Dr. Mahir E. Ocak. TÜBİTAK Bilim ve Teknik Dergisi. K a e. r d. i iğ. erm o SPL. 54_58_karadelik_termodinamik.indd 54

Transkript

1 Dr. Mhir E. Ock TÜBİTAK Bilim ve Teknik Dergisi K likl e r d m din i iğ SPL eri nt erm o 54 54_58_krdelik_termodinmik.indd :06

2 Krdelik Mekniği >>> Bilim ve Teknik Şubt 2014 Krdeliklerin Özellikleri Bir krdeliği diğer gök cisimlerinden yırn en önemli özellik oly ufkunun oluşmsıdır. Oly ufkunun krdeliğin kütle merkezinden oln uzklığı, kurtulm hızının ışık hızı olduğu küresel yüzeyin yrıçpı bulunrk hesplnbilir. Bu yüzeyde, ışık hızındki bir prçcığın kinetik enerjisi ile kütleçekiminden kynklnn potnsiyel enerjisinin mutlk değerleri eşit olmlıdır. İki değer birbirine eşitlendiğinde oly ufkunun krdeliğin kütle merkezinden uzklığı (Schwrzschild yrıçpı) 2GM r = c2 olrk bulunur. Bu eşitlikte G kütleçekim sbiti, M krdeliğin kütlesi, c ise ışık hızıdır. Oly ufkunun krdeliğin kütle merkezinden oln uzklığını kullnrk, oly ufkundki kütleçekiminin şiddeti hesplndığınd ise l = bulunur. c 4 4GM Bu sonuçlrdn krdeliğin kütlesi rttıkç oly ufkunun yüzey lnının rttığı, oly ufkundki kütleçekim şiddetinin ise zldığı görülür. Genel görelilik kurmı trfındn vrlıklrı thmin edilen krdelikleri diğer gök cisimlerinden yırn en önemli özellik etrflrınd bir oly ufku oluşmsıdır. Klsik kurm göre bir kez oly ufkunu geçip krdeliğe düşen kütleli y d kütlesiz herhngi bir cisim bir dh krdeliğin çekiminden kurtulup dışrıy çıkmz. Dolyısıyl bir krdelik kendi ışığı ile doğrudn gözlemlenemez. Fkt bu bir krdeliğin özellikleri hkkınd hiçbir bilgi edinemeyeceğimiz nlmın d gelmiyor. Krdeliğin oly ufkunun dışınd kln yerlerde sebep olduğu değişikliklere bkrk kütle, çısl momentum ve elektrik yükü gibi özelliklerini belirlemek mümkün. Krdelikler hyli bsit nesnelerdir. Elektrik yükleri, kütleleri ve çısl momentumlrı bilindiği zmn tüm özellikleri belirlenebilir. Krdelikler çoğunlukl yüksüz nesnelerin çökmesi ile oluşcğındn, krdeliğin toplm elektrik yükünün sıfır olmsı beklenir. Dolyısıyl elektriksel olrk yüksüz bir krdeliği kütlesi ve çısl momentum büyüklüğü tnımlr. Çok syıd prçcık içeren sistemlerin, örneğin yıldızlrın ve gezegenlerin fiziksel durumunu ifde etmenin htt belirlemenin zorluğu ile krşılştırıldığınd krdeliklerin tüm fiziksel özelliklerinin sdece üç syı bilinerek hesplnbilmesi fizikçi J. A. Wheeler trfındn krdeliklerin sçı yoktur biçiminde ifde edilmiştir. Oly ufku kusursuz bir küresel yüzey olduğu için bu ifde gyet uygundur. Krdeliklerin, özelliklerinin birkç syı ile ifde edilebilmesi bkımdn, temel prçcıklr benzediği de söylenebilir. Krdeliklerin mekniği ile ilgili kurmsl olrk keşfedilen dört temel ys vrdır. Sıfırıncı, birinci, ikinci ve üçüncü ys olrk dlndırıln bu yslr şunlrdır: Sıfırıncı ys: Durğn (üzerine yeni mdde düşmeyen fkt çısl momentumu oln) bir krdeliğin oly ufkundki kütleçekimi yüzeyin her yerinde ynıdır. Birinci ys: Durğn bir krdelik çok küçük bir değişikliğe zorlndığınd (örneğin üzerine mdde tıldığınd) yşnn küçük değişiklikler sonucu enerjideki değişim ile ufuk lnı, çısl momentum ve elektrik yükü rsındki ilişki şudur: de = (c 2 /8πG) κ da + Ω dj + Φ dq Bu denklemde G kütle çekim sbitini, c ışık