ANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ YÜKSEK L ISANS TEZ I YILDIZIL VE KONVEKS FONKS IYONLAR IÇ IN BAZI KR ITERLER

Transkript

1 ANKARA ÜN IVERS ITES I FEN B IL IMLER I ENST ITÜSÜ YÜKSEK L ISANS TEZ I YILDIZIL VE KONVEKS FONKS IYONLAR IÇ IN BAZI KR ITERLER Mü t ŞAN MATEMAT IK ANAB IL IM DALI ANKARA 2 Her hakk sakl d r

2 TEZ ONAYI Mü t ŞAN taraf ndan haz rlanan Y ld z l ve konveks fonksiyonlar için baz kriterler adl tez çal şmas 23/2/2 tarihinde aşa¼g daki jüri taraf ndan oy birli¼gi ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal nda YÜKSEK L ISANS TEZ I olarak kabul edilmiştir. Dan şman : Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I Jüri Üyeleri : Başkan : Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I Üye : Doç. Dr. Erdal GÜNER Üye : Yrd. Doç. Dr. Hüseyin IRMAK Yukar daki sonucu onaylar m Prof. Dr. Orhan ATAKOL Enstitü Müdürü

3 ÖZET Yüksek Lisans Tezi YILDIZIL VE KONVEKS FONKS IYONLAR IÇ IN BAZI KR ITERLER Mü t ŞAN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman : Prof. Dr. Ayhan Şerbetçi Bu çal şmada, birim dairede analitik ve univalent ya da analitik ve p-de¼gerli olan fonksiyonlar ile delinmiş birim dairede analitik ve univalent ya da analitik ve p- de¼gerli olan fonksiyonlar n y ld z ll k ve konvekslik özellikleri ile bu fonksiyonlar n y ld z l ve konveks olmas için gerek ve yeter koşullar incelenmiştir. Tez dört bölümden oluşmaktad r. Birinci bölüm giriş k sm d r. Ikinci bölümde temel tan m, teoremler ve lemmalar yer alm şt r. Üçüncü bölümde, s ras yla birim dairede univalent, p-de¼gerli, meromorf univalent ve p-de¼gerli meromorf fonksiyonlar n y ld z ll ¼g ve konveksli¼gini karekterize eden çeşitli eşitsizlikler ile y ld z ll k ve konvekslik kavramlar aras nda ba¼g nt lar yer alm şt r. Son bölüm olan dördüncü bölüm ise tezin orjinal k sm d r. Burada, p-de¼gerli meromorf ve meromorf y ld z l ve konveks fonksiyonlarla ilgili özellikleri de içeren çok say da teorem verilmiş ve ispatlanm şt r. Ayr ca, ilgili teoremlerin baz önemli sonuçlar da vurgulanm şt r. Aral k 2, 6 sayfa Anahtar Kelimeler : Birim daire, delinmiş birim daire, analitik fonksiyon, univalent fonksiyon, y ld z l fonksiyon, konveks fonksiyon, p-de¼gerli analitik fonksiyon, meromorf fonksiyon, esas de¼ger, kompleks rasyonel fonksiyon. i

4 ABSTRACT Master Thesis CERTAIN CRITERIA ON STARLIKE AND CONVEX FUNCTIONS Mü t ŞAN Ankara University Graduate Scholl of Natural and Applied Science Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Ayhan Şerbetçi In this study, the starlikeness and convexity of analytic and univalent or analytic and p-valent functions in unit disk and analytic and univalent or analytic and p-valent functions in punctured unit disk, and the necessary and su cient conditions to be starlike or convex of this functions are investigated. This Thesis consists of four chapters. The rst chapter is devoted to introduction. In the second chapter, basic de nitions, theorems and lemmas take place. In the three chapter, some inequalities characterize the starlikeness and convexity of, respectively, univalent, p-valent, meromorphic univalent and p-valent meromorphic functions in unit disk and the relations between the concepts of starlikeness and convexity are given. The fourth chapter is the last chapter that is the original part of the thesis. In this chapter, a great number of theorems are given and proved that they include the properties concerning meromorphic univalent and p-valent meromorphic functions in unit disk. Also some important results of related theorems are emphasized. December 2, 6 pages Key Words : Unit disc, punctured unit disc, analytic function, univalent function, starlike function, convex function, p-valent analytic function, meromorphic function, principal value, complex rational function. ii

5 TEŞEKKÜR Bana bu konuda çal şma olana¼g veren ve yard mlar n esirgemeyen tez dan şman m say n Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇ I ye (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü), bu konuda ilerleme imkan veren ve verdi¼gi önemli bilgiler ile bana destek olan say n Yrd. Doç. Dr. Hüseyin IRMAK a (Çank r Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü), tezin yaz m aşamas nda bana yard m eden Nuray YELKEN e ve her türlü deste¼gi ve yard m esirgemeyen aileme sayg ve teşekkürlerimi sunar m. Mü t ŞAN Ankara, Aral k 2 iii

6 IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D IZ IN I iv. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR YILDIZIL VE KONVEKS FONKS IYONLARLA ILG IL I TEMEL B ILG ILER Bir E¼gri Üzerinde Y ld z ll k ve Konvekslik Univalent Fonksiyonlar n Y ld z ll ¼g ve Konveksli¼gi p-de¼gerli Fonksiyonlar n Y ld z ll ¼g ve Konveksli¼gi Meromorf Fonksiyonlar n Y ld z ll ¼g ve Konveksli¼gi p-e¼gerli Meromorf Fonksiyonlar n Y ld z ll ¼g ve Konveksli¼gi p-de ¼GERL I MEROMORF YILDIZIL VE KONVEKS FONKS IYON- LAR IÇ IN BAZI KR ITERLER KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ

7 S IMGELER D IZ IN I C Z N R S S C M MS MC A (p) S (p) C (p) M(p) MS(p) MC(p) f (q) (z) Kompleks say lar kümesi Tamsay lar kümesi Do¼gal say lar kümesi el say lar kümesi fz 2 C : jzj < g U kümesinin s n r Normalize edilmiş univalent fonksiyonlar n s n f Normalize edilmiş univalent y ld z l fonksiyonlar n s n f Normalize edilmiş univalent konveks fonksiyonlar n s n f U da meromorf univalent fonksiyonlar n s n f U da meromorf univalent y ld z l fonksiyonlar n s n f U da meromorf univalent konveks fonksiyonlar n s n f U da p-de¼gerli analitik fonksiyonlar n s n f U da p-de¼gerli analitik y ld z l fonksiyonlar n s n f U da p-de¼gerli analitik y ld z l fonksiyonlar n s n f U da meromorf p-de¼gerli fonksiyonlar n s n f U da meromorf p-de¼gerli y ld z l fonksiyonlar n s n f U da meromorf p-de¼gerli konveks fonksiyonlar n s n f Bir f(z) fonksiyonunun q: mertebeden adi türevi v

8 . G IR IŞ Univalent y ld z l fonksiyon kavram ilk olarak Alexander (95) taraf ndan tan t lm şt r. Nevanlinna (92) da bu konu üzerinde detayl araşt rmalar yapm şt r. Daha sonra ise univalent y ld z l ve konveks fonksiyonlar Marx (932), Strohhacker (933) ; Jack (97); McGregor (975), Wilken (98) ve daha bir çok araşt rmac taraf ndan çal ş lm şt r. Y ld z l ve konveks fonksiyon kavram n n birim dairede p-de¼gerli analitik fonksiyonlara genelleştirmesini Robertson (937; 94; 945; 953) ve Goodman (95) taraf ndan yap lm şt r. Daha sonra Blakley (962) ; Sakaguchi (962) ; Hummel (966), Ozaki (94) ; Nunokawa (987) ve birçok araşt rmac p-de¼gerli analitik fonksiyonlar n y ld z ll ¼g ve konveksli¼gi üzerine araşt rmalar yapm şt r. Birim dairede meromorf y ld z l ve konveks fonksiyonlar hakk nda Pommerenke (963), Miller (97), Clunie (959), Nunokawa ve Ahuja (2) ve birçok araşt rmac çal şm şt r. Birim dairede p-de¼gerli meromorf y ld z l ve konveks fonksiyonlar ilgili ba¼g nt lar ilk olarak Royster (963) taraf ndan verilmiştir. Daha sonra ise Aouf ve Hossen (993), Liu ve Owa (998) ve çok say da araşt rmac bu konu üzerinde çal şm şt r. Tezin amac y ld z l k ve konvekslik kavramlar n, aralar ndaki ba¼g nt lar ve adi türev operatörü yard m yla birim dairede meromorf bir fonksiyonun türevlerinin y ld zl l ¼g ve konveksli¼gi ile ilgili genel ba¼g nt lar n vermek ve yine bu fonksiyonun y ld z ll ¼g ve konveksli¼gi üzerine baz ba¼g nt lar bulmaya çal şmakt r. Bunun için ilk önce birim dairede univalent fonksiyonlar n y ld z ll ¼g ve konveksli¼gi ile ilgili kavramlar tan t l p daha sonra bir univalent fonksiyonun hangi şartlar alt nda y ld z l ve konveks oldu¼gu ve y ld z ll k ile konvekslik aras nda ne çeşit ba¼g nt lar oldu¼gu üzerine çal şmalar yap lm şt r. Bu çal şmalar n ayn lar s ras yla birim dairede p-de¼gerli analitik fonksiyonlar, meromorf univalent fonksiyonlar ile meromorf p-de¼gerli fonksiyonlar için yap lm şt r. Bu tez dört bölümden oluşmaktad r. Ikinci bölüm di¼ger bölümler için gerekli olan temel tan m ve teoremleri içermektedir. Üçüncü bölüm birim dairede univalent, p-de¼gerli, meromorf ve p-de¼gerli meromorf olan fonksiyonlar n y ld z ll ¼g ve konveksli¼gi üzerine yap lan çal şmalar yer almaktad r. Son bölüm olan dördüncü bölüm tezin orjinal k sm olup bu bölümde adi türev operatörü tan t lm ş ve adi türev operatörünün p-de¼gerli meromorf fonksiyonlara uygulanmas yla y ld z ll k ve konvekslik ile ilgili ba¼g nt lar ve sonuçlar elde edilmiştir.

