ÜNİTE DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER. 5.1 : Dörtgenler ve Özellikleri 5.2 : Özel Dörtgenler 5.3 : Çokgenler

Transkript

1 5 ÜNİT ÖRTGNLR V ÇOGNLR 51 : örtgenler ve Özellikleri 5 : Özel örtgenler 53 : Çokgenler ünymız yklşık olrk küre biçimindedir Onun üzerinde bir üçgen çizmeye klktığımızd o üçgenin iç çılrının toplmı 180 dereceden büyük olur Yukrıdki resim ve şekillerde bu durum gösterilmektedir Oys ortdki düzlem hritd bir üçgenin iç çılrının toplmı 180 derecedir üresel Geometri Öklid (uclides) dışı geometrilerin vrlığı, 19 yüzyıld keşfedildi unu keşfeden dört mtemtikçi şunlrdır: Guss ( ), N Lobchevsky ( ), J olyi ( ) ve Riemnn ( ) u keşif, üny nın düz değil de yuvrlk olduğunun kıl düzeyindeki keşfinden sonr orty çıkmış ve Öklid geometrisinin mutlk doğru olmdığı nlşılmıştır vid ilbert, 1899 d Geometri nin Temelleri (Grundlgen der Geometri) dlı ypıtınd Öklid in ypmk istediğini (bugünkü nlmd) çok dh mtemtiksel olrk ypmıştır Öklid geometrisi düzlemde geçerlidir ve yerel olrk iyi bir yklştırmdır üny o denli büyüktür ki, küçük uzklıklrı ölçerken bu üny nın eğriliği göze çrpmz Örneğin önümüzdeki kâğıt düzdür ve ord çizeceğimiz üçgenin iç çılrı toplmı 180 derecedir Sonr mtemtikçiler Öklid-dışı geometrileri keşfettiler Prlel doğrulr, düz bir yüzey üzerinde kesişmez üresel bir yüzeyde bütün doğrulr kesişebilir iperbolik bir yüzeyde kesişmeyen birçok doğru bulunur Öklid geometrisini, bir duvr ustsı kullnbilir; m okynust giden bir denizci kullnmz Öklid-dışı geometrilerin keşfedilmesi, slınd bin yıllr dyns d bzı sistemlerin biricik olmdığını gösterdi Öklid geometrisi, kendi içinde tutrlıdır ve olnklı geometri sistemlerinden sdece biridir Yukrıdki şekilde görüldüğü gibi üny üzerindeki bir üçgenin iç çılrı toplmı 180 dereceden büyüktür; m bir hrit üzerindeki üçgenin iç çılrı toplmı 180 derecedir ynk: wwwtominsnnet 107

2 51 : ÖRTGNLR V ÖZLLİLRİ 511: örtgenin Temel lemnlrı ve Özellikleri ÖRTGNİN TML LMNLRI V ÖZLLİLRİ γ θ d γ ß c α ß α b θ ışbükey dikdörtgen İçbükey dörtgen erhngi üçü doğrusl olmyn dört noktyı birleştiren doğru prçlrının oluşturduğu kplı şekle dörtgen, kplı şeklin içine dörtgenin iç bölgesi, dışın dörtgenin dış bölgesi, dörtgen ile iç bölgesinin birleşimine dörtgensel bölge denir u kitpt dörtgensel bölgenin lnı yerine kısc dörtgenin lnı deyimini kullncğız Yukrıdki şekillerde verilen dörtgenlerinde,, ve noktlrı dörtgenin köşeleri, [], [], [] ve [] dörtgenin kenrlrı, =, = b, = c ve = d kenr uzunluklrıdır (, b, c, d + ) Şekillerde ölçüleri m ( W ) = α, m( W ) = β, m ( X ) = θ ve m( X ) = γ oln çılr iç çılr, iç çılrın bütünleyenlerine ise dış çılr denir ışbükey örtgen: ir dörtgende tüm iç çı ölçüleri 180 dereceden küçük ise bütün köşelerde bükülme şeklin dışın doğru olduğundn bu tür dörtgenlere dışbükey (konveks) dörtgen denir İçbükey örtgen: örtgende en z bir iç çı ölçüsü 180 dereceden büyük ise o köşedeki bükülme şeklin içine doğru olduğundn bu tür dörtgenlere iç bükey (konkv) dörtgen denir dörtgeninde rdışık olmyn köşeleri birleştiren [] ve [] n köşegen dı verilir u kitptki nltımd dörtgen denilince dışbükey dörtgen nlşılmlıdır 108

3 örtgende çılr İnceleyerek Öğrenelim 1 İçbükey ve dışbükey dörtgenlerde iç çı ölçülerinin toplmı 360 olur Gösterelim γ γ 1 α α α 1 ß α 1 1 ß Yukrıdki şekillerde görüldüğü gibi bir dörtgeninde [] köşegeni çizlirse elde edilen ve üçgenlerinde, + α1+ ß+ θ1 = olur u eşitlikler trf trf toplnırs, α+ γ + θ = 180 ( 1 + ) + ß + ( 1 + ) + γ = ß + + γ = 180 = 360 bulunur örtgende dış çı ölçüleri toplmı 360 olur Gösterelim d γ θ c Şekilde dörtgeninde iç çılrın bütünleyenlerinin ölçüsü, b, c ve d dış çı ölçüleridir α β b un göre, + b + c + d = (180 α ) + (180 β ) + (180 ) + (180 γ ) = 180 ( α + β + + γ ) = = 180 = 360 olur 3 Şekildeki içbükey dörtgeninde verilenlere göre, θ = α + β + olur Gösterelim α ß θ Şekilde görüldüğü gibi = {} olsun % m ( ) = α+ θ ve üçgeninde dış çı ölçüsü = α + β + olur α ß 109

4 70 bir dörtgen, [], [], [] ve [] iç çıortylrdır Şekilde m ( ) = 70c % ise m ( ) = kç derecedir? ullım d d L 70 c c b b Şekilde [], [], [] ve [] çıorty olduğundn dörtgeninde iç çı ölçüleri toplmı, + b + c + d = b + c + d = 180 olur iğer yndn ve üçgeninde, + + b+ = 180c c+ d+ 70c = 180c 1 olduğundn bu eşitlikler trf trf toplndığınd, + b+ c+ d = = 180 = 110 bulunur c 10 dörtgeninde, [] ve [] dış çıorty, m ( X ) = 90c m( X ) = 10c, olduğun göre, % m( ) = kç derecedir? ullım Şekilde % % m ( ) = m( ) = * % % m( ) = m ( ) = b olsun b b dörtgeninde dış çı ölçülerinin toplmı, + b = b = 10 + b = 105 bulunur Sonuçt üçgeninde, + + b = = 180 = 75 olur 110

5 60 80 bir dörtgen [] ve [] çıortylr m ( W ) = 60c ve m( W ) = 80c olduğun göre m ( % ) = kç derecedir? ullım Şekildeki gibi, d d c % % c m ( ) = m( ) = α % % olsun m ( ) = m( ) = β dörtgeninde, m ( W) + m( W ) + m ( X) + m( X ) = 360c c + d = 360 c + d = = 0 c + d = 110 ve üçgeninde + c + d = = 180 = 70 bulunur bir dikdörtgen ~ ~ [] ve [ çıortylr m( W ) = 70c m( X ) = 130c olduğun göre m( % ) = kç derecedir? ullım ~ ~ c c m ( % ) = m ( % ) = % % m ( ) = m ( ) = c olsun ve dörtgenlerinde iç çı ölçüleri toplmı 360 olduğundn, c = 360 = c = 70 + = = 130c- 70c 60c = = 30c bulunur 111

6 İnceleyerek Öğrenelim 1 b b ir dörtgeninde rdışık köşelerdeki iki iç çıorty [] ve [] olsun Şekilde, % m ( X) + m( X ) m( ) = = olur Gösterelim dörtgeninde iç çı ölçüleri toplmı, m ( W) + m( W ) + m ( X) + m( X ) = 360c & + b+ m ( X) + m( X ) = 360c m ( X) + m( X ) ( + b) + = 180 ve üçgeninde ( + b) + = 180 olduğundn, m ( X) + m( X ) = olur c c dörtgeninde rdışık olmyn iki köşedeki iç çıorty [] ve [ olsun Şekilde, [] ve [ çıortylrının belirttiği dr çının ölçüsü, % m( ) = = m( X )- m( W ) olur Gösterelim Şekildeki iç bükey dörtgeninde ve dörtgeninde iç çı ölçüleri toplmı 360 olduğundn; + m( W ) + c + (180 + ) = 360 = + m( X ) + c m( X )- m( W ) m( W ) + = m( X) - & = m( X) - m( W) & = bulunur Yukrıdki şekilde dörtgeninin çiziminde, m( X ) m( W ) & m( X )- m( W ) 0 & m( X )- m( W ) = m( X )- m( W ) olduğun dikkt edelim Ynd verilen dörtgeninde [ ve [) iç çıorty, m ( W ) = 80c ve m ( X ) = 10c olduğun göre kç derecedir? ullım [ ve [) çıortylrının belirttiği dr çının ölçüsü şekilde, = m ( W) - m ( X) 10c- 80c = = 0c bulunur 11

7 dörtgeninde; 160 G [] ve [] dış çıortylr, m ( W ) = 90c m ( X ) = 160c ise m( % ) = kç derecedir? ullım Şekilde m( ) = m( ) = ve m( ) = m(g ) = ß olsun dörtgeninde, köşesinde dış çı ölçüsü 90 ve köşesinde dış çı ölçüsü = 0 olduğundn dış çı 160 ölçüleri toplmı, 0 G = 360 ( + ) = 50 + = 15 bulunur içbükey dörtgeninde, 160 = + + ve + = 15 olduğundn, 160 = + 15 = 35 bulunur 130 dörtgeninde [] iç çıorty, [] dış çıorty m ( W ) = 90c, m( X ) = 130c ise m ( % ) = kç derecedir? ullım 130 Şekildeki dörtgeninde m ^ h = m ^ h = α, m ^ h = m ^ h = β olsun 180 % m ( ) = 180 ve iç çı ölçüleri toplmı, (180 ) = = ( ) = 0 bulunur iğer yndn üçgeninde dış çı ölçüsü, = + = = 0 elde edilir 113

8 lıştırmlr y G Şekilde bir dörtgen, % mg ( ) = 70, % m( ) = 60, m ( % ) = ve m( G % ) = y ise + y toplmı kç derecedir? dörtgeninde [], [], [] ve [] iç çıortylr 100 % m( ) = 100c ise m ( % ) = kç derecedir? 3 dörtgeninde [] ve [ iç çıortylr, 1 m( W ) = 90c, m( X ) = 1 dir un göre, şekildeki m( % ) = kç derecedir? 108 dörtgeninde [] ve [] iç çıortylrdır m( W ) = m ( W ) ise m ( W ) = kç derecedir? 5 60 dörtgeninde [] [] = {}, % = = 8 cm, m( ) = 60 ve ile kenrlrın ort noktlrı olduğun göre, kç cm dir? 11

