ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER. Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİKSEL YAKINSAK ALT DİZİLER Tuğba YURDAKADİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 200 Her hakkı saklıdır

ÖZET Yüksek Lisas Tezi ISTAT IST IKSEL YAKINSAK ALT D IZ ILER Tu¼gba YURDAKAD IM Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dal Da şma: Prof.Dr. Ciha ORHAN Bu tez alt bölümde oluşmaktad r. Ilk bölüm giriş k sm a ayr lm şt r. Ikici bölümde, istatistiksel yak sakl k, istatistiksel Cauchy dizisi kavramlar ta mla p dek olduklar gösterilmiştir. Ayr ca kuvvetli p-cesàro toplaabilme kavram da ta mlaarak s rl diziler içi istatistiksel yak sakl k ile dek oldu¼gu gösterilmiştir. Üçücü bölümde, lacuary dizi ve lacuary istatistiksel yak sakl k kavramlar ta mlam şt r. Daha sora istatistiksel yak sakl k ve lacuary istatistiksel yak sakl k aras da içerme teoremleri verilmiştir. Farkl lacuary dizileri içi s limitleri farkl olaca¼g aç kt r. Acak dizii istatistiksel yak sak olmas durumuda bu durumu gerçeklemedi¼gi, bir başka deyişle bütü s metotlar istatistiksel yak sakl k ile tutarl oldu¼gu gösterilmiştir. Dördücü bölümde, A-istatistiksel yak sakl k, A-kuvvetli toplaabilme ve A-düzgü itegralleebilme kavramlar ta mlaarak; bir dizii s f ra A-kuvvetli toplaabilir olmas içi gerek ve yeter koşulu s f ra A-istatistiksel yak sak ve A-düzgü itegralleebilir oldu¼gu gösterilmiştir. Beşici bölümde bir dizii altdizileri ve (0; ] aral ¼g aras da birebir bir eşleme kurularak; istatistiksel yak sakl ¼g Lebesgue ölçüsü yard m yla altdiziler ciside bir karakterizasyou verilmiştir. Bu teoremi lacuary istatistiksel yak sakl k içi bir bezerii olmayaca¼g a ilişki bir örek verilmiştir. So bölümde ise bir A matrisii yo¼guluk öteleme özellikli olmas kavram ta mlaarak, A-istatistiksel yak sakl ¼g Lebesgue ölçüsü yard m yla altdiziler ciside bir karakterizasyou verilmiştir. Ayr ca Buck tipli bir teorem verilmiştir, yai bir dizii yak sak olmas içi gerek ve yeter koşulu her altdizisii A-istatistiksel i

yak sak olacak biçimde egatif olmaya regüler bir A matrisii mevcut oldu¼gu gösterilmiştir. 200, 54 sayfa Aahtar Kelimeler : Istatistiksel yak sak dizi, alt dizi, istatistiksel yak sak alt dizi, Lebesgue ölçüsü, lacuary istatistiksel yak sak dizi. ii

ABSTRACT Master Thesis STATISTICALLY CONVERGENT SUBSEQUENCES Tu¼gba YURDAKAD IM Akara Uiversity Graduate School of Natural Ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor: Prof.Dr. Ciha ORHAN This thesis cosists of six chapters. The rst chapter is devoted to the itroductio. I Chapter two, the cocepts of statistical covergece ad statistical Cauchy for sequeces have bee studied ad their equivalece have also bee give. Also the cocept of strog p-cesàro covergece has bee studied ad the equivalece of statistical covergece ad strog p-cesàro covergece for bouded sequeces has bee give. I Chapter three, the cocepts of lacuary sequece ad lacuary statistical covergece have bee cosidered ad the some iclusio theorems have bee give. It ca easily be see that for ay xed, the s limit is uique. It is possible, however, for a sequece- eve a bouded oe- to have di eret s limits for di eret s. It is show that wheever the sequece is statistically coverget, this situatio ca ot occur. I other words it has bee established that every s method is cosistet with statistical covergece. I Chapter four, the cocept of A-statistical covergece, A-strog covergece, A- uiform itegrability have bee studied ad it has bee show that x is A-strogly coverget to zero if ad oly if it is A-statistically coverget to zero ad A- uiformly itegrable. I Chapter ve, a oe to oe correspodece betwee the set of subsequeces of a give sequece ad the iterval (0; ] has bee established. Usig this correspodece ad Lebesgue measure; a subsequece characterizatio of statistical covergece has bee give. The aalogs for lacuary statistical covergece has also bee ivestigated ad a couter example has bee provided. I the al chapter, the cocept of desity traslativitiy property for a matrix has iii

bee studied. Furthermore a subsequece characterizatio of A-statistical covergece is give via the Lebesgue measure. Also a Buck type theorem is give,amely, a sequece is coverget if ad oly if there exists a oegative regular matrix A so that every subsequece is A-statistically coverget. 200, 54 pages Key Words: Statistically coverget sequece, subsequece, statistically coverget subsequece, Lebesgue measure, lacuary statistical coverget sequece. iv

TEŞEKKÜR Bu çal şma kousuu baa vererek çal şmalar m boyuca yak ilgi ve yard mlar esirgemeye hocam, Say Prof. Dr. Ciha Orha (Akara Üiversitesi Fe Fakültesi) a e içte sayg ve mietlerimi suar m. Yüksek lisas e¼gitimime başlad ¼g m ada itibare bede deste¼gii esirgemeye Say Doç. Dr. Şeyhmus Yard mc ya ve haftal k semierlerimizde beimle birlikte ola arkadaşlar ma e içte teşekkürlerimi suar m. Bu tez "TÜB ITAK-2228 Yüksek Lisas Burs Program " taraf da desteklemiştir. TÜB ITAK a e içte teşekkürlerimi suar m. Hayat m tüm aşamalar da bei yal z b rakmaya ve destekleye aileme, dostlar ma sosuz teşekkürler ederim. Tu¼gba YURDAKAD IM Akara, Temmuz 200. v

IÇ INDEK ILER ÖZET....................................................... (i) ABSTRACT................................................. (iii) TEŞEKKÜR................................................. (v) S IMGELER D IZ IN I......................................... (vii). G IR IŞ.................................................... 2. ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLIK......................... 2 2. Istatistiksel Yak sakl k.................................. 2 2.2 Istatistiksel Cauchy Dizisi................................. 4 2.3 Istatistiksel Yak sakl k ve Toplaabilme................. 7 2.4 Istatistiksel Yak sakl k ve Kuvvetli p-cesárotoplaabilme 3. LACUNARY ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLIK........... 4 3. Lacuary Istatistiksel Yak sakl k........................ 4 3.2 Içerme Teoremleri........................................ 5 3.3 s Limiti Tekli¼gi......................................... 8 4. A- ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLIK...................... 22 4. A- Istatistiksel Yak sakl k................................ 22 4.2 A-Kuvvetli Toplaabilme................................. 22 4.3 A-Düzgü Itegralleebilme.............................. 24 5. ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLI ¼GIN ALTD IZ ILER YARDIMIYLA B IR KARAKTER IZASYONU 28 5. Istatistiksel Yak sak Alt Diziler.......................... 28 5.2 Lacuary Istatistiksel Yak sak Alt Diziler................ 4 6. A- ISTAT IST IKSEL YAKINSAK ALT D IZ ILER........... 45 6. Altdizileri A- Istatistiksel Yak sakl ¼g.................... 45 6.2 Istatistiksel Yak sakl k Içi Buck Tipli Teorem.......... 50 KAYNAKLAR............................................... 52 ÖZGEÇM IŞ................................................. 54 vi

S IMGELER D IZ IN I N Do¼gal say lar U A st A (A) (A)!(A) s jaj A c A c A C h:h:k m A-düzgü itegralleebile diziler uzay A-istatistiksel yak sak diziler uzay A kümesii alt asimptotik yo¼gulu¼gu A kümesii asimptotik yo¼gulu¼gu A-kuvvetli toplaabile diziler uzay Lacuary istatistiksel yak sak diziler uzay A kümesii elema say s A kümesii tümleyei A kümesii karakteristik foksiyou A matrisii toplaabilirlik ala Cesàro matrisi Heme her k Lebesgue ölçüsü! p Kuvvetli p-cesàro toplaabile diziler uzay k:k ` uzay al ş lm ş supremum ormu! 0 (A) S f ra A-kuvvetli toplaabile diziler uzay w Reel ya da kompleks terimli tüm diziler uzay ` f(ax) g L fs (x)g M + S rl diziler uzay x dizisii A matrisi alt daki döüşüm dizisi Lacuary dizileri s f s dizisii x 2 (0; ] elema a karş l k gele alt dizisi Negatif olmaya ve herbir sat r toplam ola matrisleri s f (H; k) k ici mertebede Hölder metodu A (K) K kümesii A yo¼gulu¼gu vii

