1. ABC dik üçgen. BD = 3 br DC = 5 br AC = x br. B AB = y br olduğuna göre x 2 y 2 farkı kaçtır? 2. ABC dik üçgen. AB = 3 br. DC = 5 br AC = x br

Transkript

1 011 GeoUmetri Notlrı Mustf YĞI, Yükseklik Teoremi Öğrenilik ıllrımn eri, hngi geometri kitını elime lsm, İç çıort Teoremi, ış çıort Teoremi, Kenrort Teoremi zılrını görükçe gözüm hep Yükseklik Teoremi ni rı. ir türlü ulmım. üüüne e ir şe eğişmei. Hl ulmıorum. Yüksekliğe neen üve evlt mumelesi pılığını ir türlü nlmım ve içime siniremeim. Os u ismi hk een olukç güzel ir teorem vr. ı konulms her geometri kitın oln ve olmsı gereken ir teorem. elki e çok se ve sit ir teorem oluğu için isim verilmior m ir teoremi güçlü pn, zor nlşılmsı filn eğilir ki, gee oluğu sonuçlrır. Şimi hep irlikte u teoremi öğrenelim, rınn ne işler eeriğine klım. Yükseklik Teoremi. üçgenine n inen ükseklik ğı olsun. Ölese =. Yni, kenr uzunluklrı elli oln nki üçgene göre = p k. Knıt: ve ik üçgenlerine [] kenrının ortk olmsınn flnğız. Her iki üçgene e isgor teoremi zılırs ortk ifeen kurtulunrk sonu ulşılır. p k Örnek. ir üçgen = 01 r = 010 r = r = r oluğun göre frkı kçtır? ) 010 ) 011 ) 01 ) 0 ) 80 Çözüm: Yükseklik teoremine göre; nlrın kreleri frkı tnlrın kreleri frkın eşit oluğunn (01 010)(01 010) 0 80 olrk ulunur. oğru evp:. 1. ik üçgen = 3 r = r = r = r oluğun göre frkı kçtır? ) 1 ) ) ) 30 ) = + p = + k Üstteki eşitlikten lttki eşitliği çıkrtırsk, rığımız = p k eşitliğine erişiriz. şitliği + k = p + şekline üzenleip, Çprzlrın kreleri toplmı irirlerine eşittir ie kıl tutilirsiniz fkt u teoremi, Ynlrın kreleri frkı, tnlrın kreleri frkın eşittir ie kıl tutlım, çünkü u hli ilere ize çok lzım olk.. ik üçgen = 3 r 3 = r = r = r oluğun göre + toplmı kçtır? ) 1 ) 31 ) 3 ) 3 ) 1 13

2 Mustf YĞI Yükseklik Teoremi 3. ik üçgen,, oğruş = irim z = irim = z irim = 3 oluğun göre z = + eşitliğini sğln ve eğerleri için (, ) sırlı ikilisi şğıkileren hngisiir?. ir kre,, oğruş = 8 r = 10 r = r oluğun göre kçtır? ) 3 ) ) ) ) 10 8 ) ( 1, 1) ) ( 1, 1) ) (1, 1) ) (1, 1) ) ( 1, 1). ir kre [] = r = r = r oluğun göre kçtır? Örnek. ir kre,, oğruş = r oluğun göre frkı kçtır? ) 1 ) 3/ ) ) / ) 3 ) ) 1 ) ) 3 ) Çözüm: erhl ile noktlrını irleştirelim. Krenin ir kenr uzunluğu r ve ununl irlikte = r olsun.. ir kre [] = r = r oluğun göre trlı ik üçgeninin lnı kç r ir? ) 18 ) ) 30 ) 3 ) Oluşn üçgenine [] ükseklik oluğunn, ükseklik teoremine göre = olur. iğer nn ik üçgenine isgor Teoremi nen + 3 = oluğunn = 3 ulunur. oğru evp:. 133

