Taylor Polinomlarıve hata

Transkript

1 Bölüm Tylor Polinomlrıve ht Bu bölümde noktsı komşuluğund ykınsk bir kuvvet serisi çılımının sonlu syıd teriminden oluşn P n Tylor polinomunu tnıtrk, Tylor polinomunun noktsının hngi komşuluğund f fonksiyonun yklşım için kullnılbileceğini, Tylor yklşımıile oluşn htnın belirli bir tolernstn küçük olmsı için kullnılmsıgereken yklşım polinomunun derecesinin nsıl thmin edilebileceğini, Bilinen Tylor polinomlrıyrdımıyl yeni Tylor polinomlrının nsıl türetilebileceğini, P n yklşım polinomunun herhngi bir nokt vey nokt kümesi üzerinde eş zmnlıolrk iç içe çrpım(horner) yöntemi yrdımıyl nsıl hesplnbileceğini, İki değişkenli fonksiyonlrın Tylor çılımlrınıve Tylor çılımıyrdımıyl ritmetik işlemlerde oluşn htlrıinceliyoruz. Konuyl ilgili dh teferrutlı bilgiler için Atkinson[ref.], Stoer & Bulirsch[ref], Cheney-Kincid[] ve Grossmn[] gibi temel kynklrıöneriyoruz.

2 2 Tylor Polinomlrıve ht. Kuvvet Serisi, Tylor polinomu ve ht, c n R, n =,, sbitleri ve için c n (x ) n := c + c (x ) + + c n (x ) n + (.) n= toplmın merkezli ve sbit ktsyılıbir kuvvet serisi dıverildiğini htırlylım. Eğer (.) serisi L > sbit olmk üzere, x < L rlığındki x ler için sonlu değerlere shipse, seriye ( L, + L) rlığınd ykınsktır denir ve bu rlığ serinin ykınsklık rlığıve L ye de ykınsklık yrıçpı dı verilir. Bu rlĭgın dışındki rlıklrd (.) toplmı sonlu bir değere ship olmdığıiçin seriye bu tür rlıklrd ırksktır seri dıverilir. Ykınsklık rlığıiçerisinde kuvvet serisi bir fonksiyon tnımlr. Her bir noktdki değeri (.) toplmın eşit oln f fonksiyonu f(x) := c n (x ) n, x ( L, + L) (.2) n= deki seriye f nin noktsı komşu- olrk tnımlnır. Bu durumd (.2) luğundki Tylor serisi dıverilir. Kuvvet serileri ykınsklık bölgeleri içerisinde terim terime türevlenebilir ve interllenebilirler. Türev ve integrl işlemleri sonucund elde edilen seriler de ynı rlıkt ykınsktırlr. Serinin n ktsyılrı ile f nin ve türevlerinin noktsındki değerleri rsınd şğıd türetilen bir ilişki mevcuttur: ifdesinden f(x) = c + c (x ) + + c n (x ) n +

3 . Kuvvet Serisi, Tylor polinomu ve ht 3 f() = c, f () = c, f () = 2c 2 f (n) () = n!c n olduğu kolyc görülür. O hlde n inci dereceden Tylor polinomu P n (x) : = f() + f ()(x ) + 2! f ()(x ) n! f (n) ()(x ) n = n k= f (k) () (x ) k k! olrk tnımlnır ve ykınsklık rlĭgıiçerisinde olrk ifde edilebilir. f(x) = lim n P n (x) = k= f (k) () (x ) k (.3) k! Herhngi bir f fonksiyonunun bir noktsıkomşuluğund Tylor serisine ship olmsıvey sıkç kullnıln tbirle seri çılımın ship olmsı için noktsınd fonksiyonun bütün bsmktn türevlerinin mevcut olmsıve yrıc oluşturuln kuvvet serisinin noktsıkomşuluğundki x noktlrıiçin f(x) değerine ykınsk olmsıgerekir. Bir noktsı komşuluğund (.3) ile tnımlnn ykınsk kuvvet seri çılımın ship fonksiyon noktsınd nlitik fonksiyon dıverilmektedir. Bun göre bir noktd sürekli olmyn vey herhngi bir bsmktn türevi olmyn fonksiyonun o nokt komşuluğund Tylor seri çılımındn bhsedemeyiz. Öte yndn çok özel durum olmsın rğmen, bir fonksiyonun bir noktd her bsmktn türevin mevcut olmsıd fonksiyonun o nokt komşuluğund ykınsk kuvvet seri çılımın ship olmsını grnti etmez.(alıştırm 8) ÖRNEK.. f(x) = cos(x) fonksiyonunu = noktsı komşuluğundki Tylor serisini ve serinin kısmi toplmlr dizisini belirleyiniz.

