ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ ADIM m(ëa) + m(b) = m(ëa) = ise 2.m(ëA ) = =

Transkript

1 ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ DIM 0. m(ë) ise.m(ë ) m(ë) m(ë) m(ë) m() dir. 08 R R 80 radandır irim çemberin üzerindeki bir nokta eşitliğini sağlamaktadır. halde f p k k t k olur.. m(ë) 0 m(ë) radan radan m(ëc) 80 ( ) olur. olduğundan olduğundan doğru cevap E seçeneğidir. dımda Matematik 8

2 olduğundan radan olur. radanın esas ölçüsü radandır. DIM 0. a ve q açılarını ugun erlere taşıalım. tana ve cotq olduğundan tana cotq olur.. D 6k ve D k olsun k D k 0 kñ 60 ke 7k C [DE] ^ [C] olacak şekilde [DE] i çizersek E k, DE kñ ve FC 7k bulunur. k halde, tana olur. 7k 7. m(éd) 90 ve m(éc) 90 olduğundan m(éc) m(éc) 90 olur dımda Matematik 8 olduğundan 9 6 radanın esas ölçüsü 9 radanın esas ölçüsü de 6 6 radan 80 0 olur. 6 6 radan, radandır D 90 C uradan C cm, D cm tan olur. 86

3 . [CE] // [D] olacak şekilde [CE] i çizelim. 7. D C D C E m(eéc) 90 olacağından tana olur. E 7 F [CF] ^ [E] çizelim. ÿe ÿcf olacağından F cm, CF cm ve EF 7 cm olur. halde, tana 7. coë cotëc 6 ise D DC 6 D DC 6 D DC bulunur. ( ) halde lan(c) D DC. 8 cm olur. 8. ir dik üçgen çizerek üzerine sin a olacak şekilde bir açısı erleştirelim. a C 6. m(cé) m(éc) a olur. C D Pisagor Teoremi nden a a a olduğundan tan a olur. a CD üçgeninde cot D olduğundan D cota D üçgeninde D D sina olduğundan sin cot olur. sin 9. C 9 cota olur. D dımda Matematik 87

4 0. C bir üçgen ise C 80 C 90 c olduğundan cos sin olur.. noktasının koordinatları (cos0, sin0 ) olduğundan cos0 cos0 ve C cos0 olur.. f p sin 60 cos f p 6 olur.. üçgeninde Pisagor Teoremi ugulanırsa f p 6 6. cos.tan60 cos0 ise cos.ñ olduğundan 60 olur. cos birim olur. halde cosa tür. DIM 0.. C E D 0 0 dımda Matematik 90 0 K 70 K noktası pozitif önlü 90 lik açının, negatif önlü 70 lik açının bitiş noktasıdır. halde K(cos90, sin90 ) vea K(cos( 70 ), sin( 70 )) olur. ÿce ÿde olduğundan CE DE dir. DE cos0 olduğundan CD.cos0 ve E sin0 olur. halde. cos0. sin 0 lan(cd) cos0.sin0 olur. 88

5 . E C ÿe ÿf olduğundan F F br olur. 8. fc m. sin. cos.( ). 7 olur.. bölge sin > 0 cos > 0. bölge sin < 0 cos < 0. bölge sin > 0 cos < 0. bölge sin < 0 cos > 0 F d n F 9 F 9 8 F br C olduğundan 000 nin esas ölçüsü 80 dir. 80,. bölgede bir açı olduğundan sinüsü negatif, kosinüsü pozitiftir. halde a sin80 < 0 b cos80 > 0 c sin80.cos80 < 0 olur. (cos( 0 ), sin( 0 )) olduğundan cos( 0 ) ve sin( 0 ) olur. 0. a ı dar açı kabul ederek dik üçgen üzerine erleştirelim. ò0 7. cos sinc m ( ) cos olur. Pisagor teoreminden (0) 9 0 bulunur. halde cosa olur. 0 a,. bölgede olduğundan kosinüs değerinin negatif olacağını unutmaınız. dımda Matematik 89

6 cos70 cos0 cos f() (sin ) 9 sin sin (sin ) 6 (sin ) 9 7 P() 7 olduğundan f fonksionunun görüntü kümesi [, 7] dir. irim çemberden de görüleceği gibi cos00 > cos0 > cos70 ani a > b > c olur. DIM 0.. Önce, ve kesirlerini küçükten büüğe doğru 7 sıralaalım. Kesirlerin palarını eşitlersek olduğundan < < olur. 7 irinci bölgede açı büüdükçe kosinüs küçüldüğünden a > b > c olur. Pisagor Teoremi nden () ñ olduğundan tana ñ olur.. dımda Matematik. cos cos cos cos k olduğundan k nın alabileceği en küçük değer en büük değer dir. m(é) a olduğundan cota olur. ñ 90

