T.C. ANADOLU ÜN VERS TES YAYINI NO: 2519 AÇIKÖ RET M FAKÜLTES YAYINI NO: 1490 MATEMAT K-I

T.C. ANADOLU ÜN VERS TES YAYINI NO: 2519 AÇIKÖ RET M FAKÜLTES YAYINI NO: 1490 MATEMAT K-I Yazarlar Prof.Dr. fiahin KOÇAK (Ünite 1) Doç.Dr. Bünamin DEM R (Ünite 2) Yrd.Doç.Dr. Yunus ÖZDEM R (Ünite 3) Doç.Dr. Ali DEN Z (Ünite 4) Prof.Dr. Mehmet ÜREYEN (Ünite 5) Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇET N (Ünite 6) Yrd.Doç.Dr. A.Ersin ÜREYEN (Ünite 7) Doç.Dr. Nesrin ALPTEK N (Ünite 8) Editörler Prof.Dr. fiahin KOÇAK Doç.Dr. Nam k Kemal ERDO AN ANADOLU ÜN VERS TES

Bu kitab n bas m, a m ve sat fl haklar Anadolu Üniversitesine aittir. Uzaktan Ö retim tekni ine ugun olarak haz rlanan bu kitab n bütün haklar sakl d r. lgili kurulufltan izin almadan kitab n tümü a da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manetik ka t vea baflka flekillerde ço alt lamaz, bas lamaz ve da t lamaz. Copright 2012 b Anadolu Universit All rights reserved No part of this book ma be reproduced or stored in a retrieval sstem, or transmitted in an form or b an means mechanical, electronic, photocop, magnetic, tape or otherwise, without permission in writing from the Universit. UZAKTAN Ö RET M TASARIM B R M Genel Koordinatör Doç.Dr. Müjgan Bozkaa Genel Koordinatör Yard mc s Arfl.Gör.Dr. rem Erdem Ad n Grafik Tasar m Yönetmenleri Prof. Tevfik Fikret Uçar Ö r.gör. Cemalettin Y ld z Ö r.gör. Nilgün Salur Late Stil Dosas Haz rlaanlar Doç.Dr. Emrah Akar Doç.Dr. Ali Deniz Doç.Dr. Serkan Ali Düzce Yrd.Doç.Dr. Yunus Özdemir Kitap Koordinason Birimi Uzm. Nermin Özgür Kapak Düzeni Prof. Tevfik Fikret Uçar Ö r.gör. Cemalettin Y ld z Dizgi Aç kö retim Fakültesi Dizgi Ekibi Matematik-I ISBN 978-975-06-1188-9 1. Bask Bu kitap ANADOLU ÜN VERS TES Web-Ofset Tesislerinde 108.300 adet bas lm flt r. ESK fieh R, Ma s 2012

İçindekiler iii İçindekiler 1 Kümeler ve Saılar 1 1.1 Yine mi Kümeler!.......................................... 2 1.2 Bakkal Hesabı............................................ 9 1.3 Tabana Kuvvet............................................ 16 1.4 Halep Ordasa, Arşın Burda!................................... 19 1.5 İçtima Töreni............................................. 24 1.6 Okuma Parçası............................................ 28 1.7 Çıkarın Kağıtları........................................... 29 1.8 Çözümler............................................... 30 2 Fonksionlar 31 2.1 Kelime Aranıor........................................... 32 2.2 İle Plaka Numarası mı, Plaka Numarasına İl mi?....................... 36 2.3 Birim Fonksiondan Pek Çok Fonksiona............................ 40 2.4 Fotoğraf Çekme Zamanı...................................... 45 2.5 Okuma Parçası............................................ 54 2.6 Çıkarın Kağıtları........................................... 55 2.7 Çözümler............................................... 56 3 Polinom Fonksionlar 57 3.1 Polinomlar.............................................. 58 3.2 Birinci ve İkinci Dereceden Denklemler............................. 62 3.3 Doğrular............................................... 69 3.4 Paraboller............................................... 75 3.5 Eşitsizlikler.............................................. 81 3.6 Okuma Parçası............................................ 84 3.7 Çıkarın Kağıtları........................................... 85 3.8 Çözümler............................................... 86 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar 87 4.1 Üstel Fonksionlar.......................................... 88 4.2 Logaritma Fonksionu....................................... 99

iv 4.3 Okuma Parçası............................................ 110 4.4 Çıkarın Kağıtları........................................... 111 4.5 Çözümler............................................... 112 5 Limit, Süreklilik ve Türev 113 5.1 Limit.................................................. 114 5.2 Süreklilik............................................... 120 5.3 Türev.................................................. 123 5.4 Okuma Parçası............................................ 140 5.5 Çıkarın Kağıtları........................................... 141 5.6 Çözümler............................................... 142 6 Matrisler ve Doğrusal Denklem Sistemleri 143 6.1 Matrisler............................................... 144 6.2 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Determinantlar....................... 157 6.3 Okuma Parçası............................................ 167 6.4 Çıkarın Kağıtları........................................... 168 6.5 Çözümler............................................... 169 7 Çok Değişkenli Fonksionlar 171 7.1 Giriş.................................................. 172 7.2 İki Değişkenli Fonksionların Grafikleri............................. 178 7.3 Kısmi Türev.............................................. 182 7.4 Yerel Maksimum ve Yerel Minimum............................... 187 7.5 En Küçük Kareler Yöntemi ve Regreson Doğrusu...................... 191 7.6 Okuma Parçası............................................ 198 7.7 Çıkarın Kağıtları........................................... 199 7.8 Çözümler............................................... 200 8 İktisadi Ugulamalar 201 8.1 Piasa Dengesi............................................ 202 8.2 Başa-baş Analizi........................................... 206 8.3 Marjinal Analiz........................................... 209 8.4 Esneklik................................................ 212 8.5 Çok Değişkenli Fonksionların İktisadi Ugulamaları.................... 214 8.6 Okuma Parçası............................................ 221 8.7 Çıkarın Kağıtları........................................... 222 8.8 Çözümler............................................... 223 Kanakça 225 Dizin 226

v Önsöz Sevgili Öğrenciler, Matematik ille de asık suratlı olacak die bir şe ok. Öğrenme ille de ezietli olacak die bir şe de ok. Anlama süreci neden haz dolu bir elem olamasın? Birçok insan tarafından kolalıkla kavranan bir şe neden başkaları tarafından da kavranamasın? Matematiğin a da bir başka bilimin ileri konuları zihnimize medan okuan zorlukta da olabilir. Ama okul müfredatı düzeine inen bilgi, insanlık kazanımlarının en çok süzgeçten geçmiş, en alın formlara ulaşmış ve fadalı olduğu sabit olmuş kısımlarıdır. Bu bilginin, doğru dürüst aktarıldığı ve sunulduğu takdirde her düna vatandaşı tarafından kolalıkla anlaşılabilmesi gerekir. Bu inançla matematik öğrenimini zevkli bir uğraşa dönüştürmek istedik ve elinizdeki kitabı ürettik. Ne kadar başarılı olacağımızı şüphesiz zaman gösterecektir, ama sizlerden de aktif bir okuma beklioruz. Eğer bu kitabın herhangi bir pasajı ile arım saat sıkılmadan ve bir şeler öğrenerek vakit geçirebilirseniz kendimizi mutlu saacağız. Bir andan Mete Hoca ile Pınar Hoca, diğer andan da meraklı öğrencilerimiz Zenep, Gökçe, Selçuk ve Engin, tartışa tartışa, belki bazen birbirlerine de takılarak, matematiğin temel kavramlarını öğrenmek istiorlar. Burada bir parça da Platon un okuluna özenmedik desek alan olur. Monolog erine dialogun hem daha zihin açıcı olduğunu, hem de insana daha akıştığını düşünüoruz. Sizin de kendinizi bu sınıfın bir parçası olarak hissetmenizi, okurken aklınıza gelen soruları a da katkıları bize iletmenizi dilioruz. Hocalarımız da her zaman eni bir şe öğrenmee hazırdırlar ve örneğin Gökçe nin a da Selçuk un bir sorusundan eni bir bakış açısı kazandığımız az olmadı. Dialog formatının kendine has bir dinamiği var, soru soruu üretior ve sözü bazen birkaç safada kestirip atamıoruz; ani bu kitap açılıp da arım safası okunabilecek bir kitap değil. Bu nedenle, üniteleri okurken en az bir alt-bölümü kendi bütünlüğü içinde okumanızı önerior ve ii okumalar dilioruz. Kitabın üretim süreci bizim için de keifli bir serüven oldu ve kitabın ruhuna ugun olarak, azar ve editörlerden oluşan ekibimiz devamlı bir dialog içinde çalıştı. Matematik öğreniminde enilikçi bir deneme olarak bize bu olanağı veren Üniversite Yönetimimize, bizi her aşamada destekleen Prof.Dr. Levend Kılıç, Prof.Dr. Tevfik Fikret Uçar, Doç.Dr. Müjgan Bozkaa, Doç.Dr. Cengiz Hakan Adın ve Öğr.Gör. Cemalettin Yıldız a; kitabın özgün L A TEX stil dosalarını hazırlaıp, dizgide ve şekil çizmede hocalarımıza rehberlik eden Doç.Dr. Emrah Akar, Doç.Dr. Ali Deniz, Doç.Dr. Serkan Ali Düzce ve Yrd.Doç.Dr. Yunus Özdemir e ve her imdat çağrısında ardıma koşan Yrd.Doç.Dr. Yunus Özdemir e teşekkürlerimizi sunarız. Editörler Şahin Koçak ve Namık Kemal Erdoğan Soru, görüş ve önerileriniz için iletişim adresimiz: nkerdoga@anadolu.edu.tr

