57 Problems And Solutions From Mathematical Gazette 2008

Transkript

1 57 Problems And Solutions From Mathematical Gazette Mathematical Gazette dergisinde yllar arasnda yaynlanan 57 özgün soruyu, çözümleri ile birlikte bu sayfalarda bulabilirsiniz. Çözümlerin tamam elementer yöntemler kullanlarak yaplm³tr. Kitapçk iki bölümden olu³maktadr. Birinci bölümde sorular, ikinci bölümde ise çözümler bulunmaktadr. 1 Sorular Soru 1.1 x, y ve z pozitif reel saylar olmak üzere xy + yz + xz = 1 e³itli i sa lanyorsa, oldu unu kantlaynz. x + y + z 3 Soru saysnn onluk tabanda yazld nda, son iki basama ndaki saylar bulunuz. Soru basamakl saysn asal çarpanlarna ayrnz. Soru x 3 + y 3 = z e³itli ini sa layan x, y, z tamsaylarnn bulunmad n gösteriniz. Soru 1.5 Bir paralelkenarn A kö³esinden çizilen do ru, paralelkenarn kö³egeniyle P, A ile kesi³meyen di er iki kenarla Q ve R noktalarnda kesi³iyor. Buna göre, oldu unu ispatlaynz. AP = P Q P R 1

2 Soru 1.6 A = (8n + 17) olmak üzere, A toplamn tamkare yapan tüm n de erlerini bulunuz. Soru 1.7 x, y, z R olmak üzere, ( x + y 3 + z 6 ) x + y 3 + z 6 e³itsizli ini kantlaynz. E³itlik olmas için, hangi ko³ullar sa lanmaldr? Soru 1.8 n + 13n + 3n + 5 ifadesini pozitif tamsay yapan tüm n Z + de erlerini bulunuz. Soru 1.9 e³itli ini kantlaynz. tan 30 = sin 70 cos 50 + cos 70 Soru 1.10 xy = 1994(x + y) e³itli ini sa layan kaç (x, y) tamsay ikilisi vardr? Soru 1.11 Dar açl bir ABC üçgeninde en uzun yükseklik A kö³esinden BC kenarna çizilen dikmedir. E er bu yükseklik B kö³esinden kenarortayla ayn uzaklkta ise, s(âbc) açsnn 60 'yi geçmedi ini kantlaynz. Soru 1.1 Bir dikdörtgeler prizmasnn, i. hacmi 7, 5 cm 3, ii. toplam yüzey alan 6 cm, iii. tüm kenarlarnn toplam 6 cm olarak veriliyor. Bu prizmann, kenar uzunluklarn bulunuz. Soru 1.13 x, y, z R + olmak üzere, x + y + z = 1 ise, e³itsizli ini kantlaynz. Soru 1.14 xy (x + y) + yz (y + z) + xz (x + z) 4 xyz (s 3 t t 4 ) + (s 4 st 3 ) 3 ifadesini çarpanlarna ayrnz. Bundan yola çkarak, 19 saysnn pozitif iki rasyonel saynn küpleri toplam biçiminde yazlabilece ini gösteriniz.

3 Soru 1.15 N pozitif bir tamsay olmak üzere, kenarlar N 1, N ve N + 1 olan, alan 000'den küçük bir tamsayya e³it olan tüm üçgenleri bulunuz. Soru 1.16 A n = 801 n 696 n 96 n n ifadesini her n Z + için bölebilen en büyük k tamsaysn ispatlayarak bulunuz. Soru 1.17 Herhangi biri 106'y geçmeyen 10 farkl pozitif tamsaydan olu³an bir kümenin, elemanlar toplam birbirine e³it olan ayrk altkümeye e³it oldu unu gösteriniz. Soru 1.18 m, n 0 olmak üzere, (m n) (m n ) = (m + n) 3 e³itli ini sa layan tüm (m, n) tamsay ikililerini bulunuz. Soru 1.19 sin 10 sin 0 sin 30 sin 40 sin 50 sin 60 sin 70 sin 80 = 3 56 e³itli ini kantlaynz. Soru tane pozitif tamsay çarpan bulunan en küçük N pozitif tamsaysn bulunuz. Soru 1.1 a, b, c R + olmak üzere, a + b + c = 1 ise 9a b c + 5 ifadesinin maksimum de erini bulunuz. Soru 1. k > 1 olmak üzere, P (x) = x k 1 + x k + x k x + x + 1 polinomu verilsin. Buna göre, P (x k ) polinomunun P (x) polinomuna bölümünden kalan bulunuz. Soru 1.3 a b 1996 = c 1997 e³itli ini sa layan (a, b, c) pozitif tamsay üçlülerini bulunuz. Soru 1.4 m ve n pozitif tamsaylar verilsin. m'yi n'ye böldü ümüzde bölüm a 1, kalan r 1 olsun. (m+r 1 )'i n'ye böldü ümüzde bölüm a, kalan r olsun. Ayn ³ekilde, (m+r )'yi n'ye bölünce, bölüm a 3 ve kalan r 3 elde ediliyor. Bu ³ekilde devam edildi inde en sonunda a n ve r n de erleri elde ediliyor. Buna göre, elde edilen tüm bölümlerin toplam toplamn bulunuz. a 1 + a + a a n 3

4 Soru 1.5 Bir zarn yüzlerine 0, 0, 1, 1, ve saylar yazlm³tr. n 1 olmak üzere, zar gelen skorlarn toplam n yada n + 1 olana kadar atyoruz. Zarn ardarda atlmas sonucu gelen skorlarn toplamnn n olmas olasl n ispatlayarak bulunuz. Soru 1.6 Tüm kenar uzunluklar cm cinsinden birer do al say olan, bir üçgenin alan 7446 cm 'dir. Ayrca kenar uzunluklar, ortanca terimi çift bir say olan aritmetik bir dizi olu³turmaktadr. Bu üçgenin tüm kenar uzunluklarn bulunuz. Soru 1.7 A, B, C ve D srasyla bir çember üzerindeki noktalar olsun.ab yaynn uzunlu u BD yaynn uzunlu una e³it ve M, B noktasndan AC 'ye inen dikmenin aya olmak üzere, MA = DC + CM oldu unu kantlaynz. Soru x + 1 y = e³itli ini sa layan tüm (x, y) tamsay ikililerini bulunuz. Soru 1.9 m, n Z + ve m, n > 1 omak üzere, F (m, n) = (m 1) (n 1) + m + n fonksiyonu verilsin. Buna göre, F (m, n) fonksiyonunu tamkare yapacak sonsuz tane (m, n) ikilisi oldu unu gösteriniz. Soru 1.30 a, b, c R olmak üzere, öyle (a, b, c) üçlüleri bulunuz ki, bu üçlü içinden herhangi ikisinin çarpmndan di eri çkarlnca, 1 sonucu bulunsun. Soru 1.31 A, B ve C bir üçgenin iç açlar olmak üzere, oldu unu kantlaynz. Soru < cos A + cos B + cos C formunda ve 1997 ile tam bölünebilen bir tamsaynn varl n kantlaynz. Soru 1.33 a, b, c Z +, a < b, a = 69 olmak üzere, a + b = c ve ebob(a, b, c) = 1 ko³ullarn sa layan tüm (a, b, c) üçlülerini bulunuz. i. Yukarda verilenlerle ba ntl olarak, boyutlar x Z olmak üzere 88, 035 ve x olan bir prizmann tüm yüzeylerinin kö³egenleri birer tamsay ise x de erini bulunuz. 4

