Soru Toplam Puanlama Alnan Puan

Transkript

1 No: Ad-Soyad: mza: Soru Toplam Puanlama Alnan Puan CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI SORULARI (ÖRGÜN Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu cevaplaynz. 1. Y topolojik uzay, X topolojik uzaynn identikasyon uzay ve Z topolojik uzay Y uzaynn identikasyon uzay olsun. Bu takdirde Z, X in identikasyon uzaydr. Gösteriniz. Cevap : p : X Y, q : Y Z identikasyon dönü³ümü olsun. k : X Z identikasyon dönü³ümdür ( V Z de açk k 1 (V ) X de açktr) önermesini kullanalm. ( :) V, Z de açk olsun. k = q p : X Z dir. k 1 (V ) = (q p) 1 (V ) = p 1 (q 1 (V )) q identikasyon dönü³üm oldu undan q 1 (V ), Y de açktr. p identikasyon dönü³üm oldu undan p 1 (q 1 (V )), X de açktr. O halde k 1 (V ), Xde açktr. ( :) k 1 (V ), Xde açk olsun. k 1 (V ) = p 1 (q 1 (V )) açk olmas için q 1 (V ) nin açk olmas gerekmektedir. q identikasyon dönü³üm oldu undan V Z de açktr. 2. a) X kompakt, Y Hausdor, f : X Y dönü³ümü sürekli ve örtense bu takdirde f dönü³ümü identikasyon dönü³ümüdür. Gösteriniz.

2 b) S 1 R 2 birim çember olmak üzere g : [0, 2π] S 1, t e it dönü³ümünün identikasyon dönü³üm olup olmad n belirleyiniz. Cevap : a) f dönü³ümünün kapal oldu unu göstermemiz yeterlidir. A X kapal alt küme olsun. X uzay kompakt ve kompakt uzaylarn kapal alt uzaylar da kompakt oldu undan A da kompaktr. Bu durumda kompaktlk sürekli dönü³üm altnda korunaca ndan f(a) Y alt kümesi de kompakt olur. Hausdor uzaylarda kompakt kümeler kapal olaca ndan f(a) da kapal olur. f dönü³ümü sürekli, örten ve kapal oldu undan identikasyon dönü³ümdür. b) [0, 2π] R kapal ve snrl oldu undan Heine Borel Teoremi'nden kompaktr. Ayrca Hausdor uzay olma özelli i kaltsal özellik oldu undan S 1 R 2 çemberi de Hausdor uzaydr. Geriye g dönü³ümünün sürekli ve örten oldu unu göstermek kalyor. g(t) = e it = (cos t, sin t) fonksiyonu trigonometrik fonksiyonlar sürekli oldu undan süreklidir. imdi de g dönü³ümünün örten oldu unu görelim. z S 1 noktasn alalm. Bu durumda z noktas birim çember üzerinde oldu undan θ [0, 2π) için z = (cos θ, sin θ) dr. Ba³ka bir deyi³le g(θ) = z dir. O halde g dönü³ümü örtendir. Bu durumda a) ³kkndan g dönü³ümü identikasyon dönü- ³ümdür. 3. Ekli uzay tanmlaynz ve bir örnek veriniz. Cevap : X ve Y topolojik uzaylar ve A X kapal altuzay ve f : A Y sürekli bir dönü³üm olsun. a A noktalarn f(a) Y noktalaryla özde³ klalm. Yani a f(a), a A olsun. X Y/ a f(a) bölüm uzayna Y nin X uzayna eklenmi³ uzay denir ve X f Y ile gösterilir. Örne in X = [0, 1], Y = { } ve A = {0, 1} X noktalarn alalm. f : A Y, f(x) = sabit fonksiyonu süreklidir. x f(x) yani 0, 1 denk klalm. O halde [0, 1] f { }/ 0,1 dir. Geometrik olarak aral a bir nokta ekleyerek elde edilen ekli uzay çember olur. 4. homotopi ba ntsnn bir denklik ba nts oldu unu gösteriniz.