9 örtgenin lnı c Şekildeki gibi iki kenr uzunluğu ve bu kenrlr rsındki çının sinüs değeri bilinen bir üçgeninin lnının & 1 ( ) = c sin α olduğunu 9 sınıf mtemtik derslerinde öğrenmiştik u bilgiden fydlnrk köşegen uzunluklrı ve köşegenler rsındki çının sinüs değeri bilinen bir dörtgenin lnının nsıl hesplnbildiğini görelim İnceleyerek Öğrenelim dörtgeninde köşegen uzunluklrı = e, = f ve köşegenler rsındki çının ölçüsü α ise dörtgeninin lnı, 1 ( ) = esin f α olur Gösterelim f e 180 [] [] = {}, = e 1, = e, = f 1, = f olsun un göre e 1 + e = e ve f 1 + f = f olur & & & & & ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( ) e 1 f 1 ve sin(180 α ) = sinα olduğundn; () = 1 e1 f 1 sinα + 1 e f 1 sin(180 α) + 1 e f sinα + 1 e1 f sin(180 α) = 1 e1 f 1 sinα + 1 e f 1 sinα + 1 e f sinα + 1 e1 f sinα 1 = sinα(e1 f 1 + e f 1 + e f + e 1 f ) 1 = sinα [f1 (e 1 + e ) + f (e 1 + e )] 1 = sinα (e f1 + e f ) 1 1 = sinαe(f1 + f ) ve sonuçt () = efsinα elde edilir Sonuç d c b öşegenleri dik oln bir dörtgeninde 1 e$ f () = efsin90 () = olur 115

10 dörtgeninde köşegen uzunluklrı = 3 cm, ll = 6 cm ve köşegenler rsındki çının ölçüsü 60 ise bu dörtgensel bölgenin lnını bullım dörtgeninin lnı; ef sin α 3 6 sin 60c () = = 60 = 1 3 sin60 3 = 1 3 e o = 18 cm olur içbükey dörtgeninde = e, l = f ve köşegenler % rsındki çının ölçüsü m( ) = α ise () = 1 efsin olduğunu gösterelim Şekilde dışbükey dörtgen olck şekilde [ seçilsin () = 1 llllsin ve e () = 1 llllsin eşitlikleri trf trf çıkrılırs, () () = 1 sin ( ) () = 1 sin () = 1 efsin elde edilir 116

11 tkinlik uu ir dörtgeni ve kenr ort noktlrının birleştirilmesiyle G oluşturuln G dörtgenini şekildeki gibi çiziniz u u = e, = f ve köşegenler rsındki çının ölçüsünü olrk lınız uu üçgeninde [] nın ort tbn olduğunu dikkte lrk nu = e türünden bulunuz uu üçgeninde [G] nın ort tbn olduğunu dikkte lrk G nu d e türünden bulunuz u u I ve G uzunluklrını krşılştırınız uu üçgeninde [G] ve üçgeninde [] nın ort tbn olduğunu dikkte lrk G ve uzunluklrını f türünden yzınız u u [] // [] // [G] ve [] // [] // [G] olduğun göre G, G çılrı ve, G çılrının ölçülerini türünden yzınız tkinlik bsmklrındn elde ettiğiniz bilgileri kullnrk G dörtgeninin prlelkenr olup olmycğını gerekçeleri ile belirtiniz u u + toplmını e ve f türünden yzınız u u + G + G + toplmını e ve f türünden yzınız + ile + G + G + toplmlrının sonuçlrını krşılştırrk Ç(G) yi veren bir eşitlik yzınız uu dörtgensel bölgesinin lnını veren bğıntıyı yzınız G üçgeni ile G üçgeninin lnlrını veren bğıntılrın toplmını yzınız (Üçgenlerin ln bğıntılrınd sin yı kullnınız) () bğıntısı ile G ( & ) + G ( & ) toplmını krşılştırrk dörtgeninin bölgesinin lnı ile G dörtgeninin lnı rsındki bğıntıyı yzınız unlrı ilelim G dörtgeninde,, G ve kenrlrın ort noktlrı, = e ve = f ise G dörtgeni bir prlelkenr, Ç(G) = e + f, () = (G) olur 117

12 Resimdeki dörtgeni biçimindeki bir bhçede ölçüm ypıldığınd,, G ve kenrlrın ort noktlrı, [] ^ [G], = m, G = 5 m olduğu görülmüştür G hçedeki G bölgesine gül ekilip geriye kln yerler çimlendirilecektir un göre, gül ekilen bölgenin ve çimlendirilmiş bölgenin lnını, bölgesinin köşegen uzunluklrını ve gül ekilen bölgeyi çevrelemek için kç metre tel gerektiğini bullım 5 G,, G ve ort noktlr olduğundn bhçedeki G bölgesi bir prlelkenr htt bir çısının ölçüsü 90 olduğundn dikdörtgen olur Gül bhçesinin lnı, (G) = 5 = 0 m, () = (G) = 0 = 0 m ve çimlendirilmiş bölgenin lnı S = 0 0 = 0 m bulunur üçgensel bölgesinde [G] ort tbn olduğundn, = G = 5 = 10 m ve üçgensel bölgesinde [] ort tbn olduğundn, = = = 8 m olur Sonuçt gül ekilen bölgeyi çevrelemek için, Ç(G) = + = = 18 m tel gerekir nlitik düzlemde köşelerinin koordintlrı ( 3, ), (7, ), (5, ) ve (1, ) oln dörtgeni veriliyor dörtgeninin kenrlrının ort noktlrını köşe kbul eden dörtgenin çevresini bullım Y dörtgeninin kenrlrının ort noktlrı,, G, olsun (1, ) (5, ) Ç(G) = + olduğundn iki nokt rsındki uzklık bğıntısı ile, ( 3, ) O X (7, ) = ( 5- (- 3)) + ( - (- ) = = 10 birim = ( 7-1) + ( - (- )) = = 6 birim bulunur Sonuçt G prlelkenrının çevresi, Ç(G) = + = birim olur 118

13 lıştırmlr 1 şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız erhngi bir dörtgenin kenrlrının ort noktlrını birleştirerek elde edilen dörtgen bir ir dörtgeninin köşegen uzunluklrı toplmı, bu dörtgenin kenr ort noktlrını birleştiren dörtgenin eşittir ir dörtgeninin lnı bu dörtgenin kenrlrının ort noktlrını birleştiren dörtgenin lnının ktıdır G dörtgeninde [] ve [] köşegenlerinin ort noktlrı sırsıyl ve dir 6 =, G = G, = 6 cm ve = cm ise, G dörtgeninin çevresi kç cm dir? 3 içbükey dörtgeninde,,, G ve kenrlrın ort noktlrıdır Ç(G) = +, G b (G) = 1 () olduğunu gösteriniz 3 Ynd verilen üçgeninde; [] ^ [], = 3 cm, = 6 cm olduğun göre, içbükey dörtgeninin lnını bulunuz 5 G dörtgeninde,, G ve kenrlrının ort noktlrı, [] ^ [], = 6 cm, = 8 cm olduğun göre, (G) kç cm olur? 119

14 5 : ÖZL ÖRTGNLR 51: Ymuk, Prlelkenr, şkenr örtgen, ikdörtgen, re ve eltoit ile İlgili çı ve Uzunluk ğıntılrı 5: Ymuk, Prlelkenr, şkenr örtgen, ikdörtgen, re ve eltoidin ln ğıntılrı 53: örtgenlerin ln ğıntılrının Problem Çözme ve Modellemede ullnılmsı YMU V YMUĞUN ÖZLLİLRİ Ymuk: h n z iki kenrı prlel oln dörtgene ymuk denir Ymuğun prlel oln kenrlrın ymuğun tbnlrı, prlel olmyn kenrlrın yn kenrlr (yklr), tbnlrı tşıyn doğrulr rsındki tbnlr dik doğru prçsın d ymuğun yüksekliği denir Şekilde [] ^ [] ise ymuğunun yüksekliği h dir ir ymukt bir yn kenrl tbnlrın oluşturduğu iç çı ölçülerinin toplmı 180 olur ymuğund [] // [] ise m ( W) + m( X ) = 180, m( W ) + m ( X ) = 180 olur İkizkenr Ymuk: h h L Yn kenrlrının uzunluklrı eşit oln ymuğ ikizkenr ymuk denir İkizkenr ymukt tbn çılrının ölçüleri eşittir Ynd verilen ikizkenr ymuğund, [] // [] ve = ise m ( W) = m( W ) ve m ( X) = m( X ) olur ik Ymuk: h Yn kenrlrındn biri tbnlr dik oln ymuğ dik ymuk denir Yndki dik ymuğund, [] // [] ve ^ olduğundn [] ymuğun yüksekliği olur 10

15 3 100 ymuk, [] // [] % m ( ) = 100c %, m( ) = 50c, 6 = 6 cm, = 3 cm ise = kç cm dir? ullım % % m( ) = m ( ) = 80 % m ( ) = 180 ( ) ve sonuçt ll = = = 9 cm bulunur [] // [] olduğundn yn kenrl tbnlrın oluşturduğu iç çı ölçülerinin toplmı, m ( W) + m( X ) = 180 & m ( W) = 180 & m ( W ) = 80 bulunur köşesinden [] // [] çizilirse prlelkenr olcğındn, = = 3 cm, = = 6 cm ve yöndeş çılrdn, elde edilir üçgeninde iç çı ölçüleri toplnırs, % m = 50 l = = 6 cm 96 % ymuk, [] // [], m ( ) = 96 [] ^ [], = ve = ise m ( % ) = kç derecedir? ullım 96 ymuğunun [] köşegeni çizilirse, üçgeni [] yüksekliği tbnı iki eş prçy yırdığı için ikizkenr olur = olduğundn, % % m( ) = m ( ) = α ve = verildiği için % % m ( ) = m ( ) =, [] // [] olduğundn d iç ters çılrın ölçüleri = = 1 olur % Sonuçt m ( ) = = + = 1 + = 63 bulunur 11

16 tkinlik L c y y ir ymuğund; [] // [], = ve = c olsun Yn kenrlrın ort noktlrını birleştiren doğru prçsının + c tbnlr prlel ve uzunluğunun olduğu şğıd isptlnmktdır oş bırkıln yerleri doldurunuz Verilen: [] // [], = =, = = y İstenen: [] // [] // [] ve = + c İfdeler Gerekçeler 1 = {} 1 üzlemde prlel olmyn doğrulr bir noktd kesişir & = de [] // [], Temel Orntı Teoremi y 3 = 3 y = =, y = verildi & 5 5 de Temel Orntı Teoremi rşıtı 6 L = c 6 üçgeninde [L] ort tbn 7 7 üçgeninde [L] ort tbn 8 = L + L 8 c 9 = + 9 İstenen unlrı ilelim Ymukt Ort Tbn: c Yn kenrlrın ort noktlrını birleştiren doğru prçsın ymuğun ort tbnı denir Ort tbn tbnlr prleldir Şekildeki ymuğund [] // [] =, =, = ve = c ise = + c ve [] // [] // [] olur 1

