DERS 2. Çok Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri. Gauss-Jordan Yoketme Yöntemi

Transkript

1 DES Çok Değişkenli Doğrusl Denklem Sisemleri Guss-Jordn Yokeme Yönemi.. Çok Değişkenli Doğrusl Denklem Sisemleri. Dh önce de beliriğimiz üzere, iki değişkenli iki denklemden oluşn denklem sisemleri düşünebileceğimiz gibi değişken sısı ve denklem sısı ikiden fzl oln doğrusl denklem sisemleri de düşünebiliriz. Gerçeken, günlük h krşımız çıkn problemlerden pek çoğu çok değişkenli doğrusl denklemlerden oluşn denklem sisemleri ile modellenebilir. Bundn böle rışmlrımızı çok değişkenli doğrusl denklem sisemleri üzerinde ürüeceğiz. Değişken sısı üç ve dh z ise, değişkenler için genellikle,, z hrfleri kullnılmkl berber, rışmlrı en genel biçimde pmk için değişkenleri numrlmk dh elverişli olmkdır:,,,... gibi. Tnım.,,..., n, b olmk üzere... n n b ifdesine bir n-değişkenli doğrusl denklem denir.,,..., n ksılrı, b sısın d sğ rf sbii denir. sılrın denklemin Tnım. Verilen c, c,..., c n sılrı için c c n c n b ise, (c, c,..., c n ) sırlı n-lisine... n n b denkleminin bir çözümü denir. Tnım. ij, b i, i m, j n olmk üzere n değişkenli m denklemden oluşn m m L L L L n n mn n n n b b b m...

2 Ders denklemler opluluğun bir doğrusl denklem sisemi denir. ij ksılrı, b i sılrın d sğ rf sbileri denir. sılrın sisemin n-değişkenli bir doğrusl denklem siseminin bir çözümü denince, o sisemdeki denklemlerden her birinin çözümü oln bir sırlı reel sı n-lisi nlşılır. Tnım. Çözüm kümeleri nı oln iki doğrusl denklem sisemine denk sisemler denir. İki değişkenli doğrusl denklem sisemleri için gördüğümüz okeme önemi, dh çok değişkenli doğrusl denklem sisemleri için de nen geçerlidir. Bir denklem sisemini çözmek için şğıdki eoremde ifde edilen A, B, C işlemleri kullnılrk o siseme denk nck çözümü dh kol bir kım denklem sisemleri zinciri elde edilerek dım dım çözüme ulşılır. Teorem. Aşğıdki işlemlerden her biri, ugulndığı bir denklem sisemini on denk oln bir denklem sisemine dönüşürür: A. İki denklemin erini değişirmek. B. Bir denklemi sıfırdn frklı bir sı ile çrpmk. C. Bir denklemin bir sbile çrpımını bşk bir denkleme (rf rf) oplmk. İki değişkenli doğrusl denklem sisemleri için gözlemlediğimiz, doğrusl denklem sisemleri ile mrisler rsındki ilişki, çok değişkenli doğrusl denklem sisemleri için de geçerlidir. n-değişkenli m denklemden ibre oln m m L L L n n L mn n n b b n b doğrusl denklem siseminin ksılrı ve sğ rf sbilerinden oluşn m m m K K K K n n mn b b K bm mrisine bu sisemin ilveli mrisi denir. Dikkâ edilirse, n-değişkenli m denklemden oluşn sisemin ilveli mrisi bir m (n) mrisir. Son süundn önceki düşe çizgi, sğ rf sbilerini diğer girdilerden ırmk için konmuşur. Bir doğrusl denklem siseminin, ilveli mrisince mmen belirlendiğine dikk ediniz.

