ALTUZAY TEKNİKLERİYLE PARAMETRE KESTİRİMİ

Transkript

1 ALFA-KARARLI GÜRÜLTÜDE ÇOKLU SİNÜZOİTLERİN ALTUZAY TEKNİKLERİYLE PARAMETRE KESTİRİMİ Mustf A Altınky Λ,Bülent Snkur ΛΛ, Hkn Deliç ΛΛ, Emin Anrım ΛΛ Λ İzmir Yüksek Teknoloji Enstitüsü, Gülhçe Köyü, 35437, Url,İzmir ΛΛ Boğziçi Üniversitesi, 80815, Beek, İstnul E Post : ltink@likyiyteedutr, f snkur, delic, nrim Özetçe Dürtün (impulsive) ortmd gözlemlenen sinüzoidl sıklık kestiriminde Guss gürültü vrsyımın dynn teknikler şrı sǧlymzlr Bu durumlrd dh iyi kestirimler elde etmenin ir yolu g ürültünün lf-krrlı ir süreç olrk modellenmesi ve verinin kesirli lçk kerteli isttistikleri (KAKİ) ile sinyl prmetrelerinin kestirilmesidir Bu çlışmd verinin özdeǧişim (covrition) mtrisinin ikinci kerteden isttistik kullnımındki özdeǧişinti mtrisinin ypısı ile enzerlikler tşımsındn yrrlnılmıştır Bu mtrisin özvektör nlizinin ypılmsı ile gürültü ve sinyl ltuzy yöntemleri ile çoklu ton sinyllerinin sıklık kestirimine vrılmıştır Sınnn KAKİ ye dylı sıklık kestirimi yöntemlerinden yüksek çözünürlük özelliǧi gösteren KAKİ-MUSIC in dürtün gürültü ortmınd sinüzoidl sıklık kestiriminde, ikinci kerteden isttistiǧe dylı MUSIC ten dh üstün ir şrım sergilediǧi gösterilmiştir 1 Giriş Sinüzoidl sıklık kestirimindeki çoǧu çlışm toplnır gürültünün Guss dǧılımın ship olduǧunu vrsymktdır Guss modeli teorik çlışmyı kolylştırıcı ve işlemsel yoǧunluǧu zltıcı özellikler tşımktdır Gürültü dǧılımı özellikle dǧılımın etekleri dikkte lındıǧınd yklşık olrk ir Guss modele uyduruliliyors, Guss gürültü vrsyımı ile iyi kestiriciler tsrlnilir Fkt gürültü Guss-olmyn, özellikle etekleri dolu ir dǧılım sınıfındys vey dürtün ir doǧsı vrs, Guss gürültüsü vrsyımın dynn prmetre kestiricileri şrısız olur Dürtün (impulsive) gürültü süreçleri krrlı dǧılımlrl modelleneilir Eǧer sinyl çok syıd ǧımsız ve eşdeǧer dǧılımlrın toplmı olrk düşünüleiliyors, u dǧılım Genelleştirilmiş Merkezi Limit Teoremi ne göre krrlı ir dǧılım olcktır [1] Ayrıc krrlı dǧılımlr limitlerinde Guss dǧılımını d kpsmktdır Eǧer toplnır gürültü etekleri dolu ir dǧılım shipse verinin özdeǧişim (covrition [2]) ktsyılrını kullnn sıklık kestiricileri Guss gürültüsü vrsyımın dynn verinin ikinci kerteden isttistiklerini kullnn kestiricilerden dh şrılı olmktdır Bu çlışmd özdeǧişim ktsyılrını kullnn ltuzy teknikleriyle sıklık prmetresi kestirimi ele lınmıştır 2 ölümde SffKdǧılımlr kısc nltılmıştır 3 ölümde kesirli lçk kerteli momentlerin (KAKM) sıklık kestirimi prolemine uygulnmsı nltılmıştır Benzetim sonuçlrı 4 ölümde incelenmektedir Vrgılr ise 5 ölümde verilmektedir

