3. Ders Parametre Tahmini Lineer Tahmin Edilebilme Yeniden Parametrelendirme Lineer Parametrik Kısıtlamalar
|
|
- Hande Sözen
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 3. Ders Parametre Tahmini Lineer Tahmin Edilebilme eniden Parametrelendirme Lineer Parametrik Kısıtlamalar Bir Deney Tasarımı Modeli, X matrisi (veya bir kısmı) özel yapılandırılmış, = X β + biçiminde bir Lineer Modeldir. X : N p matrisi genellikle düşük ranklıdır, yani rank( X ) < min { N, p} Hata terimi için E( ) = 0, Cov( ) = σ I olduğunda, min Xβ = min( Xβ) ( Xβ) β β problemin çözümü olan En Küçük Kareler Tahminlerini veren normal denklemler, ˆ β = X ' X X ' N(0, σ I) olması durumunda da β vektörü ile ilgili En Çok Olabilirlik Tahminleri normal denklemlerden elde edilmektedir. X X ( X ' X ) X y= X y olduğundan normal denklemler tutarlı X y vektörü X X matrisinin sütun vektörlerinin gerdiği uzaydadır, yani X y [ X X ] Başka bir ifade ile X y R( X ' X ), yani X y vektörü X X in görüntüsü kümesindedir (range of X X, [ X p X ] = R( X ' X )) Normal denklemlerin çözümleri, z R isteksel bir vektör olmak üzere, ( ) ˆ β = ( X ' X ) X ' + I ( X ' X ) ( X ' X ) z biçimindedir. Normal denklemlerin her hangi bir ˆβ çözümü, ˆ β = GX ' olarak yazılabilir. G matrisi X ' X in bir g-inversidir.
2 Teorem: Normal denklemlerin birden çok çözümü olduğunda, ˆβ bir çözüm olmak üzere ' ˆ λβ lineer bileşiminin bir tek olması için gerek ve yeter şart = = olması λ ' λ '( X X ) X X (yani X X ( X X ) λ λ) p Başka bir ifade ile: λ, λ R olmak üzere, X X ( X X ) λ = λ X X ( X X ) λ = ' ' λβ = λ ˆ λ ˆ β Teorem: λ: p vektörünün X: n p matrisinin satır vektörlerinin gerdiği n n uzayda olması, yani λ = X ' c, c R ( λ= ' c ' X, c R ) için gerek ve yeter şart X X ( X X ) λ = λ ( λ ' = λ '( X X ) X X ) olması Başka bir ifade ile: Sonuç: X matrisinin satır ( n λ = X ' c, c R X X ( X X ) λ = λ n ( λ ' = c ' X, c R λ ' = λ '( X X ) X X ) X ' matrisinin sütün) vektörlerinin gerdiği uzay, n [ X '] = { v : v = X ' c, c R } olmak üzere, λ: p vektörü X matrisinin satır ( X ' matrisinin sütün) uzayında, yani λ [ X '] olduğunda, normal denklemlerin tüm ˆβ çözümleri için λβ ' ˆ lineer bileşimi tektir. Örnek modelinde, ij = µ + αi + ij, i =,, j =,, 3 L N M 3 3 O Q P = L N M O L NM Q P µ O P Q α P + α
3 X =, X ' = , β = L NM µ α α O QP ve normal denklemler, X ' Xβ= X ' ˆ αˆ =. αˆ = ij,. = j,. = j i = j = j = j = olmak üzere, katsayılar matrisinin rankı dir. Tutarlı olan bu denklem sisteminin birden çok (sonsuz) çözümü var matrisi için X ' X= / = / olmak üzere, G= 0 / / 3 matrisi, X ' X matrisinin bir g-inversidir. Normal denklemlerin bir çözümü,
4 olmak üzere, matrisi de ˆ αˆ = GX ' = 0 / 3 0. = / 3. =. αˆ 0 0 / 3. / / / 6 / = / 6 0 / / ( X ' X ) = / 6 / 3 0 / 6 0 / 3 X ' X matrisinin bir g-inversidir ve / / ( X ' X ) X ' = / 6 / 3 0. = / 3. / 6.. =... / 6 0 / 3. / 3. / normal denklemlerin başka bir çözümüdür. Bu iki çözüm, ˆ 0 αˆ = / 3. αˆ / 3. olmak üzere, için ˆ / 6.. αˆ = / 3. / 6.. αˆ / 3. / λ = 3 [ X ' X ] [ X '] 3 ˆ ˆ λ ' αˆ = λ ' αˆ = + αˆ αˆ..
5 Lineer Tahmin Edilebilme Tanım: = X β + modelinde, bir parametre veya parametrenin bir foksiyonu için yansız ve lineer ( nin lineer dönüşümü olan) bir tahmin edici varsa bu parametreye veya parametrenin fonksiyonuna lineer tahmin edilebilir denir. Böyle bir tahmin ediciye de lineer yansız tahmin edici denir. = X β + modelinde X : N p, ( N > p) matrisinin rankı rank( X ) = p olduğunda β parametresi lineer tahmin edilebilir, çünkü örnekleminin ( X X ) X lineer fonksiyonunun beklenen değeri, E ( X X ) X = E ( X X ) X ( X β + ) = β, β R p Model tam ranklı olmadığında, yani rank( X ) = r< p olduğunda β parametresi lineer tahmin edilebilir mi? Başka bir ifade ile, E(C ) = β, β R p olcak şekilde C: p n matrisi varmıdır? Olduğunu varsayalım. O zaman, olmalı, yani CX E(C ) = E C( X β + ) = CX β = β, β R p = I olmalı Ancak, I : p p olup, rank( CX ) r < p = rank( I) Dolayısıyla varsayımımız doğru değildir. E(C ) = β, β olacak şekilde C matrisi yoktur, yani β nın lineer yansız bir tahmin edicisi yoktur. β parametresi lineer tahmin edilemez olmasına rağmen β nın bazı R p dönüşümleri tahmin edilebilir. X β için nin kendisi veya X ( X X ) X bir lineer yansız tahmin edicidir. Gerçekten, E X ( ) = β E X ( X X ) X = X ( X X ) X Xβ = Xβ X β vektörü lineer tahmin edilebilir. X β nın her bileşeni de tahmin edilebilir.
