Ders ormllrı Doç. Dr. Frk ILDIIM BÖLÜM-- KÜE
4. ELİPOİDİN EİNE KÜE KULLANILMAI Küre kllnımı şğıdki drmlr için söz konsdr.. eryüzünün üyük ir kesimi küçük ölçekli coğrfi hritlr içiminde gösterilmek istenirse; B drmd hritdn lınck değerlerin hsssiyeti, hesplm yüzeyinin elipsoid yerine küre kllnılmsınd orty çıkck frklrdn çok dh düşüktür. Örneğin /000000 ölçekli hritd mesfe 80m hsssiyetle oknr. Küre kllnımındn doğn frk ise değerden düşüktür.. Jeodezik mçlrl elli ir üyüklüğü geçmeyen jeodezi-i, syf:9, cetel,, sınır değerlerine kınız ir yeryüzü prçsınd yerin şekli hesp kolylığı çısındn küre lınır.. erin şekli yty dtm hesplmlrınd elipsoid olrk lınır. B yüzeydeki hesplmlrın yorc e krışık olmsı dolyısıyl zı hesplmlr örneğin; nirengi üçgen hesplmlrı, kısımd elipsoide çok ykın yüzey oln G MN yrıçplı küre üzerinde ypılır. Anck günümüz teknolojisiyle rtık geçiş işlemi pek kllnılmz. JEODEZİ I F. ILDIIM
4.. Elipsoidin Tmmı erine Kürenin Kllnılmsı ypılır. Elipsoid e küre merkezleri çkışık olmlı, küre yrıçpı için şğıdki kller Elipsoid yrıeksenlerinin ortlmsı; =+/ Elipsoidin hcmine eşit; V e 4 /, V k 4 /, Elipsoidin lnın eşit: F e 4 e e / 7e Elipsoidle rsındki mesfelerin krelerinin toplmı minmm oln küre meridyenler üzerinden yüzey üzerinden / e 4 4 /5 4e /0 7e 4 5 e e / 7..., F k /04... / 4 7e 4 / e 4 4 / 4 7e /0 0e / 5... /80... AIAL UGULAMA - 0 JEODEZİ I F. ILDIIM
4.. Elipsoidin Küçük Prçlrı erine Kürenin Kllnılmsı Elipsoidin tmmını temsil eden küre; zı enlemlerde elipsoide ykın, zı enlemler de elipsoidden üyük ölçüde zklşilir. Dolyısıyl elli ir ölgede ypılck jeodezik ölçmeler için, sdece o ölgede elipsoide en iyi yn kürenin lınmsı dh ygn olr. B hlde elipsoid e küre merkezlerinin çkışık olmsı şrtı rnmz. Ölçü ölgein ortsınd her iki yüzeyin en z ir ortk noktsının olmsı e noktdki yüzey normllerinin çkışmsı yeterlidir. Jeodezi yglmlrınd elipsoidin küçük prçlrının yerine oldner e Gss küreleri kllnılmktdır. JEODEZİ I F. ILDIIM 4
Ölçü ölgei ortlyn B 0 enlemi P 0 P 0 Elipsoid N yrıçplı oldner küresi oldner Küresi P 0 noktsındki neğrilik yrıçpı N 0 kürenin yrıçpıdır e P 0 enlemi oync her iki yüzeyin normlleri çkışık Küre, P 0 dn geçen prlel dire oync elipsoide teğet e prlel dire dışınd elipsoidi kesmez. Küre elipsoidi tmmen içine lır. dece B 0 = 0 enlemi mhfz edilir. Elipsoid e küre oylm frklrı d ynen mhfz edilir. B 0 = 0 enlemi dışınd diğer prlellerin yrıçplrı küreye üyütülerek ktrıldığı için, n prlelden zklştıkç kllnım lnını sınırlr Gss Küresi Küre P 0 noktsınd elipsoidle ortk ir nokty shiptir e P 0 noktsınd her iki yüzeyin normlleri çkışık Küre yrıçpı M 0 N 0 / dir. Küre, meridyen yönünde elipsoidin dışınd, meridyene dik yönde ise elipsoidin içinde klmktdır. Küre ile elipsoid P 0 noktsınd ynı eğrilik ölçülerine shiptirler e rd soldner küree nzrn elipsoidle dh iyi ir ym göstermektedir. JEODEZİ I F. ILDIIM 5