4 4 Tylor Polinomlrıve ht Çözüm. f nin = noktsınd sürekli ve her bsmktn türevinin mevcut olduğunu biliyoruz. Ayrıc f() =, f (x) = sin(x), f () =, f (x) = cos(x), f () =, f (x) = sin(x), f () =, f (4) (x) = cos(x), f (4) () =,... değerlerini elde ederiz..o hlde (.3) den cos(x) = f() + f ()x + 2! f ()x n! f (n) ()x n + = 2! x2 + 4! x4... ( ) k = (2k)! x2k k= ile ifde edilen Tylor seri çılımınıbelirleriz. Bun göre serinin kısmi toplmlr dizisi P (x) = P (x) = P 2 (x) = P 3 (x) = 2! x2 P 4 (x) = P 5 (x) = 2! x2 + 4! x4 P 2k (x) = P 2k+ (x) = 2! x2 + 4! x ( )k (2k)! x2k olrk ifde edilir. Kısmi toplmlr dizisin elemnıoln P n (x) polinomun f nin noktsı komşuluğundki n inci dereceden Tylor polinomu dıverilir. Tylor teoremi olrk bilinen şğıdki sonuç, P n (x) polinomunu yukrıdki yöntemden dh frklışekilde inş eder ve f(x) yerine P n (x) polinomunun kullnılmsıdurumund oluşck oln ht için birbirine denk oln iki formülsyon önerir. TEOREM.. f C n+ [, b], ve x (, b) noktsıseçilsin. Bu tktirde f(x) = f() + (x )f () + (x )2 f () + + 2! (x )n n! f (n) () + R n (x) (.4)

5 . Kuvvet Serisi, Tylor polinomu ve ht 5 olrk ifde edilir. Burd R n (x) = n! kln terimdir ve lterntif olrk biçiminde de yzılbilir. f (n+) (t)(t ) n dt R n (x) = (x ) n+ /(n + )!f (n+) (c x ), c x (, x) İspt. Anlizin temel teoreminden f(x) = f() + f (t)dt (.5) olrk yzılır. Teoremin isptı f (t)dt integrline kısmi integrsyon yönteminin rdrd uygulnmsınıess lmktdır. Bun göre u = f (t), dv = dt için du = f (t)dt,ve lışık olduğumuz v = t integrli yerine integrl sbiti olrk x seçimiyle v = t x lmk suretiyle f (t)dt = (t x)f (t) x (t x)f (t)dt = (x )f ()+ elde ederiz. O hlde (.6) deki ifdeyi (.5) te yerine yzrk f(x) = f() + (x )f () + (x t)f (t)dt (.6) (x t)f (t)dt (.7) elde ederiz. (.7) dki integrl için de u = f (t), dv = (x t)dt ve du = f (t)dt, v = (x t) 2 /2 dönüşümleri ile (x t)f (t)dt = f (t)(x t) 2 /2 x + 2! = (x )2 f () + 2! 2! elde ederiz. (.8) ifdesini (.7) d yzrk f (t)(x t) 2 dt f (t)(x t) 2 dt (.8) f(x) = f() + (x )f () + (x )2 f () + 2! 2! f (t)(x t) 2 dt (.9)

6 6 Tylor Polinomlrıve ht olrk bir dım dh rnn gösterime yklşırız. Tümevrım dımıgereği n için f(x) = f() + (x )f () + + (n )! (x )2 f () + (.) 2! f (n) (t)(x t) n dt olduğunu kbul ederek, u = f (n) (t), dv = (x t) n dt ve du = f (n+) (t)dt, v = (x t) n /n dönüşümleri ile elde edilen f (n) (t)(x t) n dt = f (n) (t)(x t) n /2 x + n f (n+) (t)(x t) n dt ifdesini (.) de yzrk rnn sonucu elde ederiz. Öte yndn R n (x) = f (n+) (t)(t ) n dt = (x ) n+ /(n + )!f (n+) (c x ), c x (, x) n! (.) ise integrller için ortlm değer teoreminin bir sonucu olrk elde edilir.(bknz Alıştırm 9).2 Tylor serisi ve ykınsklık bölgesi = olmsıdurumd (.4)gösterimine f fonksiyonunun Mclorin çılımıdı verilmektedir. Elemnter bzıfonksiyonlrın Mclorin çılımlrıve ykınsklık bölgeleri şğıd verilmektedir: sin(x) = ( ) n x 2n+ /(2n + )! n= = x x 3 /3! + x 5 /5!... + ( ) n x (2n+) /(2n + )! +, Orn testi yrdımıyl c n (x ) n kuvvet serisi n= lim n c n+ (x ) n+ c n (x ) n = x lim n c n+ c n <

7 .2 Tylor serisi ve ykınsklık bölgesi 7 c vey L =lim n n c n+ olmk üzere x < L eşitsizliğini sğlyn ( L, + L) rlığınd ykınsktır. O hlde sin(x) fonksiyonu için c n L = lim n c n+ (2(n + ) + )! = lim n (2n + )! = lim n (2n + 2)(2n + 3) = olur, yni kuvvet serisi sin(x) fonksiyonunu (, ) rlığınd temsil eder. Benzer biçimde cos(x) = ( ) n x 2n /(2n)! = x 2 /2! + x 4 /4!... + ( ) n x (2n) /(2n)! n= + seri gösterimi cos(x)fonksiyonunu (, ) rlığınd temsil eder. Anck her kuvvet serisi, temsil ettiği fonksiyonu bütün reel syılr kümesi üzerinde temsil etmez. Örneğin, ln(x + ) = ( ) (n+) x n /n = (x x 2 /2 + x 3 / ( ) (n+) x n /n n= +, x (, ] çılımı için orn testi x < için ykınsklığı grnti eder. x = için de elde edilen serinin ykınsklığı lterne syı serileri için ykınsklık kriteri yrdımıyl kolyc görülebilir. O hlde yukrıdki çılım ln(x + ) fonksiyonunu sdece (, ] rlığınd temsil eder. Örneğin x = 2 için ln(x + ) = ln(3) sonlu bir değer iken ilgili seri bu noktd sonlu bir değere ship değildir. Benzer problem /( x) = x n = + x + x x n + n= çılımı için de geçerlidir. Seri çılımı ve sol trfındki fonksiyon scede (, ) rlığınd birbirine eşittir.örneğin bu rlığın dışındki x = 2 noktsıiçin /( x) = /( ) = iken, sğ trftki toplm bu noktd sonlu bir değere ship değildir.