9 2. TEMEL KAVRAMLAR Tan m 2. Bir f : C! C fonksiyonu ve bir z 2 C noktas verilsin. E¼ger z n en az bir komşulu¼gundaki her noktada f (z) fonksiyonu diferensiyellenebilir ise bu durumda f (z) ye z da analitiktir denir. Tan m 2.2 Bir B C bölgesinde sonlu say daki kutup noktas d ş nda analitik olan fonksiyonlara meromorf fonksiyon ad verilir. Tan m 2.3 u; v 2 B için Bir f(z) fonksiyonu bir B C bölgesinde bire-bir ise yani; her bir f(u) = f(v) ) u = v oluyor ise f(z) fonksiyonuna, B de univalent (yal nkat, birebir) fonksiyon denir. Tan m 2.4 Kompleks düzlemde bir B bölgesinde al nan w ve w 2 gibi her iki nokta çiftini birbirine ba¼glayan do¼gru parças n n tamam bu bölgenin içinde kal yorsa B bölgesine konvekstir denir. Yani, z 2 B ve z 2 2 B olmak üzere her ( ) için ( )z + z 2 2 B oluyorsa, B bölgesine konveks bölge denir. Tan m 2.5 Kompleks düzlemde w 2 B başlang ç noktal her ş n n B bölgesi ile kesişimi olan noktalar kümesi bir do¼gru parças veya ş n ise B ye w a göre y ld z ld r denir. Tan m 2.6 [a; b] R olmak üzere sürekli bir : [a; b]! C fonksiyonuna C düzleminde bir e¼gridir denir Tan m 2.7 Bir e¼grisi verildi¼ginde (a) = (b) ise, ya kapal e¼gridir denir. Tan m 2.8 Bir e¼grisi sadece t = t 2 için (t ) = (t 2 ) oluyorsa ya basit e¼gridir denir. Bazen basit e¼grilere Jordan e¼grisi de denir. basit bir e¼gri ve (a) = (b) ise ya basit kapal e¼gridir (kapal Jordan e¼grisi) denir. Tan m 2.9 Bir e¼grisi verildi¼ginde türevi var ve sürekli ise ya diferensiyellenebilir e¼gri denir. 2

10 Tan m 2. diferensiyellenebilir e¼gri olsun. E¼ger her t 2 [a; b] için (t) 6= ise ya düzgün e¼gri denir. Tan m 2. Sonlu say da j ; j = ; 2; :::; n düzgün e¼grileri verilmiş olsun. E¼ger bütün j = ; 2; :::; n de¼gerleri için j nin bitim noktas j+ in başlang ç noktas ile çak ş yorsa, bu j e¼grilerinin birleşimi olan e¼grisine çevre(parçal düzgün e¼gri) denir. Özel olarak nin başlang ç noktas n nin bitim noktas ile çak ş yor ise e¼grisine kapal çevre denir. E¼ger bu e¼gri kendini kesmiyorsa bu e¼grisine basit çevre, e¼ger buna ilaveten bu kapal ise bu e¼griye basit kapal çevre denir. Önerme 2. Denklemi z (t) ; a t b olan bir e¼grisi bir B bölgesinde bulunsun ve f : B! C sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda, (i) w (t) = f (z (t)) de bir e¼gri olur ve buna n n resmi denir. w (t) = f ( (t)) olarak da gösterilir. (ii) z (t) diferensiyellenebilir bir e¼gri ve f analitik ise w (t) = f (z (t)) diferensiyellenebilirdir ve w (t) = f (z (t)) z (t) dir. (iii) z (t) düzgün bir e¼gri, f analitik ve f (z (t)) 6= ise w (t) = f (z (t)) de düzgün e¼gridir. Tan m 2.2 B; C düzleminde bir bölge ve, : [; ]! B, 2 : [; ]! B kapal iki e¼gri olsunlar. E¼ger aşa¼g daki iki koşulu gerçekleyen sürekli bir H : [; ] [; ]! B fonksiyonu var ise ve 2 e¼grileri birbirine homotop e¼grilerdir denir. () Her s 2 [; ] için t! H (t; s) kapal bir e¼gridir. (2) H (t; ) = (t) ; H (t; ) = 2 (t) t 3

11 Tan m 2.3 (Koebe Fonksiyonu) k (z) = z ( z) 2 = z + 2z2 + :::: + nz 2 + ::: = olarak tan ml fonksiyona Koebe Fonksiyonu ad verilir. k (z) Koebe fonksiyonunu şeklinde yazal m. Burada k (z) = z ( z) 2 = 4 T (z) = + z z " 2 + z # z (z 2 U) X nz n dönüşümü U = fz 2 C : jzj < g birim dairesini sa¼g yar düzleme dönüştürdü¼gü için bir konveks fonksiyon olup n= ise U birim dairesini D = C k (z) = z ( z) 2 (z 2 U) w = u + iv : v = ; u < 4 bölgesine dönüştürür. Bu bölge w = a göre y ld z l oldu¼gundan k (z) y ld z l bir fonksiyon olur. Ayr ca D bölgesi her w > 4 de¼geri için y ld z ld r. Tan m 2.4, C de kapal bir e¼gri ve z ; C de bir nokta olsun. z a göre n n indeksi I (; z ) = Z 2i dz z z olarak tan mlan r ve n n z a göre dolan m say s olarak da adland r l r. Bilindi¼gi üzere e¼grisi, z n çevresini I (; z ) defa sarar. Önerme 2.2 (i) r > ve t 2 [; 2n] olmak üzere (t) = z + re it çemberi z a göre n dolan m say s na sahip ise - (t) = z + re it çemberi n dolan m say s na sahiptir. (ii) z ; ve e¼grilerinin üzerinde olmas n. ve e¼grileri Cn fz g da homotopik ise, bu durumda ; I (; z ) = I z 4

12 olur. Teorem 2. (Cauchy Türev Formülü) f(z) fonksiyonu bir B bölgesinde analitik olsun. Bu durumda B de f(z) nin her mertebeden türevi mevcuttur. Ayr ca B de bir z noktas ve z dan geçmeyen ve B bölgesinde bir noktaya homotopik bir kapal çevresi için f (n) (z ) I (; z ) = n! Z 2i f(z) n+ dz n = ; 2; ::: (z z ) dir. (Marsden vd. 999) Teorem 2.2 f(z) foksiyonu D = fz 2 C : jz z j < Rg dairesinde analitik olsun. Bu durumda f(z) fonksiyonu D de z merkezli bir kuvvet seri aç l m na sahiptir ve ; z içine alacak şekilde D de pozitif yönlü, kapal bir çevre olmak üzere f(z) = X a n (z z ) n ve a n = Z 2i n= f (z) (z z ) n+ dz şeklindedir. Teorem 2.3 f(z) fonksiyonu b ; :::; b m kutup noktalar d ş nda B bölgesinde analitik ve a ; :::; a n katl l klar yla birlikte f in s f rlar olsun. Bir kapal çevresi, B bölgesinde bir noktaya homotopik ve a j ile b l noktalar ndan geçmesin. Bu durumda Z " nx dz = 2i I (; a j ) f (z) j= # mx I (; b l ) l= d r. Bu formül meromorf fonksiyonlar için de geçerlidir. (Marsden vd. 999) Sonuç 2.2, C de basit kapal bir çevre olsun. (i) f (z) fonksiyonu y içeren aç k bir kümede sonlu say daki kutup noktalar n n d ş nda analitik ve f (z) nin sonlu say daki kutup noktalar n n ve s f rlar n n hiçbiri üzerinde bulunmas n. Bu durumda katl l klar da hesaba kat larak Z f, f (z) fonksiyonun içindeki s f rlar n n ve P f ise kutup noktalar n n say s olmak üzere Z f (z) dz = 2i [Z f P f ] 5

