ÜNİTE DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER. 5.1 : Dörtgenler ve Özellikleri 5.2 : Özel Dörtgenler 5.3 : Çokgenler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ÜNİTE DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER. 5.1 : Dörtgenler ve Özellikleri 5.2 : Özel Dörtgenler 5.3 : Çokgenler"

Transkript

1 5 ÜNİT ÖRTGNLR V ÇOGNLR 51 : örtgenler ve Özellikleri 5 : Özel örtgenler 53 : Çokgenler ünymız yklşık olrk küre biçimindedir Onun üzerinde bir üçgen çizmeye klktığımızd o üçgenin iç çılrının toplmı 180 dereceden büyük olur Yukrıdki resim ve şekillerde bu durum gösterilmektedir Oys ortdki düzlem hritd bir üçgenin iç çılrının toplmı 180 derecedir üresel Geometri Öklid (uclides) dışı geometrilerin vrlığı, 19 yüzyıld keşfedildi unu keşfeden dört mtemtikçi şunlrdır: Guss ( ), N Lobchevsky ( ), J olyi ( ) ve Riemnn ( ) u keşif, üny nın düz değil de yuvrlk olduğunun kıl düzeyindeki keşfinden sonr orty çıkmış ve Öklid geometrisinin mutlk doğru olmdığı nlşılmıştır vid ilbert, 1899 d Geometri nin Temelleri (Grundlgen der Geometri) dlı ypıtınd Öklid in ypmk istediğini (bugünkü nlmd) çok dh mtemtiksel olrk ypmıştır Öklid geometrisi düzlemde geçerlidir ve yerel olrk iyi bir yklştırmdır üny o denli büyüktür ki, küçük uzklıklrı ölçerken bu üny nın eğriliği göze çrpmz Örneğin önümüzdeki kâğıt düzdür ve ord çizeceğimiz üçgenin iç çılrı toplmı 180 derecedir Sonr mtemtikçiler Öklid-dışı geometrileri keşfettiler Prlel doğrulr, düz bir yüzey üzerinde kesişmez üresel bir yüzeyde bütün doğrulr kesişebilir iperbolik bir yüzeyde kesişmeyen birçok doğru bulunur Öklid geometrisini, bir duvr ustsı kullnbilir; m okynust giden bir denizci kullnmz Öklid-dışı geometrilerin keşfedilmesi, slınd bin yıllr dyns d bzı sistemlerin biricik olmdığını gösterdi Öklid geometrisi, kendi içinde tutrlıdır ve olnklı geometri sistemlerinden sdece biridir Yukrıdki şekilde görüldüğü gibi üny üzerindeki bir üçgenin iç çılrı toplmı 180 dereceden büyüktür; m bir hrit üzerindeki üçgenin iç çılrı toplmı 180 derecedir ynk: wwwtominsnnet 107

2 51 : ÖRTGNLR V ÖZLLİLRİ 511: örtgenin Temel lemnlrı ve Özellikleri ÖRTGNİN TML LMNLRI V ÖZLLİLRİ γ θ d γ ß c α ß α b θ ışbükey dikdörtgen İçbükey dörtgen erhngi üçü doğrusl olmyn dört noktyı birleştiren doğru prçlrının oluşturduğu kplı şekle dörtgen, kplı şeklin içine dörtgenin iç bölgesi, dışın dörtgenin dış bölgesi, dörtgen ile iç bölgesinin birleşimine dörtgensel bölge denir u kitpt dörtgensel bölgenin lnı yerine kısc dörtgenin lnı deyimini kullncğız Yukrıdki şekillerde verilen dörtgenlerinde,, ve noktlrı dörtgenin köşeleri, [], [], [] ve [] dörtgenin kenrlrı, =, = b, = c ve = d kenr uzunluklrıdır (, b, c, d + ) Şekillerde ölçüleri m ( W ) = α, m( W ) = β, m ( X ) = θ ve m( X ) = γ oln çılr iç çılr, iç çılrın bütünleyenlerine ise dış çılr denir ışbükey örtgen: ir dörtgende tüm iç çı ölçüleri 180 dereceden küçük ise bütün köşelerde bükülme şeklin dışın doğru olduğundn bu tür dörtgenlere dışbükey (konveks) dörtgen denir İçbükey örtgen: örtgende en z bir iç çı ölçüsü 180 dereceden büyük ise o köşedeki bükülme şeklin içine doğru olduğundn bu tür dörtgenlere iç bükey (konkv) dörtgen denir dörtgeninde rdışık olmyn köşeleri birleştiren [] ve [] n köşegen dı verilir u kitptki nltımd dörtgen denilince dışbükey dörtgen nlşılmlıdır 108

3 örtgende çılr İnceleyerek Öğrenelim 1 İçbükey ve dışbükey dörtgenlerde iç çı ölçülerinin toplmı 360 olur Gösterelim γ γ 1 α α α 1 ß α 1 1 ß Yukrıdki şekillerde görüldüğü gibi bir dörtgeninde [] köşegeni çizlirse elde edilen ve üçgenlerinde, + α1+ ß+ θ1 = olur u eşitlikler trf trf toplnırs, α+ γ + θ = 180 ( 1 + ) + ß + ( 1 + ) + γ = ß + + γ = 180 = 360 bulunur örtgende dış çı ölçüleri toplmı 360 olur Gösterelim d γ θ c Şekilde dörtgeninde iç çılrın bütünleyenlerinin ölçüsü, b, c ve d dış çı ölçüleridir α β b un göre, + b + c + d = (180 α ) + (180 β ) + (180 ) + (180 γ ) = 180 ( α + β + + γ ) = = 180 = 360 olur 3 Şekildeki içbükey dörtgeninde verilenlere göre, θ = α + β + olur Gösterelim α ß θ Şekilde görüldüğü gibi = {} olsun % m ( ) = α+ θ ve üçgeninde dış çı ölçüsü = α + β + olur α ß 109

4 70 bir dörtgen, [], [], [] ve [] iç çıortylrdır Şekilde m ( ) = 70c % ise m ( ) = kç derecedir? ullım d d L 70 c c b b Şekilde [], [], [] ve [] çıorty olduğundn dörtgeninde iç çı ölçüleri toplmı, + b + c + d = b + c + d = 180 olur iğer yndn ve üçgeninde, + + b+ = 180c c+ d+ 70c = 180c 1 olduğundn bu eşitlikler trf trf toplndığınd, + b+ c+ d = = 180 = 110 bulunur c 10 dörtgeninde, [] ve [] dış çıorty, m ( X ) = 90c m( X ) = 10c, olduğun göre, % m( ) = kç derecedir? ullım Şekilde % % m ( ) = m( ) = * % % m( ) = m ( ) = b olsun b b dörtgeninde dış çı ölçülerinin toplmı, + b = b = 10 + b = 105 bulunur Sonuçt üçgeninde, + + b = = 180 = 75 olur 110

5 60 80 bir dörtgen [] ve [] çıortylr m ( W ) = 60c ve m( W ) = 80c olduğun göre m ( % ) = kç derecedir? ullım Şekildeki gibi, d d c % % c m ( ) = m( ) = α % % olsun m ( ) = m( ) = β dörtgeninde, m ( W) + m( W ) + m ( X) + m( X ) = 360c c + d = 360 c + d = = 0 c + d = 110 ve üçgeninde + c + d = = 180 = 70 bulunur bir dikdörtgen ~ ~ [] ve [ çıortylr m( W ) = 70c m( X ) = 130c olduğun göre m( % ) = kç derecedir? ullım ~ ~ c c m ( % ) = m ( % ) = % % m ( ) = m ( ) = c olsun ve dörtgenlerinde iç çı ölçüleri toplmı 360 olduğundn, c = 360 = c = 70 + = = 130c- 70c 60c = = 30c bulunur 111

6 İnceleyerek Öğrenelim 1 b b ir dörtgeninde rdışık köşelerdeki iki iç çıorty [] ve [] olsun Şekilde, % m ( X) + m( X ) m( ) = = olur Gösterelim dörtgeninde iç çı ölçüleri toplmı, m ( W) + m( W ) + m ( X) + m( X ) = 360c & + b+ m ( X) + m( X ) = 360c m ( X) + m( X ) ( + b) + = 180 ve üçgeninde ( + b) + = 180 olduğundn, m ( X) + m( X ) = olur c c dörtgeninde rdışık olmyn iki köşedeki iç çıorty [] ve [ olsun Şekilde, [] ve [ çıortylrının belirttiği dr çının ölçüsü, % m( ) = = m( X )- m( W ) olur Gösterelim Şekildeki iç bükey dörtgeninde ve dörtgeninde iç çı ölçüleri toplmı 360 olduğundn; + m( W ) + c + (180 + ) = 360 = + m( X ) + c m( X )- m( W ) m( W ) + = m( X) - & = m( X) - m( W) & = bulunur Yukrıdki şekilde dörtgeninin çiziminde, m( X ) m( W ) & m( X )- m( W ) 0 & m( X )- m( W ) = m( X )- m( W ) olduğun dikkt edelim Ynd verilen dörtgeninde [ ve [) iç çıorty, m ( W ) = 80c ve m ( X ) = 10c olduğun göre kç derecedir? ullım [ ve [) çıortylrının belirttiği dr çının ölçüsü şekilde, = m ( W) - m ( X) 10c- 80c = = 0c bulunur 11

7 dörtgeninde; 160 G [] ve [] dış çıortylr, m ( W ) = 90c m ( X ) = 160c ise m( % ) = kç derecedir? ullım Şekilde m( ) = m( ) = ve m( ) = m(g ) = ß olsun dörtgeninde, köşesinde dış çı ölçüsü 90 ve köşesinde dış çı ölçüsü = 0 olduğundn dış çı 160 ölçüleri toplmı, 0 G = 360 ( + ) = 50 + = 15 bulunur içbükey dörtgeninde, 160 = + + ve + = 15 olduğundn, 160 = + 15 = 35 bulunur 130 dörtgeninde [] iç çıorty, [] dış çıorty m ( W ) = 90c, m( X ) = 130c ise m ( % ) = kç derecedir? ullım 130 Şekildeki dörtgeninde m ^ h = m ^ h = α, m ^ h = m ^ h = β olsun 180 % m ( ) = 180 ve iç çı ölçüleri toplmı, (180 ) = = ( ) = 0 bulunur iğer yndn üçgeninde dış çı ölçüsü, = + = = 0 elde edilir 113

8 lıştırmlr y G Şekilde bir dörtgen, % mg ( ) = 70, % m( ) = 60, m ( % ) = ve m( G % ) = y ise + y toplmı kç derecedir? dörtgeninde [], [], [] ve [] iç çıortylr 100 % m( ) = 100c ise m ( % ) = kç derecedir? 3 dörtgeninde [] ve [ iç çıortylr, 1 m( W ) = 90c, m( X ) = 1 dir un göre, şekildeki m( % ) = kç derecedir? 108 dörtgeninde [] ve [] iç çıortylrdır m( W ) = m ( W ) ise m ( W ) = kç derecedir? 5 60 dörtgeninde [] [] = {}, % = = 8 cm, m( ) = 60 ve ile kenrlrın ort noktlrı olduğun göre, kç cm dir? 11

9 örtgenin lnı c Şekildeki gibi iki kenr uzunluğu ve bu kenrlr rsındki çının sinüs değeri bilinen bir üçgeninin lnının & 1 ( ) = c sin α olduğunu 9 sınıf mtemtik derslerinde öğrenmiştik u bilgiden fydlnrk köşegen uzunluklrı ve köşegenler rsındki çının sinüs değeri bilinen bir dörtgenin lnının nsıl hesplnbildiğini görelim İnceleyerek Öğrenelim dörtgeninde köşegen uzunluklrı = e, = f ve köşegenler rsındki çının ölçüsü α ise dörtgeninin lnı, 1 ( ) = esin f α olur Gösterelim f e 180 [] [] = {}, = e 1, = e, = f 1, = f olsun un göre e 1 + e = e ve f 1 + f = f olur & & & & & ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = ( ) e 1 f 1 ve sin(180 α ) = sinα olduğundn; () = 1 e1 f 1 sinα + 1 e f 1 sin(180 α) + 1 e f sinα + 1 e1 f sin(180 α) = 1 e1 f 1 sinα + 1 e f 1 sinα + 1 e f sinα + 1 e1 f sinα 1 = sinα(e1 f 1 + e f 1 + e f + e 1 f ) 1 = sinα [f1 (e 1 + e ) + f (e 1 + e )] 1 = sinα (e f1 + e f ) 1 1 = sinαe(f1 + f ) ve sonuçt () = efsinα elde edilir Sonuç d c b öşegenleri dik oln bir dörtgeninde 1 e$ f () = efsin90 () = olur 115

10 dörtgeninde köşegen uzunluklrı = 3 cm, ll = 6 cm ve köşegenler rsındki çının ölçüsü 60 ise bu dörtgensel bölgenin lnını bullım dörtgeninin lnı; ef sin α 3 6 sin 60c () = = 60 = 1 3 sin60 3 = 1 3 e o = 18 cm olur içbükey dörtgeninde = e, l = f ve köşegenler % rsındki çının ölçüsü m( ) = α ise () = 1 efsin olduğunu gösterelim Şekilde dışbükey dörtgen olck şekilde [ seçilsin () = 1 llllsin ve e () = 1 llllsin eşitlikleri trf trf çıkrılırs, () () = 1 sin ( ) () = 1 sin () = 1 efsin elde edilir 116

11 tkinlik uu ir dörtgeni ve kenr ort noktlrının birleştirilmesiyle G oluşturuln G dörtgenini şekildeki gibi çiziniz u u = e, = f ve köşegenler rsındki çının ölçüsünü olrk lınız uu üçgeninde [] nın ort tbn olduğunu dikkte lrk nu = e türünden bulunuz uu üçgeninde [G] nın ort tbn olduğunu dikkte lrk G nu d e türünden bulunuz u u I ve G uzunluklrını krşılştırınız uu üçgeninde [G] ve üçgeninde [] nın ort tbn olduğunu dikkte lrk G ve uzunluklrını f türünden yzınız u u [] // [] // [G] ve [] // [] // [G] olduğun göre G, G çılrı ve, G çılrının ölçülerini türünden yzınız tkinlik bsmklrındn elde ettiğiniz bilgileri kullnrk G dörtgeninin prlelkenr olup olmycğını gerekçeleri ile belirtiniz u u + toplmını e ve f türünden yzınız u u + G + G + toplmını e ve f türünden yzınız + ile + G + G + toplmlrının sonuçlrını krşılştırrk Ç(G) yi veren bir eşitlik yzınız uu dörtgensel bölgesinin lnını veren bğıntıyı yzınız G üçgeni ile G üçgeninin lnlrını veren bğıntılrın toplmını yzınız (Üçgenlerin ln bğıntılrınd sin yı kullnınız) () bğıntısı ile G ( & ) + G ( & ) toplmını krşılştırrk dörtgeninin bölgesinin lnı ile G dörtgeninin lnı rsındki bğıntıyı yzınız unlrı ilelim G dörtgeninde,, G ve kenrlrın ort noktlrı, = e ve = f ise G dörtgeni bir prlelkenr, Ç(G) = e + f, () = (G) olur 117