7 . 6. noktasının apsisi cosa değeridir. cota ise a açısının dar açı kabul ederek dik üçgen üzerine erleştirelim. Pisagor Teoremi nden (ñ7) 6 ñ6 olduğundan cota ñ6 olur. ñ olduğundan cosa olur. (90 < a < 80 olduğundan cosa değerinin negatif olduğuna unutmaınız.) 7. cota ise noktasının apsisi ve H birimdir.. D üçgeni 0, 60, 90 üçgenidir. H 0 60 θ olduğundan birimdir. üçgeninde Öklid Teoremi ugulanırsa H H. H. noktasının ordinatı sina, noktanın ordinatı ise tana değeridir. halde sina olduğundan $ H H birim bulunur. 8. C tana ve C ise C üçgeninde Pisagor Teoremi nden ve tana olur. ( ) C C ( ) tan a tan tan olur. dımda Matematik 9

8 6. a açısını dar açı kabul ederek dik üçgen üzerine erleştirelim. 8. ñ6 c b a (ñ6) ò olduğundan Yukarıdaki birim çemberden de görüldüğü gibi a < b < a olur. sina.cosa 6 $ 6 9. (, tan0 ) 6 olur (, tan0 ) (, tan0 ) olduğundan radanlık açının esas ölçüsü radandır. Yani açı. bölgede ve a > 0 olur. Yukarıdaki birim çemberden de görüldüğü gibi tan0 < tan0 < tan80 ani a < b < c dir. DIM 0 dımda Matematik 8 6 olduğundan radanlık açının esas 7 ölçüsü radandır ani açı. bölgededir ve b < 0 olur. olduğundan radanlık açının esas 6 7 ölçüsü radandır ani açı 6 6. bölgededir ve c > 0 olur. halde a, b ve c nin işaretleri sırasıla,, olur.. ( sin)( sin) ( cos).( cos) sin cos cos sin olur.. sin cos eşitliğinin iki tarafının karesini alalım. (sin cos ) sin sin.cos cos sin.(sin.cos) cos sin cos $ d n sin cos 9 7 olur. 9 9

9 . erine sin cos azalım. sincos sin sin cos cos ( sin cos ) sin cos 0 < < için cos < sin olduğundan (sin cos) cos sin olur. 6. (sin tan).(cot.cos cot) sin cos cos dsin n $ d $ cos n cos sin sin cos cos sin e o$ $ ( cos ) cos sin cos sin olur. 7. tan cot sin cosec cos $ $ sec cos sin sin cos. cos sin sin cos cos cos $ sin sin cos sin cos cos olur. sin cos sin cos $ $ cos sin cos sin $ sin $ $ cos cos sin olur.. tan tan tan $ cot a cot a cot sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin cos tan olur. sin $ sin cos 8. sin cos ise 0sin cos sin cos sin cos 6sin 9cos sin 9 cos 6 tan bulunur. açısını dar açı kabul ederek dik üçgen üzerine erleştirelim. Pisagor Teoremi nden a a a bulunur. halde, cos olur. açısı. bölgede olduğundan cos < 0 olduğunu unutmaınız. a dımda Matematik 9

10 9. tan cot ñ ise (tan cot) (ñ) tan tancot cot tan cot tan cot 7 bulunur. Eşitliğin iki tarafının karesini alırsak (tan cot ) 7 tan tan cot cot 9 tan cot 9 tan cot 7 olur.. C C üçgeninde Pisagor Teoremi nden ( ) tan a tan tan sin a cos a 0. cos sin cos cos ( cos ) cos cos cos cos cos 0 cos cos (cos ).(cos ) 0 cos 0 vea cos 0 cos cos bulunur. açısın. bölgede olduğundan cos < 0 olmalıdır. halde cos olur. cos a sin a cos a cos a cos a seca olur.. sin cos sin sincos cos 9 sincos 9 sincos 9 8 ise (sin cos) d n sin.cos 9 bulunur. sin cos tan cot cos sin ( sin) ( cos) dımda Matematik. cos sincos ise cos sincos sin sin.cos sin 0 olduğundan eşitliğin iki tarafını sin ile bölersek sin cos sin cos tan olur. sin cos sincos sincos 9 9 olur. 9