3 Cevap : ba nts yansmaldr: f : X Y sürekli dönü³üm olsun. O zaman H : X I Y, (x, t) H(x, t) = f(x) dönü³ümü de süreklidir. Ayrca H(x, 0) = f(x) ve H(x, 1) = f(x) ko³ullar sa lanr. Buradan f f dir. ba nts simetriktir: f g olsun. O zaman H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) olacak ³ekilde H : X I Y sürekli dönü³ümü vardr. F : X I Y, F (x, t) = H(x, 1 t) sürekli dönü³ümünü tanmlayalm. F (x, 0) = H(x, 1) = g(x) ve F (x, 1) = H(x, 0) = f(x) sa land için ve H sürekli oldu undan F de süreklidir ve g f dir. ba nts geçi³melidir: h, g, f : X Y sürekli dönü³ümler olsun. f g ve g h olsun. O zaman H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) olacak ³ekilde H : X I Y sürekli dönü³ümü ve G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x) olacak ³ekilde G : X I Y sürekli dönü³ümü vardr. H(x, 2t), 0 t 1/2 K : X I Y, K(x, t) = G(x, 2t 1), 1/2 t 1 sürekli dönü³ümünü tanmlayalm. K(x, 0) = H(x, 0) = f(x) ve K(x, 1) = G(x, 1) = h(x) ³artlar sa lanr. Ayrca H ve G sürekli oldu u için Pasting Lemma dan K dönü³ümü de süreklidir. Böylece f h dir. 5. X bir topolojik uzay, D 2 R 2 birim disk olmak üzere [X, D 2 ], X den D 2 ye giden sürekli dönü³ümlerin homotopi ba nts altndaki denklik snarnn kümesi olsun. Bu takdirde [X, D 2 ]

4 kümesinin kardinalitesinin 1 oldu unu gösteriniz. Cevap: D 2 diski büzülebilir oldu undan 1 D 2 : D 2 D 2 birim dönü³ümü c : D 2 D 2, c(x) = x 0 x D 2 sabit dönü³üme homotoptur. f : X D 2 herhangi bir sürekli dönü³üm olsun. 1 D 2 c oldu undan 1 D 2 f c f homotopi ba nts bile³ke altnda korunacaktr. Buradan 1 D 2 f = f ve c f dönü³ümü sabit oldu undan f dönü³ümü nullhomotoptur. f dönü³ümünün seçimi key oldu undan X uzayndan D 2 diskine giden sürekli tüm dönü³ümler nullhomotop olacaktr. O halde X den D 2 ye giden sürekli dönü³ümlerin homotopi snarnn kümesi tek elemanldr. 6. a) Yol ba lantl bir X topolojik uzaynn temel grubunun Π 1 (X) = Z 2 oldu u biliniyor. Y bir topolojik uzay ve y 1, y 2 Y olsun. E er Y ile X homeomorf uzaylar ise bu takdirde Π 1 (Y, y 1 ) ile Π 1 (Y, y 2 ) temel gruplar arasndaki ili³ki nedir? Açklaynz. b) Temel gruplar izomorf olup birbirine homeomorf olmayan iki uzay örne i veriniz. Cevap : a) Y uzay yol ba lantl X uzayna homeomorf oldu undan Y de yol ba lantldr. Bu durumda Π 1 (Y, y 1 ) ile Π 1 (Y, y 2 ) temel gruplar baz noktasndan ba mszdr. Üstelik Y ile X uzay hoemomorf oldu undan temel gruplar izomorftur. O halde Π 1 (Y, y 1 ) = Π 1 (X) = Π 1 (Y, y 2 ) = Z 2. b) D 2 R 2 diski ile R yi ele alalm. Bu iki uzay da konveks oldu undan temel gruplar izomorf olacaktr. Ancak D 2 diski kompakt olmasna ra men R uzay kompakt de ildir. 7. S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 = 1} R 3 birim küresinden E = {(x, y, z) S 2 : z = 0} ekvatoral çemberinin çkarlmasyla elde edilen yeni uzay X olsun. Bu durumda Π 1 (X, (0, 0, 1)) temel grubunu hesaplaynz.