2 2 SffK Dǧılımlr Simetrik ff-krrlı dǧılımlr (SffK) krrlı dǧılımlrın önemli ir ltsınıfını oluştururlr SffK ir dǧılımın krkteristik üsteli ff, (0 < ff» 2); konum prmetresi ffi, ( 1 < ffi < 1) ve sçılımı fl, (fl > 0) ile gösterildiǧinde ir SffKdeǧişkenin krkteristik işlevi ffi(!) =expfjffi! flj!j ff g (1) şeklinde verilir Guss gürültü vrsyımınd olduǧu gii genelliǧi yitirmeden konum prmetresi ffi =0olrk kul edileilir Bu durumd krkteristik işlev ffi(!) = exp f flj!j ff g (2) olur SffKdǧılımlrın ylnızc p<ffkertesinden momentleri tnımlıdır Bu yüzden verinin ikinci kerteden isttistiǧine dylı kestirim yöntemleri uygulnmz Bir çözüm KAKM lerin kullnılmsıdır [1] Anlizde ikinci kerteden momentler yerine özdeǧişim deǧerleri kullnılmıştıriki tne ortk SffK, gerçel ve sçılımlrı fl x ve fl y oln rstlntısl deǧişkenin özdeǧişimi [X; Y E[XY <p 1> ] ]ff = E[jY j p fl y ; 1» p<ff (3) ] şeklinde verilir Burd fl y = [Y;Y ]ff rstlntısl deǧişken Y nin sçılımıdır ve Y <p 1> = jy j p 2 Y olrk tnımlnmıştır 3 Sıklık Kestirimi Prolemi Sinyl gerçel sinüzoidllerin toplmındn oluşmkt, s n = KX k=1 A k sin(! k n + k ) (4) ve toplnır SffKgürültü ortmınd gözlemlenmektedir x n = s n + z n n =1; ;N (5) Burd ilinmeyen prmetrelerin k ıncı ton sinyli için genlik A k, ton sıklıǧı! k ve evre çısı k olduǧu vrsyılmıştır N veri örneklerinin syısını, K ton sinyllerinin syısını göstermektedir x n ve z n ise gözlemlenen dizi X n ve SffKgürültü dizisi Z n nin gerçeklenimleridir Gürültü örnekleri ǧımsız ve özdeş dǧılımlı olduklrınd, gözlemlenen dizi krrlı ir özǧlnımlı (utoregressive) (ÖB) işlev olrk modelleneilir: X n = 1 X n M X n M + 0 Z n : (6) Böylece X n m verildiǧindeki genelleştirilmiş Yule-Wlker eşitlikleri E[X n jx n m ] = 1 E[X n 1 jx n m ]+ + M E[X n M jx n m ]; (7) E[X n+l jx n ] = (l)x n (8)

3 şeklinde elde edilir Burd m =1; ;M dir Eǧer (l), X n+l nin X n ile özdeǧişim ktsyılrını gösteriyors, ÖB ktsyılrı şǧıdki eşitlik sisteminin çözümü olrk ulunur (0) ( 1) (1 M ) (1) (0) (2 M ) (M 1) (M 2) (0) z } C M z } = (1) (2) (M ) z } Özdeǧişim mtrisi lf-krrlı süreçler için, özdeǧişinti (covrince) mtrisinin Guss süreçler için tşıdıǧı! l n enzer ir nlm tşımktdır Özdeǧişim mtrisine özvektör yrıştırmsı uygulndıǧınd, üyük özdeǧerler sinyl ltuzyı özvektörlerine it olmkt, diǧer özvektörler ise gürültü ltuzyını oluşturmktdır Böylece özdeǧişim mtrisine uygulnn ir nliz sonrsınd uygun ir sinyl y d gürültü ltuzyı tekniǧi ile sinyl prmetreleri kestirileilir Özdeǧişim mtrisinin kışımlı olmdıǧın dikkt edilmelidir Bu yüzden nliz dh zorlşmkt ve Guss süreçler için geliştirilmiş oln irçok ltuzy prmetre kestirim tekniǧi lf-krrlı süreçler için uygulnmmktdır Özdeǧişim mtrisini ilk kez Tskhlides ve Nikis MUSIC yönteminde kullnrk geliş yönü kestirimi prolemine uygulmıştır [3] Dh sonr Altınky vd trfındn u Kesirli Alçk Kerteliİsttistiǧe dylı MU- SIC (KAKİ-MUSIC) olrk