Uzunluk: metre [m] Kütle : Kilogram [Kg] Zaman : saniye [s] Türemiş büyüklük birimleri:

Transkript

1 İİ SSSSS TTTTTT A TTTTTT KKK KK SS SS TTTTTT AAA TTTTTT İİİİ KK KK SS SS T TT T AA AA T TT T İİ KK KK SS TT AA AA TT İİ KK KK SSS TT AA AA TT İİ KKKK SS TT AAAAAAA TT İİ KKKK SS TT AA AA TT İİ KK KK SS SS TT AA AA TT İİ KK KK SS SS TT AA AA TT İİ KK KK SSSSS TTTT AA AA TTTT İİİİ KKK KK DDDDD EEEEEEE RRRRRR SSSSS NN NN OOOOO TTTTTT LLLL A RRRRRR IIII DD DD EE EE RR RR SS SS NNN NN OO OO TTTTTT LL AAA RR RR II DD DD EE E RR RR SS SS NNNN NN OO OO T TT T LL AA AA RR RR II DD DD EE E RR RR SS NNNNNNN OO OO TT LL AA AA RR RR II DD DD EEEE RRRRR SSS NN NNNN OO OO TT LL AA AA RRRRR II DD DD EE E RR RR SS NN NNN OO OO TT LL AAAAAAA RR RR II DD DD EE RR RR SS NN NN OO OO O O TT LL AA AA RR RR II DD DD EE E RR RR SS SS NN NN OO OO TT LL L AA AA RR RR II DD DD EE EE RR RR SS SS NN NN OO OO TT LL LL AA AA RR RR II DDDDD EEEEEEE RRR RR SSSSS NN NN OOOOO TTTT LLLLLLL AA AA RRR RR IIII İİ MM MM EEEEEEE HH HH MM MM EEEEEEE TTTTTT RRRRRR EEEEEEE NN NN MMM MMM EE EE HH HH MMM MMM EE EE TTTTTT İİİİ RR RR EE EE NNN NN MMMMMMM EE E HH HH MMMMMMM EE E T TT T İİ RR RR EE E NNNN NN MMMMMMM EE E HH HH MMMMMMM EE E TT İİ RR RR EE E NNNNNNN MM M MM EEEE HHHHHHH MM M MM EEEE TT İİ RRRRR EEEE NN NNNN MM MM EE E HH HH MM MM EE E TT İİ RR RR EE E NN NNN MM MM EE HH HH MM MM EE TT İİ RR RR EE NN NN MM MM EE E HH HH MM MM EE E TT İİ RR RR EE E NN NN MM MM EE EE HH HH MM MM EE EE TT İİ RR RR EE EE NN NN MM MM EEEEEEE HH HH MM MM EEEEEEE TTTT İİİİ RRR RR EEEEEEE NN NN

