ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KLASİK ORTOGONAL MATRİS POLİNOMLARI VE BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI Bayram ÇEKİM MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 Her haı salıdır
TEZ ONAYI Bayram ÇEK IM taraf da haz rlaa " KLAS IK ORTOGONAL MATR IS POL INOMLARI VE BESSEL MATR IS FONKS IYONLARI " adl tez çal şmas /06/0 tarihide aşa¼g dai jüri taraf da oy birli¼gi / oy çolu¼gu ile Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dal da DOKTORA TEZ I olara abul edilmiştir. Da şma: Prof.Dr. Abdullah ALTIN Jüri Üyeleri: Başa: Prof.Dr. Abdullah ALTIN Aara Üiversitesi, Fe Faültesi, Matemati Bölümü Üye: Prof.Dr. Hüseyi BEREKETO¼GLU Aara Üiversitesi, Fe Faültesi, Matemati Bölümü Üye: Doç.Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞ ILDAL Aara Üiversitesi, Fe Faültesi, Matemati Bölümü Üye: Doç.Dr. Ogü DO¼GRU Gazi Üiversitesi, Fe Faültesi, Matemati Bölümü Üye: Doç.Dr. Esra ERKUŞ DUMAN Gazi Üiversitesi, Fe Faültesi, Matemati Bölümü Yuar dai soucu oaylar m Prof.Dr. Özer KOLSARICI Estitü Müdürü
ÖZET Dotora Tezi KLAS IK ORTOGONAL MATR IS POL INOMLARI VE BESSEL MATR IS FONKS IYONLARI Bayram ÇEK IM Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dal Da şma: Prof.Dr. Abdullah ALTIN Bu tez seiz bölümde oluşmatad r. Birici bölümde özel fosiyolarda bilimsel gelişmeler özetlemiştir. Iici bölümde, matris fosiyolar ile ilgili gereli öbilgiler hat rlat ld ta sora Gamma, Beta ve Hipergeometri matris fosiyolar ilgili baz özelliler verilmetedir. Üçücü bölümde, öce Chebyshev matris poliomlar iici basamata bir matris diferesiyel delemi sa¼glad ¼g gösterilmete, sorada bu poliomlar sa¼glad ¼g matris do¼gurucu fosiyo, üç terimli matris reüras ba¼g t s, Rodrigues formülü ve ortogoalli gibi baz özelliler icelemetedir. Dördücü bölüm, Gegebauer matris poliomlar ta t m a ve sa¼glad ¼g baz özellileri elde edilmesie ayr lm şt r. Beşici bölümde, Jacobi matris poliomlar baz özellilerii icelemesii ard da Jacobi ve Chebyshev matris poliomlar aras dai bir ilişi verilmetedir. Alt c bölümde, A matrisii özde¼gerlerii tamsay olmamas durumuda Bessel matris diferesiyel delemi içi geel çözümü aç ifadesii elde etmemize izi vere Bessel matris fosiyolar birici türü ta t lmatad r. Ayr ca Bessel matris fosiyolar iici türü de ulla lara Bessel matris diferesiyel delemii geel çözümü verilmetedir. Tezi yedici ve seizici bölümleri orijial bulgular içermetedir. Bu bölümlerde s ras yla, Jacobi ve Gegebauer matris poliomlar aileleri içi multilieer ve multilateral türde çeşitli matris do¼gurucu fosiyolar bulumuş ve baz özellileri elde edilmiştir. Hazira 0, 08 sayfa Aahtar Kelimeler: Matris, ortogoal poliomlar, matris poliomu, hipergeometri matris fosiyou, matris diferesiyel delemi, Bessel matris fosiyou. i
ABSTRACT Ph.D. Thesis CLASSICAL ORTHOGONAL MATRIX POLYNOMIALS AND BESSEL MATRIX FUNCTIONS Bayram ÇEK IM Aara Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor: Prof.Dr. Abdullah ALTIN This thesis cosists of eight chapters. I the rst chapter, the scieti c advaces o special fuctios are summarized. I the secod chapter, after ecessary prelimiaries related to the matrix fuctios are recalled, some properties cocerig Gamma, Beta ad Hypergeometric matrix fuctios are give. I the third chapter, rstly, it is show that Chebyshev matrix polyomials satisfy a matrix di eretial equatio of secod order ad the some properties such as matrix geeratig fuctio, three term matrix recurrece relatio, Rodrigues formula ad orthogoality satis ed by these polyomials are ivestigated. The fourth chapter is reserved for the itroductio of Gegebauer matrix polyomials ad obtaiig some of the features provided by these matrix polyomials. I the fth chapter, a relatioship betwee Jacobi ad Chebyshev matrix polyomials are give ad the some properties of Jacobi matrix polyomials are aalyzed. I the sixth chapter, Bessel matrix fuctios of the rst id which permit to obtai a explicit expressio of the geeral solutio of Bessel matrix di eretial equatio for the case where o eigevalue of A is a iteger are itroduced. The geeral solutio of Bessel matrix di eretial equatio is give by also usig Bessel matrix fuctios of the secod id. The seveth ad eighth chapters of this thesis iclude the origial results. I these chapters, various multiliear ad multilateral matrix geeratig fuctios are foud ad some properties are derived for families of the Jacobi ad Gegebauer matrix polyomials, respectively. Jue 0, 08 pages Key Words: Matrix, orthogoal polyomials, matrix polyomial, hypergeometric matrix fuctio, matrix di eretial equatio, Bessel matrix fuctio. ii
TEŞEKKÜR Baa bu ouda çal şma ima sa¼glaya ve çal şmalar m süresice ya ilgi ve deste¼gii hiç esirgemeye Da şma Hocam Say Prof.Dr. Abdullah ALTIN (Aara Üiversitesi Fe Faültesi Matemati Bölümü) a ve de¼gerli Hocalar m Doç.Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞ ILDAL ile Doç.Dr. Esra ERKUŞ DUMAN a e deri sayg lar m ve teşeürlerimi sumay bir borç bilirim. Dotora yapt ¼g m süre boyuca verdi¼gi burs ile bei desteleye TÜB ITAK a teseürlerimi ve ayr ca, maddi ve maevi olara her zama ya mda ola aileme ve eşime de sayg ve sevgilerimi suar m. Bayram ÇEK IM Aara, Hazira 0 iii
İÇİNDEKİLER ÖZET...i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ...vi. GİRİŞ.... ÖN BİLGİLER VE TEMEL KAVRAMLAR...3. Bazı Taımlar...3. Matris İşlemleride Bazı Özelliler...4.3 Gamma ve Beta Fosiyoları...0.4 Gamma ve Beta Matris Fosiyoları ve Bazı Özellileri....5 Hipergeometri Seri ve Hipergeometri Fosiyolar...4.6 Hipergeometri Matris Fosiyoları...4 3. CHEBYSHEV MATRİS POLİNOMLARI... 3. Klasi Chebyshev Poliomları... 3. Üstel Matris Fosiyolarıı Bazı Özellileri...3 3.3 Chebyshev Matris Poliomlarıı Hipergeometri Matris Fosiyo Gösterimi...4 3.4 Chebyshev Matris Poliomları içi Matris Diferesiyel Delem...5 3.5 Chebyshev Matris Poliomları içi Rodrigues Formülü...6 3.6 Chebyshev Matris Poliomlarıı Ortogoalliği...7 3.7 Chebyshev Matris Poliomları içi Üç Terimli Matris Reüras Bağıtısı...30 4. GEGENBAUER MATRİS POLİNOMLARI...3 4. Klasi Gegebauer Poliomları...3 4. Gegebauer Matris Poliomlarıı Hipergeometri Matris Fosiyo Gösterimleri...33 4.3 Gegebauer Matris Poliomları içi Matris Diferesiyel Delem ve Reüras Bağıtıları...37 4.4 Gegebauer Matris Poliomlarıı Ortogoalliği...39 5. JACOBI MATRİS POLİNOMLARI...43 5. Klasi Jacobi Poliomları...43 iv
5. Jacobi Matris Poliomlarıı Hipergeometri Matris Fosiyo Gösterimi...44 5.3 Jacobi Matris Poliomları içi Matris Diferesiyel Delem...45 5.4 Jacobi Matris Poliomları içi Rodrigues Formülü...47 5.5 Jacobi Matris Poliomlarıı Ortogoalliği...49 5.6 Jacobi Matris Poliomları içi Reüras Bağıtısı...55 6. BESSEL MATRİS FONKSİYONLARI...58 6. Matris Fosiyoları ile İlgili Ö Bilgiler...59 6. Bessel Fosiyoları...63 6.3 Bessel Matris Fosiyolarıa Giriş...64 6.4 Bessel Matris Fosiyolarıı Birici Türü...68 6.5 Bessel Matris Fosiyolarıı İici Türü...7 7. JACOBI MATRİS POLİNOMLARI İLE İLGİLİ YENİ BAZI ÖZELLİKLER...76 7. Jacobi Matris Poliomları içi Matris Doğurucu Fosiyolar...76 7. Jacobi ve Gegebauer Matris Poliomları Arasıdai Bir Bağıtı...8 7.3 Jacobi Matris Poliomları içi Reüras Bağıtıları...83 7.4 Jacobi Matris Poliomları içi Multilieer ve Multilateral Matris Doğurucu Fosiyoları...87 8. GEGENBAUER MATRİS POLİNOMLARI İLE İLGİLİ YENİ BAZI ÖZELLİKLER...93 8. Gegebauer Matris Poliomlarıı Hipergeometri Matris Fosiyo Gösterimleri...93 8. Gegebauer Matris Poliomları içi Matris Doğurucu Fosiyolar...97 8.3 Gegebauer Matris Poliomları içi Multilieer ve Multilateral Matris Doğurucu Fosiyoları...00 KAYNAKLAR...05 ÖZGEÇMİŞ...08 v
