ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ. LAGUERRE ve q-laguerre POLİNOMLARI. Orkun DİKMEN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2010

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LAGUERRE ve q-laguerre POLİNOMLARI Orkun DİKMEN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi LAGUERRE ve q LAGUERRE POLİNOMLARI Orkun DİKMEN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞİLDAL Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde polinomlar üzerinde durulmuş, ortogonal polinomlar ile ilgili teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde Laguerre Polinomlarını tanımı verilmiş ve sağladığı bazı özellikler gösterilmiştir. Dördüncü bölümde q-analizi açıklanmış, bazı fonksiyonların ve teoremlerin q-genişlemeleri elde edilmiştir. Beşinci bölümde q-laguerre Polinomları tanımı elde edilmiş ve Laguerre Polinomlarının q-genişlemeleri elde edilmiştir. Şubat 2, 5 sayfa Anahtar Kelimeler: Laguerre Polinomları, q-analoğu, q-binom Teoremi, q-laguerre Polinomları i

3 ABSTRACT Master Thesis LAGUERRE and q LAGUERRE POLYNOMIALS Orkun DİKMEN Ankara University Graduate School an Appled Institute of Science Department of Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞİLDAL This thesis consist of five chapters. The firsth chapter is devoted to introduction. In the second chapter, polynomials are focused and theorems of ortogonal polynomials are given. In the third chapter, definition and some characteristics of Laguerre Polynomials are given. In the fourth chapter, q-extension is explained and q-extensions of some functions and theorems are explained. In the fifth chapter, defination of q-laguerre Polynomials are obtained and q-extensions of them are given. February 2, 5 pages Key Words: Laguerre Polynomials, q-extension, q-binomial Theorem, q-laguerre Polynomials ii

4 TEŞEKKÜR Çalışmalarımın her safhasında yakın ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren danışman hocam, Doç. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞİLDAL a (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) ve bana desteklerinden dolayı aileme teşekkürlerimi sunarım. Orkun DİKMEN Ankara, Şubat 2 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET.....i ABSTRACT.....ii TEŞEKKÜR....iii SİMGELER DİZİNİ....v.GİRİŞ TANIMLAR VE TEMEL KAVRAMLAR Polinom Fonksiyonu Fonksiyonların Ortogonalliği Ortogonal Fonksiyonlar Sistemi LAGUERRE POLİNOMLARI VE ÖZELLİKLERİ Tanım (Laguerre Polinomu) Laguerre Diferansiyel Denklemi ( α L ) n ( x) Laguerre Polinomlarının Dikliği ( α L ) n ( x) Laguerre Polinomları İçin Rekürans Formülleri ( α L ) n ( x) Laguerre Polinomları İçin Doğurucu Fonksiyon ( α L ) n ( x) Laguerre Polinomlarının Normu q ANALİZİ Tanımlar ve Temel Kavramlar q Binom Teoremi q Gamma fonksiyonu q ORTOGONAL POLİNOMLAR ( α ) 5. Ln ( xq ; ) q Laguerre Polinomları ( α ) 5.2 Ln ( xq ; ) q Laguerre Polinomları İçin Rekürans Bağıntıları ( α ) ( α + ) 5.3 Ln ( xq ; ) ve Ln ( x; q) q Laguerre Polinomları Arasındaki Bağıntılar Yükseltme Operatörü KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

6 SİMGELER DİZİNİ ( ) α Ln x Laguerre Polinomları [ a ] q a tamsayısının q-analoğu [ n ] q! n! Fonksiyonunun q-analoğu [ α] n,q Pochammer sembolünün q-analoğu Γ q ( x ) q-gamma fonksiyonu ( ) α Ln x;q q-laguerre Polinomları r F s Genelleştirilmiş Hipergeometrik polinomlar v

7 . G IR IŞ q Analizi çal şmalar na yaklaş k olarak 5 y l önce başlanm şt r. Parçalanma teorisinde q analizi önemli bir yer tutmaktad r. Istatiksel mekanikte kesin olarak çözülebilen modellerdeki önemi nedeniyle son zamanlarda özellikle fonksiyonlar n q analoglar na ilgi artm şt r. Matematiksel bir ifadenin q elde edilir. analo¼gunda q! al nd ¼g nda tekrar ifadenin kendisi Laguerre ve q Laguerre polinomlar ile özellikle istatistik problemlerinde karş laş lmaktad r. 98 y l nda ilk defa Moak q ortogonal polinomlar n tan m n vermiş ve q Laguerre polinomlar n tan mlam şt r. Bu tezde öncelikle ortogonallik ba¼g nt lar tan mlanacak daha sonra Laguerre ve q Laguerre polinomlar için baz özellikler elde edilecektir.

8 2. TANIMLAR VE TEMEL KAVRAMLAR 2. Polinom Fonksiyonu n bir do¼gal say ve a ; a ; :::; a n lerde, a n 6 olmak üzere sabit say lar olsun. p(x) a n x n + a n x n + :::a şeklinde tan mlanan p : R! R fonksiyonuna polinom( çok terimli ) denir. Buradaki n do¼gal say s na polinomun derecesi a ; a ; :::; a n say lar na da polinomun katsay lar ad verilir. 2.2 Fonksiyonlar n Ortogonalli¼gi! A :! B ise! A ve! B vektörlerine ortogonal (dik) denir.! A ve! B vektörleri,! A a! i + a2! j + a3! k ;! B b! i + b2! j + b3! k şeklinde verilmiş olsunlar.!! 3X A : B a i b i i eşitli¼gi sa¼glan yor ise! A ve! B vektörlerine ortogonaldir denir. Herhangi bir A(x) ve B(x) fonksiyonlar n n x ; x 2 ; x 3 teki de¼gerleri önemli ve A(x ) a ; A(x 2 ) 3P a 2 ; A(x 3 ) a 3 ; B(x ) b ; B(x 2 ) b 2 ; B(x 3 ) b 3 olsun. a i b i ise A(x) fonksiyonu B(x) fonksiyonuna ortogonaldir denir. I [a; b] aral ¼g nda tan ml herhangi bir fonksiyon A(x) olsun. x i I olmak üzere A(x) fonksiyonunun bileşenleri olan A(x i ) ler sonsuz bir vektör olarak düşünülebilir. E¼ger i de¼giştikçe x i noktalar I aral ¼g n n tüm noktalar n tarad ¼g nda P a i b i oluyorsa yani A(x)B(x)dx i a sa¼glan yor ise, o taktirde A(x) fonksiyonu [a; b] aral ¼g nda B(x) fonksiyonuna ortogonaldir. Böyle bir durumda B(x) in de A(x) fonksiyonuna ortogonal olaca¼g i R b 2

9 aç kt r. 2.3 Ortogonal Fonksiyonlar Sistemi Tan m 2.3..!(x); [a; b] da negatif olmayan bir fonksiyon olsun. (x) ve (x) reel fonksiyonlar n n skaler çarp m [a; b] aral ¼g nda Lebesgue- Stieltjes integrali ile, Z b ( ; )!(x) (x) (x)d(x) a olarak tan mlan r. ( ; ) ise, Z b a!(x) (x) (x)d(x) olacakt r. Bu durumda (x) fonksiyonu [a; b] aral ¼g nda!(x) a¼g rl k fonksiyonuna göre (x) foksiyonuna ortoganaldir denir. Genel olarak e¼ger, Z b a!(x) i (x) j (x)d(x) ; i 6 j (2.3.) ise, (x), (x); ::: reel fonksiyonlar sistemine!(x) a¼g rl k fonksiyonuna göre [a; b] de ortogonal bir sistem teşkil ediyor denir. Ek olarak, Z b a!(x) 2 i (x) d(x) ; i ; 2; 3; ::: (2.3.2) koşuluda gerçekleniyor ise, o taktirde sisteme ortonormal sistem denir. Yani, Z b a 8 < ; i 6 j!(x) i (x) j (x)d(x) : ; i j ise (x), (x); :::; n (x) sistemi ortonormal bir sistem oluşturur. 3

