YARI RĠJĠT BAĞLI DÜZLEMSEL ÇERÇEVELERĠN NONLĠNEER ANALĠZĠ (NONLINEAR ANALYSIS OF PLANAR FRAMES WITH SEMI-RIGID CONNECTION)

Transkript

1 DEÜ MÜHENDĠSĠK FAKÜESĠ FEN ve MÜHENDĠSĠK DERGĠSĠ Cilt: Sayı: sh. - Eim 999 ÖZE/ABSRAC YARI RĠJĠ BAĞI DÜZEMSE ÇERÇEVEERĠN NONĠNEER ANAĠZĠ (NONINR ANAYSIS OF PANAR FRAMES WIH SEMI-RIGID CONNECION) Haan ERDEM* Bu çalıģmada, düzlemsel çerçevelerin davranıģı üzerinde, bağlantıların davranıģının ve geometri nonlineerlilerin etisi araģtırılmatadır. Bu amaçla FORRAN77 dilinde bir bilgisayar rogramı hazırlanmıģtır. Eğer sisteme yülenen yü tanjant rijitli matrisinin determinantını negatif yaıyorsa, rogram tarafından riti yü fatörü hesalanmatadır. Bağlantıların nonlineer M- r bağıntısı için Richard Modeli ullanılmata ve malzeme davranıģının lineer elasti olduğu abul edilmetedir. Ġinci mertebe analize ait tanjant rijitli matrisi, çubu elemanın moment-eğrili iliģisini idare eden lineer diferansiyel denlemin, esenel uvvet ve yarı rijit bağlantı etileri de göz önüne alınara sınır Ģartları için çözümünden elde edilmetedir. Bu yöntemde, yüler adım adım uygulanmatadır. Her yü adımında dengelenmemiģ uvvetler ontrol edilmete ve bu değer tanımlanan toleranstan üçü olana adar iterasyon iģlemine devam edilmetedir. Bu iģlemler neticesinde nonlineer analizin lineerleģtirilmesinden doğan hatalar istenilen düzeye indirilmetedir. In this study, the effects of connections and geometric nonlinearities on the behaviour of lanar frames are examined. For this urose a comuter rogram has been reared in FORRAN77 language. If the load on the system renders the determinant of the tangent stiffness matrix negative, the rogram determines the critical load factor. he Richard Model is used for the nonlinear M- r relation of the connections and the behaviour of the material is assumed to be linearly elastic. he tangent stiffness matrix of the second order analysis is obtained from the solution of the linear differential equation governing the moment-curvature relation of a one-dimensional member in which the effects of axial force and semi-rigid connections are accounted for. In this method, the loads are alied ste by ste. he unbalanced forces are checed at every ste of loading and the iteration is reeated until they are below a redefined tolerance. By means of these oerations the errors due to the linearization of the nonlinear analysis is minimized. ANAHAR KEĠMEER / KEY WORDS : Nonlineer, yarı rijit bağlantı, düzlemsel, stabilite, adım adım yüleme Nonlinear, semi-rigid connection, lanar, stability, incremental loading * Ondouz Mayıs Üniversitesi ĠnĢaat Müh. Bölümü, SAMSUN