11 DIM 06. cos ise ñ sind n$ tan(p ) cos.( tan) sin cos $ cos sin. cos e o sina tan (p a) tana sin(p a) sina cot f p tana halde; sina tana sina tana 0 bulunur. olur.. 8. tan0 tan(90 0 ) cot0 a tan00 tan(80 0 ) tan0 a tan0 tan(70 0 ) cot0 a tan90 tan(70 0 ) cot0 a tan0 tan00 tan0 tan90 a a a a a a a a bulunur. D F noktasından [D] e paralel olacak şekilde [F] çizilirse D F 9 br, DF 8 br, FC br olur. CF üçgeni (9 ) dik üçgeni olduğundan, tan(80 a) 9 tana tan a bulunur. C. p p dir. cos( ) cos(p ) cos bulunur.. Pozitif önlü açısının ölçüsü 0 dir. noktasının koordinatları, cos0 cos(70 0 ) sin0 sin0 sin(70 0 ) cos0 (, ) (sin0, cos0 ) bulunur. Cevap E dımda Matematik 9

12 6. a sin60 sin(80 0 ) sin0 b cos0 cos(60 0 ) cos0 sin0 c tan tan(80 ) tan d cot90 cot(70 0 ) tan0 d negatif olduğu için diğerlerinden daha küçüktür. irim çember üzerinde a, b ve c arasındaki sıralamaı görmee çalışalım. sinüs c b a 0 0 Tanjant cosinüs DIM 07. D üçgeninde D D.. D.cos(éD)...cos(éD).cos(éD) cos(éd) bulunur. C üçgeninde C C.. C.cos(C).. $ 8 7 ñ7 Şekilde de görüldüğü üzere a < b < c dir. d negatif olduğu için diğerlerinden küçüktür demiştik. halde sıralama, d < a < b < c şeklindedir. 7. sinc m sin < c mf sinc m cos tand n tan > d nh tan d n cot. Soruda verilenlere göre, C üçgenini çizelim. cotc m tan ò0 sinc m tand n $ cotc m cos ( cot).( tan) cos cot.tan 8 bulunur. Kosinüs teoremine göre, C C.. C.cos(éC) (ò0) ().. $ 0 0 C dımda Matematik sin cos 0 olduğundan 0 cm olur. 96

13 . DC üçgeninde kosinüs teoreminden D C DC. C. DC.cos(CD) (6)...cos(CD) 6 0 6cos(CD) cos(cd) olur. C dik üçgeninde C cos(cd) C 7. C D cm bulunur.. Kosinüs teoremine göre, a b c bc.cosë olduğundan b c bc.cosë b c bc bc.cosë bc cosë bulunur. uradan m(ë) 0 olur. m(dé) a ise m(déc) 80 a ve D olsun. DC üçgeninde kosinüs teoreminden...cos(80 a).( cosa) cosa D üçgeninde kosinüs teoreminden...cosa cosa () ve () birlikte çözülürse cosa cosa 6cosa 8 cosa. C üçgenine kosinüs teoremi ugulanırsa () ( ).. ).cos60..( ) $ 0 ( )( ) 0 vea olduğundan olur. 8. C üçgeninde kosinüs teoreminden (ñ)...cos(éc) 0 6cos(éC) cos(éc) bulunur. 6. c a b a b r a ise c a b abñ m(eéd) m(c) olduğundan cos(eéd) olur. c a b abñ olur. ED üçgeninde kosinüs teoreminden C üçgeninde c b ab.cosëc a b abñ ab.cosc abñ cosëc olur. halde m(ëc) 0 dir cos(EéD) $ 6 68 ise 68 7 olur. dımda Matematik 97

14 9. C üçgeninde kosinüs teoreminden C C.. C.cos(éC) (ñ)...cos(éc) 8 0 6cos(éC) cos(éc) bulunur. 8 m(eéd) 80 m(éc) olduğundan cos(eéd) cos(80 m(éc)) cos(éc) bulunur. 8. ED üçgeninde m(éde) olduğundan sinüs teoreminden 9 6 sin sin a 9 6 sin a sin a olur. ED üçgeninde kosinüs teoreminden...cos(eéd) $ d n 8 ve 9 birim olur. DIM C üçgeninde sinüs teoreminden C sin0 sin C. cosinüs fonksionunun derecesi çift olduğundan dolaı, Periot bulunur. ñ. C ñ. C 6 olur.. a) Periot b) Periot $ dir.. C üçgeninde sinüs teoreminden dımda Matematik C C k olsun. sinθ sin sin β halde C 8 k ve k sinθ sin k bulunur. uradan C sin β k olur.. cos (6 ) in periodu 90 tan c m nin periodu: 60 olduğundan, f() fonksionunun periodu (P) P KEK (60, 90 ) 80 p olarak bulunur. 98