S IMGELER D IZ IN I R rr C rr P r (t) (A) A A T A H (A) jaj (r r) boyutlu reel elemal aresel matrisleri uzay (r r) boyutlu omples elemal aresel matrisleri uzay Katsay lar C rr de ola tüm matris poliomlar ümesi A matrisii tüm özde¼gerlerii ümesi A C rr matrisii tersi A C rr matrisii traspozu A C rr matrisii eşlei¼gii traspozu A C rr matrisii Pochhammer gösterimi A C rr matrisii determiat A A C rr matrisii matris ormu say s tam de¼geri I Birim matris 0 Tüm elemalar s f r ola matris (x) B(x; y) F (; ; ; x) (A) B(A; B) F (A; B; C; x) T (x; A) C A (x) Gamma fosiyou Beta fosiyou Hipergeometri fosiyo Gamma matris fosiyou Beta matris fosiyou Hipergeometri matris fosiyou Chebyshev matris poliomlar Gegebauer matris poliomlar P (A;B) (x) Jacobi matris poliomlar L (A;) (x) Laguerre matris poliomlar J A (x) Y A (x) Birici tür Bessel matris fosiyou Iici tür Bessel matris fosiyou vi
. G IR IŞ Ortogoal poliomlar, 900 lü y llarda itibare Matematiçiler içi öemli bir çal şma ala halie gelmiştir. Bu poliomlar, Fizi, Astroomi ve Istatisti gibi bilim dallar da da öemli ulla m alalar a sahiptir. Ortogoal poliomlar gelişmesiyle birlite, 960 l y llarda itibare biortogoal, atl ve q-ortogoal poliomlar bilim adamlar taraf da çal ş la bir araşt rma ala halie gelmiştir. 990 l y llarda ise Matematiçiler taraf da Uygulamal Matemati ve Lieer Cebir oular harmalamas soucu ortogoal matris poliomlar avram ortaya ç m şt r. Klasi ortogoal poliom ailelerii bir ço özellilere sahip oldular bilimetedir. Bu ortogoal poliom ailelerii sa¼glad ¼g özellilerde hagilerii matris ortogoal poliomlara atar labilece¼gi mera ousudur. Bu atar mda matrislerle ilgili hagi tür oşullar oulmas gereti¼gi ve bu oşullar dahilide hagi özellileri sa¼glaaca¼g öemlidir. Matris poliomlar, Istatistite ço de¼gişeli olas l aalizide (James 975), gruplar teoriside (James 975), saç lma teoriside (Geroimo 980), diferesiyel delemlerde (Jódar vd. 994b, 995), Fourier seri aç l mlar da (Defez ve Jódar 998), iterpolasyoda (Siap ve Va Assche 994) ve t bbi görütülemede (Defez vd. 000) ulla lmata olup, süreli olara gelişe bir alad r. Matris poliomlar uygulamalar da ulla la, A (t) ; B(t) ve C(t) fosiyolar matris de¼gerli fosiyolar olma üzere A (t) X 00 (t) + B(t)X 0 (t) + C(t)X (t) 0 (.) tipidei iici basamata diferesiyel delemler, geellile Fizi, Kimya ve Meaite arş m za ç matad r (Keller ve Wolfe 965, Morse ve Fesbach 953, Parter vd. 973). Bessel matris fosiyolar ve baz özellileri Herz ve Jódar taraf da verilmiştir (Herz 955, Jódar vd. 99, 994a). Bu matris fosiyolar aç halleri, Frobeius yötemiyle bulumuştur. Ayr ca argümet olara al a matrisi
özde¼gerlerii tamsay olup olmamas durumuda Bessel matris diferesiyel delemi geel çözümüü as l farl l gösterdi¼gi icelemiştir (Jódar vd. 994a). So y llarda ise Laguerre matris poliomlar (Jódar vd. 994b), Hermite matris poliomlar (Jódar ve Compay 99), Gegebauer matris poliomlar (Jódar vd. 995), Jacobi matris poliomlar (Defez vd. 004) ve Chebyshev matris poliomlar birici (Defez ve Jódar 00) ve iici türleri (Bataha 006) ta mlam şt r. Bu matris poliomlar sa¼glad ¼g matris diferesiyel delemler, matris do¼gurucu fosiyolar, reüras ba¼g t lar ve Rodrigues formülleri bulumuştur. Ayr ca Laguerre ve Hermite matris poliomlar aras dai bir ilişide verilmiştir (Jódar ve Defez 998). Klasi ortogoal poliomlar sa¼glad ¼g özellileri pe ço¼guu belirli oşullar alt da matris ortogoal poliomlar taraf da da sa¼glad ¼g gösterilmiştir. Bu tezde özellile Jacobi, Chebyshev ve Gegebauer matris poliomlar ele al m ş ve bu poliom ailelerii sa¼glad ¼g çeşitli özelliler üzeride durulmuştur. Ayr ca Bessel matris fosiyou ta t ld ta sora bu fosiyou özellileri de icelemiştir. Bu oular çal ş l re Gamma, Beta ve Hipergeometri matris fosiyo gibi özel fosiyolarda yararla lm şt r. Tezde orjial olara, Jacobi ve Gegebauer matris poliomlar sa¼glad ¼g baz özelliler bulumuştur. Ayr ca bu matris poliomlar içi multilieer ve multilateral matris do¼gurucu fosiyolar elde edilmiştir.
. ÖN B ILG ILER VE TEMEL KAVRAMLAR. Baz Ta mlar Ta m. a 6 0 olma üzere a 0 ; a ; :::; a ( N) ler sabit say lar ve x bir de¼gişe olsu. p (x) a x + a x + :::: + a x + a 0 şelide ta mlaa p fosiyoua bir poliom (ço terimli) deir. Buradai do¼gal say s a poliomu derecesi, a 0 ; a ; :::; a say lar a da poliomu atsay lar ad verilir. E¼ger a ise p (x) poliomua moi poliom deir. x de¼gişeii ve atsay lar reel ya da omples olmas a göre p (x) poliomu, reel poliom ya da omples poliom olara adlad r l r. Ta m. I R olma üzere!(x); I da ta ml pozitif bir fosiyo olsu. m; N ve m 6 olma üzere Z ( m ; ) m (x) (x)!(x) dx 0 I sa¼gla yorsa f (x)g N poliom ailesie I aral ¼g da!(x) a¼g rl fosiyoua göre ortogoaldir deir. Ta m.3 t reel yada omples bir de¼gişe ve 0 j içi A j C rr olma üzere. derecede matris poliomu P (t) A t + A t + ::: + A t + A 0 ; A 6 0 şelide ta mla r. Uyar. Katsay lar C rr de ola bütü matris poliomlar ümesi P r (t) ile gösterilir. Ta m.4 f g N, C rr dei matrisleri bir dizisi ve A C rr (0 ) P matrisleri içi P (t) A t bir matris poliomu olsu. 0 L : P r (t)! C rr 3
fosiyoeli ise L (t I) ; 0; ; ::: X L (P (t)) A ; 0; ; ::: 0 şelide ta mlas. Bu durumda f g N matris momet dizisi yard m yla ta mlaa L; matris momet fosiyoeli olara adlad r l r. ise -yici basamata matris mometidir ( 0; ; :::) (Jódar vd. 995). Ta m.5 N içi P (t) bir matris poliomu olma üzere i. P (t) ; sigüler olmaya başatsay l. derecede bir matris poliomudur, ii. 8; s N ve 6 s içi L (P (t) P s (t)) 0 d r, iii. N içi L (P (t)) matrisii tersi vard r oşullar sa¼glas. Bu tadirde fp (t)g N dizisie, L matris momet fosiyoelie göre ortogoal matris poliom dizisi deir (Jódar vd. 995).. Matris Işlemleride Baz Özelliler Tezi bu sm da, matrislerle ilgili bilie baz temel lemmalar ve souçlar verilecetir (Taşç 005). Ta m.6 I; birim matrisi gösterme üzere A; B matrisleri içi AB BA I eşitli¼gii sa¼glaya B matrisie A matrisii çarpma işlemie göre tersi (iversi) deir ve B A ile gösterilir. Lemma. Bir matrisi tersi var ise, bu ters tetir. Ta m.7 Tersi ola matrislere regüler (düzgü) matrisler deir. Regüler (düzgü) olmaya matrislere ise sigüler (teil) matrisler deir. Lemma. A ve B regüler matrisler ise AB matrisi de regüler bir matris olup (AB) B A dir. 4