Gökçe Zenep MATEMATİK I Selçuk Engin Pınar Hoca Mete Hoca

Kümeler ve Saılar 1. MATEMATİK 1 ÜNİTE Birer birer milara kadar sasam kaç saat sürer acaba? MUTLAK DEĞER KAREKÖK ONDALIK SAYI SAYI EKSENİ KESİŞİM BOŞ KÜME BİRLEŞİM

2 1 Kümeler ve Saılar Yine mi Kümeler! Sevgili öğrenciler, bu kitap bounca sizlerle derin ve dalgalı matematik denizinin sahillerinde beştaş onaacağız. Amacımız, diğer derslerinizde karşılaşacağınız ve mesleğinizde de kullanabileceğiniz en temel bazı matematiksel kavramlarla sizleri tanıştırmak olacak. Onları bir el aleti gibi rahatlıkla ve güvenle kullanma becerisini ve zevkini kazanmanızı arzu edioruz. Bir elkenli bulup denize açılsak daha ii olmaz mıdı hocam? Yine ounbozanlığa başladın Selçuk! Tabii ki ii olurdu. Ama matematiğin kötü şöhreti mâlum. Hemen battık, boğulduk demee başlarsınız. Bunu bir ısınma ve alışma dersi olarak görmenizi istiorum. Bu işi severseniz, deniz orda duruor, her zaman elken açabilirsiniz. Selçuk üzme bilmez hocam! Olsun! Barbaros un levendleri de üzme bilmezmiş. Önemli olan merak, cesaret ve azim. Bilgi de önemli değil mi hocam? Şüphesiz Zenep. Ama niet edince onu bir şekilde öğrenirsiniz a da kendiniz bulursunuz. Her şein başı merak. Hangi konula başlaacağımızı çok merak ettim hocam! Kümelerle başlaalım mı? Hocam artık kümelerden gına geldi. İlkokulda küme, ortaokulda küme, lisede küme, şimdi ine mi küme?!

Yine mi Kümeler! 3 Gökçe haklı. Bize gereken kadar küme bilgisine zaten artık herkes sahip. Gençleri bezdirmeelim. Peki Pınar Hocam. Gerçekten de kümeler teorisinin kola kısmı çok koladır, zor kısmı da çok zordur. Bize de kola kısmı etip artacağından, işi kola kılalım. Ne de olsa Yunus Emre nin memleketindeiz! Küme dediğiniz nedir ki zaten. Bir nedenle, a da canımız öle istediği için, belli bazı nesnelerin bir topluluk oluşturduğunu düşünüoruz ve bu topluluğa da küme dioruz. Yeter ki hangi nesnelerin bu topluluğa ait olduğu hususunda bir tereddüt olmasın. Bu topluluğu oluşturan nesnelere de o kümenin elemanları dioruz. Tabii hocam, örneğin 2010/2011 sezonunda Eskişehir amatör birinci kümede hangi takımlar var belli. Şimdi bizim okulun takımı çıkıp, "Ben de ordaım, maç istiorum" diemez. Evet Engin, ama tabii sen istersen o takımı da katıp haalindeki takımlar kümesini oluşturabilirsin! Benim haalimdeki takımlar kümesi, Real Madrid, Barcelona, Milan, Juventus ve bizim okul takımından oluşuor. O zaman hepsi bizimle maç apmaa gelirler. Hocam öle kafamıza göre küme oluşturabilir miiz? Tabii ki. Matematikçiler haal tacirleridir zaten! Eleman sembolü: a nesnesi A kümesinin elemanı ise a Aazıoruz. a nesnesi A kümesinin elemanı değilse, a / A azıoruz. Kümeleri genellikle büük harflerle, elemanları da küçük harflerle gösterioruz. 2010/2011 Eskişehir Amatör Birinci Küme Takımları: Oklubalı Harb İşspor Sivrihisar Alpagut Tepebaşı Emek Örnek Eskişehir Amatör Kırmızıtoprak Yunusemre Adanır Engin in Haalindeki Takımların Kümesi: Real Madrid Barcelona Milan Juventus Anadolu Üniversitesi Haal kurmak şairlerin, romancıların işi değil mi? Amma da aptın ha, benim ne haallerim var! Hocam, matematikte de haal olur mu? Venn Şemaları Bir kümei belirtmenin çeşitli olları var. Bazen düzleme ukarıdaki gibi daire, elips a da dikdörtgene benzeen bir şekil çizip, küme elemanlarını onun içine azıoruz. Buna kümelerin Venn şeması ile gösterimi denior.

4 1 Kümeler ve Saılar Kümelerin Liste Gösterimi Kümeleri belirtmenin bir diğer olu, küme parantezleri dediğimiz { } parantezleri arasına küme elemanlarını, aralarına birer virgül koarak azmak: A ={ Real Madrid, Barcelona, Milan, Juventus, Anadolu Üniversitesi} Eğer eleman saısı çoksa, ama birkaçını azdıktan sonra gerisinin nasıl geleceği anlaşılıorsa, birkaç elemanı azdıktan sonra "üç nokta" kouoruz. Örneğin doğal saılar kümesini {1,2,3,...} şeklinde belirtebiliriz. Olmaz olur mu! En çok orda olur. Büük Alman matematikçisi Hilbert, dersine birkaç kez gelip, sonra artık gelmeen bir öğrencinin neden gelmediğini merak edip, bilen var mı die diğerlerine sormuş. Bir öğrenci, onun artık şiirle uğraşmaa başladığını sölemiş. Hilbert de, "İsabet olmuş," demiş, "onun haal gücü zaten matematiğe etmezdi." Tabii Hilbert in maksadı şiiri küçümsemek falan değil; aratıcı matematiğin şiirden daha büük haal gücü gerektirdiğini sölemek istior. Hadi, küme haalleri kurun bakaım! Benim haalimdeki kümede, duvarlarına hanımeli çiçekleri aslanmış bir ev; sarışın ve mavi gözlü, bir kız, bir oğlan, iki çocuk; bağımsız olabileceğim kadar bir zenginlik; ve nihaet sağlık var. Bu da fal gibi oldu. Kümelerin Kapalı Gösterimi Kümeleri belirtmenin bir başka olu da, elemanların neler olduğunu dolalı olarak özellikleri ardımıla ifade etmek. Bunun için, küme parantezini açıp, elemanı temsil eden bir sembol kouoruz; sonra "öle ki" anlamına gelen bir dik çizgi çizioruz ve elemanın özelliği nese açıkça azıoruz; nihaet küme parantezini kapatıoruz. Örneğin Engin in haalindeki takımlardan oluşan kümei A={a a Engin in haalindeki bir takım} şeklinde de belirtebiliriz. Arkadaşlar, ipin ucunu kaçırmaın. Hocam şimdi sarışın ve mavi gözlü bir kız a da sağlık birer nesne mi oluor? Sarı çizmeli Mehmet Ağa gibi bir şe. Böle küme olur mu? Arkadaşlarımızın haallerine sagı dualım. Şimdi nesne nedir, ne değildir tartışmasına girersek bunun içinden çıkamaız. Belki Zenep onları bize sölediğinden çok daha arıntılı ve canlı olarak tasavvur ediordur ve onlar Zenep için pekala anlamlı haal nesneleri olabilir. Ama tabii ki biz böle kümelerle uğraşmaacağız; küme denilen şe sonuçta aramızdaki iletişime hizmet eden bir kavram olmalı; bu nedenle, ne olup olmadıkları hakkında aramızda bir uzlaşı bulunan nesnelerle küme oluşturalım. Burada fazla abartılı bir sorgulamaa da gerek ok. Nei fazla sorgulasan, elinde dağılır gider. Real Madrid mi Real Madrid. Bir takım işte. Hangi Real Madrid? Ronaldo oksa o hala Real Madrid mi? Bunları bırakalım. İşi kola kılalım dedik a. İnsanlardan küme oluştur, şirketlerden küme oluştur, eşalardan küme oluştur... Biz daha