5 Soru terimden olu³an ve tüm terimleri pozitif tamsay olan bir dizinin terimleri toplam tamkaredir. Biz bu sayya k dersek en küçük pozitif k de erini ve bu ³artlar sa layan aritmetik diziyi ispatlayarak bulunuz. Soru 1.35 Bir ABC üçgeninde BC, CA ve AB kenarlarnn orta noktalar srasyla D, E ve F 'dir. AB kenar üzerinde bir L noktas; LB = 1 ( AB + AC ) olacak ³ekilde LD çizilsin. Ayn ³ekilde BC üzerinde bir M noktas; MC = 1 ( BC + AB ) olacak ³ekilde ME çizilsin. Yine BC üzerinde bir N noktas; BN = 1 ( BC + AC ) olacak ³ekilde N F çizilsin. Öyleyse, DL, EM ve F N'nin e³ olduklarn kantlaynz. Soru 1.36 n 4 4n n 0n + 10 ifadesini tamkare yapan tüm n Z de erlerini bulunuz. Soru 1.37 Tüm terimleri tamsay olan bir dizi dü³ünün. x 1 = ve x n+1 = xn 1, (n 1) olmak üzere; Bu dizideki herhangi iki terimin 1'den büyük ortak böleni olmad n gösteriniz. Soru 1.38 oldu unu kantlaynz. tan 40 + tan 60 + tan 80 = 3 tan 70 Soru 1.39 a < a < b ve a 3 = 3a 1, b 3 = 3b 1 olmak üzere, b = a + oldu unu kantlaynz. Soru 1.40 e³itli i veriliyor (mod99) i. 0. yüzylda di er hangi yllar yukardaki özeli i sa lar? ii ve 000 yllar arasnda bu özeli i sa layan ilk yl hangisidir? 5

6 Soru 1.41 Pozitif saylardan olu³an bir kümenin elemanlarnn aritmetik ortalamasnn, bu kümenin bo³ olmayan alt kümelerinin ortalamalarnn ortalamasna e³it oldu unu ispatlaynz. Soru ifadesinin onluk tabanda yazlmnda ki, son üç basama nedir? Soru 1.43 Bir ABC üçgeninde BC = a, AC = b, AB = c ve b = 1 (a + c) olmak üzere, s(âbc) açsnn alabilece i en büyük de er kaçtr? Soru 1.44 Onluk tabanda son rakam silinip en ba³a koyuldu unda de eri üç katna çkan en küçük pozitif tamsayy bulunuz. Soru 1.45 e³itli ini kantlaynz. cos 11 + cos 83 + cos cos 7 + cos 99 = 0 Soru 1.46 a, b, c, d birer tamsy olmak üzere, P (x) = x 4 + ax 3 + bx + cx + d polinomu tanmlansn. P (1) = 1999, P () = 000 ve P (3) = 001 olmak üzere, ifadesinin de erini bulunuz. P (00) + P ( 1998) 000 Soru 1.47 x 3 + y 3 + x + y + 1 ifadesini bir tamkarenin iki katna e³itleyen sonsuz sayda (x, y) pozitif tamsay ikilisi oldu unu kantlaynz. Soru x + 4y + 14z, 6x + 93y + 40z, 35x + 31y + 78z ifadelerinden herhangi ikisinin 000 ile bölünmesini sa layan (x, y, z) tamsay üçlüleri için üçüncü ifadeninde 000 ile bölünebilece ini kantlaynz. Soru 1.49 Bir u n dizisi için u 1 ve n u n = (4n ) u n 1, n olmak üzere, u 000 de erinin bir tamsay oldu unu ispatlaynz. Soru 1.50 Sfrdan farkl üç rakamn farkl dizilimlerinden olu³an A, B, C üç basamakl pozitif tamsaylar için, herhangi ikisinin fark 81 ile bölünüp 10 yada 11 ile bölünmeyecek, üçünün toplam 4 ile bölünebilecek ve 17 A ³artn sa layan (A, B, C) üçlülerini bulunuz. 6

7 Soru 1.51 x x 4 + x x 4 15 = 000 e³itli ini sa layan tüm x 1, x,, x 15 pozitif tamsaylarn bulunuz. Soru 1.5 Her biri tam küp olan iki tane 001 basamakl say verilsin. Bu iki say yanyana getirilerek 400 basamakl bir say olu³turuluyor. Bu saynn da tam küp olmas mümkün müdür? spatlayarak bulunuz. Soru 1.53 Bir ABCD dörtgeninin AC ve BD kö³egenleri S noktasnda kesi³sin. s(ŝab) = s(ŝbc) = 30 ve s(ŝcd) = s(ŝda) = 45 ise s(âsd) =? Soru 1.54 Bir u n dizisi için, n u 0 = 1, u 1 = 1, u n = u n 1 u i, (n ) ³artlarn sa lanyor olsun. Bu dizinin terimleri Fibonacci Dizisi'nin terimleriyle nasl ifade edilebilir? Soru 1.55 p q r asal saylar olmak üzere p + q + r = 001 olsun. Ayrca k bir pozitif tamsay olacak ³ekilde p q r + 1 = k e³itli ini sa layacak tüm k de erlerini bulunuz. Soru 1.56 Birden fazla terimi bulunan ve terimler toplam 001 olan, pozitif tamsaylarn olu³turdu u kaç aritmetik dizi vardr? Soru 1.57 Herhangi ikinci dereceden bir fonksiyonda i=0 x = 000, 001 ve 00 de erleri verildi inde sonuç bir tam say oluyorsa, x'in tüm tamsay de erleri için sonucun tamsay olaca n gösteriniz. 7

8 Çözümler Çözüm.1 Çözüm için Cauchy 1 e³itsizli ini kullanalm. Buna göre; (x + y + z ) (y + z + x ) (xy + yz + xz) = 1 kolaylkla bulunabilir. x + y + z 1, ³imdi e³itsizli in iki tarafna da ekleyelim. Buna göre; olarak bulunur. Çözüm. x + y + z + (xy + yz + xz) 1 + (xy + yz + xz) }{{}}{{} (x+y+z) 1 (x + y + z) 3 x + y + z 3 olarak bulunur. Yukardaki denklikleri kullanrsak, Çözüm.3 Soruda verilen sayy ³eklinde yazalm. n = 139 olmak üzere; (mod100), (1) 19 61(mod100), () (mod100), (3) (mod100), (4) (mod100) (5) 19 9 (19 5 ) (mod100) N = n = ve N = (n 1) (10 5 n 1) (10 5 n) + n olarak yazlr. = ( )n = ( )(10 5 1)n = ( )(10 5 1) n = =

