BOYAMA VE KATI CİSİM ÜRETİMİ

Transkript

1 AADENİZ TENİ ÜNİVESİTESİ Bilgisr Mühendisliği Bölümü Bilgisr Grfikleri borturı BOYAMA VE ATI CİSİM ÜETİMİ BEZİE EĞİEİ Bilgisr grfiklerinin önemli bir ugulmsı oln beier eğrileri 1970 ılınd, Frnsı bir mühendis oln Pierre Béier trfındn, renult rblrın tsrımınd kullnılmk için geliştirilmiştir. Beier eğrileri günümüde fontlrın üretiminde, modelleme çlışmlrınd, ve dh birçok lnd kullnılmktdır. Beier eğrisi, kendini tnımlck oln poligonun köşeleri ile birebir ilişkilidir. Poligonun lnıc ilk ve son köşeleri eğri üerinde bulunmktdır. Diğer köşeler ise eğrinin derecesini ve dolısıl şeklini tnımlmd ktkıd bulunurlr. Beier eğrisi çık ve kplı bir poligon trfındn tnımlnbilir. Poligonun verteleri üerinde ptığımı değişiklikler doğrudn eğrinin üerinde oluşck oln değişikliğe krşı düşecektir. Bölelikle köşelerin kullnımı sesinde kullnıcı görsel olrk ulşbileceği sonuçlrı önceden kestirebilmektedir. Beier eğrileri, erel denetime iin vermekle berber istenilen düee erişememiştir. Beier eğrisinin oluşumun belirli ornlrd ktkıd bulunn kontrol noktlrındn herhngi birinde pıln değişiklik, eğrinin geneli üerinde etkie shiptir. n. dereceden bir polinom n+1 det köşe ile tnımlnmktdır. Beier premeterik eğri fonksionu şğıdki şekilde verilmektedir. (1) k değeri n+1 det köşei indekslemede kullnılmktdır. 0 dn n e kdr numrlndırılmış oln köşeler k indeksi ile refernslnmktdır. P k, herbir kontrol noktsını temsil etmektedir. u, 0 ile 1 rsınd değer lbilen bir prmetredir. u=0 eğrinin bşını işret ederken, u=1 değeri ise eğrinin sonunu göstermektedir. 0<u<1 rsındki değerler eğrinin r noktlrını belirler. u prmetresindeki değişim rlığı eğrinin klitesini belirler. n, köşe sısının bir eksiği olup çiilecek eğrinin derecesini belirler. N i,k (u) fonksionu, n+1 rık kontrol noktsının (P k değerleri) eğrinin şekillenmesine ktkısını gösteren sürekli bir ğırlıklndırm fonksionudur. Aşğıdki örnekte 5 det kontrol noktsı ile tnımlnn 4. dereceden bir beier eğrisi verilmiştir.

2 Poligon köşesi (Denetim noktsı) Beier eğrisi, ilk ve son kontrol noktlrı hriç herhngi bir kontrol noktsındn geçme. Formülden B(0) = P 0 nd B(1) = P n olduğu görülmektedir. Eğrinin slınımı kontrol noktlrının sınırldığı rlıktdır. Bşk bir deişle eğri en çok poligonun kendisine ulşbilir. Eğer bir kontrol noktsı vrs, polinomun derecesi 0 olur. Dolısıl bütün u değerleri için B(u) değeri P0 eşit olcktır. Mtemtiksel eşitliği ğırlıklndırm fonksionu olrk tnımlnmktdır. Ağırlıklndırm fonksionunun derecesi her mn kontrol noktlrı sısının bir eksiğine eşittir. Yni 4 kontrol noktsı vrs ğırlıklndırm fonksionu kübik bir eğri tnımlrken, 3 kontrol noktsı bir prbol ni ikinci dereceden bir denklem tnımlr. plı bir eğri oluşturmk için, pılmsı gereken, ilk ve son kontrol noktlrının çkıştırılmsı olcktır. Belirli bir nokt etrfın birden fl kontrol noktsı erleştirmek, eğrinin bu nokt doğru çekilmesini sğlcktır. Bir Beier eğrisine prlel oln bşk bir Beier eğrisini üretmek genelde mümkün değildir. (tbiki iki kontrol noktsındn oluşn ve dü bir çigii temsil eden beier eğrileri hriç) 3 kontrol noktsı için (1) denklemi şğıdki eğri bğıntısını (2) verir. B(u) = P 0 * ( 1 - u ) 2 + P 1 * 2 * u ( 1 - u ) + P 2 u 2 (2) Şekil (1) de örnek beier eğrileri verilmektedir.