2 1 MEKANİK 1.1- MEKANİĞİN TANIMI: Meknik hreket hdiselerinin ilimidir. Üç kısm yrılır Kinemtik: Hreketi doğurn seeler, yni kuvvetler göönüne lınmksıın hreketin tetkikinden irettir. [Ampere-1775,1836] Sttik: Dinmiğin öel ir hli olup dengenin hngi şrtlr ltınd gerçekleştiğini inceler. 1.1.c- Dinmik: Hreketi meydn getiren ve değiştiren seelerle irlikte hreketi tetkik eden ilimdir. 1.2 MEKANİKTE KULLANILAN BAZI KAVRAMLAR: Uy: İçinde olylrın cereyn ettiği geometrik ir ölgedir. Tek oyutlu, iki oyutlu, üç oyutlu ve n oyutlu olilir Tnecik -Mddesel Nokt-: Diğer ölçülerle mukyese edildiğinde, oyutlrı ihml edileilecek kdr küçük oln cisimlere mddesel nokt denir Kütle: Bir prç tş, demir, ltın, tht v.. gii çeşitli cisimler göönüne llım ve unlr üerinde meknik deneyler yplım. Örnek olrk iki deneyden hsedelim. - Cisim yylı ir terinin üerine konsun ve okunn üyüklük kydedilsin. - Bu cisim elirli miktrd ir ptlyıcı ile ir silhtn tılsın ve ir tht loğ splnsın. A ve B şekil ve oyutç idntik iki demir prçsı olsun. Eğer A için ypıln deney B için tekrrlnırs ynı neticeler lıncktır. A ve B frklı iki mlemeden, frklı oyut ve şekilde olilir. Eğer A ve B için ypıln ynı tür deneylerden ynı neticeler elde ediliyors A ve B cisimleri meknikçe eşdeğerdir denir. Burd ir prç tht ile ir prç ltın meknikçe eşdeğer olilir. Ekonomik lnd her ticri ml ir fit koyrı. Fittki eşitlik, ekonomik çıdn eşdeğerlik ifde eder. Meknik lnd d her mddeye ir syı verelim. Her syıdki eşitlik meknik eşdeğerliğe krşılık gelsin. Bu syıy kütle diyoru ve "m" ile gösteriyoru Rijit Cisim: Bir cisim sonlu syıd mddesel noktdn meydn gelmiştir. Bir cismi oluşturn mddesel noktlr rsındki krşılıklı uklıklr hiçir şekilde değiştirilemiyors u cisme rijit cisim denir Oly: Günlük hytt kullnıln kelimeyle ynı nlmddır. Anck meknikte oly denince herhngi ir noktd ni (instntneously) olrk orty çıkn şeyi nlıyoru Referns Eksenleri: Bir olydn hsederken yer ve mndn hsedilmelidir. Düny üerinde meydn gelen ir olydn hsederken enlem, oylm ve Greenwich'e göre mndn (G.M.T. -Greenwich Men Time-) hsedilmelidir. Burd düny ir referns sistemi oluşturur. Gemi içindeki ir hreketten hsederken referns gemidir. Bir hreketten hsederken mutlk ir referns sistemi tnımlmlıyı Zmn: Zmn ölçüleilen ifi ir üyüklüktür. Tekrrlyn ir olyı göönüne llım. Bu olyın ilk görüldüğü n için t=0 diyelim.ikinci tekrrd t=1 ve üçüncü tekrrd t=2... diyelim öylece mn ölçümü için ir st elde etmiş oluru Birimler: Milletler rsı sistemde -SI- (System Interntionl) temel üyüklük irimleri: Uunluk: metre [m] Kütle : Kilogrm [Kg] Zmn : sniye [s] Türemiş üyüklük irimleri: şeklindedir. Bsınç : Pscl [P] İş : Joule [J] Kuvvet : Newton [N] Güç : Wtt [W] Hreket: Bir rijit cisim vey ir mddesel nokt göönüne llım. Bu mddesel nokt y d rijit cisim (t 1,t 2 ) mn rlığınd ir referns sistemine göre konumunu değiştiriyors söü edilen mddesel nokt y d rijit cisim seçilen referns sistemine göre hreket hlindedir denir Sükunet: Bir rijit cisim vey ir mddesel nokt göönüne llım. Bu mddesel nokt y d rijit cisim (t 1,t 2 ) mn rlığınd ir referns sistemine göre konumunu değiştirmiyors söü edilen mddesel nokt y d rijit cisim seçilen referns sistemine göre sükunettedir denir.

3 Kuvvet: Bir cismi hrekete şltn, hreket hlindeki ir cismi durdurn y d hreketin yönünü değiştiren, elstik ir cismin şeklini değiştirmeye orlyn, ir cismi meydn getiren mddesel noktlrı ir rd tutmy çlışn her türlü etkiye kuvvet denir. Kuvvet kyn ir vektör olup kuvvetten hsederken; 1) Doğrultusundn 2) Yönünden 3) Şiddetinden 4) Tesir çigisinden hsetmek gereklidir VEKTÖRLER: Strnç oyunundki hreketleri düşünelim. Bu hreketleri tnımlmk için kul edilen sistemden yrı olrk herir kreye ir hrf verelim. A, B, C,... Bu hrflerin dedi 64 tne olsun. Herhengi ir tşın A kresineden B kresine oln hreketini AB ile gösterelim. Bener olrk diğer hreketleri de BF, FH,... gösterelim. Dh genel olrk Bir mddesel noktyı ir A poisyonundn diğer ir B poisyonun tşıdığımıd opersyonu AB olrk göstereiliri. A dn B ye doğrultulmuş elemn y d tşım opersyonun vektör denir. Vektör kelimesi Ltince VEHO tşırım kelimesinden türemiştir. Vektörler üç guru yrılır. ) Serest vektörler: Yönü, doğrultusu ve şiddeti ile tnımlnır. ) Kyn vektörler: Yönü, doğrultusu, şiddeti ve tesir çigisi ile tnımlnır. c) Bğlı vektörler: Yönü, doğrultusu, şiddeti, tesir çigisi ve ttik noktsı ile tnımlnır. 2.2 NOTASYON: Bir vektör mt yısınd --, el yısınd -- y d üerine konulmuş vektör işretiyle elirtilir. Bu gösterim trı üyüklüklerin skler y d vektörel olup olmdıklrının nlşılmsı için öellikle önemlidir. 2.3 VEKTÖR CEBRİ: ) Bir vektörün ir sklerle çrpımı. ir vektör ve k ir skler olsun. k ile çrpımını şğıdki şekilde tnımlr ve yrı = k Eğer, k> 0 ise, ile ynı yönde ve şiddeti k k.; k< 0 ise, ile ıt yönde ve şiddeti k olur. ) Vektörlerin toplnmsı. ve gii iki vektörün toplmı + şeklinde yılır. Şekil 1 incelendiğinde ve yi temsil eden AB ve AC komşu kenrlı prlelkenrın AD köşegeni u toplmı temsil eder. ve vektörlerinin teşkil ettiği üçgenin üçüncü kenrı AD yine u toplmı temsil eder (Şekil 1) (1.1) Şekil 1 + = AB+ AC= AD Vektörlerin toplnmsı işleminde şğıdki öellikler vrdır.