2 H. ERDEM Sayfa No:. GĠRĠġ Bu çalıģmada, düzlemsel çerçevelerin davranıģı üzerinde, bağlantıların davranıģının ve geometri nonlineerlilerin etisi araģtırılmatadır. Hazırlanan bilgisayar rogramı ile nonlineer analiz yaılmatadır. Anca sistem rijitli matrisinin determinantı negatif olursa sisteme ait riti yü fatörü de hesalanmatadır. Ġinci mertebe etiler gözönüne alınıren esenel uvvetin eğilme ve esme rijitlilerine etisi ve eğilme nedeniyle oluģan ısalmanın esenel rijitliğe atısı göz önüne alınmatadır. Farlı ara yüleme Ģeilleri için anastreli uç uvvetleri, esenel uvvet ve bağlantı davranıģı da göz önüne alınara hesalanmatadır. Yüler sisteme adım adım uygulanmatadır. Her adımda çubu uçlarında oluģan dengelenmemiģ uvvetler ontrol edilmete ve dengelenmemiģ uvvetin olması durumunda sisteme uygulanmatadır. DengelenmemiĢ uvvetler belirli bir tolerans değerinden üçü oluncaya adar iterasyon iģlemine devam edilmetedir. Sisteme etiyen yülerin sırası, birlite etiyi etimemeleri, esenel uvvetlerin eğilmeye atısının alını alınmaması ve diğer durumlar literatürde mevcut olan örneler üzerinde incelenmiģtir.. YÖNEM. Düzlemsel Elemanlar Ġçin Kuvvet Delasman ĠliĢileri Düzlemsel çubu elemanların her bir ucunda yerel esenler yönünde ii uvvet ve bu esenlere di olan esen etrafında bir moment eti etmetedir (ġeil ). Her bir uçta esenler yönünde delasmanlar ve bu esenlere di olan esen etrafında ise dönme mevcuttur. Y X 5 y x ġeil. Düzlemsel çubu eleman için iģaret abulü Düzlemsel çubu elemanın uç uvvetleri {}, uç delasmanları {d} ve anastreli uç uvvetlerinin {f} her biri boyutlu birer vetör olara verilebilirler. 5 d d d d d5 d f f f f f f f d () 5

3 Fen ve Mühendisli Dergisi Cilt : Sayı : Sayfa No:. Rijitli Matrisi () vetörleri arasında,d,d,d,d,5d 5,d f,d,d,d,d,5d5,d f,d,d,d,d,5d5,d f,d,d,d,d,5d5,d f 5 5,d 5,d 5,d 5,d 5,5d5 5,d f5,d,d,d,d,5d5,d f () Ģelinde bir bağıntı vardır. Matris gösterimi ullanılaca olursa () bağıntıları aģağıdai Ģeilde gösterilebilir: 5,,,, 5,,,,,, 5,,,,,, 5,,,,,, 5,,,5,5,5,5 5,5,5,,,, 5,, d d d d d d 5 f f f f f f 5 () Kaalı olara bu ifade aģağıdai Ģeilde yazılabilir. d f () Burada [] boyutlu eleman rijitli matrisidir. () ifadesinde, çubu yerel esen taımında tanımlanan [] matrisinin, sisteme ait düğüm delasmanlarının bulunması için sistem esen taımında tanımlanması lazımdır. Bu Ģeilde çubulara ait bulunan [ ] matrisleri odlama teniği ile tolanara [K] elde edilir. Sistem esen taımında oluģturulan {P} ve [K] ullanılara K D P (5) ifadesinden, sistem delasmanları {D} elde edilir. Burada {P} sistem yü vetörünü, [K] sistem rijitli matrisini, {D} ise sistem delasman vetörünü göstermetedir. Sistem esen taımında bir uvveti bulabilme için d f () ifadesi ullanılır.

4 H. ERDEM Sayfa No: Burada ullanılan üssü iģareti sistem esen taımında oldularını göstermetedir ve d d f f (7) ile elde edilmetedirler. Burada [] transformasyon matrisini göstermetedir. t, t Cos Sin t Sin Cos (8). Yarı Rijit Bağlı Düzlemsel Çerçevelerin Rijitli Matrisi Esenel uvvetin sıfır olması durumunda eğer nonlineer davranan dönel yaylarda varsa () dei [] rijitli matrisi (Erdem, Asoğan, Hüseyin 99) EI U EI U EI U EI U EI U EI U EI U EI U5 EI U EI U EI U EI U EI U EI U5 EI U EI U (9) Ģelinde tanımlanabilir. Yuarıdai matrislerde ullanılan ısaltmalar aģağıda verilmetedir. U U ( ) U ( ) U ( ) 5 U ( ) D U ()

