Bölüm 6 ÇOK DEĞİŞKENLİ OLASILIK DAĞILIMLARI Öncek bölümlerde tek-boutlu örnek uzalarla lgl rastgele değşkenler ve bu değşkenlern olasılık dağılımları ncelenmştr. Başka br anlatımla "br tek" rastgele değşkenle ve onun olasılık dağılımıla lglenlmştr. Ne var k pratkte, brkaç rastgele değşkenn ardışık oluşan sonuçlarıla lglendğmz ve bu sonuçları kada geçrmek stedğmz çok saıda olgula karşılaşablrz. Örnekse, soğukta çeklen çelğn hem sertlğnn hem de çekme mukavemetnn blnmes; a da kmasal br denede hem çökelt mktarının hem de açığa çıkan gaz hacmnn ölçülmes steneblr. Bu gb durumlarda sonuçlar; anılan rastgele değşkenlere lşkn çft değerler (sertlk-çekme mukavemet, a da çökelt mktarı-açığa çıkan gaz hacm) k boutlu br örnek uza oluşturur. Burada şu soru akla geleblr: Acaba, söz konusu rastgele değşkenlerden brnn özel br değer alması, ötek rastgele değşkenn aldığı değern olasılığını etklor mu, vce versa? Bu bz lglendğmz k rastgele değşken arasında statstksel br lşknn var olup var olmadığını; br bağımlılığın a da bağımsızlığın olup olmadığını araştırmaa öneltr. Örnekse fzksel br olguda, br çekme denende, çelğn akma lmt ve kopma lmt arasında statstksel br lşk bulunup bulunmadığının belrlenmes gb. X ve Y gb k rastgele değşken göz önüne alalım; (X = z, Y= ) ve (X, Y) olaları, uzaına lşkn rastgele değşken değerlerle tanımlanan ortak olalar olur. Daha açık anlatımla; (X =, Y = )= [(X = )(Y= )] olaını ve (X, Y)=[(X)(Y)]olaını belrtr. Örnekse, X belrl br betonun basınç mukavemetn (Mpa), ve Y zamanı (gün) gösterorsa; (X = 32, Y= 9), betonun mukavemetnn 32 MPa ve aşının 9 gün olduğu br ortak olaı belrtr. Kovarans ve Korelason Kovarans ve korelason ortak rasgele değşkenlern statstksel bağımlılıklarıla lgl termlerdr. Korelason katsaısının sıfır le mutlak değerce br arasında değşen değer, k değşken arasındak doğrusal çsel lşknn, statstksel bağımlılığın derecesn belrten ölçüdür. Korelason katsaısı, br korelasonun doğrusal fonksonel lşke ne kadar aklaştığını belrten ölçüdür; değşkenler arasındak ncelksel oranı gösteren ölçü değldr. Anılan rastgele değşkenlere lşkn gözlemsel a da denesel sonuçlar arasında fonksonel br lşk kurulablorsa, alnızca bu lşknn doğrusal olması halnde söz konusu değşkenlern statstksel bağımlılığından söz edleblr. Bağımlılığın önü ve dereces hesaplanarak belrlenr. Söz konusu fonksonel lşknn kurulamaması a da kurulsa ble bunun doğrusal olmaması (=), X ve Y nn statstksel bağımsız oldukları anlamına gelr. Bu bağlamda, k değşken arasındak doğrusal lşknn ölçüsü olan, bu değşkenler arasında nedensel br bağıntı olduğunu fade etmez. İks de başka br değşkene ada değşkenlere bağlı X ve Y rastgele değşkenlern göz önüne alalım. Bu durumda değşkenlerden brnn değerler, öteknn değerlern doğrudan etklemeeblr. Ama gene de bu k değşken arasında güçlü br korelason oluşablr. Örnekse az mevsmle lgl oldukları çn br ıl çnde satılan dondurmaların saısı le güneş gözlüklernn saısı arasında güçlü br doğrusal lşk bulunablr. Yada br nehrn kabarması le br nşaat şnde çalışan ekbn vermllğ arasında oldukça üksek br korelason var olablr. Çünkü her ks de hava koşullarına bağlıdır. Bu örnekler, aralarında nedensel br bağ olmasa ble, k rastgele değşken arasında statstksel br bağımlılık oluşableceğn belrtr. 6-1 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Banu Yağcı