15 . f() fonksionunun periodu (n tek saı ve a olduğundan) T radan, g() fonksionunun periodu T radandır. halde f() g() fonksionunun periodu T EKK c, m. cos cos p radan olur sin f() cos fonksionunun periodu T radan olduğundan grafiği (0, p] aralığında çizelim. 0 cos 0 0 sin tan 0 0 Grafik (0, p] ve (p, p] aralıklarında anen tekrar edeceğinden fonksionun (0, p] aralığındaki grafiği tan 7 dımda Matematik 99

16 DIM 09. sinfarccos p sin cos(arcsin) cos 0 dir. una göre, dir.. sin( rccos) θ sin ( θ) sinq rccos q cosq Ugun bir dik üçgen çizelim ve cosq değerini bulalım. sinf arccos p cos_ arcsini 0 dir.. cos[arcsin (tan )] cos(arcsin) cos 0 bulunur. olarak q sinq ñ cosq cosq bulunur.. arccos[cot (arccos )] arccos ; cot E arccos 0 olarak bulunur. dımda Matematik. rccot( ) rctan q olsun. rccot( ) q ise cotq rctan q ise tanq cotq tür. halde, cotq 9 tür. 6. rcsin ise sin rctan ise tan ñ tir. dir. Dik üçgenden de görüleceği üzere rcsin rctan olarak bulunur. 00

17 6. arctan( ) arccot( ) q ise tanq ve cotq olur. halde tanq.cotq ( ).( ) 7. f().sin sin sin arcsin e o f ñ bulunur. arcsin $ e o olduğundan () $ arcsind n olur. 0. f c m değerini bulmak için arctan d n eşitliğindeki değerini bulmalıız. halde arctan d n DIM. f() 0 0 tan c m olur. 0 olduğundan fonksionunun eksenini kestiği nokta (, 0) noktasıdır. 0 f(0) 0 8. tan ise tan 6 tan 7 7 tan 7 olduğundan arctan olur. olduğundan fonksionun eksenini kestiği nokta (0, ) noktasıdır. (, 0) ve (0, ) noktaları arasındaki uzaklık d ise d ( 0 ) ( 0) 6 ò0 ñ birim olur.. f() 0 ise 0 vea 0 9..sin(.arccos) ñ ise sin(.arccos) < 0 olmadığı için alınmaz) 0 olduğu için alınır..arccos cos 6 olur. olduğundan fonksionun eksenini kestiği nokta d, 0n noktasıdır. f(0).0 olduğundan fonksionun eksinin kestiği nokta (0, ) noktasıdır. dımda Matematik 0

18 . Fonksionun grafiğini çizersek 7. [, ] aralığındaki ortalama değişim hızı f() f( ) ( ) f( ) f() f() olur. fonksionun maksimum değerinin olduğu görülür.. DIM. f() (a ) a a fonksionu bir parabol ise lü terimin katsaısı sıfır olmalıdır. a 0 ise a olur. halde, a erine azarsak f() parabolünün eksenini kestiği noktanın ordinatı f(0) dir. Grafikten de görüldüğü gibi fonksion (, 0) aralığında azalan, (0, ) aralığında artandır.. f().g() 0 olması için f() ve g() fonksionları anı işaretli olmalıdır. < < için f() > 0 ve g() > 0 olduğundan f().g() > 0 olur. Dolaısıla bu şartı sağlaan negatif tam saısı sadece tür.. Parabol (, 6) noktasından geçtiğinden f() 6 olmalıdır. f() a. 6 a 6 a olur. halde fd n $ d n 7 bulunur. 8 dımda Matematik 6. İlk saat bounca ortalama değişim hızı a 90 0 sonraki saat bounca ortalam değişim hızı 0 80 b 0 olduğundan a b 90 ( 0) 0 dir. 0. ve nin apsislerinin toplamı (a ) 6a 0 denkleminin köklerinin toplamıdır. a a olduğundan. 6a olur.

