DENEME SINAVI ÇÖZÜMLER

Transkript

1 NM SINVI ÇÖZÜMLR

2 eneme - Çözümler. ir doğl sının 9 ile bölümünden kln, o sının rkmlr toplmının 9 ile bölümünden kln eşittir..... sısı 000 bsmklı olduğu için, bu sı, dört bsmklı sısının n n 50 kez 000 zılmsı ile elde edilmiştir. Şimdi bu sının rkmlr toplmını bullım tne 0 Rkmlr Toplmı Yol oğru Seçenek Şekildeki bolı bölge, frk kümesini ifde etmektedir. kümesi, it oln fkt e it olmn elemnlrın oluşturduğu kümedir. kümesinin ortk özellik öntemile gösterimi, #! ve g - biçimindedir. u gösterimi, ve bğlcı erine / sembolünü kullnrk d pbiliriz. #! / g - oğru Seçenek!! 5! 5!! 5! 0!! + 5! +! $! + 5$! + 0 $!!!! $ ( )!. Yol! + 5! +!! 5!! + +!!!! $! 5$! $ 5$! + +!!!. + (, ) ( + ), ( + ) + {, b, c, d} Verilen + {c, d, e, f, k} ( + ), ( + ) {, b, c, d}, {c, d, e, f, k} {, b, c, d, e, f, k} oğru Seçenek s + (, 7 oğru Seçenek

3 eneme - Çözümler 5.. Yol + + eşitliğinde, ve değişkenlerini eşitliğin sol trfın, sılrı d eşitliğin sğ trfın llım. $ ( ).. Yol ir eşitsizliğin her trfını, dilediğimiz bir pozitif sı ile çrpbiliriz ve dilediğimiz bir pozitif sı bölebiliriz. ir eşitsizliğin her trfını, negtif bir sı ile çrprsk ve negtif bir sı bölersek, eşitsizlik işretlerinin önü değişir. ğımsız değişkenler içeren iki eşitsizliği trf trf toplbiliriz. şitsizliklerde trf trf çıkrm işlemi YPI-. Yol TST TKNİĞİ Verilenlere üzesel bkrsk, bir tne denklem ve iki tne değişken verildiğini görürüz. olısıl, ve değişkenlerinin rı rı hesplnbilmesi mümkün değildir. unun sonucu olrk, ve değişkenlerinden dilediğimiz birini silebiliriz. iz i seçelim. i sildikten sonr, soru şu hâli lır: + +? +? u sorunun cevbını bulmmız, bşlngıçtki problemi çözmek için eterli olcktır. + oğru Seçenek LMZ! Soru köküne dikkt edersek, ifdesini bulmmız gerektiğini nlrız. unun için, ilk eşitsizliğin her trfını ile, ikinci eşitsizliğin de her trfını ile çrpmlıız. # # ( ) # # # # 8 urd, sısı pozitif olduğundn, eşitsizlik işretinin önünü değiştirmedik. # # $ $ # # urd, sısı negtif olduğundn, eşitsizlik işretinin önünü değiştirdik. # # 8 # # # # frkının lbileceği tm sı değerlerinin kümesi, {,,,..., } olup, bu kümenin elemn sısı, Son Terim İlk Terim + ( ) + dır.

4 . Yol nin en büük ve en küçük tm sı değerlerini bulrk cevb ulşbiliriz. ve için, frkı en büük olur. m( ) ( ) 8 + ve için, frkı en küçük olur. min( ) ( ) eneme - Çözümler 8. Üslü ifdeler konusundn, tnımlı olmk koşulul, olduğunu htırlınız. + b+ 8 b 8 b 8 b değerini üstteki denklemde erine zlım. b oğru Seçenek ulduğumuz bu değerlerin sonucund şunu söleebiliriz: frkı, [, ] rlığınd değerler lır. u kplı rlıkt, ( ) + tne tm sı vrdır. oğru Seçenek 9. eğrisini çizersek, istenen sırlmı kolc pbiliriz ir gerçek sının mutlk değeri sl negtif olmz. Yni, her! R için, $ 0 dır eşitliğinin sğlnbilmesi için, mutlk değer sembollerinin içlerindeki ifdelerin sıfır eşit olmlrı gerekir oğru Seçenek urdki kırmızı renkli prçlr, ukrı doğru kıslrk devm etmektedir. unu bz lrk, 0... eşitsizliklerini zbiliriz. 0 _ 05 b b b 07 0 ` c b b c b İKKT Problemdeki sılr, b c olrk verilsedi,ine nı sırlm geçerli olurdu. oğru Seçenek

5 eneme - Çözümler 0.. Yol _ m b ` m $ m$ m m z z b z z stenen m z. 9 q q. Yol α + θ 90 z ornını hesplbilmek için, i z cinsinden bul- mmız eterlidir. z m m$ z m m$ Üstteki eşitliklerden ikincisinde erine m z zrsk, i z cinsinden elde ederiz. m m m z m z z $ z stenen m $ z m. Yol TST TKNİĞİ Şekildeki kırmızı ve mvi renkle bolı üçgenler.. enzerlik Teoremi gereğince benzerdir. enzerliğin ötesinde, hipotenüs uzunluklrı eşit olduğu için, bu iki üçgen eştir., ve 9cm cm cm oğru Seçenek Seçenekler birbirinden frklı olck şekilde, m e bir değer verelim. m değeri ugundur. ) m ) m ) m m + ) m + ) m Sı değeri elde edebilmek için, z e bir değer verelim ve ile i bu değer rdımıl hespllım. z dielim. m z $. ir dik üçgenin lnı, dik kenr uzunluklrının çrpımının rısın eşittir. nı üksekliğe ship oln iki üçgenin lnlrının ornı, bu üksekliklerin it olduğu tbn uzunluklrının ornın eşittir. 8 z urdn, ve buluruz. oğru Seçenek Pisgor teoreminden, buluruz cm 5

6 eneme - Çözümler 8. dım ir ikizkenr üçgenin tbn çılrının ölçüleri birbirine eşittir. 5 0 ( ) $ $ $ $ 8 cm ( ) 0 ( ) 5 ( ) cm ( ) olı bölgelerin lnlrı toplmı, ( ) ( ) frkın eşittir. cm oğru Seçenek. dım 00 m( \) m (\) mfk (\) mfk (\) b F b b K ve F K oldu undn ir üçgende iki iç çının ölçüleri toplmı, kendilerine komşu olmn dış çının ölçüsüne eşittir. L 00 F b b K ml (\) + mfm (\) b+ b b b M.. Yol. dım. dım ir üçgenin dış çılrının ölçüleri toplmı 0 dir. 00 F b K b ir dörtgenin herhngi iki köşesine it iç çılrın ölçüleri toplmı, öteki iki köşee it dış çılrının ölçüleri toplmın eşittir. m (\) vemfk (\) bdersek, + b + olur. + b b 80 + b 0. dımd, + b + olduğunu elde etmiştik. + + b 0

7 eneme - Çözümler. Yol. Yol TST TKNİĞİ olduğunu vrsrk çözüm pm- 00 F c c + c b + d d d K b mızd bir skınc oktur. 00 m ( V) vem ( W) bdersek, + b b 80 olur. m( \) m( \) cvem( FK \) m( KF \) d dersek, bir üçgende iki iç çının ölçüleri toplmı, kendilerine komşu olmn dış çıın ölçüsüne eşit olduğundn, mk (\ ) + c $ nden, mfk (\ ) b+ d $ FKnden, olur. oğru çının ölçüsü 80 olduğundn, c + ( + c) 80 + c 80 d + (b + d) 80 b + d 80 olur. u iki eşitliği trf trf toplrk c + d i bulbiliriz. + c 80 b+ d 80 + b+ c+ d 0 ; 80 $ ( c+ d) c+ d 0 mk (\) + mfk (\) + c+ b+ d + b+ c+ d 0 ; : 80 0 KF dörtgeninin iç çılrının ölçüleri toplmı 0 dir c+ b+ d K 0 0 K F Yol İLRİ TST TKNİĞİ ir çokgenin kenr sısı kç olurs olsun, iç çılrının ölçüleri toplmı 9 ile tm bölünür. m ( V ) 0 lrk, rkmlr toplmı üzerinden işlem pbiliriz , 9 0 Yedinci hreket İkinci hreket 9 0, , 9 0 ltıncı hreket F F 9 ( + 0) 8 0,5 (Üçüncü hreket) 0,5 8 K 9 8 0,5 ördüncü hreket 9 0,5 8, , + eşinci hreket (İlk hreket) (Son hreket) ) ) ) ) ) oğru Seçenek 7

8 .. Yol sısının ƒ ltındki ters görünüsü, ƒ () değerine eşittir. ƒ() urı pn değerini rıoruz. eneme - Çözümler. dım dım şekli çizelim. ir kenr uzunluğu cm oln eşkenr üçgeninin Yol! R {0} ve b! R olmk üzere, dır. ƒ() + b ƒ () b ƒ() ƒ () + ƒ + () 8 oğru Seçenek... köşesinin [] kenrı üzerindeki dik izdüşümü ʹ dür ʹ... ʹ noktsının [] kenrın göre simetriği ʺ olduğun göre, Veriler küçükten büüğe doğru sırlnmış olup tne sı vrdır. 0 0 ʺ,,, 5, 5,, 7, 8, 8, 8, 9 ʹ Ortnc... m uzunluğu kç cm dir?" u veri grubunun ortncsı, lt u veri grubunun ortncsı, üst 0 çereği verir. çereği verir. 0 0 ʺ,,, 5, 5 7, 8, 8, 8, 9 lt Çerek Q Üst Çerek Q 8 ʹ Çerekler çıklığı Q Q 8 oğru Seçenek m (\ m ) dir. m için Pisgor teoremini zlım. m + _ i + 7 m 7 cm oğru Seçenek 8