17 inmik mtemtik / geometri yzılımını kullnrk bir ymukt iç çıortylrın ort tbn üzerinde dik kesiştiğini görelim h M h inmik geometri yzılımını çıp sğ kısımdki geometri sekmesini tıklyrk doğru prçlrı ile bir ymuğunu çizelim [] // [] olsun Yzılımın üst kısmındki kutud bulunn ( ) çıorty seçeneği yrdımıyl,, ve köşelerindeki çıortylrını çizerek kesim noktlrını şekildeki gibi ve ile isimlendirelim h h Yzılımın çı ölçme rcı L N ( ) yrdımıyl m( ) = m( ) = 90 ve ve uzunluk ölçme rcı ( ) yrdımıyl ile noktlrının tbnlr uzklıklrı = L = M = N = h bulunur Şekilde M, NL dikdörtgen ve // M // LN olduğundn ort tbnı tşıyn doğru olur Görüldüğü gibi bir ymukt iç çıortylr ort tbn üzerinde dik kesişmektedir ymuğund, [] // [] // [] [] ve [] çıortylr, 3 6 = 3 cm, = 6 cm ise + toplmı kç cm dir? ullım 3 L 3 3 P 3 Önce bir ymukt yn kenrl tbnlrın oluşturduğu ve köşesindeki iç çıortylrın ort tbn üzerinde dik kesiştiğini gösterelim noktsındn geçen ve tbnlr dik oln [L] ile [] ^ [] çizilirse, [] çıorty olduğundn, = ve [] çıorty olduğundn = IL sonuçt = = L bulunur un göre çıortylr ort tbn üzerindeki noktsınd kesişirler % % % % m ( ) = m ( ) = α, m ( ) = m ( ) = β ve [] // [] olduğundn, + = = 90 üçgeninde m( W ) = 90c olur [] // [] ve noktsı tbnlr eşit uzklıkt olduğundn [] uztıldığınd elde edilen [P] ymuğun ort tbnıdır [P] dik üçgeninin hipotenüsünün kenr ortyı olduğu için de P = P = P = 3 cm bulunur Sonuçt, ymuğunun ort tbn uzunluğu, P = + P = = 6 = + + = 1 cm elde edlir 13

18 bir ymuk, [] // [] // [], = 3, = 7 cm = cm ise = kç cm dir? ullım 7 k 3k 3k Şekilde [] // [] çizilirse oluşn prlelkenrınd, k L 7 = L = =, L =, = 7 = L = k ve = L = 3k elde edilir Yöndeş çılrdn, ml ( % ) = mm ( % ) = α % % ve m ( ) = m ( ) olur benzerlik kurlın göre & & - k 1 L + & = = 16 = 7 9 = 3 = 3 cm bulunur 7 - k İnceleyerek Öğrenelim c P L ymuğund [] // [], = = c ve [] [] = {P} olsun P noktsındn geçen ve tbnlr prlel oln [L] verildiğinde, c c P = PL = ve L = + c + c olur Gösterelim cp c P ck L [] // [] olduğundn benzerlik kurlın göre, P & + P & & & & &, PL + ve P + olur k p P P P = = P c P = k, P = & ) ck olur (kp + ) P = p, P = cp & & P P P cp c P + & = & = & P = ( + c) p + c & & PL P PL ck c PL + & = & = & PL = ( + c) k + c olduğundn P $ c = PL = ve + c L c = bulunur + c 1

19 ymuk, [] // [] // [L] P L [] [] = {P}, = 1 cm, = cm olduğunu göre, PL, P ve L uzunluklrını bullım 1-1 Şekildeki gibi bir ymuğund L 1 8 L = = = 6 cm ve P = LP = 3 cm bulunur c c = ve P = LP = olcğındn, + c + c - y P L 3 3y 1 [] // [] // [L] olduğundn iç ters çılrın ölçüleri, % % % % m ( ) = m ( ) = α, m ( ) = m ( ) = β ve enzerlik benzerlik kurlın göre, & & P P P P P P 1 = & = + & = = = &) 3 P P 1 3 P = y & P = 3y bulunur (, y + ) % % Yöndeş çılr oln mpl ( ) = m ( ) = α olduğundn bir iç çısı ortk PL ve üçgenleri de benzerlik kurlın göre benzerdir Sonuçt, PL P PL 1 = & = = & PL = 3 cm bulunur 1 % % irer çısı ortk ve yöndeş çılrdn mp ( ) = m ( ) = β oln P ve üçgenleri de benzerlik kurlın göre benzer olduğundn; P P P y 1 = & = = & P = 3 cm, L = P + PL = = 6 cm bulunur 1 y te verilen koşullrd dim P = PL olduğun dikkt edelim! 15

20 7 ymuğund [] // [], = 10 cm, = cm ymuğun yüksekliği = 7 cm olduğun göre, üçgeninin lnını bullım 10 7 h h h 10 İç ters çı çiftleri eş olduğundn, % % % % m ( ) = m ( ) = α ve m( ) = m( ) = β olur benzerlik kurlın göre, & + & ve yükseklik ornlrı d benzerlik ornın eşit olduğundn şekilde, 7 - h = = ( 35-5h = h& 7h = 35& h = 5cm h 10 5 bulunur 10 5 Sonuçt üçgeninin lnı = 5 cm olur İnceleyerek Öğrenelim c L ymuğund [] // [], [] ort tbn, = ve = c olsun Ort tbnın köşegenler rsınd kln prçsının uzunluğu, L = - c olur Gösterelim ymuğund [] ort tbn olduğundn c üçgeninde [], üçgeninde [L] ort tbn olur c L c dolyısıyl = L = c olur üçgeninde [L], üçgeninde de [ ort tbn ve L = = olduğundn L = L = - c = - c bulunur 16

21 ymuğund [] // [] [] [] = {}, [] [] = {L} = 1 cm, =, L = + + L olduğun göre, [] ort tbnının uzunluğu kç cm dir? ullım 1 ymugund [] ort tbn olduğundn, ve üçgenlerinde sırsıyl [] ve [L] ort tbn olur + L u nedenle, = L = = = = + ( + ) + = 3 + bulunur iğer yndn, 1 = 1 + = = 3 + = ve = 3 + = 3 + = 8 cm olur İnceleyerek Öğrenelim b b İkizkenr ymukt köşegenler eştir Şekilde [] // [] ve = ise = olur öşegenlerin kesim noktsındn geçen yükseklik ikizkenr ymuğun simetri eksenidir Gösterelim b c ymuğund [] // [], II = = b, =, = c ve [] [] = {} olsun İkizkenr b ymukt tbn çılrının ölçüleri m( % ) = m ( % ) olduğundn, eşlik kurlın göre, & &, & =, % % m ( ) = m ( ) = α ve m ( % ) = m ( % ) bulunur İç ters çılrın eşitliğinden, % % % % m ( ) = m ( ) = m( ) = m ( ) = = ve = eşlik kurlın göre, olur Sonuçt şekilde noktsındn geçen ymuğun yüksekliği ve ikizkenr üçgenlerinin tbnlrını iki eş prçy böler ve ikizkenr ymuğun simetri ekseni olur 17

22 ikizkenr ymuk, [] // [], % =, m( ) = 5c ve l = cm olduğun göre, ymuğun ort tbnının ve yüksekliğinin uzunluğunu bullım 5 c c 5 c Ymuğun, [] yüksekliği çizilirse ikizkenr dik üçgeninde = = cm olur [] köşegeni de çizilirse, [] [] = {} ise =, =, = ve ile ikizkenr dik üçgenler olur noktsındn geçen yükseklik ikizkenr ymuğun simetri ekseni olduğundn şekildeki ikizkenr dik üçgenlerde, =, = c ise ymuğun yüksekliği = + c = cm bulunur Sonuçt köşegenleri dik şekildeki ikizkenr ymukt ort tbn uzunluğu ile yükseklik uzunluğu birbirine eşit ve = + c = = cm bulunur ( ) + ( c) h c h ikizkenr ymuğund, [] // [] ve = olsun [] ^ [], [] ^ [], = ve = c ise = = - c b = = + c olduğunu gösterelim h c c h b Şekilde = = + c = c Şekildeki ikizkenr ymuğund; =, m ( W) = m( W % % ) = α ve m ( ) = m ( ) = β olduğundn eşlik kurlındn & &, = = ve dikdörtgeninde = = c bulunur = + c + = + c = olduğundn, = = = - c bulunur - + c + c = olur 18

23 5 Şekilde verilen ikizkenr ymuğund [] // [], =, = 13 cm ve = 5 cm ise ymuğun yüksekliğinin kç cm olduğunu bullım 13 5 [] ^ [] çizilirse, h 13-5 = = cm ve = 9 cm bulunur dik üçgeninde [] ^ [] olduğundn, 9 13 Öklid ğıntısı ile h = 9 h = 6 cm elde edilir Resimdeki rbnın ikizkenr ymuğu biçimindeki ön cmınd, [] // [], = = 5 cm, = 80 cm, = 10 cm olduğun göre, ymuk biçimindeki cmın yüksekliği kç cm dir? ullım 80 5 h h 5 80 Ymuk biçimindeki cmınd [] ^ [] ve [] ^ [] çizilirse dikdörtgen ve eşlik kurlın göre, &, & olduğundn = = ve = 80 cm olur = = 10 = edilir = 0 cm elde dik üçgeninde Pisgor Teoremi kullnılırs, 5 = 0 + h h = 8 cm bulunur 19

24 ikizkenr ymuğund, [] // [] ve = dir [] ^ [], = 8 cm, = cm olduğun göre, kç cm dir? ullım 8 öşegenlerin kesim noktsındn geçen [L] yüksekliği ikizkenr 5 5 ymuğun simetri ekseni ve [] ^ [] olduğundn şekilde 5 P L = = P = cm, L = L = PL = cm olur L dikdörtgeninde yükseklik L = = + = 6 cm ve = L = cm = = cm olcğındn dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile = + = + 6 = 0 = 10 cm elde edilir İnceleyerek Öğrenelim c öşegenleri dik oln bir dik ymuğund [] // [], [] ^ [], [] ^ [], =, = c h ve ymuğun yüksekliği = h ise h = c olur Gösterelim c Şekilde görüldüğü gibi // [] çizilsin c h = {} olmk üzere bir prlelkenr olcğındn = = c ve [] ^ [] olur Sonuçt dik üçgeninde [] ^ [] olduğundn Öklit ğıntısı ile h = c bulunur 130

