D URT UN G UR ULT UDE ALT-UZAY TEKN _ IKLER _ IYLE S _ IN UZO _ IDAL PARAMETRE KEST _ IR _ IM _ INDE YEN _ ISONUCLAR

Transkript

1 D URT UN G UR ULT UDE ALT-UZAY TEKN _ IKLER _ IYLE S _ IN UZO _ IDAL PARAMETRE KEST _ IR _ IM _ INDE YEN _ ISONUCLAR Mustf A. Altnky, Hkn Delic, Bulent Snkur Elektrik-Elektronik Muhendisligi Bolumu, Bogzici Universitesi, 881, Beek, _ Istnul E. Post : ltink, oun.edu.tr Ozetce Durtun ortmd gozlemlenen sinuzoidl sklk kestiriminde Guss gurultu vrsymn dynn teknikler sr sglymzlr. Bu durumlrd dh iyi kestirimler elde etmenin ir yolu gurultunun lf krrl ir surec olrk modellenmesi ve verinin kesirli lck kerteli isttistikleri (KAK I) _ ile sinyl prmetrelerinin kestirilmesidir. Bu clsmd verinin ozde- gisim (covrition) mtrisinin ikinci kerteden isttistik kullnmndki ozdegisinti mtrisinin yps ile enzerlikler tsmsndn yrrlnlmstr. Bu mtrisin oznlizinin yplms ile gurultu ve sinyl lt-uzy yontemleri ile sinuzoidl sklk kestirimi yplms ve u yontemlerin hngilerinin dh srl olduklr rstrlmstr. Bsrl oln yontemlerin durtun gurultu ortmnd sinuzoidl sklk kestiriminde, ikinci kerteden isttistige dyl kr- slklrndn dh ustun ir srm sergiledikleri gosterilmistir. 1 Giris Sinuzoidl sklk kestirimindeki cogu clsm toplnr gurultunun Guss dglmn ship oldugunu vrsymktdr. Guss modeli teorik clsmy kolylstrc ve islemsel yogunlugu zltc ozellikler tsmktdr. Gurultu dglm ozellikle dglmn etekleri dikkte lndgnd yklsk olrk ir Guss modele uyduruliliyors, Guss gurultu vrsym ile iyi kestiriciler tsrlnilir. Fkt gurultu Guss-olmyn, ozellikle etekleri dolu ir dglm snfndys vey durtun ir dogs vrs, Guss gurultusu vrsymn dynn prmetre kestiricileri srsz olurlr. Durtun gurultu surecleri krrl dglmlrl modelleneilirler. Eger sinyl cok syd gmsz ve esdeger dglmlrn toplm olrk dusunuleiliyors, u dglm Genellestirilmis Merkezi Limit Teoremi'ne gore krrl ir dglm olcktr [1]. Ayrc krrl dglmlr limitlerinde Guss dglmn d kpsmktdrlr. Eger toplnr gurultu etekleri dolu ir dglm shipse verinin ozdegisim (covrition [2]) ktsylrn kullnn sklk kestiricileri Guss gurultusu vrsymn dynn verinin ikinci kerteden isttistiklerini kullnn kestiricilerden dh srl olmktdrlr.