13 olur. (ii) f (z) fonksiyonu y içeren aç k bir kümede ve içinde analitik olsun. E¼ger f (z) ; üzerinde w ye eşit de¼gil ise Z f (z) w dz = 2iN w dir. N w ; katl l klar ile birlikte f (z) w = denkleminin s f rlar n n say s d r. (Marsden vd. 999) Teorem 2.4 Argüment Ilkesi kapal çevresi ve bu çevre üzerinde bulunmayan bir z noktas üzerinde ilerlerken z z n argümentindeki de¼gişim 2I (; z ) kadard r. Bu ise arg (z z ) = 2I (; z ) olarak ifade edilir. Şimdi arg f ile z, çevresi üzerinde ilerlerken arg f deki de¼gişimi tan mlayal m. Bunun anlam aç k olup e¼ger : [a; b]! C ise t; a dan b ye de¼gişirken arg f ( (t)) yi hesaplayarak arg f ( (b)) arg f ( (a)) fark n bulmakt r. arg f ( (t)) nin t ye göre sürekli de¼gişebilmesi için argüment için bir dal seçilmelidir. Eşde¼ger olarak de¼gişkenleri de¼giştirerek, yani e = f yaz p e arg (z) yi hesaplayarak da bulanabilir. Tan m 2.5 f (z) ; B bölgesinde analitik ve, B bölgesinde bir noktaya homotopik ve f (z) nin herhangi bir s f r ndan geçmeyen kapal bir çevre olsun. Bu durumda arg f = 2I (f ; ) olarak tan mlan r. Burada w = al nmas n n nedeni (f ) (z) 6= olmas d r. Teorem 2.5 f (z) fonksiyonu b ; :::; b m kutup noktalar d ş nda B bölgesinde analitik ve a ; :::; a n katl l klar yla birlikte f (z) nin s f rlar olsun. Ayr ca, ; B bölgesinde bir noktaya homotopik bir e¼gri olup a j veya b l noktalar ndan geçmesin. Bu durumda " nx arg f = 2 I (; a j ) j= # mx I (; b l ) l şeklindedir. 6

14 Önerme 2.3 f(z) fonksiyonu z da analitik, f (z ) 6= olsun. z dan geçen bir düzgün e¼grisinin z daki te¼geti x-ekseni ile aç s yap yorsa, n n f(z) fonksiyonu alt ndaki görüntüsü olan e düzgün e¼grisinin de w = f(z ) da te¼geti vard r ve te¼getinin u-ekseni ile yapt ¼g aç = + arg f (z ) d r Teorem 2.6 f(z); z da analitik ve f (z ) 6= ise, z n bir komşu¼gunda f(z) fonksiyonu univalenttir. Teorem 2.7 B C bir bölge olsun. f : B! C fonksiyonu analitik ve univalent ise her z 2 B için 6= d r. Teorem 2.8 B bir bölge, f fonksiyonu B de analitik ve ; B içinde bir noktaya homotopik olan kapal bir e¼gri olsun. Varsayal m ki I (; z) nin de¼geri ya da ve A = fz 2 B : I (; z) 6= g olsun. E¼ger f(a) n n her bir noktas n n, e = f e¼grisine göre indeksi ise, f (z) fonksiyonu B bölgesinde univalenttir (Başkan 999). Teorem 2.9 C basit kapal bir çevre ve D = iç(c) olsun. Farzedelim ki f (z) fonksiyonu D de analitik ve C de sürekli olsun. z, C nin üzerinde pozitif yönde bir kez dönerken w = f(z) noktas da C = f(c) yi pozitif yönde bir kez tan mlar. Bu durumda C pozitif yönlüdür ve f (z) fonksiyonu univalent olup D yi bire-bir olarak D = iç(c ) ye konform olarak dönüştürür (Marsden 999): Teorem 2. f(z) fonksiyonu bir z noktas ndan analitik ve bu noktada f(z) f(z ) n k:mertebeden (k 2) s f r varsa, z dan geçen ve aralar nda aç s yapan iki düzgün e¼grinin resimleri w da k aç s yaparlar. Dolay s yla da z n bir komşulu¼gu w n bir komşuşu¼gunu k defa örter (Başkan 999). Bu teoreme ilişkin aşa¼g daki örnekleri verebiliriz (Başkan 999). Örnek 2. f(z) = z p fonksiyonu birim çemberini yine birim çembere dönüştürür. Fakat, I (; ) = iken I (f ; ) = p dir. Gerçekten Z 2iI (f ; ) = f (z) dz 7

15 oldu¼gundan, 2iI (f ; ) = Z Z = p = 2pi pz p z p dz z dz bulunur. Ve buradan I (f ; ) = p olur. Bu ise f(z) nin n bir komşulu¼gunu p defa örttü¼günü gösterir. Ayr ca Z 2 d d arg f re i d = Z 2 z f (z) B d Z f (z) i oldu¼gundan arg f nin toplam art ş 2p kadard r. jzj=r f (z) dz C A = 2p Örnek 2.2 f (z) = z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + :::: şeklinde seri aç l m na sahip birim çember üzerinde ve içinde tan ml bir fonksiyon olsun. Her z 2 fz 2 C : < jzj r < g için f (z) 6= olsun. O zaman Z 2 d d arg f re i d = Z 2 z B d Z f (z) i jzj=r = 2 = arg f = 2I (f ; ) f (z) dz C A olup buradan I (f ; ) = oldu¼gu aç kt r. Bu arg f nin toplam art ş n verecektir. Şu söylenebilir ki f e¼grisi n bir komşulu¼gunu tam defa döner. Sonuç 2.3 Bir B bölgesinin bütün noktalar nda f (z ) 6= ise, B nin f(b) yi bir defa örtmesi gerekmez. Teorem 2. f(z) fonksiyonu bir z noktas ndan analitik ve bu noktada f (z ) 6= ise, z n bir komşulu¼gu w n bir komşulu¼gunu tam bir defa örter. Teorem 2.2 f(z) fonksiyonu bir z noktas ndan analitik ve bu noktada f (z ) 6= ise, w = f (z ) noktas n n bir komşulu¼gunda tan ml, analitik bir f ters fonksiyonu vard r ve 8

16 d dw f (w) = df (z) =dz dir. Ayr ca f (w ) 6= d r. Teorem 2.3 (Maksimum Modül Teoremi) Varsayal m ki B C s n rl bir bölge olsun. u : B! R fonksiyonu B de sürekli ve harmonik, ayr ca M say s u üzerindeki maksimumu olsun. Bu durumda, (i) Her (x; y) 2 B için u (x; y) M dir. (ii) Baz (x; y) 2 B noktalar için u (x; y) = M ise u fonksiyonu sabittir. Teorem 2.4 (Minimum Modül Teoremi) Varsayal m ki B C s n rl bir bölge olsun. u : B! R fonksiyonu B de sürekli ve harmonik, ayr ca m say s u üzerindeki minumumu olsun. Bu durumda, (i) Her (x; y) 2 B için u (x; y) m dir. (ii) Baz (x; y) 2 B noktalar için u (x; y) = m ise u fonksiyonu sabittir. Tan m 2.6 f(z) ve g(z) fonksiyonlar U birim dairesinde analitik olsun. E¼ger bir l(z) fonksiyonu varsa öyle ki (i) l(z) U da analitik (ii) l() = (iii) z 2 U için jl(z)j < ve f(z) = g(l(z)) ba¼g nt s gerçeklenirse, o zaman f(z) fonksiyonu, g(z) fonksiyonuna "subordine" dir denir ve f(z) g(z) ile gösterilir. Lemma 2. f : U! C analitik, z 2 U noktalar için jf(z)j ve f() = olsun. Bu durumda z 2 U noktalar için jf(z)j jzj ve jf ()j dir. Üstelik z 2 D (z 6= ) için jf(z )j jz j ise c, jcj = özelli¼ginde bir sabit olmak üzere, f(z) = cz biçimindedir. Bu lemma Schwarz lemmas olarak bilinir. (Szegö ve Polya 954) Teorem 2.5 f(z) g(z) olsun. Bu durumda f(u) g(u) ve f() = g() d r. Teorem 2.6 f(z) g(z) olsun. Bu durumda ff(z) : jzj < rg fg(z) : jzj < rg ( < r < ) 9