9 7.. Yol 00 kuruş TL dir kuruş, 08, TL dir. 00 kg kısının fitı TL olsun. kg üzümün fitı ( + 0,8) TL olur. eneme - Çözümler ),05 için: Üzüm,05, Kısı,5 (,05) + (,5),5 +,50 8,75 8,90 ı elde etmemiş gerekirken, 8,75 i elde ettik. emek ki, cevp,05 ten büük olmlı. Şu hâlde, cevbın ),0 olduğu çıktır. oğru Seçenek Problemde, kg üzüm ve kg kısının fitının 8,90 TL olduğu verilmiş. kg üzüm ( + 0,8) TL kg kısı TL ( + 0,8) + 8,90 +, + 8,9 5 8,9,,5, 5, 5 0 ( + 0,8), + 0,8, TL. Yol TST TKNİĞİ,0 TL Seçenekleri küçükten büüğe doğru sırldıktn sonr iki denemele doğru cevbı bulbiliriz. Şöle: Önce seçeneğini deneriz. ğer sğlıors cevp dir. evp den dh küçükse dır. evp den dh büükse,, seçeneklerinden biri cevp olur. Sonr seçeneğini deneriz. ğer sğlıors cevp dir. evp den küçükse dir. evp den büükse dir. 8.. Yol l ornı % 7 oln 7 litre nr suundki bl miktrı, 7 $ 7 9 9, litredir l ornı % 9 oln 5 litre nr suundki bl miktrı, 9 $ 5 99, 99 litredir Toplm Krışım litre Toplm l,9 +,99,8 litre 8 litrede,8 litre bl vrs 00 litrede litre bl olur. oğru Orntı 8 00, Yol TST TKNİĞİ 7 Krışım miktrlrının ornı tür. 5 + olduğundn, eşit rlık üzerinden işlem pcğız. ölece, iki denemede doğru cevbı elde etmiş oluruz. ),50 için: Üzüm,50, Kısı,70 (,50) + (,70) 0,50 + 5,0 5,90 8,90 ı elde etmemiz gerekirken, 5,90 ı elde ettik. emek ki, cevp,50 den büük olmlı. seferde rtmış. seferde rtr enge noktsı (Thterevlli gibi düşünün) 9

10 eneme - Çözümler. Yol 0.. Yol 5 litrelik krışımı üç eşit prç bölelim. % 7 % 9 % 9 % 9 7 L 7 L 7 L 7 L Kefî çizilecek bir üçgen için iki durum söz konusudur.. urum üzerinde, üzerinde nokt. üzerindeki noktdn biri, % L % L + 9 oğru Seçenek c m frklı şekilde seçilebilir. üzerindeki 5 noktdn ikisi, 5 5$ c m 0 $ frklı şekilde seçilebilir.. durum için üçgen sısı, 0 0 tır.. urum 9. Üstteki koninin hcmi, üstteki silindirin hcminin / üdür. lttki koninin hcmi, lttki silindirin hcminin / üdür. Konilerin hcimleri toplmı, silindirin hcminin / üne eşittir. Tbn Yrıçpı r cm Yükseklik h cm V silindir r r h r r cm $ r 8 rcm oğru Seçenek üzerinde, üzerinde nokt. üzerindeki noktdn ikisi, $ c m $ frklı şekilde seçilebilir. üzerindeki 5 noktdn biri, 5 c m 5 frklı şekilde seçilebilir.. durum için üçgen sısı, 5 0 dur. Toplm oluşck üçgenlerin sısı, olrk bulunur. 0

11 eneme - Çözümler. Yol üzerinde ve üzerinde 5 tne olmk üzere, toplmd 9 tne nokt vrdır. 9 noktdn üçü, 9 9$ 8 $ 7 c m $ 7 8 $ $ frklı şekilde seçilebilir. u seçimlerin tümü üçgen oluşturmz. üzerinden seçilebilecek nokt üçlüleri ile üzerinden seçilebilecek nokt üçlülerinin sısını bulup 8 ten çıkrırsk, toplm üçgen sısını buluruz. Toplm oluşck üçgen sısı,.. Yol 5 8 c m c m $ $ 5$ $ $ $ $ $ oğru Seçenek ƒ() fonksionu : ve örten olmk koşulul, ƒ() in grfiğinin doğrusun göre simetriği, ƒ () ters fonksionunun grfiğini verir. (0, ) 0 (, 0) ƒ() P(, ) noktsının doğrusun göre simetriği oln noktnın koordintlrı Pʹ(, ) tir. 0 ƒ() ƒ () Şekildeki kırmızı renkli doğru, ƒ () ters fonksionunun grfiğidir.. Yol ğimi m oln ve eksenini kestiği noktnın ordintı n oln doğrunun denklemi, m + n dir. 0 θ ƒ() m! R {0} ve n! R olmk üzere, m( ) tnq : $ + ƒ() m + n ƒ n () dir. m ƒ( ) + ƒ ( ) ƒ() ƒ () $ ( ) ƒ () + izden istenen, + doğrusunun grfiğidir. u grfiğin eksenleri kestiği noktlrı bulrk çizim pbiliriz. 0 için (0, ) 0 için (, 0) (0, ) ün e göre simetriği ʹ(, 0), (, 0) ın e göre simetriği ʹ(0, ) olduğundn, ƒ () in grfiğini şğıdki gibi çizebiliriz. 0 ƒ ()

12 eneme - Çözümler. Yol TST TKNİĞİ ƒ() in grfiği (0, ) noktsındn geçmektedir. olısıl, ƒ(0) olur. Ters fonksion özelliğinden, ƒ(0) ƒ () 0 elde ederiz. unun nlmı şudur: ƒ () fonksionunun grfiği (, 0) noktsındn geçer... Yol (ƒog)() f[g()] Öncelikli olrk, g() değerini bullım. g( + ) + g( )? erine zrsk g() ü buluruz. g( + ) için: g() Şimdi de g() erine zlım. Seçeneklere dikkt edilirse, (, 0) dn geçen doğrunun sdece seçeneğinde verildiği görülür. oğru Seçenek.. Yol ƒ() + b ƒ b () dır. ƒ[ g() ] ƒ() ƒ( ) + ƒ( )? erine zrsk ƒ() ü buluruz. ƒ( ) + için: ƒ() +. Yol TST TKNİĞİ ƒ() + b 0 için: ƒ(0) b ƒ (b) 0. Yol g( + ) g() ( ) g() + ƒ( ) + ƒ() ( + ) + unun nlmı şudur: Seçeneklerde erine b zınc sonuç sıfırı vermelidir. ) + b b + b ) b b b ) + b ) b ) b b+ b b b b b 0 oğru Seçenek ƒ() + (ƒog)() ƒ[g()] ƒ( + ) ( + ) + + (ƒog)() oğru Seçenek

13 eneme - Çözümler.. Yol. Yol ir prlelkenrd komşu iki köşee it çıort- α α lr dik kesişir. 8 α K 8 Üsttekine ek olrk, şekildeki noktsı [] ve [] kenrlrın eşit uzklıktdır. [ + [] {K} dersek, K bir ikizkenr üçgen olur. K 8 cm K 8 cm dir. ir dik üçgende, hipotenüse it kenrort uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun rısın eşittir. Yukrıdki bilgiler doğrultusund, problemi çözebiliriz. F [F + [] {K} dersek, [ KF]// [ ] K 8 K K cm K $ cm olur. olısıl, FK dörtgeni de bir prlelkenrdır. θ θ 8 8 θ 8 L [ + [] {L} dersek, L bir ikizkenr üçgen olur. L 8 cm L 8 cm dir. K F L çıortlr dik kesişeceğinden, m( \) 90 ve m( KL \) 90 dir. KL dik üçgeninde [F] kenrort olduğundn, F cmdir. oğru Seçenek ir prlelkenrın krşılıklı kenr uzunluklrı eşit olduğundn, KF + 8 cm dir.

