Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak şekilde hücrelere ayrılarak işlenmiştir. Öğrenci ve öğretmenlere kolaylık olması için konu sırası ve kapsamı Milli Eğitim akanlığı müfredatı ile tam uyumludur. Fasikül baştan sona kazanım temelli hazırlanmıştır. Her hücre bir kazanımla ilişkilendirilmiştir. Fasikül aşağıdaki bölümlerden oluşmaktadır, ilgi Kavrama Kutusu: nlamlı en küçük hücredir. Önce kısa, temel bir bilgi verilir daha sonra da bu bilginin kavranması için örnek çözümler yapılır. Uygulama Kutusu: ilgi kavrama kutusundaki bilginin uygulaması niteliğindedir. ilgi dikkatle okunup, çözümlü örnekler incelenirse bu bölümdeki sorular kolaylıkla çözülür. Kontrol Testi: irkaç hücrenin birleştirilerek anlamlı bir bütün oluşturduğu bölümdür. irkaç bilgi - kavrama kutusundan sonra verilen ve bu hücrelerdeki bilgilerin birleştirilmesi ile çözülebilecek sorulardan oluşan bölümdür. Karma Test: Fasikülün sonundaki bölümdür. Sorular ilk 2-3 testte konu sırasına göre gelir. Diğer testlerde karma sorular vardır. Sorular giderek zorlaşır. Tüm bilgi- kavrama kutularını birleştiren bölümdür. Fasikül Programlı Öğretim yöntemine ve loom un Eğitsel Hedeflerin Taksonomisi ne göre hazırlanmıştır. ireysel öğrenmeyi kolaylaştıran Küçük dımlar İlkesi, ireysel Hız İlkesi, şamalı İlerleme İlkesi gibi ilkeler gözetilmiştir. Programlı öğretim kendi kendine ve bir sınıf içinde aşamalı öğrenme yöntemidir. ilginin özel parçalara veya temel öğelere ayrılarak belirli bir sıraya göre düzenlenip bireysel esasa göre öğrenilebileceği varsayımına dayanmaktadır. Öğretimin bireyselleşmesi ve tam öğrenme ilkeleri temele alınmaktadır. Programlı öğretim öğrencinin öğrenme sürecine etkin katılımını, bireysel öğrenme hızına göre ilerleme kaydetmesini ve öğrenme sonucunun anında kontrol edilmesini sağlayan bir öğretim tekniğidir. Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Üveys KKY uveysakkaya@gmail.com 5
Neden Öğreneceğiz? En genel manada matematik; soyut veya somut nesneleri, bu nesnelere ait özellikleri ve bunlar arasında ilişkileri matematiksel bir dil ve tutarlılıkla ortaya koyma ve uygun genellemelerde bulunma cabasıdır. u bağlamda, modern matematiğin en temel kavramlarından birisi küme kavramıdır. Kümeler, nesnelerle ilgili düşünebileceğimiz en basit ilişkilerden olan gruplandırma ve sınıflandırmalara karşılık gelmektedir. Kümeler konusunda, nesnelere odaklanmadan nesneler arasındaki gruplandırma ilişkilerinin genel kural ve özellikleri üzerinde çalışacağız. Matematiğin birçok konusu kümeler üzerine inşa edilebilir. Örneğin, üçüncü ünitede göreceğimiz fonksiyonlar, kümeler aracılığıyla tanımlanmakta ve de fonksiyonların kullanıldığı matematiğin her alanında kümelerden faydalanılmaktadır. enzer şekilde, kümeler yardımıyla elimizdeki bilgi ve verileri düzenler, bunlar üzerinde istatistiki analizler yapabiliriz. İstatistikte kümeleri kullanmak, bize veriler üzerinde daha düzenli bir çalışma imkanı sunar.* Ne Öğreneceğiz?* (Kazanımlar) 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler kullanır. 2. Evrensel küme, boş küme, sonlu küme ve sonsuz küme kavramlarını örneklerle açıklar. 3. İki kümenin eşitliğini açıklar. 4. lt küme kavramını ve özelliklerini açıklar. 5. Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar, bu işlemler arasındaki ilişkiyi ifade eder. 6. İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar. 7. Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer. *Meb 9. Sınıf Ders Kitabı, 2013 6
İçindekiler Önsöz... 5 Ne Öğreneceğiz? (Kazanımlar)... 6 İçindekiler... 7 ilgi Kutusu 1 (Kazanım No 1-2-3)... 8 Uygulama Kutusu 1... 9 ilgi Kutusu 2 (Kazanım No 4)... 10 Uygulama Kutusu 2... 11 ilgi Kutusu 3 (Kazanım No 4)... 12 Uygulama Kutusu 3... 13 Kontrol Testi 1...14-15 ilgi Kutusu 4 (Kazanım No 5)... 16 Uygulama Kutusu 4... 17 ilgi Kutusu 5 (Kazanım No 5)... 18 Uygulama Kutusu 5... 19 ilgi Kutusu 6 (Kazanım No 5)... 20 Uygulama Kutusu 6... 21 ilgi Kutusu 7 (Kazanım No 5)... 22 Uygulama Kutusu 7... 23 Kontrol Testi 2...24-25 ilgi Kutusu 8 (Kazanım No 5)... 26 Uygulama Kutusu 8... 27 Kontrol Testi 3...28-29 ilgi Kutusu 9 (Kazanım No 6)... 2 8 Uygulama Kutusu 9... 29 ilgi Kutusu 10 (Kazanım No 6)... 30 Uygulama Kutusu 10... 31 ilgi Kutusu 11 (Kazanım No 7)... 32 Uygulama Kutusu 11... 33 ilgi Kutusu 12 (Kazanım No 7)... 34 Uygulama Kutusu 12... 35 Kontrol Testi 3...36-37 Karma Test 1...3 8-3 9 Karma Test 2...40-41 Karma Test 3...42-43 Karma Test 4...44-45 Karma Test 5...46-47 2014-2015 Ünitelendirilmiş Yıllık Plan Örneği... 48 7
İLGİ KVRM KUTUSU 1: Küme Kavramı Küme, iyi tanımlanmış birbirinden farklı nesnelerden oluşan topluluktur. a elemanı kümesine aitse a, değilse a ile gösterilir. kümesinin eleman sayısı s() ile gösterilir. Kümeler üç şekilde gösterilir. 1. Venn Şeması 2. Liste 3. Ortak Özellik = {...} = {k: k, p şartını sağlar} Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. veya { } ile gösterilir. Üzerinde işlem yapılan tüm elemanları kapsayan kümeye evrensel küme (E) denir. ir kümenin eleman sayısı doğal sayı ise sonlu kümedir, değilse sonsuz kümedir. ynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. = ile gösterilir. Örnek 1: şağıdaki örnekleri inceleyiniz. : Nevşehir e komşu iller kümedir. : lfabemizdeki ünlü harfler küme belirtir. C: En güzel renk küme belirtmez. D: Haftanın günleri küme belirtir. E: Sınıfımızdaki zeki öğrenciler küme belirtmez. Örnek 3: = {2, 3, 5, 7} kümesini ortak özellik yöntemi ile yazalım. = {x: x, asal rakamdır} Örnek 4: = {x: 2 x < 2, x tamsayı} kümesini liste yöntemi ile yazalım. = { 2, 1, 0, 1} dir. Örnek 2: = {1, 2, 34, 5} kümesinin eleman sayısını bulalım. Örnek 5: C = {xi x 2 16 = 0, x tamsayı} kümesini venn şeması yöntemi ile gösterelim. s() = 4 tür. 1, 2, 3, 4 dır. 34, 5 4 4 C x 2 16 = 0 x 2 = 16 x = 4 veya x = 4 8