P 0 B 0 = 0 P 0 oldner Küresi Küre elipsoidi tmmen içine lır. Gss Küresi Küre, meridyen yönünde elipsoidin dışınd, meridyene dik yönde ise elipsoidin içinde klmktdır. JEODEZİ I F. ILDIIM
4.. Hesp Bölgein ınırlılığı Fiziksel yeryüzünde eğri oln çekül doğrltlrı yerine elipsoidin yüzey normllerinin lınmktdır. Bnlr d ykırı doğrlrdır e gerçek çekül doğrltlrı ile ir çı ypmktdırlr. Elipsoidin yerine küre kllnılırs yüzey normellerinde ki ykırılıkt ortdn klkcktır. Bütün kller küre üzerinde ypılck jeodezik hesplrı üyük ornd kllnılmz hle getirir. Hesp ölgein sınırlı ttlmsı skınclrı ortdn kldırır. Dolyısıyl jeodezik mçlrl yerin tmmı yerine tek ir kürenin kllnılmsı yerine, yeryüzünün sınırlı prçlrı için küre kllnılilir. Gss ey oldner Kürein P 0 noktsındn itiren nereye kdr kllnılileceğinin tyini için znlk e doğrlt deformsyonlrının irdelenmesi gerekir. Gss mx 4 mx e Küresi 4 e B M N 0 B e 0 0 0 B M N 0 mx 0 0 oldner mx mx JEODEZİ I F. ILDIIM 7 Küresi N 0 0 4 N 0 0 0 tn B N tn B 0 0 N AIAL UGULAMA - 0 0
5. KÜEEL HEAPLAMALA 5.. Küresel Ekses e Aln İlişkisi A C B' Ektor-Ktp Üçgeni B O O Ektor A' C' ABC küresel üçgeninin iç çılrının toplmını lmk için ikigenlerinin lnlrı toplnırs F + F + F = + + ABC küresel üçgeninde üç ikigenin lnlrının toplmınd kürenin yrı lnı e fzldn küresel üçgenin F lnının iki ktı rdır F + F + F = +F + + = +F + + - = F / = F / JEODEZİ I F. ILDIIM 8
5.. Kürede Meridyen e prlel dire yyı hesı =Küre yrıçpı e =Herhngi ir enlemde prlel dire yrıçpı O e e C B A D Meridyen yyı prçsı AB = Prlel dire yyı prçsı CD = e Cos AIAL UGULAMA- JEODEZİ I F. ILDIIM 9
5.. Küresel Ekses Aln ilinmiyors e <0"ise ekses hesı için düzlem üçgen kllnılilir. Nirengi ğlrı mx 00 km için ekses değerin ltınddır. = / iki kenr e rlrındki çı iliniyors = / üç çı e herhngi ir kenr iliniyors = c / + iki çı e ir kenr iliniyors = ++ -80 B c AIAL UGULAMA - A C JEODEZİ I F. ILDIIM 0
5.4. Küresel Üçgen Çözümü B Küresel üçgen formülleri Kotnjnt cos III cos II = III cot I II cot IV inüs / = / = c / Kenr koüs cos = cos cosc + c cos Açı koüs cos = -cos cos + cos Üç çısı e ir kenr iliniyors A c C inüs teoremi; =rc /, c=rc /, Üç kenrı iliniyors Üç çısı iliniyors Kenr koüs teoremi; Açı koüs teoremi; =rccoscos-coscosc/c =rccoscos +cos cos / =rccoscos-cosccos/c =rccoscos +cos cos / =rccoscosc-coscos/ c=rccoscos +cos cos / İki kenr e rlrındki çı iliniyors Kenr koüs e kotnjnt teoremi; c=rccoscoscos +cos =rctn / cot-coscos =rctn / cot-coscos JEODEZİ I F. ILDIIM