5 Fen ve Mühendisli Dergisi Cilt : Sayı : Sayfa No: 5 a EI, b EI Bu ifadelerdei a ve b boyutlu yay atsayıları olu bir radyan dönmeye arģı gelen momentleri gösterirler. ve x-y düzleminde çubuğun i ve j uçlarındai dönel yaylara ait boyutsuz yay atsayılarıdır.. Yarı Rijit Bağlı Düzlemsel Çerçevelerin Nonlineer Rijitli Matrisi.. Geometri Nonlineerli Yaı sistemleri, sisteme uygulanan yüler altında, baģlangıçta lineer gibi davransalar da, artan yüler altında eğilme momentlerinin ve esenel uvvetlerin birbirlerinin rijitlilerini etilemelerinden dolayı nonlineer davranıģ gösterirler. Esenel uvvetin çeme olması durumunda deformasyon ve eğilme momenti azalmata, basınç olması durumunda ise artmatadır. Yaı yüleme yaıldıça delasman yamatadır. Yaının bu yer değiģtirmiģ düğümlerine uygulanan yüler de ilave momentler doğurmatadır. OluĢan bu momentler de yaının çubu uvvetlerini ve riti yüünü etilemetedir. Bütün bu nedenlerden dolayı geometri etiler hesalarda göz önüne alınmalıdır. Çubu elemanların nonlineer davranıģı geometri rijitli matrisini ullanan sonlu elemanlar yöntemleri ile veya esin çözüme ait rijitli matrisleri ullanılara incelenebilir. Bu çalıģmada esin çözüme ait rijitli matrisleri ullanılacatır. Bu yöntemde esenel uvvetin eti ettiği elemanı idare eden denge denlemi çözülü eleman rijitli matrisi elde edilmetedir. Esenel uvvetin sıfır, çeme ve basınç olması için farlı çözümleri bulunmatadır. Bu yöntem çubu elemanı te arça olara ele alan hesalarda ço daha doğru sonuçlar vermetedir... Büyü Geometri DeğiĢimi Geometri nonlineerliler yüleme sırasında yaının elemanlarında yer değiģtirme ve eğilmeler olmasıyla meydana gelir. Ġinci mertebe momentler uygulanan yüler uygun delasmanlarla çarıldığında elde edilirler. Geometri değiģiminin daha da büyü olması halinde bunun denge Ģartlarından baģa geometri uygunlu Ģartları üzerindei etisinin de hesaba atılması gereir. Bu durumda daha evvelce açılandığı gibi yülere üçü artımlar verilere çözüme gidilebilir. Her yü adımında, sistem eseni olara bir öncei adımda bulunan deforme olmuģ esen taımı ullanılara geometri değiģiminin çözüme etisi hesaba atılmıģ olur. Yülere üçü artımlar verildiğinden delasmanlar da üçü olaca ve her adımda göz önünde tutulan sistem eseni için lineer geometri uygunlu Ģartları ullanılabilecetir. Ayrıca her adım içerisinde dengelenmemiģ uvvetler ontrol edilmetedir. DengelenmemiĢ uvvetleri düzeltme için yaılan bu iģlemler neticesinde aynı zamanda delasmanlar da düzeltilmiģ olmatadır. Kuvvetler ve delasmanlar arasındai temel iliģi birinci mertebe rijitli matrisinde olduğu gibi d f aalı formunda gösterilebilir. Anca ve f ifadelerinde esenel uvvetin ve eğilme momentlerinin neden olduğu değiģililer yaılmalıdır. DeğiĢililerle bu iliģi iinci mertebe analizinde de ullanılabilir.