UYGULM KUTUSU 1 1. = {1, 11, 22,, 3} kümesi için I. 1, II. 2, III. { } IV. s() = 7 V. s() = 4 ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? 4. = {m: m, 7 den küçük doğal sayıdır} kümesinin farklı iki elemanının çarpımı en az kaçtır? ) 56 ) 12 C) 6 D) 2 E) 0 ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. I. oş küme { } ile gösterilir. 2. = {x: 2< x 15, x = 2n + 1, n Z} kümesinin liste yöntemi ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? ) {3, 4, 5,..., 15} ) {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} C) {4, 6, 8, 10, 12, 14} D) {2, 3, 5, 7, 9, 11} E) {3, 5, 9, 11, 13} II. Evrensel küme E ile gösterilir. III. Sonsuz kümenin eleman sayısı bir doğal sayıdır. IV. Türkiye Cumhuriyeti vatandaşları küme belirtir. ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. = {x: x 2 + 1 = 0, x Z} = {y: y rakam} C = {k: k bir doğal sayı} 6. = {2x: x bir rakamdır} kümesinin en büyük elemanı kaçtır? ) 9 ) 10 C) 15 D) 18 E) 20 kümelerinin eleman sayıları s(), s(), s(c) sırası ile aşağıdakilerden hangisidir? ) 2, 9, sonsuz ) 2, 10, sonsuz C) 0, 10, sonsuz D) 0, 9, sonsuz E) 10, 0, sonsuz 1. 2. 3. C 4. E 5. 6. D 9
İLGİ KVRM KUTUSU 2: lt Küme kümesinin her elemanı aynı zamanda kümesinin de elemanı oluyorsa alt küme dir veya ile gösterilir. alt küme ise veya ile de gösterilir. kapsar dır. dır. dır. E dir. ve C ise C dir. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2 n dir. n elemanlı bir kümenin öz alt küme (kendisi haricindeki alt kümeleri) sayısı 2 n 1 dir. Örnek 1: = {1, 2, 3} kümesinin alt kümelerini yazalım. 0 elemanlı alt küme 1 elemanlı alt küme {1}, {2}, {3} 2 elemanlı alt küme {1,2}, {1,3}, {2,3} 3 elemanlı alt küme {1, 2, 3} toplam = 8 = 2 3 nın tüm alt kümelerinin kümesine kuvvet kümesi denir. Örnek 3: lt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı 127 olan kümenin eleman sayısını bulalım. s() = n olsun 2 n + 2 n 1 = 127 2. 2 n = 128 2 n = 64 n = 6 dir Örnek 4: ir kümenin eleman sayısı 1 arttırıldığında alt küme sayısı 32 artıyor. u kümenin eleman sayısını bulalım. Örnek 2: Özalt küme sayısı 255 olan kümenin eleman sayısını bulalım. s() = n 2 n = 256 2 n = 2 8 olduğundan n = 8 dir. 10 s() = n s() = n+1 alt küme sayısı alt küme sayısı 2 n 2 n+1 2 n+1 2 n = 32 2 n. 2 2 n = 32 2 n = 32 n = 5
UYGULM KUTUSU 2 1. = {x: x asal rakamdır} kümesinin alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı kaçtır? ) 7 ) 15 C) 31 D) 63 E) 127 4. = {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümeleri veriliyor. D olduğuna göre D nin eleman sayısı kaç farklı tamsayı değeri alır? ) 3 ) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2. kümesinin eleman sayısı kümesinin eleman sayısından 2 fazladır. una göre kümesinin alt küme sayısı kümesinin alt küme sayısının kaç katıdır? ) 2 ) 4 C) 8 D) 16 E) 32 5. ve farklı iki küme, E evrensel kümedir. I. dır. II. E dir. III. ise dır. IV. dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? ) I, II ) I, II, III C) II, III, IV D) I, II, IV E) Hepsi 3. Eleman sayısı ile alt küme sayısının toplamı 135 olan küme kaç elemanlıdır? ) 5 ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6. = {a, b, c, d} = {b, c, d, e, f} olmak üzere T ve T koşulunu sağlayan kaç farklı T kümesi yazılabilir? ) 3 ) 4 C) 6 D) 8 E) 16 1. C 2. 3. C 4. C 5. D 6. D 11
İLGİ KVRM KUTUSU 3: ulunur - ulunmaz Soruları = { a, b, c, d, e} olsun nın alt kümelerinin kaç tanesinde; a bulunmaz 1 = {b, c, d, e} kümesinin alt kümesinde a yoktur. a bulunur 2 = {b, c, d, e} kümesinin her alt kümesine a eklenir. veya: (Tüm alt küme sayısı) - (a nın olmadığı alt küme sayısı) a ve b bulunur 3 {c, d, e} kümesinin her alt kümesine a ve b eklenir. a veya b bulunur (Tüm alt küme sayısı) - (a ve b nin olmadıkları) Örnek 1: şağıdaki soruları = {1, 2, 3, 4, 5} kümesine göre bulalım. e) 2 veya 4 bulunur? Tüm alt küme sayısı: 32 2 ve 4 ün bulunmadığı: 2 3 = 8 2 veya 4 ün bulunduğu: 32 8 = 24 a) nın alt küme sayısı 2 5 = 32 f) 3 veya 5 bulunur? lt kümelerinin kaç tanesinde, b) 1 bulunmaz? 1 = {2, 3, 4, 5} 2 4 = 16 4 = {1, 2, 4} kümesinin alt küme sayısı 8 dir. (3 ve 5 yoktur) u 8 kümenin her birini; 3 eklenirse 8 5 eklenirse 8 24 olur 3 ve 5 eklenirse 8 c) 1 ve 2 bulunmaz? 2 = {3, 4, 5} 2 3 = 8 g) En az bir tane çift sayı bulunur? 5 = {1, 3, 5} 2 3 = 8 tane kümede çift d) 1 bulunur? 3 = {2, 3, 4, 5} kümesinin alt küme sayısı 16 dir. Her kümeye 1 eklenirse 1 bulunur. sayı yoktur. u kümelere 2 eklenirse 8 tane 4 eklenirse 8 tane 24 tane olur 2 ve 4 eklenirse 8 tane 12
UYGULM KUTUSU 3 şağıdaki soruları = {a, b, c, d, 1, 2} kümesine göre cevaplayınız. 1. nın alt kümelerinin kaç tanesinde rakam bulunmaz? ) 4 ) 8 C) 16 D) 32 E) 64 4. nın alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir rakam bulunur? ) 8 ) 12 C) 16 D) 32 E) 48 2. nın alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur 1 bulunmaz? ) 4 ) 8 C) 16 D) 32 E) 64 5. nın alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunmaz, b bulunur? ) 4 ) 8 C) 12 D) 16 E) 24 3. nın alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya d bulunur? ) 64 ) 48 C) 32 D) 16 E) 8 6. Özalt kümelerinin kaç tanesinde a veya b bulunur? ) 64 ) 63 C) 47 D) 45 E) 31 1. C 2. C 3. 4. E 5. 6. C 13