Yine mi Kümeler! 5 ziade elemanları saılar olan kümeler oluşturacağız. Şu saılar, bu saılar vesaire. Şimdi saı nedir desen, gene dağılır gideriz. Saı mı saı işte, bakacağız... A={ bir doğal saı ve 8 den daha küçük} a da, A={1,2,3,4,5,6,7} Peki Mete Hocam, bir insan, bir şirket, bir eşa ve bir saıı alıp dört elemanlı bir küme oluşturabilir miiz? { Mete Hoca, Zorçelik A.Ş., Gözlüğüm, 99} Hiç şüphesiz. Ama bunun kime ne fadası olur. Bunları bırakıp işimize bakalım. Arkadaşlar, iki kümenin birleşimini ve kesişimini bilioruz değil mi? Tabii ki hocam. Verilen iki kümenin en az birisine ait olan elemanlarla oluşturduğumuz kümee bunların birleşimi; her ikisine birden ait olan elemanlarla oluşturduğumuz kümee de bunların kesişimi dioruz. Birleşim sembolü: A ve B kümelerinin birleşimi: A B={ A vea B} Kesişim sembolü: A ve B kümelerinin kesişimi: A B={ A ve B} 2 3 6 Aferin Engin! Peki, ikiden fazla küme, örneğin üç tane küme verilsedi, onların birleşimini ve kesişimini nasıl tanımlardık? A 1 A B 4 5 B Hocam ne değişirdi ki! Gene bunların en az birisine ait olan elemanların oluşturduğu kümee bunların birleşim kümesi, hepsine birden ait olan elemanların oluşturduğu kümee de kesişim kümesi dioruz. A 2 3 6 1 4 5 A B B Pekiii Engin, biraz önceki birinci amatör küme takımlarının 2 3 6 kümesile senin haalindeki takımların kümesinin kesişimi nedir? Hocam bu işte bir terslik var, birinci amatör kümedeki hiçbir takım benim haal kümemde ok, haal kümemdeki hiçbir A 1 4 5 7 8 C A B C B takım da birinci amatör kümede onamıor. Bunların kesişim kümesi ok! Hocam Engin boş kümei unutmuş! A 2 3 6 1 4 5 7 8 C A B C B

6 1 Kümeler ve Saılar Yok, ok, unutmadım da, tekinsiz bir küme bu boş küme, tamam hocam kesişim boş küme, ama bu boş küme ne biçim bir küme? Boş kümei sembolü ile gösterioruz. Çocuklar boş kümei hiç gözünüzde büütmein. İşte böle durumlarda işe arasın die düşünülmüş küçük bir hile boş küme. Hiç elemanı olmaan bir küme. Hocam benim de bir boş kümem var. Nemiş o? Senin haallerinle benim haallerimin kesişim kümesi! Ama o da Engin in boş kümesile anı küme Gökçe! Nedenmiş? O boş kümei ben oluşturdum. Sen oluşturdun, ama senin değil. Bunu anlamak için iki kümenin eşit olmasının ne demek olduğunu hatırlaalım. İki kümenin eşit olması demek, bunların anı elemanlardan oluşması demek. Birinden hangi elemanı alsan, bu nesne ötekinin de elemanı. Bu durumda iki kümenin eşit olmaması için, en az birinde öle bir eleman olmalı ki, diğerinde olmasın. Ama elimizdeki kümeler boş ise, ani hiç elemanları oksa böle bir şe olamaz. Demek ki bütün boş kümeler eşittir haatım.

Yine mi Kümeler! 7 Va canına! Siz bu işi sökmüşsünüz zaten. Bize fazla bir iş kalmadı. Zenep, artık arkadaşlarına anlatırsın, kümeleri nasıl gösterioruz, iki kümenin farkı nedi, tümleen nedi falan... Altküme sembolü: Hocam altkümei sölemeden tümleeni nasıl anlataım? Zamane öğrencisi demek böle oluor. Harikasın Zenep! Altkümenin nesi varmış ki? Bir kümenin her elemanı başka bir kümenin de elemanı oluorsa, bu kümee öteki kümenin altkümesi dioruz. İstersek ötekine de üstküme diebiliriz. Bende olup da sende olmaan, pardon pardon, üstkümede olup da altkümede olmaan nesnelerin kümesine de altkümenin tümleeni dioruz. Ya da, pek resmî olacaksak, altkümenin üst kümedeki tümleeni dioruz. A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı oluorsa, A B azıoruz. Her küme kendisinin altkümesidir. Boş küme her kümenin altkümesidir. (Boş kümede olup da, başka bir kümede olmaan bir eleman ok ki!) Arık Kümeler Ben n olur n olmaz şöle araa gireim de... Sölein bakalım iki kümenin hiçbir ortak elemanı oksa bu kümelere ne denir? A 1 2 5 3 4 7 A B= 6 8 B Ne denecek, abancı kümeler denir herhalde! Valla o da fena olmazmış ama, benim bildiğim, bunlara arık kümeler diorlar. Fark sembolü:\ A\ B={ A ve / B} Ne de olsa arılık var tabii. A 4 2 6 8 A\ B 9 10 B İki kümenin farkını da tanımlaaım da üzerimde kalmasın. Bir küme ile diğer bir kümenin farkı, ilkinde olup da ikincisinde olmaan nesnelerin kümesidir.

8 1 Kümeler ve Saılar Bu defa pardonluk bir şe demediğin için nezaketine teşekkür ederim. Ama o diğer küme ilk kümee eşitse ne olacak? Fark kümesi hem o kümede olan, hem de olmaan nesnelerin kümesi mi? Neden olmasın? Öle bir nesne olabilir mi peki? Olamaz tabii. Bir nesne bir kümee a aittir, a da değildir. Yani bir kümee hem ait olan, hem de olmaan nesne oktur. Bu nedenle de bir kümenin kendisi ile farkı boş küme olur. Peki bir nesne birinci kümee iki kere ait olsa, ama ikinci kümee bir kere ait olsa ne olacak? Saçmalama Selçuk! İki kere ait olmak die bir şe ok! Ya aitsin, a değilsin. Öle değil mi hocam? Efendim? Oo, tabii tabii. Ne güzel sizleri dinliorduk. Tabii ki iki kere ait olmak die bir şe ok. Zaten anı şeden tam olarak iki tane nerden bulacaksınız? Her nese. Anlaşmamız böle. Hocam bir de kümeleri nasıl gösterdiğimizi sormuştunuz. O da an taraflara serpiştirilmiş zaten. Gökçe nin sabrı taşmadan kümeleri burada bitirelim o zaman.

Bakkal Hesabı 9 Bakkal Hesabı Saılara nerden başlasak acaba? Gökçe sen bir sa bakalım! Bir, ki, üç, dört; bir, ki, üç, dört... Gökçe dün akşam ine koro çalışmasındadı herhalde! Engin, bir de sen sa bakalım. Bir, ki, üç, dört, beş, altı; altı kişiiz. Hocalarımı ben de saarım, ama senin gibi samam. Onları nesneleştirdin! Nesne olmak kötü bir şe midir hocam? Benim bir itirazım ok! Bir öğrencimin düşüncesinin nesnesi olmak benim için bir onurdur. Samak düşünmek midir hocam? Siz de hep zor sorular soruorsunuz... Yandaki noktaları bir sa bakalım Selçuk. Noktaları nie saaım hocam? Pösteki samak dedikleri bu mu oksa?