19 .. olduğundan (, 0) ise (, 0) olacaktır. ve nin apsislerinin toplamı 6 m 0 denkleminin kökler toplamına eşit olacağından 6 6 bulunur. ve nin apsislerinin çarpımı da 6 m 0 denkleminin kökler çarpımına eşit olacağından. m.8 m m m olur. 7. Parabol (, 0) noktasından geçtiğinden f( ) 0 olmalıdır. f( ) m m m 0 m bulunur. halde f() parabolünün eksenini kestiği diğer noktaı bulmak için, 0 ( ) ( ) 0 vea olduğundan (, 0) bulunur. Parabolün eksenini kestiği nokta için f(0) olduğundan (0, ) bulunur. uradan (0, ) ve (, 0) noktaları arasındaki uzaklık ( 0) ( 0 ( )) 6 6 ñ olur.. Parabolün eksenini kestiği noktaları bulmak için 0 ( ) ( ) 0 ve olduğundan (, 0) ve C(, 0) olur. noktasının ordinatı ise f(0) tir. halde lan(c) C br dir. 6. Parabol eksenine teğet ise (m ) m 7 0 denkleminin diskriminantı sıfıra eşit olmalıdır. D (m ).(m 7) m 8m 6 m 8 0 m m 0 (m 6)(m ) 0 m 6 vea m olur. 8. Parabollerin eksenin nokta anı olduğundan f(0) g(0) m m m bulunur. halde, f parabolünün eksenini kestiği noktalar f() 6 0 ( )( ) 0 ve g parabolünün eksenini kestiği noktalar g() 7 6 ( 6)( ) 0 6 ve olacağından (, 0), (6, 0) ve 9 birim olur. dımda Matematik 0

20 DIM 6. r ise ( m ) m m f( ) ise (m ) n n n n olduğundan m n 0 olur.. 0 ise 8 ve ± ñ olduğundan parabol eksenini ( ñ, 0) ve (ñ, 0) noktalarında keser. 0 için olduğundan parabol eksenini (0, ) noktasında keser. 0 r 0 ve k f(0) olduğundan $ parabolün tepe noktası (0, ) olur. halda parabolü çizersek. f() parabolünün tepe noktası T (, n ) ile g() parabolünün tepe noktası T (m, 0) anı ise m ve n 0 m n olduğundan m n olur. ñ ñ. r olduğundan k f() m m bulunur. Tepe noktası (, m) doğrusu üzerinde ise m m olur. 6. Parabol doğrusuna teğet ise tepe notasının ordinatı k dir. r ise k f( ) m m m m m olur. dımda Matematik. Parabol eksenine teğet ise (m ) 0 denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır. D (m ). m m 6 m m m m 0 ise (m 6)(m ) 0 m 6 vea m Parabol eksenine negatif tarafta teğet ise r < 0 olmalıdır. ( m ) m r ifadesini negatif apan m değeri 6 olur. 7. ( ) ise r ve k olduğundan T(, ) dir. 0 için olduğundan parabol eksenini (0, ) noktasında keser. halde parabolü çizersek T 0

21 8. f() ( ) ( ) olduğundan a, b, c ve a.b.c 8 olur. DIM 7. Parabolün tepe noktası eksenini üzerindese (m ) 0 m vea m Parabolün kolları aşağı doğru olduğundan m < 0 olmalıdır. Dolaısıla m seçilir ve parabolün denklemi olur. 0 ñ vea ñ olduğundan ( ñ, 0) ve (ñ, 0) olur. f(0) olduğundan T(0, ) olur. halde. lan(t). Dikdörtgenin alanını veren (8 ).( ) 0 ifadesini f() 0 biçiminde azarsak f() in alabileceği en büük değer için 0 r.( ) k f() olduğundan f() in en büük değeri 8 dir. Dolaısıla dikdörtgenin alanı en çok 8 cm olur.. 0 ise ( 6)( ) 0 olduğundan 6 ve parabolün eksenini kestiği noktalardır. r k f( ) olduğundan parabolün tepe noktası (, ) olur. ñ br dir. 6. Parabol eksenine göre simetrikse tepe noktası ekseni üzerindedir. Yani (m ) 0 m olur. halde parabolün denklemi 7 ve k f(0) 7 değeri fonksionun minimum değeridir. 6 Şekilden de görüleceği gibi [ 6, 0] aralığında f() in en küçük değeri f( ), en büük değeri f( 6) 0 dır.. f() ( ( ) ) r k Parabolün simetri ekseni r doğrusu olduğundan m, fonksionun olabileceği en büük değer k olduğundan n tir. uradan m n olur. 6. f() in simetri ekseni doğrusu ise r olur. m r ise m olduğundan f() fonksionun en küçük değeri k f() $ 8 olur. 0 dımda Matematik