10 3. n (x) LAGUERRE POL INOMLARI VE ÖZELL IKLER I Bu bölümde n (x) Laguerre polinomlar tan t l p sa¼glad ¼g baz özellikler gösterilecektir. 3. Tan m. > olmak üzere (; ) aral ¼g nda!(x) x e x a¼g rl kl fonksiyonuna göre ortogonal olan n (x) Laguerre Polinomlar aşa¼g daki şekilde ifade edilmektedir. n (x) n (x) nx ( ) n + A xk n k k! (n ; ; 2; 3; :::) (3..) özel halindeki n (x) L n (x) Laguerre polinomlar n n ilk dördünün aç k ifadesi aşa¼g daki gibidir. L (x) L (x) x L 2 (x) 2x + 2 x2 3.2 Laguerre Diferensiyel Denklemi L 3 (x) 3x x2 6 x3 Teorem n (x) Laguerre Polinomlar, xy + ( + x) y + ny (3.2.) Laguerre diferensiyel denklemini sa¼glar. Ispat. d x + e x d dx dx L() n (x) (3.2.2) 4

11 eşitli¼ginin türevi al n p aç k olarak yaz l rsa, ( + ) x e x d dx L() n (x) x + e x d x e x ( + x) d dx L() n dx L() n (x) + x + e x d2 (x) + x d2 dx 2 L() n dx 2 L() n (x) (x) (3.2.3) elde edilir.köşeli parantez içindeki ifade n. dereceden bir polinom oldu¼gundan, ( + x) d dx L() n (x) + x d2 dx 2 L() n (x) nx i i i (x) (3.2.4) olarak yaz labilir. (3:2:4) eşitli¼gi (3:2:3) te yerine yaz l rsa, (3:2:3) eşitli¼gi, d x + e x d dx dx L() n (x) x e x nx i i i (x) (3.2.5) halini al r. Burada i leri elde etmek için (3:2:5) eşitli¼ginin her iki taraf j (x) ile çarp l r ve (; ) aral ¼g nda integrali al n rsa, j j (x) d dx x e x h x + e x d j dx L() n i 2 nx (x) dx + i i6j (x) dx i x e x j (x) i (x)dx olarak bulunur. Sa¼g taraftaki eşitli¼gin ikinci taraf, n (x) Laguerre polinomlar ortogonal oldu¼gundan d r. Buradan da, j (x) d dx x + e x d dx L() n (x) dx j x e x h j (x)i 2 dx (3.2.6) elde edilir. (3:2:6) eşitli¼ginde j yerine i yaz l r ve i yaln z b rak l p denklem düzenlenirse, 5

12 i i (x) d dx h x + e x d x e x h i dx L() n elde edilir. (3:2:7) eşitli¼ginin pay I olarak gösterilirse, I i (x) d dx x + e x d olarak yaz lacakt r. (3:2:8) de u i (x) ve dv al narak iki kez k smi integrasyon uygulan rsa, I n (x) d dx x + e x d i (x) dx (3.2.7) i 2 (x) dx dx L() n dx L() i (x) dx (3.2.8) i (x) d dx h x + e x d dx L() n i (x) dx (x) dx (3.2.9) elde edilir. (3:2:9) eşitli¼ginde parantez içerisindeki ifadenin türevi al narak düzenlenirse, I n (x)x e x ( + x) d dx L() i (x) + x d2 dx 2 L() i (x) (3.2.) olarak bulunur. (3:2:) eşitli¼ginde parantez içindeki ifade i: dereceden bir polinom olup, ( + x) d dx L() i (x) + x d2 dx 2 L() i (x) ix k k k (x) şeklinde ifade edilebir. Bu polinomlar i < n için n (x) ler ile ortogonaldir. Yani i ; ; 2; 3; :::; n için I d r. Böylece (3:2:7) den dolay i ; ; 2; 3; :::; n için i d r.buradan da, ( + x) d dx L() n (x) + x d2 dx 2 L() n (x) n n (x) (3.2.) 6

13 elde edilir. Bu eşitlikte n (x) y olarak gösterilirse, d dx L() n (x) y ve d 2 dx 2 L() n (x) y olup bunlar nda (3:2:) de yerlerine yaz lmas yla, xy + ( + x) y n y (3.2.2) denkleminin sa¼gland ¼g görülür. n yi bulmak için, n (x) in n yinci dereceden bir polinom oldu¼gu ve (3:2:) in her iki yan ndaki polinomlarda ayn dereceli terimlerin katsay lar n n eşit olmas gerekti¼gi gerçe¼ginden hareket eder ve en yüksek dereceli terimleri, yani x n lerin katsay lar n eşitlersek n n bulunur. Böylece (3:2:2) den n (x) laguerre polinomlar n n sa¼gland ¼g, xy + ( + x) y + ny Laguerre diferansiyel denklemi elde edilir. 3.3 n (x) Laguerre Polinomlar n n Dikli¼gi Teorem n (x) Laguerre Polinomlar, > olmak üzere I [; ) aral ¼g nda!(x) x e x a¼g rl kl fonksiyonuna göre ortogonal bir sistem oluştururlar. Yani (L i ; L j ) ortogonallik özelli¼gi sa¼glanmaktad r. x e x i (x) j (x)dx ; i 6 j (3.3.) 7

14 Ispat. n (x) Laguerre Polinomlar n n sa¼glad ¼g diferansiyel denklem, xd 2 n (x) + ( + x) D n (x) + n n (x) (3.3.2) şeklindedir. m (x) ler de bu denklemi sa¼glayaca¼g ndan, xd 2 m (x) + ( + x) D m (x) + n m (x) (3.3.3) yaz labilir. (3:3:2) ve (3:3:3) eşitliklerinin her iki yanlar x e x ile çarp l r ve gerekli düzenlemeler yap l rsa, D x + e x D n (x) + nx e x n (x) (3.3.4) D x + e x D m (x) + mx e x m (x) (3.3.5) elde edilir.(3:3:4) eşitli¼gi m (x) ile (3:3:5) eşitli¼gi de n (x) ile çarp l p bulunan eşitlikler taraf tarafa ç kar l rsa, (m n) x e x n (x) m (x) m (x)d x + e x D n (x) n (x)d x + e x D m (x) D x + e x m (x)d n (x) n (x)d m (x) (3.3.6) elde edilir. Bu eşitli¼gin her iki yan (; ) aral ¼g nda integre edilirse, (m n) x e x n (x) m (x) x + e x m (x)d n (x) n (x)d m (x) (3.3.7) bulunur. Eşitli¼gin sa¼g taraf olaca¼g ndan m 6 n için, x e x n (x) m (x) ; m 6 n (3.3.8) bulunur. Buradan görülür ki L n () (x) Laguerre polinomlar (; ) da w (x) x e x 8

15 a¼g rl k fonksiyonuna göre dik bir sistem teşkil eder. 3.4 n (x) Laguerre Polinomlar Için Rekürans Formülleri n (x) Laguerre polinomlar için bir rekürans ba¼g nt s elde etmek için öncelikle aşa¼g daki teoremi ispats z olarak verelim. Teorem [a; b] aral ¼g nda!(x) a¼g rl k fonksiyonuna göre ortogonal olan N: dereceden ortogonal polinomlar n n her ailesi N+ (x) (xa N + B N ) N (x) + C N N (x) tipinde bir rekürans ba¼g nt s n sa¼glar (A N ; B N ve C N sabitlerdir). Teorem [; ) aral ¼g nda!(x) x e x a¼g rl k fonksiyonuna göre n (x) Laguerre Polinomlar için bir rekürans ba¼g nt s, x n (x) (n + ) n+ (x) + (2n + + ) n (x) (n + ) n (x) şeklindedir. Ispat. n (x) Laguerre Polinomlar, n (x) nx ( ) n + A xk k + k! (3.4.) şeklinde de ifade edilir ve < x < aral ¼g nda!(x) x e x a¼g rl k fonksiyonuna göre ortogonal bir polinom ailesidir. Bu polinomlar T eorem 3:4: gere¼gince, n+ (x) (A n x + B n ) n (x) + C n n (x) (3.4.2) n formunda bir rekürans ba¼g nt s n gerçekleştirmelidir. Burada A n ; B n ve C n 9

