KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi olan c doğal sayısını ele alalım. a ise a sayısını a şeklinde gösterebilir ve karekök iki diye okuyabiliriz.acaba bu sayısı hangi sayılar arasındadır?bunu inceleyelim: 1 1 11 (1,5) 1,5 1,5.5 tir O halde sayısı;1< <1,5 Buna göre sayısı 1 ile 1,5 arasındadır,sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir;çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz. Đşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde,rasyonel olmayan, 5, π, gibi sayılara irrasyonel(rasyonel olmayan) sayılar denir.i ile gösterilir. Đrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesinin birleşim kümesine de reel (gerçek) sayılar denir. RQ U I Q I O N Ζ Q R I R R + Pozitif reel sayılar R - Negatif reel sayılar R R - U {0} U R + Reel sayılar sayı eksenini tamamen doldurur.sayı doğrusunda her noktaya bir reel sayı karşı gelir,yani sayı doğrusu ile reel sayılar kümesi bire bir eşlenebilir. a bir pozitif reel sayı olmak üzere; a b ifadesine kareköklü ifade denir. a bir gerçek(reel) sayı ve m,1 den büyük bir tamsayı ise m a sayısına,a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.m sayısına da kökün derecesi denir. a da, kök derecesi dir. m a sayısının reel sayı olup olmama durumlarını inceleyelim: m, pozitif tek tamsayı ve a R ise m a sayısı bir reel sayıdır. 5,, 7 64 reel sayılardır. m,pozitif çift tamsayı ve a R + ise m a sayısı bir reel sayıdır. 5, 4 1, 6 reel sayılardır. m pozitif çift tamsayı ve a R - ise m a sayısı bir reel sayı değildir. 4, 4 1, 6 reel sayılar değildir. NOT: 1, 4, 9 sayıları reel sayı değildir ;çünkü hiçbir reel sayının karesi 1,-4 ve 9 değildir. 5 48,4 65 45 45 4 88-4 5-16 8 5 704 5 745 48 x 964-704 4 4100 5856
KAREKÖK ĐÇĐNDEKĐ ĐFADENĐN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler veya nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök dışına çıkarılabilirler. a R +,m Z ise a m a m/ a m a,b R + ve b 0 ise a.b a.b a /b a/b dir. a,b R + ve n Z olmak üzere ; a n.b a n. b 4 / 10 10/ 5 4 7 4 /5 8 7. /5.4 7 /5 4 a R için, a a ( ) 9 KAREKÖKLÜ BĐR SAYIYI a b ŞEKLĐNDE YAZMAK : 48 işleminin sonucu kaçtır? 48 4 48.. 1. 6 4 1 504 işleminin sonucu kaçtır? 504 5 504...7 16.... 7 6 18 14 1 7 7 1 UYARI:Karekök dışına çıkarılan sayılar kökün önünde bulunan sayı ile çarpılarak yazılır. KAREKÖK DIŞINDAKĐ ÇARPANIN KÖK ĐÇĐNE ALINMASI Kareköklü bir sayının katsayısını kök içine almakiçin katsayının karesini kök içindeki sayı ile çarpar,kök içine yazarız. a b a.b. 4. 1 RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ a,b R + olmak üzere,
a/ b a / b 9 /16 9/ 16 / 4 4 5 50 / 7 5 / 6 5 / 6 6 9 1 16 5 5 / 16 4 5 1 1 4 4 UYARI:Tam sayılı olan kesirler birleşik kesire çevrilerek pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır. ONDALIK SAYILARIN KAREKÖKÜ Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabalir: 0.09 9 100 10 0.00000016 16 100000000 4 10000.5 5 5 / 10 10 NOT: 0. 04 sayısının karekökünü pratik olarak şöyle alırız.virgül yokmuş gibi kabul edersek, 4 dir.oaha sonra virgülden sonraki her iki basamk için bir basamak sayıyı virgülle sağdan sola doğru ayırırız. 0.04 0. 0.000009. 000009 0 0,00 1 KAREKÖKLÜ SAYILARDA DÖRT ĐŞLEM 1)Toplama-Çıkarma Kareköklü sayılarda toplama-çıkarma işlemi yapılırken karekök içindeki sayıların aynı olması veya aynı hale getirilmesi gerekir.sonra ortak çarpan parantezine alınarak işlem yapılır. a x + b x - c x a + b a + b x (a+b-c) - - 5 + işleminin sonucu nedir? - 5 + ( 5 + 1) - 8-6 + 6-4 işleminin sonucu nedir? Kök içlerini aynı yapmaya çalışmalıyız.
4.7-6 + 9. 7-4. 6. 7-6 + 7-6 4 7 + 7-6 - 6 7 7-5 6 )Çarpma Körekök içinde verilen sayılar çarpılıp kök içine yazılır.mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır. a,b R + ise, a. b a. b ; a. a a a ve x a. b y ab xy - 5. 5. 15 -. 15 45.. 5 5-5. 8 (.) 5. 8 6 40 6... 10 1 10 Kareköklü sayının n kuvveti kök içindeki sayının n kuvvetidir. ( a ) a ( a x ) n a n x n (x >0) ( 5 ) 4 5 4 5.5.5. 5 5.5 5 NOT: ( a + b ). ( a - b ) ( a ) ( b ) a b ( 7 + ). ( 7 - ) ( 7 ) ( ) 7-4 )Bölme Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır.sadeleştirmeler yapılıp,mümkünse kök dışına çıkarılır. a,b R + ve b 0 ise a / b a/ b ve a x / - / 4 / 4 - / 5 : 8 / 5 / 5: 8/ 5 / 4-10 / 5 10 / 5 5 5 / a b y b x/ y dır. PAYDAYI RASYONEL YAPMA Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denir.paydayı kökten kurtarmak için ;pay ve paydayı,paydanın eşleniği ile çarparız. a nın eşleniği a ve a. a a dır. ( a + b ) nin eşleniği ( a - b ) ve ( a + b ). ( a - b ) a b dir. ( a - b ) nin eşleniği ( a + b ) dir. ( a - b) nin eşleniği ( a + b) dir.
a - b nin eşleniği a + ab + b dir. a + b nin eşleniği a - ab + b dir. n a nin eşleniği n a... dir. n a m nin eşleniği n a n-m 1)Paydada Pay ve paydayı a varsa: a ile çarparız. - 1/ 1. /. / - 5/ 5 5. 5 / 5. 5 5 5 /10 5 / )Paydada a + b varsa : Pay ve paydayı a - b ile çarparız. 5 5. ( - ) + ( + ). ( - ) 5. ( - ) ( ) 10-5 4-10 - 5 5( - ) BAZI KURALLAR: 1) m a n a n/m ) m a x, x m a ) m a. m b m a. b 4) m a : m b m a: b 5) a n x - b n x + c n x (a b + c) n x 6) a > 0, b > 0, c > 0 m,n,k pozitif tam sayıdır. m a. b a n b
7) n m a nm a 8) n a m b k c mkn a. b k.c 9) n x n x n x... n 1x 10) n x : n x: n x... n+1x 11)( n a ) n a 1) ( n a ) m n a m 1) a R + ise a. n b n a n. b 14) n a... r a p nr. a... x.. a n. ra... 15) a + a + a +... x ise x 1+ 1+ 4a 16) a ( a + 1) + a( a + 1)... a+1 17) p a... q a... r a k pqr a... xr. + k