İntegral Kavramı ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr.Vakıf CAFEROV

Transkript

1 İntegrl Kvrmı Yzr Prof.Dr.Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; elirli ve elirsiz integrl kvrmlrını öğrenecek, elirli integrlin geometrik nlmını görecek, integrl teknikleri ile tnışcksınız. İçindekiler Giriş 8 İlkel Fonksiyon 8 Belirli İntegrl 85 Bir Toplmın Limiti Olrk Belirli İntegrl 89 Belirsiz İntegrl 9 Belirli İntegrllerin Hesplnmsı 98 Değerlendirme Sorulrı

2 Çlışm Önerileri Belirli integrl ve elirsiz integrl kvrmlrı rsındki ilişkiye dikkt ediniz Belirsiz integrl ve türev kvrmlrı rsındki ğlntıyı görmeye çlışınız Çok syıd fonksiyon örneği lıp, integrllerini ulmy çlışınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

3 İ NTEGRAL KAVRAMI 8. Giriş İntegrl kvrmı d türev gii, mtemtiğin temel kvrmlrındn iridir. İntegrl teorisinin trihsel gelişimini incelediğimizde u kvrmdki temel düşüncenin ilk def Eudoxos (M.Ö. 8-55) trfındn kullnıldığını görürüz. Bu düşünce Arşimet (M.Ö. 87-) trfındn geometrik şekillerin ln ve hcimlerinin hesplnmsınd kullnılrk oldukç gelişir. Dh sonr Newton ve Leiniz, ln ve hcim hesplmsı türünden çlışmlr için integrli sistemli ir rç hline getirdiler. Bugün uygulmlı ilimlerde de sıkç kullnıln klsik integrsyon teorisi Riemnn (86-866) trfındn geliştirilmiştir. Bu ünitede iz elirli integrl (Riemnn integrli) ve elirsiz integrli tnımlyıp, onlrın temel özelliklerini ve integrl lm yöntemlerini kısc ele lcğız.. İlkel Fonksiyon Türevleneilir ir f(x) fonksiyonu verildiğinde onun türevinin nsıl ulunileceğini geçen ünitelerde öğrenmiş olduk. Hreket eden cismin hız formülüne göre hreket denkleminin ulunmsı, her noktsınd eğimi ilindiğinde eğrinin kendisinin ulunmsı gii prolemlerde de olduğu gii zen ters prolemi çözmemiz gerekiyor: f(x) fonksiyonu verildiğinde öyle ir F(x) fonksiyonu ulmmız gerekir ki F(x) in türevi f(x) olsun. Bir f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer öyle ir F(x) fonksiyonu vrs ki her ir x için F'(x) = f(x) olsun, o zmn F(x) fonksiyonun f(x) in ilkel fonksiyonu denir. Örneğin f(x) = x fonksiyonunun ilkeli f(x) = sinx fonksiyonunun ilkeli f(x) = x fonksiyonunun ilkeli Şimdi ir husus dikkt etmemiz gerekiyor. f(x) in ilkel fonksiyonu F(x) ise, C her hngi ir sit olmk üzere, F(x) + C fonksiyonu d f(x) in ilkelidir, çünkü sitin türevi sıfır olduğundn (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + = f(x) F(x) = x dir, çünkü x ' = x ; F(x) = - cosx dir, çünkü -cos x ' = sin x ; F(x) = x ln ' dür, çünkü x = x. ln olur. Bun göre, C keyfi sit olmk üzere, + C, - cos x + C ve x fonksiyonlrı d sırsıyl x, sinx ve x ln + C fonksiyonlrının irer ilkelidir. Dolyısıylir f(x) fonksiyonunun ilkel fonksiyonu tek değildir. O zmn şu soru orty çıkr: Bir f(x) fonksiyonunun ilkel fonksiyonlrı ne kdr çoktur? Bu sorunun cevı isptsız olrk vereceğimiz şğıdki önermeden çıkr. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ x