6 Örnek: µ α, i, j modelinde, olmak üzere, ve L N M ij = + i + ij =, =,, O Q P = L N M O L NM Q P µ O P Q α P + α X ' X= α 0 µ + α µ 0 µ α µ + α α = µ α α µ + α µ + 3α+ 3α 3 3 0α = 3µ + 3α 3 0 3α 3µ 3α + vektörleri lineer tahmin edilebilir. Bunların bileşenleri olan, [6 3 3] α = 6µ + 3α+ 3α α [3 3 0] α = 3µ + 3α α [3 0 3] α = 3µ + 3α α
7 [ 0] α = µ + α α [ 0 ] α = µ + α α lineer parametrik fonksiyonlar (LPF lar) da tahmin edilebilir. β parametre vektörünün λ' β, λ R p biçimindeki lineer bileşimlerinden lineer tahmin edilebilir olanlar hangileridir? Teorem: λ: p bilinen sabitlerin bir vektörü olmak üzere λ' β tahmin edilebilir λ [ X X ] = [ X '] Bu teoremden görüldüğü gibi λβ ' lineer bileşiminin tahmin edilebilir olması için gerek ve yeter şart λ [ X '] = R( X '), yani λ vektörünün X ' veya X X matrisinin sütun uzayında ( λ vektörünün X veya X X matrisinin satır uzayında) bulunması Örnek: modelinde, L N M 3 3 O Q P = L N M O L NM Q P X ' = ,, µ O P Q α P + α ve X ' X= olmak üzere, µαα parametrelerinden hiç biri tek başına tahmin edilemez, çünkü
8 olup, µ = [ 0 0] α α α α α, α= [0 0] α α, α= [0 0] α 0 0 0,, 0 [ X '] [ X ' X ] R( X ') R( X ' X ) 0 0 ( ) parametre vektörü de tahmin edilemez, çünkü rank( X ) = < p= 3 Aşağıdaki lineer parametrik fonksiyonlar (LPF lar) tahmin edilebilirdir (yukarıda söylendi). 6µ + 3α+ 3α 3α+ 3α 6µ + 3α µ + α µ + α 4µ 7α 7α Bunların toplamı olan + + ve son ikisinin farkı olan α α de tahmin edilebilir. Lineer Parametrik Fonksiyon (LPF) 6µ + 3α+ 3α 3α+ 3α 6µ + 3α µ + α µ + α 4µ + 7α+ 7α α α Lineer ansız Tahmin Edici
9 Tanım: λ ' β, λ ' β,..., λq ' β lar lineer tahmin edilebilir ve λ, λ,..., λq vektörleri lineer bağımsız ise bunlara lineer bağımsız tahmin edilebilir parametrik fonksiyonlar denir. Lineer bağımsız tahmin edilebilir fonksiyonların sayısı X matrisinin rankı, yani X in sütun veya satır vektörlerinin gerdiği uzayın boyutu kadar rank( X ) = q ( q p N) ve λ ' βλ, ' β,..., λq ' β lar lineer bağımsız tahmin edilebilir parametrik fonksiyonlar olmak üzere, olup, { q} span λ, λ,..., λ = [ X '] = [ X ' X ] = R( X ') = R( X ' X ) { q} λβ ' tahmin edilebilir λ span λ, λ,..., λ = [ X '] = [ X ' X ] = R( X ') = R( X ' X ) En Đyi Lineer ansız Tahmin Ediciler = X β + E( ) = 0, Cov( ) σ I = modelinde ( )=r rank X ( r p< N) olduğunda r tane lineer bağımsız tahmin edilebilir parametrik fonksiyon var Gauss-Markov Teoremi : a) = X β + E( ) = 0, Cov( ) σ ˆ β= ( X X ) X = I, rank( X )= r ( r p N) < modelinde, normal denklemlerin bir çözümü (En Küçük Kareler, EKK çözümü) olmak üzere, bir λ β tahmin edilebilir parametrik fonksiyonun en iyi lineer yansız tahmin edicisi (beast linear unbiased estimator, BLUE) λβ ˆ dır ve tektir. Not: Burada en iyi ifadesi en küçük varyanslı anlamında lineer tahmin edilebilir λ β nın EKK Tahmin Edicisi denir. b) : r p için β λβ ˆ ya r n Λ Λ tahmin edilebilir bir vektör ( B R E( B) =Λβ) olsun. Λ β tahmin edilebilir vektörünün en iyi lineer yansız tahmin edicisi Λ ˆβ dır ve tektir. Not: Burada en iyi ifadesi en küçük varyans-kovaryans matrisine sahip demektir. Küçüklük, simetrik matrislerdeki sıralama bağıntısına göredir. B A pozitif tanımlı olduğunda A< B B A pozitif yarıtanımlı olduğunda A B