22 6. Parabol orijinden geçtiğine göre m 0 ve m olur. halde 0 parabolünde 0 r k f() 0 olduğundan T(, ) olur. u durumda. lan(t) br dir.. Parabolün tepe notası (, 0) olduğundan denklemi a( ) şeklindedir. (0, 8) noktası parabolün üzerinde olduğundan 8 a.(0 ) a 8 a bulunur. halde parabolün denklemi f() ( ) ve f().( ) olur. 7. r 9 9 k fd n m m m m olur.. Parabolün tepe noktası (, ) olduğundan denklemi a( ) şeklindedir. (0, ) noktası parabolün üzerinde olduğundan a.(0 ) a bulunur. halde parabolün denklemi f() ( ) olur. f( ) 0 ise ( ) 0 0 ±ñ olur. DIM 8 dımda Matematik. Parabolün eksenini kestiği noktaların apsisleri ve olduğundan denklemi f() a.( ( )).( ) a.( ).( ) şeklindedir. (, ) noktası parabolün üzerinde olduğundan f() a.. ise a olduğundan denklem f() $ ( ).( ) olur. halde f() f () $ 6. 6 bulunur.. r olduğundan parabolün tepe noktası (, ) dir. halde parabolün denklemi a( ) şeklindedir. (, 0) noktası parabolün üzerinde olduğundan 0 a( ) a bulunur. uradan parabolün denklemi ( ) olur. 06

23 . m m ise m 0 ortak denkleminin diskriminantı pozitif olmalıdır. D..( m ) 8m 8 8m 8 m > 0 8m > m > olduğundan m nin en geniş değer aralığı d, n olur. 6. Önce parabolün denklemini azalım. Tepe noktası (, 0) olduğundan a( ) şeklindedir. (0, ) noktası parabolün üzerinde olduğundan a(0 ) a bulunur. halde parabolün denklemi ( ) ile doğrunun denklemi i birbirine eşitlersek ( ) 0 denkleminin kökler toplamı değeri ve nin apsislerinin toplamıdır. 8. Önce parabolün denklemini azalım. Tepe noktası (, ) olduğundan denklem a( ) şeklindedir. Parabol (0, ) noktasından geçtiğinden a.( ) a a bulunur. halde parabolün denklemi ( ) olur. Doğrusu denklemi ise dir. Parabol ve doğru denklemlerini birbirine eşitlersek ise 0.( ) 0 0 ve olduğundan noktasının apsisi tir. değerini doğru (vea parabol) denkleminde erine azarsak 6 olacağından (, 6) ve nın koordinatları toplamı olur. 7. m ise (m ) 0 ortak denkleminin diskriminantı (D) sıfıra eşit olmalıdır. D (m ).. m m 6 m m denkleminin kökler toplamı olan değeri m nin alabileceği değerlerin toplamıdır. 9. m doğrusu parabolüne teğet ise ortak denklenin diskriminantı sıfır olmalıdır. m ise m 0 D ( m) m m 0 ise m vea m bulunur. ncak doğrunun eğimi pozitif olduğundan m alınır. halde ortak denklemin kökü 0 ( ) 0 olduğundan nın apsisi, ordinatı ise dir. Dolaısıla nın koordinatlarının toplamı olur. dımda Matematik 07

24 0.. parabolünün tepe noktası (, ), parabolünün tepe noktası (, 8) dir. birim aşağıa (, ) (, 8) birim sağa n halde a, b ve a b 7 olur. parabolü üzerinde bulunan ve doğrusuna en akın olan nokta, bu doğrua paralel ve parabole teğet olan n doğrusunun parabole değdiği noktasıdır. n doğrusunun parabole değdiği noktasıdır. parabolü ve doğrusu birbirine teğet ise ortak denklemin diskriminantı (D) sıfır olacağından n ise n 0 D ( ).( n) 6 n 6 n 0 n bulunur. n değeri ortak denklemde erine azılırsa 0 ( ) 0 değeri noktasının apsisidir. değeri parabolünde erine azılırsa nın ordinatı. 6 bulunur. Dolaısıla noktasının koordinatları (, 6) dır.. f() grafiği birim sola ve birim ukarı ötelenirse f( ) grafiği elde edilir. Önce f( ) grafiğini çizelim. f( ) DIM 0 dımda Matematik. Yeni parabolü elde etmek için tepe noktasını ötelemek eterlidir. f() ( ) parabolünün tepe noktası olan (, ) noktası birim aşağı ve birim sağa ötelenirse eni tepe noktası (, 0) olur. halde parabolün denklemi ( ) olur. f( ) 08