8 8 Tylor Polinomlrıve ht Anck e x = x n /n! = + x/! + x 2 /2! + + x n /n! + (.2) n= çılımındki e x fonksiyonu ve sğ trfındki sonsuz toplm her x (, ) için ynıdeğere shiptir, yni fonksiyon ve seri reel syılr kümesi üzerinde birbirine eşittirler..2. Ykınsklık bölgesinde Tylor Polinomlrıile yklşım Bir fonksiyon yklşım için Tylor polinomu kullnılırken, yklşımın ilgili Tylor serisinin ykınsklık bölgesinde geçerli olduğunu her zmn göz önünde bulundurmk gerekir. Aksi tktirde hngi dereceden polinom kullnılırs kullnılsın, elde edilen yklşımlr olumlu sonuçlr vermezler. Bu durumu şğıdki örnekle inceleyelim: ÖRNEK.2. f(x) = ln(x + ) fonksiyonunun = noktsıkomşuluğund ve [,.2] rlĭgınd Tylor polinomlrınıbelirleyerek belirtilen rlıkt rtn n değerlerine rğmen ykınsmnın gerçekleşmedĭgini gözlemleyiniz. Çözüm. f(x) = ln(x + ) fonksiyonunun = noktsıkomşuluğundki yukrıd verilen Tylor serisi (, ] rlığınd ykınsktır. Yndki şekilde [,.2] rlığınd n = 2, 3,..., 6 için P n (x) yklşımlrı(noktlı) ve f fonksiyonunun grfiği(çizgi) gösterilmektedir. n nin tek değerleri için elde edilen yklşımlr x =.2 noktsınd f nin grfiğinin üst kısmınd yer lırken, çift değerler için elde edilen yklşımlr ise grfikleri f nin grfiğinin şğısınd yer ln yklşımlrdır. Artn n değerleri için elde edilen yklşımlrın x =.2 noktsınd f nin grfiğinden gittikçe uzklştıklrı görülmektedir. Bu durum, Tblo. de verilen yklşım htlrıiçin sonsuz normlrındn d çıkç görülmektedir. Tblo. den Tylor polinomlrı ile elde edilen yklşımlrın, Tylor serisinin ykınsklık rlĭgıiçerisinde yer lmyn x noktlrıiçin iyi sonuç vermeyeceğini gözlemliyoruz. O hlde Tylor polinomlrının bir nokt komşuluğund ilgili fonksiyon yklşım mcıyl kullnılmdn ilgili Tylor serisinin ykınsklık bölgesine dikkt edilmelidir.

9 .3 Uygun dereceden Tylor yklşım polinomu 9 Şekil.: [,.2] rlığınd ln(x + ) ve ilk beş Tylor yklşımının grfiği n f(x) P n (x) Tblo.: Yklşım htlrı.3 Uygun dereceden Tylor yklşım polinomu Bzıuygulmlrd belirtilen ykınsklık rlĭgıiçerisinde verilen bir mksimum ht ile yklşım sğlyn Tylor polinomunun derecesinin de thmin edilebilmesi gerekmektedir. Bu bğlmd (.) ile verilen ht thmin formülünden fydlnbiliriz. ÖRNEK.3. f(x) = ln(x + ) fonsiyonu için = noktsıkomşuluğund ve [, ] rlĭgınd ɛ =. den küçük sonsuz normu htsı ile elde edilen Tylor polinomunun derecesini belirleyiniz. Çözüm.

10 Tylor Polinomlrıve ht Öncelikle f (n+) (x) = ( ) n n!/( + x) (n+) olrk elde edildiğine dikkt edelim. O hlde herhngi c x (, ) için x (n+) f P n = mx x (n + )! f (n+) (c x ) x (n+) ( ) n n! = mx x (n + )!( + c x ) (n+) ) = /(n + ) < ɛ =. olup, n olmsıgerektiği thmin edilir. Anck bu thmin şırıtemkinli bir thmindir ve gerçekte f P 5 =.92 <. olup n 5 olmsı yeterlidir..4 Bilinen Tylor Yklşımlrı Yrdımıyl Açılımlr Tylor çılımıbilinen bir fonksiyon yrdımıyl benzer fonksiyonlrın çılımlrıhesplnbilir. Örneğin e x2 fonksiyonunun [, ]rlığınd Tylor çılımını yüksek mertebeden türevler yrdımıyl doğrudn hesplmk yerine, e x fonksiyonunun Tylor çılımındn yrrlnılbilinir. ve dolyısıyl e x = x/! + x 2 /2!... + ( ) n x n /n! + e x2 = x 2 /! + x 4 /2!... + ( ) n x n /n! + elde edilir. (.2) serisinin ykınsklık yrıçpının sonsuz olduğun dikkt edelim. [ 2, 2]rlığınd hesplnn e x2 P n (x) htlrışğıdki tblod verilmektedir. n f(x) P n (x) Tblodn htnın n yklşım derecesinin fonksiyonu olrk monoton biçimde zlmdĭgını görüyoruz. Diğer bir değimle P n+ yklşımının P n den dh