4 8 İ NTEGRAL KAVRAMI Önerme Eğer F(x) ve G(x) fonksiyonlrı ir f(x) fonksiyonunun iki tne ilkel fonksiyonlrı ise, o zmn öyle ir C siti vrdır ki F(x) = G(x) + C dir. Bu önermeye göre, f(x) fonksiyonunun her hngi F(x) ilkelini ulup, üzerine keyfi C siti eklersek o zmn f(x) in tüm ilkelleri ulunmuş olur. Örneğin, f(x) = x fonksiyonunun tüm ilkelleri, C keyfi sit olmk üzere, x şeklindedir. + C Örnek: ) f(x) = x ) f(x) = tnx fonksiyonlrının tüm ilkellerini ulunuz. Çözüm: ) f(x) = x nin tüm ilkelleri F(x) = - x + C dir. Çünkü F'(x) = - x + C ' = - ' + C ' = x x + = x. ) f(x) = tnx in tüm ilkelleri F(x) = -ln cosx + C dir, Çünkü -ln cosx + C ' = - ln cosx ' + C ' = tnx. Burd C herhngi keyfi sittir. Ayrıc cos x in pozitif vey negtif olduğu durumlr göre türev lındığınd her iki durumd d sonucun tn x e eşit olduğu kolyc görüleilir. Önerme F(x) ve G(x) fonksiyonlrı f(x) in iki ilkeli olsun. O zmn herhngi ve gerçel syılrı için eşitliği sğlnır. F() - F() = G() - G() İspt Önerme e göre öyle ir C siti vrdır ki F(x) = G(x) + C. Burd x yerine ve sonr yzıp iki eşitliği trf trf çıkrırsk, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 İ NTEGRAL KAVRAMI 85 F() = G() + C F() = G() + C F() - F() = G() - G() + (C - C) = G() - G() elde edilir. Bir fonksiyonun ilkelini ulmk her zmn koly değildir. Belirsiz integrl konusunu gördüğümüzde ilkel fonksiyonlrı ulm yöntemleri ile tnışcğız.. Belirli İntegrl [, ] rlığınd sürekli ve negtif olmyn y = f(x) fonksiyonunun MN grfiğini ele llım. ile rsındn keyfi ir x seçelim. Yndki şekle göre, BMPK lnı x e ğlı ir fonksiyon olur. Bu fonksiyonu A(x) ile gösterelim. Şimdi u A(x) fonksiyonunun f(x) in ilkeli olduğunu gösterelim. Yni her x için A'(x) = f(x) y M P E F Q ln = A N B K L C x x + x x Şekil. olduğunu isptlylım. Bunun için türevin tnımın göre x e x rtmsı verdiğimizde A(x) fonksiyonunun A = A(x + x) - A(x) rtmsının x e ölümünün x iken limitini ulmlıyız. A(x + x) = BMFL lnı olduğundn, A lnı KPFL nin lnın eşittir. KPQL lnı = KP. x = f(x). x, KEFL nin lnı = LF. x = f(x + x). x olduğundn eşitsizliğini elde ederiz. Bu eşitsizlikleri x e ölersek, (şekle göre x > olduğun dikkt ediniz) f(x) A x f x + x olur. f(x) fonksiyonu sürekli olduğundn dir. Bun göre limitler hkkınd ilinen teoreme göre, eşittir. Dolyısıyl KPQL lnı A KEFL lnı, f(x). x A f(x + x). x lim x lim x A x f x + x = f x limiti vrdır ve u limit f(x) e elde edilir. A' (x) = lim x A x = f(x) AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 86 İ NTEGRAL KAVRAMI Sonuç A(x) fonksiyonu f(x) in ir ilkelidir. Şimdi F(x) fonksiyonu f(x) in herhngi ir şk ilkeli olsun. Önerme ye göre A() - A() = F() - yzılilir. A() =, A() ise BMNC nin lnı olduğundn şğıdki sonuc vrıyoruz: Sonuç [, ] rlığınd sürekli ve negtif olmyn f(x) fonksiyonu verilsin. F(x) ise f(x) in herhngi ir ilkeli olsun. O zmn y = f(x) in grfiği, x-ekseni, x = ve x = doğrulrı ile sınırlı ölgenin lnı A() için eşitliği yzılilir. A() = F() - F() Örnek: ) y = eğrisi, x-ekseni ve x =, x = doğrulrı rsındki ölgenin lnını ullım. x ) y = sin x eğrisi, x-ekseni, x = π doğrulrı rsındki ölgenin lnını, x = π ullım. Çözüm: ) f(x) = x fonksiyonunun ir ilkeli F(x) = - x dir. Bun göre istenilen ln olur. F() - F() = = - = Şekil. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 İ NTEGRAL KAVRAMI 87 ) f(x) = sinx in ir ilkeli F(x) = - cosx dir. İstenilen ln dir. F π - F π = - cos π - - cos π = + = Şekil. [, ] üzerinde sürekli herhngi f(x) fonksiyonu verilsin, F(x) ise f(x) in ir ilkeli olsun. O zmn F() - F() syısın f(x) fonksiyonunun [, ] rlığınd elirli integrli denir ve f(x)dx şeklinde gösterilir. Böylece f(x) dx = F() - F() dır. y integrlin lt sınırı, ye ise üst sınırı denir. Bu tür tnımlı integrle zen Riemnn integrli de denilir. F() - F() frkı ise semolik olrk F(x) gii yzılır. f(x) dx = F(x) = F() - F(), F' (x) = f(x) Not: Genellikle integrlin tnımı olrk undn sonrki ölümde göreceğimiz gii ir toplmın limiti kul edilir. Anck [, ] rlığı üzerinde sürekli fonksiyonlr için yukrıdki tnım ile toplmın limiti olrk verilen tnım iririne eşdeğerdir. Tnımdn ynı zmnd şğıdki sonuç çıkr. Sonuç [, ] rlığı üzerinde sürekli ve negtif olmyn y = f(x) fonksiyonu için y = f(x) grfiği, x-ekseni, x =, x = doğrulrı ile sınırlı ölgenin lnı integrline eşittir. f(x)dx AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 88 İ NTEGRAL KAVRAMI y Aln = f(x) dx x Şekil. Bu sonuc göre, yukrıdki örneklerdeki cevplr şğıdki şekilde yzılilir: x dx =, π sin x dx = π. Örnek: x dx ) - x dx ) ) π tnx dx integrllerini hesplylım. Çözüm: ) - x dx = x - = - - = - = ) ) x dx = x ln π tnx dx = - ln cos x = ln - ln = ln - ln = - ln π,666 = - ln cos π - -ln cos = - ln + ln = - ln - ln + = - ( ln - ln ) = - ln - ln = ln,7. Tnımdn görüldüğü gii f(x) dx elirli integrlini hesplmk için ess prolem F(x) ilkelinin ulunmsıdır. F(x) ilkeline f(x) fonksiyonunun elirsiz integrlı denir. Bu ilkellerin ulunmsı yollrını "Belirsiz integrller" ölümünde göreceğiz. Belirli integrlin şğıdki özellikleri vrdır: [, ] üzerinde sürekli f(x) ve g(x) fonksiyonlrı verilsin. O zmn şğıdki eşitlikler sğlnır: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 İ NTEGRAL KAVRAMI 89 ) f(x)dx = - f(x)dx, f(x)dx = ) f(x) ± g(x) dx = f(x)dx ± g(x)dx ) c f(x)dx = c f(x)dx (c sit gerçel syıdır) ) f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx (c sit gerçel syıdır) Bu özellikler tnımdn yrrlnrk kolyc isptlnır.. Bir Toplmın Limiti Olrk Belirli İntegrl Yukrıd söylediğimiz gii elirli integrl genellikle toplmın limiti olrk tnımlnır. [, ] rlığı üzerinde sürekli f(x) fonksiyonu verilsin. Bu rlığı = x, = x n, x < x < x <... < x n olmk üzere, [x, x ], [x, x ],... [x n, x n ] gii lt rlıklr ölelim. Bun [, ] rlığının ir ölüntüsü denir ve semolik olrk P ile gösterilir. Alt rlıklrın uzunluklrı oln x - x, x - x,..., x n - x n- syılrının en üyüğüne u ölüntünün çpı (normu) denir ve δ ile gösterilir. Şimdi keyfi olrk [x, x ] rlığındn ir δ noktsını, [x, x ] rlığındn ir δ noktsını,..., [x n -, x n ] rlığındn ise