= +1. = -1. =. <<1. = = Şekl; Korelason katsaısının anlamı Korelason Çözümlemes X ve Y rastgele değşkenlern göz önüne alalım. Matematksel olarak bu k değşken arasındak korelason, daha önce tanımlanmış olan (Ders notları, safa 3-6) korelason katsaısı le değerlendrlr. Bu bağıntı şöle azılablr; Cov(X, Y) E[(X m)(y m)] Korelason katsaısı, X ve Y nn gözlenen br değerler takımı esas alınarak tahmn edleblr. n 1 ( )( ) (n 1)s s n 1 (n 1)s s n,,s,s ; sırasıla X ve Y nn örnek ortalamaları ve standart sapmalarıdır. tahmn değernn +1 e a da -1 e akın bulunması, X ve Y arasında oldukça güçlü br doğrusal lşk olduğunu belrtr. Örnek Yağmur mktarı le ortadan kalkan hava krllğnn büüklüğü arasındak korelasonun ncelenmes amacıla aşağıdak tablonun knc ve üçüncü kolonunda verlen verler toplanmıştır. Bu verlere göre korelason katsaısını hesaplaalım ve katsaıı orumlaalım. = br günde ağan ağmur mktarı (.1 mm); =br metreküptek parçacıklar (mkrogram) 6-2 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Banu Yağcı
Verlern dağılımı Bu sonuç, X ve Y değşkenler arasında oldukça güçlü br korelason olduğunu göstermektedr. Örnek Br roket motorun anı koşullar altında çalıştırılması sırasında sıcaklık ve basınç gerlmelerne lşkn aşağıdak tabloda verlen ve Şekl 'de gösterlen verler elde edlmştr. Bu blglere göre korelason katsaısını hesaplaalım. Bu sonuç, korelasonun güçlü ve poztf önlü olduğunu göstermektedr. 6-3 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Banu Yağcı
REGRESYON ANALİZİ Korelason katsaısı k değşken arasındak doğrusal çsel lşknn, statstksel bağımlılığın derecesn belrten br ölçüdür. Bu çsel lşknn var olması halnde, değşkenlerden brnn değer bell olduğu zaman öteknn değernn tahmn edlmes sürec se regreson çözümlemesnn konusu olur. Denesel ver takımına uan ve değşkenler arasındak lşk en etkn şeklde ansıtan matematksel modele regreson bağıntısı adı verlr. İlglendğmz olada alnızca Y ve olması durumunda Y bağımlı değşkennn bağımsız değşkenne göre; ve k saıda bağımsız değşken olması halnde Y nn 1, 2,..., k bağımsız değşkenlerne göre regresonu söz konusu olur. X ve Y değşkenlerne lşkn ( 1, 1 ), ( 2, 2 ),...,( n n ) gb n saıda "kl" ölçümün şaretlenmesle elde edlen grafğe dağılma dagramı a da serplme dagramı denr. Dagram, anılan değşkenler arasındak lşk (varsa) hakkında ön fkr ednmemz sağlar. Dağılma dagramının ncelenmesle çoğu kez, verlere uan eğrnn bçmne lşkn br tahmnde bulunulablr. Verlern, eğml br doğru çzg zledğ görüleblorsa, k değşken arasındak lşknn doğrusal olduğu kabul edleblr. Bu doğrusallık, regreson çözümlemesnn doğrusal modele göre apılableceğn fade eder. Doğrusal olmaan br lşknn var olması halnde se, doğrusal olmaan regreson çözümlemes söz konusu olur. Örneğn; Belrl br kmasal maddenn özgül ısısının sıcaklıkla değşmnn ncelenmes amacıla br dene apılmış, aşağıdak tabloda verlen sonuçlar elde edlmş, ve bu verlere göre Şekl 'dek dağılma dagramı elde edlmştr. 6-4 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Banu Yağcı
Görsel nceleme: bağımlı değşken özgül ısı le kontrol edleblen sıcaklık arasında doğrusal br lşk kurulableceğn, belrl br sıcaklık dereces çn ölçülen özgül ısı değerlernn çok az farklı olduğunu ve genelde, ortalama özgül ısının sıcaklıkla arttığını göstermektedr. Km zaman, özellkle ölçme hatalarının çok küçük olduğu fzksel ve kmasal araştırmalarda olduğu gb, k değşken arasında tam fonksonel br lşk var olablr. Denesel belrszlğn çok küçük olduğu bu gb olgularda, çoğu kez, gözlemsel ver noktaları çnden a da arasından "göz kararıla" düzgün (ünform) br eğr geçrlmes eterl olur ve statstksel çözümlemee gerek kalmaz. Bu