16 ler n ye ba¼gl olarak belirlenecek sabitlerdir. (3:4:) ve (3:4:2) ten, Xn+ ( ) n + + k + A xk k! A n nx ( ) n + A xk+ k + k! B n nx ( ) n + A xk n k + k! + C X n ( ) n + k + A xk k! (3.4.3) yaz labilir. Bu eşitlik her x için do¼gru olaca¼g ndan x in herbir kuvvetinin katsay s olmal d r. O halde yukar daki eşitlikte x n+ ; x n ve x n ve s f ra eşitlenirse aşa¼g dakiler elde edilecektir; lerin katsay lar düzenlenir 8 9 < : ( n + + A xn+ A n ( ) n + A xn+ n + + (n + )! n + n! ; 8 < + : ( n + + A xn A n ( ) n + A xn n + n! n + (n )! 9 B n ( ) n + A xn n + n! ; 8 < + : ( n + + A xn A n ( ) n n + A xn n + (n )! n + 2 (n 2)! B n ( ) n + A xn n + (n )! 9 + C n ( ) n + A xn n + (n )! ; + ::: (3.4.4) Bu eşitlikte x n+ lerin katsay lar a eşitlenirse, ( ) n+ (n + )! + A n x n+ n! olur Buradan, A n n! (n + )! n + (3.4.5)

17 olarak bulunur.(3:4:4) ten x n lerin katsay lar a eşitlenirse, olarak bulunur. Böylece, ( ) n (n + + ) n! n + n + (n )! B n x n n! n + + B n n! n! n + n + n++ (n )! n (n + ) n + 2n + + n + (3.4.6) olur. Son olarakta x n lerin katsay lar a eşitlenirse, ( ) n (n + ) (n + + ) 2 2n + + n + (n )! n + (n )! + C n (n )! olacakt r. Buradan da gerekli düzenlemeler yap l rsa, (n + ) (n + ) n + 2 (n )! x n C n n + n + (3.4.7) olarak elde edilir. A n ; B n ve C n nin bulunan de¼gerleri (3:4:2) yerlerine yaz l rlarsa, n+(x) n + x + 2n + + n (x) + n + n + n + L() n (x) olacakt r. Bu ifadede düzenlenirse istenilen, (n + ) n+(x) (x 2n ) n (x) + (n + ) n (x) ; n (3.4.8) rekürans ba¼g nt s elde edilir. Bu rekürans ba¼g nt s yal n(üç terimli) rekürans ba¼g nt s olarak bilinmektedir.

18 3.5 n (x) Laguerre Polinomlar için Bir Do¼gurucu Fonksiyon Tan m F (x; t) iki de¼gişkenli fonksiyonu de¼gişkenlerden birine göre örne¼gin t ye göre, F (x; t) c n n (x) t n n biçiminde bir Taylor serisine aç labiliyor ise F (x; t) fonksiyonuna f n (x)g fonksiyonlar cümlesinin bir do¼gurucu fonksiyonu denir. Burada c n ler, x ve t den ba¼g ms z olup n nin fonksiyonudurlar. n (x) Laguerre polinomlar için bir do¼gurucu fonksiyon elde etmek için öncelikle aşa¼g daki lemmay verelim. Lemma P np P A (k; n) n n P A (k; n + k) dir. Ispat. Düzlemde (k; n) do¼gal say çiftlerinin oluşturdu¼gu bir nokta cümlesi, D f(k; n) : k < ; n < ; ; n; kn g şeklinde tan mlans n. Burada yeni indisler k j; n m j olarak tan mlan rsa D cümlesi, D f(k; n) : j < m; m < ; ; j; mn g cümlesine dönüşür. Buna göre, mx B (k; n) B (j; m j) n m j olur. m,j indisleri yerine s ras yla n,k konulursa, mx B (k; n) B (n; n k) n n 2

19 bulunur. Bu eşitlikte B (n; n k) A (k; n) al n rsa ispat tamamlan r. Lemma (Rassias ve Srivastava,993). n (x) Laguerre polinomlar için bir do¼gurucu fonksiyon şeklindedir. Burada jtj < dir. xt + exp ( t) t L n(x)t n n Ispat. Şimdi n (x) Laguerre polinomlar n n do¼gurucu fonksiyonunu elde etmek için (3:) eşitli¼ginin her iki yan ile çarp l r ve her iki tarafda sonsuz toplam ( + ) n al n p Lemma 3:5: dikkate al n rsa, n L n(x)t n ( + ) n nx n n t n n! ( ) k x k t n k! (n k)! ( + ) k! ( ) n x n t n n! ( + ) n n! (3.5.) elde edilir. Eşitli¼gin sol taraf F hipergeometrik fonksiyonlar cinsinden, e t F ( ; + ; xt) n n (x)t n (3.5.2) ( + ) n şeklinde yaz labilir. Ayr ca buldu¼gumuz (3:5:2) ifadesini Bessel fonksiyonu yard m yla, ( + ) (xt) 2 e t J 2 p xt n n (x)t n (3.5.3) ( + ) n şeklinde de yazabiliriz. Şimdi de (3:) ifadesinin her iki yan ile çarp l p, ( + ) n c n 3

20 her iki taraf n da sonsuz toplam al nd ktan sonra (3:5:2) eşitli¼gi göz önüne al n rsa, n (c) n n (x)t n ( + ) n nx n n (c) n ( x) k t n k! (n k)! ( + ) k (c) n+k ( x) k t n+k k!n! ( + ) k (c + k) n t n (c) k ( xt) k n! n k! ( + ) k F (c + k; ; t) (c) k ( xt)k k! ( + ) k (c) k ( xt) k (3.5.4) k! ( + ) k ( t) c+k elde edilir. Burada hipergeometrik fonksiyonlar n tan m göz önüne al n rsa, 2 ( t) c F 4 c; + ; 3 xt 5 t n (c) n L n(x)t n ( + ) n (3.5.5) elde edilir. Özel olarak e¼ger c + seçilirse olur. Bu ise ispat tamamlar. xt + exp ( t) t n n (x)t n (3.5.6) 3.6 n (x) Laguerre Polinomlar n n Normu Teorem n (x) Laguerre polinomlar n n n normu, L () 2 n x e x n (x) 2 dx (n + + ) n! (3.6.) dir. 4

21 Ispat. Teoremin ispat için, n n (x)t n ( t) + e xt t (3.6.2) şeklinde ifade edilen Laguerre polinomlar n n do¼gurucu fonksiyonundan yararlan labilir. Yukar daki eşitli¼gin her iki yan Lagurre Polinomlar n n a¼g rl k fonksiyonu olan!(x) x e x ile çarp l rsa, m x e x m (x)t m x e x xt + e t (3.6.3) ( t) elde edilir. (3:6:2) ve (3:6:3) taraf tarafa çarp l p, (; ) aral ¼g nda integre edildi¼ginde, m;n 2 4 x e x n (x) m (x)dx5 t m+n 3 ( t) 2+2 +t x e x t dx (3.6.4) bulunur. Sol taraf m n ve m 6 n durumu için iki toplam olarak yaz l r ve jtj < için + t > oldu¼gu ve Gamma fonksiyonunun tan m dikkate al narak, sa¼g t taraftaki integral hesapland ¼g nda, 2 4 n elde edilir. x e x n 3 (x) 2 dx 5 t 2n + + t ( t) 2+2 ( + ) + t m;n m6n x e x n (x) m (x)dx5 t m+n ( t 2 ) + ( + ) (3.6.5) m 6 n için polinomlar n ortogonalli¼ginden dolay sol yandaki ikinci integral s f ra eşit olup, sa¼gdaki ifade Taylor serisine aç larak yaz ld ¼g nda ve t 2n lerin katsay lar eşitlendi¼ginde istenilen elde edilir. 5