Souç. Lemma. i bir geellemesi olara, herhagi bir pozitif tamsay ve A ; :::; A lar regüler matrisler olma üzere dir. (A :::A ) A :::A Souç. Herhagi bir regüler A matrisi içi (A ) (A ) dir. Ta m.8 A matrisii trazpozu A T ile gösterilme üzere A T A eşitli¼gi sa¼gla yorsa, A matrisie ortogoal matris deir. Lemma.3 Herhagi bir A matrisi ve B regüler matrisi içi AB BA oşulu sa¼glayorsa, o zama AB B A d r. Lemma.4 Bir A matrisii tersii olmas içi gere ve yeter oşul A matrisii determiat s f rda farl, yai det A jaj 6 0 olmas d r. O halde, A matrisie, det A 6 0 ise regüler (düzgü) matris, det A 0 ise sigüler (teil) matris deir. Lemma.5 A ve B matrisleri içi jabj jaj jbj dir. Bu gösteriyori, jabj 0 ise jaj veya jbj de e az biri s f r olmal d r. Ta m.9 x s f rda farl (r ) boyutlu bir vetör ve 0 s f r matrisi olma üzere Ax x ya da (A I) x 0 eşitli¼gii sa¼glaya de¼gerlerie, A matrisii özde¼gerleri deir. Başa bir deyişle, A matrisii özde¼gerleri, ya göre r yici derecede bir delem ola ja Ij 0 şelidei A matrisii arateristi delemii öleridir. 5
Lemma.6 (rr) boyutlu A matrisii farl özde¼gerleri ; ; :::; r olma üzere A matrisii determiat, det A jaj ::: r ile verilir. Herbir özde¼gerie arş l gele x vetörlerie de A matrisii özvetörleri deir. A matrisii tüm özde¼gerlerii ümesi (A) ile gösterilir ve (A) ya A spetrumu da deir. Ta m.0 8z (P ) içi Re (z) > 0 oşuluu sa¼glaya P C rr matrisie pozitif ararl matris deir (Jódar ve Cortés 998a). Ta m. Q C rr matrisii eşlei traspozu Q H ile gösterilme üzere Q H Q Q Q H I eşitli¼gii sa¼glaya Q regüler matrisie üiter matris deir. Ta m. Herhagi P ve Q matrisleri içi, R P R Q olaca şeilde regüler bir R matrisi varsa, P ve Q matrislerie bezer matrisler deir. Regüler bezer matrisleri tersleri de bezerdir. Ayr ca bezer matrisleri determiatlar ve özde¼gerleri ay d r. Ta m.3 Köşege bir matrise bezer ola P matrisie, öşegeleştirilebilir matris deir. Bir P matrisii öşegeleştirilebilir olmas içi r tae lieer ba¼g ms z özvetöre sahip olmas gere ve yeterdir. Bu durumda, öşege matrisi öşege elemalar P matrisii özde¼gerleridir. Ta m.4 Köşegeleştirilebilir P ve Q matrisleri içi S P S D ; S QS E ; D; E öşege matrisler olaca şeilde regüler bir S matrisi varsa, P ve Q matrislerie ay ada öşegeleştirilebilir matrisler deir (Hor ve Johso 993). 6
Lemma.7 P ve Q öşegeleştirebilir matrisler olsu. P ve Q matrislerii ay ada öşegeleştirilebilir olmas içi gere ve yeter oşul bu matrisleri çarpma işlemie göre de¼gişmeli olmas d r (Hor ve Johso 993). Ta m.5 p içi x (x ; :::; x r ) vetörüü p ormu, x p (jx j p + ::: + jx r j p ) p şelide ta mla r (Golub ve Va Loa 983). Ta m.6 x s f rda farl (r ) boyutlu bir vetör olma üzere, A matrisii p ormu ya da bir başa ifadeyle, Ax p A p sup x60 x p A p max x p Ax p şelide ta ml d r (Golub ve Va Loa 983). Lemma.8 I birim matris, 0 s f r matrisi, c R ve p olma üzere herhagi A; B matrislerii p ormu içi aşa¼g dai özelliler sa¼gla r (Golub ve Va Loa 983). a) A p 0 c) A p 0, A 0 e) A + B p A p + B p b) I p d) ca p jcj A p f) AB p A p B p Tez boyuca, vetörler içi vetör ormu (Ölid ormu), matrisler içi matris ormu ulla lm şt r. A matrisii matris ormu (spetral ormu), A T A matrisii e büyü özde¼gerii areöüe eşit olup, A ile gösterilir. Norm hesapla re, e¼ger A matrisi omples elemal ise A T yerie A eşlei traspozu ola A H al mal d r (Golub ve Va Loa 983). Lemma.9 (Schur Ayr ş m ): C rr dei herhagi bir A matrisi içi, A matrisii özde¼gerlerii esas öşegei üzeride buludura öşege bir D matrisi ve N tam üst üçgesel bir matris olma üzere Q H AQ D + N olaca şeilde bir Q üiter matrisi vard r (Golub ve Va Loa 983). 7
Ta m.7 C rr dei herhagi bir A matrisi içi (A) max fre (z) : z (A)g ve (A) mi fre (z) : z (A)g d r. Lemma.0 C rr dei herhagi bir A matrisii Schur ayr ş m Q H AQ D +N olma üzere Xr e At e a(a)t Nt j j! d r (Golub ve Va Loa 983). j0, t 0 Lemma. Herhagi bir A C rr matrisi içi t 0 olma üzere dir (Golub ve Va Loa 989). Xr e At e (A)t (A p rt) j j! j0 Ta m.8 reel ya da omples bir say ve pozitif bir tamsay olma üzere () ifadesi () ( + )( + ):::( + ) ; () 0 olara ta mla r ve Pochhammer sembolü olara biliir. Ta m.9 Saler Pochhammer ifadesie fosiyoel matris hesab uygulamas yla, C rr dei herhagi bir A matrisi içi (A) A (A + I) : : : (A + ( )I) ; ; (A) 0 I (.) elde edilir i, bua matrisler içi Pochhammer gösterimi deir. Uyar. j pozitif bir tamsay olma üzere > j içi ( ji) 0 d r. Lemma. Herhagi bir A matrisi içi e At A t 0! I + At + A t! + + A t! + ile ta mlaa üstel matris serisi her t içi ya sat r. 8
Lemma.3 A; B; I ve 0 matrisleri içi i) e 0 I, ii) e A üstel matrisi her zama regüler olup e A e A, iii) AB BA ise e (A+B)t e At e Bt, iv) t R içi Ie t e It eşitlileri geçerlidir. Lemma.4 E¼ger f (z) ve g (z) ; omples düzlemi aç ümeside ta ml aaliti fosiyolar iseler, o tadirde (P ) olaca şeilde herhagi bir P C rr matrisi içi fosiyoel matris hesab özellileride dolay f (P ) g (P ) g (P ) f (P ) dir. E¼ger (Q) olaca şeildei herhagi bir Q C rr matrisi içi P Q QP ise bu durumda f (P ) g (Q) g (Q) f (P ) dir (Duford ve Schwartz 957). Lemma.5 E¼ger f; (P ) y içere bir bölgede ta ml bir fosiyo ve S, C rr de regüler bir matris ise f SP S S f (P ) S dir (Golub ve Va Loa 989). Lemma.6 a; y C ve jyj < olma üzere ( y) a exp [a l ( y)] dir. Ayr ca ( y) a (a) y ; jyj <, a C! olup, bu özelli¼ge C rr dei herhagi bir A matrisi içi fosiyoel matris hesab uygulamas yla elde edilir. ( y) A 9 (A) y, jyj < (.)!
Ta m.0 B (z 0 ; ) ; omples düzlemdei z 0 merezli yar çapl aç disi ve E ise C rr s f da matrisleri Baach uzay gösterme üzere, i 4 içi f i : B (z 0 ; )! E şelide ta mlaa f i ler s rl ve süreli fosiyolar olsu. U ve U ise X 00 f (z) X 0 + f (z) Xf 3 (z) + X 0 f 4 (z) (.3) delemii herhagi ii çözümü olsu. P; Q C rr olma üzere, (:3) delemii her U çözümü U (z) U (z) P + U (z) Q, z B (z 0 ; ) formuda te bir şeilde ifade edilebiliyorsa, fu ; U g ümesie B (z 0 ; ) da (:3) delemii temel çözümler cümlesi deir (Jódar ve Cortés 000). Teorem. E¼ger (:3) delemii B (z 0 ; ) dai fu ; U g çözüm çifti içi 3 W (U ; U ; z 0 ) 4 U (z 0 ) U (z 0 ) 5 U 0 (z 0 ) U 0 (z 0 ) şelidei W C rr matrisi regüler (düzgü) ise fu ; U g ; B (z 0 ; ) da (:3) delemii temel çözümler cümlesidir (Jódar ve Cortés 000). Lemma.7 A; B ve T ler herhagi idisel fosiyolar olma üzere X A (; ) A (; ) (.4) 0 0 0 X B (; ) T (; ) eşitlileri geçerlidir (Raiville 973). 0 0 B (; + ) (.5) [ X ] T (; ) (.6) 0.3 Gamma ve Beta Fosiyolar Gamma Fosiyou (x) ile gösterile Gamma fosiyou, (x) Z t x e t dt 0 0
geelleştirilmiş itegrali yard m yla ta mla r. Bu fosiyoa geelleştirilmiş fatöriyel fosiyou da deir. Buu içi F (u) Z e ut dt u (.7) 0 itegrali ile ta mlaa fosiyou ele alal m. c > 0 olma üzere bu itegral her c u d solu aral ¼g da ya düzgü ya sat r. (:7) eşitli¼gide u ya göre u türevler alara devam etti¼gimizde, yici türev içi ( ) F () (u) Z eşitli¼gi elde edilir. Bu so eşitlite u al rsa Z t e t dt! Z 0 t e ut dt! u + t (+) e t dt ( + ) 0 0 olur. Burada de¼gerleri pozitif tamsay lar olara al m şt r. Halbui i > ola herhagi bir reel say olmas halide de bu geelleştirilmiş itegral ya sat r. O halde x > ola herhagi bir reel say olma üzere Z x! t x e t dt (x + ) 0 ifadeside görülmetedir i de büyü ola tüm reel say lar fatöriyel de¼gerlerii solu bir reel say olara ta mlama mümüdür. Buda dolay Gamma fosiyou geelleştirilmiş fatöriyel fosiyou olara da adlad r l r. N içi sa¼glaa ( + )! ( )! () eşitli¼gi, tüm x > 0 de¼gerleri içi (x + ) x (x) eşitli¼gie geişletilebilir. Bu özelli yard m yla, Gamma fosiyou içi argümeti herhagi ii tamsay aras dai de¼gerlerie arş l gele souçlar bilimesi halide di¼ger aral lardai fosiyo de¼gerleri olayca hesaplaabilir.
