AKARSU YÖNTEMİYLE GERİDEN KESTİRME PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Transkript

1 TMM Harita ve Kadastro Mühendisleri dası 0. Türkie Harita ilimsel ve Teknik Kurultaı 8 Mart- Nisan 005, nkara KRSU YÖNTEMİYLE GERİDEN KESTİRME RLEMİNİN ÇÖZÜMÜ V. karsu Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Zonguldak Meslek Yüksekokulu, Teknik rogramlar ölümü, 6700 Zonguldak, vakarsu@mnet.com ÖZET Jeodezik geriden kestirme prolemi, dik koordinat sisteminde koordinatları ilinmeen ir noktadan, koordinatları ilinen en az üç noktaa apılan doğrultu ölçüleri kullanılarak, Öklid metriğine göre ilinmeen nokta koordinatlarının analitik olarak elirlenmesidir. karsu öntemi, geriden kestirme proleminin ollins, Kaestner, Delamre, assini ve nsermet çözüm öntemlerinin alternatifi olarak, çemer elirleme geometrisine daanarak geliştirilmiştir. Yönteminin mantığı, iki ilinen ve aranan noktadan geçen farklı iki çemerin merkezlerine ait dik koordinatları ve arı çapları hesaplanarak, prolem jeodezik temel hesaplama prolemine dönüştürülerek eni nokta koordinatlarının tek noktadan hesaplanmasına daanmaktadır. Saısal ugulamalar ile öntemin sonuçları, doğrultu ve / vea kenar ölçülerile dengelemeli geriden kestirmele elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. nahtar Sözcükler: Öklid Geometrisi, Geriden Kestirme, karsu Yöntemi, Jeodezik Ölçme, Çemer. STRT KRSU METHD FR RESETİN RLEM Geodetic resection is the analticall determination of point coordinates in a artesian coordinate sstem using horizontal angle measurements to at least three known points with respect to the Euclidian geometr. karsu Method of resection has een developed on the asis of fitting appropriate circles in an attempt to solve for the resection prolem as an alternative to the ollines, Kaestner, DeLamre, assini and nsernet solution techniques. The rationale ehind this new technique has een ased on computing the artesian coordinates of the centers of two different circles passing through two known points and the point sought and then determining the coordinates of this point from one known point using a asic geodetic determination approach. The results from this new approach have een compared with the numerical results otained from the results of classicall adjusted resection methods using angles and/or distance measurements. Ke Words: Euclidian Geometr, Resection, karsu Method, Geodetic Measurement, ircle