11 .5 Neden Tylor polinomlrı? iyi olmsıgerekmemektedir. Anck ilgili Tylor serisinin ykınsklık rlĭgı içerisinde f(x) P n (x) olduğunu örnek üzerinden de gözlemliyoruz. Tylor yklşımlrıve f fonksiyonunun grfikleri şekilde sunulmktdır Şekil.2: e x2 ve Tylor yklşımlrı Benzer biçimde sinx fonksiyonunun Tylor çılımıkullnılrk x için elde edilebilir. sinx/x = x 2 /3! + x 4 /5! x 6 /7! + x 8 /9! +.5 Neden Tylor polinomlrı? Bilinen nlitik yöntemlerle bir noktsının komşuluğund ykınsk bir kuvvet serisi ile ifde edilebilen bir fonksiyonl çlışmnın zor vey mümkün olmdığıdurumlrd bu noktnın komşuluğund fonksiyonu temsilen kuvvet serisinin çılımın belirli syıd teriminden oluşn Tylor yklşımıkullnılbilir. Örneğin nlitik yöntemlerle hesplnmyn e x2 dx integrli için bir syısl yklşımımatlab qudl fonksiyonu yrdımıyl olrk elde ederiz. e x2 için sıfır noktsı

12 2 Tylor Polinomlrıve ht komşuluğund yklşım olrk P 2 Tylor polinomunun integrlini hesplmk suretiyle ise elde ederiz. Sonuçlrın virgülden sonr 8 bsmğ kdr ynıolduklrınıgözlemliyoruz. Anck integrl rlĭgının büyük olmsı durumund dh yüksek dereceden polinomun kullnılmsı gerekeceği için Tylor polinomu yerine dh uygun polinomlr kullnılmlıdır. Bu konuyu syısl integrsyon yöntemleri bölümünde inceleyeceğiz. Fonksiyon sıfıryeri belirleme problemlerinde hl güncel olrk kullnıln Newton yöntemi, sıfır yerini rştırırken her noktd fonksiyonun birinci dereceden Tylor polinomunun sıfır yerini bulmk suretiyle yklşımlr elde etmektedir.(bknz Bölüm...) Benzer biçimde diferensiyel denklemler için syısl çözüm yöntemlerinde bir nokt komşuluğund fonksiyon yerine Tylor yklşımlrının kullnılmsıdh uygundur(bknz Bölüm...) Ayrıc syısl yöntemlerin ht nlizinin gerçekleştirilmesinde de Tylor yklşımlrısıkç kullnılır..6 Tylor polinomlrıve Horner Yöntemi P n (x) = x n + 2 x n + + n x + n+ olrk ifde edilen polinomun x noktsındki değeri P n (x ) = x n + 2 x n + + n x + n+ (.3) formülünün kodlnmsısuretiyle hesplnmz. Çünkü bu şekliyle n 2 ile orntılısyıd çrpm işlemi gerçekleştirilmesi gerekmektedir. Örneğin P 3 (x) = x x x + 4 polinomu için P 3 (x ) değerinin hesplnmsı8 det çrpm işlemi ve 3 det toplm işlemi gerektirir. Oys ynıişlem P 3 (x) = (( x + 2 )x + 3 )x + 4 örneğinde olduğu üzere iç içe çrpım formtınd yzılmk suretiyle 3 det çrpm ve 3 det toplm işlemi ile gerçekleştirilebilir. Böylece hem hesplm işlem zmnınd tsrruf sğlnmış olur ve hem de gereksiz ritmetik işlem gerçekleştirmek suretiyle oluşck yuvrlm htlrıengellenmiş olur. Bu durumd b =

13 .6 Tylor polinomlrıve Horner Yöntemi 3 olrk tnımlnmk üzere b 2 = b x + 2 = x + 2 (en içteki toplm) b 3 = b 2 x + 3 = ( x + 2 )x + 3 (en içten ikinci toplm) b 4 = b 3 x + 4 = (( x + 2 )x + 3 )x + 4 (istenen toplm) elde edilmiş olur. Bu işlemi sistemtik olrk (.3) polinomun genelleştirilecek olursk, b = olmk üzere b k = k + x b k, k = 2, 3,..., n ile tnımlnn {b k }, k =, 2, 3,..., n dizisi için yukrıdki örneğimize prlel olrk b n = P n (x ) olrk elde ederiz. Düşük dereceli polinomlrın herhngi bir noktdki değeri şğıd belirtilen Tblo yrdımıyl dh prtik olrk gerçekleştirilebilir: Örneğin yukrıd tnımlnn P 3 (x) polinomunun x noktsındki değerini hesplylım. Yukrıd belirtilen işlemler Horner tbosu dıverilen tblo üzerinden kolyc gerçekleştirilebilir. x x b x b 2 x b 3 b = b 2 = 2 +x b b 3 = 3 +x b 2 b 4 = 4 +x b 3 ÖRNEK.4. p(x) = x 3 2x 2 + x 4 polinomunun x = noktsındki değerini Horner yöntemi yrdımıyl belirleyiniz. Çözüm. Horner tblosu olup, P () = 4 olrk elde edilir. Diğer bir bkış çısıile yukrıd tnımlnn {b k }, k =, 2, 3,..., n dizisi için