9 Çözüm.4 x 3 + y 3 = z e³itli inde, e³itli in her iki tarafnda (mod9) altnda inceleyelim. a Z olmak üzere, olmaktadr. O halde, a 3 1, 0, 1(mod9) x 3 + y 3, 1, 0, 1, (mod9) olur. Ancak; z , 4, 5(mod9) olur ki, soruda verilen e³itli i sa layan tamsaylar olmad açktr. Çözüm.5 ekilden takip edilecek olursa; m( P AB) = m( P RD) iç ters açlar m( P DR) = m( P BA) iç ters açlar m(âp B) = m( DP R) ters açlar kolaylkla görülebilir. Öyleyse, AP B üçgeniyle RP D üçgeni benzerdir. Buradan; AP RP = P B P D (6) Benzer biçimde; m(âp D) = m( BP Q) ters açlar m(âdp ) = m( P BQ) iç ters açlar m( DAP ) = m( P QB) iç ters açlar oldu u görülür. Buna göre, AP D ve QP B üçgenleride benzerdir. Buradan; QP AP = P B P D (7) e³itli i elde edilir. (6) ve (7) e³itlilerini kullanrsak, AP = P Q P R e³itli i elde edilir. Çözüm.6 olarak bulunur. Buna göre, A = (8n + 17) = ( ) + ( ) + + (8(n + ) + 1) = 8( (n + )) + n (n + )(n + 3) = 8[ 3] + n = 8n + 40n n 4 4n + 1n = k, k Z 9

10 e³itli inin olmas gerekir. E er e³itli imizin her iki tarafnda 16 ile çarpp, tamkare yapmak için de 441 eklersek, (8n + 1) 16k = 441 e³itli ini elde ederiz. Buna göre, (8n + 1 4k)(8n k) = 441 e³itli ini sa layan ikililer (1, 441), (3, 147), (7, 63), (9, 49) alnr ve bu de erler için denklemler çözülürse, n = 5, 7 4, 7 4, 1 de erleri bulunur. Buna göre, A saysn tamkare yapan, tane n tamsay de eri vardr. Çözüm.7 e³itsizli ini düzenlersek, ( x + y 3 + z 6 ) ( x + y 3 + z 6 ) x + y 3 + z 6 (x + y 3 + z 6 ) 0 ³ekline dönü³türüp bu e³itsizli in sol tarafn açarsak, 1 6 (x y) (x z) (y z) 0 e³itsizli ini elde ederiz ki, e³itsizli in sol tarafnn sfran büyük e³it oldu u açktr. E³itlik durumunun ise, x = y = z durumunda olu³aca açktr. Çözüm.8 EBOB(9, 3n + 5) = 1 oldu undan ifadeyi 9 ile çarpmamz, ifadenin pozitif tamsay olma durumlarn de i³tirmez. Buna göre, 9n + 117n n + 5 = 3n n e³itli ini elde ederiz. Bu ifadenin pozitif tamsay olabilmesi için, küçük bir tamsay olmaldr. Buna göre, 3n+5 15 = ,, 4, 8, 19, 38, 76, olur. says (3n+34)'den Burdan istenen ko³ullar sa layan de erler, 3n + 5 = 8, 38, 15 ise n = 1, 11, 49 olarak bulunur. Çözüm.9 Öncelikle e³itli in sa tarafnn paydasn ele alalm, cos 50 + cos 70 = cos 50 + cos 50 + cos 70 = cos 50 + cos 60 cos 10 (cos α + cos β = cos α + β = cos 50 + cos 10 = cos 30 cos 0 = 3 cos 0 cos 70 = cos 0 oldu undan sa taraf 1/ 3 olur ki, tan 30 = 1/ 3'e e³ittir. cos α β ) 10

11 Çözüm.10 xy = 1994(x + y) xy 1994(x + y) = 0 x(y 1994) 1994y = 0 x(y 1994) 1994(y 1994) = = (x 1994)(y 1994) = ise istenen ikililer (x, y) = (0, 1), (1, 0), (3988, 3987), etc de erleri bulunur. Çözüm.11 ekilden, AH = BK = x diyelim. Öncelikle en uzun yükseklik en ksa kenara inece inden, BC = a AC = b ve BC = a AB = c olur. Sinüs teoremine göre, oldu undan, a sin A = e³itli i ele edilir. Benzer biçimde, b sin B sin C = AH b ve m(âhc) = 90 = x b e³itlikleri elde edilir. ekilden, KBC üçgeninde, ve c sin C = a sin A = b sin B b sin B BK sin C = sin C b sin B = c sin B a sin A = b KC sin( KBC) BK = x ve KC = 1 b = x c = x a c b (8) (9) oldu undan, olarak bulunur. ABK üçgeninde, ve b = 1 b sin( KBC) sin( KBC) = 1 m( KBC) = 30 AK sin(âbk) = BK sin A BK = x ve AK = 1 b oldu undan sin(abk) = 1 a c 11

12 bulunur. Burada,a c oldu undan sin(abk) 1, m(abk) 30 dolaysyla, olur. m(âbc) = m(âbk) + m( KBC) 60 Çözüm.1 Prizmann boyutlarna x 1, x ve x 3 diyelim. Buna göre, olur.buradan, x 1 x x 3 = 15, 4(x 1 + x + x 3 ) = 6 x 1 + x + x 3 = 13 (x 1 x + x x 3 + x 3 x 1 ) = 6 x 1 x + x x 3 + x 3 x 1 = 13 e³itli i elde edilir. Bu e³itliklere göre bizden istenen; fonksiyonunun kökleridir. Buna göre, f(x) = x 3 13x + 6x 15 x 3 13x + 6x 15 = 0 (x 1)(x 11x + 15) = 0 (x 1)(x 3)(x 5) = 0 ise istenen de erler, x 1 = 1, x = 3 ve x 3 = 5 olur. Çözüm.13 x + y + z = 1 olmak üzere, x + y = 1 z, x + z = 1 y y + z = 1 x olur. E er soruda verilen e³itsili in sol ksmn açarsak = xy(1 z) + yz(1 x) + xz(1 y) = xy xyz + z xy + yz xyz + x yz + xz xyz + y xz = xy + yz + xz 6xyz + xyz(x + y + z) }{{} 1 = xy + yz + zx 5xyz bulunur. E er Aritmetik - Geometrik orta e³itsizli ini kullanrsak, A.O H.O. x + y + z x y z 1 3 xy + xz + yz xyz xy + yz + xz 9xyz elde edilir. O halde, xy + xz + xz 5xyz 9xyz 5xyz = 4xyz bulunur. 1