hızını, κ oly ufkundki kütleçekimini, A oly ufkunun lnını, Ω çısl hızı, J çısl momentumu, Φ elektrosttik potnsiyeli, Q elektrik yükünü, d ise difernsiyel lm işlemini gösterir. Örneğin de krdeliğin enerjisindeki değişimi ifde eder. İkinci ys: Oly ufkunun lnı zmn içinde sürekli rtr. Üçüncü ys: Krdeliğin oly ufkund kütleçekimi sıfır olmz. Bu yslrdn sıfırıncı ys krdeliklerin sçsız olmsının -yni özelliklerinin temel prçcıklr benzemesinin- doğl bir sonucudur. Birinci ys enerjinin korunumu yssının krdelikler için ifde edilmesidir. İkinci ysnın geçerliliği ise sdece klsik fizik ile sınırlıdır. Stephen Hwking kuntum süreçleri sebebiyle bu ysnın geçerli olmycğını gösterdikten sonr, ikinci ys dh sonr bhsedilecek oln krdelik termodinmiğinin genelleştirilmiş ikinci yssı ile değiştirildi. 55

3 Krdeliklerin Termodinmiği Entropi 1) 2) 3) 4) 5) 6) Hcmin ve tnecik syısının değişmediği, sbit enerjili, kplı bir sistemin entropisi S=kln Ω olrk tnımlnır ( Ω sistemin bulunbileceği durumlrın syısı, k Boltzmnn sbitidir). Entropinin hesplnmsını gerçek hytt vr olmyn, hyli bir sistem ile örneklendirebiliriz. Bu sistem özdeş iki tnecik içersin ve bu tneciklerin bulunbileceği, özdeş üç enerji durumu (, b, c) olsun. b c İki özdeş prçcıktn ve üç özdeş enerji seviyesinden (, b, c) oluşn bir sistemin bulunbileceği ltı frklı durum: 1) b, 2) c, 3) bc, 4), 5) bb, 6) cc (sold) Eğer tnecikler özellikleri gereği ynı enerji durumund bulunmıyors, frklı üç durum söz konusudur (b, c, bc). Bu durumd entropi S=kln3 olur. Diğer durumd, yni tnecikler ynı enerji durumund bulunbiliyors, ltı frklı durum söz konusudur (, bb, cc, b, c, bc). Bu durumd entropi S=kln6 olur. Doğd vr oln sistemler genellikle çok dh krmşıktır ve entropinin doğrudn hesplnmsı zordur. Termodinmik Krdeliklerin ksine günlük hytt krşılştığımız pek çok nesnenin fiziksel durumunu tnımlmk hyli zordur. Örneğin kplı bir kp içindeki bir gzı düşünün. Kbın içindeki tneciklerin tmmı frklı yönlerde ve frklı hızlrd hreket eder. Kbın içindeki tüm tneciklerin fiziksel durumunu belirlemek imkânsızdır. Tüm tneciklerin fiziksel durumu bilinse bile meknik yslrını kullnrk tneciklerin gelecekteki fiziksel durumlrını thmin etmek koly değildir. Çok syıd prçcık içeren sistemleri ele lmnın bir yolu isttistiksel kurmlr kullnmktır. Bu kurmlrd sistemin fiziksel durumunu tnımlmk için birkç isttistiksel ortlm kullnılır. Sıcklık ve bsınç bu isttistiksel ortlmlr örnek verilebilir. Kplı bir kp içindeki gz tneciklerinin enerjileri frklıdır. Sıcklık tneciklerin ortlm kinetik enerjisinin bir ölçüsü oln isttistiksel bir büyüklüktür. Benzer biçimde, kbın duvrlrın frklı hızlrl ve frklı çılrl çrpn tneciklerin kb uyguldığı kuvvet zmnl değişkenlik gösterir. Bsınç tnecikler trfındn kb uygulnn ortlm kuvvetin bir ölçüsü oln isttistiksel bir büyüklüktür. İsttistiksel bir kurm oln termodinmiğin dört temel yssı vrdır: Sıfırıncı ys: Dengede oln bir sistemin sıcklığı her noktd ynıdır. Birinci ys: Bir sistemde yşnn küçük ve geri dönüşü oln değişimler sonucu enerjideki değişim de = TdS - PdV şeklindedir. Bu denklemde T sıcklığı, ds entropideki değişimi, P bsıncı, dv ise hcimdeki değişimi göstermektedir. İkinci ys: Entropi zmn