2 karsu Yöntemile Geriden Kestirme roleminin Çözümü. GİRİŞ Teorik ve ugulamalı jeodezi de tanımlanmış ir dik koordinat sistemindeki nokta konum koordinatlarının elirlenmesi için mutlaka ölçülere ihtiaç duulur. Ölçme ir denedir. Ölçme işi jeodezinin en temel işlevlerinden iridir. ütün geometriler-öklid, Riemann, Loaçevski, Taksi gii geometriler-metrik kavramına daanılarak kurulmuşlardır. u çalışma Öklid Geometrisi metriğine daanmaktadır.kestirme kavramı(prediction, resection tahmin a da prediksion olarak da adlandırılan, konum koordinatları ilinen noktalara daanarak eteri kadar doğrultu ölçülerinden hesaplanmış açılar ardımıla eni nokta konum koordinatlarının elirlenmesi öntemidir. Jeodezik geriden kestirme prolemi ise tanımlanmış ir dik koordinat sisteminde konum koordinatları ilinmeen ir noktadan, konum koordinatları ilinen en az üç noktaa apılan üç doğrultu ölçüsü ardımıla hesaplanan iki açı kullanılarak ilinmeen nokta konum koordinatlarının analitik olarak elirlenmesi öntemidir. Üç noktadan daha çok noktaa doğrultu ölçüleri apılırsa kestirme noktasının koordinatları dengelemeli olarak hesaplanır. u ildirinin amacı, dengelemesiz geriden kestirme proleminin çözümünde karsu öntemini mantığını açıklamak, ugulamasına ait sonuçları, dengelemeli sonuçlar ile karşılaştırmaktır. Geriden kestirme proleminin önemi, Gloal Konum elirleme Sistemi(GS nin mantığını oluşturmasıdır. Yani erüzünde dört outlu koordinatları(3d+zaman ilinmeen ir alıcı noktanın zamana ağlı koordinatları, ilinen udulara apılan gözlemler ile geriden kestirme öntemile elirlenmesidir. Geriden kestirme proleminin çok saıda çözüm öntemlerinden, günümüzde en çok kullanılanları, ollins, Kaestner, Delamre, assini ve nsermet çözüm öntemleridir. İngiliz ilim insanı, John ollins(65-683, 67 ılında geriden kestirme hesaında kendi adı ile anılan çözümü; lman matematikçi, raham Gotthelf Kaestner(79-800, 790 ılında aınladığı ir kitapta geriden kestirme hesaında kendi ismi ile anılan ir çözüm şeklini; Fransız astronom, Jean-aptiste-Joseph Delamre(749-8; İtalan ilim insanı, Gino assini( ve İsviçreli haritacı, M. ugusta nsermet( , 9 ılında kendi ismi ile anılan geriden kestirmede çözüm ollarını ilim dünasına sunmuşlardı(şeretçi, 000 ve 003. u öntemlerden ollins çözüm öntemi koordinatı hesaplanacak eni nokta ve diğer iki sait noktadan geçen ir çemer tasarlanarak, koordinatı hesaplanacak nokta ile çemer üzerinde olmaan üçüncü sait noktadan geçen doğrultunun çemeri kestiği ardımcı noktadan fadalanarak çözüm üretir. Kaestner çözüm öntemi ise konum koordinatları ilinen üç sait nokta ile koordinatları ilinmeen eni noktanın oluşturduğu dörtgenin ilinmeen iki iç açısının hesaplanması mantığına daanarak çözüm üretir. Delamre öntemi cep hesaplaıcılarına ugun analitik çözüm üreten ir öntemdir. assini çözüm öntemi ilinen iki nokta ile ilinmeen eni noktadan geçirilen farklı iki çemer üzerinde tasarlanan ve anı doğrultu üzerinde ulunan farklı iki ardımcı noktaa daanarak çözüm üretir. nsermet öntemi ise ağırlık merkezi ve moment kavramlarına daanarak çözüm üreten ir öntemdir. u öntemler ugulanırken sait noktalar ile aranan nokta ve ardımcı noktaların anı çemer üzerinde olması durumunda, tek anlamlı çözüm elde edilemez. u durumda çemer üzerindeki her nokta konum koordinatı hesaplanacak eni nokta olarak alınaileceğinden, sonsuz saıda çözüm söz konusu olur. Sonsuz çözüm üreten çemer literatürde tehlikeli çemer olarak adlandırılır. karsu önteminin(karsu, 003 mantığı ise çemer elirleme geometrisine daanmaktadır. ir çemerin geometrisi, merkezinin dik koordinatları ve merkezinden eşit uzunlukta ulunan noktaları elirleen arı çapı ile elirlenir. Yöntemde iki ilinen ve aranan noktadan geçen merkezleri ve arı çapları farklı iki çemer tasarlanır. Önce çemerlerin arı çapları hesaplanır, sonra merkezlerin dik koordinatları hesaplanarak çemerler elirlenir. rolemin çözümünün olup olmadığı ise arı çapları toplamı ile çemerlerin merkezleri arasındaki uzunluk karşılaştırılarak karar verilir. Çözüm olması durumunda, çemerlerin ortak kesim noktalarında iri ilinen, diğeri ise ilinmeen noktadan oluşur. Çemerlerin ortak noktalardan geçen kiriş uzunluğu anı zamanda kuvvet ekseni doğrultusu ile çakışır. u durumda kuvvet ekseni çemer merkezlerini irleştiren doğru parçasına dik olur. ilinen nokta, ilinmeen nokta ve çemer merkezlerinin oluşturduğu geometrik apı ir deltoid olur. Çemer merkezleri ile ilinmeen noktanın oluşturduğu üçgenin iç açıları daha kararlı ir trigonometrik fonksion olan tanjantlı arım açı formülleri(karsu, 998 ve 005 ile hesaplanır. u açılar ve çemer arı çapları kullanılarak ortak kiriş uzunluğu kontrollü olarak hesaplanır. nı şekilde ortak kirişin ilinen noktasından aranan noktaa olan açıklık açısı da hesaplanır. ölelikle prolem ir jeodezik temel hesaplama prolemine dönüştürülerek rahatlıkla eni nokta konum koordinatları hesaplanır. Yöntemin avantajı ütün ara hesaplamalar kontrollü apıldığından ilinen tek noktadan, aranan noktanın koordinatlarının ulunması eterli olmaktadır. Doğrultu ve / vea kenar ölçülerile geriden kestirme proleminin saısal ugulamalar ölümünde, karsu öntemile elde edilen koordinat değerleri ile dengelemeli olarak elde edilen koordinat değerleri karşılaştırılmıştır.saısal ugulama ve de Y koordinat değerleri anı ulunmasına karşın, X koordinat değerleri ± cm kadar değişmektedir. Ugulama 3 de ise Y koordinat değeri cm ve X koordinat değeri ise cm kadar değişmektedir. Ugulama 4, 5 ve 6 de Y koordinat değerleri (-3 cm ve X koordinat değerleri ise (4-5 cm kadar değişmektedir. Doğrultu ölçülerile geriden kestirmenin dengeleme hesaı ile elde edilen koordinat değerleri ile dengelemesiz karsu öntemi ile elde edilen koordinat değerleri uumlu olmasına karşın, doğrultu ve kenar ölçüleri ile dengelemeli geriden kestirme hesaı ile ulunan koordinat değerleri ile dengelemesiz karsu öntemile elde edilen koordinat değerleri arasındaki fark üümektedir.