12 Resimdeki dörtgeni biçimindeki bir bhçede ölçüm ypıldığınd,, G ve kenrlrın ort noktlrı, [] ^ [G], = m, G = 5 m olduğu görülmüştür G hçedeki G bölgesine gül ekilip geriye kln yerler çimlendirilecektir un göre, gül ekilen bölgenin ve çimlendirilmiş bölgenin lnını, bölgesinin köşegen uzunluklrını ve gül ekilen bölgeyi çevrelemek için kç metre tel gerektiğini bullım 5 G,, G ve ort noktlr olduğundn bhçedeki G bölgesi bir prlelkenr htt bir çısının ölçüsü 90 olduğundn dikdörtgen olur Gül bhçesinin lnı, (G) = 5 = 0 m, () = (G) = 0 = 0 m ve çimlendirilmiş bölgenin lnı S = 0 0 = 0 m bulunur üçgensel bölgesinde [G] ort tbn olduğundn, = G = 5 = 10 m ve üçgensel bölgesinde [] ort tbn olduğundn, = = = 8 m olur Sonuçt gül ekilen bölgeyi çevrelemek için, Ç(G) = + = = 18 m tel gerekir nlitik düzlemde köşelerinin koordintlrı ( 3, ), (7, ), (5, ) ve (1, ) oln dörtgeni veriliyor dörtgeninin kenrlrının ort noktlrını köşe kbul eden dörtgenin çevresini bullım Y dörtgeninin kenrlrının ort noktlrı,, G, olsun (1, ) (5, ) Ç(G) = + olduğundn iki nokt rsındki uzklık bğıntısı ile, ( 3, ) O X (7, ) = ( 5- (- 3)) + ( - (- ) = = 10 birim = ( 7-1) + ( - (- )) = = 6 birim bulunur Sonuçt G prlelkenrının çevresi, Ç(G) = + = birim olur 118

13 lıştırmlr 1 şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız erhngi bir dörtgenin kenrlrının ort noktlrını birleştirerek elde edilen dörtgen bir ir dörtgeninin köşegen uzunluklrı toplmı, bu dörtgenin kenr ort noktlrını birleştiren dörtgenin eşittir ir dörtgeninin lnı bu dörtgenin kenrlrının ort noktlrını birleştiren dörtgenin lnının ktıdır G dörtgeninde [] ve [] köşegenlerinin ort noktlrı sırsıyl ve dir 6 =, G = G, = 6 cm ve = cm ise, G dörtgeninin çevresi kç cm dir? 3 içbükey dörtgeninde,,, G ve kenrlrın ort noktlrıdır Ç(G) = +, G b (G) = 1 () olduğunu gösteriniz 3 Ynd verilen üçgeninde; [] ^ [], = 3 cm, = 6 cm olduğun göre, içbükey dörtgeninin lnını bulunuz 5 G dörtgeninde,, G ve kenrlrının ort noktlrı, [] ^ [], = 6 cm, = 8 cm olduğun göre, (G) kç cm olur? 119

14 5 : ÖZL ÖRTGNLR 51: Ymuk, Prlelkenr, şkenr örtgen, ikdörtgen, re ve eltoit ile İlgili çı ve Uzunluk ğıntılrı 5: Ymuk, Prlelkenr, şkenr örtgen, ikdörtgen, re ve eltoidin ln ğıntılrı 53: örtgenlerin ln ğıntılrının Problem Çözme ve Modellemede ullnılmsı YMU V YMUĞUN ÖZLLİLRİ Ymuk: h n z iki kenrı prlel oln dörtgene ymuk denir Ymuğun prlel oln kenrlrın ymuğun tbnlrı, prlel olmyn kenrlrın yn kenrlr (yklr), tbnlrı tşıyn doğrulr rsındki tbnlr dik doğru prçsın d ymuğun yüksekliği denir Şekilde [] ^ [] ise ymuğunun yüksekliği h dir ir ymukt bir yn kenrl tbnlrın oluşturduğu iç çı ölçülerinin toplmı 180 olur ymuğund [] // [] ise m ( W) + m( X ) = 180, m( W ) + m ( X ) = 180 olur İkizkenr Ymuk: h h L Yn kenrlrının uzunluklrı eşit oln ymuğ ikizkenr ymuk denir İkizkenr ymukt tbn çılrının ölçüleri eşittir Ynd verilen ikizkenr ymuğund, [] // [] ve = ise m ( W) = m( W ) ve m ( X) = m( X ) olur ik Ymuk: h Yn kenrlrındn biri tbnlr dik oln ymuğ dik ymuk denir Yndki dik ymuğund, [] // [] ve ^ olduğundn [] ymuğun yüksekliği olur 10

15 3 100 ymuk, [] // [] % m ( ) = 100c %, m( ) = 50c, 6 = 6 cm, = 3 cm ise = kç cm dir? ullım % % m( ) = m ( ) = 80 % m ( ) = 180 ( ) ve sonuçt ll = = = 9 cm bulunur [] // [] olduğundn yn kenrl tbnlrın oluşturduğu iç çı ölçülerinin toplmı, m ( W) + m( X ) = 180 & m ( W) = 180 & m ( W ) = 80 bulunur köşesinden [] // [] çizilirse prlelkenr olcğındn, = = 3 cm, = = 6 cm ve yöndeş çılrdn, elde edilir üçgeninde iç çı ölçüleri toplnırs, % m = 50 l = = 6 cm 96 % ymuk, [] // [], m ( ) = 96 [] ^ [], = ve = ise m ( % ) = kç derecedir? ullım 96 ymuğunun [] köşegeni çizilirse, üçgeni [] yüksekliği tbnı iki eş prçy yırdığı için ikizkenr olur = olduğundn, % % m( ) = m ( ) = α ve = verildiği için % % m ( ) = m ( ) =, [] // [] olduğundn d iç ters çılrın ölçüleri = = 1 olur % Sonuçt m ( ) = = + = 1 + = 63 bulunur 11

16 tkinlik L c y y ir ymuğund; [] // [], = ve = c olsun Yn kenrlrın ort noktlrını birleştiren doğru prçsının + c tbnlr prlel ve uzunluğunun olduğu şğıd isptlnmktdır oş bırkıln yerleri doldurunuz Verilen: [] // [], = =, = = y İstenen: [] // [] // [] ve = + c İfdeler Gerekçeler 1 = {} 1 üzlemde prlel olmyn doğrulr bir noktd kesişir & = de [] // [], Temel Orntı Teoremi y 3 = 3 y = =, y = verildi & 5 5 de Temel Orntı Teoremi rşıtı 6 L = c 6 üçgeninde [L] ort tbn 7 7 üçgeninde [L] ort tbn 8 = L + L 8 c 9 = + 9 İstenen unlrı ilelim Ymukt Ort Tbn: c Yn kenrlrın ort noktlrını birleştiren doğru prçsın ymuğun ort tbnı denir Ort tbn tbnlr prleldir Şekildeki ymuğund [] // [] =, =, = ve = c ise = + c ve [] // [] // [] olur 1

17 inmik mtemtik / geometri yzılımını kullnrk bir ymukt iç çıortylrın ort tbn üzerinde dik kesiştiğini görelim h M h inmik geometri yzılımını çıp sğ kısımdki geometri sekmesini tıklyrk doğru prçlrı ile bir ymuğunu çizelim [] // [] olsun Yzılımın üst kısmındki kutud bulunn ( ) çıorty seçeneği yrdımıyl,, ve köşelerindeki çıortylrını çizerek kesim noktlrını şekildeki gibi ve ile isimlendirelim h h Yzılımın çı ölçme rcı L N ( ) yrdımıyl m( ) = m( ) = 90 ve ve uzunluk ölçme rcı ( ) yrdımıyl ile noktlrının tbnlr uzklıklrı = L = M = N = h bulunur Şekilde M, NL dikdörtgen ve // M // LN olduğundn ort tbnı tşıyn doğru olur Görüldüğü gibi bir ymukt iç çıortylr ort tbn üzerinde dik kesişmektedir ymuğund, [] // [] // [] [] ve [] çıortylr, 3 6 = 3 cm, = 6 cm ise + toplmı kç cm dir? ullım 3 L 3 3 P 3 Önce bir ymukt yn kenrl tbnlrın oluşturduğu ve köşesindeki iç çıortylrın ort tbn üzerinde dik kesiştiğini gösterelim noktsındn geçen ve tbnlr dik oln [L] ile [] ^ [] çizilirse, [] çıorty olduğundn, = ve [] çıorty olduğundn = IL sonuçt = = L bulunur un göre çıortylr ort tbn üzerindeki noktsınd kesişirler % % % % m ( ) = m ( ) = α, m ( ) = m ( ) = β ve [] // [] olduğundn, + = = 90 üçgeninde m( W ) = 90c olur [] // [] ve noktsı tbnlr eşit uzklıkt olduğundn [] uztıldığınd elde edilen [P] ymuğun ort tbnıdır [P] dik üçgeninin hipotenüsünün kenr ortyı olduğu için de P = P = P = 3 cm bulunur Sonuçt, ymuğunun ort tbn uzunluğu, P = + P = = 6 = + + = 1 cm elde edlir 13

18 bir ymuk, [] // [] // [], = 3, = 7 cm = cm ise = kç cm dir? ullım 7 k 3k 3k Şekilde [] // [] çizilirse oluşn prlelkenrınd, k L 7 = L = =, L =, = 7 = L = k ve = L = 3k elde edilir Yöndeş çılrdn, ml ( % ) = mm ( % ) = α % % ve m ( ) = m ( ) olur benzerlik kurlın göre & & - k 1 L + & = = 16 = 7 9 = 3 = 3 cm bulunur 7 - k İnceleyerek Öğrenelim c P L ymuğund [] // [], = = c ve [] [] = {P} olsun P noktsındn geçen ve tbnlr prlel oln [L] verildiğinde, c c P = PL = ve L = + c + c olur Gösterelim cp c P ck L [] // [] olduğundn benzerlik kurlın göre, P & + P & & & & &, PL + ve P + olur k p P P P = = P c P = k, P = & ) ck olur (kp + ) P = p, P = cp & & P P P cp c P + & = & = & P = ( + c) p + c & & PL P PL ck c PL + & = & = & PL = ( + c) k + c olduğundn P $ c = PL = ve + c L c = bulunur + c 1

19 ymuk, [] // [] // [L] P L [] [] = {P}, = 1 cm, = cm olduğunu göre, PL, P ve L uzunluklrını bullım 1-1 Şekildeki gibi bir ymuğund L 1 8 L = = = 6 cm ve P = LP = 3 cm bulunur c c = ve P = LP = olcğındn, + c + c - y P L 3 3y 1 [] // [] // [L] olduğundn iç ters çılrın ölçüleri, % % % % m ( ) = m ( ) = α, m ( ) = m ( ) = β ve enzerlik benzerlik kurlın göre, & & P P P P P P 1 = & = + & = = = &) 3 P P 1 3 P = y & P = 3y bulunur (, y + ) % % Yöndeş çılr oln mpl ( ) = m ( ) = α olduğundn bir iç çısı ortk PL ve üçgenleri de benzerlik kurlın göre benzerdir Sonuçt, PL P PL 1 = & = = & PL = 3 cm bulunur 1 % % irer çısı ortk ve yöndeş çılrdn mp ( ) = m ( ) = β oln P ve üçgenleri de benzerlik kurlın göre benzer olduğundn; P P P y 1 = & = = & P = 3 cm, L = P + PL = = 6 cm bulunur 1 y te verilen koşullrd dim P = PL olduğun dikkt edelim! 15

20 7 ymuğund [] // [], = 10 cm, = cm ymuğun yüksekliği = 7 cm olduğun göre, üçgeninin lnını bullım 10 7 h h h 10 İç ters çı çiftleri eş olduğundn, % % % % m ( ) = m ( ) = α ve m( ) = m( ) = β olur benzerlik kurlın göre, & + & ve yükseklik ornlrı d benzerlik ornın eşit olduğundn şekilde, 7 - h = = ( 35-5h = h& 7h = 35& h = 5cm h 10 5 bulunur 10 5 Sonuçt üçgeninin lnı = 5 cm olur İnceleyerek Öğrenelim c L ymuğund [] // [], [] ort tbn, = ve = c olsun Ort tbnın köşegenler rsınd kln prçsının uzunluğu, L = - c olur Gösterelim ymuğund [] ort tbn olduğundn c üçgeninde [], üçgeninde [L] ort tbn olur c L c dolyısıyl = L = c olur üçgeninde [L], üçgeninde de [ ort tbn ve L = = olduğundn L = L = - c = - c bulunur 16

21 ymuğund [] // [] [] [] = {}, [] [] = {L} = 1 cm, =, L = + + L olduğun göre, [] ort tbnının uzunluğu kç cm dir? ullım 1 ymugund [] ort tbn olduğundn, ve üçgenlerinde sırsıyl [] ve [L] ort tbn olur + L u nedenle, = L = = = = + ( + ) + = 3 + bulunur iğer yndn, 1 = 1 + = = 3 + = ve = 3 + = 3 + = 8 cm olur İnceleyerek Öğrenelim b b İkizkenr ymukt köşegenler eştir Şekilde [] // [] ve = ise = olur öşegenlerin kesim noktsındn geçen yükseklik ikizkenr ymuğun simetri eksenidir Gösterelim b c ymuğund [] // [], II = = b, =, = c ve [] [] = {} olsun İkizkenr b ymukt tbn çılrının ölçüleri m( % ) = m ( % ) olduğundn, eşlik kurlın göre, & &, & =, % % m ( ) = m ( ) = α ve m ( % ) = m ( % ) bulunur İç ters çılrın eşitliğinden, % % % % m ( ) = m ( ) = m( ) = m ( ) = = ve = eşlik kurlın göre, olur Sonuçt şekilde noktsındn geçen ymuğun yüksekliği ve ikizkenr üçgenlerinin tbnlrını iki eş prçy böler ve ikizkenr ymuğun simetri ekseni olur 17