KONTROL TESTİ - 1 1. şağıdakilerden hangisi küme belirtir? ) İyi futbol oynayanlar ) azı günler C) Uzun boylular D) Negatif doğal sayılar 5. = {1, 2} ve = {3, 4, 5, 6} olduğuna göre nin özalt küme sayısı nın alt küme sayısından kaç fazladır? ) 3 ) 7 C) 9 D) 11 E) 14 E) Güzel arabalar 2. = {x: 2 < x < m, x, m Z} kümesinin eleman sayısı 7 olduğuna göre m kaçtır? 6. Eleman sayısı ile özalt küme sayısının toplamı alt küme sayısından 6 fazla olan kümenin eleman sayısı kaçtır? ) 5 ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 ) 5 ) 6 C) 7 D) 8 E) 9 3. = {x: 5 x 5, x Z} = {y: y 2 < 12, y } olduğuna göre s() kaçtır? ) 4 ) 5 C) 6 D) 7 E) 8 7. İNCEKR kelimesinin harflerinden oluşan kümenin alt küme sayısı kaçtır? ) 32 ) 64 C) 96 D) 128 E) 256 4. = {1, 2, a, b} = {1, 2, 3, a, b, c, d} olduğuna göre R şartını sağlayan dan farklı kaç tane R kümesi vardır? ) 7 ) 6 C) 5 D) 4 E) 3 8. Eleman sayısı 2 azalan kümenin alt küme sayısı 48 azaldığına göre eleman sayısı 2 artarsa alt küme sayısı kaç artar? ) 224 ) 192 C) 152 D) 96 E) 48 14
9. = {1, 2, 4, 5, 6, 8} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde çift sayı bulunmaz? ) 2 ) 3 C) 4 D) 8 E) 16 13. = {1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinden oluşan kümenin alt küme sayısı kaçtır? ) 2 4 ) 2 8 C) 2 12 D) 2 16 E) 2 32 10. = { 1, 0, 1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı negatif tamsayı olur? ) 4 ) 8 C) 16 D) 24 E) 32 14. M = {a, b, c} N = {a, 1, b, 2, c, 3, d} olsun N nin alt kümelerinden kaç tanesi M yi kapsamaz? 11. = {1, 2, 5} ) 8 ) 16 C) 24 D) 96 E) 112 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} nin alt kümelerinden kaç tanesi yı kapsar? ) 8 ) 16 C) 32 D) 48 E) 64 15. Eleman sayısı t kadar artan bir kümenin alt küme sayısı kaç katına çıkar? ) 4 ) t C) 2t D) 2 t E) t 2 12. Eleman sayıları toplamı 7 olan iki kümenin alt küme sayıları toplamı en çok kaçtır? ) 16 ) 24 C) 25 D) 128 E) 129 16. Eleman sayıları çarpımı 12 olan iki kümenin alt küme sayıları toplamı en az kaçtır? ) 8 ) 16 C) 24 D) 65 E) 258 1. D 2. 3. D 4. 5. D 6. C 7. D 8. 9. C 10. C 11. 12. E 13. D 14. E 15. D 16. C 15
İLGİ KVRM KUTUSU 4: irleşim ve Kesişim İşlemi 1. = {x: x veya x } = = = E = E ise = ( C) = ( ) ( C) = ise = ve = ( ) ve ( ) 2. = {x: x ve x } = = = E = ise = ( C) = ( ) ( C) ( ) ve ( ) Örnek 1: = {1, 2, 3} ve = {2, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre ve kümelerini bulalım ve venn şeması ile gösterelim. Örnek 2: s() = 4, s( ) = 2 ve kümesinin özaltküme sayısı 63 olduğuna göre s( ) kaçtır? Çözüm: = {2} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 4 Çözüm: 2 n 1 = 63 2 n = 64 ise n = 6 olduğundan s() = 6 dir. s( ) = s() + s() s( ) = 4 + 6 2 = 8 dir. 3 1 2 5 7 6 ( ) ( ) Örnek 3: ve ( ) nin alt küme sayısı 128 olduğuna göre s() kaçtır? Uyarı!,, C kümeleri için; s( ) = s() + s() s( ) dir. s( C) = s() + s() + s(c) s( ) s( C) s( C) + s( C) Çözüm: ise = dir. 2 n = 128 ise n = 7 dir. s( ) = s() = 7 dir. 16
UYGULM KUTUSU 4 1. = {1, 2, {3, 4} 5} = {1, {2} 3, 4, 5} olduğuna göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 3., ve kümelerinin alt küme sayıları sırası ile 64, 32, 4 tür. una göre s( ) kaçtır? ) 6 ) 7 C) 8 D) 9 E) 12 ) {1, 2, 3, 4, 5} ) {1, {2}, {3, 4}, 5} C) {1, 5} D) {2, 3, 4} E) 2. oştan farklı,, C kümeleri için ve C olduğuna göre; 4. ve kümeleri için I. = C dir. II. ( ) ( C) dir. III. ( ) C dir. IV. ( C) dir. V. = ( C) dir. ifadelerinden kaç tanesi her zaman doğrudur? ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 s() = 5 ve s() = 8 olduğuna göre s( ) nin en küçük değeri ile en büyük değerinin toplamı kaçtır? ) 6 ) 9 C) 12 D) 18 E) 21 1. C 2. 3. D 4. E 17
İLGİ KVRM KUTUSU 5: Fark İşlemi kümesinde olup, kümesinde olmayan elemanlara fark kümesi denir ve ile gösterilir. = {xi x ve x } = {xi x ve x } = ise ile ayrık kümelerdir. s( ) = s( ) + s( ) + s( ) Δ = ( ) ( ) simetrik fark = = E = ise dır. Örnek 1: = {1, 2, 3, 4, 5} = {3, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre ve kümelerini yazalım. = {1, 2} = {6, 7} Örnek 2: Yanda verilen şemadan aşağıdaki eşitlikleri a d gösterelim. c b e a) ( ) ( ) = {a, b} {d, e} = Örnek 3:,, C kümeleri için ( C) = ( ) ( C) olduğunu küme işlemleri ile ispat edelim. ( C) = {x: x ve x C} = {x: x ve x ve x C} = {x: x ve x ve x ve x C} = {x: x ve x C} = ( ) ( C) dir. b) ( ) = dir. {a, b} {c, d, e} = {a, b, c, d, e} c) ( ) = {a, b, c} {a, b} = {c} d) ( ) = {a, b, c} {d, e} = {a, b, c} 18
UYGULM KUTUSU 5 1. s( ) = 12 ve s( Δ ) = 7 olduğuna göre nin alt küme sayısı kaçtır? ) 8 ) 16 C) 32 D) 64 E) 128 4. = {1, 2, 3, 4, 5, 6} C = {2, 4, 6, 8, 10} olduğuna göre ( ) ( C) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {2, 4, 6, 8, 10} ) {1, 2, 3, 4, 5, 6} C) {8, 10} D) {2, 4, 6} E) {1, 3, 5} 2. s() = 17 ve s( ) = 10 olduğuna göre kümesinin özalt küme sayısı kaçtır? ) 31 ) 63 C) 127 D) 255 E) 511 5. s( ) = 25 s( ) = 11 s( ) = 10 olduğuna göre s() kaçtır? 3. s() = 10 ve s( ) = 6 ) 15 ) 17 C) 19 D) 21 E) 23 olduğuna göre ( ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 ) 10 C) 16 D) 24 E) 32 1. C 2. C 3. 4. E 5. 19