3 Şekil (1) BEZİE YÜZEYEİ Beier üeleri iki Beier eğrisinin ğırlıklndırm fonksionlrının krteen çrpımıl üretilebilir. Yüe üretimi için gerekli oln mtemtiksel denklem şğıdki şekilde verilmektedir. P i,j (i,j). kontrol noktsını temsil etmektedir. İ doğrultusund n i+1 det ve j doğrultusundd n j+1 det kontrol noktsı vrdır. Beier üei, nı beier eğrilerinde olduğu gibi köşe noktlrı hriç kontrol noktlrındn geçmeler. Beier üei kontrol noktlrının sınırldığı rlık içerisindedir. (ni teknik tbiri ile conve hull içerisinde bulunmktdır) Eğer kplı bir üe oluşturmk istiorsk o mnd bşlngıç ve bitiş kontrol noktlrının nı olmsın dikkt etmemi gerekir. Beier eğrileri ile oluşturulmuş örnek bir üe şğıdki şekildedir.

4 AYDINATMA TENİEİ Yüe üerine bir ışık düştüğü mn utulbilir, nsıtılbilir ve geçirilebilir. Yüee gelen ışık enerjisinin bir kısmı utulrk ısı dönüşür. Gerie kln nsıtılır ve geçirilir. Bir cismi görünür pn, nsıtıln ve geçirilen ışıktır. Eğer gelen tüm ışık enerjisi utulurs cisim görünme. O mn cisme sih pılı denir. Ynsın ve geçirilen ışık enerjisi bir cismi görünür pr. Yutuln, nsın ve geçirilen enerji miktrı ışığın dlg boun bğlıdır. Eğer gelen ışığın çok küçük bir kısmı utuluors, cisim be görülür. Eğer bı dlg bolrı utuluors, cismi terk eden ışık frklı bir enerji dğılımın ship olcktır. Dolısıl cisim renkli görünecektir. Bir cismin üeinden nsın ışık, gın (diffusel) nsın ışık d bşk bir nsımış ışık türü oln nsl (speculrl) nsımış ışık olrk krkterie edilebilir. DIFFUSEY YANSIYAN IŞI ve DIFFUSE AYDINATMA Diffusel nsın ışık, cismin içine nüfu eden, utuln ve dh sonr eniden dışrı çıkrıln bir ışık olrk düşünülebilir. Ygın (diffusel) nsımd, ışık knğındn çıkn ışık cisim üerindeki bir nokt vurduktn sonr tüm doğrultulrd eşit olrk sçılır. Mükemmel gın nsıtıcı, ışığı mbert in cosinüs knunun göre nsıtır. mbert knunun göre, mükemmel bir nsıtıcıdn nsın ışığın prlklığı gelen ışığın doğrultusu ile üein normli rsındki çının cosinüsü ile orntılıdır. mbert knunu üee çrpn ışığın ne kdrının nsıtılcğını belirler. Ygın (diffusel) nsımd kullnıln gın (diffuse) dınltm modelinde her doğrultud ıln enerji miktrı nıdır. Bşk bir deişle nsıtıln ışık, gölemcinin bulunduğu erden bğımsıdır. Fkt ışık knğının üee oln doğrultusu (ni θ çısı ile) ile doğrudn ilişkilidir. I=k d * I light * cosθ 0 θ 90 Burd üein pısl öelliklerini krkterie eden k d ktsısı, üein gın nsımsını (diffuse reflectivit) temsil eder ve 0 ile 1 rsınd değişir. k d =0 iken I=0 olduğundn gelen ışık tmmile utulur, k d =1 iken I= I light * cosθ olduğundn üein mükemmel bir nsıtıcı olduğu nlşılır. N: üe normli : gelen ışık Şimdi ışık üee, üein normli ile 0 o çı prk geldiği vrsılsın. Bu durumd üein de mükemmel bir nsıtıcı olduğu vrsıldığındn I=I light olur ve enerji kbı oktur. Ardki θ çısı 90 o olsdı o mn, I=0 olcğındn herhngi bir nsım gölemleneme.burd θ çısı 0 o ile 90 o rsınddır, dh büük çılr için ışık knğı cismin rksın düşecektir. Ylnı gın (diffuse) nsım dınltm modeli ile dınltıln cisimlerin, donuk bir üee ship olduklrı görülür. Işık knğı noktsl kbul edildiğinden,