14 4 Tylor Polinomlrıve ht P n (x) = x n + 2 x (n ) + + n x + (n+) = (b x (n ) + + b (n ) x + b n )(x x ) + b (n+) özdeşliği sğlnır ve dolyısıyl b (n+) = P n (x ) olduğu çıktır. Her bir b k nın hesplnmsıbir det çrpm ve bir det de toplm işlemi gerektirdiğinden Horner yöntemi dı verilen bu yöntemle n inci dereceden bir polinomun herhngi bir noktdki değerinin hesplnmsındet çrpm ve n det toplm işlemi gerektirir. Böylece (.3) biçiminde P n (x ) ın hesplnmsıdurumund gereken O(n 2 ) mertebesindeki işlem, Horner yöntemi yrdımıyl lterntif olrk n det çrpm ve toplm işlemi ile gerçekleştirilmiş olmktdır. Yüksek dereceli polinomlrın herhngi bir noktdki değeri şğıd verilen ve horner.m isimli bir dosyy kydedilen MATLAB/Octve progrmı yrdımıyl gerçekleştirilebilir. function sonuc=horner(,x); m=length(); n=m-; b=zeros(m,); b()=(); for k=2:m b(k)=(k)+x*b(k-); end sonuc=b(m); Örneğin P 2 (x) = x 2 2x + 3 polinomunun x noktsındki değerini hesplmk için komut ortmındn girilen polinom ktsyılrı ve x noktsıiçin >> =[ -2 3]; x=; >> horner(,x) ns = 2 elde ederiz. Tek bir nokt yerine birden fzl noktd verilen bir polinomun değerinin ynınd hesplnmsıistenirse, bu tktirde yukrıd verilen klsik Horner yöntemi geliştirilmelidir:

15 .7 İki değişkenli fonksiyonlrın Tylor çılımlrı 5 function sonuc=horner(,x); n=length();m=length(x); b=zeros(n,m); b(,:)=()*ones(,m); for k=2:n b(k,:)=(k)+x.*b(k-,:); end sonuc=b(n,:); Örneğin P 2 (x) = x 2 2x + 3 polinomunun x = [ 2 ] vektöründeki değerlerini vektörel horner yöntemi yrdımıyl kolyc hesplybiliriz: >> =[ -2 3]; >> x=[ 2 -;] >> horner(,x) ns = İki değişkenli fonksiyonlrın Tylor çılımlrı Tek değişkenli fonksiyonlrdkine benzer olrk, iki vey dh çok değişkenli fonksiyonlrın bir nokt komşuluğundki Tylor çılımlrı elde edilebilir. Örneğin iki değişkenli ve (,b) noktsıkomşuluğund tylor çılımımevcut oln bir f(x, y) fonksiyonunun bu nokt komşuluğundki Tylor çılımı f(x, y) = f(, b) + (x ) f x (,b) + (y b) f y (,b) + [ ] (x ) 2 2 f 2! x 2 (,b) + 2(x )(y b) 2 f x y (,b) + (y b) 2 2 f y 2 (,b) +... olrk elde edilir. Burd P (x, y) = f(, b) + (x ) f x (,b) + (y b) f y (,b) Tylor polinomunun geometrik yeri z = f(x, y) yüzeyine (, b) noktsınd çizilen teğet düzlemdir. h = x, k = y b olmk üzere

16 6 Tylor Polinomlrıve ht ( h x + k x ( h x + k x ) f(, b) : = h f x (,b) + k f y (,b) ) 2 f(, b) : = h 2 2 f x 2 (,b) + 2hk 2 f x y (,b) + k 2 2 f y 2 (,b) notsyonu ile f nin (, b) noktsıkomşuluğundki Tylor serisi olrk ifde edilir. f(x, y) = n= ( h n! x + k ) n f(, b) (.4) x ÖRNEK.5. f(x, y) = e (x2 +y 2) fonksiyonunun (, ) noktsıkomşuluğundki, ilk dört Tylor yklşım polinomu bulrk fonksiyonl birlikte ynıeksende grfiklerini çiziniz. Çözüm. f(, ) = f x (, ) = ( 2xe (x2 +y 2) )(, ) = f y (, ) = ( 2ye (x2 +y 2) )(, ) = f xx (, ) = e (x2 +y 2) (4x 2 2)(, ) = 2 f yy (, ) = e (x2 +y 2) (4y 2 2)(, ) = 2 f xy (, ) = e (x2 +y 2) (4xy)(, ) = değerlerini elde ederiz. Benzer biçimde (.4) deki diğer gerekli terimleri ve (, ) dki değerlerini hesplyrk f(x, y) = (x 2 + y 2 ) + 2! (x2 + y 2 ) 2 3! (x2 + y 2 ) çılımınıelde ederiz. (Bu çılımıyukrıd verilen e x2 çılımıile krşılştırınız).

17 .7 İki değişkenli fonksiyonlrın Tylor çılımlrı 7 f(x, y) fonksiyonu ve sırsıyl P (x, y) =, P 2 (x, y) = (x 2 + y 2 ), P 4 (x, y) = (x 2 + y 2 ) + 2! (x2 + y 2 ) 2 P 6 (x, y) = (x 2 + y 2 ) + 2! (x2 + y 2 ) 2 3! (x2 + y 2 ) kısmi toplmlrını(iki değişkenli Tylor polinomlrının) grfikleri Şekil 3.3 de sunulmktdır. () (b).5 (c) (d) Şekil.3: e (x2 +y 2) fonksiyonu ve rtn n değerleri için Tylor polinom yklşımlrı Artn n değerleri için P (x, y), P 2 (x, y), P 4 (x, y) ve P 6 (x, y) polinomlrının grfiklerinin f fonksiyonunun grfiğine yklştığıgfiksel olrk görülmektedir..7. Tylor çılımıile Ht birikim nlizi x f değeri x için bir yklşım olsun ve y = f(x) fonksiyonu verilsin. x yerine x f yklşımının kullnılmsıdurumund oluşck oln y = y f y mutlk htsıve ε b (y) bğıl htsınıthmin etmek istiyoruz.