25 . Önce f() fonksionunun grafiğinin eksenine göre simetriğini alarak f( ) grafiğini elde edelim. 6. $ f( ) grafiğini elde etmek için f() grafiğindeki değerleri ile değerleri ile çarpılmalıdır. halde istenen grafik Şimdi de elde ettiğimiz grafiğin eksenine göre simetriğini alarak f( ) grafiğini elde edelim.. f( ) fonksionunu grafiği birim sağa ötelenip eksenine göre simetriği alınırsa f() grafiği elde edilir. halde önce f( ) grafiğini birim sağa öteleelim. 7..f() grafiğini elde etmek için f() grafiğindeki değerleri ile değerleri ile çarpılmalıdır. halde istenen grafik 7 f() Şimdi de elde ettiğimiz grafiğin eksenine göre simetriğini alalım. 8 f() 7 şeklinde olur. u durumda taralı bölgenin alanı 8. 6 br olur. dımda Matematik 09

26 8. $ f( ) grafiğini elde etmek için f() grafiğindeki değerleri ile değerleri ile çarpılmalıdır. halde istenen grafik $ f( ). denkleminden i alnız bırakıp ifadesini diğer denklemde erine azalım. ( ) 0 ( )( ) 0 vea olur. ulduğumuz değerlerini denkleminde erine aarsak için için olur. halde denklem sisteminin çözüm kümesi {(, ), (, )} olur. DIM dımda Matematik. ise olur. ulduğumuz ifadesini diğer denklemde erine azarsak ( ) ( ).( ) 0 vea olur. 8 ise $ d n ise.( ) olacağından denklem sisteminin çözüm kümesi 8 * d, n, (, ) olur.. ( ).( ) ; olur. ise ve olacağından denklem sisteminin çözüm kümesi {(, )} olur. 0

27 . İkinci denklemi ile genişletip iki denklemi alt alta toplaalım. 8 7 ±ñ olur. ulduğumuz değerlerini denkleminde erine azarsak ñ ise ± ñ ise ± olacağından denklem sisteminin çözüm kümesi {( ñ, ),( ñ, ), (ñ, ), (ñ, )} olur. 7. İki denklemi alt alta toplarsak 8 0 ( ) 0 olur. için olacağından denklem sisteminin çözüm kümesi {(, 6)} olur.. ise olacağından ( ) 0 D ( ).. 7 olur. D < 0 olduğundan 0 denklemini sağlaan gerçek saı değeri oktur. Dolaısıla denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olur. 6. eşitliğinden i alnız bırakıp ifadesini diğer denklemde erine azalım. 9 ( ) ( ) olur. için olacağından denklem sisteminin çözüm kümesi {(, )} olur. 8. ise ifadesini diğer denklemde erine azalım. 0 ( )( ) 0 vea olur. ulduğumuz değerlerini ifadesinde erine azarsak için.( ) Ç.K için. ±ñ olacağından denklem sisteminin çözüm kümesi {(, ñ), (, ñ)} olur. dımda Matematik

28 DIM. f() 7 fonksionunda a, b 7, c tir. zaman b ac 7.( ).( ) 9 > 0 dır. b 7 9 a.( ) b 7 9 a.( ) bulunur.. 0 ise ( 6)( ) vea olur. a > 0 olduğundan tablo aşağıdaki gibi olur. 6 u durumda Ç.K (, 6) olacağından in alabileceği tam saı değerleri, 0,,,, ve olmak üzere 6 tanedir. Şimdi işaret tablosunu apalım. f() a. f() 7 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç.K, # #, < F (! R < <, R b. f() 7 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç.K (, ), d n R <, F ( < vea <,! R. ( ) 6 ise olur. 6 0 ise ( )( ) 0 vea a > 0 olduğu için 6 Soruda olduğu için Ç.K [, ] olur.. Önce f() 8 fonksionunun işaret tablosunu apalım. f() 8 denkleminde a, b, c 8 dir. b ac..8 0 olur. dımda Matematik, b! 0 a. 8 bulunur. a. f() 8 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç.K (, ) {} R {} b. f() 8 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi, Ç.K {}. a. Grafikten görüleceği gibi < < için f() in değerleri g() in değerlerinden küçüktür. halde, f() < g() eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç.K (, ) olur. b. Grafikten de görüleceği gibi < ve > için f() in değerleri g() in değerlerinden büük, ve için de f() ve g() in değerleri birbirine eşittir. halde, f() g() eşitsizliğinin çözüm kümesi Ç.K (, ] [ ) olur.