İLGİ KVRM KUTUSU 6: Tümleme İşlemi ya ait olmayan elemanlardan oluşan kümeye nın tümleyeni denir ve l veya r ile gösterilir. l = {x: x } dır. kümesi l kümesi ^lh l = El = Ø ve Øl = E l = E ve l = Ø dir. = l dır. E = l dır. s() + s(l) = s(e) dir. Örnek 1: Örnek 3: = {1, 2, 3, 4} ve l = {3, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre kümesini bulalım. a b c Çözüm: e d f = l olduğundan l = {3, 4} = dir. g C Yukarıda verilen şemaya göre aşağıdaki kümeleri bulalım. a) ( C) = {a,b,d,e} {b, c, d, e, f, g} Örnek 2: = {a} s() + s(l) = 13 s(l) + s() = 11 olduğuna göre s(e) kaçtır? b) l = = {a, e} Çözüm: c) l ( C) = {a, e, g} {a, b} = {a} + s() + s(l) = 13 s(l) + s() = 11 s() + s(l) + s() + s(l) = 24 s(e) s(e) 2. s(e) = 24 ise s(e) = 12 dir. d) l (l C) = {c, f, g} {a} = Ø l C = {a, e, g} {e, d, f, g} = {a} 20
UYGULM KUTUSU 6 1. l ( ) kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) C) D) E) 4. E evrensel kümedir. s() + s(l) = 24 ve s(l) =17 olduğuna göre kümesi kaç elemanlıdır? ) 7 ) 9 C) 11 D) 15 E) 24 2. = {1, 2, a, b}, l = {1, 3, 5, 6, 7} olduğuna göre kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {1, b} ) {2, a, b} C) {1, 2, a, b} D) {1, 3, 5, 6, 7} E) {1, 2, 3, a, b, 7} 5. ve evrensel (E) kümenin iki alt kümesidir. K = (E ) olduğuna göre K nın tümleyeni aşağıdakilerden hangisidir? 3. ( ) l kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) Ø ) C) D) E) ) ) C) D) E) 1. D 2. 3. E 4. 5. C 21
İLGİ KVRM KUTUSU 7: De Morgan Kuralları ( + ) l = l, l ve ^, hl = l+ l dir. ( + ll ) = l, ve ^l + lhl =, olur. ( l, ) l = + l ve ^l, lhl = + olur. Örnek 1: ^+ h l = l, l olduğunu gösterelim. ^+ h l = " xx : z +, = " xx : z veyaxz, = " xx : z,, " x: x z, = l, l olur. Örnek 3: = {1, 2, 3, 4} = {3, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre ^l + lh l kümesini bulalım. Çözüm: ^l + lhl = ^lhl, ^lhl=, = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Örnek 4: Örnek 2: ^l, lh l = Ø olduğuna göre; I. = Ø ve = Ø II. ve ayrık kümelerdir. III. = E ifadelerinden hangileri doğrudur? s^6 l, @ lh= 7 ve s() = 11 ise nin alt küme sayısını bulalım. Çözüm: 6 l, @l = + l = s( ) = 7 dir. s() = s( ) + s( ) Çözüm: ^l, lhl = + = Ø olduğundan yalnız II doğrudur. 11 = 7 + s( ) ise s( ) = 4 tür. alt küme sayısı = 2 4 = 16 dır. 22
UYGULM KUTUSU 7 1. s( ) = 16 s^6 l, l@ lh= 7 olduğuna göre Δ simetrik fark kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 7 ) 8 C) 9 D) 10 E) 11 3. oştan farklı ve kümeleri için s^6 l + l@ lh= 10 olduğuna göre s() nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? ) 18 ) 24 C) 36 D) 45 E) 55 2. E evrensel kümesinin eleman sayısı 15 tir. 4 K = l, L =, l olarak tanımlanıyor. s ^ l, h = 9 olduğuna göre sk ^ lh= 6 ve sl ^ lh = 7 olduğuna göre kümesinin alt küme sayısı kaçtır? s( Δ ) kaçtır? ) 8 ) 16 C) 32 D) 64 E) 128 ) 1 ) 6 C) 7 D) 13 E) 20 1. C 2. D 3. E 4. D 23
KONTROL TESTİ 2 1. ve kümelerdir. s() = 8 ve s() = 10 olduğuna göre s( ) nin en küçük değeri kaçtır? ) 8 ) 9 C) 10 D) 11 E) 12 4.,, C kümeleri evrensel kümenin alt kümeleridir. s() + s(l) = 14 s(l) + s() = 16 s(cl) = 9 olduğuna göre s(c) kaçtır? ) 4 ) 6 C) 8 D) 9 E) 10 2. kümesinin alt küme sayısı 8, kümesinin özalt küme sayısı 31 dir. s( ) = 12 olduğuna göre kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 2 ) 4 C) 8 D) 16 E) 32 5. = {a, b, c, d, e} = {a, c, d, k, m, n} kümelerinin alt kümelerinden kaç tanesi ortaktır? ) 3 ) 8 C) 10 D) 12 E) 16 3. ( ) ( ) kümesi aşağıdakilerden hangisine her zaman eşittir? ) ) C) D) E) 6. s() = 2. s() s( ) = 8 s( ) = 3 olduğuna göre s( ) kaçtır? ) 5 ) 4 C) 3 D) 2 E) 1 24
7. kümesinin eleman sayısının 4 katı kümesinin eleman sayısının 5 katına ve kesişimin eleman sayısının 20 katına eşittir. nin eleman sayısı 80 olduğuna göre nin eleman sayısı kaçtır? ) 40 ) 60 C) 80 D) 100 E) 120 10.,, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s() + s() + s(c) = 25 s(l) + s(l) = 7 s(e) = 11 olduğuna göre s(cl) kaçtır? ) 1 ) 3 C) 5 D) 7 E) 10 8. oştan farklı ve kümeleri için ve s() + 2. s() = 24 olduğuna göre s( ) en az kaç elemanlıdır? ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. s() = 7 s() = 8 s( ) = 2 olmak üzere evrensel kümenin eleman sayısı 16 olduğuna göre ^l + lh kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 1 ) 2 C) 4 D) 8 E) 16 9. s( ) = 27 s( ) = 3 2. s() = s() olduğuna göre s( ) kaçtır? ) 11 ) 13 C) 15 D) 17 E) 21 12. irbirinden farklı ve kümeleri için, K = ^ hl, ^ hl olduğuna göre K kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) C) D) E) E 1. C 2. D 3. 4. 5. 6. D 7. C 8. 9. D 10. 11. D 12. E 25
İLGİ KVRM KUTUSU 8: Venn Şeması ile Verilen Kümenin İfadesi l ( + ) l C C C C ( C) C ( ) Örnek 1: Örnek 3: C C Taralı lan: C ( ) Taralı lan: ( ) ( C) ( C) Örnek 2: Örnek 4: C C Taralı lan: C ( ) Taralı lan: l + l + Cl 26
UYGULM KUTUSU 8 1. C 3. C Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) C ) ^+ h l, l C) ( C) C D) ^C hl E) ^Cl + hl, Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir? ) ^l, lh + C ) C C) ( C) D) ( ) ( C) E) l + Cl + l 2. C Şekildeki taralı bölgenin ifadesi aşağıdaki- 4. E lerden hangisidir? ) ^+ + Ch l ) (C ) (C ) C) ( ) C D) ^+ hl + Cl E) ^l+ lh+ C C Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir? ) l, ^C h ) l, Cl + l C) ^, h l, C D) + l, C E) l + l 1. D 2. 3. C 4. E 27