İki kenr e nlrdn irinin krşısındki çı iliniyors inüs e neper teoremi; =rc/ B =rctn-/cot-/ / +/ c =rctn+/tn-/ / -/ İki çı e rlrındki kenr iliniyors Açı koüs e kotnjnt teoremi; =rccos-coscos+cosc =rctnc / cosccos + cot =rctnc / cosccos + cot A c C İki çı e nlrdn irinin krşısındki kenr iliniyors inüs e neper teoremi; =rc/ c =rctn+/tn-/ / -/ =rctn-/cot-/ / +/ JEODEZİ I F. ILDIIM
5.5. Küresel Üçgen Özel Çözüm Neper formülleri, Ehlert formülleri; Üçgen elemnlrının 0,90,80 ye ykın olmsı hlinde e ilgisyr ile progrmlmd tercih edilir. Hesp mkinesi ile çözüm formüller zn oldğ için önerilmez. B yöntemlerde erilen üçgen elemnlrının ortlmlrı e frklrının kllnıldığı Gss rımçı Formülleri kllnılır. İki kenr e rlrındki çı iliniyors,c, Neper; rc c cos rctn cos cos rctn cos,, rctn cot rctn cot cos cot cot c z rctn n z rctn n rctn z n Ehlert; z rctn n z z c cos cos, c cos, z rctn n n n z n cos c c JEODEZİ I F. ILDIIM
İki çısı e rlrındki kenr iliniyors,, Neper; Ehlert; cos rctn cos cos c rctn cos rc cos,, tn rctn tn rctn cos cos tn tn c z n z rctn n z rctn n rctn z z n n cos, cos cos, z rctn n z rctn n z n cos AIAL UGULAMA - 4 JEODEZİ I F. ILDIIM 4
5.. Küresel Dik Üçgen Çözümü Neper Krlı Bir elemnın coüsü kendie komş olnlrın kotnjntlrı çrpımın komş olmynlrın üsleri çrpımın eşittir. Dik kenrlr hesplmd / den çıkrtılır. Verilen: Hipotenüs e ir çı p=rcs q=rctntns cos =rctn/coss tn p B s Verilen: Dik Kenrlr s=rccoscosp cosq =rctntnp / q A q C =rctntnq / p AIAL UGULAMA - 5 JEODEZİ I F. ILDIIM 5
5.7. Küresel Üçgenlerin klşık Çözüm ollrı Legendre Teoremi B c c A B * * * C A C AIAL UGULAMA - Legendre Teoremi : Küresel üs formülünün sğ trfı seriye çılır, düzlem coüs teoremi e düzlem üçgen lnı formülleri ekse ln ilişkisi ile dikkte lınır. / / / / küre düzlem...... * cot * cot cot cot in-/ tylor serie çılırs ykrıdki eşitliğin sol trflrı elde edilir. O hlde ilk ştki düzlem eşitlik sonc çıkr. B ise düzlem üçgende çı e kenrlr rsındki ğıntıyı gösteren üs teoremidir. B demektir ki; küresel çılr ekse üçte iri kdr küçültülürse, küçük küresel üçgenler eşit kenrlı düzlem üçgenler gii hesplnilir. * = - /, * = - /, * = - / JEODEZİ I F. ILDIIM
JEODEZİ I F. ILDIIM 7 5.7. Küresel Üçgenlerin klşık Çözüm ollrı Additment Metod AIAL UGULAMA - C B A ' ' C B A c Additment metod : İki çısı küresel üçgenin çılrın eşit oln e kenrlrı rsınd; Küresel e düzlem üçgen üs teoremleri iririne eşit lınır e küçük çılrın trigonometrik fonksiyonlrı seriye çılırs İlişkisi lnn düzlem üçgen kllnılır............. / / düzlem küre
. KÜEEL KOODİNAT İTEMLEİ.. Uzy Dik e Coğrfi Koordint istemi z z p P, Coğrfi den Uzy Dik Koordint Hesı Verilenler: P,, İstenenler: Px, y, z x cos cos y cos z x 0 0 y p Ektor x p y Uzy Dikden Coğrfi Koordint Hesı Verilenler: Px, y, z, İstenenler: P, rctn y / x rctn z / x y AIAL UGULAMA - 7 JEODEZİ I F. ILDIIM 8
