Erkan TAŞDEMĐR. Zonguldak Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak Hazırlanmıştır

Transkript

1 POZĐTĐF ĐNTEGRAL OPERATÖRLER Erkan TAŞDEMĐR Zonguldak Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi Olarak Hazırlanmıştır ZONGULDAK Haziran 0 i

2

3

4 ÖZET Yüksek Lisans Tezi POZĐTĐF ĐNTEGRAL OPERATÖRLER Erkan TAŞDEMĐR Zonguldak Karaelmas Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Yüksel SOYKAN Haziran 0, sayfa Hepsi aynı anda sıfır olmayan a, b, c R sayıları için q( s, t) = a+ b( s+ t) + cst olsun ve k= / q olduğunu kabul edelim. Kapalı (sınırlı) bir I aralığı eğer her s, t I için q( s, t) 0özelliğini sağlarsa k için kabul edilebilirdir denir. Bu durumda, L( ) ( ) f L I, s I için ve simetrik bir K f ( s) I = I f ( t) dt q( s, t) K I integral operatörünü elde ederiz. I üzerinde ile tanımlı sürekli bir k çekirdekli kompakt Bölüm içinde tez için gerekli hazırlık bilgileri verilmiştir. Bölüm içinde, özdeğerlerin nümerik hesabı için yaklaşım yöntemleri olan Ritz yöntemi, Kellog yöntemi ve Đz yöntemi verilecektir. Bölüm, Bölüm 4 ve Bölüm 5 içinde sırasıyla Ritz, Kellog ve Đz yöntemleri ile ilgili örnekler verilecektir. Anahtar Sözcükler: Đntegral operatörleri, özdeğerler, özdeğer yaklaşımları. Bilim Kodu: iii

5 iv

6 ABSTRACT M.Sc.Thesis POSITIVE INTEGRAL OPERATORS Erkan TAŞDEMĐR Zonguldak Karaelmas University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Thesis Advisor: Asst.Prof.Dr. Yüksel SOYKAN June 0, pages Let q( s, t) = a+ b( s+ t) + cst, where,, a b c R, not all zero, and suppose that k= / q. I closed (bounded) interval I is called admissible for k if (,) 0 q s t, for all s, t I, in which case we obtain a compact symmetric integral operator K on L( ) I I with continuous kernel k : K f ( s) I = I f ( t) dt q( s, t) ( ) f L I, s I In chapter we give the necessary preliminary results for the thesis. In Chapter we give three approximation methods, namely Ritz, Kellog and trace, to calculate eigenvalues of integral operators. In Chapter, In Chapter 4 and In Chapter 5 we give examples respectively about Ritz method, Kellog method and trace method. Key Words: Integral operators, eigenvalues, approximations of eigenvalues. Science Code: v

7 vi

8 TEŞEKKÜR Tezin hazırlanması ve yazılması sırasında tüm çalışmalarımı titizlikle takip eden Değerli Hocam Sayın Yrd.Doç.Dr. Yüksel SOYKAN a (ZKÜ), tez konusunun seçiminden itibaren değerli vaktini esirgemeden bana ayıran Sayın Yrd.Doç.Dr. Melih GÖCEN e (ZKÜ), çalışmalarımı her konuda destekleyen Kurum Müdürüm Đhsan SAĞLAM a ve başından beri her zaman yanımda olan eşim Tülin ERDOĞAN TAŞDEMĐR e ve aileme sonsuz teşekkürü bir borç bilirim. vii

9 viii

10 ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa KABUL... ii ÖZET... iii ABSTRACT...v TEŞEKKÜR...vii ĐÇĐNDEKĐLER...ix SĐMGELER VE KISALTMALAR DĐZĐNĐ... xi BÖLÜM GĐRĐŞ.... NOTASYON VE HAZIRLIK BĐLGĐLERĐ.... ĐNTEGRAL OPERATÖRLERĐ..... k( s, t) = Durumu...4 a + b( s + t) + cst.. a + b( s + t) + cst k( s, t) = st Durumu...5 BÖLÜM ÖZDEĞERLERĐN NÜMERĐK HESABI ĐÇĐN YAKLAŞIM YÖNTEMLERĐ.7. RĐTZ YÖNTEMĐ...7. KELLOG YÖNTEMĐ.... ĐZ YÖNTEMĐ... BÖLÜM RĐTZ YÖNTEMĐ N ( K) = VE N ( K) = 0 DURUMU ĐLE ĐLGĐLĐ ÖRNEKLER N ( K) = VE N ( K) = DURUMU ĐLE ĐLGĐLĐ ÖRNEKLER N ( K) = VE N ( K) = 0 DURUMU ĐLE ĐLGĐLĐ ÖRNEKLER N ( K) = VE N ( K) = DURUMU ĐLE ĐLGĐLĐ ÖRNEKLER...77 ix

11 ĐÇĐNDEKĐLER (devam ediyor) Sayfa BÖLÜM 4 KELLOG YÖNTEMĐ...89 BÖLÜM 5 ĐZ YÖNTEMĐ...99 BÖLÜM 6 TABLO ĐLE ĐNCELEME...07 KAYNAKLAR ÖZGEÇMĐŞ... x

12 SĐMGELER VE KISALTMALAR DĐZĐNĐ λ ( K ) : K nın özdeğerleri λ + ( K ) : K nın pozitif özdeğerleri λ ( K ) : K nın negatif özdeğerleri N ( K ) : N N + ( K ) ( K ) k ( s, t ) : K nın özdeğer sayısı : K nın pozitif özdeğer sayısı : K nın negatif özdeğer sayısı Ad ( k ) : (, ) L ( ) K integral operatörünün çekirdeği (kerneli) k s t çekirdeği için kabul edilebilir aralık I : I üzerinde karesi integrallenebilen Lebesgue ölçülebilir fonksiyonların uzayı xi