22 ikizkenr ymuk, [] // [], % =, m( ) = 5c ve l = cm olduğun göre, ymuğun ort tbnının ve yüksekliğinin uzunluğunu bullım 5 c c 5 c Ymuğun, [] yüksekliği çizilirse ikizkenr dik üçgeninde = = cm olur [] köşegeni de çizilirse, [] [] = {} ise =, =, = ve ile ikizkenr dik üçgenler olur noktsındn geçen yükseklik ikizkenr ymuğun simetri ekseni olduğundn şekildeki ikizkenr dik üçgenlerde, =, = c ise ymuğun yüksekliği = + c = cm bulunur Sonuçt köşegenleri dik şekildeki ikizkenr ymukt ort tbn uzunluğu ile yükseklik uzunluğu birbirine eşit ve = + c = = cm bulunur ( ) + ( c) h c h ikizkenr ymuğund, [] // [] ve = olsun [] ^ [], [] ^ [], = ve = c ise = = - c b = = + c olduğunu gösterelim h c c h b Şekilde = = + c = c Şekildeki ikizkenr ymuğund; =, m ( W) = m( W % % ) = α ve m ( ) = m ( ) = β olduğundn eşlik kurlındn & &, = = ve dikdörtgeninde = = c bulunur = + c + = + c = olduğundn, = = = - c bulunur - + c + c = olur 18

23 5 Şekilde verilen ikizkenr ymuğund [] // [], =, = 13 cm ve = 5 cm ise ymuğun yüksekliğinin kç cm olduğunu bullım 13 5 [] ^ [] çizilirse, h 13-5 = = cm ve = 9 cm bulunur dik üçgeninde [] ^ [] olduğundn, 9 13 Öklid ğıntısı ile h = 9 h = 6 cm elde edilir Resimdeki rbnın ikizkenr ymuğu biçimindeki ön cmınd, [] // [], = = 5 cm, = 80 cm, = 10 cm olduğun göre, ymuk biçimindeki cmın yüksekliği kç cm dir? ullım 80 5 h h 5 80 Ymuk biçimindeki cmınd [] ^ [] ve [] ^ [] çizilirse dikdörtgen ve eşlik kurlın göre, &, & olduğundn = = ve = 80 cm olur = = 10 = edilir = 0 cm elde dik üçgeninde Pisgor Teoremi kullnılırs, 5 = 0 + h h = 8 cm bulunur 19

24 ikizkenr ymuğund, [] // [] ve = dir [] ^ [], = 8 cm, = cm olduğun göre, kç cm dir? ullım 8 öşegenlerin kesim noktsındn geçen [L] yüksekliği ikizkenr 5 5 ymuğun simetri ekseni ve [] ^ [] olduğundn şekilde 5 P L = = P = cm, L = L = PL = cm olur L dikdörtgeninde yükseklik L = = + = 6 cm ve = L = cm = = cm olcğındn dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile = + = + 6 = 0 = 10 cm elde edilir İnceleyerek Öğrenelim c öşegenleri dik oln bir dik ymuğund [] // [], [] ^ [], [] ^ [], =, = c h ve ymuğun yüksekliği = h ise h = c olur Gösterelim c Şekilde görüldüğü gibi // [] çizilsin c h = {} olmk üzere bir prlelkenr olcğındn = = c ve [] ^ [] olur Sonuçt dik üçgeninde [] ^ [] olduğundn Öklit ğıntısı ile h = c bulunur 130

25 h 3 dik ymuk, [] // [], [] ^ [], [] ^ [], = 9 cm ve = 3 cm ise ymuğun yüksekliği kç cm dir? ullım 9 3 h 3 9 Şekildeki gibi [] // [] çizerek = {} isimlendirilirse yöndeş çılrın eşliğinden [] ^ [] ve prlelkenrınd = = 3 cm olur dik üçgeninde Öklid ğıntısı n göre, h = 39 = 7 h = 3 3 cm bulunur ymuğund; [] // [] [], [], [] ve [] çıortylr 6 = 10 cm, = cm, = 6 cm, = cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım L 3 ir ymukt yn kenrlr ile tbnlrın oluşturduğu çılrın çıortylrı, ort tbn üzerinde dik kesiştiğinden [] yn kenrlr doğru uztılırs [L] ort tbn, [], dik üçgeninde hipotenüsün kenrortyı ve [L], dik üçgeninde hipotenüsün kenrortyı olur u yüzden, = = = cm ve L = L = L = 3 cm L = = 7 cm ort tbnın uzunluğu olrk bulunur Sonuçt L = & 7 = & = cm olur 131

26 lıştırmlr 1 3 ymuğund; [] // [] // [], [] [] [] = {} = 3 cm, = 6 cm ise kç cm dir? 6 ymuğund; [] // [], 6 [] ve [] iç çıortylr, =, = 6 cm, = = cm olduğun göre, = kç cm dir? 3 3 ymuk, [] // [] // [] dir II = II, = 9 cm ve = 3 cm ise = kç cm dir? 9 1 ymuk, [] // [], [] [] = {}, [] [] = {}, =, = 1 cm, = cm olduğun göre, = kç cm dir? 5 L M ymuk, [] // [], [] [] = {}, [] ort tbn, = cm, = 10 cm ise LM = kç cm dir? 10 13

27 6 dik ymuk, [] // [], [] ^ [] =, = cm, = cm ise ymuğunun çevre uzunluğu kç cm dir? 7 öşegenleri dik kesişen bir ymuğund; [] // [], = 1 cm, = 16 cm olduğun göre, ort tbn uzunluğu kç cm dir? 8 3 dik ymuk, [] // [], [] ^ [], 7 =, = 5 cm, = 3 cm, = 1 cm ve = 7 cm ise 1 5 kç cm dir? 9 6 ikizkenr ymuk, [] // [], =, = 16 cm, = 6 cm ve ymuğun yüksekliği 1 cm dir un göre, bu ymuğun çevre uzunluğu kç cm dir? ikizkenr ymuk, [] // [], [] ^ [], = = 8 cm ve = ise ymuğun yüksekliği kç cm dir? 133

28 PRLLNR V PRLLNRIN ÖZLLİLRİ b b rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgene prlelkenr denir Prlelkenrd krşılıklı kenrlr ve krşılıklı çılr eş, komşu çılr bütünlerdir Şekildeki prlelkenrınd, = =, = = b m ( W) = m ( X ) = α, m( W ) = m( X ) = β ve + = 180 olur bir prlelkenr, m ( % ) = m ( % ), 60 % m ( ) = 60c, = ise m( % ) = kç derecedir? ullım 30 = b b b % % m( ) = m( ) = 30c ve sonuçt m ( ) Prlelkenrd krşılıklı kenrlr eş olduğundn, = = = b ve üçgeninde m ( X) = m( W ) = 60c bulunur prlelkenr olduğundn, //, iç ters ve yöndeş çılr eş olduğundn d % = m ( ) = m ( X) = 60 = 30 % = = 180 = 90 bulunur İnceleyerek Öğrenelim ir prlelkenrd köşegenler birbirini ortlyrk keser Şekilde [] [] = {} ise = ve = olur Gösterelim ß ß prlelkenrınd [] // [] ve = = olduğundn şekilde eşlik kurlın göre; & &, & = ve = olur 13

29 8 prlelkenrınd; 6 [] [] = {} ll = 6 cm, ll = 8 cm ve = 1 cm olduğun göre, kç cm dir? ullım 6 6 v 8 v 6 Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn l = l = 6 cm ve = = v olur üçgeninde enrorty Teoremi ni kullnırsk, = v + & 100 = v + 7 & v = 8 & v = 1 & v = 1 cm ve = v = 1 cm bulunur İnceleyerek Öğrenelim 8 Prlelkenrd rdışık iki köşedeki iç çıortylr ort tbn üzerinde dik kesişir Şekildeki prlelkenrınd [], [] çıorty ve [] ort tbn ise [] ^ [] ve [] olur Gösterelim P ß ß T 8 [] ve [] çıorty olduğundn, % % m ( ) = m ( ) = α, % % m ( ) = m( ) = β ise [] // [] α + β = 180 α + = 90 ve üçgeninde [] ^ [] bulunur iğer yndn çıorty üzerindeki her nokt çının kollrın eşit uzklıkt olduğundn şekilde, T = = P P = T noktsı prlelkenrının ort tbnı üzerinde olur 135

30 10 prlelkenrınd; [], [], [] ve [] çıorty, = 10 cm, = cm ise, kç cm dir? ullım 10 L ir çıortyın her noktsının çının kenrlrın oln uzklıklrı eşit olduğundn, [] prlelkenrın ort tbnı üzerindedir doğrusu prlelkenrın yn kenrlrını ve L noktlrındn keserse ve üçgenleri dik üçgenler ve hipotenüse it kenrortylr hipotenüste yırdığı prçlrl eş olcğındn; = = = cm ve L = L = L = cm olur = = L = 10 cm verildiğinden = L L = 10 = 10 = 6 cm bulunur Sonuçlr: 1 rşılıklı kenrlrı eş oln her dörtgen bir prlelkenrdır Gösterelim b b Şekildeki gibi bu dörtgenin [] köşegeni çizilirse, ve tüm kenrlrı eş iki üçgen olur b eşlik kurlındn b &, & ve ş üçgenlerde krşılıklı çılr eş olduğundn, % % m ( ) = m ( ) = [] // [] % % m( ) = m( ) = β [] // [] bulunur ikkt edilirse burd İki doğru bir kesenle kesildiğinde iç ters çı çiftleri eş ise bu iki doğru prleldir krşıt teoremini kullndık 136

31 ir dörtgeninde, [] // [] ve = ise, bir prlelkenrdır Gösterelim [] köşegeni çizildiğinde, [] // [] olduğundn, % % m( ) = m( ) =, = = ve = olduğundn eşlik kurlındn, & &, = bulunur Sonuçt krşılıklı kenrlrı eş oln dörtgeni bir prlelkenr olur 3 öşegenleri birbirini ortlyn bir dörtgeni prlelkenrdır Gösterelim dörtgeninde [] [] = {}, = ve = olsun % % & & m( ) = m ( ) = olduğundn, eşlik kurlın göre,, olur % % % % olyısıyl, = =, m( ) = m ( ) = β ve m( ) = m( ) = θ bulunur Şekilde iç ters çı çiftleri eş olduğundn [] // [] elde edilir sonuc göre, krşılıklı iki kenrı hem prlel hem de eş oln dörtgeni bir prlelkenrdır 137

32 prlelkenr, G bir üçgen, lgl = cm, lgl = cm ise, = kç cm dir? ullım G b Şekilde G =, G = b olsun [] // [] olduğundn, % % % % m ( ) = m ( ) =, m ( ) = m ( ) = β ve benzerlik kurlındn & & G ~ G 1 olur [] // [] olduğundn yine iç ters çılr m( % ) = m( % % % ) = θ ve ters çılr mg ( ) = mg ( ) & & olduğundn benzerlik kurlın göre G ~ G olur 1 ve benzerliklerinde ortk orn olduğundn, b 1 = = & = + = 8 = 6 cm bulunur b ( + ) + prlelkenrınd; L ve kenrlrın ort noktlrı, [] [] = {}, [] [] = {L} ve = 6 cm olduğun göre, L kç cm dir? ullım O L 3 OL = = L = ve = L = L = 3 bulunur Sonuçt = 6 = 6 = 1 ve L = = cm olur [] köşegenini de çizersek, [] [] = {O} olsun Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, O = O ve O = O olur ikkt edilirse, üçgeninde ğırlık merkezidir ve O = = O = O = 3 olur üçgeninde de L ğırlık merkezi olduğundn, 138

33 Ynd verilen düzlemsel şekilde prlelkenr, [ƒ] // [ƒ] // [ƒ] // [ƒ], ƒ, ƒ, ƒ ve ƒ d olmk üzere, 3 ƒ 1 ƒ ƒ lƒl = 3 cm, lƒl = cm ve lƒl = 1 cm olduğun göre, ƒ kç cm dir? ullım d ƒ prlelkenrınd, [] [] = {}, ƒ = olmk üzere, [] ile [] köşegenleri ve [ƒ] // [ƒ] çizilsin 3 d ƒ ƒ 1 ƒ ƒ ƒ Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, 3+ ƒƒ ymuğund [ƒ] ort tbn ve ƒ = olur enzer şekilde, ƒƒ ymuğund d [ƒ] ort tbn ve [ƒ] = + 1 olur Sonuçt 3+ = ƒ = = + 1 = 6 cm bulunur P 6 prlelkenrınd; [P] ve [P] çıortylr [P] ^ [], = 6 cm, = cm ve P = 3 cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım 5 5 P noktsındn geçen 5 [L] // [] çizilirse, iç ters çı çiftlerinin eşliğinden P % % % mp ( ) = m( P) = mp ( ) = % % % 5 L1 mp ( ) = m( P) = mp ( ) = β [P] ^ [P] ve P = = = L = L = 5 cm burdn L = 1 cm bulunur PL özel dik üçgeninde PL = cm ve sonuçt L = = = + 5 = 7 cm olur 139

34 G R Resimde dikdörtgeni biçimindeki ms örtüsünde,, G, kenrlrın ort noktlrıdır S Q P = 50 cm, Q = 60 cm ise, PQRS dörtgensel bölgesinin çevresini bullım P 5 G R Ms örtüsünde, = G ve [] // [G] G prlelkenr ve S 30 5 P 30 Q [G] // [] 1 = ve [] // [] prlelkenr ve [] // [] 1 ve den PQRS bir prlelkenr olur Q üçgeninde [P] // [Q] Temel Orntı Teoremi ne P göre, = = 1 P = PQ ve Q = 60 cm olduğundn, PQ P = PQ = SR = 30 cm olur enzer şekilde P üçgeninde, S [S] // [P] Temel Orntı Teoremi ne göre, = = 1 S = SP ve P = 50 cm SP verildiğinden, S = SP = RQ = 5 cm olur Sonuçt Çevre(PQRS) = (30 + 5) = 110 cm bulunur prlelkenrınd [] ve [] iç çıortylr, [], = 8 cm ise, prlelkenrının çevre uzunluğu kç cm dir? ullım 8 b b b 8 b İç ters çılrın ölçüleri eşit olduğundn şekilde, % % % m( ) = m ( ) = m( ) = ve % % % m( ) = m ( ) = m ( ) = β olur ve üçgenleri ikizkenr ve = = b ve = = b olduğundn, = b = 8 b = cm bulunur prlelkenrınd tüm kenr uzunluklrını toplrsk, Ç() = = cm bulunur 10

