Açık işletme Dizaynı için Uç Boyutlu Dinamik Programlama Tekniği

Transkript

1 MADENCİLİK Haziran June 1991 Cilt Volume XXX Sayı No 2 Açı işletme Dizaynı için Uç Boyutlu Dinami Programlama Teniği A Three Dimensional Dynamic Programming Technique for Open Pit Design Ercüment YALÇE\(*) ÖZET Bu yazıda, optimum açı işletme sınırlarının bulunması için geliştirilmiş olan üç-boyutlu dinami programlama teniği haında bilgi verilmetedir. Teniğin ullanılması sırasında arşılaşılan zorlular ve önerilen çözüm yolları anlatılmatadır. Üç-boyutlu dinami programlama teniğiyle ilgili algoritma detaylı olara anlatılmata ve sayısal bir örne verilmetedir. ABSTRACT In this paper, a three-dimensional dynamic programming technique is presented for determining the optimum ultimate pit limit. The difficulties encountered during the application of the technique, and suggested solutions are explained. The algorithm of the three-dimensional dynamic programming technique is explained in detail, and a simple numerical example is given. (*)Dr. Maden Yü. Müh. Araş. Gör., ODTÜ Maden Müh. Böl., ANKARA 21

2 1.GİRİŞ Geçmişte nihai açı işletme sınırları, cevher yatağından alınan yatay ve diey esitler üzerinde elle bulunuyordu. Günümüzde ise bu işlem biigisayar yardımı ile yapılmatadır. Özellile uzun vadeli işletme planlarının fizibilite çalışmaları sırasında, ompütürize edilmiş açı işletme modelleri ullanılmatadır. Bunun ana nedenlerinden birisi, birço açı işletme planının ço ısa bir süre içinde hazırlanara analizlerinin yapılabilmesidir. Diğer bir neden ise, planlama sırasında birden fazla değişenin aynı anda göz önüne alınara, optimum nihai sınırın bu değişenlere göre bulunabilmesidir. Değişenlerden herhangi birisinde yapılan değişiliğin, optimum nihai açı işletme sınırları üzerine nasıl bir eti yaptığı olayca görülebilmetedir. Optimum nihai açı işletme sınırlarının bulunması için değişi optimizasyon tenileri geliştirilmiştir (Kim, 1978; Koenigsberg, 1982; Ünal ve Yalçın,1989). Ço ısa sürede ve gerçeğe olduça yaın sonuçlar vermesinin yanında, basit ve olay anlaşılır olması nedeniyle günümüzde yaygın olara ullanılan optimizasyon tenilerinden birisi de dinami programlama teniğidir. Diğer optimizasyon tenilerinde olduğu gibi, bu tenite de blo modeli ullanılmatadır. Dinami programlama teniği, özellile uzun ve dar cevher yatalarının optimum açı işletme sınırlarının bulunmasında ço gerçeçi sonuçlar vermetedir. Johnson ve Sharp (1971) tarafından geliştirilen üç-boyutlu dinami programlama algoritmasına göre yazılmış olan bilgisayar yazılımının Batı-Kef rom yatağına uygulanması sırasında bazı zorlularla arşılaşılmış ve bu nedenle, algoritmada bazı değişililer yapılmıştır. Bu yazıda, algoritmanın son hali detaylı olara açılanmata ve sayısal bir örne verilmetedir. 2. DİNAMİK PROGRAMLAMA TEKNİKLERİ Optimum açı işletme sınırlanın bulabilme için ullanılan dinami programlama teniği, Graf teniğinin ullanılması ile Lerchs ve Grossman (1965) tarafından geliştirilmiştir. Bu teni, ii boyiitlu dinami programlama teniği olup, bir esit üzerindei optimum nihai sınırı bulmatadır. Üç-boyuîlu optimum nihai sınırı bulma için esitler yan yana getirildiğinde, esitler arasında uyumsuzlu oimata ve rütuş yapma geremetedir. Bu da elde edilen sınırın, optimum'dan uza bir sınır olmasına neden olmatadır (Shenggui ve Starfield, 1985). Üç-boyutlu dinami programlama teniği, Johnson ve Sharp (1971) tarafından geliştirilmiştir. Bu teni, ii-boyutlu dinami programlama teniğinin genişletilmiş hali olup, ii ısımdan meydana gelmetedir. İl ısımda, enine esitler üzerindei her at için nihai açı işletme sınırı bulunmata ve her at için bulunmuş olan sınırlar içinde alan blolardan elde edilen toplam net değer, uzunlamasına esiti oluşturmatadır. İinci ısımda ise, ii-boyutlu dinami programlama teniği ile uzunlamasına esit üzerinde optimum nihai sınır elde edilmetedir. Elde edilen optimum nihai sınır üzerinde yapılması gereen rütuş çalışmasının ço az oluşu ve esitler üzerinde elde edilen nihai sınırların birbirleriyle büyü bir uyum içinde olması, bu teniği diğer tenilere göre avantajlı duruma getirmete ve bu nedenle yaygın olara ullanılmasını sağlamatadır (Kim, 1978). 3. BLOK MODELİ VE BLOKLARIN OLUŞTURULMASI Optimum nihai açı işletme sınırlarını bulma için ullanılan optimiza'syon tenilerinin hepsi blo modelini ullanmatadır. Günümüzde yaygın olara ullanılan model, üç-boyutlu sabit blo modelidir. Bu blo modelinde cevher yatağı blolara ayrılmata ve bloların boyutları, yatağın her notasında aynı ölçüde alınmatadır. Bloları oluşturma için, cevher yatağının esenine di yönde esitler alınmatadır. Herbir esit üzerinde, şev açısı ve basama yüseliğine uygun olara blolar oluşturulmatadır. Blo boyutları seçiliren göz önünde bulundurulması gereen fatörler- şunlardır; ullanılan işletme yöntemi, basama yüseliği, ullanılan eipman, yatağın jeolojisi, açı işletme şev açısı, esitler arası uzalı vs. Genellile blo yüseliği, basama yüseliğine eşit alınmatadır. Blo genişliği, açı işletme şev açısını tutturabilme için blo yüseliğine bağlı olara hesaplanmatadır. Blo boyu ise genellile esitler arası uzalığa eşit olara alınmatadır (Johnson, 1970). Kesitlerde yer alan bloların net parasal değerleri aşağıda verilen genel eşitli ullanılara hesaplanmatadır. 22

3 Eğer blotenörü, sınır tenöründen büyü ise: ND= A.G.T.P m.p 0 - B.P 0.T - C.T Eğer blo tenörü, sınır tenöründen üçü ise: ND = - C.T Burada, ND= Blo net değeri, TL, A = Birim onsantre satış fiyatı, TL/ton G = Blo tenörü, %, T = Blo tonajı, ton, (T,x DE), Tı= Blo hacmi, m 3 DE= Cevher yoğunluğu, ton/m 3 P m = Cevher urtarma randımanı, %, P 0 =Konsantre urtarma randımanı, %, B = Konsantre zenginleştirme maliyeti, TL/ton, C = Cevher üretim maliyeti, TL/ton. Cevher yatağının esitlere ayrılması ve esitler üzerinde bloların oluşturulması sırasında göz önünde bulundurulması gereen bazı hususlar vardır. Bunlardan en önemlisi, cevher yatağından alınmış olan esitler üzerinde oluşturulaca sütun sayısının saptanmasıdır. Kesit üzerinde, yüzeyden başlayara alt atlara inen optimumaçı işletme sınırının terar yüzeye çıabilmesi için, esitin her ii tarafında bulunması gereen ve cevher içermeyebilen blolardan oluşan sütun sayısının ço hassas bir şeilde saptanması geremetedir. Eğer sütun sayısı gereen sayıdan az olursa, esitin bir enarından başlayara alt atlara inen açı işletme sınırı, esitin diğer enarında terar yüzeye çıamayaca ve istenen şev açısı tutturulamayacatır. Sütun sayısının gereen sayıdan fazla olması durumunda ise toplam blo sayısı, olması gereen blo sayısından ço fazla olaca ve programın çalışması sırasında gereli olan belle mitarı ve bilgisayar zamanı geresiz yere artacatır. Bunu basit bir örnele açılama gereirse; 60 at, 20 esit ve 80 sütundan oluşan bir cevher yatağının içerdiği blo sayısı ien (60x80x20), sütun sayısının 80 yerine 90 alınması durumunda cevher yatağının içerdiği blo sayısı olmatadır. Aradai far olan blo geresiz yere işleme atılmış olmatadır. Kesit sayısının saptanması sırasında da aynı durum söz onusu olmatadır. Programın çalışması sırasında oluşturulan ve cevher yatağının uzunlamasına esitini temsil eden matris üzerinde, açı işletme sınırının yüzeyden başlayara tabana adar inmesi ve terar yüzeye çıabilmesi için, uzunlamasına esitin başlangıç ve son ısımlarında da yeterli sayıda sütun yer almalıdır. 4. ÜÇ-BOYUTLU DİNAMİK PROGRAMLAMA ALGORİTMASINDA YAPILAN DEĞİŞİKLİKLER Johnson ve Sharp (1971) tarafından geliştirilmiş olan algoritmaya göre yazılmış olan bilgisayar yazılımının Batı-Kef rom yatağına uygulanması (Ünal ve Yalçın, 1989) sırasında bazı zorlularla arşılaşılmıştır. Bu nedenle üç-boyutlu dinami programlama algoritmasında bazı değişililer yapılmıştır. Bu değişililerden ili, optimum açı işletme sınır onturlarının bulunması işlemine başlama notasının saptanmasıdir. Johnson ve Sharp'ın algoritmasında sınır bulma işlemine P matrisinin üzerine ilave edilen yapay atın en son sütunundan (P 0, j) başlanmatadır. Bir sonrai ısımda verilmiş olan algoritmadan da görülebileceği gibi, P matrisi opt'mum işletilebilir sınırlar içerisindei toplam net ârı, J ise esit üzerindei toplam sütun sayısını ifade etmetedir. Oysa esit üzerinde topografya yüzey otunun, esitin sol enarından sağ enarına doğru azaldığı ve cevherli ısmın sağ tarafında alan sütun sayısının ço fazla olmadığı durumlarda, P 0, j değeri masimum ân ifade etmeyebilmetedir. Bu durumda masimum P değeri, matrisin J sütununun 1. atı ile topografyanın başladığı at arasındai herhangi bir atta yer alabilir. Bu, cevher yatağının durumuna göre değişir. Bu nedenle sınır bulma işlemine P 0, j blou yerine, J+1 sütunundai masimum P değerine sahip blotan başlanmatadır. Yapılan diğer bir değişili de, esit üzerindei her at için optimum nihai sınırın bulunması sırasında açı işletme sınırının daima yeryüzüne ulaşmasının sağlanmış olmasıdır. Yeryüzünün eğimli olduğu ve özellile eonomi olmayan esitler için bulunan açı işletme sınırlarının en alt atının bulunduğu sütun, esit enarına ço yaın olmata, bundan dolayı sınır yeryüzüne ulaşamayabilmete ve istenilen şev açısı sağlanamamatadır. Bu durum, yazılıma elenen ontrol omutlarıyla giderilmiştir. 5. ÜÇ-BOYUTLU DİNAMİK PROGRAMLAMA TEKNİĞİNİN ALGORİTMASI Üç-boyutlu dinami programlama teniği, başlıca şu aşamalardan meydana gelmetedir; 23

4 Parametreler: I = Toplam at sayısı, J = Toplam sütun sayısı, K = Toplam esit sayısı, i = Üzerinde çalışılan at numarası, j = Üzerinde çalışılan sütun numarası, = Üzerinde çalışılan esit numarası, m. ; = Blo net değeri. A. Kesit üzerindei at onturları: =0 1. Aşama: a. =+1 Her i, j için, yani her blo için; M u = m qjl i=1,2,...,i, j=1,2,...,j q=1 Burada M, 0, j sütunundai bloların net değerlerinin, en üstten başlayara aşağıya doğru ve i atındai bloun net değeri, m,,de dahil olma üzere, toplanmasından eide edilen net ârı ifade etmetedir. b. Kesiti temsil eden matris'in en üst seviyesine bir i=0 atı ilave edilir, Mo.j=0, j=1,2,...,j c. Kesitin başlangıç ve bitiş sütunlarında yeryüzünün başladığı atlar saptanır, L.,= Başlangıç sütununda yeryüzünün başladığı at no, L 2 = Son sütunda yeryüzünün başladığı al no. d. i=0 2. Aşama: i=i+1, j=0 3. Aşama: Eğer j=j+1 ise 7. Aşama'ya git. a. j=j+l b. P,j= Mu+MaxfP,^, }, r=-1,0 Burada Py, optimum işletilebilir sınırlar içerisindei toplam net arı ifade etmetedir, r ise, sırasıya -1 ve 0 değerlerini almatadır. 