22 4. q ANAL IZ I q Analizi çal şmalar na yaklaş k olarak 5 y l önce başlanm şt r. Parçalanma teorisinde q analizi önemli bir yer tutmaktad r. Istatiksel mekanikte kesin olarak çözülebilen modellerdeki önemi nedeniyle son zamanlarda özellikle fonksiyonlar n q analoglar na ilgi artm şt r. Matematiksel bir ifadenin q analo¼gunda q! al nd ¼g nda tekrar ifadenin kendisi elde edilir. Bu bölümde q analizinin ç k ş yerinden başlayarak bilinen baz fonksiyonlar n q analoglar verilecektir. Burada verilenler bir sonraki bölümde Laguerre polinomlar için bilinen özelliklerin, q analoglar n n elde edilmesinde kullan lacakt r. 4. Tan mlar ve Temel Kavramlar Tan m 4... a bir reel say olmak üzere, a say s n n q analo¼gu, qa [a] q q (4..) olarak tan mlan r. Burada qr fgdir. Tan m q (jqj < ) reel yada kompleks bir say olmak üzere, 8 >< (a; q) n >: nq j ; n ise ( aq j ) ; n ; 2; 3; ::: ise (4..2) ve şeklinde tan mlanmaktad r. (a; q) Y j aq j (4..3) 6

23 Tan m a bir reel say olmak üzere, a say s n n q Pochhammer sembolü, [a] n;q ny m [a + m] q (4..4) ile tan mlanmaktad r. Burada qr fgdir. Tan m n bir do¼gal say olmak üzere n faktöriyelin q analo¼gu, ny [n] q! [m] q ; [] q! (4..5) m olarak tan mlanmaktad r. Burada qr fgdir. Tan m D q ile gösterilen q fark operatörü, qr fg olmak üzere, D q f(x) f (qx) f (x) (q ) x (4..6) şeklinde tan mlan r. Uyar. Dikkat edilmelidir ki n do¼gal say s ve a reel say s için q! durumunda [a] q! a; (a) n Pochhammer sembolü olmak üzere [a] n;q! (a) n, [n] q!! n! ve D q f(x)! (f (x)) olacaklard r. dx Örnek 4... a bir reel say olmak üzere, D q (x a ) [a] q x a dir. 7

24 Çözüm: x a ifadesine (4::6) q fark operatörünün ugulanmas yla D q (x a ) (qx)a x a (q ) x qq q xa [a] q x a elde edilir. Tan m Herhangi bir f (x) parçal fonksiyonunun q integrali, ve Z b a f(x) d q x bq n bq n+ f(bq n ) aq n aq n+ f(aq n ) (4..7) n n f(x) d q x ( q) k q k f q k (4..8) olarak tan mlanmaktad r. Burada d q x Fermat ölçüsüdür. Beta integralinin bir q analo¼gunu elde etmek için, (4::7) de a ; b ve f (x) x ( x) al n rsa (4::7) nin sa¼g yan, q ( )n ( q n ) q n q n+ n olur. q! Burada iken R f q (x) d q x q integralinin uygun bir formunu inceleyebilmek için f q (x)! x ( x) olacak şekilde bir f q (x) fonksiyonu aranmal d r. Bunun için ( x) ifadesi x in bir kuvvet serisi olarak yaz l p buradaki katsay lar n ne olaca¼g na bak labilir. Binom teoreminden jxj < için, ( x) n () k x k (4..9) k! 8

25 oldu¼gu bilinmektedir. Burada binom teoreminin q genişlemesine ihtiyaç duyulacakt r. Daha sonraki bölümlerde ise Beta integralinin q analo¼gu elde edilecektir. 4.2 q Binom Teoremi ( x) P n () k x k serisinin q analo¼gu k! biçimindedir.bu seri toplanabilirdir. binom teoreminin aşa¼g daki ispat n verelim. (q ; q) k x k (4.2.) Toplanabilir oldu¼gunu görmek için öncelikle g (x) olsun. Bu serinin türevini al rsak, () k x k, jxj < k! g (x) k k () k k (k )! xk () k+ x k g + (x) (4.2.2) k! olur. g (x) g + (x) () k x k k! X ( + ) k x k k! () k ( + ) k x k k! ( + ) k [ ( + k)] x k k (k )! ( + ) x k x k (k )! k ( + ) x k x k k! xg + (x) (4.2.3) 9

26 olacakt r. (4:2:2) ve (4:2:3) denklemlerinden bulunur. y g (x) denilirse, g (x) g (x) ( x) y y ( x) ) ln y ln ( x) + ln c ) y c ( x) g (x) elde edilir. Burada g () oldu¼gundan c bulunur. Dolay s yla g (x) ( x) elde edilmiş olur. Şimdi benzer yolla (4:2:) in toplam n bulal m. Bunun için q (4::6) ile verilen tan m na ihtiyaç vard r. fark operatörünün q Binom teoreminin ispat na yarayan aşa¼g daki 3 lemmay verelim Lemma (a; q) k ( a) (aq; q) k dir. Ispat. (a; q) k ky n ky ( aq n ) ( a) ky 2 ( a) ( aqq n ) n ( a) (aq; q) k n ( aq n ) şeklinde bulunur, bu ise ispat tamamlar. Lemma q k dir. 2

27 Ispat. ky n q n+ q k k Y 2 n q n+ q k şeklinde bulunur, bu ise ispat tamamlar. Lemma (a; q) k (aq; q) k ( a)( q k )(aq; q) k dir. Ispat. (a; q) k (aq; q) k ky ( aq n ) n n ky n aq n+ ky ( a) ( aq n ) aq k k Y 2 ky 2 ( a) n ky 2 ( a + aq k ) n aq n+ aq k k Y 2 n ( a)( q k )(aq; q) k aq n+ n aq n+ aq n+ şeklinde bulunur, bu ise ispat tamamlar. Teorem 4.2. (q Binom Teoremi)(Andrews et al. 999). jxj < ve jqj < olmak üzere; (a; q) k x k (ax; q) (x; q) d r. Burada (a; q) Q aq k dir. 2

28 Ispat. seçilir ve her iki tarafa q f a (x) (a; q) k x k fark operatörü uygulan rsa, f a (x) f a (qx) x ( q) P (a; q) k x k P x ( q) (a; q) k q k x k (a; q) k (qx) k olur. Lemma 4:2: ve Lemma 4:2:2 göz önüne al n rsa, f a (x) f a (qx) x ( q) ( a) ( a) k (aq; q) k q k ( q k ) xk (aq; q) k x k ( a) f aq (x) f a (x) f a (qx) ( a)xf aq (x) (4.2.4) d r. Di¼ger taraftan, f a (x) f aq (x) (a; q) k x k (aq; q) k x k (q; q) k (a; q) k (aq; q) k x k olur. Burada Lemma 4:2:3 kullan l rsa, f a (x) f aq (x) ( a) q k (aq; q) k x k ( q k ) k ax ax k (aq; q) k x k (aq; q) k x k f a (x) f aq (x) axf aq (x) (4.2.5) 22

29 bulunur. (4:2:4) ve (4:2:5) den f aq (x) yokedilirse, f a (x) f a (qx) f a (x) ( a) ( ax) ) f a (x) ( ax) ( x) f a(qx) elde edilir. Bu ba¼g nt ya n kez iterasyon uyguland ¼g nda, f a (x) ( ax) ( aqx) ( x) ( qx) f a(q 2 x) ( ax) ( aqx) ( aq2 x) f ( x) ( qx) ( q 2 a (q 3 x) x) ( ax) ( aqx) ( aq2 x) ::: ( aq n x) f ( x) ( qx) ( q 2 x) ::: ( aq n a (q n x) x) (ax; q) n (x; q) n f a (q n x) olur. Her iki taraf n n! için limiti al n rsa, olur. Bu ise ispat tamamlar. f a (x) (ax; q) (x; q) f a () ) f a (x) (ax; q) (x; q) Uyar q binom teoremindeki sonsuz çarp m, ( x) n n q analo¼gunu arad ¼g m zda do¼gal olarak ortaya ç kar. Bunu görmek için, y pozitif tamsay n olarak farz edelim. ( x) n nin bir q analo¼gu ( x) ( qx) ::: ( qx n ) ( q n x) ( q n+ x) ::: ( x) ( qx) ::: ( q n x) ( q n x) ::: (qn x; q) (x; q) dir. Bu son ifade n pozitif bir tamsay olmad ¼g nda da anlaml d r. Bu ifadede q n a al n rsa (ax; q) (x; q) olur. 23