2 Bu clsmd ozdegisim ktsylrn kullnn lt-uzy teknikleriyle sklk prmetresi kestirimi ele lnmstr. 2. olumde SK dglmlr ksc nltlmstr. 3. olumde kesirli lck kerteli momentlerin (KAKM) sklk kestirimi prolemine uygulnms nltlmstr. Benzetim sonuclr 4. olumde incelenmektedir. Vrglr ise. olumde verilmektedir. 2 SK Dglmlr Simetrik -krrl dglmlr (SK) krrl dglmlrn onemli ir ltsnfn olustururlr. SK ir dglmn krkteristik usteli, (< 2) konum prmetresi, (;1 <<1) ve sclm, (>) ile gosterildiginde SK ir degiskenin krkteristik islevi (!) = exp fj! ; j!j g (1) seklinde verilir. Guss gurultu vrsymnd oldugu gii genellikten uzklsmdn konum prmetresi = olrk kul edileilir. Bu durumd krkteristik islev (!) = exp f;j!j g (2) olur. SK dglmlrn ylnzc p<kertesinden momentleri tnmldr. Bu yuzden verinin ikinci kerteden isttistigine dyl kestirim yontemleri uygulnmz. Bir cozum KAKM'lerin kullnlmsdr [1]. Anlizde ikinci kerteden momentler yerine ozdegisim degerleri kullnlmstr. _Iki tne ortk SK, gercel ve sclmlr x ve y oln rstlntsl degiskenin ozdegisimi [X Y ] = E[XY <p;1> ] y (3) E[jY j p ] seklinde verilir. Burd y = [Y Y ] rstlntsl degisken Y 'nin sclmdr ve Y <p;1> = jy j p;2 Y olrk tnmlnmstr. 3 Sklk Kestirimi Prolemi Sinyl gercel sinuzoidllerin toplmndn olusmkt, s n = KX k=1 ve toplnr SK gurultu ortmnd gozlemlenmektedir. A k sin(! k n + k ) (4) x n = s n + z n n =1 N () Burd ilinmeyen prmetrelerin k'nc ton sinyli icin genlik A k, ton sklg! k ve evre cs k oldugu vrsylmstr. N veri orneklerinin sysn, K ton sinyllerinin sysn gostermektedir. x n ve z n ise gozlemlenen dizi X n vesk gurultu dizisi Z n 'nin gerceklenimleridir. Gurultu ornekleri gmsz ve ozdes dglml olduklrnd, gozlemlenen dizi krrl ir ozglnml (utoregressive) ( OZ) islev olrk modelleneilir: X n = 1 X n;1 + + M X n;m + Z n : (6)

3 Boylece X n;m verildigindeki genellestirilmis Yule-Wlker esitlikleri E[X n jx n;m ] = 1 E[X n;1 jx n;m ]+ + M E[X n;m jx n;m ] (7) E[X n+l jx n ] = (l)x n (8) seklinde elde edilir. Burd m =1 M'dir. Eger (l), X n+l 'nin X n ile ozdegisim ktsylrn gosteriyors, OB ktsylr sgdki esitlik sisteminin cozumu olrk ulunur () (;1) (1 ; M) (1) () (2 ; M).... (M ; 1) (M ; 2) () {z } C M 3 7 {z } = (1) (2). (M) 3 7 {z } Ozdegisim mtrisi lf-krrl surecler icin, ozdegisinti (covrince) mtrisinin Guss surecler icin tsdgn enzer ir nlm tsmktdr. Ozdegisim mtrisine ozyrstrm uygulndgnd, uyuk ozdegerler sinyl ltuzy ozvektorlerine it olmkt, diger ozvektorler ise gurultu ltuzyn olusturmktdrlr. Boylece ozdegisim mtrisine uygulnn ir oznliz sonrsnd uygun ir sinyl y d gurultu ltuzy teknigi ile sinyl prmetreleri kestirileilir. Ozdegisim mtrisinin ksml olmdgn dikkt edilmelidir. Bu yuzden oznliz dh zorlsmkt ve Guss surecler icin gelistirilmis oln ircok ltuzy prmetre kestirim teknikleri lf-krrl surecler icin uygulnmz olmktdrlr. Ozdegisim mtrisini ilk kez Tskhlides ve Nikis Coklu Sinyl Ayrstrms ( CSA) (MU- SIC) yonteminde kullnrk gelis yonu kestirimi prolemine uygulmslrdr [3]. Dh sonr Altnky v.d. trfndn u Kesirli Alck Kerteli _ Isttistige dyl CSA (KAK _ I- CSA) olrk dlndrilecegimiz yontem sinuzoidl sklklrn lf-krrl gurultu ortmnd kestirilmesinde kullnlmstr [4]. Ayn clsmd ir sinyl ltuzy sklk kestirim yontemi oln Brtlett kestiricisinin de KAK_I'ye dyl oln, KAK_I-Brtlett kestiricisi,tntlmstr. Bu clsmd ise sinuzoidl sklklrn lf-krrl gurultu ortmnd kestirilmesinde KAK_I tnl cesitli ltuzy teknikleri tntlck, snnck ve hngilerinin dh srl olduklr uluncktr. 4 Benzetim Clsmlr Bu clsmd KAK _ I- CSA, KAK _ I-Brtlett, KAK _ ITufts Kumresn (KAK _ I-TK) ve KAK _ IEn Kucuk Norm (KAK _ I-EKN) yontemleri ile lf-krrl gurultu ortmndki gercel sinuzoidllerin sklklr kestirilmistir. Gelistirilmis KAKM (GKAKM) (modied FLOM) kestiricisi [3] p 2 [ 2] rlgndki moment kerteleri icin (9) ^C M F LOM (k l) = P N ;M +1 i=1 X k+i;1 jx l+i;1 j p;2 X l+i;1 P N ;M +1 i=1 jx l+i;1 j p k l =1 M (1)