35 lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) rşılıklı çılrı eş oln her dörtgen prlelkenrdır ( ) öşegenleri birbirini ortlyn her dörtgen prlelkenrdır ( ) ir dörtgende krşılıklı iki kenr hem prlel hem de eş ise bu dörtgen prlelkenrdır prlelkenr, dik üçgen, 5 [] ^ [], [] ^ [], = 10 cm, = 5 cm ve = cm ise, noktsının [] kenrın uzklığı kç cm dir? 10 3 prlelkenrınd, [] ve [] çıortylr, 6 8 = 6 cm, = 8 cm ise, prlelkenrının çevresi kç cm dir? 6 prlelkenrınd, [] [] = {}, [] ^ [], 5 = = 5 cm, = 6 cm ise, = kç cm dir? 5 G prlelkenr, G bir üçgen ve [] [G] = {} dir = 3 cm, G = cm ise, = kç cm dir? 11

36 6 5 ƒ ƒ prlelkenrının köşesinden geçen bir d doğrusu verilmiştir, ve köşelerinin d doğrusu üzerindeki dik izdüşümleri ƒ, ƒ, ƒ ve ƒ = cm, ƒ = 5 cm ise, ƒ uzunluğu kç cm dir? prlelkenrınd, [] [] = {}, [] ve [] çıortylr, = 6 cm, = 8 cm ise, = kç cm dir? 8 prlelkenr, dik üçgen [] ^ [], m ( % ) = m ( % ) = 3 cm, = cm ise, = kç cm dir? 9 6 G prlelkenrınd, [], [], [] ve [] çıortylr, = 10 cm, = 6 cm, G = cm ise, G = kç cm dir? prlelkenr, [] ^ [], % [] [] = {}, m( ) = 10c, 10 = ise, m ( % ) = kç derecedir? 1

37 ŞNR ÖRTGN V ŞNR ÖRTGNİN ÖZLLİLRİ Tüm kenrlrı eş oln dörtgene eşkenr dörtgen denir rşılık kenrlrı eş olduğundn eşkenr dörtgen bir prlelkenrdır ve prlelkenrın tüm özelliklerini tşır αα Şekildeki eşkenr dörtgeninde [] köşegeni çizlirise eşlik kurlın göre, &, & & m( ) = m( ) [] köşegeni çıorty olur αα ß ß ß ß eşkenr dörtgeninde [] köşegeni çizlirse eşlik kurlın göre, &, & & m( ) = m( ) [] köşegeni de çıortydır İkizkenr üçgenlerde tepeden çizilen çıorty tbn dik olup tbnı ortldığındn şekilde görüldüğü gibi bir eşkenr dörtgende köşegenler diktir ve birbirini ortlr ir prlelkenrın köşegenleri dik ise bu prlelkenr eşkenr dörtgen olur Gösterelim bir prlelkenr, [] ^ [] ve [] [] = {} olsun Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, & & & & = ve = olur,, ve dik üçgenlerinde krşılıklı dik kenrlr eş olduğundn eşlik kurlın göre,,,, & & & & olur Sonuçt = = = = bulunur öşegenleri dik bir prlelkenr eşkenr dörtgendir 13

38 Resimdeki eşkenr eşkenr dörtgeni biçimindeki uçurtmd [] ve [] çıtlrının uzunluklrı, = 80 cm, = 60 cm ise, uçurtmyı çevreleyen ipin uzunluğu kç cm dir? ullım şkenr dörtgende köşegenler birbirini resimdeki gibi noktsınd dik ortldığındn, = = 30 cm ve = = 0 cm bulunur dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile = 50 cm olcğındn, Ç() = 50 = 00 cm olur eşkenr dörtgeninde, m( % ) = m ( % % ) ve m ( ) = 13c 13 olduğun göre, m ( % ) = kç derecedir? ullım % % m( ) = m ( ) = olsun eşkenr dörtgeninde [] köşegeni çıorty olduğundn, 13 % % % % m( ) = m( ) = m( ) = m( ) = olur üçgeninde iç çı ölçüleri toplmı, = = 8 = 16 ve üçgeninde iç çı ölçüleri toplmı, + = = =180 = 116 bulunur 1

39 İÖRTGN V İÖRTGNİN ÖZLLİLRİ b b çılrındn biri dik çı oln bir prlelkenr dikdörtgen denir u yüzden dikdörtgen prlelkenrın tüm özelliklerini tşır Tüm iç çılrı dik çı olduğundn bir dikdörtgende köşegenler birbirine eştir Şekildeki dikdörtgeninde, = ve dolyısıyl = = = olur 3 dikdörtgeninde; [] [] = {} % m ( ) = 3c, = ise, m( % ) = kç derecedir? ullım ikdörtgende köşegenler eş olup birbirini ortldığındn, = = = olur u durumd ikizkenr üçgen % % ve iç ters çılrdn m( ) = m ( ) = 3c olduğundn, % % m( ) = m( ) = 7c sonuçt üçgeninde dış çı ölçüsü, 7 = + 3 = bulunur G Ynd verilen fotoğrf çerçevesinin en dışındki dikdörtgeninde, = 30 cm, = cm dir Çerçevenin klınlığı 5 cm olduğun göre, içte fotoğrf konulck G dikdörtgensel bölgesinin kenr uzunluklrını bullım G 5 Çerçevenin klınlığı 5 cm olduğundn şekilde, = 30 = + 10 = 0 cm, = = G + 10 G = 1 cm olur

40 dikdörtgen, [] [] = {}, % m ( ) = 36c ve = ise, m ( % ) = kç derecedir? ullım 36 [] köşegenini çizelim [] [] = {L} olsun 18 = = ve köşegenler birbirini ortldığındn L üçgeninde, L = L ve L % % m( ) = m ( ) = 36c elde edilir iğer yndn = olduğundn, üçgeninde m( % ) = m ( % ) ve dış çı ölçüsü % % % 36 = m( ) & m( ) = m ( ) = 18 olur Sonuçt üçgeninin dış çı ölçüsü, % m ( ) = = = 5 bulunur İnceleyerek Öğrenelim dikdörtgeni ile bir P noktsı verilsin Şekilde dim, P P + P = P + P olur Gösterelim 1 Şekildeki gibi P noktsındn geçen [] // [] çizilirse & & & & P, P, P, P dik üçgen; b P b 1 = = 1 ve = = olur P = b 1 ve P = b ise dik üçgenlerde Pisgor Teoremi ile 1 P + P = `1 + b1 j+ ` + b j= b + b 1 olduğundn P + P = ` + b1 j+ ` + 1 b = j b + 1 b P + P = P + P bulunur 16

41 8 dikdörtgeninde [P] ^ [], P = 8 cm ve P = cm olduğun göre P = kç cm dir? ullım P dik üçgeninde [P] ^ [] olduğundn Öklit ğıntısı ile 8 P = P P P = 8 = 16 P = cm bulunur dikdörtgen olduğundn şekilde, P P + P = P + P + = = 68, = 5 = 13 cm bulunur dikdörtgeninde P dış bölgede bir nokt ise, P + P = P + P olduğunu gösterelim P b y y ƒ P b ƒ P noktsındn geçen ƒƒ // [] doğrusunu çizerek ƒƒ dikdörtgenini oluşturlım ƒp = =, ƒp = = b, ƒ = ƒ = ve = = y olrk isimlendirilirse, ƒp ve Pƒ dik üçgenlerinde Pisgor Teoremi nden, P = +, P = b + ( + y) P + P = + b + + (+y) bulunur Pƒ ve Pƒ dik üçgenlerinde Pisgor Teoremi nden, P = + ( + y), P = b + P + P = + b + + ( + y) elde edilir ikkt edilirse, lpl + lpl = + b + + ( + y) = P + P olmktdır 17

42 P dikdörtgen, P dış bölgesinde bir noktdır 3 [] [] = {}, L = LP, P = 3 cm, L P = 6 cm, P = 5 cm ise L = kç cm dir? ullım 3 P [P] çizilirse dikdörtgen olduğundn, P + P = P + P 5 + P = L P = 0 P = 5 cm bulunur ikdörtgende köşegenler birbirini ortldığındn ll = ll olur L = PL verildiğinden P üçgeninde [L] ort tbn ve P 5 sonuçt, L = = = = 5 cm bulunur lıştırmlr 1 şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız ir çısı dik çı oln prlelkenr denir ikdörtgende köşegen uzunluklrı 58 dikdörtgen, [] [] = {}, % m ( ) = c %, m ( ) = 58c, = ise, m ( % ) = kç derecedir? 3 dikdörtgen, [] ^ [], 3 3 = 3 3 cm, = 3 cm ise, = kç cm dir? 18

43 dikdörtgeninde, [], [] ile [] çıortylr, = ise, m( % ) = kç derecedir? 5 6 dikdörtgeninde, [] ^ [], = cm, = 6 cm ise, = kç cm dir? R V RNİN ÖZLLİLRİ Tüm kenrlrı birbirine eş oln dikdörtgene kre denir re ynı zmnd bir eşkenr dörtgen de olduğundn köşegenleri çıortydır ve birbirini dik ortlr kresinde = ise ve ikizkenr dik üçgenlerinden = = olur G Resimde kre biçimindeki sermiklerle kplı kresel bölgesi verilmiştir elirtilen,,, G ve noktlrının doğrusl olduğunu gösterelim Resimdeki sermikler kresel bölge biçiminde olduğundn, % % % mg ( ) = mg ( ) = m ( ) = = 180, G, ; G,, ve,, kendi rlrınd doğrusl, sonuçt,,, G, noktlrı d doğrusl olur 19

44 kre, dik üçgen, = ise, m ( % ) = kç derecedir? ullım ,5 = [] köşegeni çizilirse, = = olcğındn ikizkenr üçgen olur Tbn çılrının ölçüsü olsun rede köşegenler çıorty olduğundn, üçgeninde dış çı ölçüsü, 5 = =,5 ve üçgeninde dış çı ölçüsü, = 5 + 7,5 = 67,5 bulunur G ve G birer kre, [] ^ [], = cm, = cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım 3 G = 6 G kresinde [] köşegeni çıorty olduğundn; [, = cm ve = = = + = 3 cm olur ikizkenr dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile, = 3 = 6 cm bulunur 150

45 Y (, ), (, ), (, ) ve (, ) olmk üzere, kresi O bşlngıç noktsı etrfınd pozitif yönde 90 döndürüldüğünde noktsın krşılık gelen ƒ noktsının koordintlrını bullım O X Y ƒ ƒ ƒ ƒ O X % Şekilde mo ( l) = 90c olcğındn, O = Oƒ, mo ( % % % ) =, mo ( ) = β & mo ( l ) = β % ve mo ( l ) = olur eşlik kurlındn, & & = O = birim O, O l & ) O = l = birim Sonuçt ƒ(, ) bulunur lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) rede köşegenler diktir ve birbirini ortlr ( ) re bir dikdörtgendir ( ) rede her iki köşegen de çıortydır kre, eşkenr üçgen ise, m( % ) = kç derecedir? 3 bir kre dik üçgen, [] ^ [], = cm, = 6 cm ise, kç cm dir? 6 151

46 bir kre [] ^ [], 8 = = ve = 8 cm ise, kç cm dir? 5 ir dörtgende tüm kenrlrın ort noktlrı birleştirildiğinde oluşn şeklin bir kre olmsı için bu dörtgende olmsı gereken koşullrı bulunuz 6 ile G kre, = 5 cm, = G ise, G kresinin çevre uzunluğu kç cm dir? G 7 5 kre [] ^ [], % m ( ) = 5c ise, m ( % ) = kç derecedir? 8 ve G birer kre, G [] [] = {} = = 6 cm ise, G = kç cm dir? 15

47 LTOİ V LTOİİN ÖZLLİLRİ α ß α ß öşegenlerinden biri, iki ikizkenr üçgenin tbnı oln dörtgene deltoid denir Şekildeki deltoidinde = =, = = b ve % % m( ) = m( ) = α+ β olur b b Şekilde ve ikizkenr üçgenlerinin tepelerini birleştiren [] köşegeni α ß α ß çizildiğinde [] [] = {} ise [] çıorty, [] ^ [] ve = olur Gösterelim eşlik kurlın göre olduğundn, b b m ( % ) = m ( % ) % % ve m ( ) = m ( ) olur İkizkenr üçgenlerin tepesinden çizilen iç çıorty tbn dik ortldığındn deltoidinde çıorty oln [] köşegeni [] köşegenini dik ortlr Şekilde [] ^ [] ve = olur 6 G 6 r 5 r r O r 8 8 Resimde deltoidi biçimindeki bhçenin çimlerini sulmk için iç bölgede tüm kenrlr eşit uzklıkt bir nokty su fıskiyesi konulmuştur [] ^ [], [] ^ [], = = 6 m, = = 8 m ise, fıskiyenin bulunduğu noktnın kenrlr uzklığı kç m dir? ullım eltoidde tüm iç çıortylr iç bölgede bir O noktsınd kesiştiğinden O noktsının kenrlr uzklığı eşit olur Çünkü şekilde, [O] çıorty O = O [O] çıorty O = O [O] çıorty O = OG [O] çıorty O = OG ve sonuçt, O = O = OG = O = r olur hçenin lnı, 68 () = c m = 8 = (O ) + (O ) + (O ) + ( O) olduğundn, 8 = 8 r 8 r 6 r 6 r 8r & 8 = & 8 = 1r & r = m bulunur 7 153

48 dikdörtgeninde; [], [] ^ [], =, = 3 cm ve = 6 cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım 3 6 dik üçgeninde [] kenrortyı çizildiğinde, = = = 3 cm ve = verildiğinden dörtgeni bir deltoid olur u deltoidde [] çıorty olduğundn, dik üçgeninde çıorty teoremini kullnırsk, = & = = & = bulunur 6 dik üçgeninde = = = olcğındn, = () 3 = 81 = 7 = 3 3 cm ve = = 6 3 cm bulunur Sonuçt = = 3 3 cm olduğundn, = = = 3 3 cm bulunur urd dik üçgeninin bir iç çı ölçüsü 30 oln özel bir dik üçgen olduğun dikkt edelim! 3 Şekilde ymuk; [] // [], deltoid, =, = 7 cm ve = 3 cm olduğun göre, = kç cm olur? ullım Şekildeki gibi [] çizilirse deltoid olduğundn, [] çıorty ve = = 3 cm olur [] // [] m( ) = m( ) = olduğundn, ikizkenr üçgen ve = = 7 cm = = 7 3 = cm bulunur 7 15