30 Sonuç 4.2..(Euler) : jxj < ve jqj < olmak üzere x k (x; q) dir. Ispat. T eorem 4:2: de a al n rsa (a; q) k x k (ax; q) (x; q) (; q) k x k (; q) (x; q) x k (x; q) elde edilir. Sonuç (Euler) jxj < ve jqj < olmak üzere ( ) k n(n ) q 2 x k (x; q) (q; q) k dir. Ispat. Teorem 4:2: de a! a ve x! ax al n rsa, a ; q k a k x k a ax; q (ax; q) (4.2.6) bulunur. Buradan a k a ; q k ny a k q k ny a a q k (4.2.7) olacakt r.(4:2:7) te bulunan ifade (4:2:6) te yerine yaz l rsa, n ny a q k! x n (x; q) (ax; q) 24

31 Burada a al n rsa, ny q k ( ) n q q 2 :::q n ( ) n q (k 2) bulunur. Sonuç (Rothe) : jxj < ve jqj < olmak üzere, dir. Burada q NX binom katsay lar, N ( ) k N(N ) q 2 x k (x; q) k N q N k q (q; q) N k şeklindedir. Ispat. T eorem 4:2: de a! q N ve x! q N x olur. q N ; q k al n rsa q N ; q k q Nk x k q N q N x; q (4.2.8) (q N ; q) nq q N+n N+k q N q N+ ::: q q N q N q N +k ::: q N q N q N +k ( )k q N q N ::: q N +k q N q N :::q N +k ( )k q:q 2 :::q k (q; q) N ( )k q (k 2) N q Nk (q; q) N k q Nk k q (4.2.9) 25

32 bulunur. Ayr ca (x; q) (q N ; q) Q xq k Q ( xq N+k ) ( x) ( xq) ::: xqn xq N ::: ( xq N ) ( xq N+ ) ::: ( x) ( xq) ::: xq N (x; q) N (4.2.) dir. (4:2:) ve (4:2:9) de bulunan ifadeler (4:2:8) te yerlerine yaz l rsa, q N ; q k q Nk x k (x; q) (q; q) N k elde edilmiş olur. Sonuç jxj < ve jqj < olmak üzere NX N + k x k k q (x; q) N dir. Ispat: Teorem 4:3: de a! q N al narak benzer şekilde gösterilebilir. Sonuç jxj < ve jqj < olmak üzere e q (x) (( q) x; q) dir. Ispat: Sonuç 4:2: de x yerine ( q)x al rsak ve q! ye götürürsek, ( q) n x k ( q) n x k ( q) n [n] q! (( q) x; q) (( q) x; q) olacakt r. Burada (4::5) ten x k [n] q! (( q) x; q) 26

33 dir. Bu eşitlikte q! için limit al n rsa, e x lim q! (( q) x; q) elde edilir. Bu ise, üstel fonksiyonun bir q analo¼gudur. Sonuç jxj < ve jqj < olmak üzere E q (x) ( ( q) x; q) dir. Ispat: Sonuç 4:2:2 de x yerine ( q)x al n r ve q! için limit al n rsa, benzer işlemlerle e x lim q! ( ( q) x; q) elde edilir. Bu ise e x in bir başka q analo¼gudur. Lemma Kabul edelim ki, ve k reel sabitler k, + ve ise bu durumda f (t) d r. f (t) e t e (+k)t e (k+)t ; t Teorem ve reel olsun. ve nün farkl seçimleri için fx 2 C : jxj < ; x 6 g kompakt alt kümelerinde ve, + ise lim q! q x; q (q x; q ) ( x) dir. 27

34 4.3 q Gamma Fonksiyonu (; ) aral ¼g nda Beta integralinin q analo¼gunu bulma problemine geri dönelim. Teorem de, ve al n rsa x ( x) ifadesi, x (qx; q ) (q x; q ) şekline dönüşür ve q binom teoremindeki n (a; q) n (q; q) n x n (ax; q) (x; q) eşitli¼ginin her iki taraf (q; q) (a; q) ile çarp l rsa n olur. Daha sonra x yerine q, a yerine de q al n rsa, (q n+ ; q) (q n a; q) x k (ax; q) (q; q) (x; q) (a; q) (4.3.) (q n+ ; q) q n q+ ; q (q; q) (4.3.2) (q n+ ; q) (q ; q) (q ; q) n bulunur. Eşitli¼gin sol taraf, f (x) x (qx; q) (q x; q) ve a olmak üzere dir. Gerçekten, n f(aq n ) aq n aq n+ n (q n ) (qqn ; q) (q q n ; q) q n q n+ n q n (q n+ Z ; q) q n ( q) q n (q +n ; q) f(x)d q x x (qx; q) (q x; q) d q x 28

35 olur. Buldugumuz ifadeyi (4:3:2) da yerine yazarsak, x (qx; q) d (q q x ( q) q+ ; q (q; q) (4.3.3) x; q) (q ; q) (q ; q) elde edilir ki bu, fonksiyonunun q genişlemesidir, (4::3) ü bu formda yazmak için gamma fonksiyonunun q x ( x) dx () () ( + ) versiyonuna ihtiyac m z var; [n] q! (q; q) n ( q) n (q; q) ( q) n (q n+ ; q) ; < q < ifadesi [n] q! in sonsuz çarp ml formülüdür. Son ifadede n nin pozitif bir tamsay olma zorunlulu¼gu yoktur. Gamma fonksiyonu ile ilgili baz q analoglar da, q (x) [x ] q!, jqj < (4.3.4) qx q (x + ) q q (x), jqj < (4.3.5) q (x) (q; q) (q x ; q) ( q) x, jqj < (4.3.6) biçimindedir. Ayr ca x e q ( x) d q x ( ) ( + ) q ( ), jqj < (4.3.7) q () q () q ( + ) (q; q) (q ; q) ( q) (q; q) (q ; q) ( q) (q; q) (q + ; q) ( q) ( q) q+ ; q (q; q) (q ; q) (q ; q) 29

36 Bu durumda Beta fonksiyonunun q analo¼gu, q (; ) x (qx; q) (q x; q) q () q () q ( + ) olarak bulunur. 3

37 5. q ORTOGONAL POL INOMLAR q ortogonal polinomlar kavram, klasik ortogonal polinomlar kavram n n bir genelleştirmesi olarak karş m za ç kmaktad r. Aşa¼g da q ortogonal polinomun tan m verilecektir. Daha sonra q Laguerre polinomlar n n q ortogonal polinomlar için bir örnek oldu¼gunu gösterilecektir. Tan m 5..(q ortogonal polinom): jqj < olmak üzere faq n ; bq n ; nn g kümesi üzerinde tan ml pozitif bir a¼g rl k fonksiyonu w(x; q) olsun. n yinci dereceden fp n (x; q)g nn polinomu Z b a P m (x; q) P n (x; q) w(x; q)d q x m;n ; m; nn ba¼g nt s n gerçekliyorsa bu polinoma [a; b] aral ¼g nda w(x; q) a¼g rl k fonksiyonuna göre q ortogonaldir denir. Burada [a; b] aral ¼g yar sonsuz yada sonsuz bir aral kta olabilir. Yukar daki tan ma denk olan aşa¼g daki teoremi ispats z olarak verelim. Teorem 5.. jqj < olmak üzere faq n ; bq n ; nn g kümesi üzerinde tan ml pozitif bir a¼g rl k fonksiyonu w(x; q) olsun. n yinci dereceden fp n (x; q)g nn polinomunun w(x; q) a¼g rl k fonksiyonuna göre q ortogonal olmas için gerek ve yeter şart, Z b a fp n (x; q)g x k w(x; q)d q x ; k ; ; 2; :::; n (5..) ifadesinin gerçeklenmesidir. 3