dlndırileceǧimiz yöntem sinüzoidl sıklıklrın lf-krrlı gürültü ortmınd kestirilmesinde kullnılmıştır [4] Aynı çlışmd ir sinyl ltuzyı sıklık kestirim yöntemi oln Brtlett kestiricisinin de KAKİ ye dylı olnı, KAKİ-Brtlett kestiricisi, tnıtılmıştır [7] de ise sinüzoidl sıklıklrın lf-krrlı gürültü ortmınd kestirilmesinde KAKİ tnlı Tufts Kumresn ve En Küçük Norm (KAKİ-TK ve KAKİ-EKN)teknikleri tnıtılmış, ve KAKİ-MUSIC, KAKİ-Brtlett, KAKİ-TK ile KAKİ-EKN nin sınnmsı sonucund, KAKİ-MUSIC ve KAKİ-Brtlett ın diǧerlerinden dh şrılı olduklrı ulunmuştur Bu çlışmd lf-krrlı gürültüde gözlemlenen çoklu sinüzoitlerin sıklıklrının KAKİ tnlı ltuzy teknikleriyle kestirimi rştırılcktır Yeni sıklık kestiricilerinin tnıtılmsınd u kestiricilerin önce tek ir sinüzoidin sıklık prmetresi kestirimine uygulnmsı nlmlıdır [4, 7] Anck ltuzy tekniklerini kullnn sıklık kestiricileri yüksek çözünürlüklerinden dolyı özellikle sıklık ölgesinde ykın konumlu sinüzoitlerin sıklık kestiriminde öne çıkmktdır Bu yüzden u çlışmd çoklu sinüzoitlerin sıklıklrının lf-krrlı gürültü ortmınd kestirilmesinde KAKİ tnlı çeşitli ltuzy teknikleri sınnck ve şrımlrı ikinci kerteden isttistiǧe dylı kestiricilerle krşılştırılcktır (9) 4 Benzetim Çlışmlrı Bu çlışmd KAKİ-MUSIC, KAKİ-Brtlett, MUSIC ve Brtlett yöntemleri ile lf-krrlı gürültü ortmındki gerçel sinüzoidllerin sıklıklrı kestirilecektir Geliştirilmiş KAKM (GKAKM) (modified FLOM) kestiricisi [3] p 2 [0; 2] rlıǧındki moment kerteleri için ^C MFLOM (k; l) = P N M +1 i=1 X k+i 1 jx l+i 1 j p 2 X Λ l+i 1 P N M +1 i=1 jx l+i 1 j p k; l =1; ;M (10) şeklinde verilmekte ve örneklem özdeǧişim mtrisi ^C in (k; l) inci elemnını ulmkt kullnılmktdır M, ÖB model kertesini göstermektedir Gürültü ortmının dürtünlüǧü SffK gürültünün ff ve fl prmetreleri ile kontrol edilmiştir SffKgürültüyü üretmek için Tsihrintzis ve Nikis ın çıkldıǧı [5] yöntem kullnılmıştır

4 Bu Chmers vd [6] trfındn nltıln kışımlı olmyn ff-krrlı rstlntısl deǧişkenleri üretmekte de kullnılilen yöntemin özel ir durumudur Benzetimlerde ton sinyllerinin syısı ikidir Ton sıklıklrındn irisi f 1 = 0:25 de sitlenmiştir Monte Crlo yürütümlerinin her irinde yrı gürültü ve fz gerçekleşimi uygulnmıştır KAKİ moment kertesi p = 0:8 olrk seçilmiştir Özdeǧişim mtrisi ise oyutlrınddır 41 Değişinti ve ynlılıǧın sıklığ ǧımlı deǧişimi Şekil 1 de MUSIC ve KAKİ-MUSIC sıklık kestiriciyle ypıln sıklıǧı deǧişen tonun kestirimlerinin örnek değişintisinin ve ynlılıǧının ton sinyllerinin düzgelenmiş sıklık frkın göre değişimi görülmektedir ff =1 dir (Chuchy gürültü) ve GSGO = : P 10 log ( fln 1 Nn=1 js n j 2 ) olrk tnımlnn genelleştirilmiş sinyl gürültü ornı 2 db olup veri uzunluǧu N =1000 dir Gürültü ve fz gerçekleşimlerinin syısı 