3 karsu. KRSU ÇÖZÜM YÖNTEMİNİN MNTIĞI R γ E α D β δ R α F β 3 Ç (,R Ç (,R Şekil : Geriden Kestirme rolemi, karsu Çözüm Yönteminin şematik gösterimi. karsu öntemile geriden kestirme proleminin çözümüne ilişkin aşağıda çıkartılan ütün eşitlikler, Şekil deki, ve noktalarının dik koordinatları ve noktasında apılan r, r, r doğrultu ölçüleri kullanılarak çıkartılmıştır. noktasındaki doğru parçalarının ve R, R α ve β iç açıları, çemerlerin arı çap uzunlukları, X, X açıklık açıları(eğim açıları ve, α r r, β r r ( X arc tan( a a ( a a a, R R sin (3 X arc tan( ( X cos( X sin( α c c (4 c c, R R sin (, (, (3, (4 ve (5 eşitlikleri ile hesaplanır. (5 ( X cos( X sin( β Jeodezide ir doğru parçasının açıklık açısı, açılan ve kapatılan parantezler içerisine doğru parçasının uç noktalarını gösteren üük harfler azılarak (, (, şeklinde gösterilir. çıklık açılarının u gösterim şekli, açı tanımına ugun ir gösterim değildir. u nedenle açıklık açısı gösterimi matematik de ki açı tanımına ugun olarak X, X,... gösterimi tercih edilmiştir(karsu, 005. a