6 H. ERDEM Sayfa No: s s EI EI EI EI s s s s 5 EI EI EI EI s s s s () s s EI EI EI EI s s s s 5 EI EI EI EI s5 s s5 s7 Burada s * H N U s D, U s D, U s D, U s5 D, U5 s D, U s7 D () olara tanımlanmatadır. Yuarıdai matrislerde ullanılan ısaltmalar aģağıda verilmetedir. H u M M Cotu ucosec u M M um M Cosecu ucotu a b *EI NSinu EI u a b a b Cosu U u EI asinu * a b Cosu U u* a b ansinu *u a bcosu U u * a b Cosu EI bsinu U () u * a bu a bsinu U5 u* a b Nb Sinu *u a bcosu U D EI * N *u Sinu a b a b a b * a b Cosu a b * N N, u EI a = i ucuna ait dönel yay rijitliği b = j ucuna ait dönel yay rijitliği a b a b

7 Fen ve Mühendisli Dergisi Cilt : Sayı : Sayfa No: 7 Yuarıdai ifadelerde esenel uvvet basınç (N>) ise *= dir. Eğer esenel uvvet çeme (N<) ise *= - olur ve Sin u, Cos u, Cot u, Cosec u ifadelerinin yerlerini sırasıyla Sinh u, Cosh u, Coth u, Cosech u ifadeleri alırlar..5 Düğüm Notalarında Uygunlu ve Denge KoĢulları Hesalamalarda, her deformasyon durumunda uygunlu ve denge oģulunun sağlanması gereir. Eleman rijitli matrislerinden sistem rijitli matrisinin elde edilmesinde, bir düğüm notasında birleģen çubu uçlarının aynı delasmanı yaacaları abulü ullanılmıģtır. Böylece düğüm notalarında sağlanması gereen uygunlu oģulları yerine gelmiģ olmatadır. Düğüm notalarının dengesi için ise düğüm notalarına etiyen dıģ uvvetlerle çubu uçlarında meydana gelen uç uvvetleri için denge denlemleri yazılır. Nonlineer analizde yüler adım adım orantılı olara yülenmete ve bu yüleme sırasında dengelenmemiģ uvvetler oluģmatadır. Düğümlerde dengeyi sağlayabilme için her bir yü adımında dengelenmemiģ uvvetleri üçültme amacıyla iterasyonlar yaılmatadır. Her iterasyonda düğümlerin delasmanları ullanılara düğüm oordinatları yenilenmete ve bu son duruma göre çerçeve yeniden çözülmetedir. Denge belirli bir doğrulula sağlandığında yeni yü adımına geçilmetedir.. Nonlineer Denlemlerin Hesalanması Bu çalıģmada, tolam yüleri yü adım sayısına bölere orantılı olara uygulayan ve böylece nonlineer analizi lineerleģtiren, ayrıca her yü adımında da düğüm denge denlemlerini sağlama için Newton-Rahson yöntemi adım adım yüleme ile iterasyon biçiminde uygulanmatadır. i i R i j P F j () Burada i indisi yü adım sayısını, j indisi ise bir yü adımındai iterasyon devresini gösterme için ullanılmatadır. {P} i+ sisteme uygulanan o andai yü vetörünü, F i j o adımdai tolam iç direnç vetörünü, R i j ise dengelenmemiģ yü vetörünü göstermetedir. Bu yöntem R i j değerlerinin o adımdai (iterasyondai) tolam yü değerleriyle arģılaģtırılmasına dayanmata olu aģağıdai Ģeilde verilir. i R i P j i R i P j O (5) Burada O belirlenen toleransı göstermetedir..7 Yarı Rijit Bağlantıların Modellenmesi KiriĢten olona olduğu gibi bir elemandan diğerine transfer edilen uvvetlerin ve momentlerin arasında bağlantılar vardır. Birço bağlantıda esenel ve ona di bağıl yer değiģtirmeler, açısal bağıl yer değiģtirmelere göre daha üçütür.