. G IR IŞ Ilk defa 95 y l da Steihaus taraf da ta mlaa ve H. Fast taraf da da çal ş la istatistiksel yak sakl k kavram, Toplaabilme Teoriside ve Foksiyoel Aalizde öemli bir yer tutmaktad r. Istatistiksel yak sakl ¼g Toplaabilme Teorisi ile ilişkisi ilk 959 da Schoeberg taraf da verilmiştir. Yie ay özellikleri icelemesie; 980 y l da Salát, 985 y l da J. Fridy, 990 y l da J. Fridy ve H. Miller, 993 y l da J. Fridy ve C. Orha taraf da devam edilmiştir. Asl da istatistiksel yak sakl k, Ölçü Teorisi ve Say lar Teorisi ile çok yak da ilgili oldu¼gu gibi Istatistik ile de çok yak da ilgilidir. Bu ilişkiler 982 y l da Freedma ve Sember, J. Coor taraf da 990, H. Miller taraf da 995, H. Miller ve C. Orha taraf da 200, M. Kha ve C. Orha taraf da 2007 y l da çal ş lm şt r. Bu yüksek lisas tezi yukardaki çal şmalar bir derlemeside oluşmaktad r ve bu yüksek lisas tezii amac dizileri istatistiksel yak sak altdizilerii icelemek ve altdiziler yard m yla bir karakterizasyouu vermektir. Bilidi¼gi gibi bir dizi yak sak ise her altdizisi de yak sakt r ve buu karş t da do¼grudur. Halbuki istatistiksel yak sak bir dizi içi bu geçerli de¼gildir. Yie de bir dizii istatistiksel yak sakl ¼g, Lebesgue ölçüsü yard m yla altdizileri istatistiksel yak sakl ¼g ciside karakterize etmek mümkü olacakt r. Buu yapabilmek içi öcelikle (0; ] aral ¼g daki bir reel say ikili aç l m elde edece¼giz. Bu ikili aç l m yard m yla verile bir dizii bütü altdizileri ile (0; ] aral ¼g birebir eşleyece¼giz. Daha sora istatistiksel yak sakl k içi elde etti¼gimiz bu karakterizasyou A-istatistiksel yak sakl k içi de elde etmeye çal şaca¼g z. Buu içi de öcelikle bir matrisi yo¼guluk öteleme özelli¼gie sahip olmas ta mlayaca¼g z.

2. ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLIK Bu bölümde öce istatistiksel yak sakl k ta t l p, al ş lm ş alamdaki yak sakl k, yo¼guluk ve matris toplaabilme aras daki ilişki iceleecektir. 2. Istatistiksel Yak sakl k Bu k s mda bir dizii istatistiksel yak sakl ¼g iceleecektir. Ta m 2... K N kümesii alal m. (K) = lim jfk : k 2 Kgj! limiti mevcut ise bu limite K kümesii asimptotik yo¼gulu¼gu deir (Nive ad Zuckerma 980). Burada N do¼gal say lar kümesi olmak üzere A N içi j A j ile A kümesii kardial say s gösterilmektedir. Öre¼gi do¼gal say lar solu bir altkümesi s f r yo¼guluklu oldu¼gu gibi, fm 2 : m 2 Ng kümesi de s f r yo¼gulukludur. Ta m 2..2. x = (x k ) dizisi bir P özelli¼gii yo¼gulu¼gu s f r ola bir küme d ş daki her k içi gerçekliyorsa x dizisi P özelli¼gii heme her k içi gerçekliyor deir (Fridy 985). Ta m 2..3. x = (x k ) reel ya da kompleks terimli bir dizi olsu. E¼ger her " > 0 içi, lim! j fk :j x k L j "g j= 0 yai j x k L j< " (h.h.k) olacak şekilde bir L say s varsa x dizisi L say s a istatistiksel yak sakt r deir ve 2

st lim x = L ile gösterilir (Steihaus 95, Fast 95, Salát 980, Fridy 985). st ile tüm istatistiksel yak sak diziler uzay gösterece¼giz. Şimdi bir " > 0 içi E " = fk :j x k L j "g dersek E" bu kümei karakteristik foksiyou olmak üzere st lim x = L olmas içi gerek ve yeter koşul her " > 0 içi lim(c E"(k)) = 0 olmas d r. Burada C = (c k ) Cesàro matrisi olup ile ta mla r. 8 < ; k c k = : 0 ; k > Örek 2... 8 < p k ; k = m 2 x k = (m = ; 2; 3; :::) : ; k 6= m 2 şeklide ta mlaa x = (x k ) dizisii iceleyelim. Her " > 0 içi j fk :j x k j "g j j fk : x k 6= g j p oldu¼guda lim j fk :j x! k j "g j lim j fk : x! k 6= g j lim! p = 0 elde edilir. Demek ki, fk 2 N :j x k j "g = k = m 2 : m 2 N 3

ve ( k = m 2 : m 2 N ) = 0 olup her " > 0 içi j x k j< " (h.h.k) oldu¼guda st lim x = buluur. Burada istatistiksel yak sakl k ile al ş lm ş yak sakl k aras da as l bir ilişki olabilece¼gi sorusu akla gelebilir. Heme belirtelim ki al ş lm ş alamda yak sak ola her dizi istatistiksel yak sakt r. Fakat Örek 2.. de görülebilece¼gi gibi s rs z raksak baz diziler de istatistiksel yak sak olabilmektedir. 2.2 Istatistiksel Cauchy Dizisi Bu k s mda Cauchy yak sakl k kriterii bir bezeri olarak istatistiksel Cauchy dizisi ta mlaacak ve bu kavram istatistiksel yak sakl ¼ga dek oldu¼gu gösterilecektir. Ta m 2.2.. Her " > 0 içi, lim j fk :j x k x N j "g j= 0 yai j x k x N j< " (h.h.k) olacak biçimde bir N = N(") say s mevcut ise x dizisi istatistiksel Cauchy dizisi deir (Fridy 985). Teorem 2.2.. Aşa¼g daki öermeler dektir. (i) x dizisi istatistiksel yak sakt r. (ii) x dizisi istatistiksel Cauchy dizisidir. 4

(iii) x k = y k (h.h.k) olacak biçimde yak sak bir y dizisi vard r (Fridy 985). Teorem 2.2.2. x = (x k ) dizisi bir L say s a istatistiksel yak sak olsu. Bu durumda x = y + z olacak şekilde L say s a yak sak bir y dizisi ve istatistiksel s f r z dizisi vard r (Coor 988). Ispat. st lim x = L olsu. Bu durumda N 0 = 0 olmak üzere > N j (j = ; 2; :::) o içi k j :j x k L j j< olacak şekilde pozitif tamsay lar arta bir j j (N j ) dizisii bulabiliriz. Şimdi y ve z dizilerii aşa¼g daki şekilde ta mlayal m: N 0 < k N oldu¼guda z k = 0 ve y k = x k alal m. j olmak üzere N j < k N j+ olsu. j x k L j< j oldu¼guda z k = 0 ve y k = x k ; j x k L j j oldu¼guda z k = x k L ve y k = L alal m. Bu durumda x = y + z şeklide yaz labilece¼gi aç kt r. Şimdi iddia ediyoruz ki y k! L (k! ) gerçekleir. " > 0 verilsi ve " > j olacak şekilde bir j seçelim. k > N j içi j x k L j j )j y k L j= j L L j= 0 ve j x k L j< j )j y k L j= j x k L j< j < " oldu¼guda elde edilir. lim y k = L k! Şimdi z dizisii istatistiksel s f r dizisi oldu¼guu gösterelim. Buu göstermek içi oldu¼guu göstermek yeterlidir. " > 0 içi, lim! j fk : z k 6= 0g j= 0 fk :j z k j "g fk : z k 6= 0g 5

oldu¼guda gerçekleir. Şimdi > 0 ve j 2 N içi j < ise, j fk :j z k j "g jj fk : z k 6= 0g j her > N j içi j fk : z k 6= 0g j< oldu¼guu göstermeliyiz. N j < k N j+ olsu. Bu durumda z k 6= 0 olmas acak j x k L j j olmas yla mümküdür. O halde N j < k N j+ ise fk : z k 6= 0g = k :j x k olur. Dolay s yla N v < k N v+ ve v > j ise L j j o j fk : z k 6= 0g j j k :j x k L j j< v v < j < gerçekleir. Bu da ispat tamamlar. Souç 2.2.. Bir x dizisi L say s a istatistiksel yak sak ise ay oktaya al ş lm ş alamda yak saya bir altdizi içerir (Salát 980, Fridy 985, Coor 989). 6