5 knktn doğrudn ışık lmn cisimler sih görülür. Hlbuki gerçek bir mnrd çevredeki cisimlerden, örneğin odnın duvrındn sçıln ışıklrı d cisimler lmktdır. İşte bu ortm (mbient) ışığı dğılmış bir ışık knğını temsil eder. OTAM (AMBIENT) AYDINATMA Belkide en bsit dınltm modelidir. Shnedeki bir cisim renk ve prlklık değerleri kullnılrk görüntülenir. Cismin bütün pikselleri nı renge ve prlklığ shiptir. Dolısıl bu dınltm modelinin sonucu, hiç de gerçekçi olmn bir görüntüdür. Bu üden bu model diğer dınltm modelleri ile birlikte kullnılır. I=I *k I, ortmdn gelen ışığın prlklığını gösterir ve shnedeki tüm cisimler için sbittir. k ise ortm nüfu nsım sbiti olup mterlin öelliklerini nsıtır. Örneğin metlik bir görüntüe ship bir cisim için bu değer 1 ve 1 e kın olmlıdır. (Çünkü bu durumd I I olmkt ve metlik mddelerin nsıtıcılık öelliği ort çıkmktdır.) YAYGIN (DIFFUSE) ve OTAM (AMBIENT) AYDINATMANIN BİEŞTİİMESİ Her iki dınltm modelinin birleştirilmesile elde edilen mtemtiksel model şğıdki şekilde olur. I = I *k + k d * I light * cosθ 0 θ 90 Ylnı gın (diffuse) dınltm modeli ile dınltıln cisimler tuhf renklerde olmkt ve doğllık içermemektedir. Bu üden cisimlere doğllığının ktılmsı mcı ile ortm (mbient) dınltm,gın (diffuse) dınltm ile birlikte kullnılmktdır. Bilindiği gibi nsın ışığın prlklığı knktn oln uklığın kresi ile orntılı olrk lır, ni uk cisimler dh prlk görünür. Adınltm modelinde dğıtm terimi uklığın kresi ile orntılı pılırs bu terimin ktkısı ortdn klkr. Tersine, bkış noktsı cisme çok kın olduğu mn 1/d 2 çok hılı olrk değişir. Deneler göstermiştir ki en gerçekçi sonuçlr lineer bölme kurlı kullnılrk elde edilir. Bu durumd dınltm modeli I l d cosθ I = I + d + k olur. Burd k kefi bir sbittir. Bkış noktsının sonsud olduğu kbul edildiği mn d uklığı bkış noktsın en kın cismin konumundn belirlenir. AYNASA (SPECUA) YANSIYAN IŞI ve PHONG AYDINATMA MODEİ Ansl (speculrl) nsımış ışığın prlklığı, ışığın geliş çısın, gelen ışığın dlg boun, ve mterlin öelliklerine bğlıdır. Ol ışık tutn Fresnel denklemidir. Işığın nsl (speculr) nsımsının bir doğrultusu vrdır. Mükemmel nsıtn bir üe için (n gibi), nsım çısı gelme çısın eşittir. Bu üden lnı tm bu çıd durn bir gölemci,nsl (speculrl) nsımış ışığı görebilir. (Os diffusel nsın ışık, herhngi bir doğrultud nsımkt, dolısıl gölemcinin konumu önemsi klmktdı.) Bunun nlmı, nsım vektörünün S bkış vektörü ile çkışmsıdır. Yni α çısının 0 olmsıdır. α çısının rtımı ile göe gelen speculr nsımış ışık miktrı gittikçe düşecektir. α çısı gölemcie ulşn ışık miktrını doğrudn etkileecektir. Pürüsü ve prlk üeler için usl dğılım dr ve odklnmıştır