.. Küresel Jeodezik Dik Koordint istemleri P 0 P n y m P Bir meridyeni Ess Aln Küresel Dik Koordint istemi x m,y m y x m x y e x e Ektor Ektor Ess Aln Küresel Dik Koordint istemi x e,y e P 0 Herhngi Bir Büyük Direyi Ess Aln Küresel Dik Koordint istemi x,y JEODEZİ I F. ILDIIM 9
An meridyen =it Merdiyen isteminde Jeodezik Temel Prolem Çözümü F ' P F P 0 P Ektor D P n D' Ektor P 0 =it P D. JTP Çözümü Verilenler: P,,,, İstenenler: P,,. JTP Çözümü Verilenler: P,, P,, İstenenler:,, JEODEZİ I F. ILDIIM 0 P s
Merdiyen isteminde Kplı küresel Formüllerle Jeodezik Temel Prolem Çözümü Koüs e kotenjnt formülleri. JTP Çözümü rc cos cos rctn cot cos cos tn rctn cos cos Koüs e kotenjnt formülleri. JTP Çözümü rccos cos cos cos rctn cos tn cos rctn tn cos cos 0 ise son iki formülde prntez içleri geçerlidir. π/ 'ler için Kotnjnt ; cos III cos II = III cot I II cot IV Kenr koüs; cos = cos cosc + c cos AIAL UGULAMA - 8 JEODEZİ I F. ILDIIM
JEODEZİ I F. ILDIIM Merdiyen isteminde eri Formüllerle Jeodezik Temel Prolem Çözümü / / cos cot tn, cos sec, cos cos.jtp çözümü için eri formüller küresel üçgen koüs, üs e neper formüllerinden, e znlklrının çı krşılıklrı küçük oldğndn şğıdki semollerle seri çözüm, cos,,,,,, m m i i i i, e ykrıdki kısltmlrl hriç ilk iki terime kdr seriye çılırs............... cos cos 5 5 Tr Tr...cos...... cos sec 5 5 Tr Tr 4 4,,,......... 4... 4, sec tn tn Tr Tr Tr Tr m m m
JEODEZİ I F. ILDIIM Merdiyen isteminde eri Formüllerle Jeodezik Temel Prolem Çözümü eri formüller. JTP Çözümü. JTP Çözümü cos rctn AIAL UGULAMA - 8
.. Kenr e Meridyen Konergensi B F P c F P A C Kenr Konergensi: Küre üzerinde ir kenr oync semtin değişimidir e ile gösterilir. = - = - -, = - = - +, = - Küresel üçgende ekses e kenr konergensi ilişkisi: Küresel üçgenin eksesi st iresi yönünde kenrlrının konergensleri toplmın eşittir. ++=BA-AB+CB-BC+AC-CA= + BA-AB= + CB-BC= c + AC-CA= c + + + c + + c + = +, = + c + c JEODEZİ I F. ILDIIM 4
F P AIAL UGULAMA-9 F P P P F F küresel dörtgenindeki Ekses Hesı: Küresel dörtgen herhngi ir kenrl n meridyen e ordint direlerinin teşkil etmektedir. B dörtgenin iç çılrı toplmı Aynı küresel dörtgenin eksei kenrlrının kenr konergenslerinin toplmındn d ynı sonc rmk mümkündür. Dörtgende P P dışındki kenrlrd F F şlngıç meridyeni, P F e F P ordint direleri oldğndn küresel düzeltmeler dolyısıyl kenr konergensleri de sıfırdır. JEODEZİ I F. ILDIIM 5
Azimt, meridyen konergensi e semt ilişkisi y=sit A s t P P y t: Düzlem semt hrit ey projeksiyon koordintlrı : Küresel semt hrit kzeyi ile küresel kenr :Meridyen Konergensi A:Azimt A = + JEODEZİ I F. ILDIIM