3 Çok Değişkenli Doğrusl Denklem Sisemleri, Guss-Jordn Yokeme Yönemi. Bu nokd, okuucunun ilveli mrisi verilen bir denklem sisemini ve verilen bir doğrusl denklem siseminin ilveli mrisini zmk hususund birkç lışırm pmsı rrlı olckır. Doğrusl denklem sisemlerini okeme önemi ile çözerken ukrd ifede eiğimiz eoremdeki işlemleri ugulrız. Bu işlemler bir doğrusl denklem sisemine ugulndığınd, o sisemin ilveli mrisi üzerinde, sırsıl, şğıdki sır işlemlerine krşılık gellirler: İki sırın erini değişirmek. Bir sırı sıfırdn frklı bir sı ile çrpmk. Bir sırın bir sbile çrpımını bşk bir sır oplmk. Tekrr nımslım ki bir sırı bir sbile çrpmk, o sırın üm girdilerini o sbile çrpmk demekir. Bir sırı bşk bir sır oplmk, o sırın her girdisini diğer sırın krşılık gelen girdisine oplmk demekir. Mrisler üzerinde sır işlemleri için kullndığımız göserimleri de nımslım: İki sırın erini değişirmek. i j (i-inci sır ile j-inci sırın erlerini değişirmek) Bir sırı sıfırdn frklı bir sı ile çrpmk. c i i (i-inci sırı sıfırdn frklı c sbii ile çrpmk) Bir sırın bir sbile çrpımını bşk bir sır oplmk. c i j j (i-inci sırı c sbii ile çrpıp j-inci sır oplmk) İlk dersimizde, bsi bir örnek üzerinde, denklem siseminin ilveli mrisine herhngi bir sır işlemi ugulnınc elde edilen mrisin o siseme denk oln bir doğrusl denklem siseminin ilveli mrisi olduğunu gözlemlemişik. Bu gözlemden, bir denklem sisemini çözmek için, o sisemin ilveli mrisine ugun sır işlemleri ugulnrk, krşılık gelen denklem siseminin çözüm kümesinin hemen belirlenebileceği bsi bir mris elde emenin rrlı olcğı sonucunu çıkrmışık. Bsi mris ile ne sölenmek isendiğinin bu dersimizin konusu olcğını belirerek ilk dersimizi biirmişik.

4 Ders.. İndirgenmiş Mrisler. Bir doğrusl denklem sisemini çözmek için o sisemin ilveli mrisine bzı sır işlemleri ugulrk ilveli mrisi öle bir mrise dönüşürmek isioruz ki, dönüşürülen mris, çözümünü kolc belirleebileceğimiz bir doğrusl denklem siseminin ilveli mrisi olsun. İşe ilk dersimizde bsi mris ile sölenmek isenen bu idi. O hlde, hngi mrisler çözüm kümesi kolc belirlenebilecek bir doğrusl denklem siseminin ilveli mrisi olbilir? Şimdi vereceğimiz nımı bu bğlmd değerlendiriniz. Tnım. Aşğıdki dör koşulu sğln mrise indirgenmiş mris denir:. Tüm girdileri sıfır oln üm sırlr, sıfırdn frklı girdisi bulunn sırlrdn sonr gelir.. Her sırın soldn iibren sıfırdn frklı ilk girdisi dir.. Bir sırın sıfırdn frklı ilk girdisinin bulunduğu süundki diğer girdilerin hepsi sıfırdır.. Bir sırın sıfırdn frklı ilk girdisinin bulunduğu süun, kendisinden önceki sırın ilk girdisinin bulunduğu süunun sğınddır. Örnek. bir indirgenmiş mrisir. Örnek. indirgenmiş mris değildir. Örnek. bir indirgenmiş mrisir. Örnek. bir indirgenmiş mris değildir. Bir mris indirgenmiş mris değilse, nımdki koşullrdn bzılrını sğlmıor demekir. Örnek deki mrise birinci sırının soldn iibren ilk girdisi olduğundn nımdki ikinci koşul sğlnmmkdır. Bununl berber, ugun bir sır işlemile, bu mrisi birinci sırının ilk girdisi oln bir mrise dönüşürerek indirgenmiş olm dh kın bir mris elde edebiliriz: iki sırın erini değişirmek gibi. Elde edilen mris ine de indirgenmiş mris değildir. Şimdi, sözünü eiğimiz mris üzerinde bzı sır işlemleri ugulrk bir indirgenmiş mris elde edeceğiz. Her dımd ugulnn sır işleminin nımdki hngi koşul ile ilgili olduğunu görmee çlışınız.

5 Çok Değişkenli Doğrusl Denklem Sisemleri, Guss-Jordn Yokeme Yönemi. Yukrıdki örneklerden sonuncusu için de nı şe geçerlidir: Bir mris, frklı ür ve sırd sır işlemleri ugulnrk indirgenmiş mrise dönüşürülebilir, nck sonund elde edilen indirgenmiş mris nıdır. Örneğin ukrıd indirgenmiş mrise dönüşürdüğümüz mrisi için ordkilerden frklı sır işlemleri ugulbilir ve nı indirgenmiş mrise ulşbiliriz: Siz de dh frklı ollr izleerek indirgenmiş mrise ulşbilirsiniz. Sonund nı indirgenmiş mrisi elde edersiniz.