10 1 Kümeler ve Saılar eski-zaman zengini altınlarını defterine böle kadetmiş olabilir. Dielim ki onların her biri bir altın liraı temsil edior. Bir Ne kadar aptal bir zenginmiş. İnsan biraz sistemli azar. Biz pişti onarken bile dört çizikten sonra üstüne bir çapraz atıoruz, saılarımızı da bir bakışta görüoruz. Demek samanın arkasında da düşünce var. Saılacak şeler çoğalınca samak zorlaşıor. İnsanlık tarihinin binlerce ılı, çoklukları samak için sistemler geliştirmekle geçti. Hocam ben sadım. Yüz kırk iki altın var! Yüz kırk iki ne demek? Yüz kırk iki hocam, bildiğimiz üz kırk iki. Nasıl sadın? Bir, ki, üç, dört, beş, altı, edi, sekiz, dokuz, on, on bir, on iki, on üç, on dört, on beş, on altı, on edi, on sekiz, on dokuz, irmi, irmi bir, irmi iki,..., doksan dokuz, üz, üz bir,..., üz kırk bir, üz kırk iki! Engin çıldırmış! Ne münasebet, hocam sa dedi, ben de sadım.

Bakkal Hesabı 11 Gökçe bak, aptalca görünen bu sama eleminin arkasında nasıl etkileici bir akıl var. Bir den on a kadar saıor; sonra başına on getirip gene bir den on a kadar saıor; sonra herhalde dili dolaşmasın die on on erine irmi dior; sonra ordan başlaıp gene bir den on a kadar saıor; bu defa irmi on diecek erde otuz diecekti herhalde, doksan on erine de üz deip kurtuldu, sonra gene baştan başladı... İnanılır gibi değil! Tabii hocam, üz kırk iki demek, üz artı kırk artı iki demek; ani on kere on artı dört kere on artı iki demek. On kere on biliorsunuz üz. Onun için üzler hanesine 1 azıoruz, onlar hanesine 4 azıoruz, sonuncu hanee birler hanesi dioruz, iki demek iki tane bir demek olduğundan oraa da 2 azıoruz, oluor 142. on irmi otuz kırk elli altmış etmiş seksen doksan üz üz on üz irmi üz otuz üz kırk üz kırk iki Bu açıklamaları için Zenep e teşekkür ediorum. Hepinize bravo! Ne de olsa Harezmî lerin, Kadızade-i Rumî lerin torunlarısınız. Bence bu azım sistemi atom bombasından daha büük bir icat! Hidrojen bombası kadar mı hocam? Selçuk da hınzırlık apmadan duramaz. Atom bombasını bir şe sanırsınız die öle dedim. Bu icadın anında o bombalar çocuk ouncağı kalır! Bu sistemin hemen göze görünmeen sırları var çocuklar. Ama bir andan sistemin kusursuz işleişi, diğer andan da alışkanlık, bizi duarsızlaştırıor. Mükemmelliğin bedeli bu işte. Varlığın farkedilmior bile... O büük Eski Yunanlıların a da Romalıların rakamlarıla saıları toplamaa çarpmaa çalışsanız dünanın kaç bucak olduğunu anlardınız. Sümer de doğup, Babil de olgunlaşan ve Hint te sıfırla taçlanıp bugün de kullandığımız şekline ulaşan bu sistem, bir zamanlar altın çağlarını aşaan Orta Düna Ugarlığı üzerinden Avrupa a ulaştı. Bugün M M M DCC L IV=? (3750 4)

12 1 Kümeler ve Saılar bazılarının bakkal hesabı deip geçtiği bu sistemin, Avrupa daki o büük ekonomik, bilimsel ve teknolojik devrimlerin daanaklarından biri olduğuna şüphe ok. Nemiş bu kadar övdüğünüz bu sistemin sırrı? Her büük işte olduğu gibi alın birkaç fikir ustaca biraraa getirilior. Bir kere, zaten daha ilkel sistemlerde de olduğu gibi, bir saıı kendinden daha küçük başka bir takım saıların toplamı olarak düşünüoruz. Bu başka saıları bir bakıma saı bankasının banknotları gibi düşünebiliriz. Yalnız banknotları öle kafamıza göre basmıoruz. Önce taban dediğimiz bir banknot seçioruz. Konuştuğumuz durumda bu on, ama pekala beş vea irmi vea iki olabilirdi. Örneğin Babilliler taban olarak altmış saısını kullanıorlardı. Sistemi kavraınca iki vea daha büük herhangi bir saıı taban olarak seçebileceğimizi göreceksiniz. Bilgisaarlarda iki tabanı kullanılıor değil mi? Tabii, tabii, aslında bunları size anlatmama belki gerek bile ok, ama söz açılmış oldu, kısaca hatırlaalım. Şimdi tabanı seçtik, gene on u esas alalım. Artık diğer banknotları piasada olduğu gibi irmi, elli falan die basmıoruz. On dan sonra gelen banknot on tane on un erine geçecek. Yani bir üzlük basıoruz. Sonra da beş üzlük falan ok, bir binlik basıoruz. Evet, ani on tane on tane on un erine geçecek bir banknot. Sonra da on tane on tane on tane on un erine geçecek bir banknot. Yani gıcır bir on binlik! Peki bu iş neree kadar sürecek?

Bakkal Hesabı 13 Valla bizim matbaanın kâğıt sorunu ok, enflason korkumuz da ok, ihtiaç duduğumuz kadar basabiliriz, ama sistemi bozmak ok. Her eni banknot bir öncekinin on katı değerinde olacak. Şimdi artık ödemelere başlaabiliriz. Dielim ki Gökçe e iki üz elli dört lira burs ödemesi apacağız. Bunu nasıl ödersiniz? Ne varmış bunda, iki tane üzlük banknot, beş tane onluk banknot, dört tane de... Hocam birlik banknotumuz ok! Aferin Engin! O zaman bir de birlik banknotumuz olsun. Demek ki elimizde birlik, onluk, üzlük, binlik, on binlik vs. banknotlarımız var. Artık her türlü ödemei sorunsuz apabilir miiz? Hocam simit elli kuruş, ben şimdi nasıl simit alacağım? Sen de iki tane alıver! O zaman Selçuk için bir liranın onda biri, üzde biri, binde biri vs. değerinde bozuk paralar basalım. Yani on kuruş, bir kuruş... Hadi bir kuruşu anladım da o bir kuruşun da onda biri ne oluor? 4,999 TL die fiat mı koacağız? Gene bir şe umurtladın Selçuk, o da ne demek oluor? Dört lira; artı bir liranın onda birinin dokuz katı ani doksan kuruş; artı bir liranın üzde birinin dokuz katı ani dokuz kuruş; artı bir liranın binde birinin dokuz katı. Bu sonuncusu piasada olmadığı için adı bilinmior. 4,999=4+ 9 10 + 9 100 + 9 1000 Aslında neden olmasın? Bir üründen çok fazla alırsan sonucu etkileebilir. Geçende döviz kurları gözüme çarpmıştı, böle üç haneli küsurat vardı.

YENİ KÜMEMİZ YENİ KÜMEMİZ YENİ KÜMEMİZ YENİ KÜMEMİZ YENİ KÜMEMİZ YENİ KÜMEMİZ YENİ KÜMEMİZ YENİ KÜMEMİZ YENİ KÜMEMİZ YENİ KÜMEMİZ YENİ KÜMEMİZ 14 1 Kümeler ve Saılar 4,99 TL Evet, döviz alıp satanlar için önemli olabilir, ama marketlerde 4,99 TL fiat kouorlar, beş lira verince de üstünü vermek hiç akıllarına gelmior. Süt ve Süt Ürünleri Süt ve Süt Ürünleri Süt ve Süt Ürünleri Süt ve Süt Ürünleri Süt ve Süt Ürünleri Süt ve Süt Süt ve Süt Süt ve Süt Ürünleri Ürünleri Ürünleri Süt ve Süt Ürünleri Süt ve Süt Ürünleri Süt ve Süt Ürünleri Süt ve Süt Ürünleri YENİ KÜMEMİZ Düşünüorum da, iki üz elli dört lira bursumdan zorunlu harcamalarımı çıkarınca kalan parala epe küsuratlı bir döviz alabiliorum. Hocam ben gene şöle araa gireim de... Almana da olsanız bir kuruşluk para üstünü vermemek hiçbir tezgâhtarın aklından geçmezdi. Bir kuruşa sagısı olmaan bir altın liraı da hakketmez diorlar. Belki bizim insanımız daha cömert. Orasını bilemem, ama cömertlik başka, hassaslık başka. Belki ilerde başka şeleri ölçerken binde birliklerin daha küçüğüne bile ihtiaç duabiliriz. Şimdi bu bozuk para işini bırakalım da, banknotlarımıza geri dönelim. Artık, küsuratsız, ani bir liranın tam bir katı olan herhangi bir ödemei apabilir miiz? Tabii hocam. Dielim ki üç bin beş üz kırk edi lira ödeeceğiz. Adı üzerinde, 3 tane binlik, 5 tane üzlük, 4 tane onluk, 7 tane de birlik veririz. Hakkaten ne kola! Herhangi bir ödeme için, sana belli bir banknot türünden en fazla kaç tane gerekir? En fazla on tane. Yok, ok, en fazla dokuz tane. Çünkü bir banknottan on tane vereceğime, bir üksek değerli banknottan bir tane veririm, olur biter!