25 h 3 dik ymuk, [] // [], [] ^ [], [] ^ [], = 9 cm ve = 3 cm ise ymuğun yüksekliği kç cm dir? ullım 9 3 h 3 9 Şekildeki gibi [] // [] çizerek = {} isimlendirilirse yöndeş çılrın eşliğinden [] ^ [] ve prlelkenrınd = = 3 cm olur dik üçgeninde Öklid ğıntısı n göre, h = 39 = 7 h = 3 3 cm bulunur ymuğund; [] // [] [], [], [] ve [] çıortylr 6 = 10 cm, = cm, = 6 cm, = cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım L 3 ir ymukt yn kenrlr ile tbnlrın oluşturduğu çılrın çıortylrı, ort tbn üzerinde dik kesiştiğinden [] yn kenrlr doğru uztılırs [L] ort tbn, [], dik üçgeninde hipotenüsün kenrortyı ve [L], dik üçgeninde hipotenüsün kenrortyı olur u yüzden, = = = cm ve L = L = L = 3 cm L = = 7 cm ort tbnın uzunluğu olrk bulunur Sonuçt L = & 7 = & = cm olur 131

26 lıştırmlr 1 3 ymuğund; [] // [] // [], [] [] [] = {} = 3 cm, = 6 cm ise kç cm dir? 6 ymuğund; [] // [], 6 [] ve [] iç çıortylr, =, = 6 cm, = = cm olduğun göre, = kç cm dir? 3 3 ymuk, [] // [] // [] dir II = II, = 9 cm ve = 3 cm ise = kç cm dir? 9 1 ymuk, [] // [], [] [] = {}, [] [] = {}, =, = 1 cm, = cm olduğun göre, = kç cm dir? 5 L M ymuk, [] // [], [] [] = {}, [] ort tbn, = cm, = 10 cm ise LM = kç cm dir? 10 13

27 6 dik ymuk, [] // [], [] ^ [] =, = cm, = cm ise ymuğunun çevre uzunluğu kç cm dir? 7 öşegenleri dik kesişen bir ymuğund; [] // [], = 1 cm, = 16 cm olduğun göre, ort tbn uzunluğu kç cm dir? 8 3 dik ymuk, [] // [], [] ^ [], 7 =, = 5 cm, = 3 cm, = 1 cm ve = 7 cm ise 1 5 kç cm dir? 9 6 ikizkenr ymuk, [] // [], =, = 16 cm, = 6 cm ve ymuğun yüksekliği 1 cm dir un göre, bu ymuğun çevre uzunluğu kç cm dir? ikizkenr ymuk, [] // [], [] ^ [], = = 8 cm ve = ise ymuğun yüksekliği kç cm dir? 133

28 PRLLNR V PRLLNRIN ÖZLLİLRİ b b rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgene prlelkenr denir Prlelkenrd krşılıklı kenrlr ve krşılıklı çılr eş, komşu çılr bütünlerdir Şekildeki prlelkenrınd, = =, = = b m ( W) = m ( X ) = α, m( W ) = m( X ) = β ve + = 180 olur bir prlelkenr, m ( % ) = m ( % ), 60 % m ( ) = 60c, = ise m( % ) = kç derecedir? ullım 30 = b b b % % m( ) = m( ) = 30c ve sonuçt m ( ) Prlelkenrd krşılıklı kenrlr eş olduğundn, = = = b ve üçgeninde m ( X) = m( W ) = 60c bulunur prlelkenr olduğundn, //, iç ters ve yöndeş çılr eş olduğundn d % = m ( ) = m ( X) = 60 = 30 % = = 180 = 90 bulunur İnceleyerek Öğrenelim ir prlelkenrd köşegenler birbirini ortlyrk keser Şekilde [] [] = {} ise = ve = olur Gösterelim ß ß prlelkenrınd [] // [] ve = = olduğundn şekilde eşlik kurlın göre; & &, & = ve = olur 13

29 8 prlelkenrınd; 6 [] [] = {} ll = 6 cm, ll = 8 cm ve = 1 cm olduğun göre, kç cm dir? ullım 6 6 v 8 v 6 Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn l = l = 6 cm ve = = v olur üçgeninde enrorty Teoremi ni kullnırsk, = v + & 100 = v + 7 & v = 8 & v = 1 & v = 1 cm ve = v = 1 cm bulunur İnceleyerek Öğrenelim 8 Prlelkenrd rdışık iki köşedeki iç çıortylr ort tbn üzerinde dik kesişir Şekildeki prlelkenrınd [], [] çıorty ve [] ort tbn ise [] ^ [] ve [] olur Gösterelim P ß ß T 8 [] ve [] çıorty olduğundn, % % m ( ) = m ( ) = α, % % m ( ) = m( ) = β ise [] // [] α + β = 180 α + = 90 ve üçgeninde [] ^ [] bulunur iğer yndn çıorty üzerindeki her nokt çının kollrın eşit uzklıkt olduğundn şekilde, T = = P P = T noktsı prlelkenrının ort tbnı üzerinde olur 135

30 10 prlelkenrınd; [], [], [] ve [] çıorty, = 10 cm, = cm ise, kç cm dir? ullım 10 L ir çıortyın her noktsının çının kenrlrın oln uzklıklrı eşit olduğundn, [] prlelkenrın ort tbnı üzerindedir doğrusu prlelkenrın yn kenrlrını ve L noktlrındn keserse ve üçgenleri dik üçgenler ve hipotenüse it kenrortylr hipotenüste yırdığı prçlrl eş olcğındn; = = = cm ve L = L = L = cm olur = = L = 10 cm verildiğinden = L L = 10 = 10 = 6 cm bulunur Sonuçlr: 1 rşılıklı kenrlrı eş oln her dörtgen bir prlelkenrdır Gösterelim b b Şekildeki gibi bu dörtgenin [] köşegeni çizilirse, ve tüm kenrlrı eş iki üçgen olur b eşlik kurlındn b &, & ve ş üçgenlerde krşılıklı çılr eş olduğundn, % % m ( ) = m ( ) = [] // [] % % m( ) = m( ) = β [] // [] bulunur ikkt edilirse burd İki doğru bir kesenle kesildiğinde iç ters çı çiftleri eş ise bu iki doğru prleldir krşıt teoremini kullndık 136

31 ir dörtgeninde, [] // [] ve = ise, bir prlelkenrdır Gösterelim [] köşegeni çizildiğinde, [] // [] olduğundn, % % m( ) = m( ) =, = = ve = olduğundn eşlik kurlındn, & &, = bulunur Sonuçt krşılıklı kenrlrı eş oln dörtgeni bir prlelkenr olur 3 öşegenleri birbirini ortlyn bir dörtgeni prlelkenrdır Gösterelim dörtgeninde [] [] = {}, = ve = olsun % % & & m( ) = m ( ) = olduğundn, eşlik kurlın göre,, olur % % % % olyısıyl, = =, m( ) = m ( ) = β ve m( ) = m( ) = θ bulunur Şekilde iç ters çı çiftleri eş olduğundn [] // [] elde edilir sonuc göre, krşılıklı iki kenrı hem prlel hem de eş oln dörtgeni bir prlelkenrdır 137

32 prlelkenr, G bir üçgen, lgl = cm, lgl = cm ise, = kç cm dir? ullım G b Şekilde G =, G = b olsun [] // [] olduğundn, % % % % m ( ) = m ( ) =, m ( ) = m ( ) = β ve benzerlik kurlındn & & G ~ G 1 olur [] // [] olduğundn yine iç ters çılr m( % ) = m( % % % ) = θ ve ters çılr mg ( ) = mg ( ) & & olduğundn benzerlik kurlın göre G ~ G olur 1 ve benzerliklerinde ortk orn olduğundn, b 1 = = & = + = 8 = 6 cm bulunur b ( + ) + prlelkenrınd; L ve kenrlrın ort noktlrı, [] [] = {}, [] [] = {L} ve = 6 cm olduğun göre, L kç cm dir? ullım O L 3 OL = = L = ve = L = L = 3 bulunur Sonuçt = 6 = 6 = 1 ve L = = cm olur [] köşegenini de çizersek, [] [] = {O} olsun Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, O = O ve O = O olur ikkt edilirse, üçgeninde ğırlık merkezidir ve O = = O = O = 3 olur üçgeninde de L ğırlık merkezi olduğundn, 138

33 Ynd verilen düzlemsel şekilde prlelkenr, [ƒ] // [ƒ] // [ƒ] // [ƒ], ƒ, ƒ, ƒ ve ƒ d olmk üzere, 3 ƒ 1 ƒ ƒ lƒl = 3 cm, lƒl = cm ve lƒl = 1 cm olduğun göre, ƒ kç cm dir? ullım d ƒ prlelkenrınd, [] [] = {}, ƒ = olmk üzere, [] ile [] köşegenleri ve [ƒ] // [ƒ] çizilsin 3 d ƒ ƒ 1 ƒ ƒ ƒ Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, 3+ ƒƒ ymuğund [ƒ] ort tbn ve ƒ = olur enzer şekilde, ƒƒ ymuğund d [ƒ] ort tbn ve [ƒ] = + 1 olur Sonuçt 3+ = ƒ = = + 1 = 6 cm bulunur P 6 prlelkenrınd; [P] ve [P] çıortylr [P] ^ [], = 6 cm, = cm ve P = 3 cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım 5 5 P noktsındn geçen 5 [L] // [] çizilirse, iç ters çı çiftlerinin eşliğinden P % % % mp ( ) = m( P) = mp ( ) = % % % 5 L1 mp ( ) = m( P) = mp ( ) = β [P] ^ [P] ve P = = = L = L = 5 cm burdn L = 1 cm bulunur PL özel dik üçgeninde PL = cm ve sonuçt L = = = + 5 = 7 cm olur 139

34 G R Resimde dikdörtgeni biçimindeki ms örtüsünde,, G, kenrlrın ort noktlrıdır S Q P = 50 cm, Q = 60 cm ise, PQRS dörtgensel bölgesinin çevresini bullım P 5 G R Ms örtüsünde, = G ve [] // [G] G prlelkenr ve S 30 5 P 30 Q [G] // [] 1 = ve [] // [] prlelkenr ve [] // [] 1 ve den PQRS bir prlelkenr olur Q üçgeninde [P] // [Q] Temel Orntı Teoremi ne P göre, = = 1 P = PQ ve Q = 60 cm olduğundn, PQ P = PQ = SR = 30 cm olur enzer şekilde P üçgeninde, S [S] // [P] Temel Orntı Teoremi ne göre, = = 1 S = SP ve P = 50 cm SP verildiğinden, S = SP = RQ = 5 cm olur Sonuçt Çevre(PQRS) = (30 + 5) = 110 cm bulunur prlelkenrınd [] ve [] iç çıortylr, [], = 8 cm ise, prlelkenrının çevre uzunluğu kç cm dir? ullım 8 b b b 8 b İç ters çılrın ölçüleri eşit olduğundn şekilde, % % % m( ) = m ( ) = m( ) = ve % % % m( ) = m ( ) = m ( ) = β olur ve üçgenleri ikizkenr ve = = b ve = = b olduğundn, = b = 8 b = cm bulunur prlelkenrınd tüm kenr uzunluklrını toplrsk, Ç() = = cm bulunur 10