49 örtgenlerin Sınıflndırılmsı örtgenleri değişik özelliklerine göre sınıflndırbiliriz rşılıklı kenrlrı prlel (prlelkenr) olnlr; dikdörtgen, eşkenr dörtgen ve kre prlelkenrın tüm özelliklerine shiptir öşegenleri birbirini ortlr, krşılıklı kenrlr ve çılr eştir, komşu çılr bütünlerdir öşegenleri birbirine dik olnlr; kre, eşkenr dörtgen ve deltoiddir İki köşegeni de çıorty olnlr ise kre ve eşkenr dörtgendir şğıdki temel şem d dörtgenlerin krşılıklı kenr çiftlerinin prlel olup olmmsın göre bir sınıflndırm ypılmıştır İnceleyiniz örtgenler eltoid n z iki kenrı prlel olnlr Ymuk Prlelkenr ik İkizkenr ikdörtgen re Ymuk Ymuk şkenr örtgen öşegenlerinden biri, iki ikizkenr üçgenin tbnı oln dörtgenler hngi dörtgenlerdir? ullım b b Şekillerde dikkt edilirse [] köşegeni; deltoid, eşkenr dörtgen ve krede ile ikizkenr üçgenlerinin ortk tbnıdır 155

50 lıştırmlr 1 şğıdki ifdelerde boş bırkıln yerlere uygun kelimeleri yzınız re ve eşkenr dörtgen özel bir eltoidde köşegenler birbirine eltoidin iki iç çı ölçüsü deltoid ve = dir 5 L 3 [] [] = {L}, [] [] = {}, =, L = 5 cm, L = 3 cm olduğun göre, deltoidinin çevre uzunluğu kç cm dir? 3 bir üçgen, deltoiddir =, = 6 cm, = 8 cm ve = 7 cm olduğun göre, = kç cm olur? 6 deltoid, =, [] [] = {} = cm, = 6 cm ve ( ) = 6 cm olduğun göre ( ) kç cm olur? YMUĞUN LNI c ymuğund; [] // [], =, = c ve yükseklik h olsun h h + c () = c mh olur Gösterelim Şekildeki gibi ymuğund [] köşegeni çizilirse, & & h ch + c ( ) = ( ) + ( ) = + = c m h olur ikkt edilirse ymuğun lnı, ort tbn uzunluğu ile yüksekliğinin çrpımın eşittir 156

51 6 ikizkenr ymuk; [] // [], =, [] ^ [], = 10 cm, = 6 cm ise, () kç cm olur? ullım 10 6 h 6 ikizkenr ymuğund [] ve [] yükseklikleri çizilirse, 10-6 = = = cm, = 8 cm olur ll = h ise, dik üçgeninde Öklid ğıntısı ile, h = h = 8 = 16 h = cm bulunur Sonuçt ymuğunun lnı, + c () = c mh = = 8 = 3 cm olur 1 bir ymuk; [] // [], 3 = 6 cm, = 3 cm, = 1 cm ve = cm ise, () kç cm olur? ullım h 3 [] // [] çizersek, prlelkenr dolyısıyl, = = cm, = = 1 cm = 5 cm olur enr uzunluklrı, 3 cm, cm ve 5 cm oln üçgeni Pisgor Teoremi ni sğldığı için bir dik üçgen, [] ^ [] ve 3 & 5 h 1 = ( ) = bğıntısındn h = bulunur 5 + c ( 6+ 1) Sonuçt, ( ) h , cm = c m = = = = 8 olur

52 dik ymuğund; [] // [], [] ^ [], [] ^ [] = 9 cm ve = cm ise () kç cm olur? ullım 9 h 9 Ymuğun yüksekliği = h olsun köşesinden [] // [] çizildiğinde = {} ise prlelkenr olduğundn = = cm ve [] ^ [] olur dik üçgeninde Öklid ğıntısı ile, h = 9 h = 6 cm bulunur Sonuçt, 9+ ( ) = c m = = cm olur S 1 ymuğund; [] // [], & & =, ( ) = S1, ( ) = S olsun & ( ) = S1 + S S & b () = ( ) olduğunu gösterelim h S 1 c h Ymuğun yüksekliği = L = h olsun noktsı ort tbn üzerinde olduğundn = L = h olur un göre şekilde h S L ( ) S 1 + S = c h 1 h 1 + c c $ $ m+ c $ $ m= c m $ h = olduğundn, & ( ) = ( ) & ve sonuçt ( ) = S1+ S & ve () = ( ) bulunur 158

53 ymuğund; [] // [], [] ^ [], = ve ll = ll = cm ise, ymuğun lnını bullım S 1 8 S ymuğund = olduğundn [] çizildiğinde, & & ( ) = S1 ve ( ) = S olsun & ( ) = S1 + S S 1 + S = ymuğun lnı, () = ( ) = 8 = 16 cm olur = 8 cm bulunur S 1 S S 3 ymuğund [] // [], [] [] = {}, ^ & h= S, ^ & h 1 = S, ^& h= S3, ^& h= S olsun S S 1 = S 3, b S 1 = S 3 = S ise S = S S, c () = ` S + Sj olduğunu gösterelim h S 1 c S S S 3 h ymuğund [] // [] olduğundn, ile üçgenlerinde [] tbnlrı ve bu tbnlr it yükseklikler eştir olyısıyl lnlrı d eşit olcğındn, ch ^ & h= = ^ & h S1 + S = S 3 + S S 1 = S 3 elde edilir & b S 1 = S 3 = S olsun Yükseklikleri eş & ile ornı, tbn uzunluklrı ornın eşit olcğındn şekilde, S S = = & S = S S elde edilir S S & ve & ile üçgenlerinde lnlr c ` S + Sj = S+ S+ S S = S + S + S S = S+ S+ S = S+ S+ S = S1+ S+ S3+ S = ( ) olduğu kolyc görülür 159

54 ymuğund; [] // [] // [], = 3 = 6 cm, 3() = 5() ise, = kç cm dir? ullım S 3S 5S 6 = 6 cm, = cm, () = 5S ve () = 3S olsun = {} noktsı için & + & ve benzerlik ornı 1 k = = olduğundn ( benzerlik kurlı) lnsl orn, 6 3 & ( ) 1 1 & = c m = & ( ) = S ve ( ) = 9S olur & ( ) 3 9 & & Yine benzerlik kurlındn + ve lnlr ornı benzerlik ornının kresi olduğundn, S S 1 = & = & = cm bulunur ymuğund; [] // [], [] [] = {}, ( ) = cm, ( ) = 16 cm ise, ymuğunun lnını bullım S 16 S [] // [] olduğundn, ( ) = ( ) = S lınırs, yükseklikleri ortk üçgenlerin lnlrı ornı 16 S = = & S = 6 & S = 8 cm olur S Sonuçt () = = 36 cm bulunur 160

55 İnceleyerek Öğrenelim nlitik üzlemde öşelerinin oordintlrı Verilen Üçgenin lnı y 1 Y y 3 y O ƒ ƒ 1 ƒ 3 X öşeleri ( 1, y 1 ), (, y ) ve ( 3, y 3 ) oln üçgeninin lnı, ( ) = 1 [1 (y y 3 ) + (y 3 y 1 ) + 3 (y 1 y )] olur Gösterelim Şekilde görüldüğü gibi,, noktlrının X ekseni üzerindeki dik izdüşümleri ƒ, ƒ, ƒ olsun ƒƒ, ƒƒ ve ƒƒ dörtgenleri birer dik ymuk ve & ( ) = (ƒƒ) + (ƒƒ) (ƒƒ) olduğundn, & l + l l + l l + l ( ) = e o$ ƒ ƒ + e o$ l l - e o $ l l y + y y + y y + y = c m $ ( - ) + e o( - )-e o$ ( ) = (1 y y y 1 y + 3 y 1 1 y y 3 1 y 3 3 y + y 3 y 3 + y 3 ) = 1 [1 (y y 3 ) + (y 3 y 1 ) + 3 (y 1 y )] bulunur nlitik düzlemde (0, 3), ( 1, ) ve (3, 1) olmk üzere üçgeninin lnını bullım & 1 ( 1, y 1 ), (, y ), ( 3, y 3 ) ise ( ) = [1 (y y 3 ) + (y 3 y 1 ) + 3 (y 1 y )] olduğundn & 1 ( ) = [0 ( 1) + ( 1)(1 3) + 3(3 ( ))] = [0 1( ) + 3(3 + )] = ( ) = br bulunur 161

56 nlitik düzlemde köşelerinin koordintlrı (6, 7), (, ) ve (8, ) oln üçgeninin lnını bullım 7 Y O ƒ ƒ ƒ 6 8 X üçgenini nlitik düzlemde gösterelim,, köşelerinin X ekseni üzerindeki dik iz düşümleri sırsıyl ƒ, ƒ ve ƒ olsun, şekilde dikkt edilirse; ( ) = (ƒƒ) + (ƒƒ) (ƒƒ) olur ƒ =, ƒ = 7, ƒ =, ƒƒ = 6 =, ƒƒ = 8 6 = br, ƒƒ = 8 = 6 br ve ƒƒ, ƒƒ ve ƒƒ birer dik ymuktur un göre, & ( ) 11 6 = = = = 11 br bulunur lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) ir ymuğun lnı ort tbn uzunluğu ile yüksekliğinin çrpımın eşittir ( ) er dörtgende olduğu gibi ymukt d kenrlrın ort noktlrını köşe kbul eden dörtgenin lnı, ymuğun lnının yrısıdır ymuk; [] // [], = = cm, = 5 cm ve () = () ise = kç cm dir? 5 16

57 3 dik ymuk; [] // [], 3 8 [] ^ [], = cm, = 3 cm, = cm ve = 8 cm ise, ( ) kç cm olur? ymuğund; [] // [], 5 =, = = 5 cm, 5 = 6 cm olduğun göre, 6 () kç cm olur? 5 ymuğund; [] // [], % m ( ) = 30c, = = 6 cm, = cm ise, 6 30 () kç cm olur? 6 5 bir ymuk, [] // [] // [], = 5 cm, = 15 cm, () = () ise, 15 ll = kç cm dir? 7 ymuk; [] // [], [] [] = {}, ( ) = cm, ( ) = 5 cm olduğun göre, () kç cm olur? 163

58 8 dik ymuk; [] // [], [] ^ [], =, = = 10 cm, = cm olduğun göre, dörtgeninin lnını bulunuz 10 9 ymuk; [] // [] // [], [] [] = {} ( ) = 8 cm ise, ( ) kç cm olur? 10 ikizkenr ymuğund [] // []; =, = 5 cm, = 6 cm ve = cm olduğun göre, () kç cm olur? PRLLNRIN LNI b α h b h prlelkenrınd; =, = b, bu kenrlr it yükseklikler h, h b ve m ( W ) = olsun b () = h = bh b = bsin olur Gösterelim prlelkenrınd [] köşegeni çizildiğinde eşlik kurlın göre, &, & & ( & ) = ( & ) olduğundn; & h 1 ( ) = ( ) = e o = c b sinm = h b sin =, & () = ( ) bulunur b$ hb = e o = bh b ve sonuçt () = h = bh b = bsin Resimdeki trlnın prlelkenrı biçimindeki bölgesinde = 60 m ve [] ile [] kenrlrı rsındki uzklık 0 m olduğun göre, bölgesinin lnını bullım 16

59 prlelkenrsl bölgesi [] köşegeni ile birbirine eş ve üçgensel bölgelerine yrılıp, bu bölgelerin lnlrı d eşit olduğundn, () = ( ) + ( ) = ( ) = c m = 00 m bulunur S 1 S prlelkenr ve [] olsun & & ( ) = S1 ve ( ) = S ise, & & ( ) = S1 + S ve () = ( ) olduğunu gösterelim S 1 S Şekildeki gibi [] // [] çizelim u durumd ve birer prlelkenrdır prlelkenrsl bölgesi [] köşegeni ile eşdeğer S 1 S & & iki üçgensel bölgeye yrılır ve ( ) = ( ) = S1 olur enzer biçimde prlelkenrsl bölgesi [] köşegeni ile eşdeğer üçgensel bölgelere yrılır ve & & & ( ) = ( ) = S olur Sonuçt, ( ) = S1 + S & ve () = (S 1 + S ) = ( ) bulunur prlelkenrsl bölgesi [] ve [] köşegenleri ile eşit lnlı dört üçgensel bölgeye yrılır Gösterelim Prlelkenrd köşegenler birbirini ortldığındn, S S S S ll = ll ve ll = ll olur Tbn ve yükseklikleri eş oln üçgenlerin lnlrı d eşit olcğındn, ^& h= ^& h= ^& h= ^& h= S bulunur 165

60 İnceleyerek Öğrenelim S 3 S P S 1 S prlelkenr ve P iç bölgede herhngi bir nokt olsun Şekildeki üçgensel bölgelerin lnlrı S 1, S, S 3 ve S ise, S 1 + S 3 = S + S () = (S 1 + S 3 ) = (S + S ) olur Gösterelim 3 P L Şekildeki gibi P noktsındn geçip [] kenrın prlel oln [L] ve [] kenrın prlel oln [] çizilirse; P prlelkenr ve P ( ) = P ( ) LP prlelkenr ve P ( ) = LP ( ) PL prlelkenr ve PL ( ) = P ( ) P prlelkenr ve P ( ) = P ( ) & & & & P ( ) + P ( ) = P ( ) + ( P) = ve ( ) = `( P ) + ( P ) j= `( P ) + P ( ) j olmktdır prlelkenr; [P] ^ [P], 8 P P = cm, P = 8 cm ve () = 8 cm ise, ( P) kç cm olur? ullım () = [ P ( & ) + P ( & )] olduğundn; 8 & & & 8 = c + P ( ) m& = 16 + P ( ) & ( P) = 8 cm bulunur 166

