SAYISAL ANALİZ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz
SAYISAL ANALİZ SAYISAL TÜREV Numercal Derentaton Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz
İÇİNDEKİLER Sayısal Türev Ger Farklar İle Sayısal Türev İler Farklar İle Sayısal Türev Merkez Farklar İle Sayısal Türev Taylor Sers İle Sayısal Türev Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 3
Sayısal Türev Türev, bağımlı br değşkenn bağımsız br değşkene göre değşme mktarıdır. Analtk olarak türev ya da ntegral almanın mümkün olmadığı yerlerde sayısal türev veya sayısal ntegral şlemler kullanılmalıdır. Brçok olayda değşm oranları kullanılır. Örnek: Br rmanın yıllık satış mktarı crosu Geometrk olarak Türev, br onksyona at eğrnn er ang br noktasındak yatayla yaptığı açı yada dğer br adeyle noktasındak teğetnn eğm olarak görüleblr. ' lm 0 Sayısal türev, br onksyonun bağlı olduğu değşkenlere göre değşm ızının br ölçüsüdür. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 4
Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 5 Ger Farklar İle Sayısal Türev ' '
Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 6 İler Farklar İle Sayısal Türev ' '
Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 7 Merkez Farklar İle Sayısal Türev ' '
Sayısal Türev Örnek: onksyonunun noktasındak türevn 0. kullanarak er üç yöntemle esaplayınız? Çözüm: Ger arklar ' 0. 0..8 0. 3.8 İler arklar ' 0. 0.. 0. 4. Merkez arklar ' 0. 0. *0...8 0.4 4 Analtk Çözüm 4 Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 8
Taylor Sers le Sayısal Türev Br onksyonun noktasındak türev Taylor Sers yardımıyla elde edleblr. Br onksyonun cvarındak değer cvarındak değernn kuvvetler cnsnden, Taylor Sersne açılarak bulunablr. 3 ' '' '''!! 3! n! n n Taylor sersnde sernn keslen noktadan sonrak atanın mertebes, keslen noktadak n mertebesne eşt olur. Örnek: Taylor sersnde knc term den sonrak termler atılacak olursa, yapılan atanın mertebes olacaktır. Taylor Sers le çok noktalı türev yaklaşımı gerçekleştrlr. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 9
Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 0 Taylor Sers le İler Fark Yöntem onksyonun cvarındak ve cvarındak değerlern nn kuvvetler cnsnden. kuvvetne kadar açıp, y çekelm.! ''! '! ''! ' -4 '' 4 ' 4 4 4 '' 4 ' ' [ 4 3 Taylor sers çn ler ark ormülü [ ] ' 4 3
Taylor Sers le Ger Fark Yöntem İler ark yöntemndek şlemler onksyonun - cvarındak ve - cvarındak değerlern nn kuvvetler cnsnden. kuvvetne kadar açıp, y çeklmes şeklnde tekrar edlerek elde edlr. '! ''! - - '!! '' - - Taylor sers çn ger ark ormülü ' [ 3 4 ] Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz
Sayısal Türev Örnek: onksyonunun yaklaşık türevn gördüğünüz tüm yöntemlerle esaplayınız. 0. ve analtk çözüm 8 Çözüm: Bast ler arkla çözüm ' 0. 0. *. * 0. 9.8 9 0. 8. Taylor sers le k noktalı ler arkla çözüm. * 9 *. 9.8. *. 0.68 ' *0. [ 3 4 ] '.6 0. [ 3*9 4*9.8 0.68] 8 Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz
Sayısal Türev Örnek: e onksyonunun noktasındak türevn 0. adımlarla ler, ger, merkez arklar ve taylor sers. kuvvetn sayısal türev yöntemlern kullanarak ayrı ayrı esaplayınız. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 3
d komutu le sembolk türev alma Tanımlanan br denklemn türevn alır. d denklem, değşken türev şlemnde kullanılacak değşkennadı çözümü yapılacak sembolk adelerden oluşan denklem % sembol tanımlama >> syms % d komutu le sembolk türev alma >> d ^ ans * % sembol tanımlama >> syms t % d komutu le sntnn t ye göre türev >> d sn**t, t ans **cos*t* Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 4
d komutu le sembolk katlı türev alma Katlı türev alma durumu. d denklem, değşken, türevdereces % sembol tanımlama >> syms % d komutu le nn. dereceden türev >> d ^,, ans Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 5
d komutu le br dznn türevn alma MATLAB ta dz elemanları arasındak ark d komutu le elde edleblr. t sn 0 0.5.5 yt 0 0.6.9.6 % zaman artışını belrt >> dt0.5; % dzy belrt >> y [0 0.6.9.6]; % dznn türev >> dydt d y/dt dydt.000.6000.4000 Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 6
% Sayısal Türev %%%%%%%%%%%%%%%% [0:0.5*p:*p]; y*sn; nlengt; %ler arklar dydy:n-y:n-./:n-:n-; :n-; %ger arklar dydgy:n--y:n./:n--:n; g:n; %merkez arklar dydmy3:n-y:n-./3:n-:n-; m:n-; %analtk türev dyd*cos; Sayısal Türev MATLAB Uygulama % türev arklarının ortalaması ler meanabsdyd:end-- dyd ger meanabsdyd:end- dydg merkez meanabsdyd:end-- dydm plot,dyd,':rs',,dyd,'-.ko',g,dydg,'--<',m,dydm,'-g*' legend'analtk','ler','ger','merkez',- Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 7
ÖDEV Ödevler dersn Araştırma Görevlsne, takben eden ata teslm edlecektr. Not: Vaktnde teslm edlmeyen ödevler alınmayacaktır. e -3 onksyonunun çn, 0. adımlar le gördüğünüz tüm yöntemler kullanarak türevn esaplayınız. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 8
KAYNAKLAR İlyas ÇANKAYA, Devrm AKGÜN, Sezgn KAÇAR Müendslk Uygulamaları İçn MATLAB, Seçkn Yayıncılık Steven C. Capra, Raymond P. Canale Çev. H. Heperkan ve U. Kesgn, Yazılım ve Programlama Uygulamalarıyla Müendsler İçn Sayısal Yöntemler, Lteratür Yayıncılık. Serat YILMAZ, Blgsayar İle Sayısal Çözümleme, Kocael Ünv. Yayınları, No:68, Kocael, 005. Yüksel YURTAY, Sayısal Analz Ders Notları, Sakarya Ünverstes Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 9