200 dür KAKİ-MUSIC sıklık kestiricisi u enzetimlerde MUSIC ten 3 db dh z ir örnek değişintisini sǧlmıştır Ynlılık eǧrisi f 2 f 1 =0çevresinde kışımlılık göstermektedir KAKİ-MUSIC, MUSIC sıklık kestiricisine göre çok üstün ir şrım sergilemektedir Ynlılıklrının frkı f 2 f 1 = 0:25 yöresinde 02 den fzldır 42 Çözünürlük olsılıǧının GSGO y ve ff y ǧımlı deǧişimi Şekil 2 de MUSIC ve KAKİ-MUSIC sıklık kestiricilerinin çözünürlük olsılıklrının GSGO y ǧımlı deǧişimi görülmektedir Ayrık Fourier Dönüşümü (periodogrm) kestiricisi ile elde edilen çözünürlük olsılıǧı d şekilde gösterilmiştir Çözünürlük durumunu (event) tnımlmk için ρ(f 1 ;f 2 ) : = P (f m ) 1 2 fp (f 1)+P (f 2 )g > 0 rstlntısl eşitsizliǧi kullnılmıştır [8] Burd f 1 ve f 2 ton sıklıklrı, f m =(f 1 + f 2 )=2 ton sıklıklrının ortlmsı, P (f ) ise kestiricinin genlik spektrumunun tersidir Yni ton sıklıklrı P (f ) de spektrl sıfırlr krşılık gelmektedirler ρ ise krr isttistiǧidir Böylece eşitsizliǧin gerçeklenmesi ton sıklıklrının çözündüǧünü göstermektedir Benzetimler sonucund çözünürlük olsılıǧı ρ nun doǧrulndıǧı enzetimlerin toplm enzetim syısın ölünmesiyle ulunmktdır Şekil 2 deki enzetimlerde ff = 1 ve N = 50 dir Burd ton sıklıklrının frkı Guss gürültüdeki Fourier çözünürlük sınırının dört ktı olmkl irlikte, AFD nin özellikle düşük GSGO deǧerlerinde MUSIC ve KAKİ-MUSIC ten dh şrısız olduǧu görülmektedir KAKİ- MUSIC in MUSIC e üstünlüǧü ise GSGO =0dB de 008 e kdr çıkmktdır Şekil 3 te MUSIC ve KAKİ- MUSIC ve AFD sıklık kestiricilerinin çözünürlük olsılıklrının ff y ǧımlı deǧişimi görülmektedir Bu kestiriciler rsınd en şrılılrı oln KAKİ-MUSIC ff = 1:5 iken % 100 çözünürlüǧe ulşırken, u çözünürlüǧü MUSIC ff = 1:6 iken, AFD ise nck ff = 2olduǧund yklyilmektedir 43 Değişinti zlmsının GSGO y ǧımlı deǧişimi Şekil 4 de ise KAKİ-MUSIC sıklık kestiricisinin MUSIC sıklık kestiricisine kıysl sıklık ekseninde ortlmsı lınmış örnek değişintide sğldığı zlmnın GSGO y göre değişimi görülmektedir Monte Crlo yürütümlerinin syısı 1000 dir ff = 1:1 iken ff = 1:8 durumun ornl dh yüksek ir iyileşmesǧlnmktdır

5 5 Vrgılr Sıklık kestirimi proleminde toplnır gürültü SffK ir süreç olrk modelleneildiǧinde KAKİ ye dylı ltuzy teknikleri irden çok ton sinyli olduǧund d tek ton sinyli olduǧundki gii [4, 7] ikinci kerteden isttistiǧe dylı krşılıklrın kıysl dh şrılı olmktdır Bu durum özellikle gürültünün dürtün krkterini gösteren lçk ff deǧerlerinde dh elirgindir Arştırıln kestiricilerden Brtlett ve KAKİ-Brtlett ın tek ton sinyli olduǧu durumdn frklı olrk ton sıklıklrını çözmekteki şrısızlıklrı yüzünden irden çok sinüzoit olduǧund KAKİ kullnn kestiricileri sınmk için uygun olmdıklrı görülmüştür Bu yüzden MU- SIC ve KAKİ-MUSIC ile lınn enzetim