6 (α çısı 0 kın), hlbuki pürülü üeler için bu usl dğılım gınlşmış ve genişlemiştir (α çısı rtmış). Prlk cisimler üerindeki highlightlr speculr nsımdn knklnır. Speculr nsımış ışık, nsım vektörü bounc odklnmış olduğundn, gölemci hreket ettiği mn highlightlrd hreket eder. Arıc ışık cismin dış üeinden nsıdığındn, metller ve bı ktı bolr hriç üe ile etkileşime geçmeecek ve nsın ışığın öellikleri gelen ışığın öellikleri ile nı olcktır. Mesel, be ışıkl dınltılmış prlk mvie bonmış bir üe üerindeki highlightlr mviden ide be görünür. Speculr nsımış ışık için dınltm modeli olrk, Bui-Tuong Phong öntemi kullnılmktdır. I s =I light * W(i,λ) cos n α -90 α 90 Burd W(i,λ) nsım eğrisi λ dlgbou ve i geliş çısının fonksionu olrk speculr nsımış ışığın gelen ışığ ornını verir. Burd n, speculr nsımış bir ışığın usl dğılımını klşımlndırn bir kuvvettir. n nin çeşitli değerleri için cos n α nın değişimi şekil(2) de verilmiştir. Şekil (2) Eğer cisim metlik bir öelliğe shipse büük n değerleri seçilmelidir. Bölelikle cos n α nın 1 e klşımı hılndırılck ve nsın ışık miktrı rtırılmış olcktır. Yni cisime prlk bir üe etkisi kndırılmış oluncktır. Tüm bu sonuçlr diğer iki model ile birleştirilirse şğıdki dınltm modelini elde edilir. I l n I = I + ( d cosθ + s cos α) d + k Eğer çok sıd ışık knğı vrs, etkiler doğrusl olrk toplnır. O mn dınltm modeli I lj n I = I + ( d cosθ j + s cos α j ) j= 1 d + k olur. Burd m ışık knklrının sısıdır.

7 İki vektörün skler çrpımındn şğıdki ifde ılbilir n. cos θ = = nˆ. ˆ n Burd n ve sırsıl üe normli ve ışık knğı doğrultusundki birim vektörlerdir. Bener şekilde. S cos α = = ˆ. Sˆ S ılbilir. Burd ve S sırsıl nsımış ışının ve bkış doğrultusunun birim vektörlerdir. Bölece tek ışık knğı için dınltm modeli: I l I = I + [ d ( nˆ. ˆ) + s ( ˆ. Sˆ)] d + k YÜZEY NOMAİNİN BEİENMESİ Speculr nsımnın doğrultusu üe normli trfındn belirlenir. Eğer üein nlitik ifdesi biliniors, üe normlinin hesplnmsı koldır. Am birçok üein lnı poligonl klşımı bilinir. Eğer herbir poligonl göün dülem denklemi biliniors, o mn herbir göün normli dülem denkleminin ktsılrındn elde edilebilir. V 8 V 7 P3 V 4 V 3 P4 P0 P2 V 1 V 2 P1 V 5 V 6 Şekil (3.1) Şekil (3.2) Şekil (3) Poligonl üe normli klşımlrı Eğer poligonl gölerin dülem denklemleri vrs o mn bir köşedeki norml bu köşei kuştn poligonlrın normllerinin ortlmsı lınrk klşımlndırılmlıdır. Mesl Şekil (3.1) de, V1 deki normlin klşık doğrultusu şğıdki ifde ile verilir. n V 1 = + + ) i + ( b + b + b ) j + ( c + c + c ) k ( 4 Burd 0, 1, 4, b 0, b 1, b 4, c 0, c 1, c 4 ktsılrı V 1 i kuştn P 0, P 1, P 4 poligonlrının dülem denklemlerinin ktsılrıdır. Alterntif olrk, dülem denklemleri oks, köşedeki norml, bu köşede sonlnn tüm kenrlrın vektörel çrpımlrının ortlmsı lınrk klşımlndırılbilir. V n =