10 Đspat: λ β tahmin edilebilir parametrik fonksiyonu için tahmin edici, yani λβ ˆ yansız bir ( ˆ Eλβ ) = E( λ ( X ' X ) X ' ) = λ ( X ' X ) X ' E( ) = λ ( X ' X ) X ' Xβ= λβ p dir. λ β için başka lineer yansız bir tahmin edici a ' ( a R ) olsun. O zaman, olmak üzere, E( a ' ) = λβ ' Var( a ' ) = Var( a ' λβ ˆ+ λβ ˆ) = Var( a ' λβ ' ˆ) + Var( λβ ' ˆ) + C ov( a ' λβλβ ' ˆ, ' ˆ) = Var( a ' λβ ' ˆ) + Var( λβ ' ˆ) + C ov( a ', λβ ' ˆ) Var( λβ ' ˆ) ˆ ˆ = Var( a ' λβ ' ) + Var( λβ ' ) + a ' C ov(, λ '( X ' X ) X ' ) λ ' Cov( βλ ˆ) ( ) ( ) = Var( a ' λβ ' ˆ) + Var( λβ ' ˆ) + a ' C ov( ) X ( X ' X ) ' λ σλ '( X ' X ) X ' X ( X ' X ) ' λ = Var a λβˆ + Varλβˆ + σ a X X X λ σλ X X λ ( ' ' ) ( ' ) ' ( ' ) '( ' ) ˆ ˆ = Var( a ' λβ ' ) + Var( λβ ' ) + σ( a ' Xλ ')( X ' X ) λ = Var( a ' λβ ' ˆ) + Var( λβ ' ˆ) Var( λβ ' ˆ) 0 ve Teklik:?! (( ) ) Var a ˆ Var a X X X a X X X ( ' λβ ' ) = ' λ '( ' ) ' = σ ( ' ) λ = 0 a X ( X ' X ) λ= 0 a X ( X ' X ) λ= 0 a ' = λ '( X ' X ) X ' = λβ ' ˆ En küçük varyanslı yansız tahmin edici tektir. b) şıkkının ispatı da benzer yoldan yapılabilir.
11 Teorem: = X +, rank( X ) = r, E( ) = 0, Cov( ) = I modelinde, β N p σ '( I PX ) E = Nr σ (Burada P = X ( X ' X ) X ' ) X Đspat: ( ) ( ) E '( I P ) = tr ( I P ) Cov( ) + E( ) '( I P ) E( ) X X X ( X) ' '( ( ' ) ') = σ tr I P + β X I X X X X Xβ ( P ) = σ tr I X = ( Nr) σ ediciyi ˆ '( I PX ) Nr istatistiği σ ile gösterelim. '( I P ) ˆ X = Nr σ σ için yansız bir tahmin edicidir. Bu tahmin ' ˆ λβ λ '( X ' X ) X ' = istatistiği λβ ' lineer parametric fonksiyonu için en iyi lineer yansız tahmin edici (BLUE) olmak üzere, ( ) X λ '( X ' X ) X '( I P ) = λ ' ( X ' X ) X ' ( X ' X ) X ' X ( X ' X ) X ' = 0 olduğundan, her BLUE ile σ ˆ ilşkisizdir.
12 = Xβ +, N σ modelinde, paremetre vektörü, (0, I), rank( X N p)= r ( r p< N) β p, β R, σ (0, ) σ olmak üzere, ' X ' istatistiği tam ve yeterli istatsitiktir. a) ˆ β ( X X ) X = normal denklemlerin bir çözümü olmak üzere, bir λ β tahmin edilebilir parametrik fonksiyonun en çok olabilirlik tahmin edicisi λβ ˆ Bu tahmin edici düzgün en küçük varyanslı yansız (uniformly minimum variance unbiased estimator, UMVU) q n Λ Λ tahmin edilebilir bir vektör ( B R için E( B) =Λ β) b) : q p için β olsun. Λ ˆβ istatistiği edicisidir (UMVUE). Not: Küçüklük, simetrik matrislerdeki sıralama bağıntısına göredir. Λ β nın düsgün en küçük varyanslı yansız tahmin B A pozitif tanımlı olduğunda A< B B A pozitif yarıtanımlı olduğunda A B c) σ nin en çok olabilirlik tahmin edicisi '( I PX ) N '( I P ) ˆ X = Nr σ istatistiği (UMVUE). σ nin düsgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisidir
13 d) ˆβ ile σ ˆ bağımsız e) λ β tahmin edilebilir olduğunda, ( X X λ) λβ ˆ N λβ, σλ ( ' ) λβ ˆλβ σˆ λ ( X ' X ) λ t N r ( ˆ ˆ Nr; α/ ˆ Nr; α/ ˆ ) Pλβ t σ λ ( X ' X ) λ< λβ< λβ+ t σ λ ( X ' X ) λ = α f) σˆ X σ ( Nr) '( I P ) = χnr σ h) Λ : q p, rank( Λ ) = q için Λ β tahmin edilebilir bir vektör olduğunda, ( ˆ ΛβΛβ)( Λ X X Λ) ( ΛβˆΛβ) ' ( ' ) ' / q F σˆ q, Nr ( ˆ )( ) ( ˆ ΛβΛβ ' Λ( X ' X ) Λ' ΛβΛβ) / q p P β : β R, F q, Nr;α α < = σˆ
14 Örnek µ α α = ve N ( 0, σ I ) olmak üzere, c i α i, i= 4 c i j= j τ τ τ3 τ 4 τ lineer bileşimlerinden hangileri tahmin edilebilir ve bunların düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicileri nedir? Bu soruyu ele almadan önce lineer tahmin edilebilir fonksiyonlar için bir baz elde edelim ve baz fonksiyonlarının düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicilerini elde edelim. Bu amaçla modeldeki tasarım matrisi X ile gösterilsin ve β = ( µ, α, α, τ, τ, τ3, τ4 ) olsun. Buna göre model, = X β +, N ( 0, σ I ) ve rank( X ) = 5, k = 5 p = 7 n = 7,, olmak üzere k < p Model düşük ranklı X X= 0 0 0, X = ve normal denklemler (7 tane denklem), L NM O QP 8µ ˆ+ 4αˆ + 4αˆ + τˆ + τˆ + τˆ + τˆ = µ ˆ+ 4 αˆ + τˆ + τˆ + τˆ + τˆ =, i=, i 3 4 i. µ ˆ+ αˆ + αˆ + τˆ =, j=,,3,4 j. j