İLGİ KVRM KUTUSU 9: Kartezyen Çarpım a ve b olmak üzere (a, b) ifadesine sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. a, birinci bileşen b, ikinci bileşendir. a b ise (a, b) (b, a) dır. (a, b) = (c, d) ise a = c ve b = d dir. İlk bileşeni dan ikinci bileşeni den alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililere kartezyen çarpım kümesi denir. x = {(a, b) I a ve b } s( x ) = s(). s() dir. Örnek 1: = {1, 2, 3} ve = {a, b} ise x ve x kümelerini bulalım. Örnek 3: kümesinin eleman sayısı 5 ve kümesinin alt küme sayısı 4 olduğuna göre s( x ) kaçtır? Çözüm: x = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } x = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } Çözüm: nin alt küme sayısı 4 ise 2 n = 4 = 2 2 olduğundan s() = 2 dir. s( x ) = s(). s() = 5. 2 = 10 dur. Örnek 2: (2 x+1, 3) = (16, y 2) olduğuna göre x ve y yi bulalım. Örnek 4: = {1, 2, 3} = {1, 2, a, b} 2 = x olduğuna göre s( 2 ) + s( 2 ) kaçtır? Çözüm: (2 x+1, 3) = (16, y 2) 2 x+1 = 16 3 = y 2 2 x+1 = 16 5 = y Çözüm: s( 2 ) = s(). s() = 3.3 = 9 s( 2 ) = s(). s() = 4.4 = 16 + 25 x + 1 = 4 x = 3 28
UYGULM KUTUSU 9 1. (a + b, 9) = (17, a b) olduğuna göre a. b çarpımı kaçtır? ) 36 ) 42 C) 48 D) 52 E) 64 4. = {a, b, c} = {b, c, d} C = {c, d, e, f} olduğuna göre ( ) x C kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 12 ) 16 C) 18 D) 20 E) 25 2. s( x ) = 12 olduğuna göre s() + s() nin en büyük değeri kaçtır? ) 12 ) 13 C) 14 D) 15 E) 20 5. s( x ) = 20 s( x C) = 30 olduğuna göre s() + s() + s(c) en küçük değeri kaçtır? ) 9 ) 12 C) 15 D) 18 E) 51 3. = {x: x 2 1 = 0, x R} = {x: 1 < x 3, x Z} olduğuna göre x kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 3 ) 4 C) 6 D) 8 E) 10 6. (x + y, 7) = (5, x.y) olduğuna göre x 2 + y 2 kaçtır? ) 24 ) 20 C) 18 D) 15 E) 11 1. D 2. 3. D 4. 5. C 6. E 29
İLGİ KVRM KUTUSU 10: Kartezyen Çarpımın Özellikleri ve Grafiği x Ø = Ø x = Ø x ( x C) = ( x ) x C x ( C) = ( x ) ( x C) x ( C) = ( x ) ( x C) x nin grafiği çizilirken kümesinin elemanları yatay eksene, kümesinin elemanları düşey eksene yazılır. (a, b) şeklindeki noktalar işaretlenir. b (a,b) ve C D ise ( x C) ( x D) dır. a Örnek 1: s() = 4 = {1, 2, 3, 4, 5} C = {1, 3, 5, 7, 9} olduğuna göre s^^xh+ ^xchh yi bulalım. Örnek 3: = { 1, 1, 2} = {2, 4, 6, 8} olduğuna göre x ve x nın grafiğini çizelim. Çözüm: ( x ) ( x C) = x ( C) dir. ( C) = {1, 3, 5}, s( C) = 3 s( x ( C)) = s(). s( C) = 4. 3 = 12 dir. Çözüm: x = {( 1, 2), ( 1, 4), ( 1, 6), ( 1, 8), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)} 8 6 4 2 1 1 2 Örnek 2: = {1} = {1, 2} C = {a, b} D = {a, b, c} olduğuna göre x C ve x D yi bulalım. x = {(2, 1), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 1), (4, 2), (6, 1), (6, 1), (6, 2), (8, 1), (8, 1), (8, 2)} 2 x C = {(1, a) (1, b)} x D = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} 1 1 2 4 6 8 30
UYGULM KUTUSU 10 1. 3. = {1, 2, 3, 4} 3 = {4, 5, 6, 7, 8} 2 olduğuna göre x nin grafiğindeki noktaları dışarıda bırakmayan en küçük yarıçaplı 1 1 3 4 5 çemberin yarıçapı kaç birimdir? 3 5 7 ) 2 ) 2 C) 2 D) 4 E) 5 Şekilde x nin grafiği verilmiştir. una göre s( ) kaçtır? ) 2 ) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4. = {a, 1, b, 2} = {3, c, d, 4} 2. = { 1, 1, 3} = {1, 3, 5} olduğuna göre x nın grafiği aşağıdakilerden hangisidir? C = {x I x = 5} olduğuna göre s( x x C) kaçtır? ) 80 ) 40 C) 20 D) 16 E) 8 ) 3 1 1 3 5 ) 5 3 1 1 1 1 3 5. s() = 2, s() = 5, s(c) = 3 C) D) olduğuna göre ( x ) ( x C) kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? 1 1 1 3 5 1 3 5 ) 30 ) 24 C) 18 D) 16 E) 6 1 E) 5 3 1 1 3 5 1. D 2. 3. 4. D 5. D 31
İLGİ KVRM KUTUSU 11: Küme Problemleri lmanca İngilizce a b c d E lmanca konuşanların sayısı: a + b Yalnızca lmanca konuşanların sayısı: a Yalnız bir dil konuşanların sayısı: a + c En az bir dil konuşanların sayısı: a + b + c En çok bir dil konuşanların sayısı: a + c + d İngilizce konuşmayanların sayısı: a + d Hem İngilizce hem lmanca konuşanların sayısı: b Örnek 1: Örnek 2: ir grupta 16 kişi ve dillerinden en az birini konuşabilmektedir. u grupta bu dillerden yalnız birini konuşabilen 10 kişidir. dilini konuşabilenler dilini konuşabilenlerden 4 kişi fazla olduğuna göre dilini konuşabilen kaç kişi vardır? ir sınıfta futbol ve voleyboldan en az biri oynanmaktadır. Sınıfın %80 i futbol, %60 ı voleybol oynamaktadır. Hem futbol hem voleybol oynayan 16 kişi olduğuna göre bu sınıf kaç kişidir? Çözüm: Çözüm: x y z Sınıfın tamamına 100 diyelim. s(f V) = 100 dır. s(f V) = s(f) + s(v) s(f V) 100 = 80 + 60 s(f V) s(f V) = 40 1. x + y + z = 16 dır. 2. Yalnız bir dil konuşabilenler: x + z x + z = 10 40 a 16 kişi karşılık gelirse 100 e x kişi x = 40 olur. 3. s() = s() + 4 x + y = y + z + 4 x = z + 4 1 ve 2 den y = 6 dır. x + z + 6 = 16 x+ z = 10 2 + x z = 4 2x = &14 x=7 s() = x + y = 7 + 6 = 13 olur 32
UYGULM KUTUSU 11 1. 42 kişilik bir grupta 16 kişi X gazetesini okuyor, 20 kişi Y gazetesini okumuyor. İki gazeteden en az birini okuyan 28 kişi olduğuna göre bu gazetelerden yalnız birini okuyan kaç kişi vardır? ) 12 ) 18 C) 20 D) 24 E) 30 3. ir sınıftaki öğrencilerin her biri fizik veya kimya kurslarına devam ediyor. Fizik kursuna devam edenler kimya kursuna devam edenlerden 7 fazla ve her iki kursa devam edenlerin ise 4 katıdır. u sınıfın mevcudu aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) 24 ) 26 C) 28 D) 32 E) 34 2. Herkesin lmanca ve Fransızca dillerinden en az birini bildiği bir sınıfta lmanca bilenler Fransızca bilenlerin 2 katından 4 fazladır. İki dili bilen 8 kişidir. Sınıfta 47 kişi olduğuna göre Fransızca bilen kaç kişi vardır? ) 12 ) 17 C) 21 D) 27 E) 30 4. 30 kişilik bir sınıfta matematik dersinden kalan 6, fizik dersinden geçen 20 kişi vardır. u iki dersten de kalan 3 öğrenci olduğuna göre sınıfta yalnız matematikten geçen kaç kişi vardır? ) 10 ) 7 C) 5 D) 4 E) 2 1. 2. 3. C 4. 33