17 dir. Lemma 2.2 w(z); w() = koşulunu gerçekleyen U da analitik bir fonksiyon ve r 2 R, < r < olsun. E¼ger jw(z)j ; maksimum de¼gerine jzj = r üzerindeki bir z noktas nda ulaş yorsa z w (z ) = cw(z ) (c ) eşitli¼gini sa¼glayacak bir c vard r. 97). Bu lemma, Jack s Lemma olarak bilinir (Jack Bu lemman n genellemesi aşa¼g da verilmiştir. Lemma 2.3 w(z) fonksiyonu w(z) = c n z n + c n+ z n+ + c c+2 z c+2 + (n 2 N) (:3) ile verilmiş olup w(z) 6 (z 2 U) olacak şekilde U da analitik olsun. E¼ger bir z = re i (r 2 R; < r < ) için jw(z )j = max jzjjz jjw(z)j; eşitli¼gi sa¼glan yorsa c 2 R ve c n olmak üzere z w (z ) = cw(z ) d r. (Mocanu 2) Lemma 2.4 N(z) ve D(z), U da analitik, N() = D() = ; D(z); U birim dairesini orjine göre y ld z l olan çok katl bir bölgeye dönüştürsün ve ayr ca U da (N (z)=d (z)) > olsun. Bu durumda U da (N(z)=D(z)) > eşitsizli¼gi sa¼glan r.(libera 965)

18 3. YILDIZIL VE KONVEKS FONKS IYONLARLA ILG IL I TEMEL B ILG ILER 3. Bir E¼gri Üzerinde Y ld z ll k ve Konvekslik Bu kesimde bir z e¼grisinin, bu e¼gri üzerinde analitik olan bir f (z) fonksiyonu alt ndaki görüntüsünün y ld z l ya da konveks olup olmad ¼g üzerinde çal şaca¼g z. bir çember, bir do¼gru parças ya da di¼ger baz temel e¼griler olabilir. Varsayal m ki z e¼grisi düzgün bir e¼gri ve z z : z (t) = x (t) + iy (t) parametrik denklemiyle verilmiş olsun. Burada x (t) ile y (t) ; t ye ba¼g ml reel de¼gerli fonksiyonlar ve t 2 [a; b] dir. z e¼grisi düzgün oldu¼gundan her t 2 [a; b] için z (t) = x (t) + iy (t) 6= d r. Şimdi bir düzgün e¼grinin bir analitik fonksiyon alt ndaki görüntüsünün y ld z l olmas tan m n verelim. Tan m 3.. f (z) ; z : z (t) = x (t) + iy (t) düzgün e¼grisi üzerinde analitik, w; z e¼grisinin f (z) fonksiyonu alt ndaki görüntüsü ve w, w üzerinde bulunmayan bir nokta olsun. E¼ger arg (w w ) azalmayan bir fonksiyon, yani her t 2 [a; b] için ise w e¼grisi w a göre y ld z ld r denir. d dt [arg (w w )] Şimdi tan mdan hareketle ispat kolay olan bir lemma verelim. Lemma 3.. Bir z düzgün e¼grisinin bir analitik f (z) fonksiyonu alt ndaki görüntüsünün y ld z l olmas için gerek ve yeter koşul her t 2 [a; b] için olmas d r. Im z (t) f (z) w Ispat.

19 ln fonksiyonunun tan m ndan, her z 2 C arg z = Im fln zg olarak yaz labilir. Buradan hareketle, fg için ln z = ln jzj + i arg z oldu¼gundan d dt [arg (w w )] = d dt [Im [ln (w w )]] d = Im dt [ln (w w )] d = Im [ln ( f (z) dz w )] dz dt d = Im [ln ( f (z) dz w )] dz dt dz = Im f (z) w dt = Im z (t) f (z) w olur. Böylece istenen ispat tamamlan r. Tan m 3..2 w e¼grisinin te¼getinin argümenti t ye göre azalmayan bir fonksiyon ise w e¼grisine konvekstir denir. Bu durumda, w e¼grisinin konveks olmas için gerek ve yeter koşul her t 2 [a; b] için olmas d r. d dt = d dt [arg (z (t) f (t))] Lemma 3..2 z : z = z (t) düzgün e¼grisi üzerinde 6= oldu¼gunu varsayal m. z nin f (z) analitik fonksiyonu alt ndaki görüntüsü konvekstir ancak ve ancak d r. z (t) Im z (t) + f (z) z (t) Ispat. Lemma 3.. in ispat na benzer şekilde, z nin f (z) alt ndaki görüntüsünün konveks oldu¼gunu kabul edelim. Her z 2 C fg olmak üzere ln z = ln jzj + i arg z ) Im [ln z] = arg z 2

20 olup buradan bulunur. d dt [arg (z (t) :)] = d dt [Im [ln (z (t) )]] d = Im dt ln z (t) + d dz [ln ] dz dt z (t) = Im z (t) + f (z) z (t) 3.2 Univalent Fonksiyonlar n Y ld z ll ¼g ve Konveksli¼gi Verilen herhangi bir fonksiyonun Laurin seri aç l m analitik olmas durumunda bu fonksiyonun Mac g(z) = a + a z + a 2 z 2 + = X a k z k k= şeklindedir. E¼ger g(z) fonksiyonu U da univalent ise g(z) + C dönüşümü U da univalenttir. Her z 2 U için g(z) 6= olmas durumunda a 6= olup f(z) = a (g(z) a ) dönüşümü de U da univalenttir ve X f(z) = z + b z + b 2 z 2 + = z + b k z k ; k= b n = a n a (3.2.) şeklindedir. Tan m 3.2. (3:2:) şeklindeki fonksiyonlara normalize edilmiş fonksiyon denir. Bu fonksiyonlar n oluşturdu¼gu s n f S ile gösterilir. Dikkat edilirse birim dairede analitik ve univalent bir fonksiyonun normalize edilmiş olmas için f() = f () = olmas gerekir. Uyar 3.2. U birim dairesinin f(z) fonksiyonunun alt ndaki görüntüsü g(z) fonksiyonu alt ndaki görüntüsüden sadece dönme, öteleme, uzama ya da k salma kadar farkl olaca¼g ndan yukar da seri aç l m verilen g(z) fonksiyonu yerine normalize edilmiş f(z) fonksiyonu ile işlemler yap larak bulunan sonuçlar g(z) fonksiyonuna genişletilir. 3

21 Tan m E¼ger f (z) 2 S fonksiyonu, U birim dairesini konveks bir bölgeye dönüştürüyorsa f (z) ye konveks fonksiyon denir. s n f C ile gösterilir. Tan m E¼ger Bu fonksiyonlar n oluşturdu¼gu f (z) 2 S fonksiyonu, U birim dairesini w a göre y ld z l bir bölgeye dönüştürüyorsa f (z) ye w a göre y ld z l fonksiyon denir. Özel olarak w = al n rsa f (z) fonksiyonuna y ld z l fonksiyon denir. Bu fonksiyonlar n oluşturdu¼gu s n f S ile gösterilir. Uyar f (z), U da univalent ve analitik olsun. E¼ger f (z), C R : jzj = R çemberini basit kapal bir konveks e¼griye dönüştürüyorsa bu e¼gri konveks bir bölgeyi s n rlar veya konveks bir bölgenin s n r d r. Aksine, E¼ger f (z), C R ; R < ; dairesini konveks bir bölgeye dönüştürüyorsa bu bölgenin s n r basit kapal konveks bir e¼gridir. Benzer ifadeler y ld z l e¼griler için de kullanabilir. Teorem 3.2. (i) f (z), U R = fz : jzj Rg kapal dairesinde analitik ve univalent olsun. Bu durumda f (z) nin; U R n konveks bir bölge üzerine dönüştürmesi için gerek ve yeter koşul her z 2 C R : jzj = R için olmas d r. + zf (z) (3.2.2) (ii) f () = olsun. Bu durumda f (z) nin; U R yi w = a göre y ld z l olan bir bölge üzerine dönüştürmesi için gerek ve yeter koşul her z 2 C R için olmas d r. z (3.2.3) f (z) Ispat. (i) Lemma 3..2 deki z e¼grisi C R çemberi olsun. f (z), U R kapal dairesinde univalent oldu¼gundan bu daire üzerinde - dir ve bu durumda her z 2 U R için 6= d r. O halde Lemma 3..2 den her z 2 C R için z (t) Im z (t) + f (z) z (t) (3.2.4) 4

22 yazabilir. Ayr ca z : z = z (t) e¼grisi C R : jzj = R oldu¼gundan z = it ; t 2 olur. Buradan z (t) = i it = iz ve z (t) = i it = z olarak bulunur. Bu (3:2:4) te yerine koyulursa z (t) Im z (t) + f (z) z (t) bulunur. Böylece ispat tamamlan r. (ii) Benzer olarak = Im iz z iz + f (z) = Im i + f (z) iz = Im i( + zf (z) ) = + zf (z) z e¼grisini C R : jzj = R olarak alal m. f (z) ; U R yi w = a göre y ld z l olan bir bir bölge üzerine dönüştürsün. Bu durumda Lemma 3.. den her z 2 C R için Im z (t) f (z) w (3.2.5) yaz labilir: C R : jzj = R oldu¼gundan z = it ; t 2 dir. Buradan z (t) = i it = iz ve f () = = w al nd ¼g ndan bunlar (3:2:5) te yerine koyulursa elde edilir. Böylece ispat tamamlan r. Im i zf (z) z = (3.2.6) f (z) f (z) Lemma 3.2. f (z) 2 S; = f(u), U R = fz : jzj R < g olmak üzere R = f(u R ) olsun. E¼ger orjine göre y ld z l ise bu durumda R da orjine göre y ld z ld r. Tersine R orjine göre y ld z l ise da orjine göre y ld z ld r. Ispat. orjine göre y ld z l olsun. E¼ger z 2 U ise f(z) 2 ve orjine göre y ld z l oldu¼gundan t olmak üzere tf(z) 2 olur. g (z) = f (tf(z)) şeklinde tan mlanan fonksiyon U da analitiktir ve g () =, jzj < için jg (z)j < d r. Schwarz lemmas ndan jzj < için jg (z)j < jzj elde edilir. 5