8 Ylnı dışrı doğru oln normllerin ortlmsının lınmsın dikkt edilmelidir. Normliesi üe normllerinin genliği ve önü bu iki klşım tekniği için frklıdır; Şekil b. Sonuç olrk bir dınltm modeli, üe normlini klşımlndırmk için kullnıln tekniğe bğlı olrk frklı sonuçlr verecektir. Eğer prlklığı belirlemek için üe normli kullnılck ve cismi ve mnrı görüntülemek için bir perspektif trnsformson kullnılcks, perspektif trnsformson ugulnmdn önce norml belirlenmelidir. Aksi tkdirde, normlin doğrultusu boulcktır ve dınltm modeli trfındn bulunn prlklık nlış olcktır. YANSIMA VETÖÜNÜN BEİENMESİ Ynsım vektörünün doğrultusunun belirlenmesi bir dınltm modelinde çok önemlidir. Işık vektörü, üe normli ve nsımış ışık vektörünün nı dülemde kldığını ve bu dülemde gelen ışığın çısının nsının çısın eşit olduğu unutulmmlıdır. Işık doğrultusu ekseni bounc ilerlediği mn Phong bsit bir çöüm elde etmek için bu koşullrı kullnmıştır. Eğer koordint sisteminin orjini üe üerindeki bir nokt olrk lınırs, o mn norml ve nsımış vektörün dülemi üerine projeksionu doğrusl bir çigi üerine düşer. Bu üden, ˆ nˆ = ˆ nˆ olur. Burd ˆ, ˆ, nˆ, nˆ sırsıl nsımış ve norml doğrultulrındki birim vektörlerinin ve bileşenleridir. Birim norml vektörü ile ekseni rsındki çı θ dır. Bu üden önündeki bileşen n ˆ = cosθ 0 θ Π/2 Bener şekilde, birim nsım vektörü ile ekseni rsındki çı 2θ dır. bundn dolı ˆ 2 cos 2 2 cos 1 2 ˆ 2 = θ = θ = n 1 ve ˆ 2 ˆ 2 ˆ = 1 ve n ˆ + nˆ + nˆ = 1 olduğu htırlnırs ˆ = 2nˆ nˆ ve ˆ = 2 nˆ nˆ elde edilir. Diğer bir teknik birim norml ile birim ışık ve nsım vektörlerinin üçününde nı dülemde klmsını sğln bu vektörlerin vektörel çrpımını kullnır. Birim norml ile birim ışık ve birim norml ile birim nsım vektörlerinin skler çrpımı, gelen ve nsın çılrın eşitliğini sğlmk için kullnılır. Bu koşullr n = n verir ve burdn n + n = n = n + = n

9 elde edilir. Mlesef her öel durum için bu üç denklem bğımsı değildir. Gelen ve nsın çılrın eşit olmsındn ve n. = n. n + n + n = n + n + n ılbilir. Bu denklem gerekli oln ilve koşulu verir ve burdn,, elde edilebilir.