S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri üzerie bazı yei Özet : Bu çalışma; souçları içermetedir Ele alıa problem; simetri Jacobi matrisler ailesii özel bir halidir Burada ele alıa simetri Jacobi matrisi, bir sııf hiperboli tip diferesiyel delemi far delemi hale getirilmesi soucu oluşa atsayılar matrisi ile ayıdır [4] Elde edile souçlar; bazı diferesiyel delem sistemlerii çözümüü davraışıı irdelemeye ima verir Aahtar sözcüler: Özdeğer, simetri Jacobi matrisi, Diferesiyel Delemler Eigevalue Problem For A Class Of Jacobi Matrices Abstract: This study cotais some ew results about the eigevalues of a symmetric Jacobi matrix The problem is a special id for the of family of the symmetric Jacobi matrices The symmetric Jacobi matrix i this paper, is the same as the coefficiet matrix obtaied by covertig oe class of hyperbolic type differetial equatio ito differece equatio [4] The obtaied results eable to aalyses the behavior of the solutio of the system of some differetial equatios Key words: Eigevalue, symmetric Jacobi matrix, Differetial equatios Giriş Bu çalışmada bir sııf simetri Jacobi matrisii özdeğerleri ve bu özdeğerleri davraışı iceleecetir Jacobi matrislerii çözümlerii varlı ve telilerii temel teorisi litaratürde mevcuttur [5,6] Simetri Jacobi matrisleri geel olara, a b c a b c b J = a 3 3 ( b c a x Bu maale Yüse Lisas tezii bir bölümüdür E-mail: ooza@selcuedutr
Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi biçimide verile ve ci = bi, i =, şartıı sağlaya matrisler olara taımlamatadır [7] İici bölümde; ( ile gösterile simetri Jacobi matrisileride özel bir matris ele alıacatır Bu matris; ƒ(x ve g(x fosiyoları süreli fosiyolar, a, b atsayıları reel sayı ve l > içi U U U - a b t x t =, (t, x Q R [, l ] ( U(t, = U(t, l =, t (3 U(, x = ƒ(x U t (, x = g(x, x [, l ] (4 biçimide verile lieer hiperboli diferesiyel delemii aşağıda gösterileceği gibi far delemi halide yazılması soucu elde edile atsayılar matristir [4] Yeterli adar büyü doğal sayısı içi [, l ] aralığıda aşağıdai gibi otalar belirleyip uzalığa bağlı solu farlar yötemi ullaılara; (-(4 problemi solu farlar problemie döüştürülsü [,8] l x j = j, j =, olma üzere (-(4 problemie uygu solu farlar yötemiyle oluşturulmuş problem; ( a U ( t, xi bu ( t, xi ( U ( t, x (, (, i U t xi U t xi =, i =, l (5 U(t,x =U(t, x = (6 U(, x i = f(x i, U (, x i = g(x i i =, (7 olur Yuarıda her bir i değeri içi tae delemde elde edile sistemde; U ( x f ( x g( x U =, f = ve g = U ( x f ( x g( x eşitlileri ile boyutlu vetörleri, A = (8 ile de boyutlu matrisi gösterilirse (5-(7 problemide aşağıdai ifadeyi elde edilir [9,,] ( a U b U A U = (9 l ( f, U ( = g ( U = Bu çalışmada (9-( problemii çözümüde ziyade (9 delemidei (8 ile gösterile A matrisi iceleecetir Ele alıa matrisi arateristi poliomu vasıtasıyla sırasıyla; özdeğerleri taımlamış olduları aralı, bu aralıta asıl sıraladıları ve davraışları icelemiştir Elde edile souçlar matrisi elemalarıa bağlı olduğuda, bu çalışma matrisi elemalarıa bağlı olara özdeğerleri sııfladırılması içi yei bir araterasyo vermiş olacatır