2.3 Istatistiksel Yak sakl k ve Toplaabilme Bu k s mda istatistiksel yak sakl k ile aritmetik ortalama ve klasik toplaabilme metotlar aras daki ilişki iceleecektir. Acak öceside toplaabilme metotlar hakk da biraz bilgi vermemiz gerekmektedir. w reel veya kompleks terimli tüm diziler uzay göstersi. ve Y, w uzay iki alt cümlesi ve A = (a k ) reel ya da kompleks terimli sosuz matris olmak üzere; x = (x k ) 2 ve her içi y := (Ax) = a k x k serisi yak sak ise y = (y ) = f(ax) g döüşüm dizisi mevcuttur deir. E¼ger her x 2 içi y = f(ax) g döüşüm dizisi mevcut ve y 2 Y ise A = (a k ) matrisi kümeside Y içie bir matris döüşümü ta mlar deir. E¼ger bir x dizisi içi Ax := f(ax) g döüşüm dizisi mevcut ve bir L de¼gerie yak sak ise x dizisi A-toplaabilirdir deir ve A lim x = L ile gösterilir. dizi uzay Y içie döüştüre bütü matrisleri s f (; Y ) ile gösterilir ve e¼ger A, de Y içie bir matris döüşümü ise A 2 (; Y ) yaz l r. Toplam ya da limiti koruya matrisleri s f (; Y ; p) ile gösterilir. Özel olarak = Y = c olmak üzere A 2 (c; c) ise A matrisie koservatif matris ve A 2 (c; c; p) ise bu durumda A matrisie regüler matris deir. A matrisii koservatif veya regüler olmas aşa¼g daki teoremle karakterize edilir. k= Teorem 2.3.. a)a 2 (c; c) olmas içi gerek ve yeter koşul (i) k A k= sup j a k j< k= (ii) Her k içi lim a k = a k! (iii) lim a k = a! k= koşullar gerçeklemesidir. b) A 2 (c; c; p) olmas içi gerek ve yeter koşul (i) ile birlikte (ii) de her k içi a k = 0 ve (iii) de ise a = gerçeklemesidir. A = (a k ) sosuz matris olmak üzere, c A = fx = (x k ) : Ax 2 cg cümlesie A matrisii yak sakl k ala (toplaabilirlik ala ) deir. E¼ger c B c A ve c A üzeride lim Ax = lim Bx ise B metodu A metodu içerir deir. 7

Teorem 2.3.2. st lim x = L ve her 2 N içi j x j< K ise C lim x = L gerçekleir. Yai s rl, istatistiksel yak sak her dizii aritmetik ortalamas da ay de¼gere yak sakt r (Schoeberg 959). Ispat. L = 0 olmak üzere st lim x = 0 alal m. C lim x = 0 oldu¼guu gösterelim. O halde lim j fk :j x k 0 j "g j= 0 () gerçekleir. Di¼ger yada, j x k j j x k j 8k= < k= = : 8 < : 8 < : k=; jx k j" k=; jx k j" k=; jx k j" 9 = j x k j + j x k j ; k=; jx k j<" 9 = K + " ; k=; jx k j<" 9 = K + " ; k=; jx k j<" K j fk :j x k j "g + " () de ve " > 0 key oldu¼guda lim! Bu da ispat tamamlar. x k = 0 elde edilir. k= x = (; 0; ; 0; :::) şeklide ta mlaa dizii aritmetik ortalamas de¼gerie yak sakt r. Fakat dizii kedisi istatistiksel yak sak de¼gildir. O halde teoremi karş t 2 do¼gru de¼gildir. Şimdi istatistiksel yak sakl k metoduu hiçbir matris metodu taraf da içerilmedi¼gii gösterece¼giz. Buu içi öce bir lemma verece¼giz. Lemma 2.3.. Sosuz say da k içi t k 6= 0 olacak şekilde bir t say dizisii alal m. Bu durumda heme her k içi x k = 0 ve t k x k = olacak şekilde bir x dizisi vard r (Fridy 985). k= 8

Ispat. fm(k)g pozitif tamsay lar arta bir dizisi ve her k içi m(k) > k 2 ve t m(k) 6= 0 olsu. Şimdi bir x = (x k ) dizisii x m(k) = t m(k) ve x k = 0 (di¼ger durumlarda) olacak şekilde ta mlayal m. O halde heme her k içi x k = 0 ve t k x k = k= t m(k) x m(k) = k= gerçekleir. Teorem 2.3.3. Hiçbir toplaabilme metodu istatistiksel yak sakl k metoduu içermez. Yai A 2 (st; c; p) olacak şekilde hiçbir matris yoktur (Fridy 985). Ispat. Lemma 2.3. gösteriyor ki istatistiksel yak sakl k metoduu içere bir matris öcelikle sat r solu olmal d r. Key sat r solu bir A = (a k ) matrisii alal m. S f rda farkl a ();k 0 () elema seçelim. Daha sora k() k 0 (), a ();k() 6= 0 ve k > k() içi a ();k = 0 olacak şekilde bir k() sütuuu seçelim. Her m içi, k(m) m 2 ise a (m);k(m) 6= 0 ve k > k(m) ise a (m);k = 0 olmak üzere sat r ve sütu idislerii arta bir dizisii seçebiliriz. Şimdi x = (x k ) dizisii; x k() = a ();k(). x k(m) = a (m);k(m) ve " m m i= a (m);k(i) x k(i) # x k = 0 (di¼ger durumlarda) 9

şeklide ta mlayal m. O halde (Ax) (m) = = a (m);k x k k= m a (m);k(i) x k(i) i= = a (m);k(m) x k(m) + " # m = a (m);k(m) a (m);k(m) m a (m);k(i) x k(i) + = m i= m i= m a (m);k(i) x k(i) a (m);k(i) x k(i) i= elde edilir. Dolay s yla (Ax) (m) dizisi yak sak de¼gildir. Bir başka deyimle x dizisi A-toplaabilir bir dizi de¼gildir. Ayr ca k(m) m 2 oldu¼guda, j fk : x k 6= 0g j p olup lim! j fk : x k 6= 0g j lim! p = 0 oldu¼guda st lim x = 0 elde edilir. Bu durumda x dizisi istatistiksel yak sak oldu¼gu halde A-toplaabilir de¼gildir, yai A metodu istatistiksel yak sakl ¼g içermez. Şimdi de istatistiksel yak sakl ¼g içerdi¼gi aşikar olmaya bir matris metoduu varl ¼g gösterelim. Örek 2.3.. A = (a k ) matrisi, 8 >< a k = >: ; k = ve tam kare de¼gil 2 ; = m 2 ve k = veya k = (m ) 2 0 ; di¼ger durumlarda şeklide ta mlas. O halde her x = (x k ) dizisi içi 0

8 >< (Ax) = >: x 2 ; = x (m ) 2 +x m 2 2 ; = m 2 (m = ; 2; :::) x ; tam kare de¼gil gerçekleir. A matrisi regüler ve üçge bir matristir. Kabul edelim ki lim! (Ax) = L olsu. O halde oldu¼guda j fk : (Ax) k 6= x k g j p gerçekleir. lim! j fk : (Ax) k 6= x k g j lim! p = 0 Dolay s yla heme her k içi (Ax) k = x k gerçekleir. Teorem 2.2. de st elde edilir. lim x = L O halde istatistiksel yak sakl k metoduu A metoduu içerdi¼gii söyleyebiliriz. Şimdi de A metoduu, yak sakl ¼ga dek olmad ¼g gösterelim. Buu içi bir x = (x k ) dizisii, 8 < ( ) m ; k = m 2 x k = (m = ; 2; :::) : 0 ; k 6= m 2 şeklide ta mlayal m. Bu durumda (Ax) = 2 ve > içi (Ax) = 0 elde edilir. x dizisi yak sak de¼gildir fakat A-toplaabilirdir. 2.4 Istatistiksel Yak sakl k ve Kuvvetli p-cesàro Toplaabilme Bu k s mda istatistiksel yak sakl k ve kuvvetli p-cesàro toplaabilme aras daki

ilişki iceleecek ve s rl diziler üzeride dek olduklar gösterilecektir. Ta m 2.4.. x = (x k ) reel yada kompleks terimli bir dizi ve 0 < p < olsu. E¼ger lim j x! k L j p = 0 olacak şekilde bir L say s varsa x dizisi L say s a k= kuvvetli p-cesàro toplaabilirdir deir (Hardy ad Littlewood 93, Coor 988). Kuvvetli p-cesàro toplaabile dizileri kümesi w p ile gösterilir. Teorem 2.4.. p 2 R + olsu. (i) Bir dizi bir L de¼gerie kuvvetli p-cesàro toplaabilir ise ay de¼gere istatistiksel yak sakt r. (ii) S rl bir dizi L de¼gerie istatistiksel yak sak ise ay de¼gere kuvvetli p-cesàro toplaabilirdir (Coor 988). Ispat. (i) L say s a kuvvetli p-cesàro toplaabilir bir x = (x k ) dizisii alal m. Her " > 0 içi j x k L j p = j x k L j p + k= k=; jx k k=; jx k k=; jx k Lj<" Lj" Lj" = " p j x k L j p " p k=; jx k Lj" = " p j fk :j x k L j "g j j x k k=; jx k Lj" L j p gerçekleir. Böylece elde edilir. j x k L j p " p j k :j x k L j " j 0 k= Dolay s yla x = (x k ) dizisi L say s a istatistiksel yak sakt r. 2