35 lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) rşılıklı çılrı eş oln her dörtgen prlelkenrdır ( ) öşegenleri birbirini ortlyn her dörtgen prlelkenrdır ( ) ir dörtgende krşılıklı iki kenr hem prlel hem de eş ise bu dörtgen prlelkenrdır prlelkenr, dik üçgen, 5 [] ^ [], [] ^ [], = 10 cm, = 5 cm ve = cm ise, noktsının [] kenrın uzklığı kç cm dir? 10 3 prlelkenrınd, [] ve [] çıortylr, 6 8 = 6 cm, = 8 cm ise, prlelkenrının çevresi kç cm dir? 6 prlelkenrınd, [] [] = {}, [] ^ [], 5 = = 5 cm, = 6 cm ise, = kç cm dir? 5 G prlelkenr, G bir üçgen ve [] [G] = {} dir = 3 cm, G = cm ise, = kç cm dir? 11

36 6 5 ƒ ƒ prlelkenrının köşesinden geçen bir d doğrusu verilmiştir, ve köşelerinin d doğrusu üzerindeki dik izdüşümleri ƒ, ƒ, ƒ ve ƒ = cm, ƒ = 5 cm ise, ƒ uzunluğu kç cm dir? prlelkenrınd, [] [] = {}, [] ve [] çıortylr, = 6 cm, = 8 cm ise, = kç cm dir? 8 prlelkenr, dik üçgen [] ^ [], m ( % ) = m ( % ) = 3 cm, = cm ise, = kç cm dir? 9 6 G prlelkenrınd, [], [], [] ve [] çıortylr, = 10 cm, = 6 cm, G = cm ise, G = kç cm dir? prlelkenr, [] ^ [], % [] [] = {}, m( ) = 10c, 10 = ise, m ( % ) = kç derecedir? 1

37 ŞNR ÖRTGN V ŞNR ÖRTGNİN ÖZLLİLRİ Tüm kenrlrı eş oln dörtgene eşkenr dörtgen denir rşılık kenrlrı eş olduğundn eşkenr dörtgen bir prlelkenrdır ve prlelkenrın tüm özelliklerini tşır αα Şekildeki eşkenr dörtgeninde [] köşegeni çizlirise eşlik kurlın göre, &, & & m( ) = m( ) [] köşegeni çıorty olur αα ß ß ß ß eşkenr dörtgeninde [] köşegeni çizlirse eşlik kurlın göre, &, & & m( ) = m( ) [] köşegeni de çıortydır İkizkenr üçgenlerde tepeden çizilen çıorty tbn dik olup tbnı ortldığındn şekilde görüldüğü gibi bir eşkenr dörtgende köşegenler diktir ve birbirini ortlr ir prlelkenrın köşegenleri dik ise bu prlelkenr eşkenr dörtgen olur Gösterelim bir prlelkenr, [] ^ [] ve [] [] = {} olsun Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, & & & & = ve = olur,, ve dik üçgenlerinde krşılıklı dik kenrlr eş olduğundn eşlik kurlın göre,,,, & & & & olur Sonuçt = = = = bulunur öşegenleri dik bir prlelkenr eşkenr dörtgendir 13

38 Resimdeki eşkenr eşkenr dörtgeni biçimindeki uçurtmd [] ve [] çıtlrının uzunluklrı, = 80 cm, = 60 cm ise, uçurtmyı çevreleyen ipin uzunluğu kç cm dir? ullım şkenr dörtgende köşegenler birbirini resimdeki gibi noktsınd dik ortldığındn, = = 30 cm ve = = 0 cm bulunur dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile = 50 cm olcğındn, Ç() = 50 = 00 cm olur eşkenr dörtgeninde, m( % ) = m ( % % ) ve m ( ) = 13c 13 olduğun göre, m ( % ) = kç derecedir? ullım % % m( ) = m ( ) = olsun eşkenr dörtgeninde [] köşegeni çıorty olduğundn, 13 % % % % m( ) = m( ) = m( ) = m( ) = olur üçgeninde iç çı ölçüleri toplmı, = = 8 = 16 ve üçgeninde iç çı ölçüleri toplmı, + = = =180 = 116 bulunur 1

39 İÖRTGN V İÖRTGNİN ÖZLLİLRİ b b çılrındn biri dik çı oln bir prlelkenr dikdörtgen denir u yüzden dikdörtgen prlelkenrın tüm özelliklerini tşır Tüm iç çılrı dik çı olduğundn bir dikdörtgende köşegenler birbirine eştir Şekildeki dikdörtgeninde, = ve dolyısıyl = = = olur 3 dikdörtgeninde; [] [] = {} % m ( ) = 3c, = ise, m( % ) = kç derecedir? ullım ikdörtgende köşegenler eş olup birbirini ortldığındn, = = = olur u durumd ikizkenr üçgen % % ve iç ters çılrdn m( ) = m ( ) = 3c olduğundn, % % m( ) = m( ) = 7c sonuçt üçgeninde dış çı ölçüsü, 7 = + 3 = bulunur G Ynd verilen fotoğrf çerçevesinin en dışındki dikdörtgeninde, = 30 cm, = cm dir Çerçevenin klınlığı 5 cm olduğun göre, içte fotoğrf konulck G dikdörtgensel bölgesinin kenr uzunluklrını bullım G 5 Çerçevenin klınlığı 5 cm olduğundn şekilde, = 30 = + 10 = 0 cm, = = G + 10 G = 1 cm olur

40 dikdörtgen, [] [] = {}, % m ( ) = 36c ve = ise, m ( % ) = kç derecedir? ullım 36 [] köşegenini çizelim [] [] = {L} olsun 18 = = ve köşegenler birbirini ortldığındn L üçgeninde, L = L ve L % % m( ) = m ( ) = 36c elde edilir iğer yndn = olduğundn, üçgeninde m( % ) = m ( % ) ve dış çı ölçüsü % % % 36 = m( ) & m( ) = m ( ) = 18 olur Sonuçt üçgeninin dış çı ölçüsü, % m ( ) = = = 5 bulunur İnceleyerek Öğrenelim dikdörtgeni ile bir P noktsı verilsin Şekilde dim, P P + P = P + P olur Gösterelim 1 Şekildeki gibi P noktsındn geçen [] // [] çizilirse & & & & P, P, P, P dik üçgen; b P b 1 = = 1 ve = = olur P = b 1 ve P = b ise dik üçgenlerde Pisgor Teoremi ile 1 P + P = `1 + b1 j+ ` + b j= b + b 1 olduğundn P + P = ` + b1 j+ ` + 1 b = j b + 1 b P + P = P + P bulunur 16

41 8 dikdörtgeninde [P] ^ [], P = 8 cm ve P = cm olduğun göre P = kç cm dir? ullım P dik üçgeninde [P] ^ [] olduğundn Öklit ğıntısı ile 8 P = P P P = 8 = 16 P = cm bulunur dikdörtgen olduğundn şekilde, P P + P = P + P + = = 68, = 5 = 13 cm bulunur dikdörtgeninde P dış bölgede bir nokt ise, P + P = P + P olduğunu gösterelim P b y y ƒ P b ƒ P noktsındn geçen ƒƒ // [] doğrusunu çizerek ƒƒ dikdörtgenini oluşturlım ƒp = =, ƒp = = b, ƒ = ƒ = ve = = y olrk isimlendirilirse, ƒp ve Pƒ dik üçgenlerinde Pisgor Teoremi nden, P = +, P = b + ( + y) P + P = + b + + (+y) bulunur Pƒ ve Pƒ dik üçgenlerinde Pisgor Teoremi nden, P = + ( + y), P = b + P + P = + b + + ( + y) elde edilir ikkt edilirse, lpl + lpl = + b + + ( + y) = P + P olmktdır 17

42 P dikdörtgen, P dış bölgesinde bir noktdır 3 [] [] = {}, L = LP, P = 3 cm, L P = 6 cm, P = 5 cm ise L = kç cm dir? ullım 3 P [P] çizilirse dikdörtgen olduğundn, P + P = P + P 5 + P = L P = 0 P = 5 cm bulunur ikdörtgende köşegenler birbirini ortldığındn ll = ll olur L = PL verildiğinden P üçgeninde [L] ort tbn ve P 5 sonuçt, L = = = = 5 cm bulunur lıştırmlr 1 şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız ir çısı dik çı oln prlelkenr denir ikdörtgende köşegen uzunluklrı 58 dikdörtgen, [] [] = {}, % m ( ) = c %, m ( ) = 58c, = ise, m ( % ) = kç derecedir? 3 dikdörtgen, [] ^ [], 3 3 = 3 3 cm, = 3 cm ise, = kç cm dir? 18

43 dikdörtgeninde, [], [] ile [] çıortylr, = ise, m( % ) = kç derecedir? 5 6 dikdörtgeninde, [] ^ [], = cm, = 6 cm ise, = kç cm dir? R V RNİN ÖZLLİLRİ Tüm kenrlrı birbirine eş oln dikdörtgene kre denir re ynı zmnd bir eşkenr dörtgen de olduğundn köşegenleri çıortydır ve birbirini dik ortlr kresinde = ise ve ikizkenr dik üçgenlerinden = = olur G Resimde kre biçimindeki sermiklerle kplı kresel bölgesi verilmiştir elirtilen,,, G ve noktlrının doğrusl olduğunu gösterelim Resimdeki sermikler kresel bölge biçiminde olduğundn, % % % mg ( ) = mg ( ) = m ( ) = = 180, G, ; G,, ve,, kendi rlrınd doğrusl, sonuçt,,, G, noktlrı d doğrusl olur 19

44 kre, dik üçgen, = ise, m ( % ) = kç derecedir? ullım ,5 = [] köşegeni çizilirse, = = olcğındn ikizkenr üçgen olur Tbn çılrının ölçüsü olsun rede köşegenler çıorty olduğundn, üçgeninde dış çı ölçüsü, 5 = =,5 ve üçgeninde dış çı ölçüsü, = 5 + 7,5 = 67,5 bulunur G ve G birer kre, [] ^ [], = cm, = cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım 3 G = 6 G kresinde [] köşegeni çıorty olduğundn; [, = cm ve = = = + = 3 cm olur ikizkenr dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile, = 3 = 6 cm bulunur 150

45 Y (, ), (, ), (, ) ve (, ) olmk üzere, kresi O bşlngıç noktsı etrfınd pozitif yönde 90 döndürüldüğünde noktsın krşılık gelen ƒ noktsının koordintlrını bullım O X Y ƒ ƒ ƒ ƒ O X % Şekilde mo ( l) = 90c olcğındn, O = Oƒ, mo ( % % % ) =, mo ( ) = β & mo ( l ) = β % ve mo ( l ) = olur eşlik kurlındn, & & = O = birim O, O l & ) O = l = birim Sonuçt ƒ(, ) bulunur lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) rede köşegenler diktir ve birbirini ortlr ( ) re bir dikdörtgendir ( ) rede her iki köşegen de çıortydır kre, eşkenr üçgen ise, m( % ) = kç derecedir? 3 bir kre dik üçgen, [] ^ [], = cm, = 6 cm ise, kç cm dir? 6 151