Beta Fosiyou B(x; y) ile gösterile Beta fosiyou, Z B(x; y) t x ( t) y dt ; Re (x) > 0 ; Re (y) > 0 0 geelleştirilmiş itegrali yard m yla ta mlaa ii de¼gişeli bir fosiyo olup Z B(x; y) (si ) x (cos ) y d B(x; y) B(x; y) 0 Z u x 0 ( + u) (x) (y) (x + y) x+y du biçimleride de ifade edilebilir..4 Gamma ve Beta Matris Fosiyolar ve Baz Özellileri (z) ile gösterile Gamma fosiyouu tersi, z omples de¼gişeii (z) fosiyou olup tüm omples düzlemde aaliti yai tam fosiyodur (Hille 969). Bu edele C rr dei herhagi bir P matrisii ters Gamma fosiyou alt dai görütüsüe arş l gele (P ) matrisi iyi ta ml bir matristir. E¼ger, 8 0 tamsay s içi P + I matrisleri regüler ise (P ) matrisii (P ) ile gösterile tersi vard r. Bu edele P (P + I) : : : (P + ( ) I) (P + I) (P ) ; ; ; ::: dir (Hille 969). Gamma ve ters Gamma fosiyou aaliti oldu¼guda fosiyoel matris hesab özellileride dolay P (P + I) : : : (P + ( ) I) (P + I) (P ) ; ; ; ::: (.8) olup, (P ) (P + I) (P ) ; 0; ; ; ::: (.9) şelide de yaz labilir.
Ta m. P C rr matris fosiyou pozitif ararl herhagi bir matris olma üzere Gamma Z (P ) e t t P I dt, t P I exp [(P I) l t] 0 ile verilir ve (P ) matrisi iyi ta ml d r (Jódar ve Cortés 998b). Ta m. P,Q C rr pozitif ararl matrisler olma üzere, Beta matris fosiyou şelide ta mla r (Jódar ve Cortés 998b). Z B (P; Q) t P I ( t) Q I dt (.0) 0 Lemma.8 P; Q C rr pozitif ararl ve de¼gişmeli matrisler olma üzere B (P; Q) B (Q; P ) (.) dir (Jódar ve Cortés 998b). Lemma.9 P; Q; P + Q C rr pozitif ararl ve de¼gişmeli matrisleri içi B (P; Q) (P ) (Q) (P + Q) (.) dur (Jódar ve Cortés 998a). Teorem. P; Q C rr de¼gişmeli matrisleri içi 8 0 tamsay s içi P + I; Q + I; P + Q + I matrisleri regüler olma üzere, B (P; Q) (P ) (Q) (P + Q) eşitli¼gi geçerlidir (Jódar ve Cortés 998a). 3
.5 Hipergeometri Seri ve Hipergeometri Fosiyolar ; ve reel ya da omples sabitler olma üzere + ( + )( + ) x + x + ::: (.3) ::( + ) olara ifade edile seri matematite büyü bir öeme sahiptir. Bu seri +x+x +::: geometri serisii bir geelleştirilmesi oldu¼guda hipergeometri seri ad al r. (:3) ifadeside görülmetedir i, de¼geri s f r ya da egatif bir tamsay olmamal d r. (:3) hipergeometri serisi jxj < içi ya sa, jxj > içi rasat r. jxj oldu¼gu zama > + ise seri mutla ya sat r. x ie > + ise seri ya sat r. Ta m.8 dei eşitli diate al ara, (:3) hipergeometri serisi F (; ; ; x) F (; ; ; x) r0 () r () r x r (.4) () r r! şelide yaz labilir. Bu F fosiyou hipergeometri fosiyo olara adlad r l r. (:4) eşitli¼gide görüle F i alt dai ve alt idisleri serii pay da ve ; paydas da parametrelerii buludu¼guu ifade eder. (:4) eşitli¼gii geelleştirilmiş şeli dir. pf q ( ; :::; p ; ; :::; q ; x) ( ) ( ) :::( p ) x ( ) ( ) :::( q )!.6 Hipergeometri Matris Fosiyolar Bu s mda hipergeometri matris fosiyolar baz özellileri verilmiştir. Ta m.3 C rr dei bir C matrisi, 8 0 do¼gal say s içi C + I matrisleri regüler (.5) oşuluu sa¼glas. Bu C matrisi ve herhagi A; B C rr matrisleri içi F (A; B; C; z) F (A; B; C; z) (A) (B) (C) z! (.6) serisi, jzj < içi ya sat r (Jódar ve Cortés 000). 4
Hipergeometri Matris Diferesiyel Delem A; B; C C rr matrisleri içi (:5) oşulua e olara BC CB (.7) oşulu da sa¼glama üzere z ( z) W 00 zaw 0 + W 0 (C z (B + I)) AW B 0 ; 0 j z j < (.8) şelidei hipergeometri matris diferesiyel delemii diate alal m. F C rr belirleece matrisler olma üzere, bu delemi W (z) F z ; F 0 I, jzj < tipide serisel çözümüü araşt ral m. W (z) i serisel ifadesi ve W 0 (z) F z ; W 00 (z) ( ) F z türevleri, (:8) delemide yerlerie yaz l p, z i uvvetlerii atsay lar 0 matrisie eşitleirse F + (A + I) F (B + I) (C + I) +, 0; ; ; ::: eşitli¼gi yaz labilir. F 0 I oldu¼gu diate al ara, yerie s ras yla 0; ; ; :::; ( ) ; ( ) yaz l r ve gereli düzelemeler yap l rsa F (A + ( ) I) (A + ( ) I) ::: (A + I) AB (B + I) ::: (B + ( ) I) :::: ( ) (B + ( ) I) C (C + I) ::: (C + ( ) I) (C + ( ) I) (A) (B) [(C + ( ) I) (C + ( ) I) ::: (C + I) C]! (A) (B) (C), 0; ; ; :::! olara elde edilir. Bu durumda W (z) (A) (B) (C) z F (A; B; C; z)! şelide olup, W (0) I ve 0 jzj < olma üzere W (z) F (A; B; C; z) hipergeometri matris fosiyou, (:8) delemii bir çözümüdür. 5
Souç.3 A; B; C C rr matrisleri (:5) ve (:7) oşullar sa¼glas. F (A; B; C; 0) I olma üzere F (A; B; C; z) hipergeometri matris fosiyou z ( z) W 00 zaw 0 + W 0 (C z (B + I)) AW B 0 ; 0 jzj < delemii bir çözümüdür (Jódar ve Cortés 998a). Souç.4 pozitif bir tamsay, A C rr herhagi bir matris ve C C rr, (:5) oşuluu sa¼glaya bir matris olma üzere z ( z) W 00 zaw 0 + W 0 (C + z ( ) I) + AW 0 delemi -yici derecede matris poliom çözümlere sahiptir (Jódar ve Cortés 998a). A; B; C C rr matrisleri içi (:5) ve (:7) oşullar a e olara AC CA (.9) oşulu da sa¼glama üzere z ( z) W 00 zaw 0 + W 0 (C z (B + I)) AW B 0 ; 0 < jzj < (.0) şelidei hipergeometri matris diferesiyel delemii diate alal m. Souç.3 de görülmetedir i, bu delemi çözümleride biri W (z) F (A; B; C; z) (A) (B) (C) z, jzj < (.)! hipergeometri matris fosiyoudur. D 0 ; egatif reel ese boyuca esile omples bir düzlem olsu. z I C exp [(I C) l z] ile gösterilme ve V (z) fosiyou belirleece bir fosiyo olma üzere, (:0) delemii W (z) V (z) z I C ; jzj <, z D 0 tipide bir çözümüü araşt ral m. Ayr ca z I C exp [(I C) l z] 6 (I C) l z!