15 olmak üzere 5 tane lineer bağımsız parametrik fonksiyon (baz fonksiyonları) X X matrisinin satırlarından 5 tanesini seçerek oluşturulabilir, yada satırlarının lineer bileşimi olan lineer bağımsız 5 tane satır vektörü alınabilir. X X in i =, için normal denklemlerin ikinci ve üçüncü denkleminin ( matrisinin ikinci ve üçüncü satırlarının) farkı alınırsa µτ ˆ, ˆ, τˆ ˆ ˆ, τ3, τ 4 terimleri yok olmakta Benzer şekilde j=,,3, 4 için iki denklemin farkı alınırsa µ, α, α terimleri yok olmakta Birinci denklemin de gözönüne alınmasıyla, örneğin,.satırdan : 8µ + 4α + 4α + τ + τ + τ3 + τ4.satır eksi 3. satırdan : 4α 4α 4.satır eksi 5. satırdan : τ τ 4. satır eksi 6.satırdan : τ τ3 4.satır eksi 7. satırdan : τ τ 4 lineer parametrik fonksiyonları bağımsız Bunların düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicileri, µα ˆ, ˆ, αˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, τ, τ, τ3, τ 4 normal denklemlerin herhangibir çözümü olmak üzere, bu çözümlerin µ, α, α, τ, τ, τ3, τ4 ler yerine yazılmasıyla elde edilir. Ancak buna gerek yoktur. Çünkü, X X 8µ ˆ+ 4αˆ + 4αˆ + τˆ + τˆ + τˆ + τˆ = αˆ 4αˆ =.. τˆ τˆ =.. τˆ τˆ = 3..3 τˆ τˆ = 4..4 Şimdi sorumuza dönelim. Görüldüğü gibi, ciαi = cα + cα i= lineer bileşimi baz fonksiyonları cinsinden, yani baz fonksiyonlarının lineer bileşimi olarak, 4α 4α nin k, ( k R) katı olarak, cα + cα = k( 4α 4α), k R biçiminde yazılabilir. Buna göre c = c olmalı
16 4 c i τ i j= 4 ci τi = k τ τ j= k τ τ3 + k3 τ τ4 lineer bileşimi baz fonksiyonları cinsinden, ( ) + ( ) ( ) ( k, k, k3 R) biçiminde yazılabilir. Buna göre τ, τ, τ, τ R için 3 4 cτ + cτ + c3τ3 + c4τ4 = ( k + k + k3) τ kτ kτ3 k3τ4 olmalı Buna göre, c = k + k + k3 c = k c = k c3 = k3 olmalı Bu durumda da c katsayılarının toplamının sıfır olduğuna dikkat ediniz. 4 c i i j= τ tahmin edilebilir olması için Modeli yeniden göz önüne alalım. 4 c i = j= 0olmalı µ α α = τ τ τ3 τ 4 = Xβ + rank( X :8 7) = 5 olmak üzere, normal denklemler, X ' Xβ =X'
17 8 4 4 ˆ αˆ τˆ τˆ... αˆ. τˆ =. τˆ Normal denklemlerin sonsuz tane çözümü var Özel olarak, µ ˆ= 0 τˆ = 4.4 olan çözüm bizim için önemli olsun. Bu durummda, µ ˆ= 0 τˆ = τˆ = ˆ. +.4 τ= ˆ τ3= ˆ.4 α=. 4 αˆ = 4. özel çözümünü kullanarak tahmin edilebilir LPF lerin tahmin değerlerini hesaplayabiliriz. Bu özel çözüm, normal denklemlere aşağıdaki iki satırın eklenmesiyle de elde edilebilir. µ α α τ =.4 τ τ3 τ 4
18 Özel çözüm, denklem sisteminin çözümüdür. Düşük ranklı olan bir ˆ αˆ αˆ τˆ = τˆ τˆ τ ˆ = Xβ +, rank( X : N p) = k< p lineer modelinde β tahmin edilemez olup, X ' Xβ =X' normal denklemlerinin katsayılar matrisine, X ' X rank( ) p A = ( p r) p olacak şekilde satırlar ve sağ tarafa istenen değerler eklemekle, normal denklemlerin prametreler ile ilgili çözümleri üzerine yan koşullar koymakla, bir özel çözüm oluşturulabilir. Parametreler cinsinden bu özel çözümün bir anlamı olmayabilir, olabilir de. Gösterim: = X β + ( ) 0 (, X, I) E =, Cov( ) σ I βσ üçlüsü ile gösterilmektedir. = gibi bir lineer model kısaca vektörü, açıklayıcı değişken ile ilgili gözlemleri; Xβ vektörü tahmin uzayını ( ile ilgili ˆ Xβˆ = gibi tahminleri bulunduran uzayı); σ I matrisi, sıfır ortalamalı olan hata vektörünün kovaryans matrisini temsil etmektedir. N(0, σ I), N( Xβσ, I) biçiminde durumunda, model ( ) gösterilsin ve tam ranklı olup olmadığı ayrıca belirtilsin. V : n nsingüler olmayan simetrik bir matris ve V Q ' Q ( Q ', Q ' X, ) = olmak üzere, β σ V modeli ile (, Xβσ, I) modeli istatistiksel sonuç çıkarım açısından eşdeğerdir.