46 bir kre [] ^ [], 8 = = ve = 8 cm ise, kç cm dir? 5 ir dörtgende tüm kenrlrın ort noktlrı birleştirildiğinde oluşn şeklin bir kre olmsı için bu dörtgende olmsı gereken koşullrı bulunuz 6 ile G kre, = 5 cm, = G ise, G kresinin çevre uzunluğu kç cm dir? G 7 5 kre [] ^ [], % m ( ) = 5c ise, m ( % ) = kç derecedir? 8 ve G birer kre, G [] [] = {} = = 6 cm ise, G = kç cm dir? 15

47 LTOİ V LTOİİN ÖZLLİLRİ α ß α ß öşegenlerinden biri, iki ikizkenr üçgenin tbnı oln dörtgene deltoid denir Şekildeki deltoidinde = =, = = b ve % % m( ) = m( ) = α+ β olur b b Şekilde ve ikizkenr üçgenlerinin tepelerini birleştiren [] köşegeni α ß α ß çizildiğinde [] [] = {} ise [] çıorty, [] ^ [] ve = olur Gösterelim eşlik kurlın göre olduğundn, b b m ( % ) = m ( % ) % % ve m ( ) = m ( ) olur İkizkenr üçgenlerin tepesinden çizilen iç çıorty tbn dik ortldığındn deltoidinde çıorty oln [] köşegeni [] köşegenini dik ortlr Şekilde [] ^ [] ve = olur 6 G 6 r 5 r r O r 8 8 Resimde deltoidi biçimindeki bhçenin çimlerini sulmk için iç bölgede tüm kenrlr eşit uzklıkt bir nokty su fıskiyesi konulmuştur [] ^ [], [] ^ [], = = 6 m, = = 8 m ise, fıskiyenin bulunduğu noktnın kenrlr uzklığı kç m dir? ullım eltoidde tüm iç çıortylr iç bölgede bir O noktsınd kesiştiğinden O noktsının kenrlr uzklığı eşit olur Çünkü şekilde, [O] çıorty O = O [O] çıorty O = O [O] çıorty O = OG [O] çıorty O = OG ve sonuçt, O = O = OG = O = r olur hçenin lnı, 68 () = c m = 8 = (O ) + (O ) + (O ) + ( O) olduğundn, 8 = 8 r 8 r 6 r 6 r 8r & 8 = & 8 = 1r & r = m bulunur 7 153

48 dikdörtgeninde; [], [] ^ [], =, = 3 cm ve = 6 cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım 3 6 dik üçgeninde [] kenrortyı çizildiğinde, = = = 3 cm ve = verildiğinden dörtgeni bir deltoid olur u deltoidde [] çıorty olduğundn, dik üçgeninde çıorty teoremini kullnırsk, = & = = & = bulunur 6 dik üçgeninde = = = olcğındn, = () 3 = 81 = 7 = 3 3 cm ve = = 6 3 cm bulunur Sonuçt = = 3 3 cm olduğundn, = = = 3 3 cm bulunur urd dik üçgeninin bir iç çı ölçüsü 30 oln özel bir dik üçgen olduğun dikkt edelim! 3 Şekilde ymuk; [] // [], deltoid, =, = 7 cm ve = 3 cm olduğun göre, = kç cm olur? ullım Şekildeki gibi [] çizilirse deltoid olduğundn, [] çıorty ve = = 3 cm olur [] // [] m( ) = m( ) = olduğundn, ikizkenr üçgen ve = = 7 cm = = 7 3 = cm bulunur 7 15

49 örtgenlerin Sınıflndırılmsı örtgenleri değişik özelliklerine göre sınıflndırbiliriz rşılıklı kenrlrı prlel (prlelkenr) olnlr; dikdörtgen, eşkenr dörtgen ve kre prlelkenrın tüm özelliklerine shiptir öşegenleri birbirini ortlr, krşılıklı kenrlr ve çılr eştir, komşu çılr bütünlerdir öşegenleri birbirine dik olnlr; kre, eşkenr dörtgen ve deltoiddir İki köşegeni de çıorty olnlr ise kre ve eşkenr dörtgendir şğıdki temel şem d dörtgenlerin krşılıklı kenr çiftlerinin prlel olup olmmsın göre bir sınıflndırm ypılmıştır İnceleyiniz örtgenler eltoid n z iki kenrı prlel olnlr Ymuk Prlelkenr ik İkizkenr ikdörtgen re Ymuk Ymuk şkenr örtgen öşegenlerinden biri, iki ikizkenr üçgenin tbnı oln dörtgenler hngi dörtgenlerdir? ullım b b Şekillerde dikkt edilirse [] köşegeni; deltoid, eşkenr dörtgen ve krede ile ikizkenr üçgenlerinin ortk tbnıdır 155

50 lıştırmlr 1 şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız re ve eşkenr dörtgen özel bir eltoidde köşegenler birbirine eltoidin iki iç çı ölçüsü deltoid ve = dir 5 L 3 [] [] = {L}, [] [] = {}, =, L = 5 cm, L = 3 cm olduğun göre, deltoidinin çevre uzunluğu kç cm dir? 3 bir üçgen, deltoiddir =, = 6 cm, = 8 cm ve = 7 cm olduğun göre, = kç cm olur? 6 deltoid, =, [] [] = {} = cm, = 6 cm ve ( ) = 6 cm olduğun göre ( ) kç cm olur? YMUĞUN LNI c ymuğund; [] // [], =, = c ve yükseklik h olsun h h + c () = c mh olur Gösterelim Şekildeki gibi ymuğund [] köşegeni çizilirse, & & h ch + c ( ) = ( ) + ( ) = + = c m h olur ikkt edilirse ymuğun lnı, ort tbn uzunluğu ile yüksekliğinin çrpımın eşittir 156

51 6 ikizkenr ymuk; [] // [], =, [] ^ [], = 10 cm, = 6 cm ise, () kç cm olur? ullım 10 6 h 6 ikizkenr ymuğund [] ve [] yükseklikleri çizilirse, 10-6 = = = cm, = 8 cm olur ll = h ise, dik üçgeninde Öklid ğıntısı ile, h = h = 8 = 16 h = cm bulunur Sonuçt ymuğunun lnı, + c () = c mh = = 8 = 3 cm olur 1 bir ymuk; [] // [], 3 = 6 cm, = 3 cm, = 1 cm ve = cm ise, () kç cm olur? ullım h 3 [] // [] çizersek, prlelkenr dolyısıyl, = = cm, = = 1 cm = 5 cm olur enr uzunluklrı, 3 cm, cm ve 5 cm oln üçgeni Pisgor Teoremi ni sğldığı için bir dik üçgen, [] ^ [] ve 3 & 5 h 1 = ( ) = bğıntısındn h = bulunur 5 + c ( 6+ 1) Sonuçt, ( ) h , cm = c m = = = = 8 olur

52 dik ymuğund; [] // [], [] ^ [], [] ^ [] = 9 cm ve = cm ise () kç cm olur? ullım 9 h 9 Ymuğun yüksekliği = h olsun köşesinden [] // [] çizildiğinde = {} ise prlelkenr olduğundn = = cm ve [] ^ [] olur dik üçgeninde Öklid ğıntısı ile, h = 9 h = 6 cm bulunur Sonuçt, 9+ ( ) = c m = = cm olur S 1 ymuğund; [] // [], & & =, ( ) = S1, ( ) = S olsun & ( ) = S1 + S S & b () = ( ) olduğunu gösterelim h S 1 c h Ymuğun yüksekliği = L = h olsun noktsı ort tbn üzerinde olduğundn = L = h olur un göre şekilde h S L ( ) S 1 + S = c h 1 h 1 + c c $ $ m+ c $ $ m= c m $ h = olduğundn, & ( ) = ( ) & ve sonuçt ( ) = S1+ S & ve () = ( ) bulunur 158

53 ymuğund; [] // [], [] ^ [], = ve ll = ll = cm ise, ymuğun lnını bullım S 1 8 S ymuğund = olduğundn [] çizildiğinde, & & ( ) = S1 ve ( ) = S olsun & ( ) = S1 + S S 1 + S = ymuğun lnı, () = ( ) = 8 = 16 cm olur = 8 cm bulunur S 1 S S 3 ymuğund [] // [], [] [] = {}, ^ & h= S, ^ & h 1 = S, ^& h= S3, ^& h= S olsun S S 1 = S 3, b S 1 = S 3 = S ise S = S S, c () = ` S + Sj olduğunu gösterelim h S 1 c S S S 3 h ymuğund [] // [] olduğundn, ile üçgenlerinde [] tbnlrı ve bu tbnlr it yükseklikler eştir olyısıyl lnlrı d eşit olcğındn, ch ^ & h= = ^ & h S1 + S = S 3 + S S 1 = S 3 elde edilir & b S 1 = S 3 = S olsun Yükseklikleri eş & ile ornı, tbn uzunluklrı ornın eşit olcğındn şekilde, S S = = & S = S S elde edilir S S & ve & ile üçgenlerinde lnlr c ` S + Sj = S+ S+ S S = S + S + S S = S+ S+ S = S+ S+ S = S1+ S+ S3+ S = ( ) olduğu kolyc görülür 159

54 ymuğund; [] // [] // [], = 3 = 6 cm, 3() = 5() ise, = kç cm dir? ullım S 3S 5S 6 = 6 cm, = cm, () = 5S ve () = 3S olsun = {} noktsı için & + & ve benzerlik ornı 1 k = = olduğundn ( benzerlik kurlı) lnsl orn, 6 3 & ( ) 1 1 & = c m = & ( ) = S ve ( ) = 9S olur & ( ) 3 9 & & Yine benzerlik kurlındn + ve lnlr ornı benzerlik ornının kresi olduğundn, S S 1 = & = & = cm bulunur ymuğund; [] // [], [] [] = {}, ( ) = cm, ( ) = 16 cm ise, ymuğunun lnını bullım S 16 S [] // [] olduğundn, ( ) = ( ) = S lınırs, yükseklikleri ortk üçgenlerin lnlrı ornı 16 S = = & S = 6 & S = 8 cm olur S Sonuçt () = = 36 cm bulunur 160