29 6. f() < g() ise < 7 6 < 0 olur. 6 0 ise ( )( ) 0 vea olur. a < 0 olduğundan. Kritik noktalar,, tür. Eşitsizlik tablosu apılırsa, 6 Ç.K (, ) (, ) olur. aşkatsaıların işaretleri çarpımı () olduğundan en sağdan () ile işaretlenmee başlanır. Eşitsizliğin çözüm kümesi (, ] [, ] aralığıdır. u aralıktaki doğal saılar 0,,, olup toplamları 6 dır. 7. m > 0 eşitsizliğinin daima sağlanması için D < 0 ve a > 0 olmalıdır. a > 0 olduğundan D < 0 şartının sağlanması eterlidir. D.(m ) < 0 6 m < 0 m < 0 m > olur.. Kritik noktalar, dir. de çift kat kök vardır. İşaret tablosu apılırsa * DIM padaı 0 aptığı için çözüm kümesine alınmaz. Ç.K [, ) elde edilir.. Önce her bir çarpanın köklerini bulalım. 0 ( )( ) 0 ve 0 ( ).( ) 0 ve bulunur. Dolaısıla kritik noktalar, ve dir. Her bir çarpanını en büük dereceli terimlerinin işaretleri çarpılarak vea bölünerek f() in işareti bulunur ve tabloda en sağa azılır. Daha sonra tek katlı köklerde işaret değiştirilip çift katlı köklerde işaret değiştirilmeerek f() in işaret tablosu apılır. Kritik noktalar tek katlı kök, tek katlı kök, çift katlı köktür. çarpanınında nin işareti () dır. ( ) çarpanında da işaret () dır. ( ) olduğundan ( ). 0 0 ( ) 0 eşitsizliği elde edilir. urada işaret tablosunu aparsak, tabloda en sağa () azılır. * * f() Ç.K (, ) olur. * Ç.K (, ) [, ) R [, ) olur. dımda Matematik

30 8 ( 6)( ) ( 7).( ) şeklinde çarpanlarına arılır. uradan kritik noktalar 6,, 7, bulunur. İşaret tablosu apılırsa 6 7 ve 7 değerleri padaı 0 aptığı için çözüme dahil edilmez. Ç.K (, ) [, 6] (7, ) < 0 ( ) ( ) 8. <.( ) < 0 ( ).( ) < 0 ( ).( ) elde edilir. urada işaret tablosunu aparsak, < 0 ( ).( ) ( ).( ) Ç.K (, ) (, ) olur. 7. Verilen ifadede ve terimlerinden gerçek kök bulunamaz. Kritik nokta dir. İşaret tablosu apılırsa Ç.K (, ] bulunur. DIM 7. # 0 8 # 0, # 0.( ).( ) Denklemin kritik noktaları, ñ, ñ tür.. (I) 0 ise 0 ise (II) 0 ise 0 ise dımda Matematik ñ Ç.K (, ñ] (, ñ] u aralıktaki en büük tam saısı tür. ñ Eşitsizlik sistemi Ç.K (, ) olur. Ç.K

31 . (I) 0 0 ise (II) 0 ise 0 (çift katlı) 0 ise ± 0 ( ) ( ) Eşitsizlik sistemi Ç.K (, 0) olur. Ç.K. (I) 0 f() 0 ise vea (çift katlı) (II) 0 ise 0 (çift katlı) f() 0 ise vea (çift katlı) 0.f() f() Eşitsizlik sistemi Ç.K (, 0) olur. Ç.K. (I) < 0 0 ise vea (II) > 0 0 ise vea Eşitsizlik sistemi Ç.K (, ) olur. Ç.K dımda Matematik

32 dımda Matematik 6