QUASİ KONVEKS VE GENELLEŞTİRİLMİŞ QUASİ KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN SIMPSON TİPLİ EŞİTSİZLİKLER NAZLI UYGUN

Transkript

1 T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ QUASİ KONVEKS VE GENELLEŞTİRİLMİŞ QUASİ KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN SIMPSON TİPLİ EŞİTSİZLİKLER NAZLI UYGUN YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 6

2

3

4 ÖZET QUASİ KONVEKS VE GENELLEŞTİRİLMİŞ QUASİ KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN SIMPSON TİPLİ EŞİTSİZLİKLER Nzlı UYGUN Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Mtemtik Anbilim Dlı, 6 Yüksek Lisns Tezi, 47s. Dnışmn: Doç. Dr. Erhn SET Bu tez dört bölümden oluşmktdır. Birinci bölüm eşitsizlikler, konveks fonksiyonlr ve kesirli integrller ile ilgili günümüze kdr ypıln çlışmlr hkkınd bzı bilgileri içeren giriş bölümüdür. İkinci bölümde temel tnımlr, teoremler ile birlikte ilgili sonuçlr ve örnekler verilmiştir. Üçüncü bölümde ilk olrk Riemnn-Liouville kesirli integrlleri hkkınd bilgiler ve ilgili Simpson tipli bzı eşitsizlikler verilmiştir. Dh sonr α tipli kümeler hkkınd temel bilgiler ile α tipli kümelerde limit, süreklilik, lokl kesirli türev, lokl kesirli integrl gibi kvrmlr hkkınd genel bilgiler verilmiştir. Dördüncü bölümde lokl kesirli integrller yrdımıyl elde edilen özdeşlikler ile bu özdeşliklerden fydlnılrk genelleştirilmiş qusi-konveks fonksiyonlr için yeni Simpson tipli eşitsizlikler elde edilmiştir. Son bölümde ise sonuçlr ve öneriler verilmiştir. Anhtr Kelimeler: Genelleştirilmiş qusi konveks fonksiyon, Kesirli integrller, Qusi konveks fonksiyon, Simpson tipli eşitsizlikler. II

5 ABSTRACT SIMPSON TYPE INEQUALITIES FOR QUASI CONVEX AND GENERALİZED QUASI CONVEX FUNCTIONS Nzlı UYGUN Ordu University Institute for Grdute Studies in Science nd Technology Deprtment of Mthemtics, 6 MSc. Thesis, 47p. Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Erhn SET This thesis consist of four chpters. First chpter is the introduction prt tht includes informtion bout the studies tht hve been performed relted to inequlities, convex functions nd frctionl integrls until now. In the second chpter, fundmentl definitions, theorems, relted results nd exmples re given. In the third chpter, firstly the informtions bout Riemnn-Liouville frctionl integrl nd its ssocited some Simpson type inequlities re given. Then, fundmentl informtions bout α type sets nd generl informtions the concept s limit, continuity, locl frctionl derivtive nd locl frctionl integrl on α type setsor frctionl sets) re given. In the fourth chpter, the identities obtined vi locl frctionl integrls nd by using these identites, new Simpson type inequlities for generlized qusi-convex functions is estblished. It is given the result nd propositions in the lst chpter. Key Words: Generlized qusi convex function, Frctionl integrls, Qusi convex function, Simpson type inequlities. III

6 TEŞEKKÜR Tüm çlışmlrım boyunc her zmn bilgi ve deneyimleriyle yolumu çn değerli hocm Syın Doç. Dr. Erhn SET' e en smimi duygulrıml teşekkürlerimi sunrım. Çlışmlrım boyunc desteklerini esirgemeyen Ordu Üniversitesi Fen Edebiyt Fkültesi Mtemtik Bölümü öğretim üyelerine teşekkür ederim. Anbilim dlımızın yüksek lisns öğrencilerinden Syın Necl KORKUT ve Syın Brış ÇELİK e düzenleme, yrdım ve desteklerinden dolyı teşekkür ederim. Ayrıc çlışmm boyunc benden mddi ve mnevi desteklerini esirgemeyen bbm, nneme müteşekkirim. Bu çlışm Ordu Üniversitesi Bilimsel Arştırm Projeleri Koordinsyon Birimi trfındn desteklenmiştir Proje No:TF-65). IV

7 İÇİNDEKİLER Syf TEZ BİLDİRİMİ.... ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR İÇİNDEKİLER... SİMGELER ve KISALTMALAR I II III IV V VII. GİRİŞ.... TEMEL KAVRAMLAR Genel Kvrmlr.... MATERYAL ve YÖNTEM..... Kesirli İntegrller Yrdımıyl Simpson Tipli Eşitsizlikler... Riemnn-Liouville Kesirli İntegrlleri..... Riemnn-Liouville Kesirli İntegrlleri Yrdımıyl Simpson Tipli Eşitsizlikler..... α-tipli Kümeler 8... Bzı Sonsuz Kümeler α-tipli Kümeler α-tipli Syı Kümeleri α-tipli Reel Syılr Kümesinde İşlemler α-tipli Reel Syılrın Mutlk Değeri α-tipli Reel Syılrd Eşitsizlikler ve Özellikleri α-tipli Kümelerde Syılbilirlik α-tipli Kümelerde Komşuluk α-tipli Kümenin Limit Noktsı α-tipli Kümeler Üzerinde Fonksiyonlr α-tipli Kümelerde Fonksiyonlrın Limiti... α-tipli Kümelerde Fonksiyonlrın Lokl Kesirli Sürekliliği α-tipli Kümeler Üzerinde Elementer Fonksiyonlr 5 V

8 ..4. α-tipli Kümelerde Fonksiyonlrın Lokl Kesirli Türevi α-tipli Kümelerde Fonksiyonlrın Lokl Kesirli Difernsiyeli Yüksek Mertebeden Lokl Kesirli Türev α-tipli Kümelerde Fonksiyonlrın Lokl Kesirli İntegrli Lokl Kesirli İntegrl Lokl Kesirli İntegrlin Özellikleri Lokl Kesirli İntegrl için Teoremler Trigonometrik Fonksiyonlrın Lokl Kesirli İntegrli Lokl Kesirli Belirsiz İntegrl Elementer Fonksiyonlrın Lokl Kesirli Belirsiz İntegrli ARAŞTIRMA BULGULARI Lokl Kesirli İntegrller Yrdımıyl Genelleştirilmiş Qusi-Konveks Fonksiyonlr için Simpson Tipli Eşitsizlikler TARTIŞMA ve SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ 47 VI

9 SİMGELER ve KISALTMALAR β : Bet fonksiyonu : Arlığınd Hölder Kesirli Sürekli Fonksiyonlr Kümesi : α. Dereceden Arlığınd Difernsiyellenebilen Fonksiyonlr Kümesi : Fonksiyonunun Birinci Mertebeden Türevi : Fonksiyonunun İkinci Mertebeden Türevi : Fonksiyonunun α. Mertebeden Lokl Kesirli Türevi : Gmm fonksiyonu : Syılr Kümesinde Bir Arlık : I nın İçi : in Lokl Kesirli İntegrli : α. Dereceden Sğ Riemnn-Liouville Kesirli İntegrl : α. Dereceden Sol Riemnn-Liouville Kesirli İntegrl : Arlığınd İntegrllenebilen Fonksiyonlr Kümesi : α-tipli Doğl Syılr Kümesi : α-tipli Rsyonel Syılr Kümesi : Reel Syılr Kümesi : α-tipli Reel Syılr Kümesi : α-tipli Tm Syılr Kümesi VII

10 . GİRİŞ Eşitsizlikler ve konveks fonksiyonlr mtemtiğin tüm lnlrınd önemli bir rol oynmsı ve ktif bir rştırm lnı olmsındn dolyı, özellikle son yıllrd rştırmcılrın ilgi odğı hline gelmiştir. Eşitsizlikler mtemtiğin hemen hemen tüm lnlrınd önemli bir rol oynr. Eşitsizlikler ile ilgili ilk temel çlışm 94 te Hrdy, Littlewood ve Poly[8] trfındn yzıln Inequlities dlı kitptır. E.F. Beckenbch nd R. Bellmn[4] trfındn döneminde eşitsizlikler üzerine elde edilen bzı ilginç sonuçlrı içeren Inequlities dlı ikinci kitp yzılmıştır. Mitrinovic in[] 97 te yyınlnn Anlytic Inequlities dlı kitbı yukrıd bhsedilen iki kitpt d yer lmyn yeni konulr içerir. Bu üç temel kynğın ynı sır Mitrinovic ve rkdşlrı[] trfındn Clssicl nd New Inequlities in Anlysis, Pchptte[4] trfındn Mthemticl Inequlities dlı kitplr ve son yıllrd d Sever S.S. Drgomir, V. Lkshmiknthm, R.P. Agrwl gibi rştırmcılr trfındn eşitsizlikler konusund pek çok kitp, mkle ve monogrfi yzılmıştır. Eşitsizlikler yygın olrk mtemtik ve uygulmlı mtemtiğin çeşitli dllrının gelişiminin rksındki temel itici güçlerinden biri olrk kbul edilmektedir. Son on yıldn fzldır mtemtiğin birçok frklı lnlrdki uygulmlrd litertürde yerini lmış temel eşitsizlikler büyük bir ktkı sğlmktdır. Bu eşitsizliklerden biri de Simpson eşitsizliğidir. Konveks fonksiyonlrın trihi M.Ö. 5 yılınd Archimedes in ünlü pi değerini hesplmsın kdr dynmkl birlikte bşlngıcı 9. yüzyılın sonlrı olrk gösterilebilir. Konveks fonksiyonlrın ilk kez sistemli olrk 95 ve 96 yıllrınd J.L.W.V. Jensen trfındn çlışıldığı ve Jensen in bu öncü çlışmlrındn itibren konveks fonksiyonlr teorisinin hızlı bir gelişme gösterdiği kbul edilmektedir. Beckenbech ve Bellmn[4] ve Mitrinovic[] gibi pek çok rştırmcı konveks fonksiyonlr için eşitsizlikler konusunu kitplrınd ele lmışlrdır. Sdece konveks fonksiyonlr için eşitsizlikleri içeren ilk kynk Convex functions: Inequlities) 987 yılınd Pecric[5] trfındn yzılmıştır. Ayrıc Roberts ve Vrberg[7], Pečrić ve rkdşlrı[6], Niculescu ve Persson[] gibi pek çok kişi konveks fonksiyonlr üzerinde eşitsizliklerle ilgili çok syıd çlışm ypmışlrdır. Mtemtiksel nliz, uygulmlı mtemtik, olsılık teorisi ve mtemtiğin diğer çeşitli lnlrınd doğrudn vey dolylı olrk konveks fonksiyonlrın birçok uygulmsı vrdır. Ayrıc frklı rştırmcılr trfındn konveks fonksiyonlrın birçok frklı türü tnımlnmış ve bu yeni konvekslikler yrdımıyl eşitsizlikler elde edilmiştir. Bu konveksliklerden biri