55 İnceleyerek Öğrenelim nlitik üzlemde öşelerinin oordintlrı Verilen Üçgenin lnı y 1 Y y 3 y O ƒ ƒ 1 ƒ 3 X öşeleri ( 1, y 1 ), (, y ) ve ( 3, y 3 ) oln üçgeninin lnı, ( ) = 1 [1 (y y 3 ) + (y 3 y 1 ) + 3 (y 1 y )] olur Gösterelim Şekilde görüldüğü gibi,, noktlrının X ekseni üzerindeki dik izdüşümleri ƒ, ƒ, ƒ olsun ƒƒ, ƒƒ ve ƒƒ dörtgenleri birer dik ymuk ve & ( ) = (ƒƒ) + (ƒƒ) (ƒƒ) olduğundn, & l + l l + l l + l ( ) = e o$ ƒ ƒ + e o$ l l - e o $ l l y + y y + y y + y = c m $ ( - ) + e o( - )-e o$ ( ) = (1 y y y 1 y + 3 y 1 1 y y 3 1 y 3 3 y + y 3 y 3 + y 3 ) = 1 [1 (y y 3 ) + (y 3 y 1 ) + 3 (y 1 y )] bulunur nlitik düzlemde (0, 3), ( 1, ) ve (3, 1) olmk üzere üçgeninin lnını bullım & 1 ( 1, y 1 ), (, y ), ( 3, y 3 ) ise ( ) = [1 (y y 3 ) + (y 3 y 1 ) + 3 (y 1 y )] olduğundn & 1 ( ) = [0 ( 1) + ( 1)(1 3) + 3(3 ( ))] = [0 1( ) + 3(3 + )] = ( ) = br bulunur 161

56 nlitik düzlemde köşelerinin koordintlrı (6, 7), (, ) ve (8, ) oln üçgeninin lnını bullım 7 Y O ƒ ƒ ƒ 6 8 X üçgenini nlitik düzlemde gösterelim,, köşelerinin X ekseni üzerindeki dik iz düşümleri sırsıyl ƒ, ƒ ve ƒ olsun, şekilde dikkt edilirse; ( ) = (ƒƒ) + (ƒƒ) (ƒƒ) olur ƒ =, ƒ = 7, ƒ =, ƒƒ = 6 =, ƒƒ = 8 6 = br, ƒƒ = 8 = 6 br ve ƒƒ, ƒƒ ve ƒƒ birer dik ymuktur un göre, & ( ) 11 6 = = = = 11 br bulunur lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) ir ymuğun lnı ort tbn uzunluğu ile yüksekliğinin çrpımın eşittir ( ) er dörtgende olduğu gibi ymukt d kenrlrın ort noktlrını köşe kbul eden dörtgenin lnı, ymuğun lnının yrısıdır ymuk; [] // [], = = cm, = 5 cm ve () = () ise = kç cm dir? 5 16

57 3 dik ymuk; [] // [], 3 8 [] ^ [], = cm, = 3 cm, = cm ve = 8 cm ise, ( ) kç cm olur? ymuğund; [] // [], 5 =, = = 5 cm, 5 = 6 cm olduğun göre, 6 () kç cm olur? 5 ymuğund; [] // [], % m ( ) = 30c, = = 6 cm, = cm ise, 6 30 () kç cm olur? 6 5 bir ymuk, [] // [] // [], = 5 cm, = 15 cm, () = () ise, 15 ll = kç cm dir? 7 ymuk; [] // [], [] [] = {}, ( ) = cm, ( ) = 5 cm olduğun göre, () kç cm olur? 163

58 8 dik ymuk; [] // [], [] ^ [], =, = = 10 cm, = cm olduğun göre, dörtgeninin lnını bulunuz 10 9 ymuk; [] // [] // [], [] [] = {} ( ) = 8 cm ise, ( ) kç cm olur? 10 ikizkenr ymuğund [] // []; =, = 5 cm, = 6 cm ve = cm olduğun göre, () kç cm olur? PRLLNRIN LNI b α h b h prlelkenrınd; =, = b, bu kenrlr it yükseklikler h, h b ve m ( W ) = olsun b () = h = bh b = bsin olur Gösterelim prlelkenrınd [] köşegeni çizildiğinde eşlik kurlın göre, &, & & ( & ) = ( & ) olduğundn; & h 1 ( ) = ( ) = e o = c b sinm = h b sin =, & () = ( ) bulunur b$ hb = e o = bh b ve sonuçt () = h = bh b = bsin Resimdeki trlnın prlelkenrı biçimindeki bölgesinde = 60 m ve [] ile [] kenrlrı rsındki uzklık 0 m olduğun göre, bölgesinin lnını bullım 16

59 prlelkenrsl bölgesi [] köşegeni ile birbirine eş ve üçgensel bölgelerine yrılıp, bu bölgelerin lnlrı d eşit olduğundn, () = ( ) + ( ) = ( ) = c m = 00 m bulunur S 1 S prlelkenr ve [] olsun & & ( ) = S1 ve ( ) = S ise, & & ( ) = S1 + S ve () = ( ) olduğunu gösterelim S 1 S Şekildeki gibi [] // [] çizelim u durumd ve birer prlelkenrdır prlelkenrsl bölgesi [] köşegeni ile eşdeğer S 1 S & & iki üçgensel bölgeye yrılır ve ( ) = ( ) = S1 olur enzer biçimde prlelkenrsl bölgesi [] köşegeni ile eşdeğer üçgensel bölgelere yrılır ve & & & ( ) = ( ) = S olur Sonuçt, ( ) = S1 + S & ve () = (S 1 + S ) = ( ) bulunur prlelkenrsl bölgesi [] ve [] köşegenleri ile eşit lnlı dört üçgensel bölgeye yrılır Gösterelim Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, S S S S ll = ll ve ll = ll olur Tbn ve yükseklikleri eş oln üçgenlerin lnlrı d eşit olcğındn, ^& h= ^& h= ^& h= ^& h= S bulunur 165

60 İnceleyerek Öğrenelim S 3 S P S 1 S prlelkenr ve P iç bölgede herhngi bir nokt olsun Şekildeki üçgensel bölgelerin lnlrı S 1, S, S 3 ve S ise, S 1 + S 3 = S + S () = (S 1 + S 3 ) = (S + S ) olur Gösterelim 3 P L Şekildeki gibi P noktsındn geçip [] kenrın prlel oln [L] ve [] kenrın prlel oln [] çizilirse; P prlelkenr ve P ( ) = P ( ) LP prlelkenr ve P ( ) = LP ( ) PL prlelkenr ve PL ( ) = P ( ) P prlelkenr ve P ( ) = P ( ) & & & & P ( ) + P ( ) = P ( ) + ( P) = ve ( ) = `( P ) + ( P ) j= `( P ) + P ( ) j olmktdır prlelkenr; [P] ^ [P], 8 P P = cm, P = 8 cm ve () = 8 cm ise, ( P) kç cm olur? ullım () = [ P ( & ) + P ( & )] olduğundn; 8 & & & 8 = c + P ( ) m& = 16 + P ( ) & ( P) = 8 cm bulunur 166

61 prlelkenrınd; P [], P [] // [], [] // [L], [] [] [L] = {P} olsun (PL) = 16 cm ise, (P) kç cm olur? ullım L S 1 S 1 S P S S 16 [] // [] // [] ve [] // [] // [L] olduğundn, LP, PL, P ve P dörtgenleri prlelkenrdır LP ve P prlelkenrsl bölgelerinde köşegenin yırdığı üçgensel bölgelerin lnlrı sırsıyl S 1, S ve (P) = S olsun L ( ) = ( ) S 1 + S + S = S 1 + S + 16 S = 16 cm bulunur Yndki şekilde, prlelkenr, ve kenrlrın ort noktlrıdır ( ) ( ) un göre, ve ornlrı kçtır? ( ) ( ) ullım S S S S [] köşegeni çizilirse, tbn ve yükseklikleri eş oln üçgenlerin lnlrı eşit olcğındn, ^ & h= ^ & h = S ^ & h = ^ & h = S S ( ) = ( ) = = S olur Sonuçt ( ) S 1 ( ) S 1 = = ve = = ( ) S ( ) S bulunur 167

62 M G Şekildeki prlelkenrınd,,, G ve kenrlrın ort noktlrıdır N L un göre, şekilde,, ve köşelerini krşı kenrlrın ort noktlrın birleştiren [G], [], [], [] doğru prçlrı ile belirlenen LMN dörtgeninin bir prlelkenr ve LMN ( ) ( ) 1 = olduğunu gösterelim 5 G S 1 b 3S 1 3S M L S N b S 3S 3S b 1 S 1 b Şekilde l = l = Gl = Gl =, l = l = l = l = b olsun İç ters çılr eş olduğundn şekilde eşlik kurlındn, GM &, & & &, N, L ve bu eş üçgenlerin lnlrı GM ^ & h= ^& h= S 1 N ^& h= L ^& h= S olur rşılıklı kenrlrı eş ve prlel oln G ve dörtgenleri prlelkenr olduğundn LMN dörtgeni de prlelkenrdır [G] // [] ve [] // [] olduğundn benzerlik kurlın göre, MG & + L, & & & & & & & 1, + N, L +, N + M ve bu üçgenlerde benzerlik ornı k =, lnsl orn k 1 = olur un göre ln dğılımı ypıldığınd; (MGL) = (N) = 3S 1 ve (MN) = (L) = 3S elde edilir prlelkenrının 1 lnının üne eşit G ve üçgenlerinin lnlrı eşit olcğındn, S + S 1 = S 1 + S S 1 = S = S bulunur (S 1, S ) & & öylece, şekilde G ( ) = 5S, () = G ( ) (LMN) = 0S 16S = S bulunur Sonuçt LMN ( ) S 1 = = olur ( ) 0S = 5S = 0S ve

63 prlelkenr; = =, = 5 L, (L) = 1 cm ise, L () kç cm olur? ullım 5 h Şekilde lll = 3 lınırs, = 5 L = 53 = 15 = 15 = = = = 5 olur 3 L 3 Prlelkenrın yüksekliği h olsun L bir ymuk ve yüksekliği h olduğundn, 5+ 3 (L) = h = h = 1 h = 3 cm sonuçt () = h = 15h = 153 = 5 cm bulunur prlelkenr, ile kenrlrın ort noktsı olsun ( ) ( ) 3 = olduğunu gösterelim 8 üçgeninde [] ort tbn olduğundn; S S S benzerlik kurlın göre ~, benzerlik ornı 1 k = ve lnsl orn k 1 = olur ( ) = S ise ( ) = S ve () = S = 8S, ( ) 8S ( ) = ( ) = = = S ( ) = 8S S S S = 8S 5S = 3S & ( ) 3S 3 ve sonuçt = = bulunur (S R + ) ( ) 8S 8 169

64 lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) Prlelkenr bir köşegeni ile eşit lnlı iki üçgene yrılır ( ) Prlelkenrın her iki köşegeni de çizilirse eşit lnlı dört üçgen elde edilir ( ) Prlelkenrd herhngi bir köşenin krşı kenrın ort noktsın birleştirilmesi ile oluşn 1 üçgenin lnı, prlelkenrın lnının üdür prlelkenr; bir üçgen, L [], [L] // [], = ve & L ( ) = cm ise () kç cm olur? prlelkenrınd; =, =, = 3 cm ve = 5 cm olduğun göre, () kç cm olur? 8 6 prlelkenrınd; [] ^ [], [] ve [] çıortylr, = 6 cm, = 8 cm ise, & ( ) kç cm olur? 5 G dörtgeninde;,, G ve kenrlrın ort noktlrı, [] ^ [G] ve = = cm olduğun göre, () kç cm olur? 170