(ii) Şimdi s rl bir x = (x k ) dizisi L say s a istatistiksel yak sak olsu. x s rl dizi oldu¼guda, her k içi j x k L jj x k j + j L jk x k + j L j= M gerçekleir. j x k L j p = j x k L j p + j x k L j p k= k=;jx k Lj<" " p k=;jx k Lj" + M p k=;jx k Lj<" k=;jx k Lj" " p + M p j fk :j x k L j "g j olup 0 j x k L j p " p + M p j fk :j x k L j "g j k= elde edilir. Dolay s yla x dizisi L say s a kuvvetli p-cesàro toplaabilirdir. Bu da ispat tamamlar. Souç 2.4.. S rl diziler üzeride kuvvetli p-cesàro toplaabilme ve istatistiksel yak sakl k dektir, yai p 2 R + w p \ l = st \ l gerçekleir. Souç 2.4.2. x = (x k ) reel ya da kompleks terimli bir dizi olsu. E¼ger x dizisi L say s a kuvvetli p-cesàro toplaabilir ya da istatistiksel yak sak ise x dizisi L say s a yak saya bir alt diziye sahiptir (Coor 988). Bu souç s rl Cesàro toplaabilir fakat istatistiksel yak sak olmaya diziler oldu¼guu göstermek içi kulla labilir. Öre¼gi (0; ; 0; ; :::) dizisi de¼gerie Cesàro toplaabilirdir. Fakat dizii de¼gerie yak saya hiçbir alt dizisi yoktur. Dolay s yla 2 2 bu dizi istatistiksel yak sak de¼gildir. Ayr ca Teorem 2.4. i bir geişlemesi ola ve kuvvetli toplaabilmeyi karakterize ede bir teoremi Bölüm 4 de verece¼giz. 3

3. LACUNARY ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLIK Bu bölümde bir fk r g lacuary dizisi içi fk 2 N : k g cümlesi yerie fk 2 N : k r < k k r g cümlesi al arak s yak sakl k ta mlaacakt r. Ayr ca s ile st aras daki ilişki iceleip, s limiti tekli¼gi sorusu sorulacakt r. 3. Lacuary Istatistiksel Yak sakl k Bu k s mda lacuary dizi ve bir dizii lacuary istatistiksel yak sak olmas ta mlaacakt r. Ta m 3... Pozitif tamsay lar arta bir dizisi = fk r g olsu. E¼ger k 0 = 0 olmak üzere h r := k r k r! (r! ) ise = fk r g dizisie lacuary dizi deir (Freedma, Sember ad Raphael 978). Öre¼gi = fk r g = f2 r g ; (r > 0) veya fk r g = fr!g dizileri birer lacuary dizidir. = fk r g lacuary dizisi ile oluşturula aral klar I r := (k r q r := kr k r al acakt r. ; k r ] ile gösterilecek ve Ta m 3..2. = fk r g bir lacuary dizi olsu. Her " > 0 içi lim r! h r j fk 2 I r :j x k L j "g j= 0 olacak biçimde bir L say s varsa x dizisi L say s a lacuary istatistiksel yak sakt r veya s yak sakt r deir ve s lim x = L ile gösterilir (Fridy ad Orha 993). s ile lacuary istatistiksel yak sak diziler uzay gösterece¼giz. Şimdi bir " > 0 içi E " = fk 2 N :j x k L j "g dersek E" bu kümei karakteristik foksiyou ve C matrisi; 8 < h C = r ; k 2 I r : 0 ; k =2 I r 4

ile ta mlamak üzere s lim (C E" (k)) r = 0 olmas d r. r! lim x = L olmas içi gerek ve yeter koşul her " > 0 içi Teorem 3... = fk r g bir lacuary dizi olsu. Bir s = (s ) dizisii L de¼gerie lacuary istatistiksel yak sak olmas içi gerek ve yeter koşul j A \ I r j lim = 0 r! h r ve f k : k 2 Ng = NA olmak üzere (s k ) altdizisi L de¼gerie yak sak olacak biçimde bir A N var olmas d r (Miller 995). 3.2 Içerme Teoremleri Bu k s mda ilk olarak N yak sakl k ta mla p; s yak sakl k ile aras daki ilişki iceleecektir. Daha sora da s yak sakl k ve istatistiksel yak sakl k aras daki ilişki iceleecektir. Ta m 3.2.. = fk r g lacuary dizi olsu. lim r! j x k L j= 0 h r k2i r olacak şekilde bir L say s varsa x dizisi L say s a N yak sakt r deir ve N lim x = L ile gösterilir (Freedma, Sember ad Raphael 978). Teorem 3.2.. = fk r g lacuary dizi olsu. Bu durumda (i) N lim x = L ise s lim x = L (ii) x 2 `, s lim x = L ise N lim x = L (iii) s \ ` = N \ ` gerçekleir (Fridy ad Orha 993). 5

Ispat. (i) " > 0 ve N lim x = L olsu. Şimdi j x k L j = k2i r " k2i r, jx k j x k L j + k2i r, jx k Lj" Lj" k2i r, jx k Lj" j x k L j = " j fk 2 I r :j x k L j "g j j x k k2i r, jx k Lj<" L j olup " j fk 2 I r :j x k L j "g j j x k h r h r k2i r elde edilir. Dolay s yla s lim x = L gerçekleir. L j Burada heme belirtelim ki (i) deki içerme; kesi içerme ba¼g t s d r. Buu göstermek içi, = fk r g lacuary dizisi verilsi ve I r aral ¼g da ilk j p h r j tamsay lar da x k ; ; 2; :::; j p h r j ve di¼ger durumlarda x k = 0 şeklide ta mlaaa x = (x k ) dizisii gözöüe alal m. Bu şekilde ta mlaa x = (x k ) dizisi s rl de¼gildir. Ayr ca her " > 0 içi h r j fk 2 I r :j x k 0 j "g j= [j p hrj] h r! 0 (r! ) elde edilir. O halde s lim x = 0 olur. Di¼ger yada k2i r j x k 0 j= j p hr j ( j p h r j + ) 2 olup j x k h r k2i r elde edilir. Dolay s yla N 0 j= h r j p hr j ( j p h r j + ) 2 lim x 6= 0 buluur.! 2 6= 0(r! ) (ii) s lim x = L ve x 2 ` olsu. Bu durumda her k 2 N içi 6

j x k L jj x k j + j L jk x k + j L j= M gerçekleir. Her " > 0 içi; k2i r j x k L j = k2i r,jx k M j x k L j + j x k Lj" + " k2i r,jx k Lj<" k2i r, jx k Lj" k2i r,jx k Lj<" L j M j fk 2 I r :j x k L j "g j + "h r olup elde edilir. Dolay s yla N j x k L j M j fk 2 I r :j x k L j "g j +" h r h r k2i r lim x = L gerçekleir. (iii) Bu öerme ise (i) ve (ii) i aşikar bir soucudur. Bu da teoremi ispat tamamlar. Aşa¼g daki souçlar ispats z verece¼giz. Lemma 3.2.. = fk r g lacuary dizi olsu. Bu durumda st s olmas içi gerek ve yeter koşul olmas d r (Fridy ad Orha 993). lim if r q r > Lemma 3.2.2. = fk r g lacuary dizi olsu. Bu durumda s st olmas içi gerek ve yeter koşul olmas d r (Fridy ad Orha 993). Teorem 3.2.2. gerek ve yeter koşul lim sup q r < r = fk r g lacuary dizi olsu. Bu durumda st = s olmas içi < lim if r olmas d r (Fridy ad Orha 993). q r lim sup q r < r 7

Bu teoremi şartlar gerçekleye bir lacuary dizi öre¼gi olarak = fk r g = f2 r g (r > 0) dizisii verebiliriz. 3.3 s Limiti Tekli¼gi Bu k s mda bir lacuary dizisi içi s limiti tekli¼gi ve farkl lacuary dizileri içi s limiti farkl oldu¼gu gösterilecektir. Fakat öce ihtiyac m z ola bir ta m ve teoremi hat rlatal m. Ta m 3.3.. p 0 > 0, içi p 0 ve P = p k olmak üzere k=0 8 < p k P a k = ; 0 k : 0 ; k > şeklide verile A = ( a k ) matrisi ta mlad ¼g operatöre A¼g rl k Ortalama Operatörü deir. Teorem 3.3.. A¼g rl k ortalama operatörüü regüler olmas içi gerek ve yeter koşul P! (! ) olmas d r (Peterse 966). Bir lacuary dizisi içi s limiti bir tek oldu¼gu aç kt r. Fakat farkl lacuary dizileri içi s limiti farkl oldu¼guu görmek içi aşa¼g daki öre¼gi gözöüe alal m. Bu örek Freedma, Sember ve Raphael taraf da 978 sh 5 de farkl bir amaç içi işa edilmiştir. Fakat bu örek bizim ihtiyac m z da karş lar. Bir x = (x i ) dizisii 8 >< x i = >: ile ta mlayal m. 0 ; i = 0 ; (2 )! < i (2)! ; (2)! < i (2 + )! = ; 2; 3::: = f(2r)!g lacuary dizisi içi 8

olup 8 < j fi 2 I r+ :j x i j "g j= h r+ : 0 ; " > (2r+)! s lim x = 0 (2r)! (2(r+))! (2r)! ; 0 < " buluur. Şimdi 0 = f(2r + )!g lacuary dizisi içi, olup 8 < j fi 2 I r+ :j x i j "g j= h r+ : s 0 lim x = 0 ; " > (2r)! (2r )! (2r+)! (2r )! ; 0 < " buluur. Aşa¼g daki teorem x 2 st oldu¼guda bu durumu söz kousu olamayaca¼g gösterir. Teorem 3.2.2. x 2 st \ s ise s lim x = st lim x gerçekleir (Fridy ad Orha 993). Ispat. st lim x = L ve s lim x 6= L 0 olmak üzere L 6= L 0 olsu. Bu durumda " > 0 olmak üzere; (fk 2 N :j x k L j "g) = 0 gerçekleir. O halde (fk 2 N :j x k L j< "g) = olur. 9