ir δ n noktlrını seçip şğıdki toplmı oluşturlım: S (P) = f (δ ) (x - x ) + f (δ ) (x - x ) f (δ n ) (x n - x n- ) (Her x [, ] için f(x) olduğund geometrik olrk u toplm tn kenrlrı [x, x ], [x, x ],..., [x n-, x n ] ve yükseklikleri f (δ ), f (δ ),... f (δ n ) oln dikdörtgenlerin lnlrı toplmıdır). Şekil.5 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 ϕ 9 İ NTEGRAL KAVRAMI δ iken (δ ise doğl olrk n olur, fkt tersi doğru olmyilir) S (P) toplmının limitine ( f(x) sürekli olduğundn u limit vrdır) f (x) fonksiyonunun [, ] rlığınd elirli integrli denir ve f (x) dx gii gösterilir: f (x) dx = lim S(P) δ "Integrl" sözü ve " " işreti de u tnım dynrk izh edileilir. Şöyle ki "integrl" sözü ltince integer (tm) sözünden olup hisseleri toplyıp tmı oluşturmk nlmını tşıyor. " " integrl işreti ise genellikle toplmı gösteren S hrfinin uztılmışıdır. Sürekli fonksiyonlrd toplmın limiti olrk verilen integrl tnımı ile, f (x) in ilkeline ğlı tnımın eşdeğerliliği difernsiyel ve integrl hesın temel teoremi denilen teoremle isptlnır. Bu ispt üzerinde durmycğız. 5. Belirsiz İntegrl Yukrıd gördük ki sürekli f(x) fonksiyonunun elirli integrlinin hesplnmsı için f(x) in ilkelini ulmk yeterlidir. f(x) fonksiyonunun ilkeline u fonksiyonun elirsiz integrli denir ve f (x) dx şeklinde gösterilir. C keyfi sit olmk üzere, f(x) in tüm ilkelleri F(x) + C gii olduklrındn f(x) dx = F(x) + C, F'( x) = f(x) yzılımı kullnılır. Örneğin, x dx = x + C, cos dx = sinx + C dir Belirli integrlin sonucunun ir syı olduğunu iliyoruz, zten "elirli" terimi de urdn kynklnır. Belirsiz integrlin sonucu ise ir fonksiyon ilesi olur. Bir f (x) dx integrlini hesplmk için öyle ir fonksiyon ulmmız gerekiyor ki u fonksiyonun türevi f(x) e eşit olsun. Bu yoll iz şğıdki integrl tlosunu oluşturiliriz. x dx = x+ + + C ( -, IR) dx x = x dx = ln x + C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 İ NTEGRAL KAVRAMI 9 x dx = x ln + C (, IR+ ) e x dx = e x + C sinx dx = - cosx + C cosx dx = sinx + C dx cos x = tnx + C dx = - cotx + C sin x Bu formüllerin doğruluğunu sğ trflrın türevlerini lrk göreiliriz. Bunun için sğ trftki fonksiyonun türevinin integrl ltındki fonksiyon eşit olduğunu görmek yeterlidir. Örneğin - cotx ' = - cotx ' = - - sin x olduğundn = sin x dx = - cotx + C sin x yzılilir. Belirsiz integrlin doğrudn tnımdn çıkn şğıdki özellikleri vrdır. f(x), f (x), f (x),..., f n (x) sürekli fonksiyonlrı verilsin. O zmn f(x) dx = f(x) dx ( sit gerçel sy ı dı r) dir. f (x) ± f (x)... ± f n (x) dx = f (x) dx ± f (x) dx ±... ± f n (x) dx Örnek: ) x dx ) x dx ) x dx ) (x - 5x + x - ) dx 5) (x + ) dx integrllerini ullım. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 9 İ NTEGRAL KAVRAMI Çözüm: ) = olduğunu hes ktrsk, kuvvet fonksiyonunun integrlleme formülünden dir. ) x dx = x C = x + C x = x x dx = x dx = x + + olduğundn = / olu + C = x + C = x + C ) dir. x x - = x gii yzılildiğinden, - - dx = x dx = x C = x + + C = x + C ) (x - 5x + x - ) dx = x dx - 5x dx + x dx - dx = x dx - 5 x dx + x dx - dx = x - 5 x + x - x + C = x - 5x + x - x + C 5) x + = x + 6x + x + 8 olduğundn (x+ ) ulunur. dx = ( x + 6x + x + 8) dx = x dx + 6 x dx + x dx + 8 dx x= + x + 6x + 8x + C Örnek: ) e x + x - x dx ) sinx - cosx + 8 cos x dx integrllerini ullım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 İ NTEGRAL KAVRAMI 9 Çözüm: ) e x + x - x dx = ex dx + x dx - dx x = e x + x ln - ln x + C ) sin x sinx - cosx + 8 cos x dx = sinx dx - cosx dx x - x dx integrlini ulunuz cos x dx = - cosx - sinx + 8 tnx + C? Cevınız - cotx + x ln - x + C olmlıydı. Eğer verilen ir integrl, integrl tlosundki integrllere dönüştürülemiyors o zmn şk yöntemler denemek gerekmektedir. Bu yöntemlerden en yygınlrı değişken değişimi ve kısmi integrsyon yöntemleridir. f(x) dx integrlinde x = ϕ (u) yzrsk u integrl f(ϕ (u)) ϕ' (u) du integrline dönüşür. Bun değişken değişimi denir. Bir çok hllerde ϕ (u) fonksiyonunu uygun seçersek, yeni integrl dh koly hesplnilir. Örnek: x + dx integrlini ullım. Çözüm: x = ϕ u = u - yzrsk dx = ϕ' (u) du = du olur. Bun göre, x + dx =. u - +. du = u du = u / du = u / + C = u/ + C, AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 9 İ NTEGRAL KAVRAMI u yerine x + yzrsk x + dx = x + / + C ulunur. u = ϕ (x), du = ϕ' (x) dx dönüşümü ypılırs, u integrl g (u) du integrline dönüşür. ϕ (x) in uygun seçilmesi hlinde g (u) du integrli f (x) dx integrline göre dh koly ulunilir. Örnek: Çözüm: dx x - ulunur. integrlini hesplylım. u = ϕ (x) = x -, dx = du, dx du =. Bunlrı integrlde yzrsk dx x - = u du = du = u ln u + C = ln x - + C Örnek: ) ) ) ) cos (x + ) dx tn x dx x + x dx e - x dx 5) sin x dx integrllerini hesplylım. Çözüm: ) x + = u ise dx = du, dx = du olur cos x + dx = cos u. du = sin u + C = sin x + + C ) cosx = u ise - sinx dx = du ve sin x dx = - du olur. tn x dx = sin x dx = - du cos x u = -ln u + C = -ln cosx + C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

15 İ NTEGRAL KAVRAMI 95 ) + x = u ise x dx = du, x dx = (/) du x + x dx = u. du = ln u + C = ln + x + C ) - x = u ise - dx = du, dx = (-/) du olur. e -x dx = e u. - du = - eu + C = - e-x + C 5) sin x = - cosx sin x dx = - cosx olduğundn dx = - cosx dx = dx - cosx dx = x - cosx dx cosx dx integrlini hesplmk için x = u değişken değişimini kullnırsk dx = du olur ve cosx dx = cos u. du = cos u du = sin u + C = sin x + C ulunur. Bunu yukrıd yzrsk sin x dx = x - sin x + C = x - sin x + C ulunur. Burd - C yerine yeniden C yzıldı. C keyfi sit olduğundn u tür yzılımlrın hiç ir skıncsı yoktur. x - 5 dx, dx, x 5 dx, cos x dx integrllerini ulunuz.? - x - x 6 Cevplrınız, x - 5 / + C, - ln - x + C, - 6 ln - x6 + C x + sin x + C olmlıydı. Şimdi ise önemli integrlleme yöntemlerinden iri oln kısmi integrllemeye değinelim. u(x) ve v(x) türevleneilir fonksiyonlr ise çrpımın türevi formülüne göre, (u.v)' = u'v + v'u yzrız. Her iki trfı dx ile çrpıp integrllersek (u.v)' dx = u' v dx + v' u dx AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 