4 3 1. Distriütif öellik 2. Komuttif öellik. ( ) k+ l= k+ l + = + (1.2) (1.2) 3. Asosiytif öellik. (1.3) + + c= + + c= + + c ) Vektörlerin çıkrılmsı. İki vektörün iririnden çıkrılmsı işlemi toplm işleminin tersiyle tnımlnır (Şekil 2). (1.4) = + AC= AD = AB AC= AB+ AC = AB+ AD= AE= CB ( ) Şekil 2 c- İkiden fl vektörün toplnmsı, AB+ AC+ AE= AB+ AC + AE= AD+ AE= AB+ AC+ AE= AB+ AC+ AE = AB+ AF= (1.5)

5 4 Şekil 3 şeklinde ikili kominonlrın toplnmsıyl ih edileilir. Assosiytif oln u öellik şekil 3 de görüleilir. c) Sıfır vektör. Şiddeti sıfır oln vektördür. Bir vektör kendisinden çıkrılırs sıfır vektör elde edilir. = 0 (1.6) d) Birim vektör. Şiddeti 1 oln vektördür. Şiddeti oln ir vektörü, şekilde yılır. Burd e, vektörünün irim vektörüdür ve e, = e (1.7) olrk elde edilir. e = (1.8) e) Birim koordint vektörleri. Referns eksen sistemi krteyen eksen sistemi olsun. Ox, Oy ve O eksenlerinin irim vektörleri sırsıyli,j vek olsun. Ox ekseni üerinde şiddeti P x oln OP x vektörü, OPx= Pxi, Oy ekseni üerinde şiddeti P y oln OP= Pk,şeklinde yılır. OP P j OP y vektörü y y =, ve O ekseni üerinde şiddeti P oln OP vektörü f) Yer vektörü. Oxy eksen sistemindeki OP vektörü P(P x, P y, P ) noktsının yer vektörüdür. OP

6 5 OP= OP+ OP+ OP x y şeklinde üç vektörün toplmı olrk yılır. Burd, olduğundn, OP = P i x y x y OP = P j OP= P i Şekil 4 OP= P i+ P j+ Pk x y (1.9) olrk elde edilir. g) Skler çrpım. Arlrınd α çısı ulunn AB veac gii iki vektörün skler çrpımı, AB AC= AB AC cosα (1.10) Şekil 5 şeklinde tnımlnır. Skler çrpımın neticesi skler ir üyüklüktür. m skler ir sit olmk üere, skler çrpım için şğıdki kurllr geçerlidir. = + c = + c c d c d c d + + = = c + d + c + d m = m = m i j k olduğundn, i j= jk = ki = 0 ve i i= j j= kk = 1 olcktır. Bun göre, i j k = i+ j+ k ise, = x + y + ve x y olur. Öel olrk yerine ikme edilirse, elde edilir. Böylece ir vektörünün şiddeti, = α= 0 olur ve x x y y x x y y = + + = + + = x y

7 6 = = + + = x y olrk elde edilir. h) Poitif dönme.yönü Vektörel çrpımı tnımlmdn evvel dönme yönünün işreti hkkınd ypıln külle ilgili ilgi verelim. Sğ elin şprmğı herhngi ir yönlenmiş doğrunun potif yönünü gösterdiğinde, u doğruy srılmış diğer prmklrın poitif dönme yönünü gösterdiği kul edilir. Şekil 6 Y d sğ vidnın ilerleme yönü, yönlenmiş doğrunun poitif yönü ile ynı olduğund vidnın dönme yönünün potif olduğu kul edilir. i) Vektörel çrpım. Arlrınd α çısı ulunn ve gii iki vektörün vektörel çrpımı, olrk gösterilir ve netice ir vektördür. c= c= sinα ulunur. Burd α ve vektörlerinin rsındki çıdır. Çrpım vektörü oln c nin doğrultusu ve vektörlerinin içinde ulunduğu düleme diktir. Yönü ise sğ el kidesine göre y d sğ vid kidesine göre ulunur. Dh şk yöntemlerden de hsedileilir. Vid kidesi şöyledir. Çrpım iştirk eden irinci vektör ikinci vektörün üerine kptılırken ir dönme yönü trif eder. Bu dönme yönüne uyn ir sğ vidnın ilerleme yönü c vektörünün yönünü verir. Sğ el kidesine göre sğ elin dört prmğı dönme yönünü gösterirken ynı elin ş prmğı d c vektörünün yönünü ve doğrultusunu gösterir.