61 prlelkenrınd; P [], P [] // [], [] // [L], [] [] [L] = {P} olsun (PL) = 16 cm ise, (P) kç cm olur? ullım L S 1 S 1 S P S S 16 [] // [] // [] ve [] // [] // [L] olduğundn, LP, PL, P ve P dörtgenleri prlelkenrdır LP ve P prlelkenrsl bölgelerinde köşegenin yırdığı üçgensel bölgelerin lnlrı sırsıyl S 1, S ve (P) = S olsun L ( ) = ( ) S 1 + S + S = S 1 + S + 16 S = 16 cm bulunur Yndki şekilde, prlelkenr, ve kenrlrın ort noktlrıdır ( ) ( ) un göre, ve ornlrı kçtır? ( ) ( ) ullım S S S S [] köşegeni çizilirse, tbn ve yükseklikleri eş oln üçgenlerin lnlrı eşit olcğındn, ^ & h= ^ & h = S ^ & h = ^ & h = S S ( ) = ( ) = = S olur Sonuçt ( ) S 1 ( ) S 1 = = ve = = ( ) S ( ) S bulunur 167

62 M G Şekildeki prlelkenrınd,,, G ve kenrlrın ort noktlrıdır N L un göre, şekilde,, ve köşelerini krşı kenrlrın ort noktlrın birleştiren [G], [], [], [] doğru prçlrı ile belirlenen LMN dörtgeninin bir prlelkenr ve LMN ( ) ( ) 1 = olduğunu gösterelim 5 G S 1 b 3S 1 3S M L S N b S 3S 3S b 1 S 1 b Şekilde l = l = Gl = Gl =, l = l = l = l = b olsun İç ters çılr eş olduğundn şekilde eşlik kurlındn, GM &, & & &, N, L ve bu eş üçgenlerin lnlrı GM ^ & h= ^& h= S 1 N ^& h= L ^& h= S olur rşılıklı kenrlrı eş ve prlel oln G ve dörtgenleri prlelkenr olduğundn LMN dörtgeni de prlelkenrdır [G] // [] ve [] // [] olduğundn benzerlik kurlın göre, MG & + L, & & & & & & & 1, + N, L +, N + M ve bu üçgenlerde benzerlik ornı k =, lnsl orn k 1 = olur un göre ln dğılımı ypıldığınd; (MGL) = (N) = 3S 1 ve (MN) = (L) = 3S elde edilir prlelkenrının 1 lnının üne eşit G ve üçgenlerinin lnlrı eşit olcğındn, S + S 1 = S 1 + S S 1 = S = S bulunur (S 1, S ) & & öylece, şekilde G ( ) = 5S, () = G ( ) (LMN) = 0S 16S = S bulunur Sonuçt LMN ( ) S 1 = = olur ( ) 0S = 5S = 0S ve

63 prlelkenr; = =, = 5 L, (L) = 1 cm ise, L () kç cm olur? ullım 5 h Şekilde lll = 3 lınırs, = 5 L = 53 = 15 = 15 = = = = 5 olur 3 L 3 Prlelkenrın yüksekliği h olsun L bir ymuk ve yüksekliği h olduğundn, 5+ 3 (L) = h = h = 1 h = 3 cm sonuçt () = h = 15h = 153 = 5 cm bulunur prlelkenr, ile kenrlrın ort noktsı olsun ( ) ( ) 3 = olduğunu gösterelim 8 üçgeninde [] ort tbn olduğundn; S S S benzerlik kurlın göre ~, benzerlik ornı 1 k = ve lnsl orn k 1 = olur ( ) = S ise ( ) = S ve () = S = 8S, ( ) 8S ( ) = ( ) = = = S ( ) = 8S S S S = 8S 5S = 3S & ( ) 3S 3 ve sonuçt = = bulunur (S R + ) ( ) 8S 8 169

64 lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) Prlelkenr bir köşegeni ile eşit lnlı iki üçgene yrılır ( ) Prlelkenrın her iki köşegeni de çizilirse eşit lnlı dört üçgen elde edilir ( ) Prlelkenrd herhngi bir köşenin krşı kenrın ort noktsın birleştirilmesi ile oluşn 1 üçgenin lnı, prlelkenrın lnının üdür prlelkenr; bir üçgen, L [], [L] // [], = ve & L ( ) = cm ise () kç cm olur? prlelkenrınd; =, =, = 3 cm ve = 5 cm olduğun göre, () kç cm olur? 8 6 prlelkenrınd; [] ^ [], [] ve [] çıortylr, = 6 cm, = 8 cm ise, & ( ) kç cm olur? 5 G dörtgeninde;,, G ve kenrlrın ort noktlrı, [] ^ [G] ve = = cm olduğun göre, () kç cm olur? 170

65 6 prlelkenr ile kenrlrın ort noktlrıdır () = 0 cm ise, & ( ) değerini bulunuz 7 prlelkenrınd,, G kenrlrın ort noktlrıdır G L [] [G] = {L}, [] [] = {} ise, L ( ) ornı kçtır? & ( ) 8 prlelkenrınd P iç bölgede bir nokt & P ( ) = 5 cm ve P () = 30 cm olduğun göre, & P ( ) değerini bulunuz 9 prlelkenr; [] ^ [], =, = 6 cm ve = cm ise, () değerini bulunuz 6 10 prlelkenr = 5 = 3 ve ( ) = 0 cm olduğun göre () değerini bulunuz 171

66 ŞNR ÖRTGNİN LNI eşkenr dörtgeninde [] ^ [] olduğundn = e, = f ise köşegenleri dik oln bir dörtgende olduğu ef gibi () = olur şkenr dörtgen bir prlelkenr olduğundn prlelkenrd verilen ln bğıntılrı eşkenr dörtgende de geçerlidir eşkenr dörtgen; [] [] = {}, [] ^ [], = cm ve = 9 cm ise, () kç cm olur? ullım şkenr dörtgende köşegenler birbirini dik ortldığındn dik üçgendir [] ^ [] verildiğinden Öklid ğıntısı ile, = = 9 = 36 = 6 cm bulunur eşlik kurlın göre, &, & ve bu eş üçgenlerin yükseklikleri = = 6 cm olduğundn, = = 1 cm olur Sonuçt () = = 131 = 156 cm bulunur eşkenr dörtgeninde; [], [] ^ [] 3 [] ^ [], = 3 cm, = cm ve = 6 cm olduğun göre, () kç cm olur? ullım [] dikmesi [] kenrın doğru uztılırs, [] köşegeni çıorty olduğundn; = = cm = 3 + = 5 cm, () = = 65 = 30 cm bulunur 17

67 oyutlrı 8 m ve m oln dikdörtgen biçiminde bir kilim üzerine şekildeki gibi birbirine eş eşkenr dörtgen biçiminde motif dokunmuştur şkenr dörtgen motiflerden birinin kpldığı lnı bullım G P Şekildeki eşkenr dörtgen motifler birbirine eş olduğundn, = G ve = P olur ikdörtgen biçimindeki kilimde; = 8 m = + G = = G = m, = m = + P = = P = m bulunur Sonuçt bir eşkenr dörtgen biçimindeki motifin kpldığı ln, ( ) = = = m bulunur eşkenr dörtgeninde; [] köşegen, = = 13 cm ve = 3 cm ise, () kç cm olur? ullım [] köşegeni çizilirse; [] ^ [], = ve = olcğındn, 16 = = 8 cm, = 8 3 = 5 cm ve dik üçgeninde Pisgor Teoremi ile = 13-5 = 1 = 1 cm bulunur = = 1 = cm ve () = 16 = = 19 cm olur 173

68 lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) şkenr dörtgenin lnı köşegen uzunluklrı çrpımının yrısıdır ( ) şkenr dörtgende köşegenler diktir ( ) şkenr dörtgende köşegenler çıortydır ve birbirini dik ortlr ( ) Tüm kenrlrı eş oln prlelkenr eşkenr dörtgen denir eşkenr dörtgen; [] ^ [], = 6 cm, = cm ise, () kç cm olur? eşkenr dörtgen; [], [] ^ [], = 3, = 3 cm ve = 3 cm ise, () kç cm olur? eşkenr dörtgen, bir üçgen, [] ^ [], = = cm ise, () kç cm olur? İÖRTGNİN LNI b ir dikdörtgeninde = birim ve = b birim ise şekilde görüldüğü gibi dikdörtgensel bölgede bulunn birim krelerin syısı b olduğundn dikdörtgeninin lnı () = b birimkre olur 17

69 dikdörtgeni biçimindeki bir kâğıt prçsı şekildeki gibi köşesi [] kenrı üzerindeki bir noktsı ile çkışck şekilde [] boyunc ktlnıyor = 10 cm ve ktlnmış üçgensel bölgesinin lnı 5 cm olduğun göre, () kç cm olur? ullım 10 b b = 5 & âğıdı [] boyunc ktldığımızd çkıştığındn bu üçgenler eştir u yüzden, = = 10 cm ve = = olur & ile ( ) = 5 cm verildiğinden, 10 = 5 & = 5 cm bulunur Şekilde çı değerleri isimlendirilirse, benzerlik kurlın göre, & + & ve benzerlik ornı = = olduğundn, = = ve = b = b olur dikdörtgeninde, = + b = 10 ve = b + 5 = olduğundn, + b = 10 1 denklem sisteminde denkleminin ktını lıp, b = 5 1 denklemi ile trf trf toplrsk, = 0 = cm olur Sonuçt: = = = 8 cm ve () = 108 = 80 cm bulunur dikdörtgen, dik üçgen, [] ^ [], [] ^ [], = ve () = 7 cm olduğun göre, = kç cm dir? ullım dik üçgeninde [] ^ [] olduğundn Öklid ğıntısı n göre, olduğundn, = = = = () = 7 = 3 3cm bulunur 175

70 G G dikdörtgeninde; [G], [G], [] ve [] çıortylr, = 6 cm, = 8 cm ise, (G) kç cm olur? ullım,, G ve çıortylrın kesim noktsı olduğundn,,, ve G ikizkenr dik üçgenler olur = = 6 cm = = = = 6 cm, = = 8 cm G = G = = = 8 cm, = = 8 6 = cm G bir kre olur Sonuçt (G) = = cm bulunur lıştırmlr 1 şğıdki ifdeler doğru ise yy yrç içine, ynlış ise Y yzınız ( ) ikdörtgende köşegenler diktir ( ) ikdörtgenin lnı dik kenr uzunluklrı çrpımın eşittir ( ) ikdörtgenin lnı köşegen uzunluklrı çrpımının yrısıdır dikdörtgeninin içine birbirine eş oln tne dikdörtgen yerleştirilmiştir Çevre() = 8 cm olduğun göre, () kç cm olur? 3 ir dikdörtgeninin lnı 60 cm ve bir köşegeninin uzunluğu 13 cm olduğun göre, çevre uzunluğu kç cm dir? G dikdörtgen; 16 8 [] // [], [] // [G] // [L], (N) = 6 cm, (MLN) = cm, M N 6 (MNG) = 8 cm ve (M) = 16 cm ise, () kç cm olur? L 176

71 5 dikdörtgeninde; [] ^ [], = cm; 8 = 8 cm olduğun göre, ( ) kç cm olur? 6 dikdörtgen; [] ^ [], 6 m( % ) = m( % ), = 10 cm, 10 = 6 cm ise, ( ) kç cm olur? 7 Çevre uzunluğu 0 cm oln bir dikdörtgensel bölgenin lnının lbileceği en büyük değer kç cm olur? RNİN LNI re tüm kenrlrı birbirine eş oln bir dikdörtgen olduğundn şekildeki bir kenr uzunluğu oln kresinin lnı () = = olur oyutlrı 300 cm ve 0 cm oln dikdörtgen biçimindeki bnyo zemini, bir kenr uzunluğu 30 cm oln kre biçimindeki sermiklerle kplncktır Zeminin tmmını kplmk için kç tne sermik kullnılır ullım ir sermiğin kpldığı ln 3030 cm ve zemini tmmen kplmk için tne sermik kullnıls, = 0300 = = 810 = 80 bulunur

72 G 8 Şekilde ve G birer kredir = 8 cm ve trlı bölgenin lnı (G) = 55 cm ise, nun kç cm olduğunu bullım G 8 8 G kresinin bir kenr uzunluğu cm olsun Trlı bölgenin lnı, 55 = 6 = 9 = 3 cm olur G kresinin köşegen uzunluğu, = = 3 cm, kresinin köşegen uzunluğu, = 8 cm olduğundn, = 8-3 = 5 cm bulunur G kre,, ve G kenrlrın ort noktlrı, [G] [] = {}, [] [] = {}, = 5 cm ise, trlı dörtgeninin lnını bullım S 3S L N S 3S G S 3S 3S M S S köşesini krşı kenrın L ort noktsın birleştirirsek, eşlik kurlındn, G &, &, M &, LN & ve (G) = () = (M) = (LN) = S olur Şekildeki benzer üçgenlerin ln dğılımlrı ypılırs, () = ( 5) = 5S = 0S = 80 S = cm, (MN) = 0S 16S = S ve sonuçt, () = 3S + S = 7S = 7 = 8 cm bulunur 178

73 dik üçgen G kre, [] ^ [], = cm, G ve = 5 cm olduğun göre, (G) kç cm olur? ullım 5 dik üçgeninde m ( X ) =, m( W ) = β, = G = olsun G 5 u durumd, + = 90 m ( % ) = % ve mg ( ) = β olur benzerlik kurlındn, & & + G & = = 0 (G) = 0 cm 5 bulunur kre; [] ^ [], [], 6 =, = 5, = 6 cm olduğun göre, ( ) kç cm olur? ullım 5 3 M N 1 Şekilde noktsındn geçen [MN] // [] çizilirse, = 6 cm = cm, = 5 cm, N = M = M = 1 cm, N = N = 5 cm olur benzerlik kurlın göre, M & + N & olduğundn, M N 1 N = & = & N = ve = 5 - = cm M N 5 bulunur Sonuçt, & N 5 ( ) 1 = = 5 = 5 cm olur 179

74 kre; bir üçgen, [] [] = {}, =, ( ) = 3 cm, ( ) = 15 cm ise, = kç cm dir? ullım 3 S 15 Şekilde ( ) = S olsun () = ( ) = ( ) ( ) = ( ) S + 15 = (S + 3) S + 15 = S + 6 S = 9 cm olur () = ( ) = (S + 15) = (9+15) = 8 cm ise = 8 = 3 cm bulunur kre; [] ^ [], [] = [], = cm ise, () kç cm olur? ullım [] ^ [] çizilir ve m( % ) = %, m ( ) = β olrk isimlendirilirse, dik üçgeninde de m ( % ) = %, m ( ) = β olur = = olduğundn eşlik kurlın göre, &, & = = = cm = cm bulunur Sonuçt dik üçgeninde Pisgor Teoremi kullnılırs, () = = + = 0 cm bulunur 180

75 lıştırmlr 1 ir kenr uzunluğu 3 metre oln kre biçimindeki bir mutfk duvrı, bir kenrı 10 cm oln kre biçimindeki sermiklerle kplncktır un göre mutfk duvrının tmmının kplnmsı için kç tne sermik gereklidir? G Şekilde ve G kre, = 10 cm ve (G) = 6 cm olduğun göre, II = kç cm dir? 10 3 G kre;, ve G kenrlrın ort noktlrı, [G] [] = {} [G] [] = {} ve ll = 10 cm olduğun göre, dörtgeninin lnı kç cm olur? 10 kre, [] ^ [], =, = 3 cm ise, 3 () kç cm olur? 5 kre, bir üçgen, % m ( ) = 15c, = cm ise, () kç cm olur?