3 Mustf YĞI Yükseklik Teoremi Teorem [ikgen]. Köşegenleri ik kesişen ir örtgenin krşılıklı kenr uzunluklrının kreleri toplmı irirlerine eşittir. Yni nki şekle göre; + = +. Knıt: slın nı kpı çıkn iki rı knıt sunğız. İkinisi, ükseklik teoreminin mhretini göstereek. irini ol. Uzunluklrı lt şekileki gii lnırlım. z ve ik üçgenlerine isgor Teoremi zıp trf trf topllım: + = z + t = oluğunn + + z + t = + ele eilir. Şimi e ve ik üçgenlerine isgor Teoremi zıp trf trf toplğız. z + = + t = oluğunn + + z + t = + ele eilir. emek ki gerçekten + = + imiş. t Örnek. ir örtgen = r = + 8 r = + 9 r = + 3 r oluğun göre kçtır? ) 1 ) ) 3 ) ) Çözüm: ikgen örtgen teoremine göre + ( + 9) = ( + 3) + ( + 8) = = + 3 = 8 eşitliğinen = ulunur. oğru evp:.. ir örtgen = irim = 3 irim = irim oluğun göre = kç irimir? ) 3 ) 10 ) 11 ) 3 ) İkini ol. ikkt eileek olurs şeklimize iki et ükseklik teoremi ugulnilir. üçgeninen = t üçgeninen e = t oluğunn = ni + = + ulunur. t 8. ir örtgen = r = r oluğun göre toplmı kçtır? ) 1 ) 3 ) ) ) 9 Köşegenleri ik kesişen öle örtgenlere ikgen örtgen enir. u teoremi e ikgen örtgenlere krşılıklı kenr uzunluklrının kreleri toplmı irirlerine eşittir ie kıl tutrız. 13

4 Mustf YĞI Yükseklik Teoremi Teorem [Çprz]. noktsı, üçgenine n inen ükseklik üzerinese + = +. Yni nki gii ir şekile; + = ir üçgen = 1 irim = irim = = irim oluğun göre kçtır? 1 Knıt: Yine iki knıt pğız. irini ol. = p r ve = k r olsun. p üçgenine ükseklik teoreminen gelen = p k eşitliğile üçgenine ükseklik teoreminen gelen = p k eşitlikleri irlikte üşünülürse = çıkğınn + = + oluğu knıtlnır. u teorem kesinlikle ennetlik! İkini ol. üçgenini [] üzerinen ktllım. noktsının geliği ere ielim. ' k Şekilen e görülüğü üzere; oluşn örtgeni ir ikgen örtgenir. u üzen + = +. Sonuç: öle ir şekile Tüm çprz uzunluklrın kreleri toplmlrı irirlerine eşittir. + k = + p u + k = v + p + v = + u u p v k ) ) ) ) ) Teorem. ik üçgenine ve ik kenrlr üzerine herhngi iki nokt ise + = +. Yni nki gii ir şekile; + = +. Knıt:,,, üçgenlerine isgor Teoremi ugulnıp sonuçlr ortk çözülürse istenen ele eilir m unu pm hiç nietimiz ok. kın ne pğız? üçgenini [] kenrı üzerinen sol oğru ktlrsk irz öne görüğümüz teoreme ugun ir şekil ele eeriz. + = + Çprzlrın kreleri toplmı irirlerine eşittir eine u teorem e knıtlnmış olur. 9. kçtır? kçtır? 11 13

5 Mustf YĞI Yükseklik Teoremi Şimi e u teoremin sonuu oln çok önemli ir teorem vereeğiz. Teorem. ir ikörtgenin içine lınn herhngi ir noktnın ikörtgenin zıt köşelerine oln uzklıklrının kreleri toplmı irirlerine eşittir. Knıt: Yine görsel ir knıt pğız, okur eirsel knıtını mutlk kenisi pmlıır. ' ' ' 1. 3 ikörtgense =? ' ikörtgense =? Üst şekileki gii üçgenini uzunluğu kr sğ ni ile noktsı çkışn ek kırırsk nı kurl ine krşımız çıkr. + = + eki nokt ışrı lıns olur muu? klım le ettiğimiz son ikörtgene ktlm pğız. ' 1. ikörtgense =? 1 ' ' '' '' ' ' Üst şekile trlı oln üçgeni sol oğru ktlrsk nı sonu ulşırız. Yni, hâl + = +. Şimi e noktnın ikörtgen üzerine lınığın eşitliğin ozulmığını knıtllım. Snırım en kolı u olk. Yukrki ikörtgenin kıs kenrlrının eşit oluğun ikkt eilerek trnn üçgenlere isgor Teoremi ugulnırs + = + eşitliğinin ozulmm krrlı oluğunu görürüz. '' '' ikörtgense =? 1. 3 ikörtgense =?

6 Mustf YĞI Yükseklik Teoremi 1. ir ikörtgen iç ölgee ir nokt = r = r = 10 r = r oluğun göre kçtır? ) ) 38 ) ) ) 8 10 Veriğimiz tüm u teoremlerin tersi e oğruur. ir tnesini knıtlrsk hepsi knıtlnmış olur zten. Teorem. Krşılıklı kenr uzunluklrının kreleri toplmı iririne eşit oln örtgenler, ikgenir. Knıt: + = + eşitliğini sğln örtgenimiz KL olsun. K L 18. ir ikörtgen ış ölgee ir nokt + = 89 r Çevre() = r Üst şekileki gii ve K köşelerinen L köşegenine prleller çizelim. ve L köşelerinen u oğrulr ikler çıkrsk lt şekileki gii ikörtgenini ele eeriz. r p oluğun göre ln() kç r ir? ) 0 ) ) 0 ) ) ir ikörtgen ış ölgee ir nokt m() = 3 oluğun göre m() kç ereeir? ) 18 ) 30 ) 3 ) ) 3 o z K t Nokt ve uzunluklrı üst şekileki gii isimlenirip şllım: + = + + r + + t = + z + + p r + t = z + p r p = z t (r p)(r + p) = (z t)(z + t) Şekle göre r + p = z + t oluğunn seleştirme pılırs r p = z t ele eilir. Şimi, hem r + p = z + t hem e r p = z t oluğunn, eşitlikler trf trf toplnır ve çıkrtılırs, r = z ve p = t oluğu görülür. K ve K irer ikörtgen oluğunn KL örtgeninin ikgen oluğu knıtlnmış olur. 0. kçtır? 9 L 90 13

7 Mustf YĞI Yükseklik Teoremi ik üçgenlerle lklı son ir teoremimiz h vr. Onu verip konumuz nokt kolım. rnot Teoremi. ir üçgenin iç ölgesine lınn isteksel ir noktn üçgenin kenrlrın inirilen ikmelerin üçgenin kenrlrını ırığı prçlrın irer tlrk kreleri toplmı irirlerine eşittir. Yni şekle göre; + + e = + + f. Knıt 1. Rstgele lınn nokt olsun. noktsını üçgenin köşelerine irleştirelim. + = f + + = + e + = + Trf trf toplm ve sonrsın seleştirmeler pılırs; + + e = + + f ulunur. Knıt. = r, = r ve = z r olsun. f Sırsıl, ve üçgenlerine ükseklik teoremini ugulğız. = z = z = e f eşitlikleri trf trf toplnırs sol trf 0 çıkğınn + + e = + + f eşitliği knıtlnmış olur. z e f e 1. ir üçgen,, = r = r = 10 r = 9 r = r = r ise ten küçük en üük oğl sı kçtır? ) 3 ) ) ) ) Şimi e noktsı üçgenin üstüne olurs rnot Teoremi nin nsıl ir hl lığın kğız. [] keseni çizilirse ve ik üçgenlerinin ortk hipotenüse ship oluklrı görülür. f e 10 + = + + ( ) = f + ( e ) + + e = + + f. Görülüğü üzere formülümüze ir eğişiklik olmı. Hl irer tlrk kreler toplmını irirlerine eşitlioruz. Not: rnot teoremi tüm çokgenler için geçerliir! 9 Örnek. ir üçgen,, = r = = r = r = r = + 1 r oluğun göre kçtır? +1 Örnek. ir üçgen =, = r = r = 9 r oluğun göre = kç r ir? 9 ) ) ) ) ) 8 Çözüm: rnot Teoremi ne göre ( + 1) + + = = = eşitliğinen = olrk ulunur. oğru evp:. ) 3 ) ) ) ) Çözüm: rnot Teoremi ni sorumuz ugulrsk = oluğunn ve eğerleri seleşeektir. O hle + = 9 + eşitliğinen = 9 ni = ulunur. oğru evp:. 138

8 Mustf YĞI Yükseklik Teoremi. ir üçgen ve = = irim = 13 irim = 0 irim 0 oluğun göre = kç irimir? ) 18 ) 1 ) 13 ) 1 ) ir üçgen ve = 3 = irim = 3 irim = irim oluğun göre = kç irimir? ) ) 3 ) 11 ) 3 ) 13 Son olrk noktsının üçgenin iç ölgesine eğil e ış ölgesine lınmsı urumun rnot Teoremi nin nsıl ugulnğını nltğız. noktsını üst şekileki gii lıp üçgenin kenrlrın (ve uzntılrın) ikmeler inirelim. Uzunluklr şekileki gii olsun. le eilen ( + ) + = + (e + f) + = + e + = + eşitlikleri trf trf toplnırs ( + ) + + e = + + (f + e) ele eilir. Örnek. ir üçgen,, 8 = = r = r = r = 8 r oluğun göre kç r ir? ) 1 ) 13 ) 1 ) 18 ) 1 f e Çözüm: rnot Teoremi ne göre + + = = = 1 eşitliğinen = 1 r olrk ulunur. oğru evp:.. ir üçgen ve = = irim = + 3 irim = + irim = + irim oluğun göre kçtır? ir üçgen,, = r = r = r = r = r oluğun göre kç r ir? ) 1 ) ) 3 ) ) ) 3 ) 31 ) 30 ) 9 ) 139