6 Ders Acb her mris indirgenmiş biçime dönüşürülebilir mi? Bu sorunun nıı olumludur ve şğıdki eoremde ifde edilmişir. Teorem. Her mris sonlu sıd sır işlemi ile ek ürlü belirli bir indirgenmiş mrise dönüşürülebilir. Tnım. Bir mrisen sonlu sıd sır işlemi ile elde edilen ek ürlü belirli indirgenmiş mrise o mrisin indirgenmiş biçimi denir. Birkç örnek verelim: Örnek. bir indirgenmiş mrisir; bu mris, in indirgenmiş biçimidir. Örnek. mrisi indirgenmiş mris değildir; bu mrisin indirgenmiş biçimi mrisidir. Örnek. mrisi indirgenmiş mris değildir. Bu mrisin indirgenmiş biçimi şğıdki gibi bulunbilir: En sond elde edilen mris indirgenmiş biçimdedir. Bu mrisi elde emek için ugulnn sır işlemleri sırsıl şöledir: ilk dımd, birinci sır ile çrpılıp ikinci sır, sonr d - ile çrpılıp üçüncü sır oplnmışır; ikinci dımd, ikinci sır - ile çrpılmışır; son dımd, ikinci sır - ile çrpılıp birinci sır oplnmışır. Kuşkusuz, dh frklı sır işlemleri ile de nı sonuc ulşılbilir. Örnek. mrisinin indirgenmiş biçimini bullım:

7 Çok Değişkenli Doğrusl Denklem Sisemleri, Guss-Jordn Yokeme Yönemi. En sondki mris, verilen mrisin indirgenmiş biçimidir... Guss - Jordn Yokeme Yönemi. İndirgenmiş mris kvrmın denklem sisemlerinin çözümünü rışırken vrdığımızı unumınız. İndirgenmiş biçimde bir ilveli mrise ship oln bir denklem siseminin çözüm kümesini belirlemek çok koldır. Örnek. Aşğıdki blod, ilveli mrisi indirgenmiş mris oln denklem sisemleri ve bunlrın çözüm kümeleri verilmişir. Çözüm kümelerinin nsıl zıldığı üzerinde düşününüz. Konu içinde ilerledikçe bu çözüm kümelerinin nsıl zıldığını dh ii nlcksınız. İlveli Mris Sisem Çözüm kümesi Ç{(,)} Ç{(, ) : } Ç{(-,, ) : } Ç Diğer ndn, bir denklem siseminin ilveli mrisi indirgenmiş biçime geirilirken her dımd, krşılık gelen denklem sisemi bşlngıçki denklem sisemine denk oln bir sisemin ilveli mrisi elde edilir. Dolısıl, bir denklem sisemi, ilveli mrisinin indirgenmiş biçimine krşılık gelen denklem sisemine denkir, ni o sisemle nı çözüm kümesine shipir. Bölece, bir doğrusl denklem sisemini çözmek için o sisemin ilveli mrisinin indirgenmiş biçimini bulmk önem kznmkdır. Denklem sisemlerini bu oll çözmee Guss-Jordn okeme önemi denir.

8 Ders Tnım. Eğer bir mrisin bir sırının üm girdileri sıfır ise, o sır sıfır sırı denir. En z bir girdisi sıfırdn frklı oln sır sıfırdn frlı sır denir. Bu nımlr, bundn sonrsı için, ifde kollığı sğlckır. Guss-Jordn okeme öneminde bir doğrusl denklem sisemini çözmek için, sisemin ilveli mrisi, indirgenmiş biçime geirilir ve şğıdki durumlr göre çözüm kümesi belirlenir.. İndirgenmiş biçimde (,,..., ) sırı vrs, sisemin çözümü okur.. İndirgenmiş biçimde (,,..., ) sırı ok ve süun sısı sıfırdn frklı sır sısındn bir fzl ise, sisemin ek bir çözümü vrdır.. İndirgenmiş biçimde (,,..., ) sırı ok ve süun sısı sıfırdn frklı sır sısındn en z iki fzl ise, sisemin sonsuz çokluk çözümü vrdır. Eğer süun sısı, sıfırdn frklı sır sısındn r fzl ise, sisem için r - prmeree bğlı bir genel çözüm zılbilir. Örnek. Eğer bir denklem siseminin ilveli mrisinin indirgenmiş biçimi ise, bu sisemin hiç çözümü okur, çünkü son sır (,, ) dir ve bu sır krşılık gelen denklem dir. Örnek. Eğer bir denklem siseminin ilveli mrisinin indirgenmiş biçimi ise, bu sisemin ek bir çözümü vrdır, çünkü (,, ) biçiminde bir sır okur ve süun sısı, sıfırdn frklı sır sısındn bir fzldır. Bu mrise krşılık gelen sisem zılırs ek çözümün ne olduğu görülür. ; çözüm kümesi Ç {(,, )} dir. Örnek. Eğer bir denklem siseminin ilveli mrisinin indirgenmiş biçimi ise, bu sisemin sonsuz çokluk çözümü vrdır, çünkü (,, ) biçiminde bir sır okur ve süun sısı, sıfırdn frklı sır sısındn iki fzldır. Bu mrise krşılık gelen sisem zılırs çözüm kümesinin ne olduğu görülür. ; çözüm kümesi Ç {(-,, ) : } dir.