4 karsu Yöntemile Geriden Kestirme roleminin Çözümü Çemerde çevre açı ve teğet- kiriş açılar arasındaki ilişkiden hareketle, E α D β (6 (6 eşitlikleri azılailir. ve ikiz kenar üçgenlerin γ ve δ taan açılarının hesaı, (6 eşitliklerindeki α ve β açılarının dar ve / vea geniş iç açılar olma durumları dikkate alınarak, aşağıdaki a,, c ve (d seçeneklerine göre, a α 00 gon, β 00 gon iseler γ 00 gon α, δ 00 gon β α 00 gon, β 00 gon iseler γ α 00 gon, δ β 00 gon c α 00 gon, β 00 gon iseler γ 00 gon α, δ β 00 gon (7 d α 00 gon, β 00 gon iseler γ α 00 gon, δ 00 gon β (7 eşitsizliklerin devamındaki eşitliklerle hesaplanır. Ç Ç, ve noktalarından, ve çemerlerinin ve merkezlerine olan açıklı açıları, X X X + γ, X + δ, X X X γ X δ (8 eşitlikleri ile hesaplanır. karsu çözüm öntemi çemer, kesişen iki çemerin kuvvet ekseni ve deltoid geometrisi mantığına (, R R Ç, ( R daanmaktadır. Şekil e göre, ve noktalarından merkezli ve arı çaplı ve, ve R Ç noktalarından ise merkezli ve arı çaplı çemerler geçtiği varsaılır. u çemerlerin geometrisi ancak merkezlerinin dik koordinatları ile arı çaplarının elirlenmesile olanaklıdır. Çemer arı çapları Ç Ç (3 ve (5 eşitlikleri ile hesaplanır. ve çemerlerinin ve merkezlerinin dik koordinatları ise (3, (5 ve (8 eşitliklerinden üretilen veriler kullanılarak, Temel Jeodezik Hesaplama rolemi çözüm tekniğine göre, o a sin( X sin( X cos( X cos( X o a o c sin( X sin( X cos( X cos( X o c (9 (9 eşitlikleri ile hesaplanır.

5 karsu o o X arc tan( (0 o o o o o o c ( sin( X cos( X nı düzlemde ulunan iki çemerin iririne göre durumları, arı çapları uzunlukları toplamı ile merkezleri arasındaki uzunluk kıaslanarak elirlenir. Şekil e göre, + ve Ç Ç { } R R ise u iki çemer ilinen ve aranan noktalarında kesişirler. ( Eğer ( eşitsizlik koşulu sağlanırsa geriden kestirme proleminin tek anlamlı çözümünün varlığından söz edilir. ( eşitsizliğinin diğer ir anlamı ise düzlem dik koordinatları ile konumları ilinen, ve noktaları ile noktasında apılan doğrultu ve / vea kenar ölçülerile anı düzlemde dik koordinatları hesaplanarak konumu elirlenmek istenen noktasının, anı çemer üzerinde olmadığına önelik (literatürdeki ifadesile tehlikeli çemer üzerinde olup olmadıkları ir ölçüt olmasıdır. Eğer ( koşulu sağlanamazsa ani tehlikeli çemer durumunda ise,, ve noktaları anı çemer üzerinde olacaklarından, noktasının dik koordinatları için sonsuz çözüm söz konusu olur. İki çemerin kuvvet ekseni, u çemerlere göre anı kuvvetteki ir noktadan, çemer merkezlerini irleştiren doğru parçasına indirilen dik ir doğrudur. Kuvvet ekseni arı çapı küçük olan çemere daha akındır. Kesişen iki Ç Ç çemerin kuvvet ekseni ise ortak kirişi taşıan doğrudur. Şekil e göre ve çemerlerinin ortak kesim noktalarından iri olan ve ilinen noktası ile aranan noktasından geçen ortak çemerlerin kuvvet ekseni olmasından dolaı, açıları tanjat trigonometrik fonksion değerleri çarpımı eksi ire eşittir. (3 eşitliğinden hareketle, eşitliği elde edilir. Ç Ç kirişi, ve kesişen olur. iririne dik iki doğru parçasının açıklık tan( X tan( X (3 X arc tan( (4 tan( X Düzlemde üç noktadan ir çemer geçer. ir çemerin geometrisinin elirleen merkezinin dik koordinatları (9 arı çapı ise (3 a da (5 eşitlikleri ile hesaplanır. Ç ve Ç kesişen çemerlerin kuvvet ekseni üzerindeki ortak Ç ve ve kiriş uzunluğu (0 - (0 eşitlikleri ile hesaplanır. Şekil de Ç çemerlerinin merkez noktaları ile ilinen ve aranan noktaları tarafından oluşturulan geometrik apı ir deltoidtir. deltoiddinin köşegeni ve açılarının açıortaıdır. Deltoid özelliği gereği kuvvet ekseninin ulunduğu köşelerdeki açılar iririne eşittir. Yani, şeklindedir. vea üçgenlerine ait, (5 3