İLGİ KVRM KUTUSU 12: ölünebilme Soruları = {x: 21 < x < 95, x = 4k, k N} kümesi 21 den büyük 95 ten küçük 4 ün katı olan doğal sayılar kümesidir. = {24, 28,..., 92} : 3 e tam bölünen doğal sayılar : 5 e tam bölünen doğal sayılar kümesi 3 e ve 5 e tam bölünen doğal sayılar: : 15 e tam bölünür. 3 e veya 5 e tam bölünen doğal sayılar: s( ) = s() + s() s( ) dir. 3 e bölünen 5 e bölünemeyen sayılar: s( ) = s() s( ) rtış miktarı sabit olan bir ifadedeki terim sayısı = ^ sonterim h ^ ilkterim h rtsmiktar ı ı + 1 Örnek 1: İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi a) 3 e b) 5 e c) 3 ve 5 e d) 3 veya 5 e tam bölünür? e) 3 e bölünür 5 e bölünmez? Örnek 2: : {x: 22 < x < 121, x = 4k, k Z} : {x: 33 < x < 105, x = 6k, k Z} olduğuna göre a) kaç elemanlıdır? b) kaç elemanlıdır? c) kaç elemanlıdır? Çözüm: 99 12 a) Ü = " 1215,,..., 99, ( 3 + 1 = 30 95 10 b) = " 101520,,,..., 95, ( 5 + 1 = 18 90 15 c) Ü + = " 15,..., 90, ( 15 + 1 = 6 d) s(ü ) = s(ü) + s() s(ü ) = 30 + 18 6 = 42 e) s(ü ) = s(ü) s(ü ) = 30 6 = 24 Çözüm: 120 24 = " 2428,,..., 120, ( 4 + 1 = 25 102 36 = { 3642,,..., 102} ( 6 + 1 = 12 96 36 a) + = " 36, 48,... 96, ( 12 + 1 = 6 b) s( ) = s() + s() s( ) = 25 + 12 6 = 31 c) s( ) = s() s( ) = 25 6 = 19 34
UYGULM KUTUSU 12 1. İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 2 ye bölünür fakat 3 e bölünmez? ) 15 ) 24 C) 30 D) 41 E) 45 3. Üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 5 e veya 6 ya tam bölünür? ) 236 ) 300 C) 314 D) 327 E) 344 2. = {x: 10 < x < 64, x N} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 e ve 6 ya bölünür? 4. = {x: 10 x 995, x = 4n, n Z} = {y: 10 < y 888, y = 6n, n Z} olduğuna göre kaç elemanlıdır? ) 4 ) 5 C) 6 D) 8 E) 9 ) 48 ) 54 C) 68 D) 74 E) 84 1. C 2. 3. 4. D 35
KONTROL TESTİ 3 1. 5. = {a, b, c, d} x C = {(5, a), (5, b), (6, a), (6, b), (7, a), (7, b)} olduğuna göre s[( C) x ] kaçtır? C ) 4 ) 6 C) 9 D) 10 E) 12 Yukarıdaki taralı bölgeyi ifade eden küme aşağdakilerden hangisidir? ) l + ^C h ) l + ^ Ch C) C+ l D) ( C) E) ( C) ( C) 6. C olmak üzere s( x x C) = 48 olduğuna göre C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 3 ) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2. ^ x, 1h = _ 9, y 3 i olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? ) 3 ) 4 C) 9 D) 81 E) 82 7.,, C küme ve C dir. 3. (x + y + z, 5) = (2, x + z) olduğuna göre y kaçtır? ) 3 ) 1 C) 1 D) 3 E) 5 s( C) = 7 s[( x ) ( x C)] = 56 olduğuna göre kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? ) 2 ) 4 C) 6 D) 7 E) 9 4. = {20, 21,..., 121} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 veya 5 e tam bölünür? ) 52 ) 56 C) 61 D) 68 E) 72 8. İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 3 ün katıdır fakat 4 ün katı değildir? ) 22 ) 20 C) 18 D) 16 E) 14 36
9. 2 1 1 2 3 4 Yukarıdaki grafikte verilenlere göre s( ). s() çarpımı kaçtır? ) 2 ) 4 C) 6 D) 8 E) 9 12. ir kitap fuarına katılanlara yapılan ankette 170 kişi roman 142 kişi hikâye 82 kişi şiir 48 kişi roman ve hikâye 39 kişi hikâye ve şiir 33 kişi roman ve şiir 14 kişi roman, hikâye ve şiir cevabını vermiştir. una göre bu ankete katılan kişi sayısı kaçtır? ) 288 ) 294 C) 308 D) 318 E) 334 10. = {x: x rakam} C = {x: x < 6, x doğal sayı} olduğuna göre s[( x ) ( x C)] kaçtır? ) 24 ) 36 C) 45 D) 52 E) 60 13. lmanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu 72 kişilik bir toplulukta lmanca bilenlerin sayısı İngilizce bilenlerin sayısının üç katından 6 eksiktir. u toplulukta her iki dili bilen 6 kişi olduğuna göre sadece İngilizce bilen kaç kişidir? ) 5 ) 10 C) 15 D) 18 E) 21 11.,, C gazetelerinden en az birine abone 40 kişilik bir toplulukta gazetesine abone olan hiçbiri veya C ye abone değildir. u toplulukta üç gazeteden yalnız birine abone olan 28 kişi olduğuna göre yalnız iki gazeteye abone olan kaç kişi vardır? ) 6 ) 8 C) 12 D) 16 E) 18 14. 29 kişilik bir sınıfta gözlüklü kızların sayısı 4 ve gözlüksüz erkeklerin sayısı 6 dır. u sınıfta kızların sayısı erkeklerin sayısının 2 katından 4 eksik olduğuna göre kızların sayısı erkeklerin sayısından kaç fazladır? ) 3 ) 5 C) 7 D) 9 E) 10 1. E 2. E 3. 4. C 5. 6. 7. D 8. 9. 10. E 11. C 12. 13. C 14. C 37
KRM TEST - 1 1. Küme kavramı ile ilgili aşağıda verilenlerden kaç tanesi doğrudur? I. ir kümenin elemanları ortak bir özelliğe sahip olmak zorundadır. II. Eleman sayıları eşit olan kümelere eşit kümeler denir. 4. kümesinin alt küme sayısı kümesinin alt küme sayısından 16 eksiktir. kümesinin eleman sayısı kümesinin eleman sayısından kaç eksiktir? ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 16 III. Her küme liste yöntemi ile gösterilebilir. IV. ir kümenin elemanı başka bir kümenin elemanı olabilir. V. Eleman sayısı bir doğal sayı olan kümelere sonlu küme denir. ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. şağıdakilerden hangisi boş kümedir? ) {x: x bir çift asal sayıdır} ) {x: x 2 1 = 0, x N} C) {x: x karesi negatif bir doğal sayıdır} 5., kümelerdir ve dir. s() = 8, s() = 10 olduğuna göre s( ) en az kaçtır? ) 11 ) 12 C) 14 D) 15 E) 16 D) {x: x + 1 = 2, x R} E) {x: Türkiye nin en güzel şehri} 3. şağıdakilerden hangileri sonsuz kümedir? = {x: a < x < b, a, b, x Z} = {x: a < x < b, a, b Z, x R} C = {x: a < x < b, a, b R, x N} ) ) C) ve D) ve C E),, C 6. = {a, b, {b, c} } kümesi ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) {a, c} ) {b, c} C) {a} D) b E) a, {b, c} 38
