 70 56 / 70 Karşı ler Karşı ler a (b c) = a 0 = a (a b) (a c) = I c = c a (b c) = a 0 = a (a b) (a c) = I I = I 57 / 70 58 / 70 Kafeslerde Dağılma Bütünleşmeyle İndirgeme Bir kafes yalnız ve ancak bu iki yapıdan birine izomorfik bir altkafes içeriyorsa dağılma özelliği göstermez. bütünleşmeyle indirgenemez eleman: a = x y a = x veya a = y atom: altsınırın hemen ardından gelen, bütünleşmeyle indirgenemez eleman 59 / 70 60 / 70
Bütünleşmeyle İndirgeme Örneği Bütünleşmeyle İndirgeme (bölünebilirlik bağıntısı) asal sayılar ve 1 bütünleşmeyle indirgenemez 1 altsınır, asal sayılar atom Bütünleşmeyle indirgenebilir bütün elemanlar, bütünleşmeyle indirgenemez elemanların bütünleşmesi şeklinde yazılabilir. 61 / 70 62 / 70 Tümleyen Tümlemeli Kafesler Sınırlı, dağılma özellikli bir kafeste tümleyen varsa tektir. a ile x tümleyen: a x = 0 ve a x = I a x = 0, a x = I, a y = 0, a y = I x = x 0 = x (a y) = (x a) (x y) = I (x y) = x y = y x = I (y x) = (y a) (y x) = y (a x) = y 0 = y 63 / 70 64 / 70 Boole Cebri Boole Cebri - Kafes İlişkisi Boole cebri: < B, +,, x, 1, 0 > a + b = b + a a b = b a (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) a + 0 = a a 1 = a a + a = 1 a a = 0 Bir Boole cebri sonlu, dağılma özellikli, her elemanın tümleyeninin olduğu bir kafestir. 65 / 70 66 / 70
Dualite Boole Cebri leri dual: + yerine, yerine + 0 yerine 1, 1 yerine 0 (1 + a) (b + 0) = b teoreminin duali: (0 a) + (b 1) = b B = {0, 1}, + =, = B = { 70 in bölenleri }, + = okek, = obeb 67 / 70 68 / 70 Boole Cebri leri Kaynaklar a + a = a a a = a a + 1 = 1 a 0 = 0 a + (a b) = a a (a + b) = a (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) a = a a + b = a b a b = a + b Okunacak: Grimaldi Chapter 7: Relations: The Second Time Around 7.3. Partial Orders: Hasse Diagrams Chapter 15: Boolean Algebra and Switching Functions 15.4. The Structure of a Boolean Algebra 69 / 70 70 / 70