13 Çözüm.14 (s 3 t t 4 ) 3 +(s 4 st 3 ) 3 ifadesini açp birbirini götüren ifadeleri çkarrsak elimizde, s 1 + s 9 t 3 s 3 t 9 t 1 = (s 1 t 1 ) + s 3 t 3 (s 6 t 6 ) e³itli i olu³ur. E er bu ifadeyi de düzenlersek (s 6 t 6 )(s 6 + t 6 + s 3 t 3 ) = (s 3 t 3 )(s 3 + t 3 ) 3 e³itli ini elde ederiz. imdi, s = 3 ve t = alrsak, = = ( 9 35 )3 + ( )3 elde edilir. Çözüm.15 Üçgenin alann Heron Formülü 'nden bularak yazarsak e³itsizli ini elde ederiz buna göre, bulunur. A'nn bir tamsay olmas için, A = s(s a)(s b)(s c) < 0000 A = 3N N (N + 1) (N 1) = 3N (N 1) 3(N 1) = K, K Z + olmaldr. 3 K olmas gerekti inden K = 3M, M Z + olsun. Buna göre, ve 3(N 1) = 9M N 3M = 1 (N, M) = (1, 0), (, 1), (7, 4), (6, 15), (97, 56) 3 olarak bulunur. N = {1,, 7, 6, 97, }, alan 0000'den küçük tüm üçgenler, (3, 4, 5) A = 6br (13, 14, 15) A = 84br (51, 5, 53) A = 1170br (193, 194, 195) A = 1696br Çözüm.16 n = 1 de eri için soruda verilen ifade, olarak bulunur. Buna göre, A 1 = = 1995 = ( ) A n = n n 1 n + 1 n 0(mod3) A n = 1 n 1 n 4 n + + n 0(mod5) A n = 1 n 1 n 1 n + 1 n 0(mod7) A n = 8 n 17 n 8 n + 17 n 0(mod19) denkliklerinden anla³lyorki A n olur. Demek ki istenen k de eri 1995'dir. 3 Burada N k vem k de erleri; U k+1 = 4U k U k 1 formundadr. 13

14 Çözüm = 103 tane bo³ olmayan alt kümesi vardr. Güvercin Yuvas lkesi 4 'ne göre elemanlar toplam birbirine e³it olan iki tane farkl alt küme olmak zorundadr. E er bu kümeler ayrk ise, soruyu zaten çözdük, e er de ilse ortak eleman kalmayana kadar eleman eksilterek sonuca ula³rz. Örne in; A = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} {10, 1}, {5, 6} {10, 3}, {8, 5} {1,, 3}, {6} Çözüm.18 m, n 0 olmak üzere soruda verile ifadeyi açarsak,. m 3 m n mn n 3 = m 3 + 3m n + 3mn + n 3 mn(3m + 3n + mn + 1) = 0 3m + 3n + mn + 1 = 0 (m + 3)(n + 3) = 8 e³itli ini elde ederiz. Buradan da istenen (m, n) ikilileri (, 5), ( 4, 11), (5, ), ( 11, 4) olarak bulunur. ( 1, 1), (1, 1), ( 5, 7), ( 7, 5) Çözüm.19 Soruda verilen e³itli in sa tarafn açarsak, 3 = (sin 10 cos 10)(sin 0 cos 0)(sin 40 cos 0) 4 3 = sin 0 sin 40 sin = sin 40 (sin 0 sin 80) = sin 40 (cos 60 cos 100) = 64 ( cos 80) = sin 40 (1 + cos 80) = sin 40(1 + cos 40 sin 40) = 64 sin 40(3 sin 40) = 18 (3 } sin 40 {{ 4 sin3 40 } ) = sin sin(3 40) sin = 18 = Pigeon Hole Principle: 14

15 Çözüm.0 N = p a 1 1 p a p a 3 3 p an n ise, 1995 = (a 1 + 1)(a + 1) (a n + 1) = = ( + 1)(4 + 1)(6 + 1)(18 + 1) N'in en küçük olmas için ifadesinde istenen de erler N = p 1 p 4 p 6 3 p 18 4 p 1 = 7, p = 5, p 3 = 3, p 4 = olmaldr. O halde, N = (41900) = Çözüm.1 a + b + c = 1 ise maksimum de eri bulabilmek için, (1 9a b c + 5) ( )(9(a } + {{ b + } c) + 15) 1 A 3 4 A 6 Çözüm. p(x) = x k 1 + x k x + x + 1, k > 1 ve p(x k ) = p(x) q(x) + r(x) olsun. (x 1)p(x) = x k 1 oldu una dikkat edersek, p(x k ) = (x k(k 1) 1) + (x k(k ) 1) + + (x k 1) + (x k 1) + k ifadesinde parantezlerin içlerinin hepsinin (x k 1) ile kalansz bölündü ü görülebilir. O halde, r(x) = k olur. Çözüm = ise 1995 (1 + 3) = = 1997 ( ) 1995 ( ) = 1997 ( ) 1995 ( ) ( ) 1996 = 1997 ( ) 1995 Son olarak, e³itli in her iki tarafnda ( ) ile çarparsak, formunu yakalarz. Buradanda, a b 1996 = c 1997 a = , b = ve c = olur. 15

16 Çözüm.4 m = a i n + r 1 m + r 1 = a n + r m + r = a 3 n + r 3 =. m + r n 1 = a n n + r n ifadelerini altalta toplarsak, n m + (0 + r 1 + r + + r n 1 ) = n (a 1 + a + + a n ) + (r 1 + r + + r n ) ise, a 1 + a + + a n = m bulunur. m = a 1 + a + a a n + r n n, r n = 0 Çözüm.5 1'ler ve 'ler arasnda gelen 0'lar ihmal edebiliriz. O halde, n saysn elde edebilmenin olasl P n olmak üzere, olarak elde edebiliriz. Biz bu diziyi, P n = 1 P n P n P n = A (1) n + B ( 1 )n ³eklinde ifade edebiliriz (A ve B sabit saylar).p 1 = 1 ve P = 3 4 oldu u açktr. 1 = P 1 = A B A B = = P = A + B 4 4A + B = 3 ise P n = ( 1 )n Çözüm.6 Üçgenin kenarlar aritmetik dizi olu³turacak ve ortadaki terim çift olacak ³ekilde; a b, a, a + b olsun. Buna göre, 7446 = 3a (a b) a (a + b) 7446 = 3a (a b ) e³itli inde, sa tarafn tamkare olabilmesi için a b = c formunda olmaldr. Bu durumda, = 9a c 7446 = 3ac ac = 48 ve 48 = ise (a, c) = (73, 34), (146, 17), (141, ), (48, 1) 16