5 Cevap : X = S 2 E = {(x, y, z) S 2 : z 1} uzay kürenin üst ve alt yar kürelerinden olu³ur. Bu iki yar küre ayrk oldu undan X uzay ba lantszdr. Ba³ka bir deyi³le E + ve E, X uzaynn srasyla üst ve alt yar küresi olsun. Bu durumda X = E + E olur ve Π 1 (X, (1, 0, 0)) = Π 1 (E +, (1, 0, 0)). E + = {(x, y, z) S 2 : z > 0} üst yar küresi diskin içine homeomorf oldu undan temel guruplar izomorftur. Diskin içi konveks oldu undan temel grubu a³ikardr. Bu durumda Π 1 (X, (1, 0, 0)) = Π 1 (E +, (1, 0, 0)) = {0} elde edilir. 8. X bir yol ba lantl topolojik uzay, A X yol ba lantl alt kümesi olsun. i : A X, a i(a) = a, a A kapsama dönü³ümü için r i = 1 A olacak ³ekilde bir r : X A sürekli dönü³ümünün var oldu unu kabul edelim. E er Π 1 (X) = (Z, +) ise bu durumda Π 1 (A) temel grubunun olas tüm grup yaplarn belirleyiniz. Cevap : r i = 1 A oldu undan indirgenmi³ homomorzmas da (r i) = (1 A ) r i = 1 Π1 (A) ³eklindedir. Bu durum r : Π 1 (X) Π 1 (A) homomorzmasnn surjektif ve i : Π 1 (A) Π 1 (X) homomorzmasnn ise injektif oldu unu gerektirir. i injektif oldu undan ve [f] Π 1 (A) için i [f] = [i f] = [f] oldu undan birinci izomorzma teoreminden A nn temel grubu X in temel grubunun alt gurubudur. Π 1 (X) = Z ve Z nin tüm alt guruplar n N olmak üzere nz formunda oldu undan Π 1 (A) = nz olacaktr. 9. a) Büzülebilir olup kompakt olmayan bir uzay örne i veriniz. b) Kompakt olup büzülebilir olmayan bir uzay örne i veriniz.

6 Cevap : a) R uzay snrl olmad ndan kompakt de ildir. Ancak konveks oldu undan R üzerinde herhangi iki sürekli dönü³üm homotop olaca ndan birim ve sabit dönü³üm de homotoptur, yani R büzülebilirdir. b) X = [0, 1] {2} R uzayn ele alalm. Heine Borel Teoremi'nden [0, 1] ve {2} kompaktr. Kompakt uzaylarn birle³imleri de kompakt oldu undan X de kompaktr. Bu uzayn büzülebilir olmad n açklayalm. X uzay büzülebilir olsayd yol ba lantl dolaysyla da ba lantl uzay olurdu. Ancak X uzaynda [0, 1] ve {2} açk alt kümeler oldu undan X ayrk açklarn birle³imi ³eklindedir. Yani ba lantldr. O halde X uzay büzülebilir de ildir. 10. Her homeomorzma örtü dönü³ümüdür gösteriniz. Tersinin do ru olmad na bir örnek veriniz. Cevap : X ve Y topolojik uzaylar ve f : X Y homeomorzma olsun. f homeomorzma oldu undan sürekli ve örtendir. Süreklilikten dolay U Y açk için f 1 (U) = V X açktr. f homeomorzm oldu undan f V homeomorzmadr. Bu durumda f homeomorzmas örtü dönü³ümü özelliklerini sa lar. p : R S 1, t p(t) = e 2πit = (cos2πt, sin2πt) ³eklinde tanml p dönü³ümü örtü dönü³ümü idi. Ancak R kompakt de ilken S 1 çemberi kompakt oldu undan bu iki uzay birbirine homeomorf olamaz. O halde p dönü³ümü homeomorzma de ildir. Ba³arlar Dilerim. Prof. Dr. smet KARACA