E¼ger " < 2 j L L0 j seçilirse, (fk 2 N :j x k L 0 j< "g) = 0 elde edilir. Böylece (fk 2 N :j x k L 0 j "g) = buluur. Şimdi j fk :j x k L 0 j "g j istatistiksel limit ifadesii k m ici terimii gözöüe alal m: ( j k 2 k m elde edilir. ) m[ I r :j x k L 0 j " r= j= k m m j fk 2 I r :j x k L 0 j "g j= m Burada t r = h r j fk 2 I r :j x k L 0 j "g j olup s lim x = L 0 oldu¼guda r= r= h r m h r t r r= t r! 0 (r! ) gerçekleir. m r= h r m h r t r r= ifadesi t dizisii a¼g rl kl ortalama döüşümüdür. Dolay s yla gerçekleir. ( j k 2 k m ) m[ I r :j x k L 0 j " j! 0 (m! ) r= dizisi ( ( j k 2 k m ) m[ I r :j x k L 0 j " j r= j fk :j x k ) L 0 j "g j = m= 20

dizisii bir altdizisidir. O halde lim! j fk :j x k L 0 j "g j6= gerçekleir. Dolay s yla bu çelişki L 6= L 0 olamayaca¼g gösterir. Bu da ispat tamamlar. 2

4. A- ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLIK Bu bölümde A-istatistiksel yak sakl k ve A-kuvvetli toplaabilme ta mlar verilecek ve aralar daki ilişki iceleecektir. 4. A- Istatistiksel Yak sakl k Bu k s mda bir dizii A-istatistiksel yak sakl ¼g iceleecektir. Ta m 4... A = (a k ) egatif olmaya regüler bir matris olmak üzere; her " > 0 içi lim! k: jx k Lj" a k = 0 olacak biçimde bir L say s varsa x = (x k ) dizisi L say s a A-istatistiksel yak sakt r deir ve st A lim x = L ile gösterilir (Coor 989, Kolk 993, Miller 995). st A ile A-istatistiksel yak sak dizileri uzay gösterece¼giz. Şimdi bir " > 0 içi E " = fk 2 N :j x k L j "g dersek E" bu kümei karakteristik foksiyou olmak üzere st A her " > 0 içi lim! (A E" (k)) = 0 olmas d r. lim x = L olmas içi gerek ve yeter koşul Aç kça görülüyor ki A-istatistiksel yak sakl k ta m da A matrisi yerie C Cesàro matrisi al rsa, istatistiksel yak sakl k elde edilir. Böylece yo¼guluk ta m da A- yo¼guluk ta m a geişletilebilir. Dolay s yla A (E) = lim a k mevcut ise E k2e kümesi A-yo¼gulu¼ga sahiptir diyece¼giz (Freedma ad Sember, 98). O halde st A lim x = L olmas içi gerek ve yeter koşul her " > 0 içi A (E " ) = 0 olmas d r. 4.2 A-Kuvvetli Toplaabilme Bu k s mda bir dizii A-kuvvetli toplaabilmesi iceleecektir. Ayr ca A-kuvvetli 22

toplaabilme ve A-istatistiksel yak sakl k aras daki ilişki verilecektir. Ta m 4.2.. A = (a k ) egatif olmaya regüler bir matris ve p 2 R + olsu. x = (x k ) dizisi içi, lim! a k j x k L j p = 0 k olacak biçimde L say s varsa x dizisi L say s a p idisie göre A-kuvvetli toplaabilirdir deir (Coor 989). Özel olarak p = ise x dizisi L say s a A-kuvvetli toplaabilirdir deir. A-kuvvetli toplaabile dizileri kümesi w(a) ve s f ra A-kuvvetli toplaabile dizileri kümesi w 0 (A) ile gösterilir. Teorem 4.2.. A = (a k ) egatif olmaya regüler bir matris olsu. O halde (i) Bir x = (x k ) dizisi L say s a A-kuvvetli toplaabilirse ay de¼gere A-istatistiksel yak sakt r. (ii) x = (x k ) s rl bir dizi ve st A lim x = L ise x dizisi L say s a A-kuvvetli toplaabilirdir ( Coor 989). Ispat. L = 0 almak geellikte bir şey kaybettirmez. (i) x 2 w 0 (A) olsu. Bu durumda lim! a k j x k j= 0 k gerçekleir. Böylece her " > 0 içi a k j x k j= a k j x k j + a k j x k j a k j x k j " a k 0 k k:jx k j" k:jx k j<" k:jx k j" k:jx k j" elde edilir. O halde st A lim x = 0 gerçekleir. (ii) Şimdi x 2 st A \ ` alal m. Bu durumda k x k < gerçekleir. 23

Ayr ca a k j x k j= a k j x k j + a k j x k jk x k a k + " k k:jx k j" k:jx k j<" k:jx k j" k= elde edilir. A regüler oldu¼guda a k! (! ) k= gerçekleir ve " > 0 key oldu¼guda; x 2 w 0 (A) buluur. Bu da ispat tamamlar. a k 4.3 A-Düzgü Itegralleebilme Bu k s mda bir dizii A-düzgü itegralleebilmesi ta mlaacak ve A-kuvvetli toplaabilme, A-istatistiksel yak sakl k, A-düzgü itegralleebilme aras daki ilişki bir teoremle verilecektir. Ta m 4.3.. A = (a k ) bir matris toplaabilme metodu olmak üzere, lim sup t! k: jx k jt j a k jj x k j= 0 gerçekleiyorsa x = (x k ) dizisie A-düzgü itegralleebilirdir deir. A-düzgü itegralleebilir dizileri uzay U A ile gösterilir (Kha ad Orha 2007). S rl her dizii A-düzgü itegralleebilir oldu¼gu aç kt r. Negatif olmaya elemalara sahip ve her bir sat r toplam ola matrisleri s f M + ile gösterece¼giz. Teorem 4.3.. A 2 M + dektir : ve x = (x k ) reel terimli bir dizi olsu. Aşa¼g daki öermeler 24

(i) lim! k a k j x k j= 0 (ii) st A lim x = 0 ve x 2 U A (Kha ad Orha 2007). Ispat. (ii) )(i) oldu¼guu gösterelim. st A lim x = 0 ve x 2 U A olsu. Her " > 0, her t > 0 içi; lim sup k: jx k jt a k j x k j lim sup t lim sup k: "<jx k jt k: jx k j>" a k j x k j + lim sup a k + " 0 + " = " olur. Bu eşitsizli¼gi gözöüe alarak lim sup k a k j x k j lim sup k: jx k jt a k j x k j + lim sup " + lim sup elde edilir. Ayr ca lim sup x sup x oldu¼guda, her " > 0, her t > 0 içi; elde edilir. lim sup k a k j x k j " + sup Her iki tarafta t! içi limit al d ¼g da lim sup k a k j x k j " + lim t! sup k: jx k j>t k: jx k j>t a k j x k j k= a k j x k j a k k: jx k j>t k: jx k j>t k: jx k jmi(t;") a k j x k j a k j x k j a k j x k j buluur. x 2 U A oldu¼guda lim sup t! k: jx k j>t a k j x k j= 0 gerçekleir. 25