11 de qusi konveks fonksiyonlrdır. 95 te, qusi konveks fonksiyonlr sınıfını oluşturn, isimlendiren ve geliştiren kişilerin bşınd W. Fenchel gelmektedir. Fenchel in Convexs Cones Sets nd Functions dlı ders notlrı bu sınıfın ilk kynklrındndır. Kesirli türev ve kesirli integrl kvrmlrı ilk olrk Liouville trfındn duyruldu. Kesirli türev ve kesirli integrl kvrmı türev ve integrllerin sdece tm syılr için vr mıdır sorusundn yol çıkılrk orty çıkmış 7. yüzyıldn itibren Leibniz, Euler, Lgrnge, Abel, Liouville ve diğer birçok mtemtikçinin kesirli mertebe için diferensiyel ve integrsyonun genelleştirilmesine dynn öncü çlışmlrıyl gelişmeye bşlnmıştır. Uygulmlı lnlrd kesirli türev ve kesirli integrl kvrmlrı hkkınd ilk kynk kitp S.G. Smko ile A.A. Kilbs ve O.I. Mrichev[8] trfındn yzılmış olup bu kvrmlr üzerinde birçok çlışm ypılmıştır. Bu çlışmlrdn bir tnesi de yılınd Xio-Jun Yng[7] trfındn yzıln, kesirli küme, lokl kesirli türev ve lokl kesirli integrl gibi kvrmlrın tnıtıldığı Lokl Kesirli Fonksiyonel Anliz ve Uygulmlrı dlı eserdir. Yng ın bu eserinden fydlnrk son bir kç yıld genelleştirilmiş konveks fonksiyonlr ve bzı türleri tnıtılmış ve bu fonksiyonlr yrdımıyl d yeni eşitsizlikler elde edilmiştir. Bu tezin mcı ilk olrk Riemnn-Liouville kesirli integrlleri yrdımıyl qusikonveks fonksiyonlr için bzı Simpson tipli eşitsizliklerin genelleştirmelerini vermektir. Dh sonr ise α tipli kümeler hkkınd bilgi verilerek bu kümeler yrdımıyl genelleştirilmiş qusi-konvekslik kvrmı verilip, bu fonksiyon yrdımıyl yeni genelleştirilmiş Simpson tipli eşitsizlikler elde etmektir.

12 . TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, çlışmmızd kullnılck oln tnımlr, teoremler, bzı iyi bilinen eşitsizlikler ve temel özellikler ile gerekli oln isptlr verilecektir.. Genel Kvrmlr Tnım.. Lineer Uzy): L boş olmyn bir küme ve F bir cisim olsun. : L L L ve : F L L işlemleri tnımlnsın. Aşğıdki şrtlr sğlnıyors L ye F cismi üzerinde lineer uzyvektör uzyı ) denir. A) L, işlemine göre değişmeli bir gruptur. Yni, G. Her x, y L için x y L dir, G. Her x, y, z L için x y z) = x y) z dir, G. Her x L için x Θ = Θ x = x olck şekilde Θ L vrdır, G4. Her x L için x x) = x) x = Θ olck şekilde x L vrdır, G5. Her x, y L için x y = y x dir. B) x, y L ve α, β F olmk üzere şğıdki şrtlr sğlnır. L. α.x L dir, L. α.x y) = α.x α.y dir, L. α β).x = α.x β.x dir, L4. αβ).x = αβ.x) dir, L5..x = x dirburd, F nin birim elemnıdır). F = R ise L ye reel lineer uzy, F = C ise L ye kompleks uzy dı verilir []. Tnım.. F bir cisim ve V ve W, F cismi üzerinde iki lineer uzy olsun. u, v V ve c F olmk üzere T : V W dönüşümü, ) T u v) = T u) T v) b) T cu) = ct u) şrtlrını sğlıyors T ye V üzerinde lineer dönüşüm denir []. Tnım.. Konveks Küme): L bir lineer uzy A L ve x, y A keyfi olmk üzere B = {z L : z = αx α)y, α } A ise A kümesine konveks küme denir. Eğer z B ise z = αx α)y eşitliğindeki x ve y nin ktsyılrı icin α α) = bğıntısı her zmn doğrudur. Bu sebeple

13 konveks küme tnımındki α, α yerine α β = şrtını sğlyn ve negtif olmyn reel α, β syılrını lbiliriz. Geometrik olrk B kümesi uç noktlrı x ve y oln bir doğru prçsıdır. Bu durumd sezgisel olrk konveks küme, boş olmyn ve herhngi iki noktsını birleştiren doğru prçsını ihtiv eden kümedir []. Tnım..4 Konveks Fonksiyon): I, R de bir rlık ve f : I R bir fonksiyon olmk üzere her x, y I ve t [, ] için, ftx t)y) tfx) t)fy)..) şrtını sğlyn f fonksiyonun konveks fonksiyon denir. Eşitsizlikte olmsı durumund ise f fonksiyonun konkv fonksiyon denir. Eğer..) eşitsizliği t, ) için kesin ise bu durumd f fonksiyonun kesin konvekstir denir []. Tnım..5 Eğer f fonksiyonu hem konveks hem de konkv ise f ye finlineer)dir denir[7]. Tnım..6 J-Konveks Fonksiyon): I, R de bir rlık olmk üzere her x, y I için ) x y fx) fy) f şrtını sğlyn f fonksiyonun I üzerinde Jensen konveks vey J-konveks fonksiyon denir []. Tnım..7 Kesin J-Konveks Fonksiyon): Her x, y I ve x y için ) x y fx) fy) f < oluyors f fonksiyonun I üzerinde J-konveks fonksiyon denir []. Sonuç.. Her konveks fonksiyon J konveks fonksiyondur. Sonuç.. I R olmk üzere, bir f fonksiyonunun I d konveks olmsı için gerek ve yeter srt, her x, y I ve her p, q > reel syılrı için ) px qy pfx) qfy) f p q p q olmsıdır. Bu eşitsizlik..) eşitsizliğine denktir []. Teorem.. f fonksiyonu [, b] rlığınd konveks ise. f,, b) rlığınd süreklidir b. f, [, b] rlığınd sınırlıdır []. 4

14 Teorem.. f fonksiyonunun I rlığınd ikinci türevi vrs, f fonksiyonunun bu rlık üzerinde konveks olmsı için gerek ve yeter srt x I için olmsıdır []. f x) Tnım..8 Qusi Konveks Fonksiyon): f : I R bir fonksiyon ve I R boştn frklı konveks küme olsun. Her x, y I ve λ [, ] için ise f ye qusi konveks fonksiyon denir[5]. Eğer fλx λ)y) mx { fx), fy) } fλx λ)y) < mx { fx), fy) } ise f ye kesin qusi konveks fonksiyon denir. Aynı şrtlr ltınd fλx λ)y) mx { fx), fy) } ise f ye qusi konkv fonksiyon ve fλx λ)y) > mx { fx), fy) } ise f ye kesin qusi konkv fonksiyon denir [5]. Tnım..9 f hem qusi konveks hem de qusi konkv ise f ye qusi monotonik denir [7]. Not.. Her konveks fonksiyon ynı zmnd bir qusi konveks fonksiyondur. Fkt bunun tersi doğru değildir. Yni konveks fonksiyon olmdığı hlde qusi-konveks oln fonksiyonlr vrdır. Örnek.. g : [, ] R fonksiyonu {, t [, ], gt) = t, t, ]. şeklinde tnımlnsın. konveks fonksiyon değildir []. Bu gt) fonksiyonu [, ] de qusi konveks fonksiyondur; fkt Teorem.. Hermite-Hdmrd Eşitsizliği): I, R de bir rlık,, b I ve < b olmk üzere f : I R R konveks bir fonksiyon olsun. Bu durumd ) b f b f) fb) fx)dx b eşitsizliği litertürde konveks fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd eşitsizliği olrk bilinir [6]. 5