19 eniden Parametrelendirme rank( X ) rank( W ) r = = yani X N p = WN q N p N q olsun. Bu durumda, W= XT X = WS olacak şekilde T : p q ve : S q p matrisleri var βσ (, Xβσ, I) (, WS, I ) olmak üzere, γ= Sβ parametre dönüşümü sonucu ortaya çıkan Wγσ modeline yeniden parametrelenmiş model denir. Her iki modelde, PX = ve '( I P ) '( ) ˆ X I PW = = Nr Nr σ eniden parametrelenmiş olan (, Wγ, σ I) modelinde edilebilir ise tahmin edilebilirdir. λ ' Sβ lineer parametrik fonksiyonu (, X, I) n λγ ' tah min edilebilir l R için E( l ' ) = λγ ' = λ ' Sβ (,, I) P W λγ ' tahmin βσ modelinde (, W, I) γσ modelinde normal denklemler W ' Wγ= ˆ W ' ve ˆγ bir en küçük kareler çözümü olsun. O zaman ˆ modelinde bir en küçük kareler çözümüdür. Gerçekten, β= Tγˆ, (, Xβσ, I) ˆ X ' Xβ= X ' XTγˆ = X ' Wγˆ = X ' P = X ' P = X ' X ( X ' X ) X= X ' W X
20 Örnek: (, Xβσ, I) modeli, 0 0 β n 0 n = β + 0 β3 0 0 m m ve (, Wγσ, I) modeli, 0 0 n 0 γ n = + 0 γ 0 m 0 m olsun = W= XT, T = 0 0
21 = olmak üzere, X = WS, n 0 ˆ γ. 0 m = ˆ γ. 0 S = 0 olsun. ˆ γ. ˆ γ =. βˆ = Tγˆ = vektörü,. +. =.. X ' Xβ= ˆ X ' n + m n m ˆ β.. n n 0 ˆ β =. m 0 m ˆ β. 3 normal denklemlerinin bir çözümüdür.
22 Örnek: 0 0 (, Xβ 0 0, I) n n α = n n σ α n n3 α 3 0 γ (, Wγ 0 γ, σ I) n n = n n n 0 0 γ 3 3 modellerinde N= n+ n+ n3, p= 4, q= 3 ve X N p = WN q olmak üzere, W = XT, T = X = WS, 0 0 S = Kısıtlamalı Parametre Uzayı = β+, ( ) = 0, ( ) = σ, başka bir ifade ile X E Cov I M = (, Xβ, σ I) p p lineer modelinde katsayı vektörü β R olmak üzere, β vektörü R in p bir altkümesinde olmak zorunda, yani R in bir altkümesine kısıtlanmış olabilir. β vektörü p { β Hβ h HH h h} R Θ 0 = : = ( = ) altuzayına kısıtlansın. Lineer parametrik kısıtlama denen böyle bir kısıtlama ile birlikte, = Xβ+, E( ) = 0, Cov( ) = σ I, Hβ= h ( HH h= h)
23 durumundaki modele, kısıtlı model denir. Bu modeli M kısıtlı ile gösterelim. M : = Xβ+, E( ) = 0, Cov( ) = σ I, Hβ= h ( HH h= h) kısıtlı veya M kısıtlı : X σ I 0 = β+ v, v=, E( v) = 0, Cov( v) = h H X σ I 0 M kısıtlı =, β, h H 0 0 olarak ifade edilebilir. Kısıtlı modelde tahmin edilebilir LPF lar ( λβ ' lar) nelerdir? ' X X ' X X ' H X ' X X ' H λβ ' tahmin edilebilir λ = [ X ' H '] λ= λ H H ' X H ' H H ' X H ' H olmak üzere: * M modelinde tahmin edilebilir bir LPF M kısıtlı modelinde de tahmin edilebilirdir. * [ H '] [ X '], [ X ' H '] [ X '] edilebilir LPF lar X =, rank( ) = rank( X ) H M ve M modelde aynı kısıtlı olduğunda, tahmin X * r= rank( X ) < rank( ) H LPF lar artmakta olduğunda, kısıtlanmış modeldeki tahmin edilebilir X * rank( ) = p H olduğunda her LPF M kısıtlı modelde tahmin edilebilirdir. *[ H '] [ X '] = { 0 } ve rank( X ) + rank( H ) = r+ q= p olduğunda her LPF N p q p tahmin edilebilir olmak üzere, bu tür kısıtlamalara çok sık başvurulmakta
24 X tasarım matrisinin satırlarına, yeni satırlar eklenmektedir (eklenen satırlar öncekilerden lineer bağımsız ve kendi aralarında da lineer bağımsız). X σ I 0 M kısıtlı =, β, h H 0 0 olmak üzere, tahmin edilebilir LPF ların en iyi lineer yansız tahmin edicileri nedir? Bu derste singüler kovaryans matrisli modelleri ele almayacağımızdan bu sorunun cevabını, modelin başka bir çerçevesinde araştıralım. M kısıtlı : = Xβ+, E( ) = 0, Cov( ) = σ I, Hβ = h ( HH h = h) modelinde, kısıtı (kısıt denklemini) çözelim. β vektörü, Hβ= h eşitlik kısıtını sağlaması için p β= H h+ ( IH H ) θ, θ R herhangi bir vektör biçiminde olmalı. Böyle bir β modelde yerine yazıldığında, = Xβ+ = XH h+ X ( I H H ) θ+, E( ) = 0, Cov( ) = σ I elde edilir. XH h bilinen bir vector olmak üzere, XH h= X ( I H H ) θ+, E( ) = 0, Cov( ) = σ I gibi bir modele ulaşılır. Bu, θ parametresine göre kısıtı olmayan bir modeldir. M kısıtlı = ( XH h, X ( I H H ) θ, σ I) H yerine H '( HH ') genelleştirilmiş inversinin yazılmasıyla model, ve H '( HH ') H PH ( XH '( HH ') h, X ( I H '( HH ') H ) θ, σ I) = olmak üzere, ' M kısıtlı ( '( ') XH HH h, X ( I PH ' ) θ, σ I) = biçiminde ifade edilmiş olur. Bu modelde, nın BLU tahmin edicisi, Xβ = XH h+ X ( I H H ) θ Xβ = XH h+ X ( I P ) θ = XH h+ P ( XH '( HH ') h) kısıtlı H ' kısıtlı X ( IP H ')