14 5. Öncelikli olrk, dım dım verilen şekli çizelim. " kresinin [] kenrının ort noktsı dir..." üçgenine oğunlşlım. eneme - Çözümler Öklid teoreminden, l l l l f p ( ) bulunur. olısıl, l dersek, l olur. üçgeni için de nı işlemleri prsk, "... noktsının [] üzerindeki dik izdüşümü ʹ ve..." elde ederiz. l ve l "... noktsının [] üzerindeki dik izdüşümü ʹ olduğun göre,..." l l l [] // [ʹʹ] dür. l l l olduğundn, Tles teoreminden, ile benzer üçgenler olup bu iki üçgenin benzerlik ornı, l tir. 5 5 "... ln( l l) ornı kçtır?" ln( ) enzer iki üçgenin benzerlik ornının kresi, lnlrının ornın eşittir. ( l l) c m ( ) 5 kresinin lnı, üçgeninin lnının ktın eşittir. 5 ( l l) S ( ) 5S ( ) $ 5S 50S ( l l) S stenen ( ) 50S 50 oğru Seçenek

15 eneme - Çözümler.. Yol F F düzgün ltıgen ise, [] // [] // [F] ve $ dir. F Yndki şekle göre, [] // [] ise, ( ) dir. ( ) Yukrıdki bilgiler doğrultusund soruu çözebiliriz. F ( ) S $ $ $ sin 0 > / ( ) S $ $ $ S stenen S $ F S S S ile F eş üçgen olduklrındn, ( ) F ( ) S dir. [] // [] olduğundn, 7. u ( u, u ) vektörü verilmiş olsun. k! R olmk üzere, oğru Seçenek. Yol ( ) S dir. ( ) S 0 $ k$ u ( k$ u, k$ u) dir. u ( u, u) ve v ( v, v) vektörleri verilmiş olsun. u durumd, u+ v ( u+ v, u+ v) dir. 0 0 u (, ) $ u ^$ ( ), $ h (, ) c θ b ( ) $ b $ c $ sin i v (, ) v ^ $ ( ), $ ( ) h (, ) stenen $ u v $ u+ ( v ) 0 sin 0 (, ) + (, ) ^ + ( ), + h ( 55, ) Yukrıdki bilgiler doğrultusund soruu çözebiliriz. oğru Seçenek 5

16 8. : + b + c 0 : + b + c 0 doğrulrı rsındki uzklık, c c h dir. + b : i i, i, i i, i i n+k i k (n, k! Z için) i + i + i + i i + ( ) + ( i) + i i + i eneme - Çözümler : 7 0 doğrulrı rsındki uzklık, ( 7) 0 h birimdir. + ( ) 5 Krenin lnının en küçük olbilmesi için, krei 5 i 5 + i + 7 i i 8 5 i + ( ) + 7 ( i) + 8 5i 7i + 8 i şğıd gösterilen biçimde erleştirmeliiz. h br 7 i i i i 0 7 i + 8 ( ) + 9 ( i) + 0 7i 8 9i + 0 i ikkt edilirse, her dört terimde bir, toplmın i e eşit olduğu görülür. Köşegen uzunluğu e oln krenin lnı e dir. stenen br oğru Seçenek i + i + i i 0 toplmınd 0 tne terim vrdır. 0 0 olduğundn, 0 tne dörtlü grup vrdır. 0 ( i) 0 0i oğru Seçenek

17 eneme - Çözümler 0.. Çemberin merkezine O dielim ve [O] ile [O] i çizelim. dn çekilen bir topun sih renkli olm olsılığı tir. 5 0 den çekilen bir topun sih renkli olm olsılığı tir. 5 0 O O bir eşkenr üçgen olduğundn, dn sih gelme olsılığın dersek, den sih gelme olsılığı olur. mo (\) 0 dir. Merkez çı özelliğinden, :, : stenen + 5 oğru Seçenek % m ( ) m( O \) 0 dir. ış çı Kurlı: % m ( ) ve % α θ m ( ) i ise, i dir. Çemberin tmmını çizelim ve dış çı kurlını ugullım.. Pscl Özdeşliği: n n n + d n+ d n e o r r + r e o+ e o + e o 5 5 O 5 c m e o+ e o e o dir. oğru Seçenek oğru Seçenek 7

18 eneme - Çözümler. Ort Tbn Kurlı:. Kök - Ktsı ğıntılrı: ve + b + c 0 ise $ dir. ikinci dereceden denkleminin kökleri ve ise, b c + ve dr. $ Ortk Teğet Özelliği: Kök - ktsı bğıntılrını kullnrk, 8 0 b ikinci dereceden denklemi için, + 8 $ 8 noktsınd teğet oln [] ve [] çplı rım çemberlerin ortk dış teğet doğrusu olsun. l + l + bdir. Yukrıdki bilgiler doğrultusund problemi çözebiliriz. noktsının [] üzerindeki dik izdüşümü K olsun. elde ederiz. + stenen + $ 8 oğru Seçenek K H F FK üçgeninde [H] ort tbn olduğundn, K $ H 8 cm dir. Ortk teğet özelliğinden, K + H 5. Kökleri krmşık sılr oln, rsonel sı ktsılı ikinci dereceden bir denklemin kökleri birbirinin eşleniğidir. z + bi z z bi buluruz. 8+ cm oğru Seçenek Verilen: z i : z z i + i oğru Seçenek 8

19 eneme - Çözümler.. Yol P() ve Q() polinomlrı için, derp( ) $ Q( derp( + derq( der n P ( n$ derp( ( n! N) eşitlikleri sğlnır. der7 $ P( + ) 7. PQ ^ ( ) h polinomunun ktsılrının toplmı PQ ^ ( ) hdir. Örneğin, P( + ) polinomunun ktsılrının toplmı P(5) değerine eşittir. P( ) polinomunun ktsılrının toplmı, P( ) P() değerine eşittir. + derp ( + > derp ( + 5tir. P( + ) ve P() polinomlrının dereceleri eşit olduğundn, der P ( )@ 5 tir. nı sebepten, der P ( 5tir. stenen der7 $ P ( ) der7p ( ) $ derp ( 5 $ 5 0 der7 $ P ( ) + der7p ( ) + 0 tü. r Verilen: P() : P() için: P() oğru Seçenek 8.. Yol Verilen + z z + + z + z. Yol TST TKNİĞİ P() 5 olrk lbiliriz. Htt, P( ) 5 olrk d lbiliriz. P ( ) ( 5 ) 0 +0 u polinomun derecesi tür. oğru Seçenek z + z + + z z (z + ) + ( + z) ( z+ ) $ ( z+ ) Verilen denklemleri trf trf toplrk + z değerini bulbiliriz. + z + z 0 stenen ( z+ ) $ ( z+ ) ( + z) $ ( + z) 0 $ 0 0 9

20 eneme - Çözümler. Yol TST TKNİĞİ + z enklem Sısı Hrf Sısı 5 + ( ) cm oğru Seçenek ilediğimiz bir hrfi silmee hkkımız vr. Örneğin, i silelim. + z z Verilen z + + z + z z + z Yol oğru Seçenek 9. rıtlrı, b ve c oln dikdörtgenler prizmsının üze lnı, (b + c + bc) dir. rıtlr: cm, cm, cm Z $ cm ] Yü ze lnlr [ $ 8 cm ] \ $ cm ƒ() + b + c prbolü eksenine teğet ise, b c 0 dır. ƒ() + + m + Ktsılr:, b, c m + b c 0 (m + ) 0 (m + ) m m Kırmızı çizgiler bounc kesim pılırs, oluşn prçlrın üze lnlrı toplmı en çok olur. u durumd, bşlngıçtki üze lnın ek olrk, boutlrı cm ve cm oln iki tne dikdörtgen üzei dh medn gelir. şlngıçtki ln ( + + ) ( ) 5 cm. Yol Prbol eksenine teğet olduğundn kökler birbirine eşittir. + 5 m + Kökler Çrpımı m + ( ) ( ) m + 9 m + m oğru Seçenek 0

21 NM SINVI ÇÖZÜMLR

22 eneme - Çözümler.. Yol 0, 00, 0 0 0, , 0, 00 0, 00 0, 00, 000, 0 0,, stenen , 0, 0, 00 00,. Yol 0, 0 0,00 0. Yol Sılrı teker teker bullım , 0, 0, 5, , g Z, g Z, g Z, ,,,, KOK ( 0, 0, 0, 5,, 0,, 5,,,, ) 0 Sılr frklı olcğındn, bur bşk bir sı zmız. 0, $ $ $ 0 0 0, 00 $ 0 0, , , , 00, , 0, oğru Seçenek urd toplm tne sı vrdır. oğru Seçenek. n elemnlı bir kümenin lt kümelerinin sısı n dir. 8 b b c c, ve + kümelerinin lt küme sılrı sırsıl 8, ve olduğun göre, bu kümelerin elemn sılrı sırsıl, ve dir... Yol KOK u 0 oln sılrın ortk özelliği, bu sılrdn her birinin 0 ın böleni (çrpnı) olmsıdır. olısıl, 0 ın pozitif bölenlerinin tümünün KOK u 0 tır. Problemde m nin en büük değeri sorulduğu için, 0 sısının pozitif bölenlerinin sısını bulmlıız Pozitif ölen Sısı ( + ) ( + ) ( + ) +, lde ettiğimiz elemn sılrını Venn şemsın erleştirelim. s(, ) oğru Seçenek

23 eneme - Çözümler. s(, ) s() + s() s( + ) s ( + ) 9 9 ( + ) s( + ) 0 + Venn şemsını şğıdki gibi oluşturbiliriz. 5. sısı irrsoneldir., +,vb sılr d irrsoneldir. Verilen öncülleri sırsıl ele llım. I. veb için, + b _ i+ dir. İki irrsonel sının toplmı, rsonel olbilir. İki irrsonel sının toplmı irrsoneldir. önermesi nlıştır. I. kümesi, kümesi de bölgesini ifde etmektedir. ve bölgelerinin her ikisine de it oln bir elemn oktur. ile rık kümelerdir. II., nin bir lt kümesi olsdı, Venn şemsı gösterimi şğıdki gibi olurdu. II. veb iin ç, $ b $ dir. İki irrsonel sının çrpımı, rsonel olbilir. İki irrsonel sının çrpımı irrsoneldir. önermesi nlıştır. TST TKNİĞİ I ve II. öncüllerin nlış olduğunu gördükten sonr, III. öncüle hiç bkmdn seçeneğini işretleebiliriz. bölgesi, bölgesinin içerisinde olmdığı için,, nin bir lt kümesi değildir. III. ʹ kümesi ile ʹ kümesi de ile bölgelerini temsil etmektedir. ʹ + ʹ ile + ile ʹ + ʹ bölgesi III. c d + bc + ^b! 0, d! 0h b d bd rsonel rsonel rsonel İki rsonel sının toplmı rsoneldir. önermesi doğrudur. Sonuç olrk, verilen öncüllerden I ve II nlış, III doğrudur. oğru Seçenek ʹ + ʹ! olduğu için, ʹ ile ʹ rık küme değildirler. Sonuç olrk, verilen öncüllerden I doğru, II ile III nlıştır. oğru Seçenek

24 .! (, ) olmk üzere, < + < dir.! R + olmk üzere, $ ve ( ) dir. Yukrıdki bilgiler doğrultusund çözümü pbiliriz. 8 8 n n $ ( n ) n ( ) eneme - Çözümler 8.. Yol $ ( ) + + $ # # 0 # # # # 0 ( ) n < 8 < n 8 8 < n < n 8 < n u koşulu sğln en küçük n tm sısı 7 dir. oğru Seçenek $ ( + ) + $ ( + ) Yol TST TKNİĞİ e [, ] rlığınd dilediğimiz bir sı değerini vererek çözüm pbiliriz. eğer verirken seçeneklerin birbirinden frklı olm- 7. _ i $ _ i + _ + i $ _ i _ i _ i i i sın özen gösterirsek bşımız ğrımz. değerini verelim. ) 7 7 ) _ i + _ + i $ _ + i _ i $ _ + i _ + i _ + i _ + i _ i ) 5 5 ) ) 7 7 için: oğru Seçenek + _ + i + + stenen _ i+ _ + i oğru Seçenek

25 9.. Yol ƒ( ) < 0 eşitsizliği, ile ƒ() zıt işretli olduğu zmn sğlnır. ƒ( ) eneme - Çözümler için işret tblosu şğıdki gibidir: : + iken ƒ() : : iken ƒ() : + h d çmk gerekirse, ekseninin sğ trfınd,,,,, tne sı tne sı > için ƒ() > 0 dır. iken ƒ() in grfiği ekseninin ltınd; ekseninin sol trfınd iken ƒ() in grfiği ekseninin üstünde klmlıdır.! (0, ) için > 0 ve ƒ() < 0! ( 5, 0) için < 0 ve ƒ() > 0 olup, bu rlıklrın birleşimi, < 0 ƒ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesidir. nck problemde, # 0 ƒ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi sorulmktdır. 0 iken ƒ() 0 ve 0 0 ifdesi tnımsız olduğundn 0 değeri çözüm kümesine dhil edilmez. Çözüm Kümesi ( 5, 0), (0, ) u rlıktki tm sılr;,,,,,, olmk üzere 7 tnedir. 5 0 ve için ƒ( ) < 0 eşitsizliği sğlnmz. + 7 oğru Seçenek 0. İlk denklemi ile, ikinci denklemi de ile çrplım ve elde edeceğimiz denklemleri trf trf topllım. / + + / değerini ilk denklemde erine zrk i bulbiliriz Yol 0 için kökler; 0 dır. ƒ() 0 için kökler; 5, 0 ve tür. 0 değeri iki kez geçtiği için çift kt köktür oğru Seçenek 5

26 eneme - Çözümler. dielim.. irim zmnd oln ol bklım. musluğu 5 stte hvuzun tmmını doldurduğu- n göre, stte hvuzun 5 ini doldurur. musluğu stte hvuzun tmmını boşlttığın göre, stte hvuzun sını boşltır. V V stte bu hvuzun, 5 5 $ 5 ( ) ( 5) 0 u dolr. Hızı V oln rcın ldığı ol, + + tir. Hızı V oln rcın ldığı ol, tir. stte t stte u doluors 0 0 u dolr. 0 oğru Orntı Hreket problemlerinin genel formülü oln, Yol Hız Zmn formülünü ess lrk, eşit sürelerde lınn ollr ornının, hızlr ornın eşit olduğunu söleebiliriz. V stenen V 5 5 oğru Seçenek Hvuzun tmmı 0 dur. 0 0 $ t$ t oğru Seçenek. ört işlemleri kolc pbilmek için tm sılrl çlışlım. KOK(7, 5) 5 olduğundn, 5 simit için kâr durumun bklım. 7 tnesini lirdn lıor... Yol ƒ() fonksionunun grfiğini çizelim. 0 için tnesini 5 5 lirdn lır. (0, ) noktsı oğru Orntı 5 tnesini lirdn stıor tnesini 7 8 lirdn str. 0 için (, 0) noktsı 0 oğru Orntı 5 simit stışındn 8 5 lir kâr eder. simit stışındn 5 lir kâr eder. oğru Orntı oğru Seçenek ƒ() + fonksionunun grfiğini çizelim. 0 için (0, ) noktsı + 0 için (, 0) noktsı 0

27 eneme - Çözümler, $ 0ise ƒ( ) * +, 0ise 5. fonksionunun grfiğini çizmek için; doğ- rusunun grfiğinin [0, ) rlığındki prçsını, P [N] çıort + doğrusunun grfiğinin de (, 0) rlığındki prçsını lmmız gerekir. N Yukrıdki şekilde, [N] üzerindeki her P noktsı + için, P P dir. Yukrıdki kurlı dikkte lrk, [] i çizersek, 0 0 olduğunu görürüz. m (\) m( \) 0 Üstteki mvi renkli prçlrı birleştirirsek, istenen grfiği çizmiş oluruz. 0 ƒ() F 0 0 F \ ile F \ iç ters çılrdır. m (\) ikizkenr m( \ ) 0 mf (\) mf (\). Yol TST TKNİĞİ F üçgenine oğunlşlım ƒ nin grfiğinin geçtiği bzı noktlrı tespit edelim ve seçenekleri eleerek cevbı bullım., $ 0ise ƒ( ) * +, 0ise dir. oğru Seçenek ƒ() evp,, olmz. (, ) noktsı ƒ( ) + ( ) evp olmz. (, ) noktsı oğru Seçenek. Çevre uzunluğu u ve iç teğet çemberinin rıçpı r oln üçgenin lnı u r dir. Tbnlrı ve ükseklikleri eş oln iki üçgenin lnlrı birbirine eşittir. ir dik üçgende hipotenüse it kenrort uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun rısın eşittir. Yukrıdki bilgiler doğrultusund problemi çözebiliriz. 7

28 eneme - Çözümler 5/ + 5 cm 5 cm 5 $ cm "... m (\) 5..." 5 5/ 5/ Çevre( ) cm 5 5 Çevre( ) cm için : u 8 u cm 9 için : u 9 u cm ( ) u$ r $ r 9 ( ) u$ r $ r olduğundn, ( ) ( ) dir. 9 ( ) ( ) $ r $ r r 9 / 9 r 8 oğru Seçenek... cm ve cm olduğun göre, uzunluğu kç cm dir? Pisgor teoreminden, 5 cm buluruz. [ ı uztırsk, [] nin dış çıort olduğunu görürüz. KURL: (ış çıort Teoremi) c b α α 7. Öncelikli olrk, şekli dım dım çizelim. üçgeninin [] kenrı üzerindeki noktsı için,... Yukrıdki şekle göre, b dr. c için dış çıort teoremini zlım cm oğru Seçenek 8

29 eneme - Çözümler 8.. Yol. Yol enzer iki üçgenin benzerlik ornının kresi, lnlrının ornın eşittir. FL ( ) S dielim. K L F S S S L F S L FL + FK FL ( ) c m FK ( ) ( KL) S S F FL + FL ( ) c m ( ) FL ( ) S S S K L L // K ve F olduğundn, FL LK dir. FL // ve F LF ile LK eş üçgenlerdir. b b F S F olduğundn, L L dir. LK prlelkenrdır. LF ( ) S ( LK) S ir prlelkenrın köşegeni, o prlelkenrı lnlrı eşit oln iki üçgene ırır. olısıl, K ( ) LK ( ) Stir. S stenen S+ S oğru Seçenek FL + ( FL) ( ) 9S c m ( ) 9 Üstteki üç şekli, problemdeki şekil üzerinde, birlikte görelim. 9. ir veri grubunun stndrt spmsı şu şekilde hesplnır.. dım ritmetik ortlm hesplnır dım S S L F K Her bir teriminin rı rı ritmetik ortlm ile frkı S S hesplnır.,, 0, 0, 5, 5 u dımd,,, 0, 0,, sılrını elde ettik.. dım 9S (S + S + S) S S S stenen S S. dımd elde edilen sılrın kreleri toplnır ( ) + ( ) 9