olgu, eğr uumlaması (eğr udurulması; curve fttng) termle adlandırılır. Ne var k çoğu zaman gözlemsel verler, değşkenler arasındak lşk belrgn şeklde betmlemezler. Dolaısıla göz kararıla br eğr uumlaması apılamaz. Nesnel (objektf) br statstksel aklaşımda bulunulması gerekr. Bu da, br regreson çözümlemes apılması ve değşkenler arasındak lşk tanımlaan regreson bağıntısının türetlmes anlamına gelr. Özetle; br rasgele degşkenn ortalamasının ve varansının, lgl ötek değşkenlern fonksonu olarak belrlenmesn sağlaan süreç regreson çözümlemes olur. Süreç "doğrusal beklenen değer" fonksonula sınırlandırılmışsa doğrusal regreson adını alır. Regreson çözümlemeler k değşkenl doğrusal, çok değşkenl doğrusal a da doğrusal olmaablr. Bu bölümde alnızca k değşkenl doğrusal regreson konusu ncelenmektedr. Doğrusal regreson Bu bölümde sabt varanslı doğrusal regresonlara lşkn bağıntılar türetlecektr. X ve Y gb k değşken göz önüne alalım. X bağımsız, Y bağımlı değşken olsun. Değşkenlere lşkn br rasgele örneğ de {( ); =1, 2,..., n} takımıla gösterelm. Şmd, kontrol edleblen değerler anı kalmak üzere farklı örnekler oluşturalım. Bu farklı örneklerden elde edlen değerler, genelde, örnekten örneğe değşr. Daha açık anlatımla, belrl br ; değer çn farklı örneklerden, genelde, farklı ; değerler bulunur. Dolaısıla (, ) klsndek değer, Y rastgele değşkennn br değer olur. değerler karşılığı Y rasgele değşkenlernn dağılımları aşağıdak Şekl 'de gösterlmştr; Şmd bu lşknn doğrusal olduğunu varsaalım. Bu varsaım şu bağıntı le fade edleblr. Şekl (a) Doğrusal regreson model. (b) Doğrusal regreson çözümlemesnde belrl br örnekten elde edlen verler ve en küçük-kareler regreson çzgs 6-5 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Banu Yağcı
Örnek verlernn dağılma dagramındak konumları dolaısıla, ve değerlerne bağlı, Y nn ortalama değer fonksonunu temsl eden çok saıda doğru çzg bulunablr. Ver noktaları arasından en küçük hatala geçen doğru çzgnn, anılan ortalamaı en etkn şeklde temsl ettğ kabul edleblr. Toplam hatası en küçük olan çzg karesel farkların toplamını mnmum aparak belrleneblr. Bu, ve parametrelernn gerçeğe en akın tahmn değerlern elde edeblmek çn aşağıdak fadenn mnmum kılınması anlamına gelr. İlk kez A.M. Legendre (185) tarafından aımlanan bu aklaşım en küçük-kareler öntem adıla tanınmıştır. ve tahmnler, ukarıdak bağıntının kısm türevler sıfıra eştlenerek belrleneblr. Şu halde en küçük-kareler regreson çzgs; Şüphesz bu regreson çzgs alnızca örnek verlernn gözlendğ aralık çn geçerldr. ve"y bağımlı değşkennn X bağımsız değşkenne göre regresonunu" belrtr. Korelason katsaısı le regreson katsaısı (en küçük-kareler regreson çzgsnn eğm) arasındak lşk se aşağıdak şekldedr; Örnek; Kuşatılmamış, sıkışmış sert br kln basınç mukavemetler (q ) le bu mukavemetlern karşılığı SPTN vuruş saıları (N ) aşağıdak hesap tablosunda verlmştr. Bu verler esas alarak, vuruş saısı le söz konusu kln basınç mukavemet arasındak çsel lşknn düzen ansıtan korelason katsaısını tahmn edelm. 6-6 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Banu Yağcı
Korelason katsaısının bu değer, vuruş saısı le sıkışmış kln basınç mukavemet arasında çok güçlü br korelasonun var olduğunu belrtmektedr. Şu halde, vuruş saısı le söz konusu mukavemet arasındak lşk br doğrusal regreson bağıntısıla tanımlaablr ve gözlemlern apıldığı aralıktak vuruş saılarının karşılığı basınç mukavemetlern tahmn edeblrz. 6-7 BAÜ Müh-Mm Fak. İstatstk Ders Dr. Banu Yağcı