7. = {2, 3, 4, 5, 6} kümesi üzerinde tanımlı = {(x,y) I x + y = 7 ve x, y } kümesi veriliyor. una göre kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 2 ) 3 C) 4 D) 5 E) 6 10. ve kümeleri 20 elemanlı E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s( ) = 9 ve s^l + lh= 7 olduğuna göre kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 11. 8. kümesinin eleman sayısı kümesinin eleman sayısının 2 katıdır. ve kümelerinin eleman sayıları toplamı 27 olduğuna göre kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 18 ) 14 C) 12 D) 9 E) 6 C Yukarıdaki şemada verilen taralı bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir? ) ( C) ) ^+ h l, C C) l, l + Cl D) ( C) ( C) E) ( C) 9. kümesinin alt küme sayısı 64 kümesinin özalt küme sayısı 31 dir. s( ) = 14 olduğuna göre kümesinin iki elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ) 2 ) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. ve boştan farklı kümelerdir. s( x ) = 24 s() = 4 olduğuna göre s( x ) kaçtır? ) 4 ) 16 C) 25 D) 36 E) 64 1. C 2. C 3. 4. 5. 6. 7. C 8. D 9. 10. D 11. E 12. D 39
KRM TEST - 2 1. ir sınıfta 11 erkek, 14 kız öğrenci vardır. u sınıfta 12 kişi gözlüklüdür. Gözlüklü veya erkek olanların sayısı 19 olduğuna göre gözlüklü erkeklerin sayısı kaçtır? ) 3 ) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. ve aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. s() + s() = 17 s ^ lh+ s ^ lh= 11 olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır? ) 14 ) 16 C) 18 D) 22 E) 28 2. C olduğuna göre I. l + = dr ı. 5., ve kümelerinin eleman sayıları sırası ile 5, 4 ve 2 ile doğru orantılıdır. II. l + = ^+ Ch dr ı. III. l 1 l dr ı. IV. 1 ^l + Ch dir. V.,, C = C dir. ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? kümesinin eleman sayısı 66 olduğuna göre kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 128 ) 2 8 C) 2 10 D) 2 12 E) 2 14 ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 40 3. + 6 ^, h @ l ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) C) D) E) l, 6. (2a + 1, b 2) = (10 a, 2b + 4) eşitliğini sağlayan (a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? ) (3, 6) ) (6, 3) C) ( 6, 3) D) ( 3, 6) E) (3, 6)
7. 28 kişilik bir sınıfta 6 kişi tiyatro ve sinemaya gitmek istemektedir. 25 kişi sinema ve tiyatrodan en az birine gitmek istemektedir. Tiyatroya gitmek isteyenlerin sayısı sinemaya gitmek isteyenlerin sayısından 3 eksiktir. una göre bu sınıfta tiyatroya gitmek istemeyen kaç kişi vardır? 10. = {x: x 2 9 = 0, x tamsayı} = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} olduğuna göre nin alt kümelerinden kaç tanesi yı kapsar? ) 4 ) 8 C) 16 D) 32 E) 64 ) 10 ) 12 C) 14 D) 16 E) 18 8. 50 kişilik bir toplulukta 21 kişi futbol 23 kişi voleybol oynamaktadır. Her iki oyunu da oynamayanların sayısı kaçtır? sorusunun çözülebilmesi için aşağıdakilerden hangisin verilmesi yeterli değildir? ) Voleybol oynamayanların sayısı ) Yalnız voleybol oynayanların sayısı 11. ir kümesinin alt küme sayısı T dir. u kümeye, kümedeki elemanlardan farklı, 3 eleman daha eklenirse alt küme sayısı T cinsinden ne olur? ) 3T ) 8T C) 16 T D) 16 T 3 E) 32 T C) Hem futbol hem voleybol oynayanların sayısı D) Yalnız futbol oynayanların sayısı E) Futbol ve voleybolden an az birin oynayanların sayısı 9. irbirinden farklı ve kümelerinin alt küme sayıları toplamı 129 dur. u kümelerin eleman sayıları toplamı kaçtır? ) 6 ) 7 C) 8 D) 9 E) 10 12. = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ile 3 eleman olarak bulunur 2 bulunmaz? ) 2 ) 4 C) 8 D) 16 E) 32 1. 2. D 3. 4. 5. D 6. E 7. C 8. 9. 10. D 11. 12. C 41
KRM TEST - 3 1. = { 1, 0, 1, 3, 5, 7} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinin elemanları çarpımı sıfırdır? ) 8 ) 16 C) 24 D) 32 E) 64 4. ve evrensel kümenin alt kümeleridir. una göre, I. = Ø ise = Ø ve = Ø dır. II. ^, hl = l, l dr ı. III. + l = IV. ( ) = V. = Ø ise = Ø veya = Ø dır. ifadelerinden kaç tanesi her zaman doğrudur? ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. = { 5, 5, 10, 15, 20} = { 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} olmak üzere kümesinin kümesini kapsayan alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı negatif bir tamsayıdır? ) 4 ) 8 C) 16 D) 32 E) 64 5. s( ) + s( ) = 21 s() s() = 7 olduğuna göre s() kaçtır? ) 6 ) 8 C) 10 D) 12 E) 14 6. ve evrensel kümenin alt kümeleri ve m N dir. s() + s() = 15 + 3m 3. = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde d veya f elaman olarak bulunur? ) 8 ) 12 C) 24 D) 32 E) 48 s ^ lh+ s ^ lh= 7 3m olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır? ) 22 ) 14 C) 11 D) 9 E) 6 42
7. ve evrensel kümenin alt kümeleridir. s() = 9 ve s() = 12 olduğuna göre nin alabileceği kaç kaç farklı değer vardır? ) 7 ) 8 C) 9 D) 10 E) 11 10. Herkesin veya gazetesinden en az birin okuduğu 152 kişilik bir toplulukta gazetesini okuyanların sayısı, iki gazeteyi de okuyanların 4 katı, gazetesini okuyanların dörtte biridir. u toplulukta gazetesini okuyan kaç kişi vardır? ) 32 ) 28 C) 24 D) 20 E) 18 8.,, C evrensel kümenin alt kümeleridir. s() + s(l) = 9 s() + s(cl) = 13 s(c) + s(l) = 20 olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır? 11. kümesinin 8, kümesinin 32 alt kümesi vardır. s( l) = 5 olduğuna göre kaçtır? ) 7 ) 9 C) 11 D) 13 E) 15 ) 10 ) 12 C) 14 D) 16 E) 18 9. s() = 14 ve s() = 8 olduğuna göre s( ) nin alabileceği kaç farklı değer vardır? ) 8 ) 9 C) 10 D) 11 E) 12 12. ir sınıfta en çok bir dil bilen 30, en az bir dil bilen 25 ve sadece bir dil bilen 20 kişi olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır? ) 32 ) 35 C) 38 D) 42 E) 45 1. D 2. 3. E 4. D 5. E 6. C 7. D 8. C 9. 10. 11. D 12. 43