23 Varsayal m ki z 2 U R olsun. Bu durumda R = f(u R ) oldu¼gundan f(z ) 2 R ve jg (z )j = f (tf(z )) jz j < R olur. E¼ger z 2 = f (tf(z )) denilirse, jz 2 j R ve f(z 2 ) =tf(z ) 2 R d r. Böylelikle f(z ) 2 R iken tf(z ) 2 R d r, yani R orjine göre y ld z ld r. Aksine R orjine göre y ld z l olsun. n n herhangi bir w noktas baz R < de¼gerleri için R dad r. w n ters görüntüsü olan z = f (w ) noktas R = jz j olacak şekilde U R dad r. Lemma < jzj < halka bölgesindeki her z noktas nda z > f (z) olmas için gerek ve yeter koşul f (z) 2 S fonksiyonunun U birim dairesinde y ld z l olmas d r. Ispat. Teorem 3.2. in (ii) ş kk ndan her z 2 U R ; R < ; için z f (z) oldu¼gu biliniyor. Lemma 3.2., f (z) nin U R da y ld z l olmas durmunda U da da y ld z l oldu¼gunu gösterir. Maksimum modül teoremden dolay ve bu teoremin i harmonik fonksiyonuna uygulanmas yla jzj = R < için h z f(z) elde edilir. z > f (z) Aksine yukar daki eşitsizlik sa¼glan yorsa arg f (z), = arg z ye göre kesin monoton artan olup f (z) fonksiyonu U da y ld z ld r. Lemma Bir : U! C fonksiyonu verilsin. E¼ger 6

24 (i) (z), U da analitik (ii) () = (iii) U da ( (z)) > ve X (iv) (z) = b n z n n= oluyorsa, bu durumda olur. n için jb n j 2 ve jzj r < için j (z)j + r r Ispat. C : z = re i ; 2 olsun. Bu durumda Teorem 2.2 den b n = 2i = 2i Z 2 Z 2 (z) z n+ dz re i (re i ) n+ irei d = 2r n Z 2 re i e ni d veya b n r n = Z 2 2 elde edilir. Di¼ger yandan z n (z) analitik oldu¼gundan re i e in d, n = ; ; 2; ::: (3.2.7) = Z 2 2 re i e in d; n = ; ; 2; ::: d r. re i = U re i + iv re i olmak üzere = Z 2 2 = 2 Z 2 re i e in d = Z 2 2 U re i + iv (U cos n V sin n) + i (V cos n + U sin n) d re i (cos n + i sin n) d 7

25 oldu¼gundan ve Z 2 2 = 2 Z 2 b n r n = Z 2 2 = 2 (re i ) e in d (U cos n V sin n) d i 2 Z 2 re i e in d Z 2 (U cos n + V sin n) d + i 2 elde edilir. Elde edilen bu iki eşitlik toplan rsa (V cos n + U sin n) d Z 2 (V cos n U sin n) d b n r n = Z 2 2 = Z 2 re i e in d + Z 2 2 U re i e in d re i e in d ve buradan bulunur. r! jb n j r n = Z 2 U re i e in d Z 2 U re i d = b + b = 2 iken n 2 için jb n j 2 elde edilir. Di¼ger yandan, X j (z)j = b n z n n= X X jb n j r n = + 2 n= bulunur. Böylece ispat tamamlanm ş olur. Teorem f(z) = z + n= r n = + r r X a n z n 2 S olsun. Bu durumda her n için ja n j n dir. n=2 8

26 Ispat. (z) = zf (z) f (z) = + X b n z n (3.2.8) şeklinde olsun. Lemma ün hipotezleri sa¼gland ¼g ndan her n için jb n j 2 dir. E¼ger (3:2:8) nin her iki yan ilk önce f (z) ile çarp l rsa! X z = f (z) + b n z X oldu¼gunu görülür. Bu ifadeden f (z) = z + a n z n ç kar l rsa, z + 2a 2 z 2 + ::: + na n z n + ::: = z + (a 2 + b ) z 2 + ::: + (a n + a n b + ::: + b n ) z n + ::: n=2 n= n= eşitli¼gi elde edilir. Bu eşitlikten, a 2 = b 2a 3 = a 2 b + b 2.. (n ) a n = a n b + ::: + b n sistemi elde edilir. ja 2 j = jb j 2 olup k = 2; 3; :::; n varsayal m. Bu durumda için ja k j k oldu¼gunu (n ) n (n ) ja n j = ja n b + ::: + b n j 2 ((n ) + (n 2) + ::: + ) = 2 2 ) ja n j n bulunur. Bu da ispat tamamlar. Teorem f (z) = a z + a 2 z 2 + ::: U da analitik ve a 6= olsun. E¼ger U da ise bu durumda f (z) ; U da univalenttir. z > f (z) Ispat. Teoremin hipotezleri göz önüne al nd ¼g nda f (z) fonksiyonun z = da basit s f r n n var oldu¼gu aç kt r. E¼ger < jz j < olacak şekildeki z noktas için f (z ) = 9

27 olmas durumunda z =f (z) fonksiyonunun z noktas nda basit bir kutbu olup z n civar nda key küçüklükte negatif de¼gerler al r, fakat bu (z =f (z)) > oluşu ile çelişir. Lemma 3.2. e göre her R < için U R = fz : jzj R < g da f (z) fonksiyonunun univalent oldu¼gu göstermek yeterli olacakt r. C R : z = R e it ; t 2; R < R < olsun. f (z), U R de bir s f r olup hiç kutup noktas olmad ¼g ndan argüment prensibine göre CR arg f (z) = 2 olup Teorem 2.9 dan f (z) fonksiyonu U R U R olmak üzere U R de univalenttir. Bu da bulunmak istenen şey olup ispat tamamlan r. Lemma f (z) 2 S olsun. f (U) nun konveks olmas için gerek ve yeter koşul her R 2 (; ) için f (U R ) nin konveks olmas d r. Ispat. Lemma 3.2. in ispat nda oldu¼gu gibi = f(u), U R = fz : jzj < R < g olacak şekilde R = f(u R ) olsun. n n konveks oldu¼gunu kabul edelim. Gösterilmesi gereken şey; w ve w 2 ; R de herhangi farkl iki nokta ise t 2 (; ) olmak üzere tw + ( t) w 2 do¼gru parças n n R de oldu¼gudur. z = f (w ) ve z 2 = f (w 2 ) olsun. Aç kt r ki z ; z 2 2 R dir ve varsayal m ki jz j < jz 2 j olsun. konveks oldu¼gundan dolay, U nun (z) = tf z z 2 z + ( t) f (z) t alt ndaki görüntüsü n n alt kümesidir. Bu durumda g (z) = f ( (z)) fonksiyonu U da analitiktir ve Schwarz lemmas ndaki jg (z)j < ve g () = şartlar n sa¼glar. Dolay s yla, jzj < için jg (z)j jzj ve böylece jg (z 2 )j = f (tw + ( t) w 2 ) jz2 j < R (3.2.9) elde edilir. R oldu¼gundan her t 2 (; ) için öyle bir z t 2 U R vard r ki f (z t ) = tw + ( t) w 2 2

28 dir. Fakat (3:2:9) dan j f (f (z t ))j = jz t j < R veya z t 2 U R d r. Böylelikle her tw + ( t) w 2 noktas R dedir. Tersine her R 2 (; ) için R konveks olsun. Bu durumda da konveks olur. Gerçekten, w ve w 2 ; da herhangi farkl iki nokta olsun. R yi R nin z = f (w ) ve z 2 = f (w 2 ) yi içerecek şekilde alal m. Bu durumda R = f (U R ) ; w ve w 2 noktalar n n her ikisini birden içerir. Böylece tw + ( t) w 2 do¼gru parças üzerindeki her nokta R de kal r. R oldu¼gundan bu do¼gru parças dad r. Bu da n n konveks oldu¼gunu gösterir. Lemma Bir f (z) 2 S fonksiyonunun konveks olabilmesi için gerek ve yeter koşul z fonksiyonunun y ld z l olmas d r. (Alexander 95) Ispat. Bir f(z) 2 S fonksiyonu için, z(z) z olup g(z) = z denilirse = z[ + zf (z)] z = + zf (z) z(z) zg (z) = = + zf (z) > z g(z) elde edilir. X Teorem Varsayal m ki f (z) = z + a n z n 2 S Bu durumda her n 2 N için ja n j dir. X Ispat. f (z) = z + a n z n oldu¼gundan n=2 n=2 fonksiyonu konveks olsun. X z = z + na n z n elde edilir. Lemma göz önüne al n rsa, f (z) fonksiyonu U da konveks oldu¼gundan z fonksiyonu U da y ld z l olup Teorem den n=2 n ja n j n veya ja n j bulunur. Bu da ispat tamamlar. 2