Oza ÖZKAN 3 Simetri üçlü bat matrisi öz değerleri Bu bölümde -mertebede (8 matrisii spetral yapısı iceleecetir A = x Biliiyor i eyfi A matrisii özdeğerlerii ve özvetörlerii bulma içi, A ϕ = ϕ delemide faydalaılır [,,3] Bu sistem homoje sistem olduğuda; bilidiği gibi sıfırda falı çözümüü olabilmesi içi A-E matrisii determiatıı sıfıra eşit olması lazımdır Buu içi aşağıdai formda taımlamış P ( poliomuu iceleme yeterlidir P ( = ( Lemma 3 içi; P ( = ( - - P - ( - P - ( ( eşitliği doğrudur İspat : Yuarıdai ( determiatıı değeri birici satırı ullaara hesap edilirse; P ( = (- - ( - ( ( x ( - ( ( x olur Elde edile yuarıdai eşitlitei toplamı birici determiatı P ( ya eşittir Toplamı iici determiatıı değeri ise; birici sütu ullaılara hesap edilirse değerii P ( ya eşit olduğuu görülür Böylelile ( bağıtısıı doğruluğu ispatlaır Souç içi P (- 4 - = (- P ( (3 dır İspat : ( P ı taımıda, P ( = --, P ( = ( değerleri olaylıla buluabilir Bu değerler idüsiyo metoduu il aşaması olara (3 ü doğruluğuu otrol içi ullaırsa; P (-4- = --(-4- = = -P ( P (-4- = ( - = (- P (
Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi eşitlileri buluur Bu ise = ve = içi (3 ü doğru olduğuu gösteririici aşama olara varsayalım i; = - ve = içi (3 eşitliği doğru olsu = içi doğru olduğu gösterilmelidir ( formülüe göre, P (-4- = ( P (-4--P - (-4- = ( (- P (-(- - P - ( = (- [ (-- P (-P - (] = (- P ( olur Bu içi (3 eşitliğii doğru olduğuu gösterir Souç 3 içi aşağıdai eşitliler doğrudur P ( = (- ( (4 P (- 4 = (5 İspat: (5 eşitliğii doğruluğu (3 ve (4 de olayca görülür Bu edele sadece (4 eşitliğii doğru olduğuu ispatlaması yeterli olacatır Yie idüsiyo metoduu ullaılırsa, = ve = içi; P ( = -, P ( = 3 olur (4 eşitliğii = - ve = içi doğru abul edip, = içi doğru olduğu gösterilmelidir ( de dolayı ; P (= - P ( - P - ( = (-(- (-(- - = (- (- = (- (( olur Bu ise (4 ü = içi doğru olması demetir Böylelile Souç 3 ü ispatı yapılmış olur Teorem 4 P ( ve P - ( poliomlarıı öleri aşağıdai formda sıralamışlardır ( ( ( ( 4 < i < i < < i < <, i =, =, içi, P (- = ve öler = otasıa göre simetritir İspat: Köleri = otasıa göre simetriliği Souç de görülebilir Lemma dei ( eşitliğide de P (- = - P - (- dir Burada her içi P - (- = - P -3 (- = = (- - P (- = olurteoremi esas hümüü ispatlama içi burada da idüsiyo metodu ullaılacatır = ve = içi; P ( = -- = = - P ( = (-- = = -3, = - dir P - ( ve P ( içi teoremi hümü doğru olsu Yai, bu poliomları sırasıyla (- ve ( sayıda egatif, ayı zamada = otasıa göre simetri ola öleri mevcut olsu ve P - ( ı öleri P ( ı öleri arasıa girsi Köleri egatif ve = ye göre simetriliğide alaşılıyor i, öler (-4, aralığıda taımlıdır Bu öler sırasıyla, (- i, i=, ( i, i =, şelide gösterilirse, 4 < i < i < olur Bu ise ; i = 4 i i = 4 i demetir < i (i =, (i =, - < < 4
Oza ÖZKAN Burada P ( içi teoremi hümüü doğruluğu görülür Köler simetri olduğuda (-4,- veya (-, aralılarıda sadece biride iceleme yapma yeterli olacatır P ( ve P ( poliomlarıı çarpalarıa ayrıldığıda, P = ( ( ( ( ( (6 ( = ( ( ( ( olur [ 4, ] aralığıda P ( = delemii ölerii bulusu [ 4, ] aralığıı uçlarıda P ( ı işareti iceleirse, (5 de P ( 4 = > olur ( formülüde ; ( = ( ( ( olup, burada (6 ullaırsa; ( = ve ( > olur i, bu ( < ( olmasıı geretirir Bu ise Cauchy teoremide; ( 4, ( ( = olması demetir Şimdi [ i, i ] i =,,, parçalarıı uçlarıda P ( ı işaretleri baılmalıdır ( formülüde; ( i = ( i ( i ( i = dır ( 6 de dolayı ; ( i = ( i ( i (7 i ( 6 dai iici eşitlite dolayı ( i i işareti, ( ( i = ( olur ( Bu souç ve i ( 4, olduğu (7 de göz öüe alıırsa; ( i i işareti i ( olur ( 6 ve ( ye göre P ( i = ( i (8 l i dır ( 6 e göre de P ( i ı işareti ( ( i = ( olur Bu (8 de göz öüe alıırsa; P ( i ı işareti ( i olur Yie Cauchy teoremide; ( ( i i, i olur Böylelile (-4,- aralığıda ( i =,,, ( i = P ( ı toplam olara bulumuş olur ı te veya çift sayı oluşua göre öleri sayısıa baılırsa; I Eğer te ise; (-4,- aralığıda P ( ı ölerii sayısı özelliğide (-4, aralığıda öleri toplam sayısı ( dir tae öü olduğuu olur Simetri 5
Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi II Eğer çift olursa, (-4,- aralığıda P ( ı ölerii sayısı Simetri özelliğide (-, aralığıdai öleri sayısı olur olur = ; P ( ı öü olduğuda (-4, aralığıda öleri toplam sayısı ( buluur Teoremi ispatıda alaşılır i P ( ı öleri P ( ı öleri arasıa yerleşir Teorem 5 4 P ( poliomuu öleri içi,, limitler doğrudur Bu teoremi ispatı aşağıda ispatı yapılaca ola lemmaları bir soucudur Ayrıca bu lemmalarda Teorem 5 de söylee limitleri yaısama hızları da iceleecetir ( İl olara; i sıfıra yaısama hızıa baalım Öcelile geel terimleri ; µ = ve χ = şelide ola dizileri göz öüe alalım m > seçelim i [ 4, 4 µ m ] içi (3 ( > χ m (9 ( olsu Bu m ları varlığı aşağıdai limitlerde açıtır ( µ ( 3 µ 3 lim = ( µ lim χ = Lemma 6 [, 4 µ ] 4 m içi, P ( > χ m P ( eşitsizliği vardır İspat: İspat idüsiyo metoduyla yapılırsa; = içi, P ( = P ( = ( olur (9 eşitsizliğide [ 4, 4 µ m ] içi, P ( > xm P ( olur Lemmaı hümüü = içi doğru abul edip = içi baılırsa; [ 4, 4 µ m ] içi, P ( P ( > χ m ( olup, [ 4, 4 µ m ] içi ( formülüde ( = ( ( ( µ olduğuda (-( de > µ ( ( P > P x m µ m x m ( 6
Oza ÖZKAN ( m ( m ( ( P m m = ( ( m = ( = ( = ( ( x m m ( m dır Lemma 7 ( lim 4 limiti doğrudur İspat: [ 4, 4 µ m ] içi, P ( = µ m = > ( m ( m ve χ > olduğuda Lemma 6 ya göre P ( > P ( > > P ( > olur Burada alaşılıyor i [ 4, 4 µ m ] aralığıda P ( ı öü yotur Souç de alaşılır i, [ µ m,] parçasıda da P ( ı öü yotur Burada da < µ m elde edilir Böylelile lim ( lim ( µ m = 4 olur Teorem 5 İçi İspat Teorem 4 e göre ( ( > > > > 4 yai; { } dizisi mooto azala ve altta sıırlı olduğuda bir otaya yaısar Yai; α 4, Bezer olara ( < < < < yai;{ ( } dizisi mooto arta ve üstte sıırlı olduğuda bir otaya yaısar Başa bir değişle β olur Aca Lemma 7 de β= buluur Ayı zamada = 4 olduğuda α= -4 dür Böylelile sadece teoremi ispatı yapılmala alımayıp, öleri yaısama hızları da bulumuş olur Yai, { } ve { ( } dizilerii edi limitlerie hagi hızla yalaştığı görülür Souçlar Bu çalışmada bir sııf -ici mertebede simetri Jacobi matrisii özdeğerleri icelemiştir Ele alıa problem içi; özdeğerleri taımlı olduğu aralı, bu aralıtai yerleri ve yaısadıları değerler haıda yei bir aretrizasyo elde edilmiştir Bu souçlar; simetri 7
Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Jacobi matrisii elemalarıa bağlı olara özdeğerleri haıda bilgi ediilmesie ima taımıştır 3 Kayalar Ala Jeffrey, Liear Algebra Ad Ordiary Differetial Equatios CRC press, Ic, Boca Rato A Arbor Lodo, Toyo,( 993 Kurosh, Higher Algebra, Mır Publıshers, Moscow, (975 3 Joh T Moore, Elemets Of Liear Algebra Ad Matrix Theory, New Yor, (968 4 O Öza, İici Mertebede Lieer Hiperboli Delemler Üzerie Bazı Karışı Problemler, Yüse Lisas Tezi, SÜ Fe Bilimleri Est, Koya, (999 5 Hochstadt H, O Costructio Of A Jacobi Matrices, Li Alg Appl, 8, 435-446, (974 6 Hald O, Iverse Eigevalue Problems For Jacobi Matrices, Li Alg Appl,4, 63-85, (976 7 M Marcus, H Mic, A Survey Of Matrix Theory Ad Matrix İequalities, Dover Publicatios, NewYor, 66-67, (964 8 Courat-Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Iterscıece Publıshers, Ic, New Yor, (953 9 B Aliev ad A Kh Khamamedov, Eergy Estimates for Solutios of the Mixed Problem for Lieer secod-order Hperbolic Equatios, Mathematical Notes, vol 59, No4, (996 S G Kreı, Liear Differetial equatios i Baach spaces (Russia Ed Naua, Moscow, (969 J-L Lios, E Magees, Problemes aux limites ohomogees et applicatios, vol, Duod, Paris, (968 8