Bakkal Hesabı 15 Çok güzel. Peki paraı ödedin, bunu bir ere not etmen ii olur değil mi? Şüphesiz, ne olur ne olmaz. Bu da çok kola, en büük banknottan başlaıp, her bir banknot türünden kaç tane verdisem bu saıları art arda azarım. 3 tane binlik verdim, 5 tane üzlük, 4 tane onluk, 7 tane de birlik verdim; bunları art arda azınca, alın size 3547! Demek ki belli bir taban seçildikten sonra, o saıdan bir düşük saıda rakam işaretleri belirlemek eterli olacak. Her banknottan kaç tane verdiğimizi bu işaretlerle göstereceğiz. On saısını taban seçince, dokuz rakam eterli olacak. Demek bizim rakamlar buradan gelior. Dokuz tane işaret seçince, her saıı bunlarla azabilioruz. 3 5 4 7 Peki, Zenep şimdi de üç bin beş üz edi lira ödesin bakalım. Hocam artık daha ilginç şelere geçsek. Ama madem öle istediniz, üç tane binlik, beş tane üzlük, edi tane de birlik verirdim. Şimdi de ödemeni not et bakalım. Banknot saılarını gene art arda azıorum: 357 Epe zarardasın haatım. Üç bin küsur verdin, üç üz küsur azdın. 3 5 7 Babilli rahipler bu hataı üzlerce sene aptılar. Vermedikleri banknotu azmıorlardı. Hocam vermediğimiz banknotu nie azalım? Bu haksızlık olmaz mı?

16 1 Kümeler ve Saılar 3 5 7 O zaman başınıza bunlar gelir işte. Dürüstlük o kadar basit değil. Vermediseniz, vermedik die azacaksınız. Görüorsunuz ki o rakamların kendilerine has konumları oluşmaa başlıor. Her rakam erini bilecek. Kaç tane birlik verdisen, o rakam en sağdaki evde oturacak. Kaç tane onluk verdisen, o rakam onun solundaki evde. Yüzlükler onun da solundaki evde... Bir ev boşsa, anlış biri gelip oraa oturmaacak. Rahipler bunu kavraınca, boş evleri göstermek için diğer rakamlar arasında küçük boşluklar bırakmaa başladılar. Fakat her biri arı genişlikte boşluklar bırakıorlardı, boşluk var mı ok mu, kaç tane, en sağda boşluk var mı, işler böle de hallolmadı. Boş evin üzerine, burası boş die bir işaret komak gerekiordu. Bir gün bir Babilli rahip, boşluk bıraktığı ere, bir de nokta kodu. O an, belki de sıfırın keşfedildiği andı. Bir nokta komak kaç üz ıl alıor! Olmaanı, olanla göstermek. Olmaanı, olmaanla gösteremiorsun. Derin tuhaflıklarımızdan birisi de şu ki, olmaan bir şee bir ad verdiğimiz zaman, onun artık var olduğunu düşünüoruz. Ama o noktanın, diğer rakamlarla anı statüe ükselebilmesi, diğerlerile toplanıp çarpılabilmesi, ancak bir bin sene daha sonra o esrarengiz Hint te gerçekleşecekti. Evet, bakkal hesabı deip geçmein çocuklar. Bu sistem uzun bir evrimin ürünü. Bir tabanı var, tabanın kuvvetleri var, rakamları var; rakamların, bulundukları konuma göre değişen bir anlamları var; sıfırı var; çok rafine bir sistem ani. Ama köşedeki bakkal amca da bu sistemi kullanarak, toplama, çıkarma, çarpma, bölme apabilior. Valla makineli tüfek gibi, içi çok karmaşık ama, herkes tetiğine dokunup ateş edebilir. O tabana kuvvet dediğiniz şe nedi hocam? Tabana Kuvvet Hatırlarsınız, on lu sisteme göre para basarken, on tane on, a da on kere on dielim isterseniz, sonra on kere on kere on gibi değerlere sahip banknotlar basmıştık. Bir saıı kendisile tekrar tekrar çarparak bulduğumuz bir saıa, bu saının bir kuvveti a da üssü dioruz. Saı derken de şimdilik, sama saıları a da doğal saılar denilen ve 1, 2, 3,... die akıp giden saıları anlaalım. Bu saıların

Tabana Kuvvet 17 kümesi çok önemli olduğu için, bu kümei bundan böle özel sembolü ile göstereceğiz. Şimdi bize bu kümeden bir a elemanı, ani bir a doğal saısı verildiğinde, bu saıı kendisile çarparak bulduğumuz saıa, bu saının ikinci kuvveti a da karesi dioruz ve bunu a 2 şeklinde gösterioruz. Yani, a 2 = a a. Üç tane a ı alıp çarpınca bulduğumuz saıa da bu saının üçüncü kuvveti a da küpü dioruz ve bunu da a 3 şeklinde gösterioruz: a 3 = a a a. Oh ne kolamış! Dört tane a ı alıp çarpınca bulduğumuz saıa da bu saının dördüncü kuvveti a da... nesi dioruz ve bunu da a 4 şeklinde gösterioruz: a 4 = a a a a. Nesi diorduk? demioruz Engin! Karenin a da üç boutlu kübün dört boutlu versionu gündelik imge repertuarımızda olmadığı için ona başka bir şe Bir tane a ı alıp, çarpmadığımızda da, ona a nın birinci kuvveti dioruz ve bunu a 1 şeklinde gösterioruz: Yani, a 1 = a. Selçuk gene hava atıor. Peki sıfır tane a ı alıp çarptığında ne oluor? Mantıklı bir şe sorarsan cevap veririm. Nei nele çarpıorsun? Ama sen de çarpmadan çarpmış gibi apıordun. 1 tane a nın çarpımı ne demek? Tartışmanız çok ilginç gençler. Gerçekten de çarpmadan söz ettiğimizde, elimizde çarpılacak iki saının olması gerekir. Bir tane vea sıfır tane a nın çarpımının anlamı oktur. Hatta üç tane a için bile, a a a deip geçioruz ama, burada dahi aslında(a a) a vea a (a a) azmak gerekir. Ama bunlar anı kapıa çıktığından ifadei parantezlere boğmuoruz, a a a azıoruz. Genel olarak, n

18 1 Kümeler ve Saılar a m+n = a m a n saısı, 2 vea daha büük bir doğal saı ise, n tane a nın bu anlamdaki a a a a çarpımına a nın n. (n inci) kuvveti dioruz ve bunu da a n şeklinde gösterioruz. Şimdi bu kuvvetlerin apaçık ve pek güzel bir özelliği var: m ve n her ikisi de 2 vea daha büük birer doğal saı iseler, o zaman a m+n = a m a n eşitliği geçerlidir. Şüphesiz hocam, her iki durumda da toplam m+n tane a ı çarpmış oluoruz. ne olur dersiniz? Evet çocuklar, zihnimizi korkak alıştırmaalım, a m+n = a m a n ifadesinde n erine acaba 1 değerini kosak, a m+1 = a m a 1 olur. Osa a m+1, m+1 tane a nın çarpımı.. Yani a m a da diebiliriz.. a 1 = a Ne kadar güzel! İşte bu nedenle, ani a m+n = a m a n eşitliğimiz bu durumda da doğru kalsın die, aslında henüz tanımlamamış olduğumuz a 1 ifadesinin anlamı a olsun dioruz: a 1 = a. Matematikçiler alıştıkları ve güzel buldukları ilişkilerin eni ortaa çıkan durumlarda da geçerli kalmasını isterler. O nedenle, eni tanımları mümkünse bunu gözeterek aparlar. Şimdi de, gene a m+n = a m a n ifadesinde, n erine 0 kosak ne olur acaba? a 0 için, a 0 = 1 a m+0 = a m a 0, ani a m = a m a 0 olur. Haa, demek bu eşitlik doğru olsun die a 0 = 1 olsun dioruz herhalde! Tabii ki. Zenep öntemi kaptı! Yani bunlar gaet şirin, anlamlı tanımlar. Bu durumda artık, m ve n nin her birinin herhangi bir doğal saı vea sıfır olması durumunda, a m+n = a m a n eşitliğinin geçerli kalacağını görebilirsiniz. Peki, m ve n erine kesirli vea negatif saılar da koabilir miiz hocam?