4 seklinde verilmekte ve ornek ozdegisim mtrisi ^C'in (k l)'inci elemnn ulmkt kullnlmktdr. M, OB model kertesini gostermektedir. Gurultu ortmnn durtunlugu SK gurultunun ve prmetreleri ile kontrol edilmistir. SK gurultuyu uretmek icin Tsihrintzis ve Nikis'n ckldg [] yontem kullnlmstr. Bu Chmers v.d. [6] trfndn nltln ksml olmyn -krrl rstlntsl degiskenleri uretmekte de kullnlilen yontemin ozel ir durumudur. Moment kertesi p =:8 veveri uzunlugu N = olrk secilmistir. Ozdegisim mtrisi ise 2 2 oyutlrnddr. 4.1 Degisinti ve ynllgn sklg gml degisimi Sekil 1'de Brtlett ve KAK_I-Brtlett sklk kestiricilerinin ornek degisintisinin ve ynllgnn duzgelenmis csl sklg gore degisimi gorulmektedir. = 1'dir (Chuchy gurultu) ve GSGO = db'dir. Gurultu ve fz gerceklesimlerinin sys srsyl 1 ve 2'dir. Yni her ir egri 2 Monte Crlo yurutumunun ortlmsdr. KAK _ I-Brtlett sklk kestiricisi u enzetimlerde Brtlett'dn db dh z ir ornek degisintisini sglmstr. Ynllk egrisi! =1:7rd/s cevresinde ksmllk gostermektedir. KAK _ I-Brtlett, Brtlett sklk kestiricisine gore cok ustun ir srm sergilemektedir. Ynllklrnn frk! = :2rd/s yoresinde.4 rd/s'den fzldr. 4.2 Degisinti zlmsnn GSGO'y gml degisimi Sekil 2'de ise KAK_I-Brtlett sklk kestiricisinin Brtlett sklk kestiricisine kysl sklk ekseninde ortlms lnms ornek degisintide sgldg zlmnn GSGO'y gore degisimi gorulmektedir. Monte Crlo yurutumlerinin sys her iri yr gurultu ve fz gerceklesimiyle olmk uzere 1'dur. En yuksek iyilesme = 1 iken (Chuchy gurultu) sglnmktdr. Bu kznc GSGO = 2 db oldugund yklsk 17 db'dir. Butun egriler elli GSGO degerleri rsnd KAK_I kestiricilerin ikinci kerteden isttistige dyl kestiricilere kysl uyuk ir iyilesme sgldgn, diger GSGO degerlerinde ise ornek degisintisinde pek ir kotulesmeye yol cmdklrn gostermektedir. Ylnzc Guss gurultu durumund KAK _ Ikestiricinin GSGO esik degeri, ikinci kerteden isttistige dyl kestiricininkinden dh yuksektir. 4.3 Degisintinin GSGO'y gml degisimi Sekil 3'te ikinci kerteden isttistige dyndrldklrnd enzer degisinti-sgo dvrns gosteren 4 det sklk kestiricisinin KAK_I'ye dyl surumlerinin degisinti-gsgo dvrns gorulmektedir. = 1'dir. Egriler sklg gore ortlms lnms degisintilerin GSGO'y gl degisimini gostermektedir. KAK _ I-TK ve KAK _ I-EKN kestiricilerinde GSGO=2 db dolylrnd ulsln -3 db'lik degisinti seviyesi, GSGO'nun snrsz olrk rtms durumund ile u seviyesini korumktdr. KAK_I-Brtlett ve KAK_I- CSA kestiricilerinin degisintileri ise GSGO rttkc dogrusl olrk zlmktdr. 4.4 Ynllgn 'y gmllg Sekil 4'te ele lnn sklk kestiricilerinin ikinci vey kesirli lck kerteden isttistige dyl surumlerinin! = :76rd/s oldugundki ynllklrnn lf-krrl gurultunun krkteristik usteline gore degisimi gorulmektedir. Bu sekil rttkc ynllgn zldgn gostermektedir.