Yai lim sup olur. O halde " > 0 key oldu¼guda a k j x k j " k buluur. Dolay s yla gerçekleir. lim sup lim! a k j x k j= 0 k a k j x k j= 0 k (i))(ii) oldu¼guu gösterelim : a k j x k j= 0 olsu. lim! k Her " > 0 içi, olur, dolay s yla st A k: jx k j>" a k = k: jx k j " > a k: lim x = 0 elde edilir. " a k j x k j k Şimdi " > 0 olsu. Her N içi a k j x k j< " olacak şekilde bir N 2 N vard r. Her = ; 2; :::; N içi a k j x k j< " k k>k olacak şekilde yeterice büyük K 2 N say s seçilebilir. C > max fj x j; j x 2 j; :::; j x K jg oldu¼guda sup a k j x k j< " k: jx k j>c 26

oldu¼gu görülür. Dolay s yla x 2 U A elde edilir. Bu da ispat tamamlar. 27

5. ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLI ¼GIN ALTD IZ ILER YARDIMIYLA B IR KARAKTER IZASYONU Bir dizii yak sak olmas içi gerek ve yeter koşul her altdizisii yak sak olmas d r. Bu bölümde verile bir dizii istatistiksel yak sakl ¼g içi bezer bir teorem elde edilmeye çal ş lacakt r ve ay düşüce lacuary istatistiksel yak sakl k içi de ele al acakt r. Acak bular yapabilmek içi öcelikle bir dizii bütü altdizileri ile (0; ] aral ¼g aras da birebir bir eşleme kurmal y z. 5. Istatistiksel Yak sak Altdiziler Bu k s mda bir dizii istatistiksel yak sak olmas ile altdizilerii istatistiksel yak sak olmas aras da bir ilişki kurulacakt r. Buu yapabilmek içi öcelikle bir dizii tüm altdizileri ve (0; ] aral ¼g aras daki birebir eşlemeyi kural m : Her x 2 (0; ] say s e (x) 2 f0; g ve sosuz çoklukta olmak üzere x = = e (x) 2 şeklide bir tek ikili aç l m vard r (Nathaso 964). s dizisii x 2 (0; ] say s a karş l k gele altdizisi fs(x)g olsu. oluştururke şu kural izleyece¼giz: Bu altdiziyi s terimii fs(x)g diziside bulumas içi gerek ve yeter koşul e (x) = olmas d r. Öre¼gi, x = 2 = 0 2 + 2 2 + 2 3 + ::: = 0:0::: x = 2 = 2 + 0 2 2 + 0 2 3 + ::: = 0:000::: olmak üzere iki ikili aç l ma sahiptir. Acak sosuz çoklukta içere aç l m al - 28

aca¼g da ikili aç l m bir tektir. Bir (s ) dizisii x = 2 (0; ] say s a karş l k 2 gele altdizisi fs(x)g = fs 2 ; s 3 ; s 4 ; :::g olur. Asl da fk : e (x) = g = f < 2 < ::: < k < :::g olarak da yaz labilece¼gii kullaarak x = k= 2 k ve fs(x)g = fs ; s 2 ; :::; s k ; :::g elde edebiliriz. Şimdi C(s) = fx 2 (0; ] : s(x) yak sakg D(s) = fx 2 (0; ] : s(x) raksak g C stat (s) = fx 2 (0; ] : s(x) istatistiksel yak sakg D stat (s) = fx 2 (0; ] : s(x) istatistiksel yak sak de¼gilg olsu. E¼ger s = (s ) istatistiksel yak sak ise C stat(s) = fx 2 (0; ] : st lim s(x) = st lim s g kümelerii ta mlayabiliriz. Ta mlarda aç kça görüldü¼gü gibi D stat(s) = (0; ] C stat(s) (i)cstat(s) C stat (s); (ii)c(s) C stat (s); (iii)d stat (s) Dstat(s); gerçekleir. E¼ger s = (s ) yak sak bir dizi ise C(s) = (0; ] olur. Ayr ca s raksak bir dizi ise heme her altdizisi de raksak olaca¼g da m(d(s)) =, m( C(s)) = 0 gerçekleir (Buck ad Pollard 943). 29

Şimdi x 2 C stat (s) olmas aaliz edelim: st lim s(x) = (x) olsu. O halde x 2 (0; ] ; x = j= 2 r j ; r < r 2 < ::: < r j < ::: olacak biçimde J = fr ; r 2 ; :::; r j ; :::g vard r ve (J) = ; lim j!;j2j y r j = (x) gerçekleir. Ta m 5... Her K 2 R içi (f 2 N : s Kg) = oluyorsa st lim s = deir. Bezer şekilde her K 2 R içi (f 2 N : s Kg) = oluyorsa st lim s = deir (Maµcaj ad Salát 200). Aşa¼g daki lemmay ispats z verece¼giz. Lemma 5... st lim s = olmas içi gerek ve yeter koşul (M) = ve lim s =!;2M olacak biçimde M N var olmas d r (Maµcaj ad Salát 200). Şimdi de; C stat(s) = fx 2 (0; ] : st lim s(x) = g ; C stat (s) = fx 2 (0; ] : st lim s(x) = g ; K stat (s) = C stat (s) [ C stat(s) [ C stat (s) kümelerii ta mlayal m. 30

Bu kümeleri ikişerli ayr k oldu¼gu aç kt r. Ta m 5..2. x = (x ) reel say lar bir dizisi olsu. m 2 N içi (x (m) ) = (x (m) i ) j= dizisii; x (m) i = 8 >< >: x j ; x j 2 ( m; m) m ; x j m m ; x j < m j = ; 2; 3; ::: olacak biçimde ta mlayal m (Maµcaj ad Salát 200). Her t 2 [ m; m] içi j x j t jj x (m) j Aşa¼g daki soucu ispats z verece¼giz. t j gerçekleir. \ Lemma 5..2. K stat (s) = C stat (s (m) ) (Maµcaj ad Salát200). m= Aşa¼g daki teoremi verebilmek içi bir kümei homoje olmas hat rlatal m. Ta m 5..3. S (0; ) olsu. x 2 S içi x = = e (x) 2 aç l m a sahip olmak üzere e (x) terimlerii solu taesii yer de¼gişmesiyle elde edile okta da S kümesie ait oluyorsa S homojedir deir ( Visser 938). Teorem 5... s = (s ) reel say lar key bir dizisi olsu. O halde C stat (s), C stat(s), C stat (s), K stat (s) kümelerii Lebesgue ölçüleri ya 0 ya olmal d r (Maµcaj ad Salát 200). Ispat. x = x 0 = = = oldu¼guda x 0 e (x) 2, x 2 (0; ] verile kümelerde birie ait olsu. e (x) 2 olmak üzere solu adette içi e (x) 6= e (x 0 ) alal m. Solu adette ay kümeye ait olur. Dolay s yla herbir küme homojedir. Ay zamada Lebesgue ölçülebilir olduklar da da Lebesgue ölçüleri 0 veya olmal d r (Visser 938). Bu da ispat tamamlar. 3

Teorem 2.2. i bir bezerii A-istatistiksel yak sakl k içi ispats z olarak verece¼giz. Teorem 5..2. s = (s ) dizisii L de¼gerie A-istatistiksel yak sak olmas içi gerek ve yeter koşul A (M) = 0 ve f k : k 2 Ng = NM olmak üzere (s k ) altdizisi L de¼gerie yak sak olacak biçimde bir M N var olmas d r (Kolk 993, Miller 995). Ta m 5..4. Bir A = (a k ) matrisi (i) k ike a k > 0 ve k > ike a k = 0 (ii) Her içi a k = k= (iii) Her k içi lim a k = 0 koşullar gerçekliyorsa ortalama matrisi deir (Miller 995). Bir ortalama matrisii ay zamada regüler olaca¼g Teorem 2.3. de aç kça görülmektedir. A ortalama matrisi ve st A C L = kümesii gözöüe alal m. lim s = L olsu. Şimdi! o x 2 (0; ] : lim fs(x)g! = L Örek 5... A = C olsu. Dolay s yla A-istatistiksel yak sakl k, istatistiksel yak sakl k olacakt r. Do¼gal say lar s f r yo¼guluklu key sosuz bir E altcümlesii alal m. Şimdi bir s = (s ) dizisi; 8 < ; =2 E s = : 0 ; 2 E 32

olacak biçimde ta mlas. st lim s = oldu¼gu aç kt r.! Şimdi m Lebesgue ölçüsü olmak üzere, Borel Normal Say lar Teoremide (Billigsley 979) m( ( x 2 (0; ] : lim! ) e i (x) = ) = 2 i= oldu¼guda m(fx 2 (0; ] : fs(x)g sosuz çoklukta 0 ve sosuz çoklukta terimie sahipg) = elde edilir. Dolay s yla m(fx 2 (0; ] : fs(x)g raksak g) = yai m(c L ) = 0 olur. Örekte görüldü¼gü gibi s dizisi istatistiksel yak sak oldu¼guda her altdizisi yak sak olmak zoruda de¼gildir. Bu durumda ölçüyü de¼giştirerek farkl bir souç elde etmek mümkü müdür sorusu akla gelebilir. Şimdi bu soruyu ele alal m. 8 < A = fk g N olmak üzere m A (fx 2 (0; ] : e j (x) = g) = : ; j =2 A 2 ; j 2 A 2 özelli¼gie sahip olas l k ölçüsüü ta mlayal m. Ayr ca olas l k teorisii ihtiyaç duyaca¼g m z öemli bir lemmas hat rlatal m. Lemma 5..3. (Borel-Catelli) (; z; P ) olas l k uzay ve fa g ; zdeki olaylar bir dizisi olsu. O halde 33

a) P (A ) < ise = P (fw : w 2 A ; sosuz çoklukta g) = 0; b) fa g ikişer ayr k ve P (A ) = ise = P (fw : w 2 A ; sosuz çoklukta g) = gerçekleir (Athreya 2006). Teorem 5..4. T = (t k ) ortalama matrisi olsu. s = (s ) dizisii L de¼gerie T -istatistiksel yak sak olmas içi gerek ve yeter koşul T (A) = 0 ve o m A (C L ) = m A ( x 2 (0; ] : lim fs(x)g! = L ) = olacak biçimde bir A N mevcut olmas d r (Miller 995). Ispat. Gereklilik: st T lim s = L olsu. Bu durumda Teorem 5..2 de T (A) = 0 ve! f k : k 2 Ng = NA olmak üzere lim s k = L olacak biçimde A N vard r. k! f 2 A : e (x) = g solu küme ise; s dizisii fs(x)g altdizisideki solu adette terim içi al ş lm ş yak sakl k yoktur acak bu durum al ş lm ş yak sakl ¼g bozmad ¼g da lim! fs(x)g = L gerçekleir. m A (fx 2 (0; ] : e (x) = g) = 2A = 2 < olup; Borel-Catelli Lemmas da m A (fx 2 (0; ] : f 2 A : e (x) = g sosuz g) = 0 elde edilir. Yai m A (fx 2 (0; ] : f 2 A : e (x) = g solu g) = olur. o Dolay s yla m A (C L ) = m A ( x 2 (0; ] : lim fs(x)g! = L ) = gerçekleir. 34