Halep Ordasa, Arşın Burda! 19 Halep Ordasa, Arşın Burda! Tabii, sizi tutmak mümkün değil artık! Şimdie kadar daha çok doğal saılar üzerinde durduk; sıfır da azım sisteminin esrarengiz bekçisi olarak kendini kabul ettirdi. Ama çok erken zamanlarda, daha sıfır bile ortaa çıkmadan, doğal saıların etersiz olduğu farkedilmiş olmalı. İşbirliği apılarak avlanan havanlar, a da birlikte hasat edilen ürünler nasıl palaşılacak? Babadan kalan bir tarla kardeşler arasında nasıl bölüşülecek? Zaten ne çıktısa bu palaşım kavgasından çıktı herhalde. Matematiğin nasibine de eni saılar düştü. 10 ölçek buğdaı üç aile palaşacaksa, aile başına 10/3 ölçek! Hadi üçer ölçek aldılar, ama kalan bir ölçeği üçe nasıl böleceksen böl bakalım. Belki orda adaletten başka güçler de vardı ama, biz adaletten arılmaalım. Kola problem değil. Buğdaları tek tek de sasan iş hallolmaabilir. Zetinleri tek tek saabilirsin, ama bir leğen zetinağını nasıl palaşacaksın? Bazı nesneler teker teker samaa müsait. Ama bazı nesnelerin tanecikli olmaan, sürekli bir karakteri var. İnsanlara epe problem çıktı. Sonunda, m tane nesnei n tane insana taksim ettiğimizde ortaa çıkacağını düşündüğümüz büüklüğe m/n saısı dedik. "Sürekli" nesneleri ölçmek için ölçekler, şinikler, dönümler, arşınlar, endazeler oluşturduk. Artık daha az kavga çıkıordu. Halep ordasa, arşın burdadı! Bir çubuğa çentikler atıp, kounları saıorduk. Çentikleri eşit aralıklı apınca da dokuduğumuz kumaşı ölçüorduk. Doğal saılar, rasonel saılar a da gerçel saılar, fazla farkeden bir şe ok, sonuçta, arık vea sürekli, bir şeleri ölçüoruz. Şimdi Gökçe nin sorusuna geçmeden önce, sölein bakalım, m ve n doğal saılar olmak üzere, m/n şeklindeki rasonel saılarla güvenli bir şekilde işlem apabiliorsunuz değil mi? Pisagor Teoremi c b a Tabii ki hocam. İrrasonel saılarla bile işlem apabilioruz. a 2 + b 2 = c 2 İrrasonel saı da nerden çıktı şimdi? Karekök iki, bir irrasonel saıdır. Bir karenin bir kenarı 1 birim ise, Pisagor teoremine göre, köşegeni 2 birimdir ve bunu m/n şeklinde bir rasonel saı olarak ifade edemeiz. 2 1 1

20 1 Kümeler ve Saılar Evet çocuklar, bu Eski Yunanlıların büük bir keşfi idi. Teorik açıdan çok önemli, ama bizim pratiğimiz açısından o kadar da önemli değil. Matematikçiler sonsuz bir hassasiet dugusuna sahip olduklarından, bu işi bir ölüm-kalım meselesi aparlar; ama bizim için aklaşık değerler eterli olacak. 2, kendisile çarpıldığında 2 eden saı demek. Yani, 2 2=2. pozitif (vea 0) ve n bir doğal saı olmak üzere, n saısı, n.kuvveti olan saıdır: ( n ) n =. Bu saıı 1/n olarak da gösterioruz: 1/n = n 2 erine azıoruz. 25=5, çünkü 5 2 = 5 5=25. 3 64=4, çünkü 4 3 = 4 4 4=64. Hocam, bu bana gene a m a n = a m+n formülünü hatırlattı. Burada a=2ve m= n=1/2 alsak, 2 1/2 2 1/2 = 2 1/2+1/2, ani 2 1/2 2 1/2 = 2 1 = 2 olacak. Buradan, 2 1/2 = 2 diebilir miiz? Gökçe işin peşini bırakmıor! Tabii ki, ani, henüz bir anlamı olmaan 2 1/2 ifadesini 2 olarak tanımlarsak, bu çok anlamlı olacak, çünkü a m a n = a m+n eşitliği bu eni durumda da geçerliliğini sürdürmüş olacak. Öle apalım, 2 1/2 = 2 olsun! Hocam, canınızın istediği gibi tanım apıorsunuz! Bir de şu 2 nin ne olduğunu anlaabilsedim.. Bak şimdi Engin, 1 in karesi 1, ama 2 nin karesi 4; demek ki 2 saısı 1 ile 2 arasında bir erlerde olmalı. 1,5 desek, 1,5 1,5=2,25 olduğundan, 1,5 fazla geldi. 1,4 alsak, 1,4 1,4= 1,96 olduğundan, 1,4 az gelecek. Yani 2 saısı, 1,4 ile 1,5 arasında olmalı. Böle ilerlersek, 2 için 1,4142... şeklinde uzaıp giden sonsuz bir ondalık açılım bulabiliriz. Sonsuz ondalık açılım da ne demek? Açılım sonsuz olunca saı irrasonel mi oluor? Burada biraz dikkat etmemiz gerekior. Mete Hoca nın 10/3 saısının ondalık açılımına bir bakalım isterseniz: Bu saı 3+1/3 demek. Şimdi, 1/3 saısının içine kaç tane 1/10 sığıor bakmamız gerek. 3 tane sığar, ama 4 tane sığmaz.

Halep Ordasa, Arşın Burda! 21 Nedenmiş? Çünkü, 3 10 < 1 3 < 10 4 Tamam, tamam. İçler dışlar çarpımı aptın herhalde. Tabii ki, ne sanıorsun? O zaman 3,3 azıoruz, gerie ne kalıor bakıoruz: 1 3 3 10 = 30 1 Şimdi de 1/30 un içinde kaç tane 1/100 var, ona bakıoruz. Gene 3 tane. 3 100 < 1 30 < 100 4 O zaman 3,33 azıoruz, gerie ne kaldı bakıoruz. Hocam siz de amma uzattınız, ben bildiğim gibi bölerim: 10 3 = 3,3333... Peki Engin. Gördüğün gibi burada 3 rakamı hep tekrar edior. Rasonel bir saının ondalık açılımında bir erden sonra bir grup rakam daima tekrar eder. Örneğin 1/6 saısının ondalık açılım 0,16666... olup, 6 rakamı devamlı tekrar eder. 1/7 saısının ondalık açılımı 0,142857142857... olup, 142857 bloğu art arda tekrar eder. Ama irrasonel bir saının açılımında böle devamlı devreden hiçbir rakam grubu oktur. Bu özellik rasonel saılarla irrasonelleri aırdetmek için kullanılabilirse de, bizim amaçlarımız açısından çok da önemli 10 3 9 3,33 10 9 10 9 1

22 1 Kümeler ve Saılar birşe değil. Onuncu, irminci hanedeki küsurat kimi ilgilendirecek? Örneğin milarda bir in ne demek olduğunu bilior musunuz? Tabii hocam, milon, bin kere bin, ani 10 3 10 3 = 10 6. Milar ise bin milon, ani 10 3 10 6 = 10 9. Bir in anında 9 sıfır var. Milarda bir de 1/10 9. Bunu da galiba 10 9 die azıorduk. Peki 1 metrenin milarda biri ne kadar? Ona da nanometre diorlar Zenep cim. Atom bou kadar bir şe. Bir kere atomun bou olmaz, çapı olur. Her nese, ani bir kumaş kestirirken tezgâhtar bu kadar bir hata apsa, a birkaç atom eksik olur, a birkaç atom fazla. Benzetme aslında güzel. Milar deip geçmein. Büük saıları anlamak kola değil. Bakın şimdi, Eskişehir le Urfa arası 1000 km. 1000 km lik bir kurdele düşünsek, bunun milarda biri ne kadar olur? ESK!EH R 1000 kilometre, 1000 1000 metre, ani 1 milon metre demek. 1 milon metre de 1000 1 milon milimetre, ani 1 milar milimetre demek. Yani Eskişehir-Urfa arası 1 milar milimetre. O halde o kurdelenin milarda biri 1 milimetre olur.!anliurfa Çok güzel Zenep. Şimdi Karaollarından izin alıp, bu kurdelei Eskişehir den Urfa a kadar gersek, birisi bu kurdelenin bir erine keçeli kalemle 1 mm kalınlığında bir işaret kosa, Eskişehir den otobüse binip, gözümüzü kapatıp, olda canımızın istediği bir noktada insek ve kurdelei kessek, makasımızın o işaret çizgisine denk gelmesi olasılığı demek ki milarda birdir!! Abovv! Bu Loto da kazanmak gibi bir şe herhalde.