15 Teorem..4 Simpson Eşitsizliği): f : [, b] R,, b) üzerinde dördüncü mertebeden türevi sürekli oln bir fonksiyon ve f 4) = durumd [ )] f) fb) b f b b sup f 4) x) < olsun. Bu x,b) fx)dx f 4) 88 b ) 4 eşitsizliği geçerlidir. Bu eşitsizlik litertürde Simpson Eşitsizliği olrk bilinmektedir [6]. İspt. Bu teoremi isptlmk için şğıdki eşitlik kullnılcktır. f : [, b] R,, b) üzerinde dördüncü mertebeden türevi sürekli oln bir fonksiyon ve f 4) = sup f 4) < ve x,b) Sx) = 4 x ) x b ), x [, b ), 4 x b) x b ), x [ b, b]. olmk üzere yzılır. b Sx)f 4) x)dx = b b b x ) x b 4 x b) 4 x b ) f 4) x)dx ) f 4) x)dx..) Yukrıdki eşitliğin her iki trfının mutlk değeri lınıp üçgen eşitsizliği uygulnırs; b Sx)f 4) x)dx b = x ) x b ) b f 4) x)dx x b) x b ) f 4) dx 4 b 4 b x 4 x b f 4) x) b dx x b b 4 x b f 4) x) dx { f 4 b x ) x b ) b dx b x) x b ) } dx 4 = f 4 b )5 88 b olur. İlk ve son terimlerden b x ) 4 f 4 b )5 88 x b ) b f 4) x)dx b x b) x b ) 4 f 4) x)dx..) 6

16 yzılır. Şimdi..) eşitliğine dım dım kısmi integrsyon metodu uygulnırs = = b Sx)f 4) x)dx..4) b x ) x b ) b f 4) x)dx x b) x b ) f 4) x)dx 4 b 4 b )f b) b b )[f) fb)] fx)dx 6 elde edilir...) ve..4) den = ) b b )f 6 b b )[f) fb)] fx)dx b x ) x b ) b f 4) x)dx x b) x b ) f 4) x)dx 4 b 4 f 4 b )5 88 yzılır. Yni ) b b )f 6 b b )[f) fb)] fx)dx f 4 b )5 88 olur. Her iki trf b ) y bölünürse [ )] f) fb) b f b eşitsizliği elde edilir. Böylece ispt tmmlnır. b fx)dx f 4 b )4 88 Qusi-konveks fonksiyonlr, Hermite-Hdmrd eşitsizliği ve Simpson eşitsizliği üzerine yzıln birçok mklenin dışınd litertürde ypıln tez çlışmlrın d rstlnmktdır [4, ]. Hu ve rkdşlrı iki kez difernsiyellenebilen fonksiyonlr için şğıdki eşitliği elde etmişlerdir [9]. Lemm.. f : [, b] R R bir fonksiyon olsun. f, mutlk sürekli ve f L [, b] olmk üzere [ f) f b 6 [ ] ) b) f fb) b f t t b) f t t b) f t t b) eşitliği geçerlidir. b b ) fx)dx = 54 ] t t) dt..5) 7

17 Set ve rkdşlrı qusi-konveks fonksiyonlr için Simpson tipli şğıd verilen eşitsizlikleri elde etmişlerdir. Teorem..5 f : I R R, I de difernsiyellenebilen bir dönüşüm,, b I, < b ve f L[, b] olsun. f, [, b] üzerinde qusi-konveks ise [ f) 4f ] b) fb) b fx)dx 6 b 5b ) mx{ f ), f b) }..6) 6 eşitsizliği geçerlidir [9]. Teorem..6 f : I R R, I de difernsiyellenebilen bir dönüşüm,, b I, < b ve f L[, b] olsun. f q, [, b] üzerinde qusi-konveks ve q >, p q = olmk üzere [ f) 4f b 6 6 b ) p p ) ] ) fb) b fx)dx b ) p { mx f ) q, f b) q}) q..7) eşitsizliği geçerlidir [9]. Teorem..7 f : I R R, I de difernsiyellenebilen bir dönüşüm,, b I, < b ve f L[, b] olsun. f q, [, b] üzerinde qusi-konveks ve q olmk üzere [ f) 4f ] b) fb) b fx)dx 6 b 5b ) mx{ f ) q, f b) q } ) q..8) 6 eşitsizliği geçerlidir [9]. Teorem..8 Üçgen Eşitsizliği): Herhngi x, y reel syılrı için x y x y, x y x y, x y x y, ve tümevrım metoduyl eşitsizlikleri geçerlidir []. x... x n x... x n 8

18 Teorem..9 Üçgen Eşitsizliğinin İntegrl Versiyonu): f, [, b] rlığınd sürekli reel değerli bir fonksiyon olsun. Bu tkdirde b b fx)dx fx) dx < b) eşitsizliği geçerlidir []. Teorem.. Hölder Eşitsizliği): =,,..., n ) ve b = b, b,..., b n ) reel vey kompleks syılrın iki n lisi olsun. Bu tkdirde olmk üzere p q =. p > ise, b. p < vey q < ise, n n ) k b k k p p n ) b k q q, k= k= k= k= k= n n ) k b k k p p n ) b k q q k= eşitsizlikleri geçerlidir []. Teorem.. İntegrller için Hölder Eşitsizliği): p > ve p q = olsun. f ve g, [, b] rlığınd tnımlı ve integrllenebilen iki fonksiyon olsun. f p ve g q, [, b] rlığınd tnımlı ve integrllenebilen fonksiyonlr ise b b fx)gx) dx fx) p dx eşitsizliği geçerlidir []. ) p b ) gx) q q dx Ayrıc Hölder eşitsizliğinin bir sonucu oln power-men eşitsizliği de şğıdki şekilde ifde edilmiştir. Power-men eşitsizliği kullnılrk dh iyi üst sınırlr elde edilir. Sonuç.. Power-Men Eşitsizliği): q olsun. f ve g, [, b] rlığınd tnımlı ve integrllenebilen iki fonksiyon olsun. fonksiyonlr ise, b b fx)gx) dx eşitsizliği geçerlidir. f ve g q, [, b] rlığınd integrllenebilen ) q b ) fx) dx fx) gx) q q dx 9

19 Tnım.. Gmm Fonksiyonu): n > için Γn) = e u u n du ile tnımlnır. Bu integrl n > için ykınsktır. Gmm fonksiyonunun bzı önemli özellikleri şğıd verilmiştir.. Γn ) = nγn) = n!. Γ ) = Π. x p Π dx = Γp)Γ p) =, < p < x sin pπ 4. n Γn)Γn ) = ΠΓn). Tnım.. Bet Fonksiyonu): x > ve y > için βx, y) = t x t) y dx şeklinde ifde edilen βx, y) gösterimine β fonksiyonu denir. Gmm ve Bet fonksiyonlrı rsınd βm, n) = Γm)Γn) Γm n) şeklindeki ilişki litertürde sıkç kullnılmktdır. m, n >

20 . MATERYAL ve YÖNTEM Bu bölümde Riemnn-Liouville kesirli integrlleri ve bu integrller yrdımıyl elde edilen Simpson tipli bzı eşitsizlikler verilecektir.. Kesirli İntegrller Yrdımıyl Simpson Tipli Eşitsizlikler.. Riemnn-Liouville Kesirli İntegrlleri Kesirli Riemnn-Liouville integrl opertörünü elde etmek için ilk olrk n-ktlı x σ σ... σn fσ n )dσ n dσ n...dσ dσ..) integrlini ele llım. Bu integrllerde integrsyon sırsını ve bun bğlı sınırlrı değiştirelim. Bunun için; < σ < x < σ < σ σ < σ < x σ < σ < x,...,,...,..) < σ n < σ n < σ n < σ n σ n < σ n < x < σ n < x sınır değişimleri ltınd..) ifdesi, = x σ σ x σn... fσ n )dσ n dσ n...dσ dσ x x x x ) ) fσ n )... dσ dσ... )dσ n dσ n..) σ n σ σ n σ şeklinde yzılır...) ifdesinin sğ trfı terim terim hesplnırs = x σ σ n )! x... σn fσ n )dσ n dσ n...dσ dσ fσ n )x σ n ) n dσ n eşitliği elde edilir. Burd Γn) = n )! eşitliği kullnılırs, = x σ σ Γn) x... σn fσ n )dσ n dσ n...dσ dσ fσ n )x σ n ) n dσ n..4)

21 yzılır. Bu eşitliğin sğ trfındki n-syısı pozitif bir tmsyıdır. Gmm fonksiyonu tmsyılr dışınd d ifde edilebildiğinden, n nin tmsyı olmmsı durumund..4) eşitliğinin sğ trfı için şğıdki kesirli Riemnn-Liouville integrl opertörünün tnımı verilebilir. Tnım.. fx) L, b) olsun. Bu durumd, J α f)x) = Γα) J α b f)x) = Γα) x b x ft)x t) α dt, x >..5) ft)t x) α dt, x < b integrllerine α > için α. mertebeden kesirli integrl denir. Bu integrl litertürde Riemnn-Liouville kesirli integrli olrk bilinir. Burd J f) = fx) ve J b f) = fx) şeklindedir. Şimdi fx) = x fonksiyonunun α = 8 mertebeden kesirli integrlinin x olduğunu π gösterelim. = olmk üzere Riemnn-Liouville kesirli integrli J α f ) x) = Γα) x ft)x t) α dt, x > olrk yzılır. Kbuller ltınd fx) = x fonksiyonunun α = integrlinin, inci mertebeden kesirli x ) J f x) = Γ ) = x π tx t) dt, x > tx t) dt = x t dt, π x t) = ux) u) x du, t = ux π = π x = π x B, ) u u) du = Γ)Γ x ) π Γ 5) = x π = 8 π x π π 4