Azimt, meridyen konergensi e semt ilişkisi GEÇEK KUZE: Coğrfi Kzey de denir. eryüzündeki herhngi ir noktdn kzey ktn yönelen doğrltdr. Bütün oylm direlerinin meridyenlerin yönü gerçek kzey doğrltsdr. Pft lt ilgilerinde gerçek kzey genel olrk ir yıldız işreti ile gösterilir. MANETİK KUZE: eryüzündeki herhngi ir noktdn mnyetik kt yönelen ey psl irein serest kldığınd herhngi ir mnyetik etkiye ti olmksızın gösterdiği doğrltdr. Mnyetik Kzey Kt konm zmn ğlı olrk değişmektedir. GİD KUZEİ: hrit üzerindeki dikey x ekseni grid çizgilerinin gösterdiği istikmettir. Grid kzeyi pft lt ilgilerinde GK hrfi ile gösterilir. Konergens =meridyen ykınsmsı=yklşm çısı, şlngıç oylmındn doğy ey tıy doğr zklştıkç olşn pm Açısı= mnyetik kzey ile coğrfi kzey ey grid kzeyi rsındki çısl çıklıktır. Doğl spm çısı=gerçek kzey ile mnyetik kzey çısı rsındki çıklıktır. Mnyetik kzey doğrlts gerçek kzey doğrltsnn dim doğsnddır. Büyüklüğü e değişim miktrı pft kenr ilgileri içeride erilir. JEODEZİ I F. ILDIIM 7
JEODEZİ I F. ILDIIM 8
.4. Meridyen Konergensi e Coğrfi Koordintlrl meridyen istemleri Arsındki Dönüşüm P 0 F 0 P n P x P Meridyen Konergensi: P 0 şlngıçlı ir meridyen sisteminde, koordintlı ir P noktsındn geçen meridyenle, ynı noktdn n meridyene çizilen P x prlelinin st iresi yönünde yptığı çısın P noktsındki meridyen konergensi denir. Verilenler: P 0 0, 0, P,, İstenenler: P,, =rccos f = 0 +rctntn/cos f =rctntn f f =+ 0 Ektor AIAL UGULAMA - 0 Verilenler : P,, P 0 0, 0, İstenenler: P,, =rccos = rctntn /cos - 0 =rctn tn JEODEZİ I F. ILDIIM 9
.5. Meridyen istemleri Arsındki Dönüşüm eri formüller ise şlngıç meridyeninden zklştıkç doğrlk derecesi zlır e doğ-tı yönünde kllnım lnlrı sınırlr Kplı formüllerde skınc olmmsın rğmen, düzleme tsirde deformsyonlrın elli sınırlrı şmmsı için; Ülke ey üyük lnlrın hesplnmsınd irden fzl meridyen sistemi seçilir. P n 0 Verilenler: P 0 0, 0, P,, ' İstenenler: P' 0 ' 0,' 0, P',' Coğrfi koordintlrl dönüşüm F'. Adım P 0 0, 0, P, P, F '. Adım P' 0 ' 0,' 0, P, P',' P ' P' 0 Direkt dönüşüm P 0 0 Ektor AIAL UGULAMA - 0 Çözüm seriler yrdımıyl ' 0 Noktnın her iki sistemdeki y değeri elli sınırlrın ltınd klmsı şrtındn dolyı sistemlerin irirlerine elli ykınlıkt komş sistemler olmlı Diğer çözüme göre sde e kıs değildir, çok syıd noktnın dönüşümünde dh yrrlı kllnılilir. JEODEZİ I F. ILDIIM 0
7. KÜEEL COĞAFİ KOODİNATLALA JTP ÇÖZÜMÜ P H H 90-. = - P Ektor K ktp noktsı N Ktp Noktsı P 90- A P AIAL UGULAMA - P A A P.. JTP Çözümü Verilenler: P,, P,, İstenenler:, A, A cos cos cos cos tn A cos tn cos tn A cos cos. JTP Çözümü Verilenler: P,,, A, İstenenler: P,, A tn cos cos cos A tn cos cot cosa tn A A cosa A cos tn JEODEZİ I F. ILDIIM