29 Tan m f (z) 2 S olsun. E¼ger U da z > f(z) eşitsizli¼gi sa¼glan yor ise, f (z) fonksiyonuna ( < ) mertebeden y ld z l fonksiyon denir. Bu fonksiyonlar n oluşturdu¼gu s n f S () ile gösterilir. Tan m f (z) 2 S olsun. E¼ger U da + zf (z) > eşitsizli¼gi sa¼glan yor ise, f (z) fonksiyonuna ( < ) mertebeden konveks fonksiyon denir. Bu fonksiyonlar n oluşturdu¼gu s n f ise C () ile gösterilir. Uyar S S () ve C C () d r. Lemma f (z) 2 C () olmas için gerek ve yeter koşul z 2 S () olmas d r. Lemma Bütün f (z) 2 C fonksiyonlar için U da z a f (z) a 2 sa¼glans n. Bu durumda U da eşitsizli¼gi sa¼glan r. z f (z) 4 ( a) a 2 Teorem f (z) 2 C () ise f (z) 2 S 2 dir. (Marx 932) Ispat. a = ; a 2 = dizisini oluştural m. Dizinin n.terimi, n 4 ( a ) = 4 ; a 3 = a n = :terimi ve 4 ( a n ) 22 4 ( a 2 ) = 3 ;...

30 rekürans formülünün yard m yla bulunabilir. Lemma ye göre e¼ger U da (I) a n 2 ve (II) z a n f (z) koşullar sa¼glan yor ise bu durumda z a n f (z) eşitsizli¼gi sa¼glan r. n = 2 için a n = a = ve Lemma tenn f (z) 2 C () ise z 2 S () oldu¼gundan yukar daki I ve II eşitsizlikleri sa¼glan r. Şimdi n = 2; 3; ::: için a n 2 ve lim n! a n = 2 oldu¼gunu gösterece¼giz. Di¼ger yandan a k = k 2k (3.2.) oldu¼gu gösterilirse bu iki varsay m ispatlanm ş olur. k = için a = olup do¼grudur. k = n için a n = n 2n a n = 4( a n ) do¼gru olsun. rekürans formülünden a n+ = = n 4 2n (n + ) 2 (n + ) olur ki bu da (3:2:) nun do¼gru oldu¼gunu gösterir. O halde ispat tamamlanm ş olur. Teorem deki sonucun daha geneli aşa¼g daki teoremle verilmiştir. Teorem f (z) 2 C () ( < ) ise () = 2 + p olmak üzere f (z) 2 S ( ()) d r. (Jack 97) Ispat. Bu teoremin ispat için teoremi şu şekilde ifade edilmesi daha uygun olacakt r: 23

31 E¼ger f (z) fonksiyonu ( 2 + 3) =2 ( + ) mertebeden konveks ise bu durumda f (z) fonksiyonu ( + ) =2 mertebeden y ld z ld r. h (z) = z f (z) = w (z) w (z) (3.2.) olarak al ns n. E¼ger U da jw (z)j < oldu¼gunu gösterilirse, bu durumda h (z), birim daireyi w = ( + ) do¼grusunun sa¼g ndaki yar düzleme dönüştüren 2 fonksiyonuna subordinedir. (3:2:) den z z h (z) f (z) = z (3.2.2) elde edilir. (3:2:2) nin her iki yan n n logaritmik türevi al n rsa, h (z) f (z) + h (z) = + zf (z) eşitli¼gi, buradan ise oldu¼gu bulunur. h (z) f (z) + h (z) = + zf (z) jzj = r çemberinin üzerindeki bir noktada jw (z)j maksimum de¼gerini al yorsa Lemma 2.2 kullan labilir, öyle ki bu noktada k olmak üzere + zf (z) = w (z) w (z) kw (z) kw (z) + w (z) w (z) (3.2.3) olur. Şimdi varsayal m ki M(r; w), w (z) nin jzj = r çemberi üzerindeki maksimum de¼geri olmak üzere, baz r < de¼gerleri için M(r; w) = olsun. Bunun gerçekleşti¼gi w (z) noktas nda jwj = dir. (Aç kt r ki w 6= dir.) Bu durumda w (z) = ( + ) ; w (z) 2 kw (z) = w (z) 2 k; 24

32 kw (z) w (z) = 2 k + + w (z) 2 k w (z) 2 k + 2 k + olarak bulunur. Böylece (3:2:3) den + zf (z) w (z) = w (z) 2 ( + ) + 2 k 2 k + = 2 ( + ) 2 k ( + ) kw (z) kw (z) + w (z) w (z) 2 k eşitsizli¼gi elde edilir. Fakat bu f (z) fonksiyonunun ( 2 + 3) =2 ( + ) mertebeden konveks olmas ile çelişir. O halde M(r; w) = olamaz. Bu her r < için do¼gru ve M(; w) = oldu¼gundan M(r; w) = olmal d r. O halde U da jw (z)j < dir. Bu da ispat tamamlar. Teorem daki sonuç için Jack, C () S ( ()) olacak şekilde en büyük () = reel say s n n ne olaca¼g problemini ortaya atm ş ve bu problemin çözümünü McGregor aşa¼g daki teorem ile vermiştir. Teorem f (z) 2 C () ( < ) ise 8 >< () = >: olmak üzere f (z) 2 S ( ()) dir [ 2 2 ] ; 6= 2 2 log 2 ; = 2 9 >= >; 3.3 p-de¼gerli Fonksiyonlar n Y ld z ll ¼g ve Konveksli¼gi Tan m 3.3. f(z) fonksiyonu birim dairede analitik olsun. w = f(z) eşitli¼ginin en fazla p tane kökü varsa f(z) fonksiyonuna p-de¼gerlidir denir. Daha önce normalize edilmiş univalent analitik fonksiyonlar için verdi¼gimiz y ld z ll k ve konvekslik tan mlar n p-de¼gerli analitik fonksiyonlar için genelleştirece¼giz 25

33 p katl bölgelelerde konveks küme kavram n aşa¼g daki yolla genelleştirilir. w b, bir p-katl R bölgesinin bir s n r noktas ve w b (r), w b ile ayn katta bulunan R nin w noktalar n n kümesi olsun ve jw her w b s n r noktas için w b (r) konveks olacak şekilde bir konveks bölge denir. w b j < r eşitsizli¼gi sa¼glans n. E¼ger R bölgesinin r > varsa, R ye lokal f(z), U da analitik ve f (re i ) 6= ise, bu durumda f (z) fonksiyonu jzj < r < dairesini, s n r sürekli dönen te¼gete sahip analitik bir f(re i ) e¼grisi olan bir R (r) bölgesine dönüştürür. bu te¼getle reel eksenin kesişimi ile oluşan aç olsun., n n bir fonksiyonu olarak tek olarak belirlenemez, fakat = iken nin muhtemel de¼gerlerinden birini seçerek bu durum sa¼glanabilir ve nin süreklili¼ginden yararlan l rsa 2 için () belirlenebilir. Bu durumda () eşitsizli¼ginin sa¼glanmas için gerek ve yeter koşul R (r) nin lokal konveks bölge olmas d r. Bu ise bilinen eşitli¼gidir. () = + zf (z) Tan m p pozitif bir tamsay olmak üzere, e¼ger f(z) fonksiyonu U da analitik, f() = ve her r için < r < aral ¼g nda olacak şekilde bir < var ve G (r; ) = + re i f (re i ) > ; 2 (3.3.) f (re i ) Z 2 G(r; )d = 2p (3.3.2) eşitli¼gi sa¼glan yor ise f(z) fonksiyonu C(p) nin eleman d r. E¼ger f(z) 2 C(p) ise f(z) fonksiyonu jzj < r < kümesini lokal olarak konveks bir bölgeye dönüştürür. Bundan başka ; jzj < r çemberinde tam olarak p tane kökü vard r, çok katl köklerin say s na tek noktadaki katl l k da say l r. E¼ger v bu köklerin say s ise 2p = Z 2 G(r; )d = = 2 i = 2 + 2v Z 2 Z 2 + re i f (re i ) d (3.3.3) f (re i ) f (z) dz A 26