30 eneme - Çözümler. dım. dımd elde edilen sı, veri dedinin eksiğine bölünür. Veri dedi Veri dedinin ksiği 5 Sımız 5 5 üçgenden ikisi, 5 5$ c m 0 $ frklı şekilde seçilebilir. Toplm Nokt Sısı 0 0 oğru Seçenek 5. dım. dımd elde edilen sının krekökü stndrt spmı verir. StndrtSpm 5 oğru Seçenek 0. u ile v nı doğrultud ve zıt önlü vektörler olduğund, u v en çok olur. u v v Verilen u v u. Hedef iki kez vurulduğun göre, üç frklı durum söz konusudur. zel Ömer li. urum Vurdu Vurdu Vurmdı. urum Vurdu Vurmdı Vurdu. urum Vurmdı Vurdu Vurdu Her bir durum için olsılık değerlerini rı rı hespllım.. urum: $ $ c m $ $ + 7 oğru Seçenek. urum: $ c m$ $ $. urum: c m$ $ $ $. Sonlu sıd olmk koşulul, iki üçgen en çok noktd kesişebilir. Problemde, 5 frklı üçgenin sonlu sıd olmk koşulul, en çok kç noktd kesişebileceği sorulmktdır. İşlemde kollık olmsı çısındn, dielim.. urum: _ b b u üç durumdn birinin. urum: ` gerçekleştiği bilinior.. urum: b izden,. durumu bulmmız istenior. stenen + + oğru Seçenek 0

31 eneme - Çözümler.. Yol ƒ() fonksionunun grfiğinin eksenine göre simetriği, ƒ() fonksionunun grfiğidir.! R + olmk üzere, ƒ() fonksionunun birim ukrı ötelenmişi, + ƒ() fonksionunun grfiğidir. ƒ() in grfiğinin eksenine göre simetriğini lıp, birim ukrı ötelersek, ƒ() fonksionunun grfiğini elde ederiz... Yol ƒ( ) Verilen ( goƒ)( ) + g[f()] + g( ) + g() ( + ) Yol TST TKNİĞİ ƒ() 0 dır. ƒ() (goƒ)() + 7 dir. ƒ() 0 ƒ() Sih prçnın eksenine göre simetriğini lrk kırmızı prçı, kırmızı prçı birim ukrı öteleerek mvi prçı elde ettik. g(ƒ()) 7 g(0) 7 0 Seçeneklerde erine 0 zınc 7 i bulmlıız. ) ) 0 ) ) ) Yol TST TKNİĞİ Grfik: ƒ() 0 için i bulrk bir nokt elde edelim. 0 için: ƒ(0) 5. I. oğru Seçenek emek ki, çizeceğimiz grfik, (0, ) noktsındn geçior. 0 ƒ (0, ) noktsındn geçen tek grfik seçeneğinde verilmiştir. oğru Seçenek ƒ, sınırsız küçük değerler lbilir. ƒ nin en küçük değeri oktur. k olrk, ƒ, sınırsız büük değerler lbilir. ƒ nin en büük değeri oktur.

32 II. eneme - Çözümler doğrusu, O(0, 0) noktsındn geçtiğine göre, 0 ve 0 0 g için nin denklemi sğlnır. : + + m 0 Verilen g, dn dh küçük bir değer lmz. g nin en küçük değeri vrdır ve dır. k olrk, g, sınırsız büük değerler lbilir. 0 ve 0 için: m 0 m 0 m oğru Seçenek g nin en büük değeri oktur. III. 0 h h, sınırsız küçük değerler lbilir. h nin en küçük değeri oktur. k olrk, h, dn dh büük bir değer lmz. h nin en büük değeri vrdır ve dır. Sonuç olrk, bu üç fonksiondn lnızc g nin en küçük değeri vrdır. oğru Seçenek 7. + b + c 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri ve ise, b c + ve dr. $ 0 Verilen, b, c Ktsılr b + c $ + stenen + $ ( ) ( ). ik koordint düzleminde, bir doğrusu P(, ) noktsındn geçiors, ve değerleri için, nin denklemi sğlnır. Koordint düzleminin bşlngıç noktsı O(0, 0) dır. ( + ) + + $ $ > > $ ( $ ) ( ) > + stenen $ oğru Seçenek

33 8.. Yol, b! R olmk üzere, z + ib z ib dir. eneme - Çözümler nin grfiğini birim ukrı ötelersek, fonksionunun grfiğini elde ederiz. z i z + i z$ z ( i) $ ( + i) ( i) 9i ( i dir.). Yol ƒ() + b + c 5. Yol, b! R olmk üzere, z + ib z$ z z + b dir. z i z$ z + ( ) oğru Seçenek ikinci dereceden fonksionunun tepe noktsının b b psisi, ordintı d ƒ c m dr. < 0 ise prbolün kollrı şğı bkr. > 0 ise prbolün kollrı ukrı bkr. u bilgiler doğrultusund grfiği çizebiliriz. ƒ( ) ƒ( ) $ + 0 $ + 5 b c b 0 Tepe Noktsının psisi Yol fonksionunun grfiğini ezbere bilmemizde fd vr. Tepe Noktsının Ordintı ƒ(0) Tepe Noktsı, T(0, ) tür. k olrk, < 0 olduğundn prbolün kollrı şğı bkr. Sdece seçeneğindeki grfik bu koşullrı sğlr. 0. Yol TST TKNİĞİ ƒ() nin grfiğinin eksenine göre simetriğini lırsk, fonksionunun grfiğini elde ederiz. 0 0 için: ƒ( 0) Grfik, (0, ) noktsındn geçmek zorunddır. (0, ) noktsındn geçen tek grfik seçeneğinde verilmiştir. oğru Seçenek

34 0. ir eşkenr dörtgenin krşılıklı kenrlrı prlel olup, bütün ükseklikleri eştir. eneme - Çözümler. ir krenin köşegen uzunluğu, kenr uzunluğunun ktın eşittir. Verilen krenin [] köşegenini çizelim. h h Problemde verilen, F, FKL ve KLMN eşkenr dörtgenlerinin ükseklik uzunluklrı sırsıl h, h, h ve h olsun. L M F K h N h h h + h + h h + h + h + h h $ $ $ 8 cm dir. Krenin köşegenleri çıort olduğundn, m( \ ) 5 dir. m( \ ) olur. dik üçgeninde Pisgor teoremini zrk, uzunluğunu hesplbiliriz cm oğru Seçenek I. ve KL doğrulrı rsındki uzklık hesplnbilir. u uzklık, h + h + h tür. II. ve MN doğrulrı rsındki uzklık hesplnbilir. u uzklık, h + h + h + h tür. III. ve FK doğrulrı rsındki uzklık hesplnmz. Zten, bu iki doğrunun prlel olcğının d bir grntisi oktur. olısıl, uzklıktn bhsetmek nlmsızdır. Sonuç olrk, I ve II hesplnbilir, fkt III hesplnmz. oğru Seçenek.. Yol ve doğrulrını çizip, bu iki doğrunun kesişim noktsın P dersek, P eşkenr üçgen olur. F K L N P L L derek, P olur. P için temel orntı teoremini zlım. N N L LP $ 8 cm

35 eneme - Çözümler. Yol. KURL: [F] köşegenini çizelim ve [F] ile [] nin kesiştiği bir nokt O dielim. F K N O L S S P S S prlelkenr P ( ) S ( P) S ( P) S ( P) S Yukrıd verilen şekle göre, S + S S + S tür. L L N NO cm OF ile O eş olduğundn, O O cm dir. N + 9 cm. Yol İLRİ TST TKNİĞİ Problemde cm olrk verilen uzunluğu, boş bir kâğıt üzerine istediğimiz kdr koplbiliriz. Koplm prk oluşturduğumuz cetveli in üzerine kork ölçüm pmk suretile cevbı bulbiliriz. Yukrıdki kurl rdımıl problemi çözebiliriz. _ P ( ) cm b b b P ( ) 9 cm b ` Verilen P ( ) cm b b b P ( ) Scm b S S 7 oğru Seçenek K F 8. P() polinomunun ile bölümünden kln, P() değerine eşittir. P() in ile bölümünden kln olduğu için, P() dir. oğru Seçenek Q() in ile bölümünden kln olduğu için, Q() tür. P() + Q() polinomunun ile bölümünden klnı bulmk için, bu ifdede erine zmlıız. 5

36 P() + Q() oğru Seçenek. dersek, olur. eneme - Çözümler Çemberin merkezine O dielim ve [O] ile [O] rıçplrını çizelim. 90 O O O ve olduğundn, O bir ikizkenr dik üçgendir. olısıl, mo (\) 90 dir. 5. P() in ( ) ile bölümünden kln P() dir. P() için: P() + + P() () P() ( ) () + Merkez çı özelliğinden, % m ( ) m( O \) 90 olur. ir kirişler dörtgeninde, krşılıklı çılrın ölçüleri toplmı 80 dir. olısıl, m (\) dir. Çevre çı özelliğinden, % m ( ) $ m( \) 0 olur. () polinomunun sbit terimi, (0) değerine eşittir P() ( ) () + 0 için: P(0) (0) + P() polinomund erine 0 zrk P(0) değerini bulbiliriz. P() için: P(0) P( 0) ( 0) + ( 0) + ( 0) + oğru Seçenek % m ( ) ) m( ) Çevre çı özelliğinden, > ;;? m (\ 0 ) $ m ( ) 80 bulunur. ir kirişler dörtgeninde, krşılıklı çılrın ölçüleri toplmı 80 olduğundn, dir. oğru Seçenek