18 8 Tylor Polinomlrıve ht Tylor çılımıyrdımıyl y. = f (x) x olrk yzrız. Burd. = yklşımıbirinci mertebeden türeve kdr ilgili terimlerin eşitliğini ifde etmektedir. y için her iki trfıy ye bölmek suretiyle ε b (y) = y y. = f (x) f(x) x = x f(x) f (x)ε b (x) elde ederiz. Yukrıdki son eşitlikte mutlk ht ile bğıl ht rsındki x = xε b (x) bğıntısınıkullndık. Benzer biçimde iki değişkenli bir z = f(x, y) fonksiyonu için x f, y f değerleri x ve y için birer yklşım olsunlr. Bu durumd ve ε b (z). = z =. f f x + x y y x f f(x, y) x ε b(x) + y f f(x, y) y ε b(y) elde ederiz. Yüksek mertebeden kısmi türevlerin özdeş olrk sıfır eşit olduğu durumlrd yukrıd verilen mutlk ve bğıl ht bğıntılrınd =. yerine = lınmlıdır. Bun göre özel olrk toplm, çıkrm, çrpm ve bölme işlemleri için sırsıyl z = f(x, y) fonksiyonunu f(x, y) = x + y, x y, x y, x/y lmk suretiyle toplm/çıkrm z = f(x, y) = x ± y z = x ± y ε b (z) = x±y (xε b(x) ± yε b (y), x ± y elde ederiz. Frk için elde edilen yukrıdki bğıntıdn, birbirine ykın syılrın frkının lınmsısonucu oluşn bğıl htnın x f ve y f yklşımlrınd oluşn bğıl htlrdn çok dh büyük olduğunu görmekteyiz. Benzer biçimde çrpm ve bölme için şğıd verilen mutlk ve bğıl ht ifdelerini elde ederiz: çrpm z = f(x, y) = x y z = y x + x y ε b (z) = ε b (x) + ε b (y)

19 .7 İki değişkenli fonksiyonlrın Tylor çılımlrı 9 bölme z = f(x, y) = x/y z. = y x x y 2 y ε b (z). = ε b (x) ε b (y) ÖRNEK.6. Kresel bir ofisin bir kenrıx f = x ± x = 3 ±.m olrk ölçülmüş olsun. Bu durumd ofis lnının hesplnmsınd oluşn mutlk ve bğıl ht yklşık olrk ne kdrdır? Çözüm. y = f(x) = x 2 lınırs y. = f (x) x = 2x x = 2 3 (.) =.6 elde ederiz. Bğıl htyıise yklşık olrk olrk elde ederiz. ε b (y) = y y. =.6/9 =.667 ÖRNEK.7. Dikdörtgensel bir ofisin tbn boyutlrı x f = x ± x = 3 ±.m ve y f = y ± y = 5 ±.2m olrk ölçülmüş olsun. Bu durumd ofis lnının hesplnmsınd oluşn mutlk ve bğıl ht yklşık olrk ne kdrdır? Çözüm. lınırs elde ederiz. Bğıl htyıise z = f(x, y) = x y z = y x + x y = 5 (.) + 3 (.2) =. ε b (z) = z z =./5 =.733 olrk elde ederiz. Elde edilen bu sonucun x ve y de oluşn bğıl htlrın toplmın eşit olduğun dikkt edelim.

20 2 Tylor Polinomlrıve ht ÖRNEK.8. Sürtünmesiz ortmd hreket eden bir cismin kütlesinin m = 2 ±.(kg) ve cisme t nınd etki eden kuvvetin ise F = 5 ±.2(kg m/s 2 ) olduğu ölçülmüştür. Cismin ivmesini, ölçümlerdeki mutlk htlrdk kynklnn mutlk ve bğıl ht ile birlikte belirleyiniz. Çözüm. m =. ve F =.2 mutlk htlrı ve II. Newton yssı gereği = F/m = 2.5(m/s 2 ) ivmesinde oluşn mutlk ht =. m F F m m = 2 2 (.2) 5 (.) = dir. Ayrıc ve olup, ε b (m) = m/m =./2 =.5 ε b (F ) = F/F =.2/5 =.4 ε b (). = ε b (F ) ε b (m) =.4.5 =. olrk elde edilir. ÖRNEK.9. f(, b, c) = b + b 2 4c fonksiyonunu göz önüne llım. = ±., b = 2 ±., c =.±. için, yni =., b =., c =. mutlk htlrıyl, f nin (, b, c) noktsındki değerinin hesplnmsınd oluşn mutlk ve bğıl htyıhesplyınız. Çözüm. f. = f f + b = b + f c c 2c b + ( + b2 4c b2 4c ) b + 2 b2 4c c = (.). + (5.38e 4). + (.5). =.