9 Çok Değişkenli Doğrusl Denklem Sisemleri, Guss-Jordn Yokeme Yönemi. Örnek. denklem sisemini Guss-Jordn okeme önemi ile çözelim. Sisemin ilveli mrisini zıp indirgenmiş biçimini bulcğız. Son mrisen, çözüm kümesi, Ç {(,, )} olrk elde edilir. Örnek. sisemini Guss-Jordn okeme önemi ile çözelim Son mrisen, çözüm kümesi, Ç {(,, -)} olrk elde edilir. Örnek. denklem sisemini Guss-Jordn okeme önemi ile çözelim.

10 Ders.. Son mrisen, çözüm kümesi, Ç olrk elde edilir. Örnek. denklem sisemini Guss-Jordn okeme önemi ile çözelim. Son mrisen, ve bölece çözüm kümesi Ç {(--,, ) : } olrk elde edilir. Örnek. denklem sisemini Guss-Jordn okeme önemi ile çözelim.

11 Çok Değişkenli Doğrusl Denklem Sisemleri, Guss-Jordn Yokeme Yönemi. Son mrisen, s s s ve bölece çözüm kümesi Ç {(s, --s-, s,, ) : s, } olrk elde edilir. Bzı durumlrd ksılrı nı fk sğ rf sbileri frklı oln çok sıd doğrusl denklem sisemini çözmemiz gerekebilir. Böle durumlrd Guss-Jordn okeme önemi üm sisemlere nı nd ugulnbilir. Aşğıd bu durum bir örnek verioruz: Örnek.,, denklem sisemlerini nı nd çözelim.

12 Ders Çözüm kümeleri, sırsıl, Ç {(,, )}, Ç {(,-, )}, Ç {(,, )}... Problemler. Dh önce de gördüğümüz üzere, günlük şmd krşılşıln problemlerden pek çoğu memişksel olrk doğrusl denklem sisemleri ile modellenip çözülebilir. Aşğıd, bu durum birkç örnek dh vereceğiz. Problem (Eski Çin den bir Problem). Bir çiflike üreilen pirinç üç frklı bod orblr doldurulrk pkelenior: büük bo, küçük bo ve or bo orblr. ne büük bo orb, ne küçük bo orb ve ne or bo orb birlike rılınc kg; ne büük bo orb, ne küçük bo orb ve ne or bo orb birlike rılınc kg gelior. Benzer şekilde, ne büük bo orb, ne küçük bo orb ve ne or bo orb birlike rılınc kg gelior. Her ür orbd kçr kg pirinç bulunduğunu belirleiniz. Çözüm. büük bo orbd kg, küçük bo orbd kg ve or bo orbd z kg pirinç bulunduğunu kbul edelim. Problemdeki koşullrın şğıdki denklem sisemini vereceği çıkır. z z z. Bu sisemin ilveli mrisi dir. İlveli mrisin indirgenmiş biçimini bullım.

13 Çok Değişkenli Doğrusl Denklem Sisemleri, Guss-Jordn Yokeme Yönemi. Bölece, çözüm kümesi Ç {(,, )} dir. Dolısıl, büük bo orbd kg, küçük bo orbd kg ve or bo orbd kg pirinç vrdır. Problem ( ÖSS Sorusu). Aslı, Hkn ve Tolg nın bugünkü şlrı oplmı dir. Aslı Hkn ın bugünkü şın geldiğinde, Tolg nın şı d Hkn ın şının iki kı olckır. Bun göre, Hkn ın bugünkü şı kçır? Çözüm. Aslı, Hkn ve Tolg nın bugünkü şlrı, sırsıl,,, olsun. Verilenlerden, ; ( ) ( ( ) ) olur. Bölece denklem sisemi elde edilir. Problemin çözümünü elde emek için, ikinci denklem (-) ile çrpılıp birinci denkleme oplnır ve, elde edilir. Yni, Hkn ın bugünkü şı dir. Sisemin Guss-Jordn Eliminson Yönemi ile çözümü şğıd verilmişir:, çözüm kümesi Ç {(-,, ) : }. Aslı, Hkn ve Tolg nın şlrının msı olduğun ve küçüken büüğe sırlı verildiğine dikk ediniz. Çözümden, Aslı ve Tolg nın şlrının değişik değerler lbildiği; nck Hkn ın şının sdece değerini ldığı görülüor.