22 olduğu görülür. Şimdi de elde edilen sonucun tekrr inci mertebeden integrli lınırs, olduğu görülür. ) J f x) = Γ ) = 8 π x = 8 π x 8 π t x t) dt, x > ux) x ux) xdu, t = ux = 8 π x B 5, ) = 8 π x = 8 π x = x u) u) du Γ )Γ ) Γ 5 ) Γ )Γ ) Γ).. Riemnn-Liouville Kesirli İntegrlleri yrdımıyl Simpson Tipli Eşitsizlikler Lemm.. f : [, b] R,, b) üzerinde difernsiyellenebilen bir fonksiyon ve f L[, b], < b, n ve α > olsun. x [, b] için Γα) = e u u α du olmk üzere I, b; n.α) = [ ) )] nb n b f) fb) f f 6 n n [ ) )] Γα )n )α n b nb J α 6b ) α f J α b n f n [ ] Γα )n )α J α b ) α nb fb) J α nb f) n n [ b [ ] t) α t α n t = f n ) n t ) n b dt [ ] t α t) α t f n n t ) ] n b dt eşitliği geçerlidir []. İspt. Kısmi integrl lınrk, [ ] t) α t α n t f n t = n [ )] n b f) f b ) n αn )α b ) α nb n ) n b fx)x ) α dx dt αn )α b ) α nb n ) α n b fx) n x dx

23 ve = n b ) [ t α t) α [ fb) f αn )α b ) α b nb n ] f t nb n ) n b n n t )] fx) b x) α dx dt αn )α b ) α b nb n fx) x nb ) α dx n elde edilir. Burdn yukrıdki eşitlikler trf trf toplnıp, elde edilen ifdede her iki trf b n) ile çrpılırs, [ b [ ] t) α t α n t f n ) n t [ ] t α t) α t f n n t ) ] n b dt = [ ) )] nb n b f) fb) f f 6 n n nb ) α αn )α n n b fx) 6b ) α n x dx αn )α b ) α αn )α 6b ) α αn )α b ) α eşitliği elde edilir. Burd Γα) Γα) nb n Γα) Γα) b nb n nb n b nb n b nb n b nb n fx) x ) α dx fx) x nb ) α dx n fx) b x) α dx ) n b fx) x ) α dx = J α nb f), n fx) b x) α dx = J α nb fb), nb n n ) α n b n b fx) n x dx = J α f n fx) x nb ) α ) nb dx = J α b n f n kesirli integrlleri kullnılrk istenilen sonuç elde edilir. Teorem.. f : I R R, I de difernsiyellenebilen bir fonksiyon,, b I, < b ve f L[, b] olsun. f, [, b] rlığınd qusi-konveks ise ) α [ α I, b; n.α) b 4 α α α n α ) ) α ] ), dt mx{f ), f b) } 4

24 eşitsizliği geçerlidir []. İspt. Lemm.. özdeşliğinde her iki trfın mutlk değeri lınırs, b I, b; n.α) t) α t α n t n ) f n t ) n b dt t α t) α t f n n t ) dt) n b elde edilir. f qusi-konveks fonksiyon olduğundn b I, b; n.α) t) α t α n ) mx{ f ), f b) }dt ) t α t) α mx{ f ), f b) }dt [ α ) b α = t) α t α dt n ) ) ) t α t) α dt mx{ f ), f b) }dt α α eşitsizliği elde edilir. Burdn d [ I, b; n.α)) b n α α t) α t α t α t) α α α α α ) dt ) α 4 α α ) olduğu görülür. Böylece ispt tmmlnmış olur. Sonuç.. Teorem.. de α = seçilirse eşitsizliği elde edilir []. I, b; n) ) ) ] dt mx{ f ), f b) } α ) α 5b ) 8n ) mx { f ), f b) } ] mx{f ), f b) } Teorem.. f : I R R, I de difernsiyellenebilen bir fonksiyon,, b I, < b ve f L[, b] olsun. α >, q > ve p q = olmk üzere f q, [, b] rlığınd qusi-konveks fonksiyon ise I, b; n.α) b t) α t α p n dt ) p mx{ f ) q, f b) q } ) q 5

25 eşitsizliği geçerlidir []. İspt. Lemm.. de her iki trfın mutlk değeri lınıp, Hölder eşitsizliği kullnılırs; [ b I, b; n.α) t) α t α n t n ) f n t ) n b dt t α t) α t f n n t ) dt] n b [ b t) α t α p ) p n ) dt f n t n t ) q ) n b q dt t α t) α p ) p dt t f n n t ) q ) n b q dt elde edilir. f q qusi-konveks fonksiyon olduğundn ve t) α t α p dt ) p = t α t) α p dt eşitliği kullnılrk b I, b; n.α) t) α t α n t n ) f n t ) n b dt t α t) α t f n n t ) dt) n b [ b t) α t α p ) p n ) dt t α t) α p ) p dt mx{ f ) q, f b) q }dt b t) α t α p ) p n dt mx{ f ) q, f b) q } eşitsizliği elde edilir. Böylece ispt tmmlnır. ) p ) mx{ f ) q, f b) q q }dt Sonuç.. Teorem.. de α = seçilirse I, b; n) b p ) t p n dt mx { f ) q, f b) q}) q eşitsizliği elde edilir []. Sonuç.. Teorem.. de α = ve n = seçilirse I, b; ) b p ) t p dt mx { f ) q, f b) q}) q eşitsizliği elde edilir []. ) q ) ] q 6

26 Teorem.. f : I R R, I de difernsiyellenebilen bir fonksiyon,, b I, < b ve f L[, b] olsun. α >, q olmk üzere f q, [, b] rlığınd qusi-konveks fonksiyon ise [ I, b; n.α) b n eşitsizliği elde edilir []. α α ) α 4 α α ) α ) α ] mx{f ) q, f b) q }) q İspt. uygulnılırs; Lemm.. de her iki trfın mutlk değeri lınıp, power-men eşitsizliği I, b; n.α) [ b t) α t α n t n ) f n t ) n b dt t α t) α t f n n t ) dt] n b [ b ) t) α t α n ) dt q t) α t α n t f n t ) q ) n b q dt ) t α t) α dt q t α t) α t f n n t ) q ) n b q dt yzılır. Burdn f q nin qusi-konveksliği kullnılrk b ) I, b; n.α) t) α t α n ) dt q [ t) α t α mx{ f ) q, f b) q }dt t α t) α mx{ f ) q, f b) q }dt ) q ) ] q elde edilir. Son olrk yukrıdki integrller hesplnırs istenilen sonuçlr elde edilir. Sonuç..4 Teorem.. de α = seçilirse 5b ) I, b; n) mx { f ) q, f b) q}) q 8n ) eşitsizliği elde edilir []. Sonuç..5 Teorem.. ve Teorem.. de, α = ve n = seçilirse, sırsıyl Teorem..5) ve Teorem..7) elde edilir [9]. 7

27 . α TİPLİ KÜMELER Bu bölümde α tipli kümeler hkkınd temel bilgiler ile α tipli kümelerde limit, süreklilik, lokl kesirli türev, lokl kesirli integrl gibi kvrmlr hkkınd genel bilgiler verilmiştir. [6, 7]. Lokl kesirli nliz ile ilgili dh detylı bilgiler için [5],[8],[9],[],[] refrnslrın bkılbilir... Bzı Sonsuz Kümeler Bzı sonsuz kümeler şğıdki gibi tnımlnmıştır. Doğl Syılr Kümesi; N = {,,,..., n,...}. Pozitif Doğl Syılr Kümesi; N = {,,..., n,...}. Tmsyılr Kümesi; Z = {, ±, ±,..., ±n,...}. Negtif Tmsyılr Kümesi; Z = {,,..., n,...}. Rsyonel Syılr Kümesi; Q = {m = p q İrrsyonel Syılr Kümesi; I = {m p q : p, q Z, q }. : p, q Z, q }. Reel Syılr Kümesi; R = I Q. Not.. Bu sonsuz kümeler rsınd N Z Q R şeklinde bir ilişki vrdır... α tipli Kümeler Tnım.. < α olmk üzere Ω kümesinin α-tipli kümesi Ω α olrk tnımlnır ve bu küme bir kümenin kesirli kümesi olrk dlndırılır. Örnek.. R kümesi üzerinde Ω = i, b i ) kümesi verilsin. Bun göre Ω kümesinin α- tipli kümesi Ω α = i= α i, b α i ) şeklindedir. i= 8