21 .7 İki değişkenli fonksiyonlrın Tylor çılımlrı 2 elde ederiz. Ayrıc ε b (f). f = f(, b, c) b f (,b,c)ε b () + f(, b, c) b (,b,c)ε b (b) c f + f(, b, c) c (,b,c)ε b (c) =. (.)(.) + 2 (5.38e 4)(.5).. +. (.5)() =.55 olrk elde ederiz. Bğıl htnın mutlk hty kıysl dh büyük olduğun dikkt edelim. Bunun nedeni verilen, b ve c değerleri için f(, b, c) nin birbirine ykın iki syının frkını ln bir işlem olmsıdır. Dh önceden de thmin ettiğimiz gibi birbirine ykın iki syının frkının hesplnmsınd bğıl ht büyük olmktdır. Alıştırmlr... Aşğıd verilen fonksiyonlrın = noktsınd hesplnn Tylor çılımlrının doğruluğunu kontrol ediniz. sinh(x) = x + x 3 /6 + x 5 /2 + x 7 / cosh(x) = + x 2 /2 + x 4 /24 + x 6 / tn(x) = x + x 3 /3 + 2x 5 /5 + 7x 7 / x = + x/2 x 2 /8 + x 3 /6 5x 4 / Aşğıd verilen fonksiyonlrın = noktsınd hesplnn Tylor çılımlrının doğruluğunu kontrol ediniz. x 5 = + 5(x ) + (x ) 2 + (x ) sin(x) = sin()+cos()(x ) sin()(x ) 2 /2 cos()(x ) 3 /6 +sin()(x ) 4 /24 + cos()(x ) 5 / sin(5x) = sin(5) + 5cos(5)(x ) 25sin(5)(x ) 2 /2 25cos(5)(x ) 3 / sin(5)(x ) 4 / log(x) = x (x ) 2 /2+(x ) 3 /3 (x ) 4 /4+(x ) 5 /5+...

22 22 Tylor Polinomlrıve ht 3. Terim terime türev vey integrl lmk suretiyle vey trigonometrik özdeşliklerden fydlnrk şğıd sol sütund yer ln fonksiyonlrın = noktsındki Tylor çılımlrını, sğ tütund yer ln fonksiyonlrın ynı noktdki çılımlrı yrdımıyl hesplyınız ve ynı ykınsklık yrıçplrın ship ship olduklrınıgösteriniz. sin(x), cos(x) tn 2 (x), tn(x) cos 2 (x), cos(2x) /( + x), log( + x) x e t2 dt, e t 4. Sıfır noktsıkomşuluğund bilinen çılımlr yrdımıyl şğıdki çılımlrın doğruluğunu kontrol ediniz. x sin(x) = x 2 x 4 /6 + x 6 / ln( + x 2 ) = x 2 x 4 /2 + x 6 / tn(x)/x = + /3x 2 + 2/5x 4 + 7/35x ( + x)/( x) = + 2x + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 2x 5 + 2x Tylor polinom yklşımıiçin verilen ht formülünü kullnrk şğıd verilen f fonksiyonlrın, = noktsındki P n Tylor polinomlrıile [, ], [ 2, 2], [ 3, 3] rlıklrınd yklşıldĭgınıkbul edelim. Her bir lt rlık için f P n < ɛ =. eşitsizlĭgi sğlnck biçimdeki en küçük n tmsyılrısırsıyl ne olmlıdır? Arlık uzunluğu rttıkç n değerleri nsıl değişmektedir? sin(x 2 ) cos(x) tn(x) exp( x 2 )

23 .7 İki değişkenli fonksiyonlrın Tylor çılımlrı sin(x 2 )dx.625 integrlini hesplmk istedĭgimizi düşünelim. P n polinomu = noktsıkomşuluğund fonksiyonun n inci dereceden Tylor polinomu olmk üzere n =,, 2,... için I n = P n (x)dx integrller dizisini hesplylım. I n dizisinin ykınsdĭgınoktyı belirleyiniz. Elde ettĭginiz limit verilen integrl için iyi bir yklşım mıdır? 7. f(x) = cos(x) fonksiyonu için = noktsıkomşuluğund elde edilen P n Tylor polinomlrınıgöz önüne llım. n =,, 2, 3, 4, 5 için [ 2, 2] rlĭgınd E n = f P n normlrını hesplyınız. E n değerleri nsıl değişmektedir? 8. f(t) = e /t2, t, f() = ile tnımlnn fonksiyonun t = noktsınd bütün bsmktn türevlerinin mevcut ve sıfır eşit olduğunu sıfır noktsındki türevin tnımını kullnmk suretiyle gösteriniz. f nin sıfır noktsındki Tylor seri çılımı, sıfır noktsının komşuluğund f yi temsil eder mi? 9. Integrller için ortlm değer teoremi yrdımıyl R n (x) = n! f (n+) (t)(t ) n dt = (x ) n+ /(n + )!f (n+) (c x ) sğlnck biçimde c x (, x) olduğunu gösteriniz.. P n (x) polinomu f(x) fonksiyonunun x = noktsındki n inci dereceden Tylor polinomu olsun. olduğunu gösteriniz. P n (k) () = f (k) (), k =,,, n. Aşğıd verilen iki değişkenli fonksiyonlrın (, ) noktsındki Tylor çılımlrının doğruluğunu kontrol ediniz cos(xy) = (xy) 2 /2 + (xy) 4 /24+...