olup, (:7) eşitli¼gide dolay Bz I C z I C B dir. W (z) i ifadesi ve W 0 (z) V 0 (z) z I C + V (z) z C (I C) W 00 (z) V 00 (z) z I C + V 0 (z) z C (I C) V (z) z C I C (I C) türevleri, (:0) delemide yerlerie yaz l rsa z ( z) W 00 (z) zaw 0 (z) + W 0 (z) (C z (B + I)) AW (z) B fz ( z) V 00 + V 0 V 0 C 3zV 0 + zv 0 C zav 0 zv 0 B +V C V C AV + AV C V B V + V CB + V C AV B z I C 0 (.) elde edilir. z D 0 içi z I C exp [(I C) l z] 6 0 oldu¼guu gözöüde buludurara bir a içi V (z) C CV (z) ve V 0 (z) C CV 0 (z) (.3) oldu¼guu varsayal m. Bu durumda (:) eşitli¼gide z ( z) V 00 z (A + I C) V 0 +V 0 [(I C) z (B + I C)] (A + I C) V (B + I C) 0 (.4) delemi elde edilir. Diat edilirse, (:4) delemi, (:0) delemii A A + I C, B B + I C, C I C ola özel bir durumudur. Bu halde, BC CB içi (B + I C) (I C) (I C) (B + I C) sa¼glad ¼g da, (:4) delemii çözümleride biri, (:) eşitli¼gide dolay V (z) F (A + I C; B + I C ; I C; z), 0 < jzj < (.5) 7
şelidedir. Ayr ca (:5) çözümüü bulumas da varsay la (:3) abulüü de do¼grulu¼gu gerçelemiş olur. Bu durumda (:0) delemii W (z) F (A + I C; B + I C ; I C; z) z I C ; 0 < jzj <, z D 0 (.6) tipide bir başa çözümü elde edilmiş olur. Souç.5 A; B; C C rr matrisleri içi (:5) ; (:7) ve (:9) oşullar sa¼glama üzere 0 < jzj < ve z D 0 içi W (z) F (A; B; C; z) W (z) F (A + I C; B + I C ; I C; z) z I C 9 ; (.7) matris fosiyolar, (:0) hipergeometri matris diferesiyel delemii çözümleridir (Jódar ve Cortés 000). E¼ger < olaca şeilde () fz D 0, 0 < j z j < g bölgeside 3 S (z) 4 W (z) W (z) 5 W 0 (z) W 0 (z) blo matrisi regüler ise () bölgeside fw ; W g çifti (:0) delemii temel çözümler cümlesidir (Jódar ve Cortés 000). Teorem.3 A; B; C C rr matrisleri içi (:5) ; (:7) ve (:9) oşullar sa¼glas. Ayr ca 0 < jzj < ve z D 0 içi W ve W, (:7) eşitli¼gi ile verilme üzere () fz D 0, 0 < jzj < g bölgeside (:0) delemii geel çözümü W (z) W (z) P + W (z) Q ; ey P; Q C rr olaca şeilde < pozitif say s vard r (Jódar ve Cortés 000). Hipergeometri Matris Fosiyolarla Ilgili Özelliler Souç.6 i ve j ler do¼gal say lar olma üzere A ii matrisi içi (A) i+j 0 olup, (:) eşitli¼gi i. derecede bir matris poliomdur. 8
Teorem.4 A; B; C C rr pozitif ararl matrisler ve (C) > (A) + (B) olma üzere (:) eşitli¼gi ile ta mlaa seri, jzj içi mutla ya sat r (Jódar ve Cortés 998a). Teorem.5 C rr dei M ve N matrisleri MN NM M ve N M pozitif ararl matrisler 8 0 tamsay s içi N + I regüler matrisler oşullar sa¼glas. Bu durumda her içi 9 > >; (.8) F ( I; M; N; ) (N M + I) (N + I) (N M) (N) eşitli¼gi geçerlidir (Defez ve Jódar 00). Ispat. (:), (:8) ve (:8) eşitlileride (M) (N) (M) (M + I) (N) (N + I) (M) (M + I) (N + I) (N) (M) (N M) (N M) (M + I) (N + I) (N) (.9) dir. Di¼ger tarafta (:0), (:) ve (:) özellilerii ulla lmas yla Z t M+( )I ( t) N M I dt B (M + I; N M) B (N M; M + I) 0 (N M) (M + I) (N + I) (.30) olup, (:9) ve (:30) eşitlileride dolay da 0 (M) (N) (M) olur. (:3) ifadesi F ( (N M) @ Z 0 t M+( )I ( t) N M I dta I; M; N; ) seriside yerie yaz l rsa 9 (N) (.3)
F ( I; M; N; ) X 0 X 0 Z 0 ( I) (M) (N)! ( ) (M) (N M)!! X ( ) t 0! oldu¼gu görülür. > içi ( dir. O halde (M) X ( ) t 0 F ( I; M; N; ) 0 @ Z 0 t M+( )I ( t) N M I dta (N) (N M) t M I ( t) N M I (N) dt ) 0 oldu¼guda, j t j < içi! ( ) t ( t)! 0 Z t M I ( t) ( t) N M I (M) (N M) (N) dt 0 0 @ Z t M I ( t) N M+( )I dta (M) (N M) (N) 0 olup, bu so eşitlite (:0), (:) ve (:) özellileri ulla l l rsa F ( I; M; N; ) B (M; N M + I) (M) (N M) (N) (M) (N M + I) (N + I) (M) (N M) (N) (N M + I) (N + I) (N M) (N) elde edilir. Bu ise isteiledir. Teorem.6 C; D C rr matrisleri içi D pozitif ararl, DC CD ve 8 0 tamsay s içi C + I ve C D + I matrisleri regüler oşullar sa¼glas. Bu durumda jtj < ve 0; ; ::: içi F ( I; D; C; t) ( t) t F I; C D; C; t dir (Defez ve Jódar 00). 0 (.3)
Ispat. jtj < içi Lemma.6 da ( t) 0 i0 ( ) i t i i! dir. Burada ( I) ( ) I oldu¼guda ve yuar dai eşitlite dolay ( t) t F I; C D; C; t X ( t) ( I) (C D) (C) t! t X 0 X 0 ( ) (C D) (C)! i0 ( t) ( ) t ( ) i ( ) (C D) (C) i!! ( ) t i+ olur. ( ) ( + ) i ( ) +i ve > içi ( ) 0 oldu¼gu diate al rsa ( t) t ( ) F I; C D; C; +i (C D) (C) ( ) t i+ t i!! 0 oldu¼gu görülür. (:4) eşitli¼gide dolay eşitli¼gi sa¼g da i yerie (i ) al rsa ( t) t ix ( ) F I; C D; C; i (C D) (C) ( ) t i t (i )!! elde edilir. Burada da ( i) ( ) i! eşitli¼gi ulla l rsa (i )! " ( t) t ix ( ) F I; C D; C; i t i! i0 0 i0 i0 i0 0 # ( i) (C D) (C) t i! ( ) i F ( ii; C D; C; ) t i i! eşitli¼gi buluur. Teorem.5 de ve CD DC oldu¼guu diate al mas yla ( t) t F I; C D; C; t ( ) i (D + ii) (C + ii) (D) (C) t i i! i0 ( ) i (D + ii) (D) (C + ii) (C) t i i! i0 eşitli¼gi yaz labilir. (:6) gösterimi de diate al rsa ( t) t ( I) F I; C D; C; i (D) i (C) i t i F ( I; D; C; t) t i! elde edilir. Bu ise isteiledir. i0
3. CHEBYSHEV MATR IS POL INOMLARI Bu bölümde Chebyshev matris poliomlar ta t ld ta sora bu poliomlar sa¼glad ¼g hipergeometri matris fosiyo, Rodrigues formülü, üç terimli matris reüras ba¼g t s, ortogoalli özelli¼gi verilmiş ve ayr ca bu poliomlar sa¼glad ¼g matris diferesiyel delem bulumuştur (Defez ve Jódar 00). 3. Klasi Chebyshev Poliomlar x ve N olma üzere, iici basamata ( x )y 00 xy 0 + y 0 diferesiyel delemii çözümleride biri T (x) [ X ] ( )! ( )! ( )! (x) ; 0; ; ::: 0 ile gösterile T (x) Chebyshev poliomlar d r. Chebyshev poliomlar, I [ ; ] aral ¼g da!(x) ( x ) a¼g rl fosiyoua göre ortogoal olup, Z ( x ) T (x)t m (x)dx 0 ; 6 m ortogoalli özelli¼gii gerçeler. Di¼ger tarafta bu poliomlar ormu T olup, T Z ( x ) [T (x)] dx d r. Chebyshev poliomlar 8 < : T (x) t do¼gurucu fosiyo ba¼g t s a, D d dx T (x) ( )! ()! ( ; 0 ; 6 0 xt xt + t olma üzere h i x ) D ( x )
Rodrigues formülüe ve T + (x) xt (x) T (x) ; ; ; ::: şelide üç terimli reüras ba¼g t s a sahiptir (Raiville 939). 3. Üstel Matris Fosiyolar Baz Özellileri A, C rr de herhagi bir matris olsu. 0 < t içi t A e A l t dir. Ta m.7 ve Lemma. de dolay Q (x) Q (x) rx (A p r x) 0 rx (I 0! A p r x)! olup, t A e ( A)jl tj Q (jl tj) e (A)jl tj Q (jl tj) e (A) l t Q (jl tj) t (A) Q (jl tj) ; 0 < t t I A e (I A)jl tj Q (jl tj) t (A) Q (jl tj) ; 0 < t (3.) dir. P (x) sabit bir matris poliom olsu ve A matrisi 8 z (A) içi 0 < Re(z) < (3.) özelli¼gii sa¼glas. Bu durumda (3:) ve (3:) eşitlileride dolay eşitlileri sa¼gla r. A ve B matrisleri s ras yla lim x! ( x) A P (x) 0 lim x! +( + x)i A P (x) 0 (3.3) 8z (A) içi Re (z) > ; 8w (B) içi Re (w) > 3
