S Ü Fe Fa Fe Derg Sayı 37 (011) 9-14, KONYA Matrisleri Hadaard Çarpıı Üzerie * İ. Halil GÜMÜŞ, Necati AŞKARA Selçu Üiversitesi, Fe Faültesi, Mateati Bölüü, Koya Özet: Bu çalışada lieer cebirde öeli bir yere sahip ola atrisleri Hadaard çarpıı ile ilgili eşitsizliler derleiştir. Hadaard çarpı ve Kroecer çarpı taıtılıp, bu çarpılar arasıdai ilişilerde bahsediliştir. Çalışaı esas ısıda ise Hadaard çarpıı içere eşitsizliler üzeride duruluştur. So olara da ii atrisi Kroecer çarpılarıı izi ile Hadaard çarpılarıı izi arasıda bir bağlatı veriliştir. Aahtar Kelieler: Hadaard Çarpı, Kroecer Çarpı, Pozitif taılı atris, Pozitif yarı taılı atris, M- Matris, Matris eşitsizlileri O the Hadaard Product of Matrices Abstract: I this study, the iequalities related to Hadaard product of atrices which has a sigificat place i liear algebra was copilated. Hadaard product ad Kroecer product were itroduced ad the relatios aog these products were etioed. I the ai sectio of study, the iequalities icludig Hadaard product were ephasized. Fially a equality betwee the traces of Kroecer product ad Hadaard product of two atrices is discovered. Key Words: Hadaard product, Kroecer product, Positive defiite atrix, Positive seidefiite atrix, M- Matrix, Matrix iequalities Giriş Hadaard çarpıı cebirsel ve aaliti özellilerie dair il sisteati çalışalar Schur u 1911 dei çalışasıda görülüştür. Schur bu çalışasıda, ayı ertebeli ii pozitif yarı taılı atrisi Hadaard çarpıı da pozitif yarı taılı atris olduğuu ispatlaıştır. Schur u 1911 dei çalışasıı orijialliğide dolayı Hadaard çarpı Schur çarpıı olara da aılatadır. Zaa içide Hadaard çarpıı, Hadaard-Schur product, Schur-Hadaard product, poitwise product, poitwise ultiplicatio, eleet-product gibi değişi şeilde adladırılıştır. Hor, 1990 dai çalışasıda Hadaard çarpıı tarihsel gelişiii Schur u teorelerii, Hadaard çarpıı değişi yollarla abulüü gösteriştir. Hadaard çarpıı içere öeriler veriştir. Hor u bu çalışası, Hadaard çarpı üzerie çalışa ateatiçilere teel aya oluştur. A a ij ve B b ij, atrisler olsu. A B aijb ij çarpııa A ile B atrisii Hadaard çarpıı deir. Çarpıı taıı gereği ii atrisi Hadaard çarpııı yapılabilesi içi ertebelerii ayı olası gereir. Matrisleri are atris olası gereez. A ve B atrisleri ayı ertebeli faat are atris olasılar. Bu duruda AB oral atris çarpıı taılı değildir aa A B Hadaard çarpıı taılıdır. Ayı ertebeli are atris olaları duruuda her ii çarpı da taılıdır. Noral atris çarpıı gibi Hadaard çarpıı da birleşe ve toplaa işlei üzerie dağıla özelliğie sahiptir. Hadaard çarpı işleii biri eleaı, bütü bileşeleri 1 ola atristir. Bu atris J ile belirtilir. Bir atrisi Hadaard çarpııa göre ters-çevrilebilir olası içi tü bileşeleri sıfırda farlı olalıdır. eel hala, * Bu derlee İbrahi Halil GÜMÜŞ ü Yüse Lisas çalışasıı bir parçasıdır. E-ail: guusibo@hotail.co
Matrisleri Hadaard Çarpıı Üzerie değişe özelliğie sahip ise Hadaard çarpıı da değişe özelliğie sahiptir. Hadaard çarpıı ile oral atris çarpıı arasıdai e öeli farlarda biri budur. Koples bileşeli atrisleri üesi M, ( ) ile gösterilir. Ayrıca M M, dir. Böylece M ii yolla cebirdir. Her ii cebirde de atris toplaı vardır. Faat cebirlerde biri oral atris çarpıı ile öteisi ise Hadaard çarpıı ile urulur. Hadaard çarpıı haıdai birço ilgiç soru bu ii cebir arasıdai farta ortaya çıar. Bu ii cebir baze bezer souçlar verire baze farlı souçlar verir. Hadaard çarpıı üzerie yapıla araştıraları ii alaı, uadrati forlar ve değişi or eşitsizlileri haıdai sorulardır. Buları çoğu oral atris çarpıı üzerie bilie eşitsizlilerle bezerli urulara ortaya çıar. Hadaard çarpıı cebirsel ve aaliti özelileri üzerie il sisteati çalışalar Schur u 1911 dei çalışalarıda görülür. Bu çalışada Schur; A ve B ayı ertebeli ii pozitif yarı taılı atris ise A B i de pozitif yarı taılı atris olduğuu ispatlaıştır. Bu çarpı teorei Schur u isi ile aılır. Ayrıca Schur spetral or içi, A B A B eşitsizliğii ispatlaış ve her ii atrisi de pozitif yarı taılı olası halide bu sıırlaa içi bazı souçlar veriştir. Bu souçlarda öce çalışaızda da yer ala pozitif (yarı)taılılıta bahsedeli. A, heritye atris olsu. Sıfırda farlı tü x C içi x Ax 0 oluyorsa A atrisie pozitif taılı atris deir. Eğer x Ax 0 oluyorsa, A atrisie pozitif yarı taılı atris deir. A pozitif taılı atris ise ayrıca pozitif yarı taılı atristir. Eğer A teil olaya pozitif yarı taılı atris ise pozitif taılı atristir. eore 1. A aij ve B M veriliş olsu. Öyleyse a) A ve B pozitif yarı taılı atrisler ise, A B de pozitif yarı taılıdır. b) A ve B pozitif yarı taılı atrisler ise i a B A B A B ax a B ii i i ax ii ax dır. c) B pozitif taılı atris ve A da esas öşege eleaları pozitif ola pozitif yarı taılı atris ise A B de pozitif taılı atristir. d) A pozitif yarı taılı atris ise A B ax a ii B dır. e) 1, c Z Z atrisii sütularıı asiu Ölid uzulularıı belirte üzere x y M, A x y ise, içi H A B C x C Y B dir. 1, r f) A B A B dır. A a ve B b atrisleri sırasıyla ve p r ertebeli ii atris olsu. ij ij A a11b a1 B a1 B a B a B a B a 1B ab ab 1 B 10
İ. Halil GÜMÜŞ, Necati AŞKARA çarpııa Kroecer çarpıı deir. Başa bir deyişle, eğer A a ij M, ( ) ve B bij M p, q( ) verilişse bu atrisleri A B Kroecer çarpıı, ertebesi p q ola aij B atrisidir. A, B M, ise A B atrisii 1,, 3,3 4,...,( 1) sütuları ile 1,, 3,3 4,...,( 1) satırlarıı esişiidei bileşelere baarsa A B Hadaard çarpıı bileşelerii buluruz. A ile B ayı ertebeli ii atris ise A B, A B atrisii alt atrisidir. E olara A ve B are atris iseler A B, A B atrisii esas alt atrisidir. Hadaard çarpıı, Kroecer çarpıı alt atrisi olara abul ete birço öeli bilgiye ulaşaızı sağlayacatır. Çüü bir atris haıda bilie eşitsizliler veya bazı ilişiler o atrisi alt atriside de görülebilir. Bu ilişilerde bazıları sigüler değerler, bir geel oples didörtge atrisi raı, bir Heritye atrisi özdeğerleri, egatif bileşei olaya bir are oples atrisi spetral yarı çapı vb. Kroecer çarpııı öeli bir özelliği ara çarpı uralıdır. Bu ural x, y x y x x y y 1 1 şelidedir. Kolayca görülebilir i; öşege, sietri, oral, heritye veya üiter ii atrisi Kroecer çarpıı da sırayla ayı özellilere sahip bir atristir. H H A ve B atrislerii sigüler değer ayrışıı A V1 1W1 ve B V W şelide verilsi. Burada ara çarpı uralı ile A B V V W W 1 1 1 yazılabilir. Özellile A B atrisii sigüler değerleri, A ve B atrislerii edi sigüler değerlerii arşılılı çarpılarıdır. Böylece A B i spetral oru (i bu or, A B i e büyü sigüler değeridir) A ve B atrislerii spetral orlarıı çarpııdır. Yai, A B A B dır. Aˆ A Aˆ M, A M r, s, i alt atrisi A B A B A B A, B M, olur. Bir atrisi pozitif sigüler değerlerii sayısı, o atrisi raıa eşit ve bir alt atrisi raı, bir üst atrisi raıda büyü oladığı duruda ra( A B) ra( A B) ( raa)( rab) olur [1]. Matrisleri Hadaard Çarpıı İçi Bazı eoreler Bu ısıda atrisleri Hadaard ve Kroecer çarpıları ile ilgili bazı teoreler verip, bu souçlarda elde ettiğiiz bir teorei ispatsız olara vereceğiz. H 11