içinde sürekli rtr. Üçüncü ys: Sıcklığı sıfır yklşn bir sistemin entropisi sıfır ykınsr. Bşk biçimlerde de ifde edilebilen sıfırıncı ys essen sıcklığın tnımlnmsıdır. Birinci ys enerjinin korunumu yssının mtemtiksel olrk ifde edilmesidir. İkinci ys ise kendiliğinden meydn gelen değişikliklerin entropinin rtcğı yönde olduğunu söyler. Örneğin frklı sıcklıklrdki iki mdde birbiri ile tems ettirildiğinde entropinin rtmsı için sıcklıklr eşitlenene kdr sıck olndn soğuk oln ısı kışı olur. Krdeliklerin Termodinmiği Krdelik mekniğinin yslrı ile termodinmik yslrı krşılştırıldığınd birbirlerine çok benzedikleri görülür. Sıfırıncı yslr dengedeki sistemlerde fiziksel bir büyüklüğün konum ile değişmediğini, birinci yslr enerjinin korunumunu, ikinci yslr ise kendiliğinden gerçekleşen süreçlerde sürekli rtn bir büyüklük olduğunu ifde eder. Sıfırıncı yslrı krşılştırrk krdeliğin oly ufkundki kütleçekimi sıcklık ile, ikinci yslrı krşılştırrk d krdeliğin oly ufkunun lnı entropi ile ilişkilendirilebilir. Bu benzerlik birinci yslrdn d görülebilir. Birinci yslrı ifde eden denklemlerin sğ trfınd yer ln terimler -ilk terimler hriç- sisteme etki eden kuvvetlerin enerjide sebep olduğu değişiklikleri ifde eder. Birinci yslrı ifde eden denklemlerin sğ trfındki ilk terimler de yine krdeliğin oly ufkundki kütleçekiminin sıcklığı ile oly ufkunun lnının entropi ile ilişkili olduğunu kl getirir. Fiziksel olrk mntıklı sonuçlr elde edilebilmesi için entropi ile yüzey rsındki ilişkinin ne olmsı gerektiğini ele ln fizikçi J. D. Bekenstein entropinin -b herhngi bir sbit olmk üzere- S=(bkc 3 / Għ)A biçiminde olmsı gerektiğini göstermiştir. Bu durumd k- 56

4 >>> Bilim ve Teknik Şubt 2014 Yer yüzeyindeki kütleçekimi. Krdeliklerin ksine, Düny dki kütleçekimi yüzeyin her noktsınd ynı değildir. Krdeliğin ufuk lnı için benzer bir hrit ypılsydı, tmmı ynı renk olurdu. rdeliğin sıcklığı T=ħκ/8πbck olur. Bu eşitliklerde -h Plnck sbiti olmk üzere- ħ=h/2π dir. Fizikçi Stephn Hwking in b sbitinin değerinin ¼ olduğunu göstermesi ile krdeliklerin entropisinin S=(kc 3 /4Għ)A, sıcklığının ise T=ħκ/2πck olduğu belirlenmiş oldu. Krdelikler de diğer mddeler gibi enerjisi, momentumu, elektriksel yükü oln cisimler olduklrı için onlr d sıcklık ve entropi gibi termodinmik özelliklere ship olmlıdır. Fkt klsik genel görelilik kurmın göre krdelikler oly ufkunu geçen her şeyi yuttuğu ve ışımdığı için fiziksel olrk sıcklıklrı d sıfır olmlıdır. Dolyısıyl krdeliklere tfedilen sıcklık ve entropinin fiziksel bir nlm kznmsı için krdeliklerin sıcklığı oln her cisim gibi ışıdığının gösterilmesi gerekir. Krdeliklerin ışımsının kuntum mekniğine özgü süreçler sonucund mümkün olduğunun Stephn Hwking trfındn gösterilmesi ile krdeliklere tfedilen sıcklık ve entropi fiziksel bir nlm kzndı. Hwking ışımsı olrk dlndırıln bu süreç krdeliğin oly ufkunun dışınd, kuntum dlglnmlrı sonucund bir prçcık-ntiprçcık çiftinin oluşmsı ile bşlr. Prçcıklrdn biri krdelikten uzklşırken diğeri içine düşer. Uzktn bkn bir gözlemci krdeliğin ışıyıp kütle kybettiğini görür. Krdeliklerin sıfırdn frklı bir sıcklığ ve entropiye ship olmsı dh önce prdoks olrk görülen bzı olylrın d çıklnmsını sğlmıştır. Örneğin