17 de erleri bulunur. Burada, a = 146, b = 143, c = 17 üçgen olma ko³ullarn sa layan tek üçlüdür. a b = 149, a = 9 ve a + b = 435 bulunur. Çözüm.7 ekilden, BN DN çizelim, m(bcd) = α olur m(bad) = 180 α olur. D, C, N noktalar do rusal oldu undan, m(bcn) = 180 α ve m(bad) = m(bcn) = m(bda) ( AB ve BD yaylar e³it oldu unda AB = BD 'dir.) Ayn yay gören açlar olduklar için m(bda) = m(bca) o halde, m(bca) = m(bcn), yani CM = CN oldu. DC + CM = DN olur. imdi, MAB ve NDB üçgenlerine bakacak olursak, AB = BD oldu undan, tüm açlar ve hipotenüsleri e³it iki dik üçgendirler. O zaman, bu üçgenler e³tir. Yani, MA = DN = DC + CM olur. Çözüm.8 Soruda verilen enklemi düzenlersek, 1997(x + y) = xy (x 1997)(y 1997) = 1997 ise istenen ikililer, (3994, 3994), (1998, ),... olarak bulunur. Çözüm.9 Soruda verilen foksiyou düzenlersek, F (m, n) = (m 1)(n 1) + m + n F (m, n) (m + n) = (m 1)(m + 1)(n 1)(n + 1) = [(mn 1) + (m n)][(mn 1) (m n)] Buna göre, F (m, n) (m + n) = (mn 1) (m n) elde edilir. Burada (m + n) = (m n) e³itlik durumu söz konusu olursa F (m, n) = (mn 1) olur ve bizden isteneni yapm³ oluruz. a = m n olmak üzere m a = m + n = (m n) = a ise n = a(a + 1) veya n = a(a 1), a =, 3, 4, 5, 17

18 Çözüm.30 ab c = 1, bc a = 1, ca b = 1 durumlar soruda verilen durumlardr. Burada, (ab c) (bc a) = b(a c) + (a c) = (b + 1)(a c) = 0 e³itli i elde edilir. b = 1 için a + c = 1 ve ac = 0 olur. Buradan da, (a, b, c) = (0, 1, 1), ( 1, 1, 0), ( 1, 0, 1) de erleri bulunur. Burada, a = c için b = a 1 ve b = a olur. Buna göre, a 1 (1 + 1 a ) = 0 a 1 a = 0 a 3 1 = a a 3 a 1 = 0 (a + 1)(a a 1) = 0 a = 1 durumu incelendi. imdi, a a 1 = 0, a = c = 1 (1 ± 5) bulduk. Denklemde yerine koyarsak a = b = c olur. (a, b, c) = ( 1 (1 ± 5), 1 (1 ± 5), 1 (1 ± 5)) Çözüm.31 Srasyla A, B, C açlarnn gören kenarlar a, b, c olsun. Üçgen e³itsizli inden a + b > c, b + c > 0, a + c > b e³itsizliklerini taraf tarafa çarparsak ifadesini elde ederiz. Bu ifadeyi açarsak, Buna göre, (a + b c)(c + a b)(b + c a) > 0 (ab + ac a 3 ) + (a b + bc b 3 ) + (a c + b c c 3 ) abc > 0 olur. b + c a bc + a + c b ac + a + b c ab E³itsizli in di er tarafn ispatlamak için, > 1 cos A + cos B + cos C > 1 a a (b c) b b (c a) c c (a b) e³itsizliklerini taraf tarafa çarpalm, a b c [a (b c) ][b (c a) ][c (a b) ] a b c (a b + c)(a + b c)(b + c a)(b c + a)(c a + b)(c + b b) abc (b + c a)(a + c b)(a + b c) 18

19 her iki tarafa abc ekleyelim. Çözüm.3 3abc a(b + c a) + b(a + c b ) + c(a + b c ) 3 b + c a + a + c b + a + b c bc ac ab 3 cos A + cos B + cos C A = formundaki A saysnda n tane 7991 ve m tane 0 olsun. O halde, A = 7991( (n 1) ) 10 m A = m 104n A saysnn 1997 ile bölünebilmesi için (10 m, 1997) = 1 ve (7991, 1997) = 1 oldu undan (10 4 ) n 1 ifadesinin 1997 ile bölünmesi gerekir. Fermat'a göre (mod1997), (1997 asal saydr.) oldu undan n = 499 ve m'nin herhangi bir do al say de eri için 1997 A olur. Çözüm.33 c b = 69 = 3 3 ise (c b)(c + b) = 3 3 ise bu e³itlikleri kullanarak, c b = 1, c + b = 4761 c = 381, b = 380 c b = 3, c + b = 1587 c = 795, b = 79 c b = 9, c + b = 59 c = 69, b = 60 c b = 3, c + b = 07 c = 115, b = 9 Bu dört durumdan yanlzca ikisinde (a, b, c) saylar arasnda asaldr; (69, 380, 381) ve (69, 60, 69) (i) 88 = 1 69 oldu unu göz önünde bulundurursak, bizden x, y, z Z + olmak üzere 88 + x + y ve x + z olacak ³ekilde x, y, z saylar bulmamz istenmektedir. x'in alabilece i de erler, yukarda buldu umuz de erlere göre;1 380, 1 79, 1 60 ya da 1 9'dir. Sadece, x = 1 60 = 310 de eri için z bir tamsay olur. O halde, prizmann di er boyutu 310'dir. 19

20 Çözüm.34 n (k + 1) = (n + 1) k=0 oldu unu zaten biliyoruz buna göre, ( ) = 1998 olabilir. Bu dizide ortak fark d = ve toplam k = 1998 'dir. k de erinin daha küçük olabilmesi için yapmamz gereken ortak fark küçültmektir. d = 1 için, dizi toplamndan S n = 1 n[a + (n 1)d] S n = (a ) k = 999(a ) = (a ) Burada, a+1997 = 3 37 x gibi bir ifade olmaldr. x 5 için 3 37 x ifadesi 1997'den büyük olmaktadr. O halde, x min = 5'tir. x = 5 için a = 389 ve k = 1665 olur. E er d = 0 olsayd, a + a + a + + a = k ve 1998 a = k olurdu ki en küçk tamsay çözümü a = ve k = 666 olur. Çözüm.35 Genelli i bozmadan BC AB AC olarak kabul edelim. F ve D srasyla BA ve BC 'nin ortanoktalar olmak üzere, F D = 1 AC ve F D AC olur. Benzer biçimde, DE = 1 BA ve DE BA olur. imdi, BL = 1 ( AB + AC ) ve BF = 1 AB oldu una göre, F L = 1 AC F L = F D Böylelikle, F LD ikizkenar üçgendir. m( F DL) = m( F LD) olur. ç ters açdan m( F LD) = m( LDE) yani, DL do ru parças m( F DE)'yi ikiye böler, açortaydr. Benzer biçimde, EM ve F N 'de açortay olarak bulunur. DL, EM, F N do ruparçalar da DEF üçgeninin içte et çemberinde kesi³irler ve e³tirler. 0