25 olup, ( ) kısıtlı X ( I P H ') X ( I P H ') Cov( Xβ ) = Cov P ( ) = σ P (, Xβ, σ I) M = modelinde Xβ nın BLU tahmin edicisi, Xβ= P ( ) X olup, Cov( X β) = σ PX ve Cov( X β ) = σ kısıtlı PX ( IP ') σ P ( ) H X= Cov Xβ Teorem : [ A ] [ B ] P P (D.Sengupta and S.R.Jammalamadaka, n a n b A B (003) Linear Models, sayfa 47) λ ' β tahmin edilebilir bir LPF olmak üzere, bunun M = (, Xβ, σ I) modelindeki BLU tahmin edicisi λβ ' = λβ ' ˆ ile, M kısıtlı : = Xβ+, E( ) = 0, Cov( ) = σ I, Hβ = h ( HH h = h) M kısıtlı = ( XH h, X ( I H H ) θ, σ I) kısıtlı modeldeki BLU tahmin edicisi λβ ' farklı ve kısıtlı Varλβ ' Varλβ ' ˆ (, X, I) ( ) ( ) kısıtlı Nuisance Parametreler β σ modelinde, β parametre vöktöründeki bileşenlerden sadece bir kısmı için istatistiksel sonuç çıkarım yapmak isteyebiliriz. Xβ= Xβ+ X β, X : N p, X : N p, X : N p p+ p = p, β : p, β : p olmak üzere, β vektöründeki parametreler ile ilgilendiğimizde, β vektöründeki parametrelere nuisance parametreler denir. Nuisance
26 sözcüğünün sözlük anlamı sıkıntı veren dir. β nin modelde bulunması, yani (, Xβ, σ I) gibi bir model yerine (, Xβ X β, σ I) kullanılması sonuç çıkarım açısından daha uygun olabilir. (, Xβ X β, σ I) çıkarımı (( I PX ), ( I PX ) Xβ, σ ( I PX )) + modelinin + modelinde sadece β ile ilgilendiğimizde, sonuç modelinde (singüler model) yapabiliriz. Buna göre, λ ' β gibi bir LPF un tahmin edilebilir olması için ' ' gerek ve yeter şart λ X( I PX ) = R( X( I PX )) olması Örnek: µ α α = τ τ τ3 τ 4, N ( 0, σ I ) modelinde sadece α, α ile ilgilendiğimizde, β τ α =, β= τ α τ 3 τ = 0 = , X, X >> X=[ ones(4,) zeros(4,);zeros(4,) ones(4,)] X = 0 0 0
27 >> X=[ones(8,) kron(ones(,),eye(4))] X = >> I_PX=eye(8)-X*pinv(X) >> X'*(I_PX) α β= α ile ilgindiğimizde, tahmin edilebilir bir LPF, α ' = [ ] = 0.5 α 0.5 α α λ β >> X'*(eye(8)-X*pinv(X)) >> X'*(eye(8)-X*pinv(X)) ans =
28 τ β= τ τ 3 τ 4 ile ilgilendiğimizde, tahmin edilebilir bağımsız LPF ler τ τ 3 [ ] [ ] τ τ 4 τ τ τ 3 [ ] Bunların toplamı olan LPF [ ] 4 τ 4 τ τ τ 3 τ 4 τ τ = 0.5τ + 0.5τ + 0.5τ 0.75τ τ 3 τ 3 4
7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar
7. Ders Genel Lineer Modeller Singüler Modeller, Yanlış veya Bilinmeyen Kovaryanslar, Đlişkili Hatalar Y = X β + ε Lineer Modeli pekçok özel hallere sahiptir. Bunlar, ε nun dağılımına, Cov( ε ) kovaryans
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
Detaylı3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1
3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki
DetaylıEkonometri I VARSAYIMLARI
Ekonometri I ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİNİN VARSAYIMLARI Hüseyin Taştan Temmuz 23, 2006 İçindekiler 1 Varsayım MLR.1: Parametrelerde Doğrusallık 1 2 Varsayım MLR.2: Rassal Örnekleme 1 3 Varsayım MLR.3:
DetaylıLineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI
DetaylıİSTATİSTİKSEL DARALTICI (SHRINKAGE) MODEL VE UYGULAMALARI * A Statistical Shrinkage Model And Its Applications*
Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:010 Cilt:-1 İSTATİSTİKSEL DARALTICI (SHRINKAGE) MODEL VE UYGULAMALARI * A Statistical Shrinkage Model And Its Applications* Işıl FİDANOĞLU İstatistik Anabilim Dalı Fikri
Detaylı1: DENEYLERİN TASARIMI VE ANALİZİ...