bir mdde krdeliğin içine düştüğü zmn krdeliğin dışınd mdde miktrının zlmsıyl birlikte entropi de zlır. Eğer krdeliklerin entropisi sıfır olsydı, kendiliğinden meydn gelen bu süreçte toplm entropi de zlmış olurdu, ki bu termodinmiğin ikinci yssın ykırıdır. Krdeliğin sıfırdn frklı bir entropiye ship olduğu durumd krdeliği ve krdeliğin çevresini içine ln sistemin toplm entropisi rtr. Böylece termodinmiğin ikinci yssı geçerliliğini korur. Bun ek olrk, Hwking ışımsıyl krdeliklerin enerji ve dolyısıyl kütle kybetmesi sonucu oly ufkunun lnı d zlır, bu d krdelik mekniğinin ikinci yssının doğru olmdığını gösterir. Krdelik mekniğinin ve termodinmiğin ikinci yslrı, krdelikleri içeren sistemler için genelleştirilmiş ikinci ys dı ile birleştirilir. Genelleştirilmiş ikinci ys şu şekilde ifde edilir: 57

5 Krdeliklerin Termodinmiği <<< Oly ufkunun yüzeyi mükemmel bir kürenin pürüzsüz yüzeyi gibidir. Genelleştirilmiş ikinci ys: toplm entropi = (krdeliğin entropisi + krdeliğin çevresinin entropisi) olmk üzere, toplm entropi zmnl rtr. Aslınd şu durumd her şey iyi giderken ciddi bir problem orty çıkıyor: Krdeliğin entropisi vrs, bu entropi neye krşılık geliyor? Krdeliğin sdece birkç özelliği olbildiğinden bhsetmiştik, entropi ise bir düzensizlik ve dğınıklık ölçüsüdür, krdelikte dğınık oln ne olbilir? Bu sorulrın herkesi ttmin eden cevplrı mlesef henüz yok. Hwking ışımsı sonucu bir krdeliğin buhrlşrk yok olmsı mümkündür. Ypıln hesplr krdeliklerin sıcklığının kütle ile, buhrlşm hızının ise kütlenin kresi ile ters orntılı olduğunu gösterir. Dolyısıyl kütlesi büyük krdeliklerin sıcklığı dh düşüktür ve buhrlşıp yok olmlrı dh uzun sürer. Krdelik buhrlştıkç kütlesi zldığı ve sıcklığı rttığı için buhrlşm hızı d rtr. Örneğin kütlesi Güneş in kütlesi civrınd oln bir krdeliğin sıcklığı nnokelvin (bir kelvinin milyrd biri) ölçeğindedir. Bu büyüklükte, çevresinden ylıtılmış bir krdeliğin buhrlşrk yok olmsı ise yklşık yıl sürer, bu d evrenin şu nki yşındn çok dh fzldır. Essen evrenin ortlm sıcklığının yklşık olrk 2,7 Kelvin olduğu düşünülürse, bir krdeliğin buhrlşrk yok olbilmesi için sıcklığının 2,7 Kelvin den fzl olmsı gerekir. Aksi tkdirde bir krdeliğin kozmik rtln ışımsındn soğurduğu enerji kendi yydığı enerjiden fzl olck, dolyısıyl enerjisi ve kütlesi zmn içinde rtcktır. Hesplr kütlesi yklşık olrk Ay ın kütlesi kdr oln bir krdeliğin sıcklığının evrenin ortlm sıcklığın eşit olcğını yni kozmik rtln ışımsı ile dengede olcğı için kütlesinin değişmeyeceğini gösterir. Dolyısıyl bir krdeliğin ışıyrk buhrlşmsı için kütlesinin Ay ın kütlesinden dh küçük olmsı gerekir. Sonuç olrk krdeliklerin dlrının im ettiğinin ksine kr olmdıklrını söyleyebiliriz. Gerçi çoğu krdeliğin ışım miktrı doğrudn görülmelerini imkânsızlştırck kdr z, m onlrın d diğer gök cisimleri gibi sıcklıklrı ve entropileri vr. Kynklr Bekenstein, J. D., Blck Holes nd Informtion Theory, Contemporry Physics, Cilt 45, Syı 1, s , Plnck collbortion (2013). Plnck 2013 results. XVI. Cosmologicl prmeters. Submitted to Astronomy & Astrophysics. ArXiv: Gürdilek, R., Krdelikler, TÜBİTAK Bilim ve Teknik, Syı 384, s , Tekin, B., Kim Korkr Krdelikten, TÜBİTAK Bilim ve Teknik, Syı 491, s ,