21 Çözüm.36 Soruda verilen denklemi k 'ye e³itlersek, n 4 4n n 0n + 10 = k (n 1) 4 + 8(n 1) + 1 = k ((n 1) + 4) 15 = k Burada, [(n 1) + 4] = a ise ifademiz artk a k = 15 durumuna dönü³ür, ancak burada a 4 oldu unu da unutmayalm. Buna göre, istenen a ve k de erleri (a, k) = {(4, 1), (8, 7)} olarak bulunur. Bu de erleri e er denklemimiz de yerine koyarsak istenen n de erleri 3 yada 1 olarak bulunur. Çözüm.37 Diyelim ki, Ebob(x m, x n ) > 1, (m > n) yani öyle bir p asal var ki, hem x m 'i hemde x n 'i tam bölüyor. Yani, ( xm 1 1) ve ( xn 1 1)'i tam böler. Yani, xm 1 xn 1 1(modp) E er a b 1(modp) ve a c 1(modp) ise, diyebiliriz ki, b ve c saylar (p 1) saysnn katlardr. Buradan da, Ebob(x m 1, x n 1 ) > 1 çkar. Ayn ³ekilde devam edecek olursak Ebob(x m n+1, x 1 ) > 1 olur ki, x 1 = iken di er bütün terimler tek saydr ve çeli³ki elde ederiz. Demek ki, tüm ikililer aralarnda asaldr. Çözüm.38 tan 40 + tan 60 + tan 80 = tan(60 0) + tan 60 + tan(60 + 0) e³itli inde tan 0 = t dönü³ümü yaplrsa, toplammz 3 t 1 + t t t 3 olacaktr. Buna göre, 3 t = 1 + t t t 3 = 3 t 3 1 3t = 1 3t t3 3 ( tan 0 1 3t ) = 3 tan 70 tan(3 0) = 3 tan 70 Çözüm.39 Basitçe farkedilebilece i üzere bizden f(x) = x 3 3x + 1 fonksiyonunun kökleri arasndaki ba nty ispatlamamaz istenmi³tir. Buna göre, x 3 3x+1 denkleminde x = sin α dönü³ümü yapalm. Buna göre, 0 = 8 sin 3 α 6 sin α = (4 } sin 3 α {{ 3 sin α } ) + 1 sin 3α 1

22 ise 1 = sin 3α 1 = sin 3α 3α = 30, 150, 10 O halde denklemin kökleri, x = sin 10, sin 50, sin 70 (a,b,c kökleri srasyla yazlm³tr.) Buna göre, Çözüm.40 a + = 10 + = (sin ) = (1 + cos 80 ) = (1 + cos 40 sin 40 ) = cos 3 40 = 4 sin 50 = ( sin 50 ) = b (mod999), (mod19) ve (mod9) Herhangi bir y = 10n + m yl için n 10 ve 1 m 99 olmak üzere diyelim ki, m > n olsun. y n(modm) ifadesi tamsay olan k'lar için y = km + n ifadesine denktir. i. Sorusu için n = 19 alrak, m = km + 19, 1881 = (k 1) m, 1881 saysnn çarpanlar 1, 3, 9, 11, 19, 33, 57, 99, 171, 09, 67, 1881 saylardr. Ancak n = 19 < m 99 oldu una göre sadece 3 yl bu özeli i sa lar;. 1933, 1957, 1999 ii. Sorusu için, elimizde n = 10 var. m ise 990 = saysnn bir çarpan. 10 < m 99 oldu undan, m'nin alabilece i de erler; burada bu özeli i ta³yan ilk yl 1011'dir. 11, 15, 18,, 99 Çözüm.41 S = {x 1, x, x 3,, x n } kümesi n elemanl bir küme olsun. Elemanlarnn ortalamas; x = 1 n x i n i=1

23 olsun. S kümesi n 1 tane bo³ olmayan alt kümeye sahiptir. Özel bir x i eleman dü³ünelim. Mümkün olan tüm altkümelerin ortalamalarnn toplamna katks; ( ) n 1 elemanl tane kümede tek bir tane. 1 ( ) n elemanl tane kümede 1 ( ) n 1 x i'nin katks 1. ( ) n r elemanl tane kümede 1 ( ) n 1 r r x i'nin katks r 1. ( ) n n elemanl tane kümede 1 ( ) n 1 n n x i'nin katks n 1 ise x i 'nin tüm katks ( ) n 1 [ + 1 ( ) n r ise buradan da olur. imdi, n 1 ( ) 1 n 1 x i r + 1 r r=0 ( ) n r 1 n n 1 ( ) n 1 (1 + t) n 1 = t r r e³itli ini dü³ünelim. Burada t'ye göre iki tarafn integralini alalm, t = 0 alarak, a = 1 n buluruz, imdi, t = 1 alrsak, r=0 ( ) n 1 ] n 1 1 n (1 + n 1 ( ) 1 n 1 t)n = r + 1 t r+1 + a, a R r r=0 1 n (1 + t)n 1 n 1 n = ( ) 1 n 1 r + 1 t r+1. r r=0 1 n n 1 ( ) 1 n 1 (n 1) = r + 1 r r=0 olur. Böylelikle, her x i 'nin tüm ortalamalarnn toplamna katks x i 1 n (n 1)'dir. Tüm ortalamalarn ortalamas ise, istendi i gibi 1 n 1 n i=1 x i 1 n (n 1) = 1 n n x i = x i=1 3

24 Çözüm = (0 1) 99 + (100 1) 99 = { ( 0) ( 0) + } { ( 100) + içerisinde 1000 çarpan bulunduran terimleri ihmal edebiliriz. O zaman, { } { } ifadesinden 6(mod1000) ise 378(mod1000) Çözüm.43 m(âbc) = θ diyerek cosinüs teoremini uygularsak; cos θ = a + c 1 (a + c) 4 = 1 ac 8ac [3(a + c ) ac] e³itli ini buluruz. Aritmetik orta ve geometrik orta e³itsizli inden ise θ 60 ve θ max = 60 olur. a + c ac ise, cos θ 1 8ac (3 ac ac) = 1 cos θ Çözüm.44 N = 10a+b olsun n olmak üzere a, n 1 basamakl ve b, tek basamakl bir saydr. Buna göre, M = 3N = 10 n 1 b + a 30a + 3b = 10 n 1 b + a a = b 9 (10n 1 3) olacaktr. b bir rakam ve a da bir tamsay oldu undan, olmaldr. 10 n 1 3(mod9) 10 n 1 3(mod9) 10 n 30 1(mod9), Küçük Fermat Teoremine göre, n = 8k, k Z + olur. lk de er ise n = 8 ve n 1 = 7 olur. Bundan sonra, a'nn 7 basamakl ve N'nin 8 basamakl olmas için b = 3 durumuna bakmamz gerekmektedir. Buna göre, ve bu sayda olarak bulunur. a = 3 9 (107 3) N = 30 9 (107 3) + 3 N = ( 100) + } 4