37 7. Yrıçpı r oln bir çemberin çevre uzunluğu rr dir. Yrıçpı r oln bir rım çemberin çevre uzunluğu $ r r r$ r dir. ve bdersek, + bolur. olısıl, rıçp uzunluklrı, b ve + b olur. 9 + b + b O O b O b eneme - Çözümler 8.. Yol + ( ) ( ) ( + ) ( + ) + ( ) $ ( ) + 5+ ( + ) $ ( + ) stenen ( ):( + ) +. Yol TST TKNİĞİ 0 için sonucu bullım. r Verilen 9 r b r ( + b) u iki eşitliği trf trf toplrsk i buluruz : : + için sonucu bullım. : : : 0: Seçeneklerde, erine 0 zınc i ve erine zınc 0 ı veren hngisise cevp odur. r 9 r b r ( + b) için ve seçenekleri sıfırı verir. 0 için seçeneği i vermez. oğru Seçenek oğru Seçenek 7

38 eneme - Çözümler 9.. Yol ile 88 in tm ortsındki sıı bulrk, iki kre 0. frkı özdeşliği ile çözümü pbiliriz , stenen $ 88 + ( 7 ) $ ( 7 + ) u döndürme işlemi pıldığınd, tbn rıçpı cm ve üksekliği cm oln dik diresel silindir oluşur Yol TST TKNİĞİ Seçeneklere dikkt edersek, hepsinin son rkmının frklı olduğunu görürüz. u sebeple, cevbı bulmk erine, cevbın son rkmını bulrk sonuc gidebiliriz. Tbn rıçpı r ve üksekliği h oln dik diresel silindir için, Ynl ln Tbn Çevresi Yükseklik rr h Tbn lnı rr Yüze lnı Ynl ln + (Tbn lnı) rrh + rr $ Son rkm Seçeneklerin kresi lındığınd hngisinin son rkmı 9 u veriors cevp odur. ) Son Rkm 5 ) Son Rkm ) Son Rkm 9 ) 8 8 Son Rkm ) Son Rkm olur. Yüze lnı formülünde, r erine ve h erine zlım. rrh + rr r + r r + 7r 9r cm oğru Seçenek oğru Seçenek 8

39 NM SINVI ÇÖZÜMLR

40 eneme - Çözümler. İki bsmklı sısı, 0 + biçiminde çözümlenir. sısının rkmlrının toplmı + dir. ( + ) Verilen (*) (*) eşitliğini sğln ve doğl sılrı, k! N olmk üzere, k ve 7k tipindedir. k 0 için: 0 ve 0.. Yol {,,,, 5, } elemnı bulunup elemnı bulunmn lt kümeler {,, 5, } kümesinin elemnlrının kefî seçimleri ile oluşur. u kümenin elemn sısı olup lt küme sısı dır. elemnı bulunup elemnı bulunmn lt kümeler {,, 5, } kümesinin elemnlrının kefî seçimleri ile oluşur. u kümenin elemn sısı olup lt küme sısı dır. k için: ve 7 k için: ve ile birer rkm ve! 0 olmsı gerektiğinden, ve 7 dir oğru Seçenek ve elemnlrı birlikte bulunn lt kümeler ine {,, 5, } kümesinin elemnlrının kefî seçimleri ile oluşur. u kümenin elemn sısı olup lt küme sısı dır Yol ve elemnlrının hiçbirini bulundurmn lt. / (mod7), 8 / (mod7), 0 / (mod7) denkliklerini kullnrk, dh küçük sılrl işlem pbiliriz. ölece, işlem htsı pm riskimiz de zlcktır. kümeler {,, 5, } kümesinin lt küme sısı kdrdır. lt Küme Sısı kümesinin elemn sısı olup lt küme sısı tür / + + ( ) + + (mod7) / (mod7) urum Toplm urum İstenmeen urum / (mod7) Sısı Sısı Sısı 7 + olduğundn in 7 ile bölümünden kln tür. prensibine göre cevbı bulbiliriz. 8 oğru Seçenek oğru Seçenek 0

41 eneme - Çözümler.. Yol Venn şemsı öntemile çözüm plım. R z t Verilenleri,, z, t türünden zlım. 5 kişilik kfile + + z + t 5 Rusç bilen lmnc bilen + z Hem Rusç hem lmnc bilen Yol g() fonksionunun grfiğinin ekseninin lt trfınd kln kısmının eksenine göre simetriğini lırsk, fonksionunun grfiğini elde ederiz. fonksionunun grfiğini birim ukrı önde ötelersek, ƒ() + fonksionunun grfiğini elde ederiz. 0 0 Ne Rusç ne de lmnc bilen t? 8, + 0 8, + z z z z+ t 5 t 0 > 5. Yol Rusç bilenlerin kümesini R, lmnc bilenlerin kümesini, evrensel kümei de ile gösterelim Yol TST TKNİĞİ için: ƒ() + ƒ() in grfiği (, ) noktsındn geçior. s(r, ) s(r) + s() s(r + ) s[(r, )ʹ] s() s(r, ) oğru Seçenek evp d dir. şk bir nokt dh bulmlıız. 0 için: ƒ() + 0 ƒ() in grfiği (0, ) noktsındn geçior. Sdece seçeneğindeki grfik (0, ) noktsındn geçmektedir. oğru Seçenek 5. c m$ c m$ c m$... $ c m $ $ $... $ oğru Seçenek 7. + ( ) oğru Seçenek

42 8. ` + + j ^h ` j + ` + j + $ $ _ i$ _ + i + $ + $ > 0 olduğundn, dır. ` + j ( ) ` j + ` + j $ _ i$ _ + i eneme - Çözümler 0. ir ustnın günde bitirdiği bir işi bir çırk 8 günde bitirmektedir. Ustnın Gücü 8k Çırğın Gücü k Ust + Çırk 8k + k k k gücünün günde bitirdiği işi, k gücünün kç günde bitireceği soruluor. k gücü gün k gücü gün Ters Orntı k $ k $ + + $ $ < + olduğundn < 0 dır. < 0 olduğundn, dir. $ stenen oğru Seçenek $ oğru Seçenek.. Yol kg ntep fıstığı 5 lir kg ntep fıstığı 5 0 lir kg ceviz içi 50 lir 8 kg ceviz içi lir Toplm pr tutrı lir 9. ile ters orntılı ise, k olck biçimde bir k! R sbiti vrdır. ile b ters orntılı olduğun göre, b k ve b için, k b... (*) (*) eşitliğinde b erine zrk değerini bulmmız istenior. oğru Seçenek Toplm krışım kg 0 kg krışım fitı lir 0. Yol kg 8 kg Thterevlli tekniğini kullnırsk, + 5 eşit rlık oluşturmlıız. k olrk, denge noktsı ğır oln trf dh kındır. 5 5 seferde 5 rtış vr. seferde 9 rtış olur. 50 kg enge 8 kg noktsı? 5 + 9? oğru Seçenek

43 . TYT - Temel Mtemtik bnksı % 0 % Toplm Fiz bnksın tırıln pr ise bnksın tırıln pr olur. Verilen: 000 bnksı % 0. α α eneme - Çözümler Yukrıdki şekilde [] ve [] dış çıort ise [] iç çıortdır oğru Seçenek [] ve [] dış çıort olduğundn, [] iç çıortdır.. ir fonksionun örten olmsı için, değer kümesinde çıkt kln bir elemn bulunmmlıdır. I. f: R R, ƒ() Her! R için, olck biçimde bir! Z vrdır. olısıl, f örtendir. II. g: N N, g() + 5. m (\) 80 ( ) oğru Seçenek Görüntü Kümesi {,,,...} Yukrıdki şekilde,, ve noktlrı doğrusl ol- eğer Kümesi {0,,,,...} sdı, 5 olurdu. eğer kümesindeki 0 ve elemnlrı çıkt klıor. olısıl, g örten değildir. III. h: Z Z, h() Görüntü Kümesi {...,,,,,...} eğer Kümesi {...,,,, 0,,,...} eğer kümesindeki çift sılrın tümü çıkt klıor. olısıl, h örten değildir. Sonuç olrk, ƒ örtendir, g ile h örten değildir. oğru Seçenek nin dış büke dörtgen olbilmesi için, m( \ ) < 80 olmlıdır. u durumd, < 5 olur. 5 ten küçük oln en büük tm sı tür. oğru Seçenek

44 eneme - Çözümler.. Yol r r 80 5 dir. 5 c 5 b + c ^sin5 + cos 5 h ^h sin 5 + cos 5 + $ sin5+ cos 5 sin0 sin + cos 5 5 c b sin sin cos olduğunu htırlınız. + sin0 + > / H 5 b + c. Yol $ $ sin( m ) sin cos m cos sin cos( m ) cos cos sin5 sin(5 0 ) sin sin cos5 $ cos0 sin 5 $ sin 0 $ $ cos5 cos(5 0 ) 7. c b c stenen + b oğru Seçenek ( ) $ ( ) b$ c cos5 $ cos0 + sin 5 $ sin 0 $ + $ stenen +. Yol 5 c b 75 b c stenen + b c sin5, cos 5 ( ) $ $ S S $ S S S FK ( ) F $ K $ S K F $ S S ( ) $ $ S $ 5$ S 5S Verilen: S S stenen: 5S 5 $ 5 oğru Seçenek