8 7 Şekil 7 Bun göre işlem komuttif değildir. Yni, = olur. k skler ir sit olmk üere vektörel çrpm işleminde şğıdki kurllr geçerlidir. + = + c i j k olduğundn, ve c d c d c d + + = = c+ d + c+ d i j= k m = m+ m j k= i i i= j j= k k= 0 k i= j olur. = xi+ yj+ k ve= xi+ yj+ k şeklinde verilen herhngi iki vektör olsun. Yukrdki tnımlmlr göre; xi yj k xi yj k = i( y y) j( x x) = + k ( x y y x) Bu ise, i j k = x y x y işlemine eş değerdir.

9 8 Şekil 8 işlemi ir krışık çrpım tnımlr. j) Vektörel çrpımın geometrik nlmı. ve gii herhngi iki vektörün vektörel çrpımınının şiddeti c= sinα olduğunu htırlylım. Şekil 8 dn görüyoru ki sinα, ve vektörlerinin üerine kurulu prlel kenrd vektörünün ucundn vektörüne indirilen dikmenin uunluğudur. Bu uunluğu h ile gösterirsek, c= sinα= h olur ki u sökonusu prlelkenrın lnıdır. k) Krışık çrpım. vec herhngi üç vektör olsun. c = i+ j+ k x y = i+ j+ k x y c= c i+ c j+ c k x y şeklinde verilirse; x y c x y = cx cy c şeklinde ir determinnt elde edilir ve u determinntın değeri krışık çrpımın neticesidir. l) Krışık çrpımın geometrik nlmı. vec vektörleri = i+ j+ k x y = i+ j+ k x y c= c i+ c j+ c k x y Şekil 9 olsun cx cy c c x y = x y idi. = d olsun. Bun göre, cd = c dcosβ= d H olur ki u d sö konusu vektörler üerine kurulmuş primnın hcmidir. m) İki kt vektörel çrpım. vec herhngi üç vektör olmk üere c şeklinde yıln

10 9 işlemdir. c= u yılırs, c = u= p olur. Vektörel çrpımın kurllrı gereği u ve u c olur. Yine vektörel çrpımın kurllrı gereği p u ve u p olur. u demektir ki, // yılilir. p c dir. Bun göre ve // c = λ + µ c= i λ + µ c + j λ + µ c + k λ + µ c ( ) ( ) ( ) x x y y i j k c= = i c c jc c + kc c cx cy c i j k c x y = c y c y ( c x c x) ( c x y c y x ) ( ) ( ) ( ) x y y y x x x y y x olur. Bu determinntı sdece i irim vektörü için çrsk, c c + c c elde ederi. Elde ettiğimi u ifdeye y x y y y x x x c x x x terimini ir ekleyip ir çıkrırısk, ( ) ( ) c c + c c + c c = c + c + c + + c y x y y y x x x x x x x x x x x y y x x x y y x eld ederi. Bu ifde de kısc, demektir.burdn d c c x x λ= c elde edilir. Sonuç olrk, elde edilir. µ = c = c c n) İki vektörün iririne ölünmesi. şeklinde ir işlem tnımsıdır. o) Geometrik ölme. Her nekdr iki vektörün ir irine ölünmesi işlemi tnımsı ise de ve ilinen iki

11 10 vektörü, x ise ilinmeyen vektörü göstermek üere, verilirse, x ı lirleyeilir miyi? Bunun için, ylım. x = x = x x x = = elde ederi. u denklemden hreketle, x x= + = µ + elde edillir. x = işlemini şiddetle cinsinden dikkte lırsk, xsinα= Şekil 10 uluru. xsinα= = sit şrtını sğlyn ütün x lr çöümdür.bu x vektörlerinin uç noktsı vektörüne prlel ve x düleminde ulunn ve vektöründen kdr ukt oln doğrusu üerinde ulunur denklemi, doğrusunun vektörel denklemidir. xsinα= = sit x = µ +