Yeterlilik: s = (s ), T -istatistiksel yak sak bir dizi olmas ve A N içi T (A) = 0 olsu. Teorem 5..2 de f k : k 2 Ng = NA olmak üzere fs k g dizisi yak sak de¼gildir. O halde; f k g dizisii kj altdizisi içi () lim j! s kj = + yada ya da (2) lim j! s kj = (3) < ; A \ B = A \ C = B \ C =? olacak biçimde sosuz çoklukta elemaa sahip B, C altcümleleri vard r ve e¼ger 2 B ise s < ; e¼ger 2 C ise s > gerçekleir. () durumuda j= o m A ( x 2 (0; ] : e kj (x) = ) = j= 2 = (2) durumuda j= o m A ( x 2 (0; ] : e kj (x) = ) = j= 2 = (3) durumuda 2B 2 = = 2 2C elde edilir. Borel-Catelli Lemmas da (), (2), (3) ifadelerii herbiride; 35

m A (fx 2 (0; ] : fs(x)g yak sak g) = 0 elde edilir. Dolay s yla kotrapoziti de ispat tamamla r. Şimdi de A-istatistiksel yak sak ola s dizisii, A-istatistiksel yak sak ola altdizilerii gözöüe alal m. Örek 5..2. s = (s k ) = (; 0; ; 0; :::) dizisii alal m ve A = (a k ) matrisii a ; = a ;k = 0; k > her 2 içi tek sütulardaki bileşeleri toplam bileşeleri toplam olacak biçimde ta mlayal m. ve çift sütulardaki E " = fk 2 N :j s k j "g = fk = 2m : m 2 Ng olup her " > 0 içi lim! k2e " a ;k = lim! m= a ;2m = lim = 0! oldu¼guda st A lim s k = elde edilir. Fakat m(fx 2 (0; ] : fs(x)g A-istatistiksel yak sakg) = 0 gerçekleir. Örek 5..2 ye ra¼gme istatistiksel yak sakl k içi bir karakterizasyo verebilece¼giz. Teorem 5..5. s = (s ) dizisii L de¼gerie istatistiksel yak sak olmas içi gerek 36

ve yeter koşul m( x 2 (0; ] : st o lim fs(x)g! = L ) = olmas d r (Miller 995). Ispat. Gereklilik: st lim s = L ve x 2 (0; ] bir ormal say olsu. Bu durumda,! k= e k (x)! ; (! ) 2 gerçekleir. Dolay s yla fs(x)g = fs ; s 2 ; :::g, lim k k! k = 2 olur. " > 0 olmak üzere, j fi k :j s k i L j "g j j fi k k :j s i L j "g j = k k k j fi k :j s i L j "g j yazabiliriz. O halde bir x ormal say s içi st lim fs(x)g! = L olup, M = fx 2 (0; ] : x ormalg kümesii Lebesgue ölçüsü oldu¼guda, m( x 2 (0; ] : st o lim fs(x)g! = L ) = elde edilir. Yeterlilik: m( x 2 (0; ] : st o lim fs(x)g! = L ) = olsu. Bu durumda, 37

() f k : k 2 Ng [ 0 k : k 2 N = N (2) lim k k! k 0 k k! = lim k = 2 (3) st lim k! s k = st lim k! s 0 k = L koşullar gerçekleecek biçimde f k : k 2 Ng ve 0 k : k 2 N Böylece (); (2); (3) koşullar da ayr k altcümleleri vard r. st lim s = L! olaca¼g aç kt r. Bu da ispat tamamlar. Uyar 5... 0 < c < < c 2 olmak üzere; c a k c 2 ; her k 2 N; k = ; 2; :::; koşuluu gerçekleye A = (a k ) ortalama matrisi verilsi. Bu durumda; her ve k = ; 2; :::; içi oldu¼guda c c E " (k) a k E" (k) c 2 E " (k) E" (k) k= k= a k E" (k) c 2 E" (k) gerçekleir. Böylece bir s dizisii istatistiksel yak sak olmas ve A-istatistiksel yak sak olmas dektir. Dolay s yla Teorem 5..5, A-istatistiksel yak sakl ¼ga geişletilebilir. k= Teorem 5..6. s = (s ) reel say lar bir dizisi olsu. (i) E¼ger s yak sak ise C(s) = Cstat(s) = C stat (s) = (0; ] ; ve D(s) = D stat (s) = Dstat(s) =?; (ii) s s rl, raksak fakat istatistiksel yak sak bir dizi yai s 2 (`c) \ st olmak üzere m( Cstat(s)) = m(c stat (s)) = ; 38

m(d stat(s)) = m(d stat (s)) = 0; m( D(s)) =, m(c(s)) = 0; gerçekleir (Maµcaj ad Salát 200). Ispat. (i) s yak sak bir dizi olsu. Aç kça C(s) = (0; ] ve D(s) =? olur. Bu dizi ay zamada istatistiksel yak sak olaca¼g da ve Teorem 5..5 de Cstat(s) = (0; ] gerçekleir. Cstat(s) C stat (s) oldu¼guu biliyoruz. Dolay s yla C stat (s) = (0; ] olur. Ayr ca D stat (s) Dstat(s) = (0; ] Cstat(s) oldu¼guda D stat (s) =? buluur. (ii) s 2 (`c) \ st olmak üzere; yie Teorem 5..5 de m( C stat(s)) = olup; raksak bir dizii heme her altdizisi de raksak oldu¼guda (Buck ad Pollard 943) m( D(s)) =, m(c(s)) = 0 gerçekleir. C stat(s) C stat (s) oldu¼guda m(c stat (s)) =, m(d stat (s)) = 0 elde edilir. D stat(s) = (0; ] C stat(s) oldu¼guda m(d stat(s)) = 0 olur. Bu da ispat tamamlar. Lemma 5..4. st lim s = L ve x = olsu. E¼ger (P ()) > 0 ise st gerçekleir (Maµcaj ad Salát 200). k= e k (x) 2 k, x 2 (0; ]; P () = fk 2 N : e k (x) = g lim fs(x)g = L Ispat. P ()= f < 2 < ::: < k < :::g olsu. (P ()) > 0 oldu¼guda lim if k Bu durumda k k k k > 0 gerçekleir. > c > 0 (her k > k 0 ) olacak biçimde bir c > 0 ve k 0 do¼gal say s 39

vard r. Yai k k < c (k > k 0) elde edilir. Di¼ger yada k j i k :j s i L j " j k k j i k :j s i k L j " j j i k :j s i c k L j " j olup st lim s = L oldu¼guda st lim s(x) = L buluur. Bu da ispat tamamlar. Souç 5... E¼ger bir s = (s ) dizisi istatistiksel yak sak de¼gil ise m(fx 2 (0; ] : fs(x)g raksakg) = gerçekleir ( Miller ad Orha 200). Gerçekte de s dizisi istatistiksel yak sak de¼gilse yak sak da de¼gildir. Dolay s yla heme her altdizisi de raksakt r (Buck ad Pollard 943). Teorem 5..7. E¼ger bir s = (s ) dizisi istatistiksel yak sak de¼gil ise heme her altdizisi de istatistiksel yak sak de¼gildir, yai N s = fx 2 (0; ] : fs(x)g istatistiksel yak sak de¼gilg cümlesii Lebesgue ölçüsü olur ( Miller ad Orha 200). Ispat. Aksii kabul edelim yai m(n s ) 6= olsu. N s homoje küme oldu¼guda m(n s ) = 0 olacakt r (Visser 938). Bu durumda m(fx 2 (0; ] : fs(x)g istatistiksel yak sak g) = gerçekleir. Şimdi C = fx 2 (0; ] : fs(x)g istatistiksel yak sak g olsu. 40