sonuçlrı deǧerlendirilmiştir KAKİ-MUSIC çoklu sinüzoitlerin sıklıklrının kestiriminde de hem dürtün gürültüde MUSIC ten çok dh şrılı olup hem de gürültünün dürtün krkterinin olmdıǧı durumlrd yklşık onunl ynı şrımı elde ederek gürüz ir kestirici olduǧunu göstermiştir Kynkç [1] M Sho nd C L Nikis, Signl processing with frctionl lower order moments: Stle processes nd their pplictions, Proc IEEE, vol 81,pp , 1993 [2] G Miller, Properties of certin symmetric stle distriution, J of Multivrite Anl, vol 8, pp , 1978 [3] P Tsklides nd C L Nikis, Suspce-sed direction finding in lph-stle noise environments, in Proc IEEE Int Conf on Acoust Speech nd Signl Proc (ICASSP 95), Michign, USA, My 8-12, 1995 [4] M A Altınky, H Deliç, B Snkur, E Anrım, Frequency Estimtion of Sinusoidl Signls in Alph- Stle Noise Using Suspce Techniques, in Proc 8th IEEE Signl Processing Workshop on Sttisticl Signl nd Arry Processing, Korfu, Yunnistn, Hzirn 1996 [5] G A Tsihrintzis, C L Nikis, Performnce of optimum nd suoptimum receivers in the precence of impulsive noise modeled s n lph-stle process, IEEE Trns on Communictions, vol 43, no 2/3/4, Ferury/Mrch/April, pp , 1995 [6] J M Chmers, C L Mllows nd B W Stuck, A Method for Simulting Stle Rndom Vriles, J Amer Stt Assoc, vol 71, pp , 1976 [7] M A Altınky, B Snkur, H Deliç, E Anrım, Dürtün Gürültüde Alt-Uzy Teknikleriyle Sinüzoidl Prmetre Kestiriminde Yeni Sonuçlr, 5 Sinyl İşleme ve Uygulmlrı Kurultyı Bildiriler Kitı, Kuşdsı, İzmir, pp , 1-3 Myıs 1997 [8] Q T Zhng, Proility of Resolution of the MUSIC Algorithm, IEEE Trns on Signl Proc, vol 43, no 4, pp , 1995

6 ORNEK DEGISINTISI [db] YANLILIK [Hz] DUZGELENMIS SIKLIK FARKI (f2-f1) [Hz] DUZGELENMIS SIKLIK FARKI (f2-f1)[hz] Şekil 1: MUSIC ve KAKİ-MUSIC sıklık kestiricilerinin örnek değişintisinin ve ynlılığının düzgelenmiş sıklık frkın göre değişimi, : MUSIC, : KAKİ-MUSIC (f 1 =0:25, ff =1:0, p =0:8 (KAKİ-MUSIC), M =20, GSGO =2dB, N =1000, 200 enzetim ortlmsı) COZUNURLUK OLASILIGI c COZUNURLUK OLASILIGI c GSGO [db] KARAKTERISTIK USTEL Şekil 2: MUSIC, KAKİ-MUSIC, AFD sıklık kestiricilerinin çözünürlük olsılığının GSGO y göre değişimi, : MUSIC, : KAKİ-MUSIC, c: AFD (ff = 1:0, M = 20, N = 50, f 2 f 1 fz gerçekleşimi) = 0:08, 1000 gürültü ve Şekil 3: MUSIC, KAKİ-MUSIC, AFD sıklık kestiricilerinin çözünürlük olsılığının krkteristik üstele göre değişimi, : MUSIC, : KAKİ-MUSIC, c: AFD (GSGO = 2dB, M = 20, N = 50, f 2 f 1 = 0:08, 1000 gürültü ve fz gerçekleşimi) DEGISINTI KAZANCI [db] GSGO [db] Şekil 4: KAKİ-MUSIC sıklık kestiricisinin MUSIC e kıysl sıklık ekseninde ortlmsı lınmış örnek değişintide sğldığı zlmnın GSGO y göre değişimi, : ff = 1:1, : ff = 1:8 (M = 20, N = 50, 1000 gürültü ve fz gerçekleşimi)