34 dir. Sonuç olarak f(z) fonksiyonu U da en fazla p-de¼gerlidir. f(z) c nin köklerinin say s n veren çevre integrali, çevre boyunca arg(f(z) c) nin de¼gişimin 2 ile bölümünü verir. Fakat C(p) s n f n n bir fonksiyonu için R(r) yi s n rlayan e¼gri ; dan 2 ye giderken sürekli bir dönüşe sahip bir e¼gridir ve tüm dönüşlerin toplam say s tam olarak p keredir. Bu yüzden arg(f(z) c) nin de¼gişim 2p yi geçmez. Düzlemdeki bir bölgenin bir noktaya göre y ld z ll ¼g n uygun p-katl bölgelere genelleştirmek için bir w b s n r noktas n verilen noktaya birleştiren do¼gru göz önüne al ns n. w b ; p-katl R bölgesinin s n r olarak tan mlan rsa do¼gru, saat yönünün tersine sürekli bir dönüşe sahiptir. Bu durumda R verilen noktaya göre y ld z ld r denir. Şimdi F (z), U da analitik ve < r < için F (re i ) 6= olsun. E¼ger = arg F (re i ) ise, ; n n bir fonksiyonu olup tek olarak belirlenemez. Fakat = iken nin muhtemel de¼gerlerinden biri seçilerek bu durum sa¼glanabilir ve nin süreklili¼ginden yararlan l rsa 2 için () belirlenebilir. Bu durumda () olmas için gerek ve yeter koşul R (r) nin orjine göre y ld z l olmas d r. Bu ise bilinen eşitli¼gini gerektirir. () = z f (z) Tan m p pozitif bir tamsay olmak üzere, e¼ger F (z) fonksiyonu U da analitik, F () = ve her r için < r < aral ¼g nda olacak şekilde bir < var ve H(r; ) = re i F (re i ) > ( 2) (3.3.4) F (re i ) Z 2 H(r; )d = 2p (3.3.5) eşitli¼gi sa¼glan yor ise F (z) fonksiyonu S(p) nin eleman d r. (3:3:2), nin U da p tane kökü oldu¼gunu gösterirken (3:3:5) ise F (z) fonksiyonunun U da p tane kökü oldu¼gunu gösterir. F (z) fonksiyonunun U da p tane kökü oldu¼gunu görmek için ; dan 2 ye de¼gişirken, de¼gişimi ifade etmek üzere () = arg F (re i ) c ifadesini göz önüne alal m. c sabit olmak üzere, ; dan e de¼gişir. () = 2p oldu¼gu aç kt r. Ayr ca () ; her zaman 27 2 nin tam kat olup c nin jzj < r nin

35 görüntüsünün s n r noktas olan w b ye olan eşitli¼gini(yani; c = w b ) sa¼glayan c de¼geri d ş nda süreklidir. Bu noktalarda () de¼geri 2 s çrar. (3.3.4) ve (3.3.5) ten her c için p tane bunun gibi s n r noktas oldu¼gu ç kar labilir. Sonuç olarak jcj nin yeterince büyük de¼gerleri için () = olur ki () de¼gerindeki s çramalar 2 olmal d r ve her ve c için () 2p dir: p = için S(p) ve C(p) bilinen, s ras yla birebir konveks ve y ld z l fonksiyonlard r ve S() C() dir. p 2 için S(p)! C(p) oldu¼guna dikkat edilmelidir. Lemma 3.3. c 6= bir key sabit olsun. E¼ger f (z) 2 C(p) ise bu durumda F (z) = cz 2 S(p); tersine F (z) 2 S(p) ise f (z) 2 C(p) olup şeklindedir. Z z f (z) = c F (t) dt t Ispat. Belirtilen f (z) ve F (z) fonksiyonlar için zf (z) F (z) = z c + czf (z) cz = + zf (z) olur ve (3:3:5), (3:3:2) yi (3:3:4) ; (3:3:) i gerektirir. Tersi de sa¼gland ¼g ndan istenen gerçekleşir. Şimdi birim dairede analitik olan A (p) s n f n n tan m n verelim. Tan m A (p) ; U birim dairesinde analitik ve X f (z) = a n z n, a p 6= ; p 2 N (3.3.6) n=p şeklindeki seri aç l m na sahip fonksiyonlar n s n f d r. Tan m koşul f 2 A (p) fonksiyonunun p-de¼gerli y ld z l olmas için gerek ve yeter z > f (z) olmas d r. gösterilir. U da p-de¼gerli y ld z l f (z) 2 A (p) fonksiyonlar n n s n f AS (p) ile 28

36 Tan m f 2 A (p) fonksiyonunun p-de¼gerli konveks olmas için gerek ve yeter koşul + zf (z) > olmas d r. gösterilir. U da p-de¼gerli konveks f (z) 2 A (p) fonksiyonlar n n s n f AC (p) ile Lemma f (z) 2 A (p) ve K reel s n rl sabit olmak üzere olsun. Bu durumda < jzj < halkas nda z > K (3.3.7) f (z) f (z) 6= d r. Ispat. < jj < olacak şekilde bir noktas nda f(z); n.(n )mertebeden s f ra sahip olsun. Bu durumda f(z) fonksiyonu g () 6= olmak üzere f(z) = (z ) n g (z) şeklinde yaz labilir. Buradan z f (z) = z n (z ) n g (z) + (z ) n g (z) (z ) n g (z) nz = (z ) + zg (z) g (z) elde edilir. K sa bir hesaplamayla lim (z z! ) z f (z) = lim (z ) z! = lim z! nz + (z nz (z ) + zg (z) g (z) ) zg (z) g (z) bulunur. Bu ise z fonksiyonun z = da basit kutbu oldu¼gunu gösterir ki bu f(z) (3:3:7) ile çelişir. Çünkü (3:3:7) ; z fonksiyonun < jzj < halkas nda kutup f(z) noktas olmad ¼g n gösterir. O halde < jzj < halkas nda f (z) 6= d r. 29 6=

37 Lemma f (z) 2 A (p) ve K reel s n rl sabit olmak üzere olsun. Bu durumda < jzj < halkas nda + zf (z) > K (3.3.8) 6= d r Ispat. Lemma nin ispat na benzer olarak yap l r. Lemma f (z) 2 AS (p) olsun: Bu durumda Z z F (z) = c f (t) dt 2 AS (p + ) veya eşde¼ger olarak d r. zf (z) > (z 2 U) F (z) Ispat. D(z) = zf (z) = zf(z) ve N(z) = F (z) olsun. z = için f(z) = oldu¼gundan N() = D() = ve D(z); orjine göre p + de¼gerli y ld z l bir fonksiyondur, çünkü f (z) 2 AS (p) olmak üzere d r. zd (z) z [zf(z)] z = = + > D (z) zf(z) f(z) Di¼ger yandan basit bir işlem ile bulunur. Buradan D (z) N (z) [zf(z)] f(z) + z = = F (z) f (z) z = + > f(z) N (z) > D (z) 3

38 elde edilir. Lemma 2.4 ün koşullar sa¼gland ¼g na göre N (z) > D (z) olur ki bu da zf (z) > (z 2 U) F (z) olu¼gunu, yani F (z) 2 AS (p + ) olmas n gerektirir. Böylece ispat tamamlan r. Lemma f (z) 2 AS (p) ise bu durumda f (z), U da p-de¼gerlidir. n o Ispat. f (z) 2 AS (p) oldu¼gundan z > olup Lemma göz önüne f(z) al n rsa < jzj < halkas nda f (z) 6= d r. Bu ise f (z) nin sadece z = da p.mertebeden s f r oldu¼gunu gösterir. O halde key bir r; < r < say s için Z 2 re i f (re i ) d = 2p f(re i ) olur. Tan m ten f (z) nin, U da p-de¼gerli oldu¼gunu gösterir. Lemma f (z) 2 AC (p) ise bu durumda f (z), jzj < de p-de¼gerlidir. n o Ispat. f (z) 2 AC (p) oldu¼gundan + zf (z) > olup Lemma e göre < jzj < halkas nda 6= d r. Bu ise nin sadece z = da p.mertebeden s f r oldu¼gunu gösterir. O halde key bir r; < r < say s için Z 2 + re i f (re i ) d = 2p f (re i ) olur. Tan m ten f (z) nin, U da p-de¼gerli oldu¼gunu ç kar labilir. Tan m gerek ve yeter koşul f 2 A (p) fonksiyonunun p-de¼gerli -mertebeden y ld z l olmas için z > f (z) olmas d r. U da p-de¼gerli y ld z l f (z) 2 A (p) fonksiyonlar n n s n f AS (p; ) ile gösterilir. 3