8. KIBLE TAİNİ Cmilerin Ke ye yönelecek şekilde inş edilmesi için, lnln noktyl Ke den geçen üyük dire yyınınküre için şyet elipsoid ise jeodezik eğrinin zimtnn ilinmesi gerekir. Blnn nokt e Ke nin coğrfi koordintlrı iliniyors, kürede ey elipsoidde.jtp çözümüyle zimt hesplnır. Elipsoid çözüm dh hsss sonç erir. Psl ile lnn kzey mnyetik kzey olp, coğrfi kzey ile rlrındki mnyetik deklinsyon değerinin ilinmesi izogon hritlrı gerekir. Deklinsyon yer e zmn göre değişken olp 5 rsınd değişkendir. Mnyetik deklinsyon değeri, günümüz mnyetik kirliliği göz önüne lındığınd hsssiyeti zlmktdır. Mnyetik lnd d cep telefon s. gii seeplerden dolyı kirlenmeler olmştr. Meselâ in içinde psl ile ypıln ölçümün yönünü sptırn pek çok nsrl krşılşılır. Binnın ypısınd lnn demirler, elektrik-telefon klolrı, s, klorifer e yngın söndürme orlrı ile cep telefonlrı, telsiz, rdyo e teleizyon dlglrı e sâir fktörler pslnın gerçek yönden spmsın seep olr. Psl ile sıhhtli ölçüm üyük şehirlerde neredeyse imknsız hle gelmiştir. Kıle tyininde spmlrdn krtlp, ke e htsız tesit için kıle sti kllnmk en ygn yoldr. JEODEZİ I F. ILDIIM
8. KIBLE TAİNİ Kıle ti; Kenin lndğ nokt, güneşin günlük deklinsyonndki yeri e lndğmz nokt rsınd olsn küresel üçgenin trigonometrik çözümünün zmn cinden ifdesidir. Güneşin deklinsyon değiştikçe kıle stleri de günlük olrk değişmektedir. Kıle sti, nmz kitleri gii her şehir için yrıdır e tkimlerimizde kit cetelinin en sonnd Kıle sütün şlığı ile yer lmktdır. Kıle istikâmetinin tesitinde kıle sti en prtik e sıhhtli metottr. Çünkü; sıhhtli yön göstereilecek teknik âletler herke elinde lnmyilir. Günün tkiminde, lndğ şehrin nmz kitleri cetelinin son sütünndki kıle sti ktinde, güneşe doğr dönen kimse kıleye dönmüş olr. Gölgenin üstüne düzgün ir çıt s. koyp işretlenerek istikmet sitleneilir. Böylece en prtik e en doğr ir şekilde kıle yönü tespit edilmiş olr. TABZON Trih Imsk Gnes Ogle Ikindi Aksm tsi Kile Ekim 07 05: 0:8 : 5:04 7:4 8:54 :04 ANKAA İZMİ Trih Imsk Gnes Ogle Ikindi Aksm tsi Kile Ekim 07 05:9 07:04 :40 5: 8:0 9: :7 Trih Imsk Gnes Ogle Ikindi Aksm tsi Kile Ekim 07 0:0 07:4 :0 5:59 8:8 9:44 0:5 JEODEZİ I F. ILDIIM
Kıle Tyini için işlem dımlrı 90-. P P Blnln noktnınp e Kenin coğrfi koordintlrındn P noktsınd zimt e konergens hesplnrk, o nkty it küresel semt hesplnır. A k = k - P Ektor N Ktp Noktsı 90- k P Ke k P. tn rctn tn A k k cos tn cos A P noktsı hricinde koordintı elli iki nokt P 0 e P ile 0 hesplnır e ölçülür. 0 P 0 P GP le, P noktsı koordintlrı ölçülür AIAL UGULAMA - Konergens hesındki 0, P noktsının UTM şlngıç oylmıdır. P Ke JEODEZİ I F. ILDIIM 4 k Türkiye için UTM şlngıç oylmlrı; 7, 0,,, 9, 4 e 45 dir. 0 = 0 + hesplnır. P Ke kırılm çısı hesplnrk plike edilir. = - Totl ttion ile P noktsı koordintlndırılır. AIAL UGULAMA - k
JEODEZİ I F. ILDIIM 5