4. Aşama : s=0, t=0 5. Aşama: a. s=s+1, i=t+1 b - K i- S,j + t= M^j + t + Max{P^+r, i. 1+t } r=-1,0,1 c. Eğer K^ j < P j +t K +t ise 3. aşama'ya git. d. Eğer K, s j+t > P, sa +t ise P, s j+t =K, S j +t 6. Aşama: Eğer i-s = 0 ise 3. aşamaya git, değilse 5. aşamaya git. 7. Aşama: a. P max =Max{P q. J+,}, <*=1.2 L? I q b. Eğer P max < 0,0 ise, 11. Aşama'ya git. 8. Aşama: En yüse değere sahip P q J+1 bloğundan başlayara esitin i atı için sınır blolarını bul. a. j=j b. Eğer j = 0 ise 10. aşamaya git. c. Eğer i-l.,>j ise Max=P q. 1 j., ve 8.e'ye git. d. Max { Pq+rj.J, r=-1,0,1 için masimum P değerine sahip blou seç. e. Sınır onturları olan q+r ve j-1 değerlerini aydet. f. j=j-1 ve 8. b'ye git. 9. Aşama: S l- =P max Burada S, değeri, uzunlamasına esit üzerindei sütununun i atındai M, değerini temsil etmetedir. 10. Aşama: Eğer i ise 2. aşamaya git, değilse 15. aşamaya git. 11. Aşama: a. q=0 R OJ =0,0, j =1, 2 J b. q=q+1 Eğer q>i ise 12. aşamaya git. c.j =J+1 d. j = j-1 Eğer j=0 ise 11. b'ye git. e. R qj = M qj + Max {Rq+r,j+ı}, r= -1,0 r Burada R, j, P, j değerinin sağdan hesaplanmış halidir. f. 11.d'ye git. 12. Aşama: Q im = Max{P ij +R ij -M ij }, j j = i-l J - (i-l 2 ) 24

5 Burada Qj m> i atı için minimum zararı veren sınır içinde alan blo değerlerinin toplamıdır, i atının farlı sütunları için aynı Q değerleri bulunmuş ise, esit ortasına en yaın olan sütun seçilir ve seçilen olon numarası m olara alınır. 13. Aşama: a- S u = Q iım b. Q, m değeri için sınır blolarını bul ve i ve j değerlerini aydet. 14. Aşama: a. Eğer i < I ise 2. aşama'ya git. b. Eğer < K ise 1. a'ya git. B. Optimum uzunlamasına esit: 15. Aşama: a. i=0, Y 0, = 0,0, =1,2,... K+1 b. i=i+1, =0, Eğer i > I ise 16. aşama'ya git. c. =+1 Eğer > K+1 ise 15. b'ye git. d-y^si+maxty^}, r=-1,0,1 e. 15. c'ye git r 16. Aşama: a. S matris'inin birinci ve sonuncu sütunlarında topografyanın başladığı atları bul. L 3 = 1. sütunda topografyanın başladığı at no L 4 = Son sütunda topografyanın başladığı at no Y değerine sahip bloğu seç. e. i+r, -1 değerlerini aydet. f. =-1 ve 18. b'ye git. 19. Aşama: Sınır üzerindei her blo, (i,), esiti üzerinde i atından en az bir blo alaca şeilde bulunmuş olan optimum sınırı temsil etmetedir. 6. SAYISAL UYGULAMA Üç-boyutlu dinami programlama teniği, aşağıda verilen sayısal örne üzerinde uygulanmış ve anlatılmaya çalışılmıştır.örnetei cevher yatağı 7 esitten meydana gelmetedir. Her esit üzerinde 8 sütun ve 4 at bulunmatadır, Şeil 1. Kesit üzerinde 0 net değere sahip blolar, hava boşluğunda (atmosferde) yer alan blolardır. Cevher yatağı için optimum nihai açı işletme sınırını bulma amacıyla yapılaca il iş, esitler üzerinde her at için masimum ârı veren sınırın bulunması ve sınır içindei blolardan elde edilen toplam net değerin S, olara aydedilmesidir. Şeil 2'de, 1. esitin her atı için bulunmuş olan optimum sınırlar ve elde edilen toplam net değerler, S,, verilmiştir. 17. Aşama: a. Y^ = Max {Y q K+1 }, q =1,2,...,L 4-1 q b. Eğer Y max < 0.0 ise işlemi durdur. Cevher yatağı eonomi değil. 18. Aşama: En yüse değere sahip Y q K+1 bloğundan başlayara uzunlamasına esit için sınır blolarını bul. a. =K b. Eğer =0 ise işlemi durdur. c. Eğer I-L 3 > ise Max=Y M M ve 18. e'ye git. d. Max {Y j+r.. }, r= -1, 0,1 için masimum r 25