28 .. α tipli Syı Kümeleri < α olmk üzere bzı α-tipli kümeleri; α-tipli doğl syılr kümesi; N α = { α, α, α,..., n α,...}. α-tipli pozitif doğl syılr kümesi; N α = { α, α,..., n α,...}. α-tipli tmsyılr kümesi; Z α = { α, ± α, ± α..., ±n α,...}. α-tipli rsyonel syılr kümesi; Q α = {m α = p q )α : p, q Z, q }. α-tipli irrsyonel Syılr Kümesi; I α = {m α p q )α : p, q Z, q }. α-tipli reel syılr kümesi; R α = I α Q α şeklinde tnımlnmıştır. Not.. α-tipli kümeler rsınd N α Z α Q α R α şeklinde bir ilişki vrdır. Teorem.. Ω α kümesi; Ω = i, b i ) R ile bire-bir eşleşen bir küme ve A Ω i= olsun. O hlde A R ile bire-bir eşleşen bir A α kümesi vrdır ve A α Ω α dır. İspt. A Ω olsun. Bu durumd her x A iken x Ω yzılır. Dolyısıyl kümelerin kesirli kümelerinin tnımındn x α A α ve x α Ω α elde edilir. Böylece ispt tmmlnır...4 α- tipli Reel Syılr Kümesinde İşlemler α, b α, c α R α olmk üzere şğıdki özellikler vrdır:. α b α R α ve α b α R α,. α b α = b α α = b) α = b ) α,. α b α c α ) = α b α ) c α, 4. α b α = b α α = b) α = b) α, 5. α b α c α ) = α b α )c α, 9

29 6. α b α c α ) = α b α α c α, 7. α α = α α = α ve α α = α α = α. Yukrıd tnımlnn α b α := b) α ) ve α b α = α b α := b) α ) işlemlerine göre R α,, ) bir cisimdir. Çünkü R α, ) değişmeli bir gruptur: α, b α, c α R α için, A ) α b α R α ; A ) α b α = b α α ; A ) α b α c α ) = α b α ) c α ; A 4 ) R α, ) nın birim elemnı α dır ve her α R α için α α = α α = α ; A 5 ) R α, ) işlemine göre her α nın ters elemnı ) α dır ve α ) α = )) α = α dır. R α \ { α }, ) değişmeli bir gruptur: α, b α, c α R α için, M ) α b α R α ; M ) α b α = b α α ; M ) α b α c α ) = α b α ) c α ; M 4 ) R α, ) nın birim elemnı α dır ve her α R α için α α = α α = α ; M 5 ) R α, ) işlemine göre her α R α \ { α } nın ters elemnı /) α dır ve α /) α = /)) α = α ; dır. Toplm işleminin çrpm işlemi üzerine dğılm özelliği: α b α c α ) = α b α α c α şeklindedir...5 α-tipli Reel Syılrın Mutlk Değeri. α b α = α b α. α b α α b α α b α.

30 ..6 α- tipli Reel Syılrd Eşitsizlikler ve Özellikleri α b α negtif olmyn bir syı ise α, b α y büyük vey eşittir y d küçük vey eşittir denir ve sırsıyl α b α, b α α şeklinde gösterilir. Eğer α = b α olm ihtimli yoks, α > b α vey b α < α yzılır. b α, α dn α, b α, c α R α olsun. O hlde α-tipli reel syılrın özellikleri;. α > b α, α = b α vey α < b α durumlrındn biri geçerlidir.. α > b α ve b α > c α ise α > c α.. α > b α ise α c α > b α c α. 4. α > b α ve c α > α ise α c α > b α c α. 5. α > b α ve c α < α ise α c α < b α c α. 6. α, b α α ise α b α α b α. 7. α, b α α, p, q ve p q = ise α α p b q α p bα q şeklindedir. Sonuç.. Burd α = şeçilirse R deki özelliklere indirgeme ypılmış olur. Ayrıc;. α > b α ise > b. α = b α ise = b. α < b α ise < b dır...7 α tipli Kümelerde Syılbilirlik Bir kümenin tüm elemnlrı doğl syılrl bire-bir eşleşebiliyors bu kümeye syılbilir küme, bir küme kendisinin lt kümesi ile bire-bir eşleşebiliyors bu kümeye sonsuz küme denir. Hem syılbilir hemde sonsuz oln kümeye syılbilir sonsuz küme denir. Q ve Q α kümeleri syılbilir sonsuz kümelerdir.

31 ..8 α tipli Kümelerde Komşuluk δ α, α R α ve δ α > olmk üzere kümesine α nın δ α -komşuluğu denir. A = { x α R α : x α α < δ α} Burd A { α } kümesine de α nın δ α -delinmiş komşuluğu denir...9 α tipli Kümenin Limit Noktsı l α syısının her δ α komşuluğu x α elemnlrının kümesinin en z bir elemnını içeriyors l α syısın x α elemnlrının kümesinin bir limit noktsı denir. Diğer bir ifdeyle, ne kdr küçük olurs olsun herhngi bir δ α > için x α l α < δ α olck şekilde her zmn x α R α syısı vrdır. Diğer trftn x α l α < δ α olmk üzere α, e yklşıyorken limit lırsk herhngi bir δ > için x l < δ elde edilir.. α tipli Kümeler Üzerinde Fonksiyonlr fx) fonksiyonunun tnım kümesinin ve değer kümesinin elemnlrı sırsıyl x α ve y α olsun. Bu durumd y α = fx) yzılır... α tipli Kümelerde Fonksiyonlrın Limiti F R α, f : F R α bir fonksiyon ve < α olsun. ε > için < x < δ iken fx) l α < ε α olck şekilde δ > syısı vrs l α y x, y yklşırken fx) fonksiyonunun limiti denir ve lim x fx) = l α şeklinde gösterilir. Teorem.. lim x fx) = l α ve lim x gx) = l α olsun. Bu durumd. lim x [ fx) gx) ] = l α l α,. lim x fx) = l α,

32 . lim x fx)gx) = l α l α, 4. lim x fx) gx) = lα l α şeklindedir., l ) İspt.. lim x fx) = l α verildiğinden, limitin tnımındn her ε > için < x < δ olduğund fx) l α < ε α olck şekilde δ > syısı vrdır. lim x gx) = l α olduğundn, her ε > için < x < δ olduğund gx) l α < ε α olck şekilde δ > syısı vrdır. δ = min{δ, δ } olsun. O hlde, her ε > için < x < δ olduğund fx) gx) l α l α fx) l α gx) l α ε α olck şekilde δ > syısı bulunur. Dolyısıyl; dır. [ ] lim fx) gx) = l α l α = lim fx) lim gx) x x x. lim fx) = l α verildiğinden, ε > için < x < δ seçildiğinde fx) l α < ε α x olck şekilde δ > syısı vrdır. O hlde fx) l α fx) l α < ε α dır.. lim x fx) = l α verildiğinden, limitin tnımındn her ε > için < x < δ olduğund fx) l α < ε α olck şekilde δ > syısı vrdır. lim x gx) = l α olduğundn, her ε > için < x < δ olduğund gx) l α < ε α olck şekilde δ > syısı vrdır. δ = min{δ, δ } olsun. O hlde, her ε > için < x < δ olduğund fx)gx) l α l α = ) fx) l α gx) l α l α gx) ) ε α gx) ε α l α < ε α ) gx) l α olck şekilde δ > syısı bulunur. Dolyısıyl; fx) lim x gx) = lα, l l α ) dır.

33 4. Vrsylım ki m olsun. gx) > mα olck şekilde < x < δ vrdır ve her < x < δ için fx) tnımlıdır. ε > için < x < δ olduğund gx) fx) l α < ε α ve fx) m α < ε α olur ve her < x < δ için fx) gx) lα m α = fx)m α l α gx) gx)m α m α fx) l α ) l α gx) m α ) mα mα l α ε α 4 mα elde edilir... α tipli Kümelerde Fonksiyonlrın Lokl Kesirli Sürekliliği Sğdn Lokl Kesirli Süreklilik F R α, x F, f : F R α bir fonksiyon ve < α olsun. Eğer f fonksiyonu x noktsınd tnımlı ve lim fx) = fx x x ) ise f fonksiyonun x noktsınd sğdn lokl kesirli süreklidir denir. Soldn Lokl Kesirli Süreklilik F R α, x F, f : F R α bir fonksiyon ve < α olsun. Eğer f fonksiyonu x noktsınd tnımlı ve lim x x kesirli süreklidir denir. fx) = fx ) ise f fonksiyonun x noktsınd soldn lokl Lokl Kesirli Süreklilik F R α, x F, f : F R α bir fonksiyon ve < α olsun. Eğer f fonksiyonu x noktsınd tnımlı ve lim x x fx) = fx ) ise f fonksiyonun x noktsınd lokl kesirli süreklidir denir. Eğer f fonksiyonu F kümesinin her noktsınd lokl kesirli sürekli ise f fonksiyonu F üzerinde lokl kesirli süreklidir denir. Teorem.. F R α, x F, f : F R α bir fonksiyon ve < α olsun. Eğer x noktsınd f fonksiyonunun sğdn ve soldn limit vr ve birbirine eşit ise fonksiyonun bu noktd limiti vrdır ve şeklindedir. lim fx) = lim x x x x fx) = lim x x fx) 4