İÇİNDEKİLER Bölüm 1: DENEYLERİN TASARIMI VE ANALİZİ... 1 1.1. Deneyin Stratejisi... 1 1.2. Deneysel Tasarımın Bazı Tipik Örnekleri... 11 1.3. Temel Kurallar... 16 1.4. Deneyleri Tasarlama Prensipleri...
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Detaylı1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;
DetaylıAppendix C: İstatistiksel Çıkarsama
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
DetaylıOLS Yönteminin Asimptotik (Büyük Örneklem) Özellikleri SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) Asimptotik Özellikler: Tutarlılık. Asimptotik Özellikler
1 SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge
Detaylı13. Karakteristik kökler ve özvektörler
13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
Detaylı9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı
9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Detaylı. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer
11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
Detaylıİçindekiler. Ön Söz... xiii
İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
DetaylıDOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ. Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci
DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Durağan ARIMA Modelleri: Otoregresiv Modeller AR(p) Süreci Tek Değişkenli Zaman Serisi Modelleri Ekonomik verilerin analizi ile ekonomik değişkenlerin gelecekte alabilecekleri
DetaylıMIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
Detaylı6. Ders. Genelleştirilmiş Lineer Modeller (Generalized Linear Models, GLM)
6. Ders Genelleştirilmiş Lineer Modeller (Generalized Linear Models, GLM) Y = X β + ε Lineer Modeli pek çok özel hallere sahiptir. Bunlar, ε nun dağılımına (bağımlı değişkenin dağılımına), Cov( ε ) kovaryans
DetaylıNazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =
Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi
İstatistiksel Kavramların Gözden Geçirilmesi İstatistiksel Çıkarsama Ekonometri 1 Konu 3 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıRastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler
Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde
DetaylıLeyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
Detaylıx 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a
Detaylıaltında ilerde ele alınacaktır.
YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmin Yöntemleri 1 NOKTA TAHMİN YÖNTEMLERİ Şimdiye kadar verilmiş tahmin edicilerin sonlu örneklem ve asimptotik özelliklerini inceledik. Acaba bilinmeyen anakütle parametrelerini
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
Detaylı3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
DetaylıŞayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir.
GAZI UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY INDUSTRIAL ENGINEERING DEPARTMENT ENM 205 LINEAR ALGEBRA COURSE ENGLISH-TURKISH GLOSSARY Linear equation: a 1, a 2, a 3,.,a n ; b sabitler ve x 1, x 2,...x n ler değişkenler
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıDERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BİLGİÇ. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 2015
www.matematikce.com 'dan indirilmiştir. LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 5 e-posta: h_bilgic@hotmail.com ÖNSÖZ
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıHESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR
HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıSIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS)
SIRADAN EN KÜÇÜK KARELER (OLS) YÖNTEMİNİN ASİMPTOTİK ÖZELLİKLERİ Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge
DetaylıMeslek lisesi ve devlet lisesine giden N tane öğrenci olduğu ve bunların yıllık okul harcamalarına ait verilerin olduğu varsayılsın.
KUKLA DEĞİŞKENLİ MODELLER Bir kukla değişkenli modeller (Varyans Analiz Modelleri) Kukla değişkenlerin diğer kantitatif değişkenlerle alındığı modeller (Kovaryans Analizi Modeller) Kukla değişkenlerin
Detaylı3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.
C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(
DetaylıÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri
ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0
DetaylıCh. 12: Zaman Serisi Regresyonlarında Ardışık Bağıntı (Serial Correlation) ve Değişen Varyans
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri II Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 12: Zaman Serisi Regresyonlarında
Detaylı9. ARDIŞIK BAĞIMLILIK SORUNU (AUTOCORRELATION) 9.1. Ardışık Bağımlılık Sorunu Nedir?
9. ARDIŞIK BAĞIMLILIK SORUNU (AUTOCORRELATION) 9.1. Ardışık Bağımlılık Sorunu Nedir? Ardışık bağımlılık sorunu, hata terimleri arasında ilişki olmadığı (E(u i,u j ) = 0, i j) varsayımının geçerli olmamasıdır.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıGEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1
GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir
Detaylı2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
DetaylıELE401/ /17 GÜZ ÖDEV 2 - ÇÖZÜMLER
ELE40/50 06/7 GÜZ ÖDEV - ÇÖZÜMLER -) Lyapunov kararlılığı için = 0, V( ) = 0 0, V( ) > 0 biçiminde bir Lyapunov fonksiyonu 0, V( ) 0 eşitsizliğini sağlanmalıdır. Asimptotik kararlılık için 0, V( ) < 0
Detaylı4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ DAĞILIM FONKSİYONLARI KONVOLÜSYONLARININ MONTE CARLO TAHMİNİ VE BAZI UYGULAMALARI
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ DAĞILIM FONKSİYONLARI KONVOLÜSYONLARININ MONTE CARLO TAHMİNİ VE BAZI UYGULAMALARI Ömer ALTINDAĞ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 212 Her hakkı
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıDoğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations
Doğrusal Denklemler Sis./Sys. of Linear Equations Uygulama alanı: Lineer olan her sistem Notation: Ax 1 = b Augmented [A l b] Uniqueness A = 0, A nxa Bu şekilde yazılan sistemler Overdetermined (denklem
DetaylıGrassmann Uzaylarının Geometrisi
Grassmann Uzaylarının Geometrisi İzzet Coşkun University of Illinois at Chicago 5 Ağustos, 2010 V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım. V nin n-boyutlu bir vektörler uzayı olduğunu varsayalım.
DetaylıÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.
ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu
DetaylıCh. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik
DetaylıY=X β + ε biçiminde olup bu modellerde tek çözüm elde edilememektedir. Çünkü bu modelden elde edilen
NİTEL D EĞİŞKE N Lİ R A N K I T A M O L M A Y A N MODELLERİN GENELLEŞTİRİLMİŞ TERS MATRİSLERLE ÇÖZÜMÜ VE SOSYAL BİLİMLERDEKİ MATEMATİK ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ ÜZERİNE BİR UYGULAMA * Prof.Dr. Adnan Mazmanoğlu,
DetaylıBahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +
DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
DetaylıYTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları
Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
DetaylıCebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıMatematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2
Dersin Adı Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Dili Almanca Dersi Veren(ler) Yrd. Doç. Dr. Adnan
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıÖğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT
Ünite 10: Regresyon Analizi Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT 10.Ünite Regresyon Analizi 2 Ünitede Ele Alınan Konular 10. Regresyon Analizi 10.1. Basit Doğrusal regresyon 10.2. Regresyon denklemi
DetaylıDİNAMİK PANEL VERİ MODELLERİ. FYT Panel Veri Ekonometrisi 1
DİNAMİK PANEL VERİ MODELLERİ FYT Panel Veri Ekonometrisi 1 Dinamik panel veri modeli (tek gecikme için) aşağıdaki gibi gösterilebilir; y it y it 1 x v it ' it i Gecikmeli bağımlı değişkenden başka açıklayıcı
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıMotivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss
Motivasyon Matrislerde Satır İşlemleri Eşelon Matris ve Uygulaması Satırca İndirgenmiş Eşelon Matris ve Uygulaması Matris Tersi ve Uygulaması Gauss Jordan Yöntemi ve Uygulaması Performans Ölçümü 2 Bu çalışmada,
DetaylıBu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok
Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği
DetaylıKuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010
Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010 Kuantum grubu örgülü bir Hopf cebridir. Cebir Tanım Bir k-vektör uzayı A için, µ : A A A ve η : k A birer k-doğrusal
DetaylıT.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ 2X2 BLOK MATRİSLERDE MOORE-PENROSE İNVERSLER İÇİN BAZI YENİ GÖSTERİMLER TUĞÇE TOPAL YÜKSEK LİSANS TEZİ
T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ 2X2 BLOK MATRİSLERDE MOORE-PENROSE İNVERSLER İÇİN BAZI YENİ GÖSTERİMLER TUĞÇE TOPAL YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 2016 ÖZET 2X2 BLOK MATRİSLERDE MOORE-PENROSE
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı9.14 Burada u ile u r arasındaki açı ve v ile u θ arasındaki acının θ olduğu dikkate alınarak trigonometrik eşitliklerden; İfadeleri elde edilir.
9.14 Burada u ile u r arasındaki açı ve v ile u θ arasındaki acının θ olduğu dikkate alınarak trigonometrik eşitliklerden; İfadeleri elde edilir. 9.15 Bu bölümde verilen koordinat dönüşümü uygulanırsa;
DetaylıDoğrusal Bağlanım Modeline Dizey Yaklaşımı
Doğrusal Bağlanım Modeline Dizey Yaklaşımı Yrd Doç Dr A Talha YALTA Ekonometri Ders Notları Sürüm,0 (Ekim 011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 30
Detaylısonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.
Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl
DetaylıARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):
YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta
Detaylı14 Ekim Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi
DEĞİŞEN VARYANS Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri I: Değişen Varyans
DetaylıBÖLÜM 1: YAşAM ÇÖzÜMLEMEsİNE GİRİş... 1
ÖN SÖZ...iii BÖLÜM 1: Yaşam Çözümlemesine Giriş... 1 1.1. Giriş... 1 1.2. Yaşam Süresi... 2 1.2.1. Yaşam süresi verilerinin çözümlenmesinde kullanılan fonksiyonlar... 3 1.2.1.1. Olasılık yoğunluk fonksiyonu...
DetaylıNormallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi
Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi EO Açıklayıcı Örnekler Ekonometri 1 Konu 14 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike
DetaylıA İSTATİSTİK. 1. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir.
. nc r, n tane nesneden her defasında r tanesinin alındığı (sıralama önemsiz) kombinasyonların sayısını göstermektedir. Buna göre, n C r + n C r toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) n + C r B)
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıDOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan
Detaylı