8 H. ERDEM Sayfa No: 8 M r ġeil Kolonun iriģe göre bağıl dönmesi Açısal bağıl yer değiģtirmeler bağlantıdai momentin bir fonsiyonu olara tarif edilmetedir. Bir bağlantıya M momenti uygulandığında iriģ ve olon arasında r bağıl dönmesi meydana gelir. Bu dönme iriģ ve olon esenleri arasındai açının değiģmesini göstermetedir (ġeil ). M K K M M ġeil. M- r eğrisi üzerinde arametrelerin gösterilmesi Yarı rijit bağlantılar için M- r bağıntısı hemen hemen tüm yüleme boyunca nonlineerdir. Bağlantı davranıģı lineer, ço arçalı lineer, olinom, übi b-sline, uvvet ve üssel modellerle gösterilmetedir. Bağlantı davranıģını modellemeye en uygun olan Dört Parametreli Richard Modeli burada ullanılmatadır. Bu modelde bağlantı rijitliği dm K d r ile gösterilmetedir. K K o o K M K r n n n K r ()

9 Fen ve Mühendisli Dergisi Cilt : Sayı : Sayfa No: 9 Buradai K o bağlantının il rijitliğini, K bağlantının lasti rijitliğini, M referans momentini ve n ise eğri Ģeil arametresini göstermetedir. r ise bağlantıya ait bağıl dönme açısıdır. n aģağıdai ifade ile elde edilir. ln n (7) M K ln M K K. SAYISA UYGUAMAAR. Bası Çerçeve (William s oggle) P,v.8 in 5.87 in.855 EI 9.7 lb lb.in ġeil. Bası çerçevenin geometrisi ve eleman özellileri ġeil de geometrisi ve eleman özellileri gösterilen çerçeve üç farlı rijitli için Al- Bermani ve Kitiornchai (99) tarafından çözülmüģtür. iteratürde yöntemlerin arģılaģtırılmasında sıça ullanılan bu çerçeveye ait yü delasman iliģisi birinci durum için yay rijitlileri sonsuz, iinci durum için.8 lb-in/rad ve üçüncü durum için ise sıfır alınara bulunmuģtur. Bu çalıģmada her bir durum Al-Bermani ve Kitiornchai (99) ile hesalanara ġeil 5 te verilmiģtir. Sonuçlar arasındai farın az olduğu ġeil 5 te görülmetedir.

10 Kuvvet, P (lb) H. ERDEM Sayfa No: Bu çalışma. durum Bu çalışma. durum Bu çalışma. durum i t e r a t ü r. d u r u m i t e r a t ü r. d u r u m i t e r a t ü r. d u r u m D e l a s m a n, v ( i n ) ġeil 5. Bası Çerçeve için Al-Bermani ve Kitiornchai ile arģılaģtırma. Ġi Katlı e Açılılı (Dire ve Ara Yülü) Çerçeve ġeil da geometrisi, eleman tileri ve yüleme durumu gösterilen ii atlı te açılılı çerçeve, düğüm yüleri ve ara yüleme altında analiz edilmiģtir. Çizelge de King ve Chen (99) in sonlu eleman çözümü, King ve Chen (99) in yalaģı çözümü ve bu çalıģmada s ve s durumları için bulunan sonuçlar, düģey ve yatay yülemenin birlite olu olmamasına göre arģılaģtırılmıģtır. Çizelge den de görüleceği üzere yarı rijit bağlantı olması, eğilmenin göz önüne alınması ve yüün ard arda (sırasıyla önce düģey sonra yatay yü) ii yü adımında uygulanmasıyla sistemin yatay delasmanlarının arttığı görülmetedir. Bağlantıya ait özelliler ve birimler C.55 olara alınmıģtır. K i in i / rad, in i ve M u

11 Fen ve Mühendisli Dergisi Cilt : Sayı : Sayfa No:.7 is/in.5 is W* 5 W* in. is. is/in W* in W* 88 in ġeil. Ġi atlı te açılılı dire ve ara yülü çerçeve Çizelge. Ġi atlı te açılılı dire ve ara yülü çerçeve için yatay delasmanların arģılaģtırması (in) Düğüm No Rijit Bağlantılı Çerçeve King ve Chen Bu ÇalıĢma King ve Chen King Ve Chen YalaĢı Yarı Rijit Bağlantılı Çerçeve Bu ÇalıĢma s e yü adımı Bu ÇalıĢma s Ġi yü adımı Bu ÇalıĢma s e yü adımı Bu ÇalıĢma s Ġi yü adımı