34 Tnım.. F R α, x F, f : F R α bir fonksiyon olsun. Her ε > için x x < δ olduğund fx) fx ) < ε α olck şekilde δ > syısı vrs bu fx) fonksiyonun x d lokl kesirli süreklidir denir ve fx),, b) rlığınd lokl kesirli sürekli ise fx) C α, b) dir. Tnım.. [, b] R α, f : [, b] R α bir fonksiyon olsun. x, y [, b], < α ve c pozitif sbit bir syı olmk üzere fx) fy) < c x y α oluyors bu fonksiyon Hölder süreklidir denir. [, b] üzerinde Hölder sürekli fonksiyonlrın kümesi C α [, b] ile gösterilir. Teorem.. f : [, b] R α Hölder sürekli bir fonksiyon ise fx), [, b] üzerinde lokl kesirli süreklidir. İspt. fx) Hölder sürekli bir fonksiyon, < α ve x α, x α [ α, b α ] için fx) fy) < c x y α dır. x x = ε = δ olsun. Her δ > için < x x α < δ α olduğund fx) fx ) < cε α dır. Bundn dolyı lim x x fx) = fx ) elde edilir. Dolyısıyl f, [, b] üzerinde lokl süreklidir. Teorem..4 F R α, x lim x x fx) = fx ) ve lim x x gx) = gx ) olmk üzere F, f, g : F R α iki fonksiyon ve < α olsun.. lim x x [ fx) ± gx) ] = fx ) ± gx ); [ ]. lim fx)gx) = fx )gx ); x x [ ] fx). lim = fx ) x x gx) gx ), gx ) ) dir... α tipli Kümeler Üzerinde Elementer Fonksiyonlr. α-tipli kümeler üzerinde tnımlnn bir fonksiyon x R ve < α olmk üzere fx) = x α şeklindedir. 5

35 . α-tipli kümeler üzerinde Mittg- Leffler fonksiyonu x R ve < α iken E ) α x α x αk = şeklinde tnımlnır. kα) k= Ayrıc şğıdki kurllr geçerlidir.. E α x α ) E α y α ) = E α x y ) α );. E α x α ) E α y α ) = E α x y ) α );. E α i α x α) E α i α y α) = E α x α x y ) ) α. α-tipli kümeler üzerinde sinüs ve kosinüs fonksiyonlrı x R ve < α olmk üzere sin α x α = cos α x α = ) k x αk) Γ [ αk ) ]..) ) k x αk Γ [ αk ]..) şeklinde tnımlnır. Dh fzl bilgi için [5,?] kynklrın bkılbilir. k= k= Benzer şekilde ;..) ve..) formüllerini dikkte lınırs; α-tipli kümeler üzerinde tnjnt fonksiyonu x R ve < α için şeklinde tnımlnır. tn α x α = sin α x α cos α x α..4 α tipli Kümelerde Fonksiyonlrın Lokl Kesirli Türevi Lokl Kesirli Türev fx) C α [, b] olsun. < α, δ > ve x x δ, x δ) için [ x Dx α Γ α) fx) fx ) ] fx) = lim x x x x ) α limiti vr ve sonlu ise bu limite fx) fonksiyonunun x = x noktsındki α. dereceden lokl kesirli türevi denir ve d α fx) dx α vey f α) x ) x=x 6

36 ile gösterilir. Sol ve Sğ Lokl Kesirli Türev fx) C α [, b] olsun. < α, δ > ve x x δ, x ) için [ Γ α) fx) fx x Dα x fx) = lim ) ] x x x x ) α limiti vr ve sonlu ise bu limite fx) fonksiyonunun x = x d α. dereceden soldn lokl kesirli türevi denir ve fx) in x = x noktsındki soldn lokl kesirli türevi d α fx) vey f α) x dx α ) ile gösterilir. x=x fx) C α [, b] olsun. < α, δ > ve x x, x δ) için [ Γ α) fx) fx x Dα x fx) = lim ) ] x x x x ) α limiti vr ve sonlu ise bu limite fx) fonksiyonunun x = x d α. dereceden sğdn lokl kesirli türevi denir ve fx) in x = x noktsındki sğdn lokl kesirli türevi d α fx) vey f α) x dx α ) x=x ile gösterilir. Ayrıc bir fonksiyonun bir noktd α. dereceden lokl kesirli türevinin vr olmsı için gerek ve yeter şrt α. dereceden sğ ve sol lokl kesirli türevlerinin mevcut ve birbirine eşit olmsıdır...5 α tipli Kümelerde Fonksiyonlrın Lokl Kesirli Difernsiyeli < α için fx) fonksiyonunun lokl kesirli difernsiyeli şeklindedir ve her x, b) için d α f = f α) x)dx) α d α fx) dx α = f α x )..) x=x mevcuttur. α. dereceden lokl kesirli difernsiyellenebilen fonksiyonlrın kümesi D α, b) ile gösterilir. Elemnter fonksiyonun lokl kesirli türev kurllrı; 7

37 d α x kα dx α = Γ kα) Γ k )α) xk )α ; d α E α x α ) dx α = E α x α ); d α E α kx α ) dx α = ke α kx α ), k sbit; d α sin α x α dx α = cos α x α ; d α cos α x α dx α = sin α x α ; şeklindedir...6 Yüksek Mertebeden Lokl Kesirli Türev < α için fx) fonksiyonunun x = x noktsındki α-lokl kesirli türevi [ ] [ ] ) Dx α d α d α fx) = Dx D x fx) = dx α dx fx) = f α) x) α şeklinde tnımlnır. Bu işlemi n kez tekrrlrsk; nα-lokl kesirli türev ise şeklinde tnımlnır. n kez {}}{ D α x... D α x ) fx) x=x = D nα x fx) x=x = f nα)x) x=x = f nα x ).4 α tipli Kümelerde Fonksiyonlrın Lokl Kesirli İntegrli.4. Lokl Kesirli İntegrl Tnım.4. fx) C α [, b], < α ve [ t j, t j ] j =,..., N ), [, b] rlığının bir bölüntüsü, t j = t j t j ve t = mx { t, t,..., t N } olsun. Ayrıc = t < t < < t N < t N = b olmk üzere fx) fonksiyonunun lokl kesirli integrli; I α b fx) = Γ α) şeklinde ifde edilir. Burd b ft)dt) α = N Γ α) lim ft j ) t j ) α t j= = b için I α b fx) =, 8

38 < b için I α b fx) = b I α fx), şeklindedir. Önerme.4. α-tipli bir küme üzerinde tnımlı fx) fonksiyonu [, b] üzerinde sınırlı b vey f C α [, b] ) olsun. Bu tkdirde ft)dt) α integrlinin vr olmsı Γ α) için gerek ve yeter şrt ft) nin süreksiz kesirli kümesinin genelleştirilmiş Lebesgue sıfır ölçümüne ship olmsıdır..4. Lokl Kesirli İntegrlin Özellikleri [ ]. fx), gx) C α [, b] olmk üzere Ib α fx) ± gx) = Ib αfx) ± Ib α gx) dır. [ ]. fx) C α [, b] ve C sbit olmk üzere Ib α Cfx) = C Ib α fx) dır.. fx) = olmk üzere I α b = b )α Γ α) dır. 4. fx) C α [, b] ve fx) olmk üzere Ib α fx) dır 5. fx), gx) C α [, b] ve fx) gx) olmk üzere b iken Ib αfx) Ib α gx) dir. 6. fx) C α [, b] ve [, b] üzerinde fx) in sırsıyl mksimum ve minumum değerleri M ve m olmk üzere b > için dır. b )α M Γα ) Ib α b )α fx) m Γα ) 7. fx) C α [, b] olmk üzere b > için I α b fx) I α b fx) dır. 8. fx) C α [, b] ve < c < b olmk üzere Ib αfx) = Ic α fx) c Ib α fx) dır..4. Lokl Kesirli İntegrller için Teoremler Teorem.4. Lokl Kesirli İntegrller için Ortlm Değer Teoremi) fx) C α [, b] ve ξ,, b) üzerinde bir nokt olmk üzere Ib α b )α fx) = fξ) Γ α) 9

39 şeklindedir. Teorem.4. fx) C α [, b] olsun. Bu durumd Πx) = I α x fx) fonksiyonu vrdır ve bu fonksiyonun dx) α y göre türevi < x < c olmk üzere d α Πx) dx α = fx) dır. Teorem.4. fx) C α [, b] olsun. Bu durumd Πx) = Ix α fx) olck şekilde Π C α [, b] vrdır. Teorem.4.4 fx) = g α) x) C α [, b] olsun. Bu durumd Ib α fx) = gb) g) dır. [ ] Teorem.4.5 gx) C [, b] ve f g)s) C α g), gb) olsun. Bu durumd ) [ g)igb)fx) α = Ib α f g s) g s) ] α şeklindedir. Teorem.4.6 Kısmi Lokl Kesirli İntegrsyon) fx), gx) D α, b) ve f α) x), g α) x) C α [, b] olsun. Bu durumd lokl kesirli integrl için kısmi integrsyon şeklindedir. I α b ft)g α) t) = [ ft)gt) ] b I α b f α) t)gt).4.4 Trigonometrik Fonksiyonlrın Lokl Kesirli İntegrli m, n Z olmk üzere trigonometrik fonksiyonlrın lokl kesirli integrlleri şğıd verilmiştir... π sin α nx) α dt) α = ; Γ α) π Γ α) π π cos α nx) α dt) α = ;