45 eneme - Çözümler 8. Noktlrı klın bir doğru gibi düşünerek, doğrunun eğimini bz llım. 0. ğim pozitif ise pozitif, eğim negtif ise negtif ilişki vrdır. I. olsılıkl dn sih top çekilir. ğim çısı II. ğim pozitiftir. eğişkenler rsınd pozitif ilişki vrdır. dn sih top çekilirse, den de sih top çekilmelidir. u durum, $ 8 ğim çısı ğim negtiftir. eğişkenler rsınd negtif ilişki vrdır. III. dn sih olsılıkl gerçekleşir. den sih olsılıklı dn bez top çekilir. ğim hkkınd bir kesinlik ok. eğişkenler rsınd ilişki oktur. Sonuç olrk, Ylnız II nolu grfik için, değişkenler rsınd negtif ilişki vrdır. oğru Seçenek dn bez top çekilirse, den de bez top çekilmelidir. u durum, $ 8 9. $ u+ $ v ( 7, ) $ u v (, ) 5$ u+ 5$ v ( 7+, + ) 5$ ( u+ v) ( 05, ) 0 5 u+ v c, m (, ) 5 5 oğru Seçenek dn bez olsılıkl gerçekleşir. den bez Yukrıd elde ettiğimiz olsılık değerlerinin toplmı, istenen olsılık değerini verir. 5 stenen oğru Seçenek 5

46 . kız kendi rlrınd,! frklı şekilde dizilebilir. kızı lnızc kişi gibi düşünürsek, erkek sısı olduğu için toplm kişi sısı 5 olur. u 5 kişi kendi rlrınd, 5! frklı şekilde dizilebilir.! 5! oğru Seçenek eneme - Çözümler. ( + b) ifdesinin çılımındki terimlerden biri, k b ise + n dir. ( )... k 5 n... İşlemde kollık olmsı çısındn, Seçenekleri sırsıl ele llım. ) (, 0) rlığınd ƒ() in grfiği biçimindedir. u rlıkt ƒ zlndır. ) (0, ) rlığınd ƒ() in grfiği biçiminmindedir. u rlıkt ƒ rtndır. ) (, 5) rlığınd ƒ() in grfiği biçimindedir. u rlıkt ƒ zlndır. ve b dielim. u durumd, n n 5 5 ( ) 5 n ve ( ) b olur. n ( b)... k$ 5 $ b... n 5 + n 7 n oğru Seçenek ) ƒ() sınırsız küçük değerler ldığındn ƒ() in en küçük değeri oktur. ) ƒ() in grfiği (, ) noktsınd tepe pmıştır. ƒ() in en büük değeri tür. oğru Seçenek.. Yol. rtn fonksion grfikleri, biçiminde prçlrdn oluşur. zln fonksion grfikleri, ( ) + ƒ() ( + ) + ƒ( ) ( ) +... (*) : (*) ifdesinde erine ve erine zrk, i lnız bırkırsk ƒ () i buluruz. biçiminde prçlrdn oluşur. ( ) + ( ) ( ) 0 5 ƒ() +

47 eneme - Çözümler. Yol TST TKNİĞİ 0 için: ƒ(0) 0 ƒ (0) 0 Seçeneklerde erine 0 zınc, 0 ı bulmlıız. ) + + ) ) ) ) ( ) Şu hâlde, cevp d dir. şk bir değer dh verelim. için: ƒ() + ƒ () Seçeneklerde erine zınc, i bulmlıız. ) ) oğru Seçenek 5. ƒ() çift fonksion ise, ƒ() ƒ( ) tir. 7. Şekildeki ve noktlrının doğrusun oln uzklıklrı sırsıl h ve h ise, ( ) h ( ) h dir. P(, ) noktsının, : + b + c 0 doğrusun oln uzklığı, h $ + b$ + c dir. + b + + (, ), : h + (, ), : h + + h stenen h α oğru Seçenek [] + [] {} % m ( ) % m ( ) m (\) Verilen: ƒ( ) + ƒ( ) + 5 ƒ( ) $ ƒ( ) ƒ( ) $ stenen:ƒ( ) oğru Seçenek Şekildeki çembere göre, + dir. 5. % % m( ) + m( ) % % 90 m ( ) + m( ) 80 % % m( ) + m( ) % % 90 m( ) + m( ) 80 7

48 % % % % eneme - Çözümler Kökler Toplmı ( i) + ( + i) Kökler Çrpımı ( i) ( + i) i ( ) cm oğru Seçenek Kökler toplmı T, kökler çrpımı Ç oln ikinci dereceden denklem, T + Ç 0 8. Çerek direnin ve dik biçiminde zılır. S üçgenin lnlrı + S olup, birbirlerine eşittir. : + 0 oğru Seçenek S ln(çerek ire) r $ r $ r $ $ r cm ln(ik Üçgen) $ $ ( + ) ( + ) cm 0. ƒ() in grfiği noktsınd eksenine teğet olduğundn, k! R olmk üzere, ƒ() k ( )... (*) dir. k olrk, ƒ() in grfiği (0, ) noktsındn geçtiği için ƒ(0) tür. (*) denkleminde erine 0 zrk k i bulbiliriz. p + p oğru Seçenek ƒ ( ) k$ ( ) ƒ ( 0) k$ ( ) k : k 9. Kökleri krmşık sılr oln tm sı ktsılı ikinci dereceden bir denklemin kökleri eşleniktir. Köklerden biri, ise, diğeri, Verilen Kök : z i z + bi z z bidir. iğer Kök : z z + i ƒ( ) $ ( ) $ ( + ) $ $ + Problemde, nin ktsısı sorulmktdır. nin ktsısı tü. r oğru Seçenek 8

49 . ƒ: R R, ƒ() + m + prbolünün tepe noktsının psisi, tü. r eneme - Çözümler ir deltoidin köşegenleri dik kesişir. Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin lnı, köşegen uzunluklrının çrpımının rısın eşittir. Tepe Noktsının psisi Kökler Toplmının psisi stenen ( ) $ $ cm oğru Seçenek ƒ(), en küçük değerini için lır. ƒ() in en küçük değeri olrk verildiği için, ƒ() olmk zorunddır. ƒ() + m α α ƒ() + m + α m m ƒ() 5 + m m 8 dir.. h oğru Seçenek θ θ F 8 cm ile F ikizkenr üçgenlerdir. 8 cm F cm ir prlelkenrın krşılıklı kenr uzunluklrı eşittir. + 8 cm 5 h H oğru Seçenek üçgeninin ukrıdki özelliğini kul-. lnrk problemi çözebiliriz. h h F Prlel iki doğru rsındki uzklık sbit olduğu için, F ve F muklrının ükseklikleri eşit- 5 5 tir. ln( Ymuk) lt Tbn + Üst Tbn özelliğinden, $ $ cm bulunur. ( 0 + ) $ h F ( ) ( + ) $ h F ( ) 9

50 eneme - Çözümler Verilen: ( F) F ( ) ( 0 + ) $ h ( + ) $ h cm oğru Seçenek P() P() polinomunun ktsılrının toplmı, P() değe- 5. K F rine eşittir. P() L F ile FK eş üçgen olduğundn, K F cm dir. K dörtgeni, bir kenr uzunluğu cm oln bir kredir. K uzunluğu d bu krenin köşegenidir. P ( ). Yol m Ktsılr Toplmı P() m P( ) lim " $ + $ + lim " ir krenin köşegen uzunluğu, kenr uzunluğu- $ + $ + 0 nun ktın eşittir. oğru Seçenek stenen: K $ K cm oğru Seçenek dielim... Yol ( ) P() m için m m 5 P ( ) Polinom bölmesi prk P() polinomunu bulbiliriz. 07 b 0 08 ( ) ( + ) c 0 00 ( ) ( + ) 9 9 < < c < b < oğru Seçenek 50

51 eneme - Çözümler 8. 8 ( ) ( + ) 0. Öncesi Sonrsı ( ) ( + ) ( + ) T T ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) $ ( + ) $ ( + ) 8 8 O ( + ) $ ( + ) $ ( + ) ( ) $ ( + ) $ ( + ) $ ( + ) ir dik diresel koninin, koninin tbn düzlemine dik oln bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü, bir ikizkenr üçgendir. oğru Seçenek T 9. P() in derecesi p, Q() in derecesi q olsun. Verilen: der[p() Q()] p + q...(i) Verilen: der[p () Q()] 0 p + q 0...(ii) H TH 0 8 H 0 H cm 0 8cm stenen ( T) 8 8 $ $ cm oğru Seçenek (i) ve (ii) denklemlerini birlikte çözerek p ve q u bulbiliriz. p + q 0 p + q p p + q + q q : der[ Q()] der[ ] + der[q()] + q + oğru Seçenek 5