25 Çözüm.45 Önce baz önbilgileri verelim, buna göre, E er x = 11 alrsak, cos(560 A) = cos A cos(180 A) = cos A cos A + cos B = cos A + B cos A B = cos x + cos(7 + x) + cos( 7 + x) + cos(3 7 + x) + cos(4 7 + x) = cos x + [cos(7 + x) + cos(7 x)] + [cos( 7 + x) + cos( 7 x)] = cos x + cos 7 cos x + cos 144 cos x = cos x (1 + cos( 36) cos 36) = cos x (1 + (c 1) c), cos 36 = c dönü³ümü yaptk. imdi, 4c c 1 = 0 denkleminin bir kökünün cos 36 oldu unu göstermemiz gerekiyor. Buna göre, sin 36 = sin(180 36) = sin(4 36) sin 36 = sin(4 36) = sin( 36) cos( 36) = 4 sin 36 cos 36 cos( 36) sin 36 0 oldu undan 1 = 4c(c 1) 0 = 8c 4c 1 = (c + 1)(4c c 1) ve cos 36 1 oldu undan cos 36 de eri, 4c c 1 = 0 denkleminin köküdür. Çözüm.46 Bir q(x) polinomu dü³ünelim. Öyleki, q(x) = p(x) x 1998, x = 1,, 3 de erleri için q(x) = 0 olur. Öyleyse, ise q(x) = (x a)(x 1)(x )(x 3), a Z p(x) = (x a)(x 1)(x )(x 3) + x p(4 x) = (4 x a)(3 x)( x)(1 x) + 4 x q(4 x) = (x + a 4)(x 3)(x )(x 1) + 00 x p(x) + p(4 x) = (x 1)(x )(x 3)(x a + x + a 4) burada x = 000 olarak alrsak, = (x 1)(x ) (x 3) p(00) + p( 1998) 000 = =

26 Çözüm.47 Varsayalm olsun. Burada, terimlerin sadele³mesi için x 3 + y 3 + x + y + 1 = n x 3 + y 3 + = n (x + y + 1) x = a + b 1 y = a b 1 dönü³ümü yapalm. Buna göre, e³itli in sol taraf a 3 6a 6b + 6ab + 6a ve e³itli in sa taraf olur. imdi, n (a + b 4a + 3) ve a 3 6a 6b + 6ab + 6a = a (a + b 4a + 3) a + 4ab 6b + 3a x 3 + y 3 + = a(x + y + 1) + (b a)(a 3) olur. Burada, a = n ve b = n yazarsak, elde ederiz. Çözüm.48 p, q, r, a, b, c tamsaylar için, x 3 + y 3 + = n (x + y + 1) p(97x + 4y + 14z) + q(6x + 93y + 40z) + r(35x + 31y + 78z) = 000(ax + by + cz) Bu ifadede sol taraftaki herhangi iki ifadenin 000'in bir kat olmas durumunda di eride 000'in bir kat olur. a = b = c koyarsak p = 11 q = 13 r = 17 bulunabilir. Burada, p, q, r saylar 000 ile aralarnda asaldrlar. Çözüm.49 u n = 4n n ( n 1 n u n 1 = 4n n = n 1 (n 1) (n 3) n 6 n 1 u n = = 4n 4n 6 n n = n 1 (n 1)! n! n 1 (n 1)! ( ) n 1 = n ) ifadesi tüm n de erleri için tamsay oldu undan soruyu çözmü³ olduk. 6

27 Çözüm.50 A, abc formunda bir saydr. Öyleyse B ve C saylar acb, bac, bca, cab ve cba formlarndan biri olmaldr. Herhangi ikisinin fark 10 ile bölünemiyece inden bac'yi ve herhangi ikisinin fark 11 ile bölünemiyece inden cba'y eleyebiliriz. Son olarakta, abc acb = 9(b c) b ve c, 0 < b, c < 9 oldu undan b c fark 9'un kat olamaz. Böylece, A = abc, B = bca ve C = cab yada B = cab, C = bca olur. a, b, c saylarndan herhangi ikisinin e³it olmas durumunda ko³ullar sa lanmaz. O halde, a, b, c birbirinden farkldr. Bu durumda, Bezer ³ekilde ve Öyleyse, A B = 99a 90b 9c = 9(11a 11b c). B C = 9(11b 10c a) C A = 9(11c 10a b). 11a 10b c, 11b 10c a 11c 10a b ifadelerinin her biri 9 ile bölünebilmektedir. Buradan da, diyebiliriz ki, a b c, b c a, c a b ifadelerinin her biri 9 ile bölünebilir. Ayrca, A + B + C = 111(a + b + c) 0(mod4). Böylelikle, a + b + c toplam 4 ile bölünebilir. a b c = x, b c a = 9y, c a b = 9z ve a + b + c = 4n yazalm. Buna göre, 3a 4n = 9x, 3b 4n = 9y, 3c 4n = 9z olur. Buna göre, bu e³itlikten n'nin 3'ün bir kat oldu u ortaya çkar. a + b + c ise 1 ile bölünebilir. a, b, c'nin her birinin rakam oldu u göz önüne alnrsa, a + b + c = 0, 1, 4 olabilir. Buna göre, a + b + c = 0 için a = b = c = 0 olur. Ancak, a = b = c çözüm olamaz. a + b + c = 1 için a = 3x + 4, b = 3y + 4, c = 3z + 4 ise a, b, c {1, 4, 7} olabilir. 6 olaslktan sadece A = 714 ve B, C = 147, 471 istenen ko³ullar sa lar. a + b + c = 4 ise a = 3x + 8, b = 3y + 8, c = 3z + 8 e³itliklerden de a = b = c = 8 olur ki, yine ko³ullara uymaz. 7