6 karsu Yöntemile Geriden Kestirme roleminin Çözümü R,R,c iç açıları kenarlarına ağlı tanjantlı arım açı formülleri ile aşağıdaki (6 - (7 eşitlikleri ile hesaplanır ve (5 ifadesindeki açıların hesap doğruluğu ise (8 eşitliği ile kontrol edilir. u : : vea üçgenlerine ait arı çevre uzunluğu vea üçgenlerine ait iç teğet çemer arı çap uzunluğu r R + c u, r ( u R ( u R ( u u c (6 r arc tan( u R r arc tan( (7 u R r 3 arc tan( u c gon (8 F R sin( R sin( (9 deltoiddinin ilke kullanılarak, köşegen uzunluğu, köşegen uzunluğunun orta noktası F de dik kesişirler. u F (0 eşitliği azılailir. ilinen noktasından hareketle (4 ve (0 eşitlikleri de kullanılarak, noktasının aranan dik koordinatları, Temel Jeodezik Hesaplam rolemi çözüm tekniğine göre, p p + + sin( X cos( X ( eşitlikleri ile hesaplanır. noktası koordinatlarının doğru hesaplanıp hesaplanmadığının kontrolü ise ( ( p + ( p eşitliği ile sağlanır.

7 karsu 3. SYISL UYGULMLR 3. Saısal Ugulama Şekil : noktasından, ve noktalarına apılan doğrultu ölçüleri geometrisi(öztürk ve Şeretçi, 995, s.50. Şekil, 3, ve 4 için 7, 34, 39, D3 ve 33 kısaltmaları kullanılmıştır Çizelge : Dik koordinatlar D. Nok.. Nok Doğr.(g Çizelge : Doğrultu ölçüleri Çizelge ve Çizelge (Öztürk ve Şeretçi, 995, s.50 verilerine göre noktası koordinatlarının karsu öntemine göre hesaplanması aşağıda özetlenmiştir. X gon, a 99.0 m, R m X gon, D m, R m Çizelge 3: Çemer merkezlerinin koordinatları X gon, c m, X gon R 309.4m m, r m gon, gon, gon, F m, m 00gon Çizelge 4: noktasının karsu Yöntemile hesaplanan koordinatları Çizelge 5: noktasının doğrultu ölçüleri dengelemesile hesaplanan koordinatları(öztürk ve Şeretçi, 995, s.55.

8 karsu Yöntemile Geriden Kestirme roleminin Çözümü 3. Saısal Ugulama D Şekil 3 : noktasından, D ve noktalarına apılan doğrultu ölçüleri geometrisi(öztürk ve Şeretçi, 995, s D Çizelge 6: Dik koordinatlar D. Nok.. Nok Doğr.(g D Çizelge 7: Doğrultu ölçüleri Çizelge 6 ve Çizelge 7 (Öztürk ve Şeretçi, 995, s.50 verilerine göre noktası koordinatlarının karsu öntemine göre hesaplanması aşağıda özetlenmiştir. XD gon, D a m, R m XD gon, D m, R 8.5 m Çizelge 8: Çemer merkezlerinin koordinatları X gon, c 9.405m, XD gon R m 9.405m, r m gon, gon, gon, DF m, m 00gon Çizelge 9: noktasının karsu Yöntemile hesaplanan koordinatları Çizelge 0: noktasının doğrultu ölçüleri dengelemesile hesaplanan koordinatları(öztürk ve Şeretçi, 995, s.55.

