Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Transkript

1 Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab.

2 Lineer bir denklem sisteminin çözülerek bilinmeyen i değerlerinin bulunmasında değişik yöntemler kullanılır. Bu yöntemler grup halinde ayrılabilir. 1-) Analitik (Direkt) Yöntemler: Denklem sisteminin çözümünü matematik anlamda tam olarak veren yöntemlerdir. Bu yöntemler sayesinde doğrudan aranan çözüm elde edilir. Matris Tersi Yöntemi Cramer Yöntemi Eliminasyon Yöntemi Gauss Eliminasyon Yöntemi Gauss-Jordan Yöntemi LU Ayırma Yöntemi

3 -) İteratif (Dolaylı) Yöntemler: Çözümü bulmak için öncelikle tahmini değerlerden başlanır ve adım adım ardışık hesaplamalarla belirli tolerans sınırları içinde aranan çözüme ulaşılır. Basit İterasyon (Jacobi) Yöntemi Gauss-Seidel Yöntemi Rölaksasyon (SOR) Yöntemi

4 bilinmeyenli lineer denklem sistemleri için olası durumlar; y 1 y Unique Solution These two lines intersect in a single point y y No Solution Here the lines are parallel, so never intersect. In this case we call the system inconsistent y 4 y Infinitely many solutions The two lines coincide in this case, so they have 1 1 an infinite number of intersection points. 4

5 Cramer methodu: (Cramer s rule) The system of equations above can be written in a matri form as: a a a b a a a b 1 a a a b 1

6 a a a A a a a a a a b1 and B b b IfD 0, thenthesystemhas auniquesolution asshownbelow (Cramer's Rule). D1 D D 1,, D D D

7 Determinantlar; a a a b a a D a a a D b a a 1 1 a a a b a a 1 a b a a a b D a b a D a a b 1 1 a b a a a b 1 1

8 Örnek: 4 6 A B where A 4 7 8

9 4 6 4 D D D D

10 1 D D D D D D 4

11 Denklem sistemini MATLAB da Cramer yöntemi ile çözelim;

12

13 Gauus eliminasyon: Değişkenlerin yok edilmesi ilkesine dayanan bu yöntemde öncelikle katsayılar matrisi alt/üst üçgensel hale dönüştürülür. Daha sonra çözüm vektörü hesaplanır b b b a a a a a a a a a Bu yöntemde katsayılar matrisindeki köşegen elemanlar mutlak değerce maksimum olacak şekilde satırların yer değiştirilmesi (pivotlama) gerekir. Böylece yuvarlatma hataları azalır ve köşegendeki sıfır rakamı kalmayacağından dolayı sıfıra bölme hatası da oluşmaz.

14 Örnek: y z 4 7y z 10 y 8z 6 denklem sistemindeki bilinmeyenleri bulunuz.

15 1. değerleri yalnız bırakılır z y z y z y z y z y z y

16 .. ve. eşitliklerden 1. eşitlik çıkarılarak den kurtulunur z y z y z y.. eşitlik -1 e ve. eşitlik 7/ e bölünerek tekrar yazılır z y z y z y

17 4.. eşitlikten. eşitlik çıkarılarak y den kurtulunur. y y z 10 1 z z eşitlikten z hesaplanır. z 84 0

18 6. z,. eşitlikte yerine koyulur ve y hesaplanır. y y y ve z, 1. eşitlikte yerine koyulur ve I 1 hesaplanır.

19 LU yöntemi: LU decomposition was originally derived as a decomposition of quadratic and bilinear forms. Lagrange, in the very first paper in his collected works( 179) derives the algorithm we call Gaussian elimination. Later Turing introduced the LU decomposition of a matri in 1948 that is used to solve the system of linear equation. Let A be a m m with nonsingular square matri. Then there eists two matrices L and U such that, where L is a lower triangular matri and U is an upper triangular matri.

20 mm m m u u u u u u U mm m m l l l l l l L A LU

21

22

23 Örnek: denklem sistemini LU yöntemi ile çözünüz.

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34 Dersin Sonu Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab.