Çözüm 1. yol 36 bölenleri 1,2,3,4,6,9,12,18,36. Örnek...1 : Obeb( 60, 15) kaçtır? Örnek...2 : OBEB( 60, 36) kaçtır? Çözüm : ÖKLİD ALGORİTMASI

Transkript

1 EBOB İkisi birden sıfır olmayan a ve b tam sayılarının ikisini birden bölen en büyük pozitif tam sayıya bu sayıların en bü yük ortak böleni (EBOB -eski OBEB-) denir ve EBOB(a,b)=x biçiminde gösterilir. EBOB(,6)=?. yol 6 bölenleri,,,4,6,9,,8,6 bölenleri,,,4,6,8,,.yol yol 6 6=. =. obeb(6,)=.= ( işaretliler) obeb(6,)=. (Ortak en büyük çarpanlar) EBOB ÖZELLİKLERİ ) EBOB(a,b)=EBOB(b,a)=EBOB( a,b) ) EBOB(a,b)= ise a ile b aralarında asal sayıdır. ) EBOB(a,b) min{ a, b } ÖKLİD ALGORİTMASI A ve B sayılarının obeb' ini bulmak için Öklid algoritmasını kullanabiliriz. Bu algoritm a da Adım ) Büyük sayı küçük sayıya bölünür. Adım ) Kalan ise obeb o bölm enin bölenidir. Adım ) Kalan değilse, ilk bölmenin böleni kalanına tekrar bölünür ve kalan olana kadar böyle yapılır. Sıfır kalanına ulaşıl ın ca ad ım ) gereği ebob bulunmuş olur. Örnek... : Obeb( 6, 5) kaçtır? Öklit algoritmasına göre, olduğunda n, OBEB(6,5)=5 tir. Burada 6=4.5+ obeb (6,5)=5 Örnek... : OBEB( 6, 6) kaçtır? : Öklit algoritmasına göre; Adım ) Adım ) Adım ) OBEB(6,6)= dir. 6 A K B C 4) EBOB(a,b)=EBOB(a,b+k.a) ( Bu özellik ve uygulamaları 4. sayfada) İki sayının en büyük ortak bölenini bu yoldan farklı olarak Öklid algoritması ile de bulabiliriz. Şimdi bunu öğrenelim. (ayrıca buradaki işlemlerle obeb(6,6)=obeb(6,)=obeb(,) =obeb(,)= olduğunun farkına varınız.bu kısım 4. sayfada detaylı incelenecektir).. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /5

2 Örnek... : Obeb(4,8) kaçtır? Öklit algoritmasıyla hesapla yın ız. 4 ax+by=c=obeb(a,b) denkleminde (x,y) tam sayı ikilisi leri öklit algoritmas ıyl a bulunabilir Örnek...5 : Ebob(48,)=x.48+ y. lerinden bir tanesini öklit algoritm asıyla bulunuz. (,) Öklit algoritmasıyla denklemi çözerken algoritmayı bitirdikten sonra, sondan ikinci adımdan itibaren, alttan yukarı doğru k alanlar yaln ız bırak ıl arak sonuca gidilir. Örnek...4 : Obeb(6,9) kaçtır? Öklit algoritmasıyla hesapla yın ız. 6 48=.+8 (burada 8=48-. yazılabilir) =.8+ (burada =-.8 yazılabilir) 8=.+6 (burada 6=8-. yazılabilir) =.6+ (obeb adım ı obeb=6) Burada ebob bulunan son adım ı çık arıp alttan yukarı doğru gidersek önce 6 yı yazalım 6=8-. şimdi yerine =-.8 yazalım 6=8-.(-.8)=.8-. (düzenledik) şimdi 8 yerine 48-. ya zalım 6=.(48-.)-.=.48-. (düzenledik) 6=.48-. ise buradan da x= y= - lerden biri olarak elde edilebilir... Sınıf Matematik Konu Anlatımı /5

3 Örnek...6 : Ebob(8,96)= 96.x+8.y=8 lerinden bir tanesini öklid algoritmasıyla bulunuz. (-,) Örnek...7 : 64.x+. y= Ebob(,64) lerinden bir tanesini öklit algoritm asıyla bulunuz. (-,) Öklit algoritmasıyla denklemi çözerken algoritmayı bitirdikten sonra, sondan ikinci adımdan itibaren, alttan yukarı doğru kalanlar ya lnız b ırak ılarak sonuca gidilir. 8=.96+ (burada =8-.96) 96=.+84 (burada 84=96-.) =.84+8 (burada 8=-.84 ) 84=.8+ obeb adımı Burada ebob bulunan son adım ı çıkarıp alttan yukarı doğru gidersek önce 6 yı yazalım 8=-.84 şimdi 84 yerine 96-. yazalım 8=-.(96-)=.-.96 ( düzenledik) şimdi yerine yazalım 8=.(8-.96)-.96= ( düzenledik) 8= ise buradan da x=- y= lerden biri olarak elde edilebilir. BİLGİ a, b ve c tam sa yılar olm ak üzere, a.x+b.y=c eşitliğini sağlayan (x,y) ikililerinden biri (β, θ) ise (β+b, θa) ikilisi de bu eşitliği sağlar. Yani x bileşeni y nin katsayı kadar artarken (azalırken), y bileşeni x in katsayısı kadar azalır (artar). Dolayısıyla (-,) dışında bir de (5,-94) olur.. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /5

4 ÖZELLİK 4 EBOB(a,b)=EBOB(a,b+k.a) yani iki sayının ebobu ile bu sayılardan herhangi biri ile diğerinin k katının toplamı veya farkı, aynı ebob değerine sahiptir. Yani Adım sayılardan birini sabit tutulur (değiştirilmez) Adım sabit tutulan sayının k katı diğer sayıya eklenir veya çıkarılır ve yeni sayı bulunur Adım Sabit tutulan sayı ile yeni sayının ebobu ile baştaki ebob aynıdır. (ebob değişmedi) Örneğin obeb (6,)=obeb(6,96) Nasıl oldu?.sayı 6 ve.sayı düşünüldü, birinci sayı sabit tutulup bu sayının katı.sayıya eklendi. Veya benzer şekilde obeb (6,)=obeb(,) yazılabilir.sayıyı 6 ve.sayıyı düşündük, ikinci sayıyı değiştirmedik, bu sayının katını.sayıdan çıkardık. Obeb(6,)=obeb(6,96)=obeb(,) Genelde de sayıların birbirinden katını çıkartıp, küçülterek obeb i elde ederiz. Bu yol izlenirken sayılardan biri yapılana kadar işlem devam eder Şimdi öklid algoritmasının başka bir ifade şekli olan bu yola bakalım Örnek...8 : obeb(64,6)=? obeb(64,6)=obeb(64-.6,6)=obeb(8,6) =obeb(8,6-.8)=obeb(8,8)=obeb(8-.8,8) =obeb(4,8)=obeb(4,8-.4)=obeb(4,)=4 kısaca obeb(64,6)=obeb(8,6)=obeb(8,8) =obeb(4,8)=obeb(4,)=4 ayrıca önceden 64=.6+8 6=.8+8 8=.8+4 8=.4+ yazdığımızı da unutmayalım. Burada altı çizilmiş sayıların ebob u aynıdır Örnek... : x bir tam sayı olmak üzere, obeb(8x+5,x- ) kaç farklı değer alır? obeb(8x+5,x- )=obeb(x+9,x-) =obeb(x+9,x-)=obeb(,x-) bu sayı da in böleni olmalıdır. Dolayısıyla veya olabilir ( değer) başka bir ifadeyle 8x+5=.(x-)+x+9 x-=.(x+9)+x- x+9=(x-)+ x-=?.+? buradan x- ile in ebobuna baktığım ızı anlıyoruz Örnek... : x bir tam sayı olmak üzere, obeb( x+6,x+ ) kaç farklı değer alır? obeb(x+6,x+ )=obeb(,x+) bu sayı da un böleni olmalıdır. Dolayısıyla obeb,,5, olabilir gibi görünüyor ama verilen sayılardan x+ sayısı tek olduğundan obeb veya 5 olur. ( değer) Örnek... : x bir tam sayı olmak üzere, obeb(8x+6,4x-6 ) kaç farklı değer alır? obeb(8x+6,4x-6 )=obeb(,4x-6) bu sayı da nin böleni olmalıdır. Dolayısıyla obeb,,,4,6 veya olabilir gibi görünüyor ama verilen sayılardan ikisi de çift olduğundan obeb veya olamaz, ayrıca 8x+6, 4 ün katı olamaz. Obeb veya 6 olabilir. ( değer alır) Örnek...9 : obeb(4,8)=? obeb(4,8)=obeb(4-.8,8)=obeb(56,8)= obeb(56,8-.56)=obeb(56,4)=obeb(56-4.4,4) =obeb(,4)=4 kısaca obeb(4,8)=obeb(56,8)=obeb(56,4) =obeb(,4)=4.. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 4/5

5 Örnek... : x+8 kesrinin sadeleştirilebilir olmasını 7x+5 sağlayan x tamsayılarını bulunuz? obeb(7x+5,x+8)=(x+9,x+8) =obeb (x+9,-9) bu ifade daha ileri gitmez ve madem ki kesir sadeleşiyor, obeb 9 sayısının böleni olmalıdır. 9 sayısı ise asal olduğundan obeb(7x+5,x+8)=(x+9,-9)=9 olmalı demek ki x+9=9.k ve x=9.k-9 biçiminde bir sayıdır. Ç={ x :x=9k9,k Z } ={...-9,,9,...,9k-9,...} not burada Örnek...4 : x+7,x+5 sayılarının aralarında asal olmamasını sağlayan en küçük üç basamaklı x çift tamsayısı kaçtır? obeb(x+7, x+5) olmalı obeb(x+7, x+5)=obeb(x-8,x+5) =obeb(x-8,x+)= obeb(-4,x+) ve bu obeb değeri den farklı,7 veya 4 olabilir (4 ün bölenleri) x+=k x+=7k x+ = 4k biçimlerinden biri olm al ıdır. x+=k ise x=k- ve k ya değerler verilerek x sa yısı tüm tek sa yılar olabilir x+=7k ise x=7k- ve burada k 7 verilirse en küçük basamaklı çift x sayısı 6 olarak bulunur... Sınıf Matematik Konu Anlatımı 5/5