9 3. 3 Saısal Ugulama 3 D karsu Şekil 4 : noktasından, D ve noktalarına apılan doğrultu ölçüleri geometrisi(öztürk ve Şeretçi, 995, s D Çizelge : Dik koordinatlar D. Nok.. Nok Doğr.(g D Çizelge : Doğrultu ölçüleri Çizelge ve Çizelge (Öztürk ve Şeretçi, 995, s.50 verilerine göre noktası koordinatlarının karsu öntemine göre hesaplanması aşağıda özetlenmiştir. X gon, a m, R m XD gon, D m, R m Çizelge 3: Çemer merkezlerinin koordinatları X gon, c m, X gon R m m, r m gon, gon, gon, F m, m 00gon Çizelge 4: noktasının karsu Yöntemile hesaplanan koordinatları Çizelge 5: noktasının doğrultu ve kenar ölçüleri dengelemesile hesaplanan koordinatları(öztürk ve Şeretçi, 995, s. 55.

10 karsu Yöntemile Geriden Kestirme roleminin Çözümü 3. 4 Saısal Ugulama 4 Şekil 5: noktasından, ve noktalarına apılan doğrultu ölçüleri geometrisi(demirel, 004, s.39. Şekil 5, 6 ve 7 için 58, 59, 65, D63 ve 64 kısaltmaları kullanılmıştır. Nok. Nr. X(m Y(m Çizelge 6: Dik koordinatlar D. Nok.. Nok Doğr.(g Çizelge 7: Doğrultu ölçüleri Çizelge 6 ve Çizelge 7 (Demirel, 004, s.39 verilerine göre noktası koordinatlarının karsu öntemine göre hesaplanması aşağıda özetlenmiştir. X 8.805gon, a 8.96 m, R 3.96m X gon, m, R m Çizelge 8: Çemer merkezlerinin koordinatları X 8.00 gon, c 79.85m, X 8.00 gon R 5.73 m 79.85m, r m gon, gon, gon, F m, m 00gon Çizelge 9: noktasının karsu Yöntemile hesaplanan koordinatları Çizelge 0: noktasının doğrultu ve kenar ölçüleri dengelemesile hesaplanan koordinatları(demirel, 004, s.4.

11 karsu 3. 5 Saısal Ugulama 5 D Şekil 6: noktasından, D ve noktalarına apılan ve kenar ölçüleri geometrisi(demirel, 004, s.39. Nok. Nr. X(m Y(m D Çizelge : Dik koordinatlar. Nok Doğr.(g D. Nok D Çizelge : Doğrultu ölçüleri Çizelge ve Çizelge (Demirel, 004, s.39 verilerine göre noktası koordinatlarının karsu öntemine göre hesaplanması aşağıda özetlenmiştir. XD gon, a m, R 4.568m XD gon, D m, R m Nok. Nr. Y(m X(m Çizelge 3: Çemer merkezlerinin koordinatları X gon, c m, X gon R m m, r m 8.768gon, gon, gon, F m, m 00gon Çizelge 4: noktasının karsu Yöntemile hesaplanan koordinatları Çizelge 5: noktasının doğrultu ve kenar ölçüleri dengelemesile hesaplanan koordinatları(demirel, 004, s.4.

12 karsu Yöntemile Geriden Kestirme roleminin Çözümü 3. 6 Saısal Ugulama 6 D Şekil 7: noktasından, ve D noktalarına apılan doğrultu ölçüleri geometrisi(demirel, 004, s.39. Nok. Nr. X(m Y(m D Çizelge 7: Dik koordinatlar D. Nok.. Nok Doğr.(g D Çizelge 8: Doğrultu ölçüleri Çizelge 7 ve Çizelge 8 (Demirel, 004, s.39 verilerine göre noktası koordinatlarının karsu öntemine göre hesaplanması aşağıda özetlenmiştir. X gon, a m, R m XD gon, D m, R m Çizelge 9: Çemer merkezlerinin koordinatları X gon, c 50.03m, X gon R m 50.03m, r m gon, gon, gon, F m, m 00gon Çizelge 30: noktasının karsu Yöntemile hesaplanan koordinatları Çizelge 3: noktasının doğrultu ve kenar ölçüleri dengelemesile hesaplanan koordinatları(demirel, 004, s.4.