oşullar sa¼glas lar. Bu oşullar alt da itegralide t + x x J B+I J Z döüşümü yap l rsa 4 Z 0 ( + x) B ( x) A dx 3 B A t dt 5 A t + t + ( + t) elde edilir. Bu so itegralde u döüşümü yap l r ve Ta m. uygula rsa + t J B+I B (B + I; A + I) A (3.4) soucu buluur. 3.3 Chebyshev Matris Poliomlar Hipergeometi Matris Fosiyo Gösterimi 8 0 tamsay s içi C + I matrisleri regüler matrisler olma üzere C; D C rr matrisleri içi z ( z) W 00 + W 0 (C zi) + DW 0 ; 0 < j z j < (3.5) şelidei hipergeometri matris diferesiyel delemii diate alal m. (3:5) delemide D I al rsa z ( z) W 00 + W 0 (C zi) + W 0 ; 0 < j z j < (3.6) delemi buluur. Ayr ca Souç.3 de A I ve B I al rsa, yie (3:6) delemi elde edilir. jzj < içi (:8) delemii bir çözümüü F (A; B; C; z) oldu¼gu bilidi¼gie göre A I ve B I al rsa F ( I; I; C; z) hipergeometri matris fosiyou; (3:6) matris diferesiyel delemii bir çözümü olur. (:) Pochhammer sembolüde elde edile 8 >< ( )! ( I) ( ) I ( )! I ; >: 0 ; > (I) ( + )! ( )! I 4 (3.7)
özellileride dolay F ( I; I; C; z) X 0 ( ) ( + )! [(C) ]! ( )! yaz labilir. Bu ifadede [(C) ] i yerie (:9) da elde edile eşiti ulla l rsa F ( I; I; C; z) eşitli¼gi elde edilir. Ta m 3. A C rr matrisi X 0 ( ) ( + )!! ( )! 8z (A) içi 0 < Re(z) < z (C + I) (C) z oşuluu sa¼glas. 8 0 do¼gal say s içi T (x; A); : derecede Chebyshev matris poliomu X ( ) ( + )! T (x; A)! ( )! 0 F I; I; A; x eşitli¼gi ile ta mla r (Defez ve Jódar 00). (A) Uyar 3. (3:8) eşitli¼gide, r içi A al rsa T x; X 0 saler Chebyshev poliomu elde edilir. ( ) ( + )! ( x) ()! ( )! (A + I) ( x) (3.8) (3.9) Aca te dereceli T + (x; A) Chebyshev matris poliomu geelde x e göre te fosiyo, çift dereceli T (x; A) Chebyshev matris poliomu ise geelde x e göre çift fosiyo olmay p bu özelli¼gi ile saler Chebyshev poliomlar a bezemez. 3.4 Chebyshev Matris Poliomlar içi Matris Diferesiyel Delem Teorem 3. 8 0 do¼gal say s içi T (x; A); : derecede Chebyshev matris poliomu x Y 00 + Y 0 ( A + ( x)i) + Y 0 ; jxj < (3.0) matris diferesiyel delemii sa¼glar (Defez ve Jódar 00). 5
Ispat. (3:9) ifadeside dolay d F I; I; A; x 9 T 0 dx (x; A) > d F I; I; A; x 4T 00 dx (x; A) >; (3.) eşitlileri yaz labilir. (:8) delemide A I ve B I al r ve z x de¼gişe de¼giştirmesi yap l rsa, (3:9) ve (3:) eşitlileride dolay T (x; A); : derecede Chebyshev matris poliomuu (3:0) delemii sa¼glad ¼g gösterilmiş olur. Souç 3. 8 0 içi T (x; A) matris poliomu d i hy 0 ( x) ( + x) A ( x) A I + Y ( + x) A ( x) A I 0 ; jxj < dx delemii bir çözümüdür (Defez ve Jódar 00). Ispat. jxj < içi (3:0) eşitli¼gi yap l rsa istee elde edilir. x A + x ile çarp l r ve düzelemeler x 3.5 Chebyshev Matris Poliomlar içi Rodrigues Formülü Lemma 3. E¼ger C C rr de 8 > 0 içi C + I lar tersiir oşuluu sa¼glaya herhagi bir matris ve D s (f(t)) ds f(t) ise dt s D s t C+mI (C + I) m [(C + I) m s ] t C+(m s)i ; 0 s m ; s; m N (3.) dir (Defez ve Jódar 00). Teorem 3. A matrisi (3:) oşuluu sa¼glas. jxj < içi T (x; A), : derecede Chebyshev matris poliomu T (x; A) ( ) [(A) ] ( + x) A ( x) A I D ( + x) A ( x) A I ( x ) Rodrigues formülüü sa¼glar (Defez ve Jódar 00). 6 (3.3)
Ispat. jxj < içi T (x; A) F x eşitli¼gie Teorem.6 uygu- la rsa + x T (x; A) F I; I; A; elde edilir. (:), (3:) ve (3:) eşitlileri yard m yla I; A I; A; x x + (A I) ( ) (I A) [(I A) ] D ( + x) A+I (I A) [(I A) ] D ( x) A+( )I ( ) (A) [(A) ] 0 (x + ) A+( )I A+( )I ( x) yaz labilirler. jxj < içi (3:4) ve (3:5) özellilerii ulla lmas yla X + x ( ) x T (x; A) (A I) (A)! x + 0 X + x x (A I) (A) x + 0 X ( ) (I A) [(I A) ] elde edilir. ispatlam ş olur. ( ) [(A) ] [(I A) ] ( + x) A ( x) I A X 9 > >; (3.4) (3.5) (A) ( x) (x + ) 0 (A) (A) ( x) A+( )I (x + ) ( ) (I A) A+( )I ( ) [(A) ] ( + x) A ( x) A I ( X D ( + x) A+I D ( x) A+( )I) (3.6) 0 (3:6) da çarp m : türevi içi Leibiz ural uygula rsa teorem 3.6 Chebyshev Matris Poliomlar Ortogoalli¼gi Souç 3. de dolay T (x; A), : derecede Chebyshev matris poliomu d ( x) A ( + x) I A d dx dx T (x; A) + ( x) A I (+x) A T (x; A) 0 (3.7) delemii sa¼glar. Ay şeilde T m (x; A), m: derecede Chebyshev matris poliomu da d dx ( x) A ( + x) I A d dx T m(x; A) +m ( x) A I (+x) A T m (x; A) 0 (3.8) 7
delemii sa¼glar. (3:7) delemi T m (x; A) ile (3:8) de T (x; A) ile çarp l p taraf tarafa ç ar l rsa d ( x) A ( + x) I A T m (x; A) d dx dx T (x; A) d dx T m(x; A) m ( x) A I ( + x) A T m (x; A) T (x; A) T (x; A) buluur. Bu eşitli¼gi x de x e adar itegrali al rsa lim x! m Z ( x) A I ( + x) A T m (x; A) T (x; A) dx ( x) A ( + x) I A T m (x; A) d lim x! +( x)a ( + x) I A dx T (x; A) T m (x; A) d dx T (x; A) d dx T m(x; A) d dx T m(x; A) T (x; A) T (x; A) (3.9) elde edilir. Bu işlem yap l re T m (x; A) ve T (x; A) matris poliomlar çarp m de¼gişmeli oldu¼gua diat edilmelidir. Burada bir matris poliom ve P (x) T m (x; A) d dx T (x; A) d dx T m(x; A) T (x; A) lim x! d r. (3:3) ve (3:0) özellileri ulla l rsa ( + x) I A I A ; lim x! +( x)a A (3.0) lim x! ( x) A ( + x) I A P (x) 0 ; lim x! +( x)a ( + x) I A P (x) 0 (3.) eşitlileri yaz labilir. Böylece (3:9) ve (3:) de yararla ld ¼g da, T (x; A) lar Z ( x) A I ( + x) A T m (x; A) T (x; A) dx 0 ; 6 m özelli¼gi bulumuş olur. Ortogoalli özelli¼gii tamamlamas içi, so olara, Z J ( x) A I ( + x) A T(x; A) dx 8
itegralide (3:3) gösterimi ulla l r ve bir ez smi itegrasyo yap l rsa, bu itegral J ( ) [(A) ] Z T (x; A) D ( + x) A ( x) A I ( x ) dx ( ) [(A) ] T (x; A) D ( + x) A ( x) A I ( x ) x x 9 Z T(x; 0 A) D ( + x) A ( x) A I ( x ) dx (3.) ; şelie döüşür. j olma üzere (3:3) de dolay lim x! D j ( + x) A ( x) A I ( x ) (j ) T (x; A) 0 lim x! +D j ( + x) A ( x) A I ( x ) T (j ) (x; A) 0 buluabilirler. (3:) ve (3:3) eşitlilerii ulla lmas yla J itegrali içi J ( ) [(A) ] Z 9 > T 0 (x; A) D ( + x) A ( x) A I ( x ) dx ifadesi elde edilir. Ayr ca (3:8) ile (:9) eşitlileri ulla l rsa T () (x; A) ( )! (A) de¼geri elde edilir. (3:4) itegralie ( (A + I) ( )! [(A) ] >; (3.3) (3.4) (3.5) ) ez daha smi itegrasyo uygula r ve (3:3) özellileride yararla l r ve de (3:5) ve (3:4) ifadeleri ile Lemma.9 ulla l rsa J [(A) ] Z ( )! [(A) ] ( )! [(A) ] T () (x; A) ( + x) A ( x) A I ( x ) dx Z ( A + ( + )I) (A) ( + x) A+I ( x) A+( )I dx A+(+)I A+( )I B ( A + ( + )I; A + I) (A + I) ; ; ; ::: soucu buluur. Ayr ca 0 içi T 0 (x; A) I olup, Lemma.9 da dolay J 0 J 0 Z ( x) A I ( + x) A T 0 (x; A) dx ( A + I) (A) 9