m(c) = oldu¼guda t 0, t 0 2 C olacak biçimde t 0 2 (0; ] vard r. s(t 0 ), s( t 0 ) birleşimleri s dizisii vere iki ayr k altdizi olup; t 0, t 0 2 C oldu¼guda st lim s(t 0 ) = L ve st lim s( t 0 ) = L 2 olacak biçimde L ve L 2 say lar vard r. E¼ger L = L 2 ise st lim s = L olmal d r. Bu ise çelişki belirtir. Şimdi de L 6= L 2 oldu¼guu kabul edelim. m(c) = oldu¼guda; s dizisii heme her altdizisi L ya da L 2 de¼gerie istatistiksel yak sakt r. O halde C 0 = fx 2 (0; ] : st C 00 = fx 2 (0; ] : st lim fs(x)g = L g lim fs(x)g = L 2 g diyelim. C 0, C 00 homoge iki küme olup C = C 0 [ C 00 gerçekleir. m(c) = oldu¼guda; C 0 ve C 00 kümeleride sadece biri ölçülüdür. m(c 0 ) = olsu. Teorem 5..5 de st lim s = L olur. Bu da çelişki belirtir. Bu durumda kabulümüz yal ş olup m(n s ) = olmal d r. Bu da ispat tamamlar. 5.2 Lacuary Istatistiksel Yak sak Altdiziler Bu k s mda; bir öceki k s mda verile Teorem 5..4 ü lacuary istatistiksel yak sakl k içi bir bezerii varl ¼g araşt r lacakt r. Teorem 5.2.. = fk r g lacuary dizi olsu. O halde bir s = (s ) dizisii L de¼gerie lacuary istatistiksel yak sak olmas içi gerek ve yeter koşul j A \ I r j lim = 0 ve m A (C L ) = m A (fx 2 (0; ] : s lim fs(x)g r! h = Lg = r olacak biçimde A N var olmas d r (Miller 995). 4

Ispat. Gereklilik: Teorem 5.2. ve Teorem 5..3 de m A (C L ) = elde edilir. Yeterlilik: ja\i s dizisi lacuary istatistiksel yak sak olmas ve A N içi lim rj r! h r = 0 olsu. Teorem 5.2. de f k : k 2 Ng = NA olmak üzere fs k g yak sak de¼gildir. Teorem 5..3 ü ispat da oldu¼gu gibi m A (C L ) = 0 elde edilir. Kotrapoziti de; bu da ispat tamamlar. Burada heme belirtmeliyiz ki; Teorem 5.2.2 de m A olas l k ölçüsü yerie Lebesgue ölçüsü al amaz. Çükü m(fx 2 (0; ] : s lim fs(x)g = 0g) = fakat s lim s 6= 0 olacak biçimde dizi öre¼gi vermek mümküdür (Miller 995). Teorem 5.2.2. = fk r g lacuary dizi olmak üzere; s lim s = L olsu. Bu durumda L = fx 2 (0; ] : s lim fs(x)g = Lg kümesii Lebesgue ölçüsü 0 veya olmal d r ( Miller ad Orha 200). Ispat. L kümesi, lacuary dizi ta m da aç kça homojedir. L = \ l= \ j= [ \ ( N= r=n x 2 (0; ] : j k 2 I r :j fs(x)g h k r L j< j> j!! l 42

yaz labilir. Her bir küme G aç k ve m(m) = 0 olmak üzere GM biçimide ifade edilebildi¼gide L ölçülebilirdir. Olas l k teorisii 0 yasas da m( L ) 0 ya da elde edilir (Visser 938). Bu da ispat tamamlar. Teorem 5.2.3. s! 0(s ) ve s 2! 0(s 2 ) ike m(fx 2 (0; ] : fs (x)g! 0(s )g) = 0 m(fx 2 (0; ] : fs 2 (x)g! 0(s 2 )g) = olacak biçimde s = (s ), s 2 = (s 2 ) raksak dizileri ve, 2 lacuary dizileri vard r (Miller ad Orha 200). Ispat. s dizisii kurmak çok fazla olas l k bilgisi gerektirmektedir. Bu edele ispat vermeyece¼giz. = fk r g lacuary dizisii < lim if r k r k r lim sup r k r k r < koşuluu gerçekleyecek biçimde seçelim. Bu durumda st = s oldu¼gu Teorem 3.2.2 de bilimektedir. Teorem 5..4 de herhagi bir raksak fakat s f ra istatistiksel yak sak s dizisi içi m(fx 2 (0; ] : st lim fs(x)g = 0g) = olup, dolay s yla m(fx 2 (0; ] : s lim fs(x)g = 0g) = gerçekleir. Teorem 3.2.2 ve Teorem 5..4 de faydalaarak aşa¼g daki teoremi vermek mümküdür. 43

Teorem 5.2.5. Bir = fk r g lacuary dizisi < lim if r k r k r lim sup r k r k r < koşuluu gerçeklesi. E¼ger s = (s ) raksak fakat L de¼gerie lacuary istatistiksel yak sak bir dizi ise m( L ) = m(fx 2 (0; ] : s lim fs(x)g = Lg) = gerçekleir ( Miller ad Orha 200). 44

6. A- ISTAT IST IKSEL YAKINSAK ALTD IZ ILER Bu bölümde altdizileri A-istatistiksel yak sakl ¼g iceleecektir. Ayr ca Buck 943 y l da, bir x dizisii her altdizisii toplayacak biçimde regüler bir matris toplaabilme metodu varsa x dizisii yak sak oldu¼guu göstermiştir. Burada istatistiksel yak sakl k içi Buck tipli bir teorem de verilecektir. 6. Altdizileri A- Istatistiksel Yak sakl ¼g Bu k s mda verile bir dizii A-istatistiksel yak sak altdizilerii iceleyece¼giz. Burada verece¼gimiz Teorem 6.., Teorem 5..5 i bir geişletilmesidir. Ta m 6... A 2 M + olsu. A (E) = 0 olacak biçimde key bir E N içi ve pozitif tamsay lar heme her altdizisi (m ; m 2 ; :::) içi lim a k I(m k 2 E) = 0 k= oluyorsa A matrisi yo¼guluk öteleme özelli¼gie sahiptir deir. Burada 8 < ; k 2 E I(k) = : 0 ; k =2 E ile verilmektedir (Kha ad Orha 200). Burada uyaral m ki, a k I(m k 2 E) k= a k I(k 2 E) k= eşitsizli¼gii gözöüe alarak yo¼guluk öteleme özelli¼gii her zama gerçekleece¼gi düşüülebilir. Ne yaz k ki bu iki toplam her zama k yaslaamaz. E¼ger k 2 E ise m k 2 E olmas garati de¼gildir, karş t olarak m k 2 E ise k 2 E olmas da garati de¼gildir. Buu içi aşa¼g daki öre¼gi iceleyelim. 45

E = f; 3; 5; 7; 9; :::g kümesii ve (m k ) = (2; 3; 4; 5; 6; :::) altdizisii gözöüe alal m. m = 2; m 2 = 3; m 3 = 4; ::: oldu¼gu aç kt r. a k I(m k 2 E) = k= k= a ;2k ve a k I(k 2 E) = k= k= elde edilir. Yai bu iki toplam k yaslaamazd r. a ;2k Öerme 6... A ve B matrisleri s rl diziler üzeride dek olsu. Bu durumda matrisleri biri yo¼guluk öteleme özelli¼gie sahip oldu¼guda di¼geri de sahiptir. Ispat. x 2 ` verildi¼gide lim (Ax) = L, lim (Bx) = L!! gerçekleir. A (E) = 0 ve lim! Bu durumda a k I(m k 2 E) = 0 olsu. k= lim! a k E (k) = 0 k= olur. Di¼ger yada ( E (k)) s rl bir dizi oldu¼guda lim! b k E (k) = 0 k= elde edilir. Yai B (E) = 0 olur. (I(m k 2 E)) dizisi de s rl oldu¼guda lim! b k I(m k 2 E) = 0 k= gerçekleir. Bu da ispat tamamlar. 46

Şimdi bu özelli¼ge sahip matris toplaabilme metotlar a örek verelim. Örek 6... Cesàro metodu yo¼guluk öteleme özelli¼gie sahiptir. Gerçekte de (E) = 0 olsu. E¼ger m olur.! 2 (! ) ise k= (E) = 0 ve m elde edilir. I(m k 2 E) m! 2 (! ) oldu¼guda lim! I( 2 E) + I(2 2 E) + ::: + I(m 2 E) m I(m k 2 E) = 0 k= Ayr ca s rl diziler üzeride Cesàro metodu; Abel ve Hölder metodua dektir. Dolay s yla Öerme 6.. de her k içi (C; k), (H; k) metotlar ve Abel metodu yo¼guluk öteleme özelli¼gie sahiptir. K saca bu metotlar hat rlatal m: Abel metodu, A lim : c A! K; x = (x k )! lim t! ( t) x k t k k= ile ta ml ve Hölder metodu, H = (C ) (H 0 = I; H = C H ) ile ta ml d r. Teorem 6... A 2 M + ve regüler, x = (x ) reel ya da kompleks terimli bir dizi olsu. ((0; ] ; ; m) Lebesgue ölçüm uzay olmak üzere, A matrisii yo¼guluk öteleme özellikli olmas içi gerek ve yeter şart aşa¼g daki iki ifadei dek olmas d r: (i) st A lim x = 47