13 karsu 4. SNUÇ Doğrultu ve / vea kenar ölçülerile geriden kestirme proleminin karsu çözüm öntemi, günümüzde kullanılan çözüm öntemlerinden, farklı ir mantıkla çözülmüştür. karsu önteminde aranan nokta koordinatları ilinen tek noktadan hareketle hesaplanmaktadır. Geliştirilen öntemde prolemin anlamlı tek çözümünün olup olmadığı da test edilmektedir. Diğer ilinen iki nokta koordinatlarının eni nokta koordinatının elirlenmesindeki katkıları, çemer geometrisinin elirlenmesi, açı ve uzunluk hesaplarına aptıkları katkılar ile dolalı katkı aparlar. Sadece üç sait noktaa apılan doğrultu ölçüleri kullanılarak geriden kestirme proleminin karsu öntemile üretilen koordinat değerleri, anı noktadan dört sait noktaa apılan doğrultu ölçülerile dengeleme hesaıla üretilen koordinat değerleri, çizelge 4, 5, 9 ve 0 görüldüğü gii Y değerleri anı, X değerler ise ± cm kadar farklı olmaktadır. Çizelge 4 ve 5 de görüldüğü gii Y değeri cm, X değeri ise cm kadar farklı olmaktadır. Saısal ugulama 4, 5 ve 6 da görülen doğrultu ve kenar ölçülerinden dengelemeli olarak üretilen koordinat değerleri ile anı noktanın sadece üç doğrultu ölçülerinden hareketle karsu öntemine göre üretilen koordinat değerleri çizelge 9, 0, 4, 5, 30 ve 3 görüldüğü gii u farklar iraz artmaktadır. ÇIKLM: u çalışmamı tarihinde vefat eden, ülkemizde jeodezinin gelişmesine önemli katkıları olan sagıdeğer ilim insanı merhum rof. Dr. Muzaffer Şeretçi hocama ithaf ediorum., jeodezi tepesinde ir çamdı., sevenleri ve jeodezi ilim dünasının kalinde çam ağacı gii hep eşil kalacak. nun, Ruhunda güneş açsın ve Ruhu şad olsun. KYNKLR karsu V., 005. Düzlem Trigonometri, Ders Notları, Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Zonguldak Meslek Yüksekokulu, Zonguldak. karsu V., 005. Ölçme ilgisi I, III Ders Notları, Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Zonguldak Meslek Yüksekokulu, Zonguldak. karsu V., 003. Geometrik Geriden Kestirme roleminin(ggk Çözümünde Yeni ir Yöntem, Türkie Ulusal Jeodezi Komisonu(TUJK 003 Yılı ilimsel Toplantısı, oğrafi ilgi Sistemleri (S ve Jeodezik ğlar Çalıştaı, 4-6 Elül, 03-08, Kona. karsu V., 998. Düzlem Üçgende çı Teoremleri, II. Kızılırmak Uluslararası Fen ilimleri Kongresi Matematik, 0- Maıs, Kırıkkale. Demirel H., 004. Dengeleme Hesaı, Safa: 39-43, YTÜ İnşaat Fakültesi Yaını, Saı: İN.JFM , İstanul. Öztürk E., Şeretçi M., 995. Dengeleme Hesaı, ilt II,. askı, Safa: 50-55, KTÜ Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Trazon. Şeretçi M., 003. Haritacılık ilimi Tarihi,. askı, YTÜ İnşaat Fakültesi Yaını, Saı: İN.JFM-03-00, İstanul. Şeretçi M., 000. Harita ilim Tarihinde iografiler, YTÜ İnşaat Fakültesi Yaını, Saı: İN.JFM-99.00, İstanul.