40 π sin α mx) α cos α nx) α dt) α = ; Γ α) π π, m n, cos α mx) α cos α nx) α dt) α = π α Γ α) π Γ α), m = n ; π sin α mx) α sin α nx) α dt) α = Γ α) π, m n, π α Γ α), m = n ; ) α n )x π sin α ) α dt) α = Γ α) π x α sin α E ) α x α dx) α = α Γ α) π α Γ α) ; π α Γ α).4.5 Lokl Kesirli Belirsiz İntegrl Lokl Kesirli Anti-Türev fx) ve gx),, b) rlığı üzerinde tnımlnn lokl kesirli sürekli iki fonksiyon olsun. Her x, b) için g α x) = fx) ise gx) fonksiyonun,, b) üzerinde fx) fonksiyonunun lokl kesirli ilkel fonksiyonu vey lokl kesirli nti-türevi denir. Lokl Kesirli Belirsiz İntegrl Eger gx),, b) üzerinde fx) in lokl kesirli nti-türevi ise bu tkdirde { gx) C : Csbit } kümesi fx) in lokl kesirli nti-türevlerinin bir ilesi olrk dlndırılır. ileye fx) in, b) üzerinde lokl kesirli belirsiz integrli denir ve fx)dx = gx) C Γ α) şeklinde ifde edilir. Bu

41 .4.6 Elementer Fonksiyonlrın Lokl Kesirli Belirsiz İntegrli C sbit olmk üzere lokl kesirli belirsiz integrl için şğıdki kurllr geçerlidir.. E ) α x α dx) α = E ) α x α C; Γ α). x kα dx) α Γ kα)xk)α = C;.4.) Γ α) Γ k )α). sin α x α dx) α = cos α x α C; Γ α) 4. cos α x α dx) α = sin α x α C. Γ α) Teorem.4.7 Genelleştirilmiş Hölder Eşitsizliǧi ) p, q > ve p q f, g C α [, b] olmk üzere genelleştirilmiş Hölder eşitsizliği = olsun. b fx)gx) dx) α.4.) Γ α) b ) fx) p dx) α p b ) gx) q dx) α q. Γ α) Γ α) şeklindedir. [7]

42 4. ARAŞTIRMA BULGULARI 4. Lokl Kesirli İntegrller Yrdımıyl Genelleştirilmiş Qusi- Konveks Fonksiyonlr İçin Simpson Tipli Eşitsizlikler Bu bölümde genelleştirilmiş qusi-konveks fonksiyonlr ile ilgili elde edilen bzı yeni Simpson tipli eşitsizlikler verilecektir. Lemm 4.. I, R de bir rlık olmk üzere f : I R α bir fonksiyon I, I nın içi),, b I, < b için f D α I ) ve f α) C α [, b] olsun. Bu tkdirde [ ) ] b f) 4 α Γ α) f fb) 6 α b ) α Ib α fx) ) α b [ t = Γ α) ) α t f α) b t ) t ) α t f α) t )] b dt) α 4..) eşitliği geçerlidir. İspt. Kısmi lokl kesirli intgrsyon uygulnırs; t I = Γ α) ) α t f α) b t ) dt) α t = ) α ) α t f b b t ) ) α ) α t Γ α)f b Γ α) b t ) dt) α elde edilir. Dh sonr x = tb t dönüşümü ypılır ve dx)α = b )α dt) α difernsiyeli gözönünde bulundurulurs; ) α [ ) α ) α )] b I = fb) f b b 6 ) α Γ α) α 6 b b fx)dx) α 4..) yzılır. Benzer şekilde I = Γ α) t ) α t f α) t ) b dt) α = t ) α ) α t f b t ) b ) α α t Γ α)f b Γ α) ) t ) b dt) α

43 elde edilir. Burd x = t tb dönüşümü uygulnıp dx)α = b )α dt) α difernsiyeli gözönünde bulundurulurs; ) α [ I = 6) α ) α )] b f) f b b 6 ) α Γ α) fx)dx) α 4..) α b yzılır. 4..) ve 4..) trf trf toplnırs, ) α I I = b 6 α b [ f) 4 α f ) α Γ α) α ) b b fx)dx) α ] fb) elde edilir. Bu eşitliğin her iki trfı b )α ile çrpılırs ispt tmmlnmış olur. Teorem 4.. I, R de bir rlık olmk üzere f : I R α bir fonksiyon I, I nın için), f D α I ) ve, b I, < b için f α) C α [, b] olsun. f α), [, b] üzerinde genelleştirilmiş qusi-konveks fonksiyon ise [ ) b f) 4 α f 6 α eşitsizliği sğlnır. b ) α 5 8 ] fb) ) α Γ α) Γ α) sup Γ α) b ) α Ib α fx) { } f α) ), f α) b) 4..4) İspt. 4..) de her iki trfın mutlk değeri lınırs; [ ) ] b f) 4 α Γ α) f fb) 6 α b ) α Ib α fx) ) α b [ t Γ α) α t f α) b t ) [ t α t f α) t )] b dt) α 4..5) elde edilir. Dh sonr f α) nın genelleştirilmiş qusi-konveksliği kullnılırs [ ) ] b f) 4 α Γ α) f fb) 6 α b ) α Ib α fx) ) α b t Γ α) α [ { } { }] sup f α) b), f α) ) sup f α) ), f α) b) 4..6) yzılır. Ayrıc.4.) kullnılrk; t Γ α) α dt) α = Γ α) 4 t α dt) α = ) α 5 Γ α) 8 Γ α) 4..7)

44 elde edilir. Böylece 4..6) ve 4..7) den [ ) b f) 4 α f 6 α b ) α 5 8 yzılır. Böylece ispt tmmlnmış olur. ] fb) ) α Γ α) Γ α) sup Γ α) b ) α Ib α fx) { } f α) ), f α) b) Teorem 4.. I, R de bir rlık olmk üzere f : I R α bir fonksiyon I, I nın içi), f D α I ) ve, b I, < b için f α) C α [, b] olsun. [, b] üzerinde f α) genelleştirilmiş qusi-konveks ve q, p q = ise 6 α [ f) 4 α f b ) α sup ) b [ p)α ) α { f α) ) q, f α) b) q }) q ] Γ α) fb) b ) α Ib α fx) ) p)α ] Γ pα) 6 Γ p ))α ) p 4..8) eşitsizliği elde edilir. İspt. Lemm 4.. ve genelleştirilmiş Hölder eşitsizliği kullnılrk [ ) ] b f) 4 α Γ α) f fb) 6 α b ) α Ib α fx) ) α b [ t Γ α) α t f α) b t ) t α t f α) t ) ] b dt) α ) α [ b t Γ α) ) pαdt) α p t Γ α) f α) b t ) ) qdt) α q Γ α) t ) pαdt) α p t Γ α) f α) t ) ) qdt) ] b α q 5

45 elde edilir. f α) q, [, b] üzerinde genelleştirilmiş qusi-konveks olduğundn [ ) ] b f) 4 α Γ α) f fb) 6 α b ) α Ib α fx) 4..9) ) α b t Γ α) ) pαdt) α p [ }) }) sup { f α) b) q, f α) ) q q sup { f ] α) ) q, f α) b) q q 4..) yzılır..4.) kullnılrk; t pα dt) α = t pα dt) α = α [ ) p)α ) p)α ] Γ pα) 6 Γ p )α) 4..) elde edilir. Burdn d 4..9) ve 4..) den 4..) elde edilir. Böylece ispt tmmlnmış olur. Teorem 4.. I, R de bir rlık olmk üzere f : I R α bir fonksiyon I, I nın içi), f D α I ) ve, b I, < b için f α) C α [, b] olsun. [, b] üzerinde f α) genelleştirilmiş qusi-konveks ve q ise [ ) b f) 4 α f 6 α ) α 5 b ) α Γ α) 8 Γ α) dır. ] Γ α) fb) sup b ) α Ib α fx) }) { f α) ) q, f α) b) q q 4..) İspt. Lemm 4.. ve genelleştirilmiş power-men eşitsizliği kullnılrk [ ) ] b f) 4 α Γ α) f fb) 6 α b ) α Ib α fx) ) α b [ t Γ α) α t f α) b t ) t α t f α) t ) ] b dt) α ) α [ b t Γ α) ) αdt) α q t Γ α) α t f α) b t ) ) qdt) α q Γ α) t ) αdt) α q Γ α) t α t f α) t ) ) qdt) b α q 6

46 elde edilir. f α) q, [, b] üzerinde genelleştirilmiş qusi-konveks olduğundn [ ) ] b f) 4 α Γ α) f fb) 6 α b ) α Ib α fx) 4..) ) α [ b t Γ α) ) αdt) α q t Γ α) α }) sup { f α) b) q, f α) ) q q dt) α Γ α) t ) αdt) α q Γ α) t α }) ] sup { f α) ) q, f α) b) q q dt) α 4..4) elde edilir. Burd.4.) kullnılrk t Γ α) α = Γ α) t α = ) α 5 Γ α) 8 Γ α) 4..5) elde edilmiştir. Böylece 4..) ve 4..5) den 4..) elde edilir ve ispt tmmlnmış olur. Sonuç 4.. Teorem 4.. de Sonuç 4.. Teorem 4.. de Sonuç 4.. Teorem 4.. de Sonuç 4..4 Teorem 4.. de q = lınırs Teorem 4.. elde edilir. α = lınırs Teorem..5 elde edilir. α = lınırs Teorem..6 elde edilir. α = lınırs Teorem..7 elde edilir. Lemm 4.. I, R de bir rlık olmk üzere f : I R α bir fonksiyon, f D α I ) ve, b I, < b için f α) C α [, b] olsun. Bu tkdirde [ ) Γ α) fb) f) α Γ α) = eşitliği sğlnır. f) f b Γ α) b ) α α Γ α)γ α) t f α) t ) b ) b) )] f t α t) α [ f α) t t f α) t t b b ) α Ib α fx) ) b )] dt) α 4..6) 7