38 5. n (x) q Laguerre Polinomlar Bu bölümde Laguerre polinomlar n n tan m ndan yola ç k larak q Laguerre polinomlar n n tan m ve ortogonalli¼gi verilecektir. Tan m (Moak et al. 98). n (x) q Laguerre polinomlar n n aç k ifadesi şeklindedir. n (x; q) [ + ] n;q [n] q! (q+ ; q) n (q; q) n nx nx [ n] k;q x k [ + ] k;q [k] q! (q n ; q) k q (k 2) ( q) k q (+n+)k x k (q + ; q) k (5..2) Teorem 5.5..(Moak et al. 98) > olmak üzere 8 >< >: n (x; q) m (x; q) x e q ( x) d q x ( + ) ( ) (q + ; q) n q ( ) (q; q) n q n ; m n ise ; m 6 n ise (5..3) d r. Yani n (x) q Laguerre polinomlar [; ) aral ¼g nda w(x; q) x e q ( x) a¼g rl k fonksiyonuna göre dik bir sistem oluştururlar. Ispat. oldu¼gunu gösterelim. n (x; q) x m x e q ( x) d q x ; m ; ; 2; :::; n 32

39 n (x; q) x m+ e q ( x) d q x (q+ ; q) n (q; q) n nx (q n ; q) k q (k 2) ( q) k q (+n+)k (q + ; q) k x m++k e q ( x) dx (5..4) (4:4:6) eşitli¼gi göz önüne al n rsa, n (x; q) x m+ e q ( x) d q x (q+ ; q) n (q; q) n nx (q n ; q) k q (k 2) q (+n+)k ( k m) ( + + k + m) (q + ; q) k ( q) k q ( k m) (5..5) elde edilir. q ( m) q m q q m q q m q şeklinde oldu¼gundan, bulunur. Gamma fonkiyonunun q ( m ) q m 2 q q m 2 q q ( m 2) :::: q m k q q ( m k) q ( m) (q m k ; q) k q ( m k) ( q) k (5..6) (x) ( x) sin (x) (5..7) 33

40 özelli¼gi kullan l rsa, ( k m) ( + + k + m) sin ( ( + k + m)) sin ( ( + m)) cos ( k) + cos ( ( + m)) sin ( k) ( ) k sin ( ( + m)) olup (5::6) ve (5::7), (5::5) de yerlerine yaz l rsa elde edilir. n (x; q) x m+ e q ( x) d q x csc ( ( + m)) (q+ ; q) n q ( m) (q; q) n nx (q n ; q) k q (k 2) q (+n+)k ( ) k q k m ; q k (5..8) (q + ; q) k ( ) k q k m ; q ky ( ) k k n q n m k ( ) k q m k q m k ::: q m q+m+k q +m+k ::: ( q +m+ ) q +m+k q +m+k :::q +m+ q+m+k ; q k q k+mk+(k+ 2 ) (5..9) olup,(5::9), (5::8) de yaz l rsa n (x; q) x m+ e q ( x) d q x csc ( ( + m)) (q+ ; q) n q ( m) (q; q) n nx (q n ; q) k q (k 2) q (+n+)k k mk (k+ q 2 ) q +m+k ; q k (5..) (q + ; q) k 34

41 olarak bulunur. (5::7) den, ( ) m sin ( ) ( ) ( + ) ve (5::6) dan, q ( m) q ( ) ( q) m (q m ; q) m oldu¼gu görülür ve bunlar (5::) da yerine yaz l rsa, n (x; q) x m+ e q ( x) d q x (q+ ; q) n ( ) ( + ) ( ) m (q m ; q) m q ( ) ( q) m (q; q) n nx (q n ; q) k q (n m)k q +m+k ; q k (5..) (q + ; q) k şeklindedir. q hipergeometrik fonksiyonlardan a q n için, (q n ; q) k (b; q) k (c; q) k c b qn k c b ; q n (5..2) (c; q) n dir. (5::2) de c q + ve b q m++ seçilirse, olup ayr ca, (q n ; q) k (q m++ ; q) k (q + ; q) k q n m k (q m ; q) n (q + ; q) n (5..3) ( ) m q m ; q m my ( ) m q k m ( )m ( ) m ( q +m ) ( q +m ) ::: ( q + ) q +m q +m :::q + (q+ ; q) m q m+(m+ 2 ) (5..4) 35

42 ve q m ; q n Y n q k m q m q m ::: q n m (5..5) oldu¼gundan (5::3) ve (5::4) ; (5::) da yerlerine yaz l r ve m < n için (5::5) dikkate al n rsa n (x; q) x m+ e q ( x) d q x (q+ ; q) n ( ) ( + ) (q + ; q) m (q m ; q) n 8 >< >: q ( ) ( q) m (q; q) n q m+(m+ 2 ) (q + ; q) n ; m < n ise (q + ; q) n ( ) ( + ) ( ) n q ( ) q n+n2 +n ( q) n ; m n ise bulunur. Böylece ispat tamamlan r.burada, dir. (q n ; q) n ( )n (q; q) n q (n+ 2 ) 5.2 q Laguerre Polinomlar Için Rekürans Ba¼g nt lar Bu bölümde q Laguerre Polinomlar için rekürans ba¼g nt s elde edilecektir. Teorem q Laguerre polinomlar için üç terimli rekürans ba¼g nt s n olmak üzere x n (x; q) ( q n+ ) L() ( q) q2n++ n+ (x; q) ( q n ) + ( q) q + ( qn++ ) 2n+ ( q) q 2n++ n (x) ( q n+ ) L() ( q) q2n+ n (x) (5.2.) 36

43 şeklindedir. Ispat. Teorem 3:2: e göre x n (x; q) A n n+ (x; q) + B n n (x; q) + C n n (x; q) olacak şekilde bir rekürans ba¼g nt s aranabilir. n (x; q) terimleri yerlerine yaz l r ve düzenlenirlerse (q + ; q) n (q; q) n nx (q n ; q) k q (k 2) ( q) k q (+n+)k x k+ A n (q + ; q) n+ (q; q) n+ + B n (q + ; q) n (q; q) n + C n (q + ; q) n (q; q) n Xn+ (q + ; q) k (q n ; q) k q (k 2) ( q) k q (+n+2)k x k (q + ; q) k nx (q n ; q) k q (k 2) ( q) k q (+n+)k x k n X (q + ; q) k (q n+ ; q) k q (k 2) ( q) k q (+n)k x k (q + ; q) k (5.2.2) olur.s ras yla x n+ ; x n ve x n in katsay lar düzenlenirse (q + ; q) n (q n ; q) n q (n 2) ( q) n q (+n+)n (q; q) n (q + ; q) n (q; q) n (q + ; q) A n+ (q n ; q) n+ q (n+ 2 ) ( q) n+ q (+n+2)(n+) n (q; q) n+ (q + ; q) n+ (q; q) n+ olup, buradan olarak elde edilir. A n (q n ; q) n ( q n+ ) 2 q n2 +n+n q n ( q) (q n ; q) n+ q n2 +2n+n+n++2 (5.2.3) (q n ; q) n (q n ; q) n+ nq q n+k nq ( q n+k ) ( q n ) ( q n+ ) ::: ( q ) ( q n ) ( q n ) ::: ( q ) q n+ qn+ q n+ (5.2.4) 37

44 olup, bu ifade (5:2:3) te dikkate al n rsa, A n q n+ ( q n+ ) 2 ( q n+ ) q n ( q) q 2n++2 ( q n+ ) ( q) q 2n++ (5.2.5) olur. Benzer şekilde x n teriminin katsay s ndan, B n ( qn ) ( q) q 2n+ + ( qn++ ) ( q) q 2n++ olur. Son olarak x n teriminin katsay s ndan C n aşa¼g daki şekilde elde edilir. C n ( q n+ ) q 2n+ ( q) Elde edilen A n ; B n ve C n katsay lar Teorem 3:2: in ifadesinde yerlerine yaz l rsa istenilen elde edilir. 5.3 n (x; q) ve L (+) n (x; q) Aras ndaki Ba¼g nt lar Şimdi bir fp n (x)g polinom ailesinin d (x) a¼g rl k fonksiyonuna göre ortogonal oldu¼gunu kabul edelim. Buna göre; olacakt r. Burada P (x) ; 8 < h n ; n m P n (x)p m (x)d (x) : ; n 6 m R (5.3.) d (x) ; h ve P n () n ; ; 2; 3; ::: olarak seçelim. Bu durumda fp n (x)g ailesi için sa¼glanacak üç terimli rekürans ba¼g nt s, olarak yaz labilir. xp n (x) A n P n+ (x) (A n + C n )P n (x) + C n P n (x) (5.3.2) 38