52 NM SINVI ÇÖZÜMLR

53 . ir doğl sının 9 ile bölümünden kln, o sının rkmlrı toplmının 9 ile bölümünden kln eşittir. ört bsmklı bb sısı 9 ile bölündüğünde 5 klnını verdiğine göre, + b + + b / 5 (mod 9) ( + b) / 5 (mod 9) 5 + b / ( mod 9) b / / 7 (mod 9) Yedi bsmklı 5b sısının 9 ile bölümünden kln, b+ ; 5 7 eneme - Çözümler + b T + b T... (*) (*) ifdesini bz lrk şunu söleebiliriz: tek ise b çifttir. ve çift ise b tektir. rıc, c için kesin bir şe söleemeiz. Şimdi sırsıl seçeneklere bklım. ) c tektir. (c çift de olbilir.) ) + c çifttir. ( tek, c çift iken + c tektir.) ) + b tektir. ((*) eşitliği zten bunu sölemektedir.) ) b tektir. (T Ç Ç olduğundn, b dim çifttir.) sısının 9 ile bölümünden kln eşittir. nin 9 ile bölümünden kln, + tür. oğru Seçenek ) b çifttir. (b tek de olbilir.) oğru Seçenek. Çrpımlrı tek oln iki tm sının ikisi de tektir. Verilen ifde için içler-dışlr çrpımı plım. + b + ( c + ) ( c ) Ç Ç T Ç T Ç + T T Ç T T + b + Ç T T T + b T Ç T Teklik-çiftlik durumunu rştırırken, erine ı, b erine b i lbiliriz. Çünkü, bir tek sının kresi tek sı, bir çift sının kresi çift sıdır.. evrensel kümesine it oln bir kümesi için nın tümleen kümesi ʹ ile gösterilir ve s() + s(ʹ) s() dir. Problemde verilen eşitlikleri trf trf topllım. s() + s(ʹ) 7 s(ʹ) + s() 5 s() + s(ʹ) + s() + s(ʹ) s() s() s() s() oğru Seçenek 5

54 . Venn şemsı gösterimi pılırken, X Y kümeleri için, X kümesi Y kümesinin içerisine çizilir. Problemde, olduğu sözlü olrk ifde edilmiştir u ifdenin Venn şemsı gösterimi şu şekildedir: eneme - Çözümler 5.. Yol Ömer Zenep Şimdi Ö Z b ıl sonr Ö + b Z + b Verilen: Ö + Z : Ö + b + Z + b Ö+ Z+ b + b <. Yol kümesi, nın tümleen kümesi olup, bu küme şğıd kırmızı renkle bolı oln bölgedir. b ıl sonr bir kişinin şı b rtrken, iki kişinin şlrı toplmı b rtr. Şimdiki şlrı toplmı oln iki kişinin b ıl sonrki şlrının toplmı + b olur.. Yol TST TKNİĞİ Yşlr ve b e kefî değerler vererek ı bullım. Ömer: şınd olsun. Zenep: 5 şınd olsun. b olsun. ( ) + kümesi de, ukrıdki kırmızı renkle bolı oln bölge ile kümesinin kesişimini ifde etmektedir. u bölge ise, nin iç trfınd kln kırmızı renkli bölgedir. ( ) + oğru Seçenek Ömer in ıl sonrki şı + 7, Zenep in ıl sonrki şı ve ikisinin ıl sonrki şlrının toplmı tir. Seçeneklerde erine 9 ve b erine zınc 5 i bulmlıız. ) + b 9 + ) + b 9 + ) + b 9 + ) + b ) + b 9 + oğru Seçenek 5

55 .. Yol Sınıftki kızlrın sısın K ile, erkeklerin sısını d ile gösterelim. Verilenleri thterevllie erleştirelim.,9, 0,07 eneme - Çözümler,75,9 0,0,,9,75 K zlr nolr Toplm ( Kzlr noortlms ) Kzlr ns s K rkeklerin olr Toplm rkeklerin o c m rkeklerin S s Ortlms K 00, stenen 007, 7 K zlr nolr Toplm, m K oğru Seçenek K zlr nolr Toplm K$, m rkeklerin olr Toplm 75, m rkeklerin olr Toplm $ 75, m Sınıftki herkesin bolrının toplmı, K, +,75 metre olup, sınıftki toplm kişi sısı K + dir. Sınıfın bo ortlmsı, sınıftki herkesin bolrı toplmının kişi sısın ornın eşittir. K$, + $, 75 9, K+ 7. Mert' in Gücü Kâ mil' in Güü c 8 Mert in günde tne ms pbildiğini vrsrsk, Kâmil günde tne ms pbilir. Toplm Ms Sısı İkisi gün birlikte çlışıor. Toplm iş K, +,75 K,9 +,9 Mert: ms,75,9 K,9 K, Kâmil 8 ms 0,0 + K 0,07 Mert + Kâmil ms K 7 pr ve işin tmmlnmsı için, 7 k ve K k K $ k stenen 7 $ k 7 0 ms klır. u msı Mert tek bşın pmlıdır.. Yol TST TKNİĞİ Mert günde günde ms prs ms pr. oğru Orntı Şekilde verilen thterevllie göre, tir. oğru Seçenek 55

56 8. ifdesi, sı doğrusu üzerinde sısının sısın oln uzklığı nlmın gelir. 8 ifdesi, sı doğrusu üzerinde sısının 8 sısın uzklığı nlmın gelir.. urum + 8! R + eneme - Çözümler 9.. Yol + # 0 eşitsizliği için, öncelikle + 0 doğrusunun grfiği çizilir. urdki eşitsizlik işreti # olduğu için, doğrunun grfiği kesiksiz olrk çizilir. 0 için için sısı ün sol trfınd iken, 0 ve 0 için, olup, eşitlik sğlnmz.. urum 8 8 sısı [, 8] rlığınd iken, # 0 eşitsizliği sğlndığı için, orijini içine 0 ln bölge trnır. + > 0 eşitsizliği için, + 0 doğrusunun grfiği kesikli olrk çizilir. 0 için için olup, eşitlik sğlnır. 0 ve 0 için,. urum! R > 0 eşitsizliği sğlndığı için, orijini içine ln bölge trnır. sısı 8 in sğ trfınd iken, Yukrıdki kırmızı ve mvi renkli bölgelerin kesişi olup, eşitlik sğlnmz. mi, sorunun cevbıdır. [, 8] rlığındki tm sılrın dedi [, 8] rlığındki tm sılr,, 5,, 7, 8 olup, tnedir. 0 0 oğru Seçenek 5

57 eneme - Çözümler. Yol TST TKNİĞİ ve 0 için, + # # 0 # 0 (sğlnır.) + > > 0 5 > 0 (sğlnır.) emek ki, (, 0) noktsı, seçeneklerdeki trlı bölgenin içerisine dhil olmlı. Ylnızc seçeneğindeki trlı bölge (, 0) noktsını içermektedir. oğru Seçenek. Yol TST TKNİĞİ Seçeneklerdeki sılrın, verilen denklemi sğlıp sğlmdığını kontrol ederek doğru cevbı bulbiliriz. 5 iç in: ( ), seçeneğinde olmdığındn cevp olmz. iç in: ( ), ( ) seçeneğinde olduğundn cevp olmz. 0 iç in: ( ), ( ) seçeneğinde olmdığındn cevp olmz. Şu hâlde, cevp d dir. 0 için: ( ), Yol urum sı. urum ( ) çift sı. urum (Sı) 0 (Sı! 0 iken) Sonucun olduğu durumlr ukrıd listelenmiştir. u üç durum göre çözüm plım.. urum. urum seçeneğinde olduğundn cevp olmz. oğru Seçenek.! (, ) olmk üzere, > + > dir., ve z sılrını nin kuvvetleri biçiminde zrsk, sırlmı kolc pbiliriz. / / / z /. urum için: ( ) ( ) Tek! 0 ve u sılr rsındki sırlm ile,, z rsındki sırlm nıdır. için: 0 0! için: ( ) 0 İKKT 0 0 tnımsızdır. - / / / z Çözüm Kümesi {, } oğru Seçenek 57

58 eneme - Çözümler. 5 ir dik üçgenin diklik merkezi o üçgenin dik köşesidir. olısıl, F nin diklik merkezi dir. seçeneğinde verilen ifde nlıştır. oğru Seçenek Pisgor teoremini iki kez zlım cm cm oğru Seçenek.. ir üçgenin üksekliklerini tşın doğrulr nı noktd kesişir. u nokt üçgenin diklik merkezi denir. r çılı bir üçgenin diklik merkezi üçgenin iç bölgesinde, geniş çılı bir üçgenin diklik merkezi üçgenin dış bölgesindedir. α α + $ ( enzerli.. i) F F K K F noktsı nin diklik merkezidir. noktsı F nin diklik merkezidir. c α ( ) $ $ c $ sin 5 F F K K noktsı F nin diklik merkezidir. noktsı F nin diklik merkezidir. 5 m (\) sin 0 $ ( ) sin 0 9 $ $ $ $ $ cm : > / oğru Seçenek 58

59 5. f( ) + f( )? f() değerini bulbilmek için, verilen ifdede erine zmlıız. f( ) + için: f() + 5 eneme - Çözümler 7. ir veri grubunun stndrt spmsının sıfır olmsı için, o veri grubundki verilerin tümü birbirine eşit olmlıdır. Verilen:,,, : oğru Seçenek oğru Seçenek 8.. Kelebek benzerliğinden, sırsıl, FK+ F ve + benzerliklerini kullnrk problemi çözebiliriz. K K F F F Yukrıd gösterilen dizilime göre, erkekler kırmızı, kızlr d eşil renkli koltuklr otururs istenen koşul sğlnır. şk türlü bir dizilimin vrlığı mümkün değildir. erkek tne kırmızı koltuğ! şekilde, 0 kız 0 tne eşil koltuğ 0! şekilde oturbilir. 0!! oğru Seçenek $ cm F K $ cm K + K + 8 cm oğru Seçenek 9. Öncelikle ilk zrı tlım. u zrın ne geldiğinin önemi oktur. Şimdi ikinci zrı tlım. u zrın ilk zrdn frklı gelme olsılığı 5 Son olrk üçüncü zrı tlım. dr. u zrın ilk ikisinden frklı gelme olsılığı dr stenen $ $ 9 oğru Seçenek 59