12 H. ERDEM Sayfa No:. SONUÇ Esenel uvvetin eğilme rijitliğine etisi iinci mertebeden momentler doğurmatadır. Bu eti nonlineer analizlerde göz önüne alınmatadır. Eğilme momenti de esenel ısalmaya neden olması sebebiyle esenel rijitliği etilemetedir. Her ii etinin birlite alınması daha doğru sonuçlar doğurmatadır. Ayrıca hem düģey hem de yatay yülerin etisi altındai sistemler, düģey ve yatay yülerin bir arada eti ettirildiğinde, eğer düğüm oordinatları da güncelleģtiriliyorsa, düģey düğüm yüleri düğümlerin yatay yer değiģtirmesi nedeniyle ilave momentler de doğuracatır. Farlı olara düģey ve yatay yüler ard arda yülenece olursa, eğilmiģ yatay çubulara yatay yülerin eti etmesi daha büyü iinci mertebe moment oluģmasına sebe olacatır. Bütün bu sebelerden dolayı, doğru çözümü etileyebilece bütün etiler göz önüne alınmalıdır. Bağlantıların gerçe davranıģlarının tesit edili göz önüne alınması, nonlineerliği etileyen fatörlerin ve yülemenin birlite uygulanı uygulanmayacağına arar verilmesi vb. etiler çıan sonuçları etileyecetir. 5. KAYNAKAR AKSOĞAN, O. MISIKOĞU, G. ve AKAVCI, S.S., 995. Ultimate Caacities of Frames with Strain-Softening Connections. Proceedings of the hird International Conference on Steel and Aluminium Structures, -8. A-BERMANI, F.G.A. and KIIPORNCHAI, S., 99. Elastolastic Nonlinear Analysis of Flexibly Jointed Sace Frames. J. Struct. Eng. ASCE, 8():8-7. AMUSAAM,.H. and RICHARD, R.M., 99. Steel Frame Analysis with Flexible Joints Exhibiting a Strain Softening Behavior. Com. Struct., ():55-5. BARAKA, M. and CHEN, W.F., 99. Practical Analysis of Semi-rigid Frames. Eng. J. AISC, 7():5-8. BAOZ, J.. and DHA, G., 979. Incremental Dislacement Algorithms for Nonlinear Problems. Int. J. Num. Meth. Eng., :-. BERGAN, P.G., 98. Solution Algorithms for Nonlinear Structural Problems. Com. Struct., : CHAN, S.., 988. Geometric and Material Nonlinear Analysis of Beam-Columns and Frames Using the Minimum Residual Dislacement Method. Int. J. Num. Meth. Eng., :57-9. ERDEM, H. ve AKSOĞAN, O., 99. he Analysis of Frames Consisting of Members Connected to heir Rigid End Sections by Nonlinear Rotational Srings. Ç.Ü.Müh.Mim.Fa. Dergisi, 9(-):-. ERDEM, H., AKSOĞAN, O. ve HÜSEYĠN, K., 99. Bağlantıları Yarı Rijit ve Nonlineer Davranan Üç Boyutlu Çerçevelerin Ġncelenmesi. Ç.Ü.Müh.Mim.Fa. Dergisi, :-5. KING, W.S. and CHEN, W.F., 99. RFD Analysis for Semi Rigid Frame Design. Eng. J. AISC, OADER, I.H.I., 99. Stability Functions for Members with Semirigid Joint Connections. J. Struct. Eng. ASCE, 9():55-5. VISSER, M., 995. Steel Frame Stability Design. Eng. J. AISC, (): -. YU, C.H. and SHANMUGAM, N.E., 98. Stability of Frames with Semirigid Joints. Com. Struct., (5):9-8.