45 Teorem 5.3..(Moak 98). q n+ (x) A n h n (P n+ (x) P n (x)) (5.3.3) olmak üzere, xq n+ (x) C n+ q n+2 (x) (A n+ + C n+ )q n+ (x) + A n q n (x) (5.3.4) dir. Ispat. (5:3:2) de n! n + yaz l r ve elde edilen eşitlikten (5:3:2) ç kar l rsa, x [P n+ (x) P n (x)] A n+ [P n+2 (x) P n+ (x)] + C n [P n (x) P n (x)] (A n + C n+ ) P n+ (x) + (A n + C n+ ) P n (x) (A n + C n+ ) [P n+ (x) P n (x)] (5.3.5) elde edilecektir. (5:3:5) eşitili¼ginin her iki taraf olur. Buradan A n h n çarp l p düzenlenirse, An x [P n+ (x) P n (x)] h n An A n+ [P n+2 (x) P n+ (x)] h n An C n [P n (x) P n (x)] h n An (A n + C n+ ) [P n+ (x) P n (x)] (5.3.6) An+ xq n+ (x) C n+ [P n+2 (x) P n+ (x)] h n+ A n An h n h n [P n (x) P n (x)] An (A n + C n+ ) h n [P n+ (x) P n (x)] (5.3.7) 39

46 dir. Bu eşitlik düzenlenirse, xq n+ (x) C n+ q n+2 (x) (A n+ + C n+ )q n+ (x) + A n q n (x) oldu¼gu görülür. Benzer olarak (5:3:2) ve (5:3:3) ten aşa¼g daki ifadelerde gösterilebilir. Lemma 5:3:. P n (x) Xn h k A k q k+ (x) dir. Ispat. (5:3:3) ifadesini, h n A n q n+ (x) P n+ (x) P n (x) şeklinde yazal m. Buradan da n yerine n ; n 2; :::; ve yaz l rsa. h n A n q n (x) P n (x) P n (x) h n 2 A n 2 q n (x) P n (x) P n 2 (x) ::: h q 2 (x) A P 2 (x) P (x) h q (x) A P (x) P (x) elde edilir. Bulunan ifadeleri taraf tarafa toplarsak, P n (x) P (x) P n (x) elde edilir ki,bu ise ispat tamamlar. h A q (x) Xn h A q 2 (x) ::: h n A n q n (x) h k A k q k+ (x) (5.3.8) Lemma 5:3:2: q n+ (x) Xn x P k (x) h k dir. 4

47 Ispat. (5:3:2) eşitli¼ginin her iki taraf h n ile bölünürse xp n (x) A n [P n+ (x) P n (x)] + C n [P n (x) P n (x)] h n h n h n xp n (x) q n+ (x) q n (x) (5.3.9) h n ifadesi elde edilecektir. (5:3:9) ifadesinde s ras yla n yerine n ; n 2; :::; ; yaz l rsa, xp n (x) h n q n+ (x) q n (x) xp n (x) h n q n (x) q n (x) ::: xp (x) h q 2 (x) q (x) xp (x) h q (x) q (x) olur. Bulunan ifadeleri taraf tarafa toplarsak, P (x) q n+ (x) q (x) x + P (x) + ::: + P n(x) h h h n Xn P k (x) q n+ (x) x (5.3.) h k elde edilir ki, bu ise ispat tamamlar. Lemma 5:3:3. (x y) A n nx P k (x)p k (y) h k [P n+ (y)p n (x) P n+ (x)p n (y)] h n q n+ (y)p n (x) q n+ (x)p n (y) dir. 4

48 Ispat:(5:3:3) eşitli¼ginde x yerine y yazarsak q n+ (x) q n+ (y) A n (P n+ (x) h n A n (P n+ (y) h n P n (x)) P n (y)) olacakt r. Bu denklemleri s ras yla P n (y) ve P n (x) ile çarp p bulunan denklemleri taraf tarafa toplarsak, q n+ (y)p n (x) q n+ (x)p n (y) A n h n [P n+ (y)p n (x) P n+ (x)p n (y)] (5.3.) elde edilir. Buradan (x y) nx P k (x)p k (y) h k A n h n [P n+ (y)p n (x) P n+ (x)p n (y)] q n+ (y)p n (x) q n+ (x)p n (y) (5.3.2) elde edilir ki, bu ise ispat tamamlar. Özel olarak (5:3:3) eşitli¼ginde, P n (x; q) (q; q) n (q + ; q) n n (x; q) (5.3.3) h n (q; q) n q n (q + ; q) n (5.3.4) A n ( q n++ ) ( q) q 2n++ (5.3.5) olarak seçelim. Bu durumda (5:3:3) eşitli¼gi, q n+ (x; q) (q + ; q) n+ (q; q) n ( q) q n++ (q; q)n+ (q + n+ (x; q) ; q) n+ (q; q) n (q + n (x; q) ; q) n 42

49 (q + ; q) n+ (q; q)n+ (q + ; q) n+ (q; q) n ( q) q n++ (q + ; q) n+ (q; q) n+ Xn+ (q n ; q) k q (k 2) ( q) k (q +n+2 x) k (q + ; q) k # (q; q) n (q + ; q) nx n (q n ; q) k q (k 2) ( q) k (q +n+ x) k (q + ; q) n (q; q) n (q + ; q) k şekline dönüşür.gerekli düzenlemelerden sonra yukar daki eşitlik, q n+ (x; q) (q + ; q) n+ Xn+ q n ; q (q; q) n ( q) q n++ k qnk+k q n ; q qnk k q (k 2)+(+)k ( q) k x k k (q + ; q) k şekline döner.bulunan bu eşitlikte k yerine k + yaz l r ve düzenlenirse, olur. Yada, q n+ (x; q) (q+2 ; q) n (q; q) n nx h q n ; q k+ qk+ q n ; q i k+ q nk+n q (k+ 2 )+(+)k++ ( q) k+ x k+ (q +2 ; q) k ( q k ) q n+ (x; q) (q+2 ; q) n x (q; q) n nx q n ; q q nk+(k 2)+(+2)k ( q) k x k k (q +2 ; q) k olur. Son olarakta q Laguerre polinomlar n n tan m ndan, q n+ (x; q) xl (+) n (x; q) (5.3.6) olarak elde edilir. Bu eşitlikten yola ç karak (5:3:8); (5:3:) ve (5:3:2) yard m yla aşa¼g daki denklemleri elde edebiliriz. (5:3:6) eşitli¼gi (5:3:8) de yerine yaz l rsa, (q; q) n (q + ; q) n n (x; q) Xn ( q) q 2k++ x L (+) q k (q + ; q) k ( q k++ k (x; q) ) k Xn ( q) q + (q; q) x k L (+) (q +2 k (x; q) ; q) k 43

50 olur. Bu denklemdede yerine (q; q) n+ (q ; q) n+ n+ (x; q), n yerine n + yaz l r ve tekrar düzenlenirse, ( q) q nx ( q ) x (q + k (x; q) (5.3.7) ; q) k olur. (5:3:6) eşitli¼gi (5:3:) da yerine yaz l rsa, olacakt r. Buradan da elde edilir. xl (+) n (x; q) x nx L (+) n (x; q) q k (q + ; q) k (q + ; q) k k (x; q) nx q k k (x; q) (5.3.8) (5:3:6) eşitli¼gi (5:3:2) de yerine yaz l rsa, (x y) nx (q + ; q) k (q + ; q) k (q + k ; q) k (x; q) k (y; q) (q; q) n+ ( q) (q + ; q) n q h n++ n+ (y; q) n (x; q) n i (y; q) n+ (x; q) (q; q) n xl (+) (q + n (x; q) n (y; q) yl (+) n ; q) n (y; q) n (x; q) (5.3.9) olarak elde edilecektir. (5:3:6) eşitli¼gi (5:3:3) de yerine yaz l rsa, xl (+) n (x; q) (q + ; q) n (q; q) n+ (q; q) n ( q) q n++ (q + n+ (x; q) ; q) n+ ( qn+ ) q n n+ (x; q) ( q) ( q n++ ) q n ( q) (q; q) n (q + ; q) n n (x; q) n (x; q) 44

51 olacakt r.eşitlik düzenlenirse, xl (+) n (x; q) ( qn++ ) ( q) q n++ L() n (x; q) ( q n+ ) L() ( q) qn++ n+ (x; q) (5.3.2) elde edilecektir. (5:3:8) de n! n yaz l p bulunan denklem (5:3:8) den ç kar l rsa, L (+) n (x; q) (x; q) + q (x; q) + ::: + q n n (x; q) + q n n (x; q) L (+) n (x; q) (x; q) + q (x; q) + ::: + q n n (x; q) L (+) n (x; q) L (+) n (x; q) q n n (x; q) eşitli¼gi elde edilir. Bu eşitlikte! için düzenlenirse, L ( ) n h i (x; q) q n n (x; q) n (x; q) (5.3.2) olacak şekilde bir başka rekürans ba¼g nt s elde edilmiş olur. 5.4 Yükseltme Operatörü Herhangi Bir polinoma uyguland ¼g nda o polinomun derecesini yükselten operatöre yükseltme operatörü denir. Şimdi verelim. n (x; q) polinomlar n n yükseltme operatörü ile ilgili aşa¼g daki lemmalar Lemma f(x) ve g(x) parçal sürekli herhangi iki fonksiyon olsunlar. O taktirde D q (f(x)g(x)) f(x)d q (g(x)) + g(x)d q (f(x)) (5.4.) + (q ) xd q (f(x)) D q (g(x)) 45

52 dir. Ispat. (5:4:) nin sol taraf nda (4::6) kullan l rsa, f(qx)g(qx) f(x)g(x) + f(x)g(qx) f(x)g(qx) D q (f(x)g(x)) (q ) x f(x)d q (g(x)) + g(qx)d q (f(x)) (5.4.2) ba¼g nt s gerçeklenir. (4::6) yard m yla elde edilen g(qx) g(x) + (q ) xd q g(x) ifadesi (5:4:2) te dikkate al n rsa ispat tamamlanm ş olur. Lemma (q fonksiyon olsunlar. O taktirde, K smi integrasyon) : f(x) ve g(x) parçal sürekli herhangi iki f(x)d q (g(x)) d q x lim n! f q n g q n f q n+ g q n+ g(x)d q (f(x)) d q x (q ) x (D q f(x)) (D q g(x)) d q x (5.4.3) dir. Ispat. (5:4:2) ifadesinin her iki yan n [; ) aral ¼g nda q integrali al n r ve (4::7) 46

53 tan m kullan l rsa, f(x)d q (g(x)) d q x lim n! ( q) nx k n g(x)d q (f(x)) d q x (q ) q k D q (fg) q k! x (D q f(x)) (D q g(x)) d q x (5.4.4) ifadesine ulaş l r. (5:4:4) in sa¼g taraf ndaki ilk terimde q kullan l rsa, fark operaörünün tan m nx lim ( q) n! lim n! ( q) lim n! nx k n k n nx k n (fg) q k+ q k D q (fg) q k! k (fg) qk+ (fg) q k! q (q ) q k (fg) q k! lim n! f q n g q n f q n+ g q n+ (5.4.5) elde edilir. olur. Yukar daki ifadenin (5:4:4) te dikkate al nmas yla ispat tamamlanm ş Lemma (Şekero¼glu 26) > ve R D q (x e q ( x)) olmak üzere q Laguerre polinomlar n yükseltme ba¼g nt s, R n (x; q) D q x e q ( x) n (x; q) h i + [] q (q ) + [n] q (q ) + (q ) [] q x ( ) e q ( x) L n+ (x; q) (5.4.6) 47

54 şeklindedir. Ispat. Q n+ (x; q) ; n + inci dereceden monik bir polinom olmak üzere (5:4:2) ifadesinde f(x) e q ( x) ve g (x) x n (x; q) seçilmesiyle, k ; ; 2; :::; n için D q x e q ( x) n (x; q) h i + [] q (q ) + [n] q (q ) + (q ) [] q x e q ( x) Q n+ (x; q) (5.4.7) yaz labilir. Öte yandan, (5:4:7) ifadesi x k ile çarp l r (; ) aral ¼g boyunca integrali al n r ve (5:4:4) kullan l rsa h i + [] q (q ) + [n] q (q ) + (q ) [] q x k+ e q ( x) Q n+ (x; q) d q (x) lim n! x k D q x e q ( x) n (x; q) d q (x) q n k q n eq q n n q n+ k q n+ eq q n+ n [k] q x k x e q ( x) n (x; q) d q (x) q n ; q q n+ ; q [k] q [k] q (q ) [k] q (q ) x k D q x e q ( x) n (x; q) d q (x) () x k x e q ( x) n (x; q) d q (x) (2) x k D q x e q ( x) n (x; q) d q (x) (5.4.8) elde edilir.(5:3:28) ifadesindeki son eşitli¼gin sa¼g yan ndaki ilk terim ortogonallikten 48

55 dolay k ; ; 2; :::; n için s f rd r. Dolay s yla x k+ e q ( x) Q n+ (x; q) d q (x) ; k ; ; 2; :::; n olacakt r. Bu ifade Q n+ (x; q) polinom ailesinin [; ) aral ¼g nda w(x; q) x e q ( x) a¼g rl k fonksiyonuna göre q ortogonal oldu¼gunu gösterir. [; ) aral ¼g nda w(x; q) x e q ( x) a¼g rl k fonksiyonuna göre q ortogonal olan monik polinom ailesi tek oldu¼gundan, dur. Böylece ispat tamamlanm ş olur. q ( ) Q n+ (x; q) L n+ (x; q) Laguerre polinomlar n n yükseltme operatörünün Lemma 5:4:3 de ifade edilen R operatörü oldu¼gu görülmektedir. Yükseltme operatöründe yerine + n ald ktan sonra elde edilen operatörün L (+n) (x; q) polinomuna ard ş k uygulanmas yla q Laguerre polinomlar n n Rodrigues formülü D n q x +n e q ( x) ( ) n n Y k n + [ + n + k] q (q ) o + [k ] q (q ) + (q ) [ + n + k] q x e q ( x) n (x; q) olarak elde edilir. 49

56 KAYNAKLAR Al-Salam, N.A Some operational formulas for the q-laguerre polynomials. Fibonacci Quart. 22, no.2, Andrews, G.E., Askey, R. and Roy, R Special Functions. Cambridge University Press, 664 p., United Kingdom Askey, R Limits of some q Laguerre polynomials. J. Approx. Theory 46, no.3, Erkuş, E. 25. Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Doktara Tezi, Khan, M.A On q Laguerre polynomials. Ganita 34, no.,2, 23. Khan, M.A q Laguerre polynomials and their characterizations. Ganita 34, no.,2, Moak, D.S. 98. The q Appl., 8; analogue of the Laguerre polynomials. J. Math. Anal. Rainville, E.D Special Functions. The Macmillan Company, 365 p., New York. Szegö, G Orthogonal Polynomials. American Mathematical Society, 45 p., New York. Şekero¼glu, B. 26. Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Doktara Tezi, 5

57 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı Doğum Yeri : Orkun DİKMEN : Ankara Doğum Tarihi : Medeni Durumu Yabancı Dili : Bekar : İngilizce Eğitim Durumu Lise : Aydınlıkevler İnönü Lisesi (999) Lisans Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Mezunu (23) : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı (Mart 2) 5