Eğitim-Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları 1

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Eğitim-Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları 1"

Tülay Bucak
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Eğitim-Öğrtim Yılı Güz Dönmi Difransil Dnklmlr Drsi Çalışma Soruları 1 1) d/dt +sint difransil dnklmini çözünüz. ) (4+t)d/dt + 6+t difransil dnklmini çözünüz. ) d/dt-7 difransil dnklmini (0)15 başlangıç koşulu için çözünüz. + d 4) + d 5) -d/d difransil dnklmini çözünüz. Brnoulli difransil dnklmini çözünüz. 6) d-d d bağlı intgrason çarpanı kullanarak difransil dnklmi çözünüz 7) sincosd+cossind0 tam difransil dnklmini çözünüz 8) ( +)d + ( +)d0 difransil dnklmini çözünüz 9) ' ' + difransil dnklmi çözünüz. 10) tansc- sin Riccati difransil dnklminin bir özl çözümü 1 sc dir gnl çözümü bulunuz.

2 1) +sint difransil dnklmini çözünüz. Çözüm: +P(t)Q(t) tipi µ(t) P(t)dt dt t [µ(t) ] µ(t)q(t) il [ t ] t sint t t sint dt1/5 t (sint-cost)+c 1/5 (sint-cost)+c -t ) (4+t)d/dt + 6+t difransil dnklmini çözünüz. d/dt +1/(4+t ) 6+t /(4+t) : +P(t)Q(t) tipi µ(t) P(t)dt (1/4+t)dt ln(1/(4+t)) 1/(4+t) [µ(t) ] µ(t)q(t) il [ 1/(4+t) ] 6+t 1/(4+t)6t+t +c 6t+t +c*(4+t) ) d/dt-7 difransil dnklmini (0)15 başlangıç koşulu için çözünüz. Çözüm: +P(t)Q(t) tipi µ(t) P(t)dt -dt -t [µ(t) ] µ(t)q(t) il [ -t ] 7 -t -t -7/ -t +c -7/+c t (0)15 için 15-7/+c c5/ bulunur.

3 -7/+5/ t 4) + + d d difransil dnklmini çözünüz Homojn difransil dnklm v dvd+dv (+ )d-(+ )d0 rlrin konup düznlnirs; (v+v )d (v+1)dv d v + 1 dv intgral alınarak v + v lnln(v+v )+c v/ idi. Lnln(/+(/) )+c c ln + c + 5) -d/d Çözüm: difransil dnklmini çözünüz. +P()Q() n brnoulli (n 0, n 1) u 1-n dğişkn dönüşümü il u - olur. du d d d rlrin konursa d 1 du çkilrk vriln dif. dnklmd d d + 1 du 1 d il çarpalım. 1 du + d 1 u (1) 1 du u + 0 il homojn çözüm bulunur. d

4 1 du u d -ddu/u - d du/u - +lnclnu lnu-lnc - ln(u/c) - uc () bulunur. İkinci taraflı dnklmin çözümü için c nin nasıl bir c() fonksionu olması grktiğini araştıralım.(ani homjn çözümd cc() koalım türvlri alarak (1) rlrin azalım. uc() du/du dc d c( ) 1 dc ( d c( ) ) + c( ) 1 dc d dcd c+c 1 () () nolu ifad () rin konur v u - olduğu dikkat alınarak ld dilir. - (+c 1 ) va du u + d 1 ' u + u il µ() P()d d [µ() ] µ()q() il [ ] (+c) 6) d-d d difransil dnklmini çözünüz. Çözüm:

5 -(+ )d+d0 M(,)d+N(,)d0 M(,) -(+ ) N(,) 1 1 Tam difransil dğil. bağlı intgrason çarpanı: ln µ M N N(, ) 11 ardımıla intgrason çarpanı µ 1/ ld dilir. Vriln difransil dnklml çarpılarak ani, 1/ (-(+ )d+d0) -(/ + )d+1/ d0 ld dilir. Bu durumda M(,) -(/ + ) N(,) 1/ 1 tam difransial dnklm ld dilir. F M (, ) F N(, ) F F + + m() g() df0 Fc c va c+ 7) sincosd+cossind0

6 M(,) sincos N(,) cossin sin sin Tam difransil df M(,)d F -coscos+g() df N(,)d F -coscos +m() c-coscos 8) ( +)d+( +)d0 difransil dnklmini çözünüz. M(,) + N(,) + +1 Tam difransil df M(,)d F + +g() df N(,)d F + +m() c + 9) ' ' + difransil dnklmi çözünüz. ' + ϕ( ' ) şklind (Claıraut dif. dnklmi) Gnl çözüm için ' c azılırsa gnl c+c tkil çözüm için c türv alınıp sıfıra şitlnrk c ifaddn çkilrk paramtrik dnklmlr ld dilir. Yani; +c 0 -c (-c )c+c -c c -/ c nin karşılığı -c d rin konarak

7 ( ) 7 va ) tansc- sin Riccati difransil dnklminin bir özl çözümü 1 sc dir gnl çözümü bulunuz. Q() tansc, R() -sin P()0 olmak üzr riccati tipi difransil dnklmdir. ( P()+R() +Q() tipi) 1 +1/u dönüşümü kullanılarak türvlr alınıp vriln difransil dnklmind ( tansc- sin)rlrin konursa, ani; sc+1/u sin/cos - u /u tansc- u /u tansc- u /u tansc- (sc+1/u) sin tansc- u /u tansc-sc sin-sc(1/u)sin-1/u sin tansc- u /u tansc-tansc-sc(1/u)sin-(1/u )sin -u /u (-/u ) tan-(1/u )sin u utan+sin u -utansin 1.mrtrbdn linr dif dnklm halin glir. uc/cos c cos sin c- cos / +c 1 u(- cos / +c 1 )1/cos (-1/)cos+c 1 /cos u (-cos +c 1 ) / cos bulunur sc+1/u d rin konarak gnl çözüm gnl sc+1/(-cos +c 1 ) / cos va gnl sc+cos /(-cos +c 1 )

Benzer belgeler

3) dy/dt 3y=7 diferansiyel denklemini y(0)=15 başlangıç koşulu için çözünüz.

3) dy/dt 3y=7 diferansiyel denklemini y(0)=15 başlangıç koşulu için çözünüz. 04/10/ 011 011 01 Eğitim Öğretim Yılı Güz Dönemi Diferansiel Denklemler Dersi Çalışma Sorları denklemini çözünüz. 1) d + ( cot + sin ) d 0 denklemini çözünüz. ) (4+t)d/dt + 6+t diferansiel denklemini çözünüz.