65 6 prlelkenr ile kenrlrın ort noktlrıdır () = 0 cm ise, & ( ) değerini bulunuz 7 prlelkenrınd,, G kenrlrın ort noktlrıdır G L [] [G] = {L}, [] [] = {} ise, L ( ) ornı kçtır? & ( ) 8 prlelkenrınd P iç bölgede bir nokt & P ( ) = 5 cm ve P () = 30 cm olduğun göre, & P ( ) değerini bulunuz 9 prlelkenr; [] ^ [], =, = 6 cm ve = cm ise, () değerini bulunuz 6 10 prlelkenr = 5 = 3 ve ( ) = 0 cm olduğun göre () değerini bulunuz 171

66 ŞNR ÖRTGNİN LNI eşkenr dörtgeninde [] ^ [] olduğundn = e, = f ise köşegenleri dik oln bir dörtgende olduğu ef gibi () = olur şkenr dörtgen bir prlelkenr olduğundn prlelkenrd verilen ln bğıntılrı eşkenr dörtgende de geçerlidir eşkenr dörtgen; [] [] = {}, [] ^ [], = cm ve = 9 cm ise, () kç cm olur? ullım şkenr dörtgende köşegenler birbirini dik ortldığındn dik üçgendir [] ^ [] verildiğinden Öklid ğıntısı ile, = = 9 = 36 = 6 cm bulunur eşlik kurlın göre, &, & ve bu eş üçgenlerin yükseklikleri = = 6 cm olduğundn, = = 1 cm olur Sonuçt () = = 131 = 156 cm bulunur eşkenr dörtgeninde; [], [] ^ [] 3 [] ^ [], = 3 cm, = cm ve = 6 cm olduğun göre, () kç cm olur? ullım [] dikmesi [] kenrın doğru uztılırs, [] köşegeni çıorty olduğundn; = = cm = 3 + = 5 cm, () = = 65 = 30 cm bulunur 17

67 oyutlrı 8 m ve m oln dikdörtgen biçiminde bir kilim üzerine şekildeki gibi birbirine eş eşkenr dörtgen biçiminde motif dokunmuştur şkenr dörtgen motiflerden birinin kpldığı lnı bullım G P Şekildeki eşkenr dörtgen motifler birbirine eş olduğundn, = G ve = P olur ikdörtgen biçimindeki kilimde; = 8 m = + G = = G = m, = m = + P = = P = m bulunur Sonuçt bir eşkenr dörtgen biçimindeki motifin kpldığı ln, ( ) = = = m bulunur eşkenr dörtgeninde; [] köşegen, = = 13 cm ve = 3 cm ise, () kç cm olur? ullım [] köşegeni çizilirse; [] ^ [], = ve = olcğındn, 16 = = 8 cm, = 8 3 = 5 cm ve dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile = 13-5 = 1 = 1 cm bulunur = = 1 = cm ve () = 16 = = 19 cm olur 173

68 lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) şkenr dörtgenin lnı köşegen uzunluklrı çrpımının yrısıdır ( ) şkenr dörtgende köşegenler diktir ( ) şkenr dörtgende köşegenler çıortydır ve birbirini dik ortlr ( ) Tüm kenrlrı eş oln prlelkenr eşkenr dörtgen denir eşkenr dörtgen; [] ^ [], = 6 cm, = cm ise, () kç cm olur? eşkenr dörtgen; [], [] ^ [], = 3, = 3 cm ve = 3 cm ise, () kç cm olur? eşkenr dörtgen, bir üçgen, [] ^ [], = = cm ise, () kç cm olur? İÖRTGNİN LNI b ir dikdörtgeninde = birim ve = b birim ise şekilde görüldüğü gibi dikdörtgensel bölgede bulunn birim krelerin syısı b olduğundn dikdörtgeninin lnı () = b birimkre olur 17

69 dikdörtgeni biçimindeki bir kâğıt prçsı şekildeki gibi köşesi [] kenrı üzerindeki bir noktsı ile çkışck şekilde [] boyunc ktlnıyor = 10 cm ve ktlnmış üçgensel bölgesinin lnı 5 cm olduğun göre, () kç cm olur? ullım 10 b b = 5 & âğıdı [] boyunc ktldığımızd çkıştığındn bu üçgenler eştir u yüzden, = = 10 cm ve = = olur & ile ( ) = 5 cm verildiğinden, 10 = 5 & = 5 cm bulunur Şekilde çı değerleri isimlendirilirse, benzerlik kurlın göre, & + & ve benzerlik ornı = = olduğundn, = = ve = b = b olur dikdörtgeninde, = + b = 10 ve = b + 5 = olduğundn, + b = 10 1 denklem sisteminde denkleminin ktını lıp, b = 5 1 denklemi ile trf trf toplrsk, = 0 = cm olur Sonuçt: = = = 8 cm ve () = 108 = 80 cm bulunur dikdörtgen, dik üçgen, [] ^ [], [] ^ [], = ve () = 7 cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım dik üçgeninde [] ^ [] olduğundn Öklid ğıntısı n göre, olduğundn, = = = = () = 7 = 3 3cm bulunur 175

70 G G dikdörtgeninde; [G], [G], [] ve [] çıortylr, = 6 cm, = 8 cm ise, (G) kç cm olur? ullım,, G ve çıortylrın kesim noktsı olduğundn,,, ve G ikizkenr dik üçgenler olur = = 6 cm = = = = 6 cm, = = 8 cm G = G = = = 8 cm, = = 8 6 = cm G bir kre olur Sonuçt (G) = = cm bulunur lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) ikdörtgende köşegenler diktir ( ) ikdörtgenin lnı dik kenr uzunluklrı çrpımın eşittir ( ) ikdörtgenin lnı köşegen uzunluklrı çrpımının yrısıdır dikdörtgeninin içine birbirine eş oln tne dikdörtgen yerleştirilmiştir Çevre() = 8 cm olduğun göre, () kç cm olur? 3 ir dikdörtgeninin lnı 60 cm ve bir köşegeninin uzunluğu 13 cm olduğun göre, çevre uzunluğu kç cm dir? G dikdörtgen; 16 8 [] // [], [] // [G] // [L], (N) = 6 cm, (MLN) = cm, M N 6 (MNG) = 8 cm ve (M) = 16 cm ise, () kç cm olur? L 176

71 5 dikdörtgeninde; [] ^ [], = cm; 8 = 8 cm olduğun göre, ( ) kç cm olur? 6 dikdörtgen; [] ^ [], 6 m( % ) = m( % ), = 10 cm, 10 = 6 cm ise, ( ) kç cm olur? 7 Çevre uzunluğu 0 cm oln bir dikdörtgensel bölgenin lnının lbileceği en büyük değer kç cm olur? RNİN LNI re tüm kenrlrı birbirine eş oln bir dikdörtgen olduğundn şekildeki bir kenr uzunluğu oln kresinin lnı () = = olur oyutlrı 300 cm ve 0 cm oln dikdörtgen biçimindeki bnyo zemini, bir kenr uzunluğu 30 cm oln kre biçimindeki sermiklerle kplncktır Zeminin tmmını kplmk için kç tne sermik kullnılır ullım ir sermiğin kpldığı ln 3030 cm ve zemini tmmen kplmk için tne sermik kullnıls, = 0300 = = 810 = 80 bulunur

72 G 8 Şekilde ve G birer kredir = 8 cm ve trlı bölgenin lnı (G) = 55 cm ise, nun kç cm olduğunu bullım G 8 8 G kresinin bir kenr uzunluğu cm olsun Trlı bölgenin lnı, 55 = 6 = 9 = 3 cm olur G kresinin köşegen uzunluğu, = = 3 cm, kresinin köşegen uzunluğu, = 8 cm olduğundn, = 8-3 = 5 cm bulunur G kre,, ve G kenrlrın ort noktlrı, [G] [] = {}, [] [] = {}, = 5 cm ise, trlı dörtgeninin lnını bullım S 3S L N S 3S G S 3S 3S M S S köşesini krşı kenrın L ort noktsın birleştirirsek, eşlik kurlındn, G &, &, M &, LN & ve (G) = () = (M) = (LN) = S olur Şekildeki benzer üçgenlerin ln dğılımlrı ypılırs, () = ( 5) = 5S = 0S = 80 S = cm, (MN) = 0S 16S = S ve sonuçt, () = 3S + S = 7S = 7 = 8 cm bulunur 178

73 dik üçgen G kre, [] ^ [], = cm, G ve = 5 cm olduğun göre, (G) kç cm olur? ullım 5 dik üçgeninde m ( X ) =, m( W ) = β, = G = olsun G 5 u durumd, + = 90 m ( % ) = % ve mg ( ) = β olur benzerlik kurlındn, & & + G & = = 0 (G) = 0 cm 5 bulunur kre; [] ^ [], [], 6 =, = 5, = 6 cm olduğun göre, ( ) kç cm olur? ullım 5 3 M N 1 Şekilde noktsındn geçen [MN] // [] çizilirse, = 6 cm = cm, = 5 cm, N = M = M = 1 cm, N = N = 5 cm olur benzerlik kurlın göre, M & + N & olduğundn, M N 1 N = & = & N = ve = 5 - = cm M N 5 bulunur Sonuçt, & N 5 ( ) 1 = = 5 = 5 cm olur 179

74 kre; bir üçgen, [] [] = {}, =, ( ) = 3 cm, ( ) = 15 cm ise, = kç cm dir? ullım 3 S 15 Şekilde ( ) = S olsun () = ( ) = ( ) ( ) = ( ) S + 15 = (S + 3) S + 15 = S + 6 S = 9 cm olur () = ( ) = (S + 15) = (9+15) = 8 cm ise = 8 = 3 cm bulunur kre; [] ^ [], [] = [], = cm ise, () kç cm olur? ullım [] ^ [] çizilir ve m( % ) = %, m ( ) = β olrk isimlendirilirse, dik üçgeninde de m ( % ) = %, m ( ) = β olur = = olduğundn eşlik kurlın göre, &, & = = = cm = cm bulunur Sonuçt dik üçgeninde Pisgor Teoremi kullnılırs, () = = + = 0 cm bulunur 180

75 lıştırmlr 1 ir kenr uzunluğu 3 metre oln kre biçimindeki bir mutfk duvrı, bir kenrı 10 cm oln kre biçimindeki sermiklerle kplncktır un göre mutfk duvrının tmmının kplnmsı için kç tne sermik gereklidir? G Şekilde ve G kre, = 10 cm ve (G) = 6 cm olduğun göre, II = kç cm dir? 10 3 G kre;, ve G kenrlrın ort noktlrı, [G] [] = {} [G] [] = {} ve ll = 10 cm olduğun göre, dörtgeninin lnı kç cm olur? 10 kre, [] ^ [], =, = 3 cm ise, 3 () kç cm olur? 5 kre, bir üçgen, % m ( ) = 15c, = cm ise, () kç cm olur?