14 Ders Problem. bin YTL nin bir kısmı A-bnk, bir kısmı B-bnk ve geri kln kısmı d C-bnk ırılıor. A-bnk ve B-bnk ırıln oplm mikr, C-bnk ırıln mikrdn bin YTL fzl; A-bnk ve C-bnk ırıln oplm mikr ise, B-bnk ırıln mikrın iki kındn bin YTL eksikir. Her bir bnk kç YTL ırılmışır? Çözüm. A-bnk ırıln mikr, B-bnk ırıln mikr ve C-bnk ırıln mikr z bin YTL olsun. Problemde verilenlerden z, z, z denklemleri elde ediklir. Dolısıl, problemimizin çözümü z z z denklem siseminin çözümüne indirgenmişir. Guss-Jordn eliminson önemi ile,. Bölece, çözüm kümesi, Ç {(,, )}dir. A-bnk bin YTL, B-bnk bin YTL, C-bnk bin YTL ırılmışır.

15 Çok Değişkenli Doğrusl Denklem Sisemleri, Guss-Jordn Yokeme Yönemi. Problemler. mrisi için şğıd verilen sır işlemlerini pınız: ) b) c) ç) d) e). Aşğıdki mrislerin indirgenmiş biçimlerini bulunuz. ) b) c) /. Aşğıd verilen indirgenmiş ilveli mrislerin her birine krşılık gelen denklem sisemini ve sisemin çözüm kümesini zınız. ) b) c) ç) d) e) f) g). Aşğıdki denklem sisemlerini ilveli mris kullnrk çözünüz. ) b) c). Aşğıdki denklem sisemlerini Guss - Jordn okeme önemi ile çözünüz. ) b) c) d) e) f)

16 Ders. Aşğıdki denklem sisemlerini Guss - Jordn okeme önemi ile çözünüz. ) b). Aşğıdki denklem sisemlerini ksılrının nı olduğun dikkâ ederek çözünüz. ) b) c). Bir şım şirkei, oplm on kpsieli bir filo ship olmk için de kmon sın lmk isior. Alınmsı düşünülen kmonlr,, ve onluk üç frklı modelden oluşmkdır. Bu modellerden her birinden kç de kmon lınmsı ugun olur? Şirke, kmonlrdn nesini onluk modellerden lrk bu işlemi gerçekleşirebilir mi?. Bir hv olu şirkei, oplm olcu kpsieli bir filo ship olmk için de uçk sın lckır. Alınmsı düşünülen uçklr,, ve olcu kpsieli üç frklı modelden oluşmkdır. Bu modellerden her birinden kç de uçk lınmsı ugun olur?. Büük bir şehrin merkezinde dör de ek-ön cddeden oluşn bir ol ğındki rfik kışı, ndki şekilde verilmişir. Her bir cddenin ucund ve sonundki sılr, o cddee bir s giren ve çıkn rç sısını gösermek- edir.,, ve değişkenle- rinden her biri, her bir kvşk, ok önünde bir s giden rç sısını gösermekedir. ) Düzgün bir rfik kışınd, bir s bounc bir kvşğ giren rç sısı, o kvşkn çıkn rç sısın eşi olur. Örneğin, Doğu-Güne kvşğın giren rç sısı, çıkn rç sısı ür; dolısıl, dir. Diğer üç kvşk için de benzer denklemler zrk düzgün bir rfik kışınd sğlnmsı gereken doğrusl denklem sisemini bulunuz. b) Önceki şık bulduğunuz denklem sisemini çözünüz. c) Doğu-Güne kvşğındn Doğu Cddesi bounc Doğu-Kuze kvşğın s en çok kç rç gidebilir? En z kç rç gidebilir? d) Trfik ışıklrı, Doğu-Güne kvşğındn Bı-Güne kvşğın s rç gidecek şekilde rlnmışs, her bir kvşkn her bir öne s kç rç giiğini belirleiniz. Kuze Cd. Güne Cd. Bı Cd. Doğu Cd.