28 Çözüm.51 Öncelikle, 7 4 > 000 oldu una dikkat edecek olursak, x i 'lerin herbiri {1,, 3, 4, 5, 6} kümesinden seçilmelidir. E er x i çift ise x 4 i 0(mod16), e er x i tek ise x 4 i 1(mod16). Diyelimki, n tane tek x i var, o halde (15 n) tane çift x i olur. Öyleyse, n 0(mod16) olur. 0 n 15 aral nda oldu undan n = 0 olmaldr. Böylece e³itlik a a a 4 15 = 15, a i {1,, 3}, i = 1,, 3,, 15 formuna dönü³tü. Farzedelim ki, a tane 3, b tane ve bundan (15 a b) tane 1 olsun (a i 'lerin arasnda). Öyleyse, 81a + 16b + 15 a b = 15 80a + 15b = a + 3b = Buradan tek çözüm; a = 1 ve b = 'dir. Buda bize permütasyonlarn saymazsak, tek bir çözüm oldu unu gösterir. (x 1, x, x 3,, x 15 ) = (,,,,, 4, 4, 6) Permütasyonlarn saysn bulmak için tekrarl permütasyondan 15! 1!! = 1365 bulunur. Çözüm.5 Bu saylar x 3 ve y 3 olsun. Yanyana yazlduklarnda olu³an say, olur. Buradan da, x 3 + y x 3 + y 3 = ( x) 3 + y 3 olur ki Fermat' son teoremine göre bu ifade tam küp olamaz. Çözüm.53 m(âsd) = x diyelim. m(âsd) = m(ŝda) = 45 oldu u bilindi ine göre di er açlar da bunlara göre yerle³tirelim. Sinüs teoremine göre, ise Ayrca, BC sin 50 = AC sin x BC = BC sin x = AC sin x CS BC = CS sin x sin 30 AC = 4 CS sin x AD sin 45 = AC sin x AD = AC sin x AD sin 45 = AD sin x AD = AS sin x 8

29 Buradan, CS = AS, CS = 1 AC böylelikle 3 ise AC = 4 sin x 1 AC sin x = 3 4, 0 < x < 180 oldu undan sin x = 3 ise x = 60 yada x = 10 derece olur. Çözüm.54 F n+ = F n+1 + F n ise F n+ = F n + F n 1 + F n ve F n+ = F n + F n F n = 3 F n F n, n. ki dizininde ilk birkaç terimini bulursak, u 0 = 1, u 1 = 1, u = 3, u 3 = 8, u 4 = 1, F 0 = 0, F 1 = 1, F = 1, F 3 =, F 4 = 3, F 5 = 5, F 6 = 8, F 7 = 13, F 8 = 1, farkedilebilece i gibi n 1 için u n = F n e³itli i vardr. imdi bunu, n = 1,, 3,, k için do rulu unu kabul ederek, u k+1 = u k + u k 1 + u k + + u 1 + u 0 = (u k u k 1 ) + u k 1 + u k + + u + u 1 + u 0 = F k F k + u k = F k F k + F k = 3 F k F k = F k+ ilk admda buldu umuz lemma. Çözüm.55 p, q, r tek saylar oldu u için pq + 1 = k çift, buradan da k çifttir. k = m olsun. pqr = (m) 1 = (m 1)(m + 1) Genelli i bozmadan, p < q < r diyelim. m 1 ve m + 1 aralarnda asal ve tek saylar olduklarndan, elimizde iki durum vardr. i. pq = m 1 ve r = m + 1 ii. pq = m + 1 ve r = m 1 Buna göre, i. r = pq + ise (r )r + 1 = k k = r 1. Ayrca, p + q + r = 001 p + q + pq + 1 = (p + 1)(q + 1) + 1 = 001 ise (p + 1)(q + 1) = 000. Buradaki olaslklar, p = 1 = q = 999 asal de iller. p = 3 = q = 499 ikiside asal. p = 7 = q = asal de il. O halde, p = 3, q = 499, r = 1499 ve k = 1498 bir çözümdür. 9

30 ii. r = pq ise (r+)r+1 = k ve k = r+1 olur. 001 = p+q+r = p+q+pq+ ise (p + 1)(q + 1) = 004 burada ki olasllara baklrsa çözüm bulunamaz. Tek çözüm, ilk durumda bulunan çözümlerdir. Çözüm.56 Ortak fark d 1 alabiliriz. Çünkü, ortak farkn negatif olmas durumuyla ayn sayda çözüm vardr. Aritmetik dizie toplam formülüne göre, S n = 1 n (a + (n 1)d) 400 = n(a + (n 1)d), n ve a, d 1 n, 400 saysnn bir haricinde bir çarpan olmaldr. Buna göre, {, 36, 3, 9, 46, 58, 69, 87, 138, 174, 667, 1334, 001, 400} n'nin en büyük de eri a ve d'nin en küçük de erleri için yani a = d = 1 için geçerlidir. n max (n max + 1) = 400 ve 403 = > 400 o halde n < 63 olmaldr. Buna göre de erleri olabilir. Buna göre, n {, 3, 6, 3, 9, 46, 58} n = için a + d = 001, d tek say : d = 1, 3,, 1999 ise 1000 çözüm vardr. n = 3 için, a + d = 667, d = 1,,, 667 ise 666 çözüm vardr. n = 6 için a + 5d = 667, a 1(mod5) ise a = 1, 6, 11, ise 67 çözüm vardr. n = 3 için a + 11d = 87, a 10(mod11) ve a = 10, 1, ve 7 çözüm vardr. n = 9 için a + 14d = 69, a 13(mod14) ve a = 13, 7, 41, 55 ve 4 tane çözüm vardr. n = 46 için a + 45d = 87, a = 1 ve d = 1 ise 1 çözüm vardr. n = 58 için a + 57d = 69, a = 6 ve d = 1 ise 1 çözüm vardr. Toplam, = 1746 çözüm d 1 için. Ayrca, d < 0 içinde 1746 çözüm vardr. d = 0 için ise f sabit say olmak üzere 007 'ten 1 haricinde toplam 7 f tane pozitif çarpan vardr. Dolaysyla, d = 0 için 7 tane çözüm bulduk. Çözüm.57 Varsayalm, f(x) ikinci dereceden bir fonksiyon olsun. x = n 1, n, n + 1 de erleri için tamsay olan bir sonuç versin (n = 001 özel bir durum). O halde, f(x + n) = g(x) = Ax + Bx + C ifadesi x = 1, 0, 1 durumlarnda tamsay olur. Bu da, A B + C, C ve A + B + C ifadeleri tamsay olur demektir. A B = l ve A + B = m yazalm, l ve m tamsay olsunlar. Buradan da, A = 1 (m + 1) ve B = 1 (m l) 30

31 bu da demek olur ki l ve m ikiside tek yada ikiside çifttir. Son olarak t tamsay olmak üzere, f(t) = g(t n) = 1 (m + l) (t n) + 1 (m l) (t n) + c = (t n)( 1 l(t n 1) + 1 m(t n + 1)) + c E er l ve m çift saylarsa, f(t) açkca tamsaydr. E er tek saylarsa, (t n) yada (t n±1) çift olur ki f(t) yine bir tamsaydr. 31

32 A x 0 0 x B x S x D x-45 soru x 45 C N C A B L M D F E A soru 7 B M D N soru 35 C A \ A B K \ P Q B H C soru 11 D soru 5 C R