6 optimum sınırı ifade etmetedir. Her esite arşılı gelen enine esit sınır onturları yan yana getirilere cevher yatağı için optimum nihai açı işletme sınırları bulunur. Şeil 5'de, örne cevher yatağı için bulunmuş olan açı işletme sınırları gösterilmiştir. Cevher yatağından elde edilen toplam net âr ise 133 birim'dir. Şeil 2. Kesit bir için optimum at onturları Kesit 1'in atları için bulunan optimum nihai sınır bloları ise Çizelge 1'de verilmiştir. Kat Çizelge 1- Kesit 1'in Sınır Bloları Sınır Bloları 1 0,5) 2 (1,4), (2,5), (1,6) 3 (1,3), (2,4), (3,5), (2,6), (1,7) 4 (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (3,7), (2,8) Her esitten elde edilen S u değerleri sütunlar halinde yan yana getirildiğinde, ii boyutlu bir matris elde edilir. Bu matris, cevher yatağının uzunlamasına esitini temsil etmetedir.şeil 3. Şeil 3. Optimum uzunlamasına esit Algoritmanın 16. aşamasından itibaren, uzunlamasına esit üzerinde optimum nihai açı işletme sınırları bulunmatadır. Örne cevher yatağı için bulunan açı işletme sınırı Şeil 4'de gösterilmiştir. Uzunlamasına esit için bulunan sınır bloları, (i, ), esitinin i atı için bulunan Şeil 5. Cevher yatağının optimum nihai açı işletme sınırları 26

7 6. SONUÇ KAYNAKLAR Üç boyutlu dinami programlama teniği ile bulunan optimum nihai açı işletme sınırları, gerçe değere ço yaın olmata ve yapılması gereen rütuş çalışması en az düzeye inmetedir. Özellile ince-uzun damar şelindei cevher yatalarında ço iyi sonuçlar vermetedir (Johnson, 1971). Bu durum, teniğin Batı-Kef rom yatağına uygulanması sırasında da görülmüştür. Verilen sayısal örnete şev açısını tutturabilme için, nihai sınırın en fazla bir blo aşağıya ya da bir blo yuarıya gitmesine izin verilmiştir. Bu nedenle r parametresi, sırasıyla -1,0 ve 1 değerlerini almatadır. Ço di şev açıları için blo yüseliğini ço fazla alma yerine, r parametresinin alacağı değerin alt ve üst sınırını genişletme ve algoritmayı yeni duruma göre yeniden düzenleme daha olay bir çözüm yolu olmatadır ( -n < r < n). Böylelile sınır bir sütundan diğerine geçeren, üzerinde bulunulan ata göre n at yuarıya çıabilmete ya da n at aşağıya inebilmetedir. Ayrıca, cevher yatağının esenine di yönde alınan esit alınlılarını ve esitler üzerinde oluşturulan blo genişlilerini birbirinden farlı alma suretiyle, cevher yatağı için farlı yönlerde farlı şev açıları elde etme olanalıdır. JOHNSON, T. B., 1970; " Optimum Design of an Open Pit- An Application in Uranium", Can. Ins. Min. and Met, Special Vol. 12, pp JOHNSON, T. B. ve SHARP, R.W., 1971; "TJıree-Dimensional Dynamic Programming Method for Optimal Ultimate Pit Design", US Bureau of Mines, Rl KIM, Y.C.,1978; "Ultimate Pit Limit Design Methodologies Using Computer Models- The state of the Art", Min. Eng. Vol. 30, pp KOENNIGSBERG, E., 1982, "The Optimum Contours of an Open Pit Mine; An Application of Dynamic Programming", Proc. 17 th APCOM Symp. Soc. Min. Eng., AI ME, Newyor, pp LERCH, H. ve GROSSMANN, I. F., 1965; "Optimum Design of Open Pit Mines", Can. Ins. Min. Bui., Vol. 58, pp SHENGGUI, Z. ve STARFIELD, A. M., 1985; "Dynamic Programming with Colour Graphics Smooting for Open-pit Design on a Personel Computer", Int. J. of Min. Eng., Vol. 3, pp ÜNAL, A. ve YALÇIN, E., 1989; "Açı Oca Nihai Sınırlarının Bilgisayar Desteli Tasarımı ve Batı Kef Krom Yatağına Uygulanması", T, Maden. Bil. ve Te. 11. Kong., s