oldu¼gu görülür. Bu souçlarda dolay aşa¼g dai teorem verilebilir: Teorem 3.3 C rr dei A matrisi 8z (A) içi 0 < Re(z) < oşuluu sa¼glas. Bu tadirde Chebyshev matris poliomlar Z ( x) A I ( + x) A T m (x; A) T (x; A) dx 8 0 ; 6 m >< ( A + I) (A) ; m 0 >: ( A + ( + )I) (A) (A + I) ; m 6 0 ortogoalli özelli¼gii sa¼glar (Defez ve Jódar 00). Souç 3. Teorem 3.3 de dolay ft (x; A)g N Chebyshev matris poliomlar [ ; ] aral ¼g da W (x; A) ( x) A I ( + x) A matris a¼g rl fosiyoua göre ortogoaldir. Ayr ca T (x; A) Chebyshev matris poliomuu başatsay s 0 ( )! içi I matrisi, > 0 içi (A) (A + I) matrisidir. ( )! 3.7 Chebyshev Matris Poliomlar içi Üç Terimli Matris Reüras Ba¼g t s : derecede herhagi bir Q(x) matris poliomu, Chebyshev matris poliomlar ciside seriye aç labilir. Yai Q(x) X T (x; A) ; C rr (3.6) 0 şelide yaz labilir. Teorem 3.3 de ve (3:6) eşitli¼gide dolay, e¼ger P (x); : derecede daha düşü dereceli herhagi bir matris poliom ise, o zama Z P (x) ( x) A I ( + x) A T (x; A) dx 0 eşitli¼gi yaz labilir. (3:6) seriside dolay, olma üzere ( + ): derecede ( x) T (x; A) matris poliomu X+ ( x) T (x; A) T (x; A) (3.7) 30 0
şelide seriye aç labilir. Teorem 3.3 de dolay 8 < ( A + I) (A) ; 0 H : ( A + ( + )I) (A) (A + I) ; > 0 olup Z ( x) T (x; A) ( x) A I ( + x) A T (x; A) dx elde edilir. Bu eşitlite dolay < 8 0 ; + < >< H ; H ; >: + H + ; + içi 0 olup, (3:7) ifadesi ( x) T (x; A) + T + (x; A) + T (x; A) + T (x; A) (3.8) şelide yaz labilir. 0 içi H matrisii tersiir oldu¼gu diate al r ve (3:7) eşitli¼gi ulla l rsa, atsay lar içi, 4 Z ( x) T (x; A) ( x) A I ( + x) A T (x; A) dx5 H elde edilir. (3:9) ifadesi yard m yla (3:8) eşitli¼gii her ii ya da ( x) i s ras yla ( + ):; :; ( + olara buluurlar. ): uvvetlerii atsay lar eşitleirse, ard ş atsay lar, A + I + A I + I) (A + ( )I) + (A ( + ) + ; ve + atsay lar, (3:8) ba¼g t s da yerlerie yaz l rlarsa ( )( ) T (x; A) + (A + ( )I) (A + ( )I) ( 3) + ( )(A + ( )I) ( x) I T (x; A) ( )( ) + ( )I (A + ( )I) (A + ( )I) T (x; A) ( 3) 0 ; ; 3; ::: üç terimli matris reüras ba¼g t s elde edilir (Defez ve Jódar 00). 3 3
4. GEGENBAUER MATR IS POL INOMLARI Bu bölümde Gegebauer matris poliomlar ta t lm şt r. Burada Gegebauer matris poliomlar hipergeometri matris fosiyo gösterimleri ve Gegebauer matris diferesiyel delemi elde edilmiştir. Ayr ca Gegebauer matris poliomlar ortogoalli özelli¼gi verilmiştir. 4. Klasi Gegebauer Poliomlar x ve N olma üzere iici basamata ( x )y 00 ( + )xy 0 + ( + )y 0 diferesiyel delemii çözümleride biri [ X ] C(x) ( ) ()! ( )! (x) ; 0; ; ::: 0 ile gösterile C (x) Gegebauer poliomlar d r. Gegebauer poliomlar, I [ ; ] aral ¼g da!(x) ( x ) a¼g rl fosiyoua göre ortogoal olup, Z ( x ) C (x)c m(x)dx 0 ; 6 m ortogoalli özelli¼gii gerçeler. Öte yada, bu poliomlar ormu C olup, C Z ( x ) C (x) dx dir. Gegebauer poliomlar ( + ) ( + ) () ( + ) C(x)r ( do¼gurucu fosiyo ba¼g t s a, D d dx xr + r ) olma üzere ( x ) C (x) ( ) ()! ( + ) D x + 3
Rodrigues formülüe ve C (x) ( + )xc (x) ( + )C (x), ; 3; ::: şelide üç terimli reüras ba¼g t s a sahiptir (Raiville 973). 4. Gegebauer Matris Poliomlar Hipergeometri Matris Fosiyo Gösterimleri C rr dei herhagi bir A matrisi 8z Z + [ f0g içi z (A) oşuluu sa¼glas. C A (x) Gegebauer matris poliomlar aşa¼g dai matris do¼gurucu fosiyou yard m yla ta mla r (Jódar vd. 995 ve Sayyed vd. 004): F (x; t) ( xt + t ) A C A (x)t : (4.) Yuar dai F (x; t) matris fosiyouda jxt t j < içi s ras yla (:) ve özellileri ulla l rsa 0 X A(; ) ( xt + t ) A 0 [ X ] A(; ) 0 (A) (xt! X (A)! [ X ] 0 t ) (xt) ( t ) ( ) (A) ( )!! (x) t (4.) elde edilir. (4:) ve (4:) eşitlileride t i atsay lar eşitlemesiyle C A (x) [ ] X 0 ( ) (A) ( )!! (x) (4.3) Gegebauer matris poliomlar içi toplamsal gösterim elde edilmiş olur. (4:3) te C A (x) i x e göre : derecede bir matris poliom oldu¼gu aç t r. (4:) eşitli¼gide x yerie ( x) ve t yerie ( t) al rsa ( xt + t ) A 33 ( ) C A ( x)t
elde edilir i bu eşitli ile (4:) eşitli¼gii sol tara ar ay olup sa¼g tara ar da ay olmal d r. Bu yüzde dolay dir. (4:) de x al rsa C A ( x) ( ) C A (x) (4.4) ( t) A C A ()t olup, bu eşitli¼gi sol taraf da (:) serisi ula l lara, t i atsay lar eşitlemesiyle elde edilir. (4:) de x 0 al rsa C A () (A)! ( + t ) A C A (0)t olup, bu eşitli¼gi sol taraf da (:) serisi ula l lara, t i atsay lar eşitlemesiyle C A (0) ( ) (A)! ; C A +(0) 0 oldular görülür. (:) de verile Pochhammer özelli¼gii ulla lmas yla ve [(A) ] [(A) ] A + I (4.5) (A) + (A) (A + I) (4.6) yaz labilirler. F (x; t) ( ( xt + t ) A xt + t ) A i A t(x ) ( ( t) t) A ifadesi diate al p, eşitli¼gi sa¼g ya da s ras yla (:) ve (4:6) özellileri ulla l rsa C A (x)t (A) t (x ) ( t) A! ( t) 0 (A) t (x! 0 34 ) ( t) (A+I)
(A) (A + I) t + (x )!! 0 (A) [(A) ] (A) + t + (x )!! 0 eşitli¼gi elde edilir. Bu so eşitli¼ge s ras yla (4:5) ve (:4) özellileri uygula r ve (3:7) özelli¼gide yararla l rsa C A (x)t 0 0 (A) (A + I) [(A) ] X (A + I)! ( )! (A)! (A) F! X 0!! (A)+ t x ( I) (A + I) A + I! I; A + I; A + I ; (A) + t + x x x t t elde edilir i, burada t i atsay lar eşitlemesiyle C A (x) leri C A (x) (A) F! I; A + I; A + I ; x (4.7) ifadesi buluur. (4:7) eşitli¼gie, (4:4) özelli¼gii uygulamas yla C A (x) leri C A (x) ( ) (A) F! I; A + I; A + I ; + x ile verile başa bir gösterimi elde edilmiş olur. Gegebauer matris poliomlar içi başa hipergeometri matris fosiyo gösterimleride elde edilebilir. Buu içi aşa¼g dai eşitlilerde yararla lm şt r. (:) dei Pochammer özelli¼gii ulla lmas yla ( )! I ( I) ; 0! I ( )I ( I) eşitlileri yaz labilir. C A (x) i (4:3) dei ifadeside yuar dai ii özelli¼gi ulla l- 35