Halep Ordasa, Arşın Burda! 23 gelior. Loto da kazanma şansı daha üksek! Loto da kazanma şansı, o kurdele üzerinde aklaşık 8 santimetrelik bir parçaa karşılık Bunu nasıl hesaplaabiliriz hocam? Artık onu da olasılık hocalarınıza sorun! Anlaşılan milar büük bir saımış.. Birer birer milara kadar sasam kaç saat sürer acaba? Güzel bir soru. Bunu size sınavda soralım. Ama 10 9 die sormaın. 1/10 9 die sorun. Eksilerden nefret ediorum. Hem 9 tane 10 u nasıl çarpacağız? Hocam şimdi anladım. 0 ve n bir doğal saı olmak üzere, saısını n 1 n olarak da gösterioruz: Nei anladın Gökçe? Yine 10 m 10 n = 10 m+n formülümüze dönelim. Burada m saısını 9, n saısını da 9 olarak alırsak, n = 1 n > 0 ve m, n doğal saılar olmak üzere: m/n = n m m/n = 1 n m Sen de bu formüle taktın! O zaman, 10 9 10 9 = 10 9 9 = 10 0 = 1 olur. Demek ki 10 9 un anlamı gerçekten 1/10 9 olmalı. 8 2/3 = 1 = 3 3 1 = 1 8 2 64 4

24 1 Kümeler ve Saılar Bravo Gökçe, formülümüz bu durumda da doğru olsun die, 10 9 u 1 10 9 olarak tanımlıoruz. Şu eksiler olmasa olmaz mı ani? Neden olmasın? Binlerce ıl oktular zaten. En son onlar ortaa çıktı. Matematikte kendilerine bir er edinmeleri ancak son birkaç üz ıl içinde mümkün oldu. Göründükleri kadar da aksi değiller. Borç-alacak işlerinde, hava raporlarında baâ işe arıorlar. İçtima Töreni Şimdi isterseniz bütün saıları içtimaa çağıralım. Askerde öle aparlardı. Bütün bölük bir düzen içinde hazır olur ve sağdan samaa başlanırdı. Saılar için en ii toplanma mekânı bir doğru olur. Bunu sonsuz bir arşın vea cetvel gibi de düşünebiliriz. Önce sıfır gelip, beğendiği bir eri seçecek. 0 Sonra 1 gelip, belli bir ön seçip, sıfırdan bir adım uzakta duracak. Doğruu böle ata çizdiğimizde nedense herkes ön olarak sağ tarafı seçior. Aslında bu işin sağı solu ok. Ama hadi biz de göz alışkanlığını bozmaıp öle apalım. 0 1 Sıfırın eri, doğrunun önü ve adım büüklüğü belli olunca, artık herkesin eri belli olmuştur. Bundan sonra 2 gelip, 1 in bir adım sağında duracak. 3, 2 nin bir adım sağında. Ve böle devam edecek. 0 1 2 3

İçtima Töreni 25 Bundan sonra kesirli saıları sıfırın sağına erleştirebilirdik. Fakat negatif tam saılar, ani 1, 2, 3,... rol çalarak kurumla sıfırın soluna erleşiorlar: 3 2 1 0 1 2 3 Sıfır, doğal saılar ve onların negatiflerinden oluşan kümee tam saılar kümesi dioruz ve onu sembolü ile gösterioruz: ={1,2,3,...} {0} { 1, 2, 3,...} Şimdi sıra kesirli saılarda. Kesirli saı derken de, rasonel olan, ama tam olmaan saıları kastedioruz. Örneğin 7 saısı rasoneldir, çünkü 7/1 şeklinde de azılabilir; ama anı zamanda tamdır tabii. Diğer andan, örneğin 7,5 saısı, 75/10 olarak azılabildiğinden, rasonel bir saıdır, ama şüphesiz tam değildir. Evet, şimdi önce bu kesirli saıların pozitif olanları (ani bildiğimiz kesirli saılar, iki doğal saının oranı şeklinde olanlar) gelip sıfırın sağına ölçülü bir şekilde erleşiorlar: 1 2 3 2 9 4 10 3 3 2 1 0 1 2 3 Sonra negatif kesirli saılar sıfırın soluna geçip, pozitif kardeşlerinin tam simetriğinde erlerini alıorlar: 10 3 9 4 3 2 1 2 1 2 3 2 9 4 10 3 3 2 1 0 1 2 3 Bölece galiba doğruu tüketmiş oluoruz.

26 1 Kümeler ve Saılar Önemli Saı Kümeleri Doğal Saılar ={1,2,3,4,5,6,7,...} Tam Saılar ={..., 1,0,1,2,3,...} Ne gezer! Saıların çoğu daha erlerini almadılar. Şu ana kadar ancak rasonel saıları erleştirdik. Onların kümesini de ile gösterdiğimizi belirteim. Ama hatırlarsınız, rasonel olmaan saılar vardı. Örneğin 2 saısı. Birim karenin köşegen uzunluğu. Hadi onu da erine taşıalım: Pozitif Rasonel Saılar m m ve n doğal saılar n Rasonel Saılar m = m, n, n 0 n Gerçel Saılar : Saı ekseni üzerindeki tüm noktaların belirlediği saılar İrrasonel Saılar Rasonel saı olmaan gerçel saılar Kesirli Saılar Tam saı olmaan rasonel saılar Ondalık Saılar "Ondalık saılar", bir azma biçimidir: 5 4 = 1,25 20 3 = 6,66... 2=1,4142... saıların [a, b] kapalı aralığı (a, b) açık aralığı 1 0 Güzelim π saısını da unutmaalım. O da irrasonel. Çapı 1 birim olan çemberin çevresi. Çembere bir tur attırıp, onu da erine atıralım: 1 2 0 1 2 3π 4 Bunların dışında daha saılamaacak kadar çok irrasonel saı var. Onların da hepsi erlerine erleşince, doğrunun bütün noktaları sahiplerini bulmuş olur. Rasonel vea irrasonel, bütün saıların kümesine de gerçel saılar kümesi dioruz ve onu da sembolüle gösterioruz. Gerçel saıların içtima ettikleri bu doğrua da saı doğrusu vea saı ekseni dioruz. Son olarak da ileride sıkça kullanacağımız iki kavrama değinelim. Birincisi mutlak değer kavramı. Sıfır vea pozitif bir saının mutlak değeri kendisi oluor. Negatif bir saının mutlak değeri de onun pozitif kardeşine eşit. Bir a saısının mutlak değerini a sembolü ile gösterioruz. Örneğin, 5 =5 ve 5 =5. İhtiaç duacağımız diğer kavram da aralık kavramı. Gerçel saıların bir altkümesi, a ve b gibi iki saıı içerdiğinde, bunların arasında kalan diğer bütün saıları da içeriorsa, ona bir aralık dioruz. Örneğin, {, a b} kümesine, "a, b kapalı aralığı" denir ve bu aralık [a, b] şeklinde gösterilir. Benzer şekilde,{, a< <b} kümesine de "a, b açık aralığı" denir ve bu aralık da(a, b) şeklinde gösterilir. Diğer bazı aralık tiplerini ilerleen bölümlerde göreceksiniz.

İçtima Töreni 27 Birkaç nokta dahil olmuş olmamış ne çıkar ki? Ne olursa uçlarda olur. Uç noktalar aralığın bekçileri gibidir. Bekçiler mevziini terkederse, orada asaiş bozulabilir. Örneğin bir fonksion kontrolden çıkabilir. Bunu da sürekli fonksionlar bahsinde göreceksiniz. Beştaş ounu bitti galiba. Yok, daha eni başlıor! Özet Bu ünitede, kümeler ve saılarla ilgili, ortaöğretimden zaten hatırlamanızı umduğumuz temel kavramlar üzerinde durduk. Kümelerle ilgili olarak, birleşim nedir, kesişim nedir, vesaire. Saılarla ilgili olarak da esas itibarile ondalık azım sisteminin ve üslü çoklukların anlamını irdeledik. Her ne kadar hesap makineleri bu işleri çok kolalaştırdı iseler de, saıların mantığını kavramaan onları güvenli ve ararlı bir şekilde kullanamaz. Hesap makinesi kullanmadan da az-çok aklaşık bir işlem apabilmeliiz, oksa hesap makinesi ile de fazla birşe apamaız.