11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK

11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK G O M T R İ www.kdemivizyon.com.tr. ÖÜM Prlelkenr ve şkenr örtgen. PRNR rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgenlere prlelkenr denir. [] // [] [] // [] = =. PRNRIN ÖZ İRİ. rşılıklı çılr eş ve rdışık çılr ütünlerdir.

Detaylı

G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90

G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90 G O M T R İ. ÖLÜM Üçgende çılr. ÜÇGN oğrusl olmyn üç noktyı birleştiren doğru prçlrının birleşim kümesine üçgen denir. ış çı ış çı ış çı. ÇILRIN GÖR ÜÇG N ÇŞİTLR İ r çılı Üçgen Üç çının ölçüsü de 90 den

Detaylı

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)

ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik) ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)

11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS) ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ

Örnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ ÜZGÜN ŞGN ( ÜZGÜN ŞGN TNII, ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÜZGÜN ŞGN ÖZİ 3 TNI V ÖZİRİ enr syısı 5 oln düzgün çokgene öşe düzgün beşgen denir. üzgün beşgenin; köşeleri,,, ve dir, kenrlrı [], [], β θ [], [] ve [] dır,

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.

Detaylı

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC

(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC ÜÇGNLR TRİGONOMTRİK ÖZLLİKLR. Kosinüs Teoremi: Herhngi ir üçgeninin, kenr uzunluklrı,, ise; = +... os = +... os = +... os İspt: Şekilde görüldüğü üçgeni, köşesi ile orijin, kenrı ile ekseni ile çkışk şekilde

Detaylı

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen

ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler

Detaylı

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.

7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir. 7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının

Detaylı

7.SINIF: PARALELKENARIN ve ÜÇGENİN ALANI

7.SINIF: PARALELKENARIN ve ÜÇGENİN ALANI 7.SINIF: PRLLKNRIN ve ÜÇGNİN LNI ikdörtgen şeklindeki ir krtonu şekildeki gii işretlenen yerden kesip diğer trf eklediğimizde krtonun eksilmediğini,sdece görüntüsünün değiştiğini görürüz. Prlelkenrd Yükseklik

Detaylı

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf

Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk

Detaylı

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1 YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. 1. y 1 1 + 1 1ʺ 1 1ʹ 17 0ʹ 1 1ʹ ʹ + ʹ 1ʺ ʹ + ʹ 1ʺ 7 0ʹ 1ʺ 0 0ʹ 1ʺ bulunur. 1 y < + 1 y dir. y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri

Detaylı

ÜÇGENDE BENZERLİK. Benzerlik. Benzerlik Oranı. Uyarı

ÜÇGENDE BENZERLİK. Benzerlik. Benzerlik Oranı. Uyarı ÜÇN NZRLİK enzerlik eometride benzerlik kvrmı görsel olrk birbiri ile ynı oln şekiller için kullnılır. enzer iki şeklin krşılıklı kenrlrı rsınd sbit bir orn vrdır. iz bu bölümde sdece üçgenler rsındki

Detaylı

GeoUmetri Notları Mustafa YAĞCI, Deltoit

GeoUmetri Notları Mustafa YAĞCI, Deltoit www.mustfgci.cm.tr, 01 GeUmetri Ntlrı Mustf YĞI, gcimustf@h.cm eltit n z ir köşegenine göre simetrik ln dörtgene deltit denir. = ve = lmsı deltidin iki ikizkenr üçgen rındırdığını nltır. Şöle de izh edeiliriz

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin ONU NLTIMLI Mtemtik Olimpiytlrı İçin enzerlik LİS MTMTİ OLİMPİYTLRI İÇİN Mustf Yğı, Osmn kiz enzerlik Mustf Yğı Osmn kiz İki çokgenin köşeleri rsınd ire-ir eşleme ypılırs eşleştirilen köşelere krşılıklı

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu

DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı

Detaylı

T 35 ZAMBAK MERAKLISINA TESTLERİ(GEO): ÇÖZÜM: ŞekildeIBCI=8, IACI=4,m(B)= a,m(c)= q ve = 180 olduğuna göre IABI kaç br dir? A)4 B)5 C)6 D)8 E)10

T 35 ZAMBAK MERAKLISINA TESTLERİ(GEO): ÇÖZÜM: ŞekildeIBCI=8, IACI=4,m(B)= a,m(c)= q ve = 180 olduğuna göre IABI kaç br dir? A)4 B)5 C)6 D)8 E)10 1) Z RII Rİ(GO): 0 0 ŞekildeII=, II=,m()=,m()= ve + = 10 olduğun göre II kç br dir? ) )5 ) ) )10 ÇÖZÜ-1: 0 5 5 5 0 105 ile yi birleştirelim. @ (.. eşliği) olur. ikizkenr olur.unlr göre çılrı simgelendirirsek

Detaylı

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise

SORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy

Detaylı

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.

ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır. LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden

Detaylı

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT

VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ

Detaylı

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010 tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011 2012 Öğretim Yılından Milli ğitim knlığı, Tlim ve Terbie urulu knlığı'nın 0.1.010 trih ve 0 sılı krrı ile kbul edilen ve 011 01 Öğretim Yılındn itibren ugulnck progrm göz önüne lınrk hzırlnmıştır. u kitb n her hkk skl d r ve

Detaylı

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?

1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır? 988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?

Detaylı

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır?

Mobil Test Sonuç Sistemi. Nasıl Kullanılır? Mobil Test Sonuç Sistemi Nsıl ullnılır? Tkdim Sevgili Öğrenciler ve eğerli Öğretmenler, ğitimin temeli okullrd tılır. İyi bir okul eğitiminden geçmemiş birinin hytt bşrılı olmsı beklenemez. Hedefe ulşmks

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün ÜZGÜN TIGN ( ÜZGÜN TIGN TNIMI, ÖZİİ V NI ĞNİM ) ÜZGÜN TIGN Örnek...2 : TNIM V ÖZİİ enr syısı 6 oln çok - gene lt ıgen denir. ltıgeni için [], [] ve [] köşegenlerinin kesim noktsı oln noktsı dü zgün ltıge

Detaylı

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI

ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,

Detaylı

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1

YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1 YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. ʹ. y 1 1 1ʹ y < + 1 y dir. m ^ h olsun. + 1. 1 + 1 1 17 0 17 0 1 1 olur. + + y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri + 17 7 bulunur.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının

Detaylı

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR

Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,

Detaylı

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57

1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57 99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)

Detaylı

ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR

ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR ORTÖĞRETĐM ÖĞRENĐLERĐ RSI RŞTIRM ROJELERĐ YRIŞMSI (2008 2009) ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTLR rojeyi Hzırlyn Öğrencilerin dı Soydı : Sinem ÇKIR Sınıf ve Şuesi : 11- dı Soydı : Fund ERDĐ Sınıf ve Şuesi

Detaylı

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI

ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı

Detaylı

[BC] // [AD] [AC] ve [BD] AD =6 br BC =10 br. olduğuna göre, EF MN k a ç birimdir? Ayr ı c a. [AC] ve [BD] EF =6 br BC =8 br.

[BC] // [AD] [AC] ve [BD] AD =6 br BC =10 br. olduğuna göre, EF MN k a ç birimdir? Ayr ı c a. [AC] ve [BD] EF =6 br BC =8 br. YU ( YU TII ORT T YU LI İİZR YU İ YU ) YU TII ORT T Y l n ı z ik i k e n r ı b i r b i r i n e p r l e l l n d ö r t g e n e Y U d e n i r. [ ] / / [ ] i s e y m u k t u r. y m u ğ u n d, ve L kenr rt

Detaylı

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası

Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.

Detaylı

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.

Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız. Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:

Detaylı

ÜNİTE - 9 GEOMETRİK CİSİMLER

ÜNİTE - 9 GEOMETRİK CİSİMLER ÜNİ - 9 GMRİK İSİMLR KI İSİMLRİN YÜZY LNLRI V İMLRİ RİZMLR Q ve Q birbirine prlel iki düzlem olsun. iri, diğeri Q düzlemindeki birbirine eş iki çokgenin köşeleri krşılıklı olrk birleştirilirse elde edilen

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI ., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8

Detaylı

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin

Detaylı

YAYINA HAZIRLAYANLAR

YAYINA HAZIRLAYANLAR rif ŞYKKUYN Her hkkı sklıdır ve MVSİM SIM YY. Ğ. PZ. SN ve Tİ. LT. ŞTİ ne ittir. Metinler, örnekler, lıştırmlr nen d değiştirilerek lınmz, fotokopi ve bşk bir oll çoğltılrk kullnılmz. YYIN HZIRLYNLR ditör

Detaylı

G E O M E T R İ ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br

G E O M E T R İ  ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br G O M T R İ www.kemivizyon.om.tr 3. ÖLÜM Üçgene çı Kenr ğıntılrı 1. < < + < < + < < + ir üçgene ir kenr uzunluğu, iğer iki kenr uzunluklrının toplmınn küçük; mutlk frkınn üyüktür. ÖRNK m() m() m() = r

Detaylı

2 olur. ADI: SOYADI: DERS: MATEMATĐK KONU: KESĐK PĐRAMĐT KONU ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN

2 olur. ADI: SOYADI: DERS: MATEMATĐK KONU: KESĐK PĐRAMĐT KONU ANLATIMI HAZIRLAYAN: ÖMER ASKERDEN 1)KESĐK PĐRAMĐT: Bir pirmit, tbn prlel bir düzlem ile kesildiğinde, tbn düzlemi ile kesit üzei rsınd kln kısım kesik pirmit denir. KESĐK PĐRAMĐDĐN YANAL YÜZ ALANI: Bir düzgün kesik pirmidin nl lnı, lt

Detaylı

Geometri YGS SORU BANKASI İMES. Kazanım Merkezli. Temel Düzey Orta Düzey. İleri Düzey ÜÇ AŞAMALI TEST MODÜL SİSTEMİ İSTANBUL MODÜLER EĞİTİM SİSTEMİ

Geometri YGS SORU BANKASI İMES. Kazanım Merkezli. Temel Düzey Orta Düzey. İleri Düzey ÜÇ AŞAMALI TEST MODÜL SİSTEMİ İSTANBUL MODÜLER EĞİTİM SİSTEMİ YGS Geometri znım Merkezli SORU NSI İsbetli Soru nksı znımlrın tkin Özeti Nöbetçi Öğretmen Uygulmsı Güncel Soru ve Çözümleri ÜÇ ŞMLI TST MOÜL SİSTMİ Temel üzey Ort üzey İleri üzey İMS İSTNUL MOÜLR ĞİTİM

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,

2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü, 005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.

Detaylı

Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net. EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25

Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net. EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25 EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 5 5 DÜZLEMDE ÇILR Prlel Ġki Doğrunun Bir Kesenle Yptığı çılr: Tnım: Bşlngıç noktsı ortk iki ışının irleşim kümesine çı denir. d 6 5 d 7 8 O OB OB = BO ÇI ÇEġĠTLERĠ. Dr çı: Ölçüsü

Detaylı

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın

Detaylı

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?

1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır? 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd

Detaylı

DOĞRUDA AÇILAR GEOMETRİ KAF01 TEMEL KAVRAMLAR NOKTA: AÇI ÖLÇÜ BİRMLERİ: DERECE: = 360 2π DOĞRU: RADYAN: KOMŞU AÇI: KAPALI DOĞRU PARÇASI: TÜMLER AÇI:

DOĞRUDA AÇILAR GEOMETRİ KAF01 TEMEL KAVRAMLAR NOKTA: AÇI ÖLÇÜ BİRMLERİ: DERECE: = 360 2π DOĞRU: RADYAN: KOMŞU AÇI: KAPALI DOĞRU PARÇASI: TÜMLER AÇI: ĞRU ÇILR GMTRİ 01 TML VRMLR NT: ĞRU: ÇI ÖLÇÜ İRMLRİ: R: RYN: R = 360 2π PLI ĞRU PRÇSI: MŞU ÇI: YRI ÇI ĞRU PRÇSI: TÜMLR ÇI: ÇI ĞRU PRÇSI: ÜTÜNLR ÇI: PLI YRI ĞRU (IŞIN): R ÇI: ÇI YRI ĞRU: İ ÇI: ÇI: GNİŞ

Detaylı

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,

Detaylı

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme

Uzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr

Detaylı

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK Bölüm 4.1. Eşlik

ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK Bölüm 4.1. Eşlik Ünite 4 ÜÇGNLR ŞLİK V NZRLİK ölüm 4.1. şlik u ölümde Neler Öğreneceğiz? Üçgenin iç ve dış çılrının ölçüleri toplmını İki üçgenin eşliğini Üçgenin kenrlrı ile çılrı rsındki ilişkiyi Üçgenin kenrlrı rsındki

Detaylı

İntegral Uygulamaları

İntegral Uygulamaları İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim

Detaylı

ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN

ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN ÖZEL EGE ORTAOKULU ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠLER: Olçr ÇOBAN Sevinç SAYAR DANIġMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ ĠZMĠR 2014 ĠÇĠNDEKĠLER 1. PROJENĠN AMACI... 2 2. GĠRĠġ... 2 3.

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER

ÖZEL EGE LİSESİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTSİZLİKLER ÖZEL EGE LİEİ PEDAL DÖRTGENLERİNDE GEOMETRİK EŞİTİZLİKLER HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Güneş BAŞKE Zeynep EZER DANIŞMAN ÖĞRETMEN: ereny ŞEN İZMİR 06 İçindekiler yf. Giriş.... Amç.... Ön Bilgiler...... 3. Yöntem....