47 İspt. I, I, I ifdelerinde kısmi lokl kesirli integrsyon uygulnırs t I = t α t) α f α) Γ α) t ) b dt) α ) α t = t α t α ) f α) b t ) b ) α t f α) Γ α) b t ) ) b Γ α) Γ α) Γ α) tα dt) α ) α t = Γ α) f α) b Γ α) t ) b dt) α ) α Γ α) t t α f α) b Γ α) Γ α) t ) b dt) α ) α t = Γ α) f b t ) b ) α [ ) α Γ α) t t α f b Γ α) b t ) b ) α t f Γ α) b t ] )Γ b α)dt) α ) α )] b = Γ α)[ f) f b ) α [ Γ α) b Γ f) Γ α) t f Γ α) t ] )dt) b α ) α )] b = Γ α)[ f) f b ) α [ Γ α) b Γ f) Γ α) ) α ] fx)dx) α Γ α) b b ) α )] ) α b Γ α) = Γ α)[ f) f b b Γ α) f) ) α b Γ α) fx)dx) α 4..7) b elde edilir. Benzer şekilde I = Γ α) = b b t t α t) α f α) t ) b dt) α 4..8) ) )] b b f ) ) α b b Γ α) fx)dx) α b ) α Γ α)[ f ) α Γ α) Γ α) f b 8

48 ve I = Γ α) = b b t α t) α f α) t t ) α Γ α)[ f ) α Γ α) Γ α) f ) b ) b ) b dt) α 4..9) ] fb) ) α b Γ α) fx)dx) α b b elde edilir. 4..7), 4..8) ve 4..9) eşitlikleri trf trf toplnırs; ) α I I I = Γ α) f) fb) ) b ) [ α ) ) ] Γ α) b b f) f f b Γ α) ) α b Γ α) fx)dx) α b b ) α olur. Bu eşitliğin her iki trfı ile çrpılırs 4..6) elde edilir. α Γ α)γ α) Böylece ispt tmmlnmış olur. Sonuç 4..5 Lemm 4.. de α = lınırs Lemm.. elde edilir. Burd Lemm 4.. kullnılrk genelleştirilmiş qusi-konveks dönüşümler içeren Simpson tipli bzı yeni integrl eşitsizlikler elde edilmiştir. Teorem 4..4 I, R de bir rlık olmk üzere f : I R α bir fonksiyon I, I d bir rlık), f D α I ) ve, b I, < b için f α) C α [, b] olsun. [, b] üzerinde f α) genelleştirilmiş qusi-konveks fonksiyon ise [ Γ α) ) fb) f) α Γ α) f) f b) b) )] f Γ α) b ) α Ib α fx) [ ] { } b )α Γ α) α Γ α) sup f α) ), f α) b) Γ α) eşitsizliği gerçeklenir. İspt. Lemm 4.. de her iki trfın mutlk değeri lınırs, [ ) Γ α) fb) f) α Γ α) f) f b) b) )] f Γ α) b ) α Ib α fx) 9

49 { b ) α t α t α t α Γ α) Γ α) f α) t ) b dt) α t α t α t Γ α) f α) t ) b dt) α t α t α t Γ α) f α) t ) } b dt) α 4..) elde edilir. f α) genelleştirilmiş qusi konveks fonksiyon olduğundn [ ) Γ α) fb) f) f) f b) α Γ α) Γ α) f b) )] b ) α Ib α fx) { b ) α t α t α) { f sup α) ), f α) b) } α Γ α) Γ α) t α t α) { f sup α) ), f α) b) } t α t α) { sup f α) ), f α) b) } } b ) α α Γ α) α Γ α) [ b ) α α Γ α) α [ b )α α Γ α) Γ α) Γ α) Γ α) ] Γ α) Γ α) Γ α) yzılır. Burdn.4.) kullnılrk Γ α) t α t α) dt) α = olduğu görülür. Böylece ispt tmmlnır. Sonuç 4..6 Teorem 4..4 de α = lınırs [ ) ) b b f) f f 6 { } b ) sup f ), f b) 6 eşitsizliği elde edilir. Teorem 4..5 I, R de bir rlık olmk üzere f : I t α t α) { sup f α) ), f α) b) } ] { f sup α) ), f α) b) } { f sup α) ), f α) b) } Γ α) Γ α) Γ α) Γ α) ] fb) Ib α fx) R α bir fonksiyon I, I d bir rlık), f D α I ) ve, b I, < b için f α) C α [, b] olsun. f α), [, b] üzerinde 4

50 genelleştirilmiş qusi konveks fonksiyon ve q ise [ Γ α) ) fb) f) α Γ α) f) f b) b) )] f Γ α) b ) α Ib α fx) [ ] q { b )α Γ α) α Γ α) f sup α) ) q, f α) b) }) q q Γ α) eşitsizliği gerçeklenir. İspt. Lemm 4.., genelleştirilmiş power-men eşitsizliği ve f α) in genelleştirilmiş qusi konveksliği kullnılrk [ Γ α) ) fb) f) f) f b) α Γ α) Γ α) f b) )] b ) α Ib α fx) { b ) α t α t α t α Γ α) Γ α) f α) t ) b dt) α t α t α t Γ α) f α) t ) b dt) α t α t α t Γ α) f α) t ) } b dt) α { b ) α t α t α ) q dt) α α Γ α) Γ α) t Γ α) f α) t ) ) qdt) b α q t α t α ) q dt) α t Γ α) f α) t t α t α ) q dt) α t Γ α) f α) t b [ b ) α Γ α) Γ α) α Γ α) α Γ α) Γ α) [ b ) α α Γ α) Γ α) Γ α) Γ α) Γ α) ) ) qdt) b α q } ) qdt) α ) q ] q { f sup α) ) q, f α) b) }) q q ] q { f sup α) ) q, f α) b) }) q q 4

51 elde edilir..4.) kullnılrk Γ α) t α t α) dt) α = Γ α) Γ α) Γ α) Γ α) 4..) olduğu görülür. Böylece ispt tmmlnır. Sonuç 4..7 Teorem 4..5 in şrtlrı ltınd α = lınırs [ ) ) b b f) f f 6 }) b ) q sup { f ) q, f b) q q 6 elde edilir. ] fb) Ib α fx) 4

52 5. TARTIŞMA ve SONUÇ Arştırmnın temelini oluşturn beşinci bölümde, lokl kesirli integrlleri içeren yeni özdeşlikler verilip bu özdeşlikler yrdımıyl genelleştirilmiş qusi-konveks fonksiyonlr için yeni Simpson tipli eşitsizlikler elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlrın dh önce litertürde elde edilmiş oln sonuçlrın bir genelleştirmesi olduğu görülmüştür. Elde edilen bu yeni sonuçlr E. Set, M.Z. Srıky, N. Uygun, On New Inequlities of Simpson s type for generlized qusi convex functions, Advences in Inequlities nd Applictions, In Press [] ve E. Set, A.O. Akdemir, N. Uygun, On New Simpson type Inequlities for Generlized Qusi-convex Mppings, Abstrct nd Proceedings Book, X th Interntionl Sttics Dys Conference, 6, Giresun, Turkey [] şeklinde yyınlnmıştır. Konuyl ilgilenen rştırmcılr Lemm ve Lemm deki özdeşliklerden fydlnrk genelleştirilmiş konveksliğin frklı sınıflrı için yeni Simpson tipli eşitsizlikler elde edebilirler. 4

53 KAYNAKLAR [] Anton, H., Rorres, C. 6. Elementry Liner Algebr. Jhon Wiley nd Sonsi Inc. [] Azpeiti, A.G Convex functions nd the Hdmrd inequlity. Rev. Colombin Mt., 8): 7-. [] Byrktr, M.. Fonksiyonel Anliz, ISBN [4] Beckenbck, E.F., Bellmn, R. 96. Inequlities, Springer-Verlg, Berlin. [5] Drgomir, S.S., Perce, C.E.M Qusi-convex functions nd Hdmrd s inequlity, Bull. Austrl. Mth. Soc., 57: [6] Drgomir, S.S., Agrwl, R.P., Cerone, P.. On Simpson s inequlity nd pplictions., J. Ineq. Appl., 5, [7] Greenberg, H.J., Pierskll, W.P. 97. A review of qusi convex functions, Reprinted from Opertions Reserch, 9,7. [8] Hrdy, G., Litllewood, J.E., Poly, G. 95. Inequlities, nd Ed., Cmbridge University Press. [9] Hu, J., Xi, B.Y., Qi, F. 5. Some new inequlities of Simpson type for strongly s-convex functions, Afric Mthemtik, 6 5-6): [] Ion, D.A. 7. Some estimtes on the Hermite-Hdmrd inequlity through qusiconvex functions, Annls of Universty of Criov, Mth. Comp. Sci. Ser., 4, [] Mitrinović, D.S. 97. Anlytic Inequlities, Springer-Verlg. [] Mitrinović, D.S., Pečrić, J.E., Fink, A.M. 99. Clssicl nd New Inequlities in Anlysis, Kluwer Acdemic Publishers. [] Niculescu, C.P., Persson, L.E. 6. Convex Functions nd Their Appl., A Contemporry Approch, Springer Science Business Medi, Inc., 55 pp. [4] Pchptte, B.G. 5. Mthemticl Inequlities, Elsevier B. V., Amsterdm, Netherlnds. [5] Pečrić, J Konveksne funkcije: nejednkosti, Nučn knjig, Beogrd, 4 pp. 44