96 İ NTEGRAL KAVRAMI ulunur. Belirsiz integrlin tnımındn dikkte lrk, (u. v)' dx = u. v yzılilir. Bunu u v' dx = uv - v u' dx formülünü elde ederiz. u' dx = du, v' dx = du olduğundn son formülü şğıdki gii de yziliriz: u dv = uv - v du yziliriz. Bu formüllere kısmi integrsyon formülleri denir. vdu integrlinin udv integrline göre dh koly hesplnileceği durumlrd kısmi integrsyon yöntemi fydlı olur. Örnek: ) ) xe x dx x cosx dx integrllerini hesplylım. Çözüm: ) e x = (e x )' olduğundn u = x, v = e x olrk seçilmesi dh uygundur. O zmn u' = olur ve yukrıdki formüle göre, du = dx, dv = e x dx olduğunu dikkte lrk, ulunur. xe x dx = x e x ' dx = x. e x - e x.. dx = xe x - e x + C ) cos x = (sin x)' olduğundn u = x, v = sin x seçilmesi uygundur. u' = olduğundn yukrıdki formüle göre ulunur. x cosx dx = x sin x ' dx = x sinx - sinx dx = = x sinx - - cosx + C = x sinx + cosx + C Örnek: ) x ln x dx ) x e -x dx integrllerini ullım. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 İ NTEGRAL KAVRAMI 97 Çözüm: ) x = x lnx ' = x ' olduğundn u = ln x, v x = olduğundn seçimi dh uygun görünmektedir x ln x dx = ln x x ' dx = x. ln x - x. x dx = x. ln x - x dx = x ln x - x 6 + C dir. ) e -x = - ' e-x olduğundn u = x, v = - e-x llım. u' = dir. Kısmi integrsyon formülünden yrrlnırsk x e -x dx = x - e-x ' dx = x. - e-x - - e-x. dx = - x e-x + e-x dx = - x e-x +. - e-x + C ulunur. = - x e-x - 9 e-x + C Belirsiz integrlde cevın doğru olup olmdığını kontrol etmek kolydır. Bunun için, cevptki fonksiyonun türevi integrl ltındki fonksiyon eşit olmlıdır. Son örnekte - x e-x - 9 e-x + C ' = - x. e-x ' - 9 e-x ' = - e-x + x. -. e -x e-x = - e-x + xe -x + e-x = xe -x olduğundn cevp doğru ulunmuştur. Aşğıdki integrlleri kısmi integrsyon yöntemi ile ulunuz. ) x sin x dx, ) x ln x dx, ) x e x x dx, ) ln x dx? Cevplrınız, -x cosx + sinx + C, x5 5 olmlıydı. lnx - x5 5 + C, x ex - ex + C ve x lnx - x + C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 98 İ NTEGRAL KAVRAMI 6. Belirli İntegrllerin Hesplnmsı [, ] rlığı üzerinde sürekli f(x) fonksiyonu verilsin. Yukrıd elirli integrli, F(x) ilkel fonksiyon olmk üzere f (x) dx f (x) dx = F() - F() = F(x) gii tnımlnmıştı. Öte yndn, f (x) dx elirsiz ingetrli f(x) in F(x) ilkelidir. Bun göre, eğer elirsiz integrli hesplyiliyorsk elirli integrlin hesplnmsınd ir zorluk klmz. Örnek: ) ) x dx x - 5 x + x - dx ) - - x + dx elirli integrllerini hesplylım. Çözüm: ) Yukrıd x dx = x/ + C ulunmuştu. F(x) = x/ lırsk x dx = x/ = / - / = - =. 8 = 6 ulunur. ) x - 5 x + x - dx = x - 5 x + x - x + C olduğund F (x) = x - 5 x + x - x lırsk - x - 5 x + x - dx = x - 5 x + x - x - = = = - 6 ulunur. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