KRM TEST - 4 1. = {a, b, c, d, e} = {a, b, c, d, e, f, g, k, m} olmak üzere T koşulunu sağlayan kaç tane T kümesi vardır? ) 8 ) 16 C) 24 D) 32 E) 64 4. = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3} kümeleri veriliyor. x kümesinin tüm elemanlarını kapsayan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir? ) 2 10 ) 10 C) 5 D) 2 5 E) 5 2. = {21, 22, 23,..., 142} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 e bölünüp 5 e bölünmez? ) 39 ) 37 C) 35 D) 33 E) 30 5. ir öğrenci, 4 veya 6 ile tam bölünebilen 42 tane sayıyı kartlara yazarak bir torbaya atıyor. Yazdığı sayılardan 28 i 4 ile, 25 i ise 6 ile tam bölünebilmektedir. una göre bu sayılardan kaç tanesi 4 ya da 6 ile tam bölünebilir? ) 21 ) 26 C) 31 D) 35 E) 37 3. ir sınıftaki öğrencilerin % 23 ünün kitabını % 60 ının kitabını % 45 inin C kitabını % 13 ünün ve kitabını % 22 sinin ve C kitabını okuduğu gözlenmiştir. yrıca kitabını okuyanlar C kitabını okumamaktadır. una göre sınıfta,, C kitaplarından hiç birini okumayanların yüzdesi kaçtır? 6. ve aynı evrensel kümenin ayrık iki alt kümesidir. Evrensel kümenin elemanlarından %75 i kümesinin elemanı değil ve %65 i kümesinin elemanı değildir. una göre aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. s( ), s(e) nin %60 ı dır. II. s( ), s(e) nin %25 i dir. III. s( l), s(e) nin %25 i dir. IV. s^^, hh, l s(e) nin %40 ı dır. V. s( ) boş kümedir. 44 ) 5 ) 7 C) 9 D) 12 E) 14 ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. = {2, 3, 4, 5} = {a, b, c, 5} olmak üzere ve olduğuna göre a. b. c çarpımı kaçtır? ) 18 ) 24 C) 30 D) 36 E) 60 10. = {1, 2, a} = {1, 2, 3, 4, 5} olduğuna göre ( ) K ( ) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? ) 8 ) 16 C) 32 D) 36 E) 64 8. = { 3, 0, 3, 6, 9, 12} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı negatif değildir? ) 18 ) 24 C) 32 D) 48 E) 64 11. oş kümeden farklı, kümeleri için 4. s( ) = 3. s( ) = 5 s( ) olduğuna göre s( ) nin en küçük değeri kaçtır? ) 15 ) 27 C) 32 D) 40 E) 47 9. = {1, 2, 3} kümesinin alt kümelerinde bulunan sayıların toplamı kaçtır? ) 32 ) 24 C) 18 D) 16 E) 12 12. oştan ve birbirinden farklı ve kümeleri için ( ) = olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) = ) = C) = Ø D) E) 1. 2. D 3. 4. C 5. C 6. D 7. 8. D 9. 10. 11. E 12. D 45
KRM TEST - 5 1. s( ) = 8 s( ) = 21 s() < s() olduğuna göre kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? 4. = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin kaç tane alt kümesinin elemanları çarpımı 10 un katı olur? ) 6 ) 8 C) 10 D) 12 E) 16 ) 2 ) 3 C) 4 D) 5 E) 6 2. kümesinin alt küme sayısı kümesinin alt küme sayısının 2 katı olduğuna göre, x kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) 9 ) 10 C) 12 D) 15 E) 18 5. = {1, 2, 3, 4} kümesinin kaç tane alt kümesi ardışık doğal sayılardan oluşur? ) 6 ) 7 C) 8 D) 9 E) 10 6. 1 = {1} 2 = {2, 3} 3 = {4, 5, 6} 4 = {7, 8, 9, 10} 3. = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin kaç tane alt kümesinin elemanları çarpımı tek sayıdır? ) 15 ) 31 C) 32 D) 63 E) 64 Pozitif tamsayılardan yukarıdaki gibi ayrık kümeler oluşturuluyor. una göre 20. kümenin son elemanı kaçtır? ) 180 ) 210 C) 230 D) 260 E) 290 46
7. 0 = Ø 1 = 0 { 0 } 2 = 1 { 1 } 3 = 2 { 2 } n = n 1 { n 1 } olarak tanımlanıyor. una göre s( 24 ) s( 17 ) farkı kaçtır? ) 5 ) 7 C) 11 D) 14 E) 21 10. n bir pozitif tamsayıdır. n = {x: n x n, x Z} = {y 2 : y n } olarak tanımlanıyor. una göre s() aşağıdakilerden hangisidir? ) 2n 1 ) n C) n + 1 D) 2n + 1 E) 2n 1 8. = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {(x, y) I x + y = 9, x, y } olduğuna göre s() kaçtır? ) 6 ) 7 C) 8 D) 10 E) 12 11. = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} şeklinde sıra ile asal sayılardan oluşan sekiz elemanlı bir kümedir. K sayısı, kümesinin elemanları çarpımından 1 fazla olsun. una göre, 9. n = {1, 2, 3,..., n} (n, tek doğal sayı) n = {(x, y) I x + y = n, x, y } I. K tek sayıdır. II. K, 77 ye tam bölünür. III. K, 3 n şeklinde yazılabilir (n N) IV. K 39 un katıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? ) I ) III - IV C) I - II - IV D) I - III - IV E) I - IV doğal sayılar yardımı ile n kümesi, n kümesi yardımı ile n kümesi tanımlanıyor? una göre s( n ) aşağıdakilerden hangisidir? ) 5050 ) n 1 C) n D) n + 1 E) 2n 1. C 2. C 3. 4. D 5. 6. 7. 8. C 9. 10. C 11. 47
2014-2015 Eğitim Öğretim Yılı 9. Sınıf Matematik Dersi Ünitelendirilmiş Yıllık Plan Örneği Süre 1. Ünite KÜMELER (18 ST) LT ÖĞRENME LNLRI VE KZNIMLR ÖĞRENME LNI (CEİR) ÖĞRENME- ÖĞRETME YÖN- TEM VE TEKNİK- LERİ KULLNILN EĞİ- TİM TEKNOLOJİLE- Rİ VE TEKNİKLERİ Y HFT ST 2 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler kullanır. Kümelerde Temel Kavramlar 2 2. Evrensel küme, boş küme, sonlu küme ve sonsuz küme kavramlarını örneklerle açıklar Kümelerde Temel Kavramlar DEĞERLENDİRME EYLÜL 15-19 2 6 3. lt küme kavramını ve özelliklerini açıklar. 4. İki kümenin eşitliğini açıklar. 5. Kümelerin birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar; bu işlemler arasındaki ilişkileri ifade eder. Kümelerde Temel Kavramlar Kümelerde İşlemler Düz nlatım Soru-cevap Problem çözme, naliz etme, Gösterip Yaptırma, Grup Çalışması Ders kitabı Etkileşimli Tahta Eba 29-03 22-26 Kümelerde 2 6. İki kümenin Kartezyen çarpımını açıklar. İşlemler 7. Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer. 4 Kurban ayramı Kümelerde İşlemler