Matrisleri Hadaard Çarpıı Üzerie eore. A ve B pozitif taılı Heritye atrisler ve r, s ( r, s 0) olsu. s r ise eşitsizliği geçerlidir. İspat: [3] de buluabilir. eore 3. biçiide taılası. Burada ola atrisler olsu. dir []. İspat: J, seçi atrisi; J J Eii atrisleri, s s s r r A B A B 1/ 1/ r J E11, E,..., E tipide i, i bileşei 1, diğer bileşeleri 0 I dır. A, B M, ise A B J A B J 1 a11b a1 B E 11 J A B J E11,..., E a B a B E diag a, a,..., a BE ı 1 1 aibij j aijb ij A B eore 4. A, i 1,..., atris olsu. atrisi varsa eşitsizliği geçerlidir [4]. i J J Ai J Ai J il iı I olaca şeilde İspat. A, B ve C atrisleri içi ispatı yapalı. Kara çarpı uralıda, J seçi 1
İ. Halil GÜMÜŞ, Necati AŞKARA A B C A J B C J J A J B C J J J IAI J B C J J J I J A B C I J J J I J A B C I J J ˆ J A B C Jˆ olur i, ispat taalaır. Burada 3 Jˆ I J J, atrisidir. ( ˆ J Jˆ I ) A, tipide bir atris olsu. Eğer B egatif olaya atris ve egatif olaya reel sayıları içi, A I B ve p B det A 0 oluyorsa A ya M- atris deir. eore 5. A a ij ve B b ij ise A ya M- atris deir. A ve her içi atrisleri M atris veya tipide pozitif taılı reel sietri atrisler ise a det A 1 b det B 1 det A B det AB 1 det A det B dır [5]. İspat: 0 içi det A det det B A B a b ab det A 1 det B 1 det A 1 B 1 dır. 0 ie det A det det B A B a b ab det A 1 det B 1 det A 1 B 1 elde edilir. Burada da det A B det A.det B a det A 1 b det B 1 1 det A 1 B 1 det A 1.det B 1 det A det B det A B det A.det B a det A 1 b det B 1 1 det 1 1 A B det A 1.det B 1 det A det B olur. Souç olara a det A 1 b det B 1 det A B det AB 1 buluur. det A det B 13
Matrisleri Hadaard Çarpıı Üzerie Bir atrisi şart sayısı, o atrisi spetral oru ile o atrisi tersii spetral K A A. A dir. oruu çarpııa eşittir. Yai, bir A atrisii şart sayısı 1 eore 6. Herhagi D sigüler olaya öşege atrisi içi A pozitif taılı oples atris ise 1 1 1 K DAD A A A A dir []. Bu teoreleri ışığıda elde ettiğiiz soucu bir teore olara vereli. eore 7. A a, ij B bij atrisler ise eşitliği geçerlidir [6]. Souçlar ve Öeriler 1. ii jj ii jj iz A B iz A B a a b b i1 jiı Bu çalışa bir derlee olup atrisleri Hadaard çarpııı içere eşitsizliler üzeride duruldu. Matrisleri Hadaard çarpılarıı deteriatlarıı, orlarıı içere eşitsizliler verildi. Kroecer çarpı ile Hadaard çarpı arasıdai ilişi üzeride duruldu. Souç olara; ii atrisi Kroecer çarpılarıı izi ile Hadaard çarpılarıı izi arasıda bir ilişi elde edildi. Kayalar [1] Hor, R.A., he Hadaard Product, i; Proceedigs of Syposia i Applied Matheatics, vol. 40, Aerica Matheatical Society Providece, (1990). [] Visic, G., A quatitative versio of the Observatio that the Hadaard product is a pricipal subatrix of the Kroecer product, Liear Algebra ad Its Applicatios 304, 45-68, (000). [3] Mod, B. ad Pecaric, J.E., Iequalities For he Hadaard Product of Matrices, Sia J. Matrix Aal. Appl., Vol. 19, No. 1, 66-70, Zagreb, (1998). [4] Mod, B. ad Pecaric, J.E., O Iequalities Ivolvig he Hadaard Product of Matrices, he Electroic Joural of Liear Algebra, Volue 6 56-61, Zagreb, (000). [5] Che, S., Soe deteriatal iequalities For Hadaard Product of Matrices, Liear Algebra ad Its Applicatios 368, 99-106, Fuzhou, (003). [6] Guus, I.H., Yüse Lisas ezi, S.Ü. Fe Bilileri Estitüsü, Koya (005). 14