19 İ NTEGRAL KAVRAMI 99 ) x + = x + / + C olduğunu yukrıd ulmuştuk. Bun gö F(x) = x + / lırsk - x + = x + / - =. + / / = 9 - / = - = - = 9 - = 6 ulunur. Yukrıdki örneklerde ilkel fonksiyon olrk F(x) yerine F(x) + C lındığınd sonucun değişmediğini görmeye çlışınız. Örnek: ) x e x dx ) π x cos x dx - π integrllerini hesplylım. Çözüm: ) x e x dx = x e x - e x + C olduğundn F(x) = e x - e x lırsk x e x dx = x e x - e x = e - e - e - e = e - e + = ulunur. ) x cos dx = x sin x + cos x + C olduğundn F(x) = x sin x + cos x lilir Bun göre, π - π - π x cos x dx = x sin x + cosx π = π sin π + cos π - - π sin - π +cos - π = = π. + (-) - - π. (-) + = - - π = - π + ulunur. sinπ =, cos π = -, sin - π = - sin π = -, cos - π =cos π = olduklrını htırlyınız). AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 İ NTEGRAL KAVRAMI f(x) dx elirli integrlini hesplmk için önce F(x) = f(x) dx = F() - F() syısını ulmk gerekmek- integrlini hesplyıp sonr F(x) tedir. elirsiz? Aşğıdki integrlleri hesplyınız. ) - x + dx ) dx x ) π/ cos x + sin x dx ) dx x + 5) - / x e -x dx Cevplrınız 8, -, +, ve - 9 e + e olmlıydı. Değerlendirme Sorulrı. e dx =? x A. - e B. C. e. D. E. e x dx =? A. 9 ln B. ln C. ln D. 9 ln E. 9 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

21 İ NTEGRAL KAVRAMI. π/ cos x dx =? - π/ A. - B. C. D. E. π. x dx =? A. x + C B. x/ + C C. x / + C D. x- / + C E. x + C 5. - x dx =? A. - - x / + C B. - x / + C C. - - x + C D. - x + C E. - - x + C 6. sin x + dx =? A. cos (x + ) + C B. - cos (x + ) + C C. - cos (x + ) + C D. cos (x + ) + C E. - cos (x + ) + C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

22 İ NTEGRAL KAVRAMI 7. x x + dx =? A. x + + C B. - x + + C C. ln x + + C D. ln x + + C E. ln x + x + + C 8. - x + 5 dx =? A., B. 56, C. 6,8 D. E. 6,5 9. x - x 5 dx =? A x 5 C B. - - x 5 + C C. - 5 ln - x5 + C D. 5 ln - x5 + C E. ln - x 5 + C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

23 İ NTEGRAL KAVRAMI. x + x + x - dx =? A. x + x C B. 5 x + x C C. ln x + x - + C D. - x + x - + C E. x + x - + C. x + 6 x + x + 5 dx =? A. x + x C B. x + x C C. x + x + 5 D. - x + x + 5 / + C E. ln x + x C + C. ln x x dx =? A. ln x + C B. ln x + C C. ln (lnx) + C D. ln (ln x) + C E. ln x + C. e x ( - x) dx =? A. ( - x) e x + C B. ( - x) e x + e x + C C. e x + C D. x - x ex + C E. - x e x + C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

24 İ NTEGRAL KAVRAMI. cos x e sin x dx =? A. e sin x + C B. esin x + C C. - e sin x + C D. - esin x + C E. sin x e sin x + C 5. ln x + dx =? x + A. ln (x + ) + C B. ln (x + ) + C C. ln (x + ) x + + C D. x + + C E. 9 ln (x + ) + C 6. + tn x + tn x dx =? A. ln ( + tn x) + C B. ln + tn x + C C. tn x + ln cos x + C D. + tn x + C E. - ( + tn x + C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

25 İ NTEGRAL KAVRAMI 5 7. x - 5,5 x - 5x + 6 dx =? A.,5 x - 5x + 6 / + C B.,5 x - 5x / + C C. ln,5 x - 5x C D. ln,5 x - 5x C E.,5 x - 5x + 6 / + C 8. x sin x dx =? A. x B. - x cos x + C cos x + C C. - x cos x + sin x + C D. - x cos x - cos x + E. - x sin x + cos x + C Değerlendirme Sorulrının Ynıtlrı. D. A. D. B 5. A 6. C 7. C 8. A 9. C. D. B. E. B. A 5. E 6. B 7. A 8. C AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