28 1 Kümeler ve Saılar Okuma Parçası Tam Saıların Yetersizliği Bu kitabın dokuzuncu maddesinde saıları üç kısma aırmıştık, şöle ki: Birincisine tam saı, ikincisine kesir ve üçüncüsüne kesirli tam saı isimlerini vermiş ve her birinin neden ibaret olduğunu da açıklamıştık. Şimdie kadar görüp öğrendiğimiz tam saılarla eşaı samak mümkün ise de bir şein ölçüsünü vea tartısını tam saılar ile göstermek her vakit mümkün değildir. Mesela: elimizde bulunan bir parça çuhanın ölçüsünü ani kaç metre olduğunu anlamak istesek uzunluk için tek ölçü birimi olarak kabul olunan metre ile bu çuhanın bounu ölçeriz. Şöle ki: Mesela elimizdeki metre, çuha parçasının üzerinde farz edelim 6 defa devredilerek her ikisinin son uçları tamamen bir diğerine denk gelir ise o vakit şu çuha parçasının uzunluğu tam 6 metre deriz. Fakat bazen olabilir ki çuha parçasının uzunluğu 6 metrei geçer ve tam 7 metreden noksan bulunur, işte o zaman bu çuha parçasının uzunluğu tam 6 metredir dersek eksik sölemiş oluruz ve tam 7 metredir dersek bu defa fazla sölemiş oluruz. Şu örnekten anlaşılıor ki bu gibi bir miktar tam bir saıla ifade olunamaz. Bunun içindir ki tam saıdan başka ufak parçalar kullanmak da gerekir. Yani burada bir metrei farz edelim 10 eşit parçaa aırarak, çuha parçasının 6 metreden fazla gelen kısmının bu ufak parçanın kaçını içerdiğine bakarız: Farz edelim çuha parçasının 6 metreden fazla gelen kısmı bu 10 eşit parçadan 3 tanesini tamamen kapsarsa o vakit çuha parçasının uzunluğu için 6 metre onda 3 tür deriz. Bazen olabilir ki çuha parçasının 6 metreden fazla kalan kısmı metrenin tam onda üç kısmına eşit olmaz. Onda üç ile onda dört arasına tesadüf eder, o vakit bu fazla miktarı ölçmek için bütün metrei 100 eşit parçaa bölerek çuhanın 6 metreden fazla gelen kısmını, üz eşit kısma arılmış metrenin üzerine koarız ve bu küçük bölümlerden ne kadarını içerdiğine dikkat ederiz. Farz edelim çuhanın 6 metreden fazla gelen kısmı 100 eşit bölümden 34 tanesini tamamen kapsarsa o vakit bu çuha parçasının uzunluğu 6 metre ve üzde 34 tür deriz. Yukarıda verdiğimiz şu örnekte 6 metre tam saıdır ve önceki onda 3 ve sonraki üzde 34 de birer kesirdirler. Kanak: Yeni Usul Resimli Hesap Dersleri (s.102-104), Salih Zeki ve Hamazasb Hâki, İstanbul, 1921. (Kesirli saıları bizlerin apabildiğinden daha güzel anlatan bu metni dikkatime getiren Prof. Dr. Mehmet Üreen ile metnin Osmanlıca dan transkripsionunu apan ve metni günümüz diline sadeleştiren Doç. Dr. Halit Biltekin e teşekkür ederim.)

Çıkarın Kağıtları 29 Çıkarın Kağıtları 1. 100 kişilik bir sınıfta belli bir sınav döneminde matematik dersinden başarılı olanlar 70, muhasebe dersinden başarılı olanlar 80 kişidir. Her iki dersten başarılı olanlar 60 kişi olduğuna göre, her iki dersten başarısız olanlar kaç kişidir? 2. {1, 2, 3} kümesinin kaç tane altkümesi vardır? 3. A = {3,5,1,2}, B = {1,7,2,4} ve C={3,6,4,1} ise(a B)\C kümesi nedir? 4. Aşağıdaki kümelerden hangisi{0, 1} kümesinin bir altkümesi değildir? A) B){0} C){1} D) 1 2 E){1,0} 5. İKTİSAT kelimesindeki harflerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A){ K, İ, S, T} B){ T, A, K, S, İ} C){ S, A, K, A, T} D){ İ, P, S, A, T} E){ İ, S, P, A, T} 6. 2 10 aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 32 7. 2 (23) aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 16 B) 32 C) 64 D) 128 E) 256 8. A) 16 B) 32 C) 64 2 2 3 aşağıdakilerden hangisine eşittir? D) 128 E) 256 9. 0,3 10 5 + 4,5 10 4 5000 saısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 15 B) 1,5 C) 1,5 10 2 D) 4,8 E) 48 10. İçinde 500 gram deterjan olması gereken paketler için %1 lik bir tartı hatasına izin verildiği ve firmaların da buna uduğu kabul edilse, bir kutunun içindeki deterjanın gram cinsinden gerçek ağırlığı hangi aralıkta olur? B) 64 C) 128 D) 512 E) 1024

30 1 Kümeler ve Saılar Çözümler 1. Bu sınıfın öğrencilerinin kümesini E ile, matematikten geçen öğrencilerin altkümesini A ile ve muhasebeden geçen öğrencilerin altkümesini B ile gösterelim. E A A\ B A B B\ A B 10 kişi 60 kişi 20 kişi Her iki dersten geçen öğrenciler A B kümesini oluştururlar ve bu kümede 60 kişinin olduğu verilior. Matematikten geçen, fakat muhasebeden kalan öğrenciler A\ B kümesini oluştururlar ve bu kümede 70 60=10 kişi vardır. Muhasebeden geçen, fakat matematikten kalan öğrencilerin kümesi olan B\ A da ise 80 60 = 20 öğrenci vardır. Matematik ve muhasebe derslerinin en az birinden geçen öğrencilerin kümesi A B dir ve bu kümenin 10+60+20= 90 elemanı vardır. Her iki dersten de başarısız olan öğrenciler, bu kümenin tümleenini oluştururlar ve 100 90=10 kişidirler. 2. {1,2,3} kümesinin altkümeleri,,{1}, {2},{3},{1,2},{1,3},{2,3} ve{1,2,3} kümeleridir. O halde bu kümenin 8 tane altkümesi vardır. 3. A ={3,5,1,2} ve B ={1,7,2,4} kümelerinin kesişimi A B ={1,2} kümesidir. C={3,6,4,1} olduğundan, A B kümesinde olup ta, C kümesinde olmaan eleman 2 olup, demek ki(a B)\C={2} dir. 4. 1 2 kümesi dışındaki bütün kümelerin elemanları,{0, 1} kümesinin de elemanıdır. O halde anıt D şıkkıdır. A şıkkındaki boş küme sizi anıltmasın. Boş kümede olup ta,{0, 1} kümesinde olmaan bir eleman bulunmadığından, {0,1} dir. Zaten boş küme, her kümenin altkümesidir. 5. Yanıt B şıkkıdır. Şıklardaki kümelerin elemanlarını ufak bir keif olsun die öle sıraladık, ama tabii ki kümelerde elemanların azım sırası önemli değildir. Örneğin,{T,A,K,S, İ}kümesi ile{i,s,k,a,t}kümesi anı kümedir. 6. 2 10 = 1024 dür: 2 2 = 4, 2 3 = 8, 2 4 = 16, 2 5 = 32, 2 10 = 2 5 2 5 = 32 32=1024. 7. 2 3 = 8 olduğundan, 2 (23) = 2 8 = 2 4 2 4 = 16 16=256. 8. (2 2 ) 3 = 4 3 = 4 4 4=64. 9. 0,3 10 5 + 4,5 10 4 5000 = 3 104 + 4,5 10 4 5000 (3+4,5) 104 = 5 10 3 = 7,5 10 = 75 5 5 = 15. 10. %1 lik bir tartı hatası, en çok 500 1 100 = 5 gramlık bir eksiklik a da fazlalığa neden olacaktır. Bu nedenle söz konusu aralık [495, 505] aralığı olur.