Detaylı

İçindekiler. Geometri Nedir? Bölüm 1. GEOMETRİK KAVRAMLAR 1 1. NOKTA, DOĞRU, DOĞRU PARÇASI VE IŞIN 2 2. DÜZLEM ve İLGİLİ AKSİYOMLAR 5

İçindekiler. Geometri Nedir? Bölüm 1. GEOMETRİK KAVRAMLAR 1 1. NOKTA, DOĞRU, DOĞRU PARÇASI VE IŞIN 2 2. DÜZLEM ve İLGİLİ AKSİYOMLAR 5 İçindekiler Geometri Nedir? v ölüm 1. GEOMETRİK KVRMLR 1 1. NOKT, OĞRU, OĞRU PRÇSI VE IŞIN 2 2. ÜZLEM ve İLGİLİ KSİYOMLR 5 ölüm 2. ÇILR 9 1. ÇILRL İLGİLİ GENEL KVRMLR 9 2. PRLEL İKİ OĞRUNUN İR KESENLE

Detaylı

Işığın Yansıması ve Düzlem Ayna Çözümleri

Işığın Yansıması ve Düzlem Ayna Çözümleri 2 şığın Ynsımsı ve Düzlem Ayn Çözümleri 1 Test 1 1. 38 38 52 52 Ynsıyn ışının yüzeyin normli ile yptığı çıy ynsım çısı denir. Bu durumd ynsım çısı şekilde gösterildiği gibi 38 dir. 4. şıklı cisminin ve

Detaylı

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun

1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun 99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce

Detaylı

GEOMETRİ DERS NOTLARI. Doç.Dr.Recep ASLANER MALATYA

GEOMETRİ DERS NOTLARI. Doç.Dr.Recep ASLANER MALATYA www.matematikce.com 'dan indirilmiştir. İM 154 GEOMETRİ ERS NOTLRI oç.r.recep SLNER İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FKÜLTESİ MLTY 2009 İçindekiler Geometri Nedir? vii ölüm 1. GEOMETRİK KVRMLR 1 1. NOKT, OĞRU,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?

Detaylı

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT

DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek

Detaylı

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR... İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE

Detaylı

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?

MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir? MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1

Detaylı

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2

KONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2 Sf No.........................................................8-7 Prol....................................................................... 9 - Etkinlikler.....................................................................

Detaylı

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin

(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin 4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1

UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-1 UZAYDA VEKTÖRLER / TEST-. A(,, ) ve B(,, ) noktlrı rsındki uklık kç birimdir? 6. A e e e B e e e AB vektörü ile nı doğrultud ıt öndeki birim vektör şğıdkilerden ( e e e ). A(, b, ) B(,, ) noktlrı ve U

Detaylı

Soru 1- Köşegenleri dik kesişen bir dikdörtgende köşegenlerin uzunlukları toplamı 12 ise bu dörtgenin alanı en çok kaç olabilir?

Soru 1- Köşegenleri dik kesişen bir dikdörtgende köşegenlerin uzunlukları toplamı 12 ise bu dörtgenin alanı en çok kaç olabilir? Soru - Köşegenleri dik kesişen bir dikdörtgende köşegenlerin uzunluklrı toplmı ise bu dörtgenin lnı en çok kç olbilir? A) 8 B) C) 6 D) E)6 Köşegenlerin uzunluklrı ve y olsun. Köşegenleri dik kesiştiği

Detaylı

İntegralin Uygulamaları

İntegralin Uygulamaları Bölüm İntegrlin Uygulmlrı. Aln f ve g, [, b] rlığındki her x için f(x) g(x) eşitsizliğini sğlyn sürekli fonksiyonlr olmk üzere y = f(x), y = g(x) eğrileri, x = ve x = b düşey doğrulrı rsındki S bölgesini

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 7 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınvı (Öss) / 7 Nisn 99 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri (0,0 0,8) işleminin sonucu kçtır? 0,00 A) 00 B) 0 C) D), E) 0, Çözüm (0,0 0,00 0,8) 0, 0,00 0, 0,00 0 işleminin sonucu kçtır? A) B) C)

Detaylı

c

c Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.

Detaylı

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?

1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır? 987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı

Detaylı

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR

ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri

Detaylı

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER

TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:

Detaylı

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden

İstatistik I Bazı Matematik Kavramlarının Gözden İsttistik I Bzı Mtemtik Kvrmlrının Gözden Geçirilmesi Hüseyin Tştn Ağustos 13, 2006 İçindekiler 1 Toplm İşlemcisi 2 2 Çrpım İşlemcisi 6 3 Türev 7 3.1 Türev Kurllrı.......................... 8 3.1.1 Sbit

Detaylı

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK

KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MATEMATİK MTEMTİK KPSS ÇEVİR KONU - ÇEVİR SORU MTEMTİK EDİTÖR Turgut MEŞE YZR İdris DOĞN ütün hklrı Editör Yyınlrın ittir. Yyınevinin izni olmksızın, kitbın tümünün vey bir kısmının bsımı, çoğltılmsı ve dğıtımı

Detaylı

Geometri Notları. Kenar-Açı Bağıntıları Mustafa YAĞCI,

Geometri Notları. Kenar-Açı Bağıntıları Mustafa YAĞCI, www.mustfygi.om, 00 Geometri Notlrı Mustf YĞI, ygimustf@yhoo.om Kenr-çı ğıntılrı Üçgenin tnımını htırlyrk derse şlylım:,, doğrusl olmyn üç nokt olduğund, [], [] ve [] nin irleşimine üçgeni denirdi. ir

Detaylı

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu

Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in

Detaylı

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)

MATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2) 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mt ). u testte sırsıl, Mtemtik ( 8) Geometri (9 7) nlitik Geometri (8 0) lnlrın it 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için rıln kısmın işretleiniz..

Detaylı

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.

LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir. LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.

Detaylı

Geometri Notları. Dik ve Özel Üçgenler Mustafa YAĞCI,

Geometri Notları. Dik ve Özel Üçgenler Mustafa YAĞCI, www.mustfgci.com, 005 Geometri Notlrı Mustf YĞI, gcimustf@oo.com ik ve Özel Üçgenler ik üçgen. Herngi iki kenrı dik kesişen d şk ir ifdele (iç ve dış) ir çısı dik çı oln üçgenlere dik üçgen denir. ik çının

Detaylı

TEST 16-1 KONU DÜZLEM AYNA. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ

TEST 16-1 KONU DÜZLEM AYNA. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ OU 6 Ü Çözümler. TST 6-,7 ÇÖÜR,6 5. Bir cismin görüntüsünün nerede görüneceğini bkn kişinin bulunduğu yer belirlemez. nin görüntüsü nolu noktd olduğu için her iki gözlemci ynı yerde görür. V 3,5 6. 7 kez

Detaylı

Vektör - Kuvvet. Test 1 in Çözümleri 5. A) B) C) I. grubun oyunu kazanabilmesi için F 1. kuvvetinin F 2

Vektör - Kuvvet. Test 1 in Çözümleri 5. A) B) C) I. grubun oyunu kazanabilmesi için F 1. kuvvetinin F 2 7 Vektör - uvvet 1 Test 1 in Çözümleri 5. A) B) C) 1. 1 2 I. grubun oyunu kznbilmesi için 1 kuvvetinin 2 den büyük olmsı gerekir. A seçeneğinde her iki grubun uyguldığı kuvvetler eşittir. + + + D) E) 2.

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =?

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 16 Haziran Matematik Sorularının Çözümleri. sayısının 2 sayı tabanında yazılışı =? Lisns Yerleştirme Sınvı (Ls ) 6 Hirn Mtemtik Sorulrının Çöümleri 8 sı tnınd verilen ( ) 8 sısının sı tnınd ılışı? Bu durumd ( ) 8 sısı önce tnın çevrilir Sonr tnınd ılır ( ) 8 8 8 8 Bun göre ( ) 8 ( )

Detaylı

ÇOKGENLER HAKKINDA GENEL HATIRLATMALAR

ÇOKGENLER HAKKINDA GENEL HATIRLATMALAR ÇONLR IN NL TIRLTMLR nr sısı (n) 3 d d zl oln kplı gomtrik şkillr çokgn dnir n NRLI İR ONV ÇON; 1) İç çılr toplmı (n )180 ) ış çılr toplmı 360 3) öşgn sısı n ( n 3) onvks çokgn (ışük) onkv çokgn (İçük)

Detaylı

Örnek...1 : A ( 2, 8) B (2, 5) C (7, 7) D ( 1, 1) noktalarını köşe kabul eden ABCD dörtgenini

Örnek...1 : A ( 2, 8) B (2, 5) C (7, 7) D ( 1, 1) noktalarını köşe kabul eden ABCD dörtgenini ÖRTGNR ( ÖRTGN TNII ÖRTGN ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÖRTGN TNII üzlemde herhangi üçü doğrusal olmaan dört noktanın birleştirilme sile elde edilen kapalı şekle dörtgen denir. Temel elemanlar : 4 ÇI, 4 ÖŞ, 4 NR dır.

Detaylı

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160

1982 ÖSS =3p olduğuna göre p kaçtır? A) 79 B) 119 C) 237 E) A) 60 B) 90 C) 120 D) 150 E) 160 8 ÖSS. Bir çiftlikte 800 koun 00 inek ve 600 mnd vrdır. Bu hvnlrın tümü bir dire grfikle gösterilirse ineklerle ilgili dilimin merkez çısı kç derece olur? A) 60 B) 0 C) 0 D) 0 E) 60 6. 0 - =p olduğun göre

Detaylı

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi

Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2015-2016 Güz Dönemi Andolu Üniversitesi Mühendislik Fkültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Plnlmsı 2015-2016 Güz Dönemi 2 Tesis (fcility) Tesis : Belli bir iş için kurulmuş ypı Tesis etmek :

Detaylı

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin

Bu ürünün bütün hakları. ÇÖZÜM DERGİSİ YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ. ne aittir. Tamamının ya da bir kısmının ürünü yayımlayan şirketin u ürünün ütün hlrı ÇÖZÜM RGİSİ YYINILI SN. Tİ. LT. ŞTİ. ne ittir. Tmmının y d ir ısmının ürünü yyımlyn şiretin önceden izni olmsızın fotoopi y d eletroni, meni herhngi ir yıt sistemiyle çoğltılmsı, yyımlnmsı

Detaylı

Harita Dik Koordinat Sistemi

Harita Dik Koordinat Sistemi Hrit Dik Koordint Sistemi Noktlrın ir düzlem içinde irirlerine göre konumlrını elirlemek için, iririni dik çı ltınd kesen iki doğru kullnılır. Bun dik koordint sistemi denir. + X (sis) Açı üyütme Yönü

Detaylı

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)

Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0) BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni

Detaylı

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI

SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d

Detaylı

MATEMATİK.

MATEMATİK. MTEMTİK www.e-ershne.iz. s( \ ) = 6, s( \ ) = 8 tür. kümesinin lt küme syısı ise, kümesinin elemn syısı kçtır?... D. 7 Ynıt:. s( ) =? s( ) = = s( ) = 6 8 s( ) = 6 + + 8 =. Rkmlrı frklı üç smklı üç oğl

Detaylı

TEST 17-1 KONU KÜRESEL AYNALAR. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ 6. K Çukur aynada cisim merkezin dışında ise görüntü

TEST 17-1 KONU KÜRESEL AYNALAR. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ 6. K Çukur aynada cisim merkezin dışında ise görüntü OU 17 ÜRS R - - - - Çözümler S 17-1 ÇÖÜR 5. α 1. - - - - ve ynlış çizilmiş olup doğru çizimleri yukrıd verilmiştir.. sü ise doğru çizilmiştir. Cevp: Odk nin sğınddır. den çizilen doğru normldir. Bundn

Detaylı

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 21 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 21 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri Öğrenci Yerleştirme Sınvı (Öys) / Hzirn 99 Mtemtik Sorulrı Ve Çözümleri Bir öğrenci, hrçlığının si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır 7 Bun göre, öğrencinin hrçlığı kç lirdır? A) 0 000 B)

Detaylı

TEST. Düzgün Çokgenler. 4. Bir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar 5. A B. 2. Bir dış açısı Çevresi. toplamı kaç derecedir?

TEST. Düzgün Çokgenler. 4. Bir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar 5. A B. 2. Bir dış açısı Çevresi. toplamı kaç derecedir? üzgün Çokgenler 7. Sınıf Matematik Soru ankası S 49 1. 4. ir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar toplamı kaç derecedir? ) 70 ) 900 ) 1080 ) 160 Şekilde verilen düzgün çokgenine göre, I., köşesine

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları... İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel

Detaylı

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir?

1981 ÜYS Soruları. 1. Bir top kumaşın önce i, sonra da kalanın ü. satılıyor. Geriye 26 m kumaş kaldığına göre, kumaşın tümü kaç metredir? 98 ÜYS Sorulrı. r top kumşın önce, sonr d klnın ü 5 stılıor. Gere 6 m kumş kldığın göre, kumşın tümü kç metredr? ) 7 ) 65 ) 6 ) 55 ) 5 4. r şekln, u brm uzunluğun göre ln ölçüsü, v brm uzunluğun göre ln

Detaylı

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır:

a üstel fonksiyonunun temel özellikleri şunlardır: 1 Üstel Fonksiyon: >o, 1 ve herhngi bir reel syı olmk üzere f: fonksiyon denir. R fonksiyonun üstel R, f()= 1 2, f()= ve f()= f()= gibi tbnı sbit syı (pozitif ve 1 den frklı) ve üssü 4 değişken oln bu

Detaylı

6. ABCD dikdörtgeninde

6. ABCD dikdörtgeninde Çokgenler ve örtgenler Test uharrem Şahin. enar sayısı ile köşegen sayısı toplamı olan düzgün çokgenin bir dış açısı kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ). Şekilde dikdörtgeninin içindeki P noktasının üç köşeye

Detaylı

Dik Üçgende Dar Açıların. Trigonometrik Oranları

Dik Üçgende Dar Açıların. Trigonometrik Oranları ölüm 5. ik Üçgen ve Trigonometri Neler Öğreneceğiz? ik üçgende bir çının sinüs, kosinüs, tnjnt ve kontnjnt değerlerini ik üçgende 0, 5 ve 60 lik çı ölçülerinin trigonometrik ornlrını Eşkenr üçgenin ükseklik

Detaylı