mas yla [ X ] ( C A (x) (x) I) ( ) (A) [(A + ( )I):::(A + ( )I)]!! 0 [(A + ( )I):::(A + ( )I)] (x) [ (x) ] I ( )I X (A) [(I A I) ]!! 0 (x) I (A) F! ; ( )I ; I A I; x x Gegebauer matris poliomlar başa bir gösterimi buluur. Şimdi de ( xt + t ) A t (x A ) ( ( xt) xt) A eşitli¼gii sa¼g taraf da s ras yla (:), (:6) ve (4:5) eşitlilerii ulla lmas yla, C A (x) ler içi C A (x)t (A) t (x ) ( xt) A! ( xt) (A) t (x ) ( xt) (A+I)! (A) (A + I) t (x ) (xt)!! 0 (A) [(A) ] [(A) ] (A + I)!! 0 0 0 0 (A + I) (A)+!! t (x t (x [ X ] ( A + I ) (A)! ( )! (x ) x 0 ) (xt) ) (xt) t eşitli¼gi elde edilir i, burada t i atsay lar eşitlemesiyle [ ] X A + I C A (x) (A)! ( )! (x ) x (4.8) 0 toplamsal gösterimi bulumuş olur. Aşa¼g dai eşitli¼gi sol taraf da C A (x) i (4:8) 36
dei de¼geri yerie oulur ve (:6) gösterimi ulla l rsa (A) C A (x)t (xt)! e xt F 0! A + I ; A + I ; t (x ) 4 t (x ) Gegebauer matris poliomlar içi matris do¼gurucu fosiyou buluur (Sayyed vd. 004). 4 4.3 Gegebauer Matris Poliomlar içi Matris Diferesiyel Delem ve Reüras Ba¼g t lar (4:) eşitli¼gide ifadesi verile F (x; t) i x e göre türevi al rsa @F @x olur. Ay F (x; t) i t ye göre türevi al rsa t AF (4.9) xt + t @F @t x t AF (4.0) xt + t olur. (4:9) ve (4:0) delemleri birlite düşüülürse F matris fosiyouu (x t) @F @x t @F @t 0 smi türevli matris diferesiyel delemii sa¼glad ¼g görülür. yuar dai delem aç olara xdc A (x)t X DC A (x)t + X C A (x)t 0 (4:) de dolay, şelide yaz labilir. Burada iici toplamda yerie ( ) yaz l r ve DC A 0 (x) 0 (sabiti türevi) oldu¼gu diate al r ve de t i atsay lar eşitleirse xdc A (x) DC A (x) C A (x) 0 ; (4.) türevli reüras ba¼g t s elde edilmiş olur. (4:9) ve (4:0) delemleri, (4:) eşitli¼gi yard m yla xt + t A( xt + t ) A x t xt + t A( xt + t ) A 37 DC A (x)t (4.) C A (x)t (4.3)
olara yaz labilirler. t t(x t) xt + t oldu¼gu diate al p, (4:) eşitli¼gi ( t ) ile (4:3) de (t) ile çarp l p, taraf tarafa ç ar l rsa A( xt + t ) A t X DC A (x)t t C A (x)t elde edilir. Bu eşitli¼gi sol taraf da (4:) özelli¼gi ulla l r ve gereli düzelemeler yap l rsa X A C A (x)t DC A (x)t DC A (x)t + C A (x)t buluur. Bu eşitli¼gi sa¼g taraf dai birici toplamda yerie ( + ), iici toplamda yerie ( ) al mas yla A C A (x)t DC+(x)t A X DC A (x)t C A (x)t ifadesi yaz labilir. Burada il ii toplamda il terimler ayr yaz l r ve DC0 A (x) 0 ile AC0 A (x) DC A (x) oldu¼gu diate al r ve de t i atsay lar eşitleirse (A + I)C A (x) DC+(x) A DC A (x) ; (4.4) reüras ba¼g t s buluur. (4:) ve (4:4) reüras ba¼g t lar da dolay xdc A (x) DC+(x) A (A + I)C A (x) (4.5) ulaş l r. (4:5) te yerie ( ) al r ve ba¼g t da DC A (x) yerie (4:) dei de¼geri yerie yaz l rsa (x )DC A (x) xc A (x) (A + ( )I)C A (x) (4.6) Gegebauer matris poliomlar içi türev içere bir reüras ba¼g t s bulumuş olur. (4:) eşitli¼gi (x ) ile çarp l p, (4:6) reüras ba¼g t s dai (x )DC A (x) ve (x )DC A (x) ifadeleri yerie yaz l rsa C A (x) (A + ( )I)xC A (x) (A + ( )I)C A (x) ; (4.7) di¼ger bir reüras ba¼g t s elde edilmiş olur. (4:) eşitli¼gi A( xt + t ) (A+I) 38 DC+(x)t A (4.8)
şelide düzeleebilir. Ayr ca (4:) özelli¼gii ulla lmas yla A( xt + t ) (A+I) AC A+I (x)t (4.9) olara yaz labilir. (4:8) ve (4:9) eşitlileride t i atsay lar eşitlemesiyle DC A + AC A+I (x) olup, yerie ( ) al mas yla DC A AC A+I (x) (4.0) elde edilir. 0 r içi (4:0) i r defa uygulamas yla D r C A r (A) r C A+rI r (x) türev içere başa bir reüras ba¼g t s buluur. Şimdi Gegebauer matris poliomlar içi matris diferesiyel delem buluacat r. (4:5) eşitli¼gide yerie ( ) al p, x e göre türevi al rsa xd C A (x) D C A (x) (A + I)DC A (x) (4.) elde edilir. Ayr ca (4:) de x e göre türevi al rsa xd C A (x) D C A (x) ( )DC A (x) 0 (4.) ba¼g t s buluur. (4:) özelli¼gide D C A (x) yerie (4:) delemidei ifadesi ve DC A (x) yerie de (4:) ba¼g t s dai ifadesi yaz l rsa ( x )D C A (x) (A + I)xDC A (x) + (A + I)C A (x) 0 (4.3) Gegebauer matris poliomlar içi matris diferesiyel delemi elde edilmiş olur (Sayyed vd. 004). 4.4 Gegebauer Matris Poliomlar Ortogoalli¼gi Bu s mda Gegebauer matris poliomlar ortogoalli özelli¼gi ispatlam şt r. A matrisi C rr de pozitif ararl bir matris olsu. (4:3) eşitli¼gi ( x ) A I ile çarp l rsa h i D ( x ) A+ I DC A (x) + ( x ) A I (A + I)C A (x) 0 (4.4) 39
delemi elde edilir. Bezer şeilde C A m(x) içi (4:4) eşitli¼gide dolay h i D ( x ) A+ I DC A m (x) + m( x ) A I (A + mi)c A m (x) 0 (4.5) delemi de yaz labilir. (4:4) delemi C A m(x) ile (4:5) de C A (x) ile çarp l p, taraf tarafa ç ar l rsa h i D ( x ) A+ I DC A (x) Cm(x) A h i D ( x ) A+ I DCm(x) A C A (x) ( x ) A I (A + I)C A (x)c A m(x) + m( x ) A I (A + mi)c A m (x)c A (x) (4.6) ifadesi buluur. C A (x) ve C A m(x) matris poliomlar çarp mlar de¼gişmeli oldu¼gua diat edilirse h D ( x ) A+ I C A m (x)dc A (x) h i D ( x ) A+ I DC A (x) Cm(x) A DC A m(x)c A (x) i h i D ( x ) A+ I DC A m (x) C A (x) olup, bu eşitli yard m yla (4:6) eşitli¼gi (m )(A + ( + m)i)( x ) A I C A m(x)c A (x) h D ( x ) A+ I C A m (x)dc A (x) DC A m(x)c A (x) i şelide yaz labilir. Ayr ca m ve egatif olmaya tam say lar ve A pozitif ararl bir matris oldu¼guda A + ( + m)i 6 0 d r. Bu durumda her ii taraf de + e adar itegrali al rsa Z ( x ) A I C A m (x)c A (x)dx 0 ; m 6 (4.7) d r (Sayyed vd. 004). Bu durumda, A matrisi C rr de bir pozitif ararl matris olma üzere Gegebauer matris poliomlar ( x ) A I a¼g rl fosiyoua göre ( ; ) aral ¼g da ortogoal matris poliomlard r. m 6 0 içi (4:7) özelli¼gide dolay Z ( x ) A I C A m (x)dx 0 ; m 6 0 40
eşitli¼gi yaz labilir. (4:7) ba¼g t s ( x ) A I C A (x) ile çarp l p, ( ; ) aral ¼g da itegrali al r ve (4:7) özelli¼gi ulla l rsa Z ( x ) A I C A (x) Z dx (A+( )I) x( x ) A I C A (x)c A (x)dx (4.8) gösterimi elde edilir. Yie (4:7) eşitli¼gide ( ) yerie yaz l r ve ( x ) A I C A (x) ile çarp l p, ( ; ) aral ¼g da itegrali al r ve (4:7) özelli¼gi ulla l rsa Z (A+I) x( x ) A I C A (x)c A (x)dx (A+( )I) ( x ) A I C A Z (x) dx (4.9) eşitli¼gi buluur. Böylece (4:8) ve (4:9) gösterimlerii birlite düşüülmesiyle Z ( x ) A I C A (x) dx (A + I) (A + ( )I)(A + ( )I) ( x ) A I C A Z (x) dx (4.30) eşitli¼gi yaz labilir. de¼geri içi (4:30) eşitli¼gide s ras yla ( ); ( ); :::; yaz l rsa Z ( x ) A I Z ( x ) A I C A (x) dx (A + ( )I) (A + ( )I) (A + ( )I) Z :::::::::::::::::::::::::::::::: C A (x) dx (A + I) A:A gösterimleri buluur i burada gereli sadeleştirmeler yap l rsa Z ( x ) A I C A (x) dx ( x ) A I C A 0 (x) dx Z ( x ) A I C A (x) dx! (A + I) A(A) 4 Z ( x ) A I C A 0 (x) dx