39 Tan m f 2 A (p) fonksiyonunun p-de¼gerli -mertebeden konveks olmas için gerek ve yeter koşul + zf (z) > olmas d r. U da p-de¼gerli konveks f (z) 2 A (p) fonksiyonlar n n s n f AC (p; ) ile gösterilir. Uyar 3.5. Aç kt r ki = için MS (p; ) = MS (p) ve MC (p; ) = MC (p) d r. Ve MS (p; ) MS (p) ve MC (p; ) MC (p) dir.ayr ca p = için MS (; ) = MS () ve MC (; ) = MC () d r. Tan m (3:3:5) de a p = olmas durumunda elde edilen A (p) s n f n n n p- de¼gerli alts n f n e A (p) ile gösterelim. Aç kt r ki yukar daki tüm tan mlamalar ve lemmalar bu s n f için de geçerlidir. Teorem 3.3. f(z) 2 e A (p) ; < p, p 2 N ve z 2 U olsun. O zaman d r. z f(z) p p zf ) (z) > f(z) Teorem f(z) 2 e A (p) ; < p, p 2 N ve z 2 U olsun. O zaman d r. + zf (z) p p ) + zf (z) > Teorem f(z) 2 e A (p) ; < p, p 2 N ve z 2 U olsun. O zaman d r. p f z p p ) (z) > z p 3.4 Meromorf Fonksiyonlar n Y ld z ll ¼g ve Konveksli¼gi z = noktas nda kutup noktas bulunan ve D := fz 2 C : < jzj < g delinmiş birim dairesinde analitik ve univalent olan fonksiyonlar n y ld z ll k ve konvekslik tan mlar aşa¼g daki gibi verilmiştir. 32

40 Tan m 3.4. E¼ger U birim dairedesinde meromorf bir f (z) fonksiyonu ve Z 2 z < f(z) z d = 2 z = re i ; < r < f(z) özelliklerini sa¼gl yor ise f (z) fonksiyonuna U da univalent meromorf y ld z l fonksiyon denir. Tan m E¼ger U birim dairedesinde meromorf bir f fonksiyonu ve Z 2 + zf (z) < + zf (z) d = 2 z = re i ; < r < özelliklerini sa¼gl yor ise f (z) fonksiyonuna U da univalent meromorf konveks fonksiyon denir. Şimdi literatürde s kça araşt r lan univalent meromorf fonksiyonlar n M s n f n n tan m n, bu s n f n y ld z l ve konveks olan alts n ar n n tan m n ve birbirleriyle olan ilişkilerini ifade eden lemma ve teoremleri verelim. Tan m D bölgesinde analitik ve univalent olan f(z) = z + a n+z n+ + a n+2 z n+2 + = z + X k=n+ a k z k (n 2 N) şeklindeki seri aç l ml fonksiyonlar n s n f M(n) ile gösterilir ve bu tür fonksiyonlar meromorf fonksiyondur. Bu tür foksiyonlar z = noktas nda singüler noktaya sahip olup ve e¼ger, ilgili seri aç l m ndaki bütün a k katsay lar negatif ise ilgili seri aç l m na sahip olan fonksiyonlara negatif katsay l meromorf fonksiyonlar, pozitif ise pozitif katsay l meromorf fonksiyonlar ve kompleks ise ilgili fonksiyonlara kompleks katsay l meromorf fonksiyonlar ad verilir. n = al n rsa M = M s n f n elde edilir. Bu s n f ile ilgili tan m ve teoremler aşa¼g da verilmiştir. 33

41 Tan m E¼ger bir f (z) 2 M fonksiyonu birebir ve f(d) nin tümleyeni orjine göre y ld z l ise f (z) fonksiyonuna y ld z ld r denir.(miller vd. 2) Tan m E¼ger D de f (z) 6= ve z > (z 2 D) f(z) eşitsizli¼gi sa¼glan yor ise, bu durumda f (z) 2 M fonksiyonuna D de orjine göre y ld z ld r denir. Meromorf y ld z l fonksiyonlar n s n f MS* ile gösterilir. Tan m E¼ger bir f (z) 2 M fonksiyonu birebir ve f(d) nin tümleyeni orjine göre konveks ise f (z) fonksiyonuna konvekstir denir. Tan m E¼ger D de 6= ve + zf (z) > (z 2 D) eşitsizli¼gi sa¼glan yor ise, f (z) fonksiyonuna D de konvekstir denir. Meromorf konveks fonksiyonlar n s n f MC ile gösterilir. Tan m E¼ger D de f (z) 6= ve z > (z 2 D) f(z) eşitsizli¼gi sa¼glan yor ise, f (z) fonksiyonuna ( < ) mertebeden meromorf y ld z l fonksiyon denir. Bu fonksiyonlar n oluşturdu¼gu s n f MS*() ile gösterilir. Tan m E¼ger D de 6= ve + zf (z) > (z 2 D) eşitsizli¼gi sa¼glan yor ise, f (z) fonksiyonuna ( < ) mertebeden meromorf konveks fonksiyon denir. Bu fonksiyonlar n oluşturdu¼gu s n f ise MC () ile gösterilir. Aç kt r ki = için MS*() = MS ve MC () = MC d r. MS*() MS ve MC () MC dir. Di¼ger yandan 34

42 Lemma 3.4. f (z) 2 MC () ancak ve ancak z 2 MS*() d r. Lemma p(z), U da analitik, p() = ve < olmak üzere p(z) zp (z) > p(z) (3 2) 2 ( ) ; z 2 U oldu¼gunu varsayal m. Bu durumda U da fp(z)g > olur. Ispat. w(z), U da analitik ve w() = olmak üzere p(z) = ( ) + w(z) w(z) + (3.4.) olsun. Her z 2 U için jw(z)j < oldu¼gunu göstermek yeterlidir. E¼ger jzj < jz j eşitsizli¼gini sa¼glayan z ler için jw(z)j < ve jw(z )j = olacak şekilde bir z 2 U varsa bu durumda Lemma 2.2 den z w (z ) = kw(z ); k elde edilir. w(z ) = e i yaz l rsa, (3.4.) den z p (z ) p(z ) = = = = = 2( )z w (z ) ( w(z )) 2 ( ) +w(z) w(z) + 2( )ke i ( e ii ) 2 ( ) +ei e i + 2( )k 2( cos ) 2i sin ( ) + 2( cos ) ( )k ( cos ) + i( ) sin ( )k ( ( cos ) i( ) sin ) 2 ( cos ) 2 + ( ) 2 sin 2 bulunur. Buradan z p (z ) = p(z ) ( )k ( cos ) 2 ( cos ) 2 + ( ) 2 sin 2 (3.4.2) oldu¼gu elde edilir. cos = t denirse t 2 olur ve g (t) = t 2 t 2 + ( ) 2 (2t t 2 ) 35

43 şeklinde yaz l rsa, (3.4.2) şu şekilde ifade edilebilir; z p (z ) = ( )kg (t) p(z ) dir. Basit bir işlem ile g (t) fonksiyonunun minimum de¼gerini t = noktas nda ald ¼g gösterilebilir ve olur. Böylelikle ve p(z ) lim g (t) = t! z p (z ) p(z ) 2 ( ) 2 2 ( ) z p (z ) + p(z ) 2 ( ) = (3 2) 2 ( ) elde edilir. Bu ise varsay mla çelişece¼ginden her z 2 U p(z) nin tan m ndan için jw(z)j < elde edilir. p(z) = ( ) + w(z) w(z) + + w(z) p(z) ) = > w(z) ) (p(z)) > bulunur. Böylece ispat tamamlanm ş olur. Lemma nin uygulanmas ile aşa¼g daki sonuca ulaş l r. Teorem 3.4. < olmak üzere f (z) 2 MC Ispat. p(z) = z f(z) olsun. p() = oldu¼gu aç kt r. Buradan p(z) zp (z) p(z) = bulunur. Lemma göz önüne al n rsa elde edilir. Teorem 3.4.de = (3 2) ise f (z) 2 MS () d r. 2( ) + zf (z) (3 2) 2( ) al n rsa aşa¼g daki sonuca ulaş l r: z >, yani f (z) 2 MS () f(z) 36

44 Sonuç 3.4. f (z) 2 M, D de f (z) 6= ve < olmak üzere her z 2 U için + zf (z) > olsun. Bu durumda her z 2 U için z > f (z) 4 q elde edilir. Sonuç 3.4. de e¼ger! al n r ise şu sonuç elde edilir: Sonuç f (z) 2 MC () ise bu durumda f (z) 2 MS () olur. Uyar 3.4. f (z) = z olsun. D de f (z) 6= oldu¼gu görülür. Di¼ger yandan ( z) 2 z f (z) = + z z ve bulunur. + zf (z) = + z2 z 2 Uyar Sonuç 2 den, e¼ger f fonksiyonu mertebeden meromorf konveks fonksiyon ise bu durumda en az mertebeden meromorf y ld z l bir fonksiyondur. 3.5 p-de¼gerli Meromorf Fonksiyonlar n Y ld z ll ¼g ve Konveksli¼gi Tan m 3.5. E¼ger U birim dairesinde meromorf bir f (z) fonksiyonu olsun. E¼ger f (z) ; jzj = r; < r < çemberlerini orjine göre y ld z l bir e¼griye dönüştürüyorsa ve bu e¼gri üzerindeki bir noktay orjine birleştiren vektör 2p aç l k bir sürekli dönüş yapacak şekilde bir < < say s var ise bu f (z) fonksiyonuna p-de¼gerli y ld z l bir fonksiyondur denir. Analitik olarak ise f fonksiyonunun şu özellikleri sa¼glamas gerekmektedir: ve z < f(z) 37