5 = 1iken CSA ve TK sklk kestiricilerinin ynllg.4 rd/s'den fzldr. Hluki u deger KAK_I-TK icin.1 rd/s'den z ve KAK_I- CSA icin.1 rd/s'den zdr. KAK_I- CSA'nn ynllg CSA'ninki gii tekduze olrk rtn = 1 ile zlmkl irlikte, KAK I-TK'nn _ ynllgnn zlms dh yvstr ve >1:7 oldugund KAK I-TK'nn _ ynllgnn TK'nnkini stg gozlemlenmektedir. Sekilde gorulmemekle irlikte Brtlett ve KAK I-Brtlett _ kestiricileri de CSA ve KAK_I- CSA kestiricileri gii dvrnmktdrlr. Vrglr Sklk kestirimi proleminde toplnr gurultu SK ir surec olrk modelleneildiginde KAK_I'ye dyl lt-uzy teknikleri ikinci kerteden isttistige dyl krslklrn kysl dh srl olmktdrlr. Bu durum ozellikle gurultunun durtun krkterini gosteren lck degerlerinde gorulmektedir. Arstrln kestiricilerden KAK _ I- CSA ve KAK _ I-Brtlett hem durtun gurultude ikinci kerteden isttistige dyl surumlerinden cok dh srl olmkl irlikte gurultunun durtun krkterinin olmdg durumlrd d yklsk onlrl yn srm elde ederek guruz irer kestirici olduklrn gostermislerdir. KAK_I-TK ve KAK_I-EKN ise durtun gurultude TK ve EKN kestiricilerinden dh srl olmlrn rgmen, durtun olmyn gurultude onlr kdr srl olmmktdrlr. Kynkc [1] M. Sho nd C. L. Nikis,\Signl processing with frctionl lower order moments: Stle processes nd their pplictions,"proc. IEEE, vol. 81,pp , [2] G. Miller, \Properties of certin symmetric stle distriution," J. of Multivrite Anl., vol. 8, pp , [3] P. Tsklides nd C. L. Nikis, \Suspce-sed direction nding in lph-stle noise environments," in Proc. IEEE Int. Conf. on Acoust. Speech nd Signl Proc. (ICASSP'9), Michign, U.S.A., My 8-12, 199 [4] M. A. Altnky, H. Delic, B. Snkur, E. Anrm, \Frequency Estimtion of Sinusoidl Signls in Alph-Stle Noise Using Suspce Techniques", in Proc. 8th IEEE Signl Processing Workshop on Sttisticl Signl nd Arry Processing, Korfu, Yunnistn, pp , Hzirn [] G. A. Tsihrintzis, C. L. Nikis, \Performnce of optimum nd suoptimum receivers in the precence of impulsive noise modeled s n lph-stle process", IEEE Trns. on Communictions, vol. 43, no. 2/3/4, Ferury/Mrch/April, pp , 199. [6] J. M. Chmers, C. L. Mllows nd B. W. Stuck, \A Method for Simulting Stle Rndom Vriles," J. Amer. Stt. Assoc., vol. 71, pp , 1976.

6 2 1 ORNEK DEGISINTISI (db) YANLILIK (rd/s) DUZGELENM_IS ACISAL SIKLIK (rd/s) DUZGELENM_IS ACISAL SIKLIK (rd/s) Sekil 1: Brtlett ve KAK _ I-Brtlett sklk kestiricilerinin ornek degisintisinin ve ynllgnn duzgelenmis csl sklg gore degisimi, : Brtlett, : KAK _ I-Brtlett (FLOS-Brtlett) ( = 1:, p =:8 (KAK _ I-Brtlett), M =2,GSGO =db, N =, 1 enzetim ortlms) DEGISINTI KAZANCI (db) d c - DEGISINTI (db) , c d GSGO (db) GSGO (db) Sekil 2: KAK _ I-Brtlett sklk kestiricisinin Brtlett' kysl sklk ekseninde ortlms lnms ornek degisintide sgldg zlmnn GSGO'y gore degisimi, : = 1:, : = 1:4, c: =1:8, d: =2: (M =2,N =, 1 gurultu vefzgerceklesimi) Sekil 3: KAK _ I'e dyl sklk kestiricilerinin sklk ekseninde ortlms lnms ornek degisintilerinin GSGO'y gore degisimi, : KAK I-Brtlett, _ : KAK I- _ CSA, c: KAK I- _ TK, d:kak I-EKD _ (M = 2, N =, 1 gurultu ve fz gerceklesimi) YANLILIK (rd/s) c.1 d KARAKTERISTIK USTEL Sekil 4: Sklk kestiricilerinin ynllklrnn lf-krrl gurutunun krkteristik usteline gore degisimi, : CSA, : KAK _ I- CSA, c: TK, d: KAK _ I-TK (M = 2, N =, 1 gurultu ve fz gerceklesimi)