24 24 Tylor Polinomlrıve ht cos(x + y) = (x + y) 2 /2 + (x + y) 4 / log(x + y + ) = x + y (x + y) 2 /2 + (x + y) 3 /3 (x + y) 4 / Elinizle ve Horner progrmı yrdımıyl şğıd verilen polinomlrın belirtilen noktlrdki değerlerini hesplyınız P (x) = x 3 + 9x x + 27, x = P (x) = x 4 3x 3 + 2x 2 4x +, x = P (x) = x 5 x 4 + 4x 3 8x 2 + 8x 32, x = 3 P (x) = x 6 2x x 4 735x x 2 764x + 72, x = 3. Vektör tbnlıhorner yöntemi yrdımıyl şğıd verilen polinomlrın verilen noktlrdki değerlerini eş zmnlıolrk belirleyiniz. P (x) = x 3 6x 2 + 8x, x = [ 2 4 5]; P (x) = x 4 x x 2 5x + 24; x = [ ]; 4. Horner progrmı ile ynı formtt çlışn MATLAB/Octve polyvl komutu ile soru 2 ve 3 deki polinom değerlerini hesplyınız. 5. Mxim vey ticri Mple, Mthemtic ve MATLAB sembolik rç kutusu gibi sembolik cebir progrmlrı yrdımıyl Tylor polinomlrı hesplnbilir. Eğer ticri bir sembolik cebir progrmınız mevcut değilse ücretsiz oln Mxim progrmınıbilgisyrınız kurrk, şğıdki komutlr yrdımıyl Tylor polinomlrının hesplndĭgınıve grfiklerinin çizdirildĭgini gözlemleyiniz. tylor(sin(x), x,, 5); (%o5)/t/ x-x^3/6+x^5/2+... /* [wxmxim: input strt ] */ wxplot2d([x, x xˆ3/6, x xˆ3/6 + xˆ5/2, sin(x)], [x, 4, 4])$ /* [wxmxim: input end ] */ 6. P 2 () = f(), P 2() = f (), P 2 () = f ()

25 .7 İki değişkenli fonksiyonlrın Tylor çılımlrı 25 Şekil.4: sin(x) ve Tylor yklşımlrı özellĭgini sğlyn ve x in kuvvetleri cinsinden yzıln polinomunun ktsyılrının P 2 (x) = c 2 x 2 + c x + c c = ( 2 f () 2f () + 2f())/2, c = f () f (), c2 = f ()/2 olduğunu gösteriniz. = olmsı durumund ktsyılrın bilinen değerler olduğunu, yni olduğunu gözlemleyiniz. P 2 (x) = /2f ()x 2 + f ()x + f() 7. Soru 6 dn birz frklı olrk, [, b] rlĭgınd f fonksiyonun dh iyi bir yklşım olcğıdüşünülerek özelliklerini sğlyn Q 2 () = f(), Q 2() = f (), Q 2 (b) = f(b) Q 2 (x) = c 2 x 2 + c x + c

26 26 Tylor Polinomlrıve ht polinomunun ktsyılrının c = b(b )f () 2 f(b) + (2 b)bf() (b ) 2 c = (b2 2 )f () + 2(f() f(b)) (b ) 2 c 2 = (b )f () f(b) + f() (b ) 2 olduğunu gösteriniz. Özel olrk = için Q 2 (x) = (b)f () f(b) + f() x 2 + f ()x + f() b 2 olduğunu gözlemleyiniz. 8. f(x) = sin(x) fonksiyonun [, ] rlĭgıd yklşım için kullnılmk üzere Soru 6 deki P 2 (x) ve Soru 7 deki Q 2 (x) polinomlrınıbelirleyerek her bir polinom için E (x) = sin(x) P 2 (x), E 2 (x) = sin(x) Q 2 (x) htsının grfiğini. rlıklı noktlr için çizdiriniz. Her bir yklşım için E (x) ve E 2 (x) htlrını thmin ediniz. Hngi yklşım dh iyidir? 9. Q 3 (x) polinomu, [, ] rlĭgınd bir f fonksiyonun yklşım için oluşturuln ve Q 3 () = f(), Q 3() = f (), Q 3 () = f(), Q 3() = f () özelliklerini sğlyn Q 3 (x) = c 3 x 3 + c 2 x 2 + c x + c poinomunun ktsyılrınıf ve türevinin x = ve x = noktsındki değerleri cinsinden hesplyınız. Q 3 (x) polinomunu P (k) 3 () = f (k) (), k =,, 2, 3

27 .7 İki değişkenli fonksiyonlrın Tylor çılımlrı 27 özelliklerini sğlyn = noktsı komşuluğundki 3-üncü dereceden Tylor polinomun lterntif bir polinom vey iki noktlı Tylor polinom çılımıolrk düşünebiliriz. Soru 8 i, P 3 (x) ve Q 3 (x) için tekrrlyınız. 2. Proje: MATLAB GUI dı verilen ryüzler geliştirmek suretiyle rk plnd MATLAB komutlrını çlıştırn etkileşimli progrmlr hzırlnbilir. Kullnıcı trfındn girilen fonksiyon, çılımın etrfınd gerçekleşeceği nokt ve bu noktyıiçeren rlık ile istenilen Tylor polinomunun derecesini lrk, Tylor polinomunun ve fonksiyonun grfiğini ynı eksende çizdiren bir GUI hzırlyınız. Ayrıc hzırlycğınız ryüzde Tylor polinomunun yklşım derecesini belirleyen f P n normu d gösterilsin.