13 xii

14 BÖLÜM G IR IŞ Bu bölümde tez boyunca gerekli olan baz temel tan m ve teoremler verilecektir. k s mda Soykan (008) ve Abbas (997) kaynaklar ndan yararlan lm şt r. Bu. NOTASYON VE HAZIRLIK B ILG ILER I R ve C s ras yla reel ve kompleks say lar cismidir ve bu tezde ikisi için F gösterimi kullan lacakt r. Tan m.. X bir kompleks vektör uzay olsun. özellikleri sa¼glayan bir X üzerinde bir iç çarp m aşa¼g daki h:; :i : X X! F fonksiyonudur: Her x; y; z X ve her ; C için (a) hx; xi R ve hx; xi 0; (b) hx; xi = 0 ancak ve ancak x = 0; (c) hx + y; zi = hx; zi + hy; zi ; (d) hx; yi = hy; xi: Tan m.. X bir kompleks veya reel vektör uzay ve h:; :i ; X üzerinde bir iç çarp m ise (X; h:; :i) ikilisine bir iç çarp m uzay ad verilir. Tan m.. Üzerindeki iç çarp mla tan ml metri¼ge göre tam olan bir iç çarp m uzay na Hilbert Uzay denir.

15 Tan m..4 p < ve (X; P ; ) bir ölçüm uzay olmak üzere L p (X) uzay >< Z p >= L p (X) = f : f ölçülebilirdir jfj p da < >: X >; ile tan mlanmaktad r. Örnek..5 (X; P ; ) bir ölçüm uzay olsun ve L (X) vektör uzay n göz önüne alal m. E¼ger f; g L (X) ise o zaman fg L (X) dir ve Z hf; gi = fgd X ile tan ml h:; :i : L (X) L (X)! F fonksiyonu L (X) üzerinde bir iç çarp m tan mlar. Bu iç çarp ma L (X) üzerindeki standart iç çarp m ad verilir. Tan m..6 V ve W, ayn F skaler cismi üzerinde vektör uzaylar olsun. Bir T : V! W fonksiyonu (dönüşümü) her ; F ve x; y V için T (x + y) = T (x) + T (y) özelli¼gini sa¼glarsa veya buna denk olarak her F ve x; y V için T (x + y) = T (x) + T (y) ve T (x) = T (x) özelli¼gini sa¼glarsa T ye bir lineer dönüşüm ad verilir. transformasyon veya k saca transform kullan l r. Lineer dönüşüm yerine bazen Tan m..7 Tan m..6 içinde W = F ise o zaman T ye X üzerinde bir lineer fonksiyoneldir denir. T : V! W lineer dönüşümlerinin tamam n n oluşturdu¼gu kümeyi L(V; W ) ile gösterece¼giz. Vektör toplam ve skaler çarp mla L(V; W ) kümesi bir vektör uzay d r (ve F (V; W ) n n bir alt kümesidir). L(V; W ) yerine bazen V # notasyonu kullan l r ve V vektör uzay n n cebirsel duali denir. V = W oldu¼gunda L(V; V ) yerine L(V ) gösterimini kullanaca¼g z. L(V ) içinde x V için I V (x) = x ile tan ml lineer dönüşümü V üzerinde birim dönüşüm (ya da operatör) ad n al r (genellikle bir kar ş kl ¼ga yol açmayacaksa I V yerine I notasyonunu kullan r z).

16 Tan m..8 V bir vektör uzay ve T L(V ) olsun. Bir F skaleri için T (x) = x denklemi s f rdan farl bir x V çözümüne sahipse ya T nin bir özde¼geri denir ve s f rdan farkl böyle bir x çözümüne özvektör ad verilir. Bir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için, a) T nin pozitif özde¼gerleri + (T ) + (T ) + (T ) ::: azalan s ralamas içinde katl l klar tekrar etmek üzere ( + n (T )) ile gösterilir ve T nin negatif özde¼gerleri artan s ralama içinde katl l klar tekrar etmek üzere n (T ) ile gösterilir. b) T nin pozitif özde¼gerlerinin say s n ve negatif özde¼gerlerinin say s n s ras yla N + (T ) ve N (T ) ile gösterece¼giz.. INTEGRAL OPERATÖRLER I a;b = f(s; t) : a s b; a t bg = [a; b] [a; b] R kümesi, R düzlemi içinde bir karedir. k : a;b! C ölçülebilir bir fonksiyon olsun. Şimdi, herhangi bir f L [a; b] için g(s) = Z b a k(s; t)f(t)dt (.) ile bir g : [a; b]! C fonksiyonu tan mlan r. g fonksiyonu bilinen ve f de bilinmeyen olarak kabul edilirse o zaman (.) formundaki denkleme birinci tipten Fredholm integral denklemi ad verilir. Burada k ya denklemin çekirde¼gi denir. Bu, lineer bir operatörün s f r uzay n göstermek için kullan lan çekirdek teriminin farkl bir kullan m d r. Kf(s) = Z b a k(s; t)f(t)dt (.) ile tan ml K : L [a; b]! L [a; b] operatörüne bir (k çekirdekli ya da k çekirde¼ginin üretti¼gi) Fredholm integral operatörü veya k saca bir integral operatör ad verilir.

17 I = [a; b] ; < a < b < + denir ise k : I I! C ölçülebilir fonksiyonu verildi¼ginde k çekirdekli K I : L (I)! L (I) integral operatörünü Z K I f(s) = k(s; t)f(t)dt I ile gösterelim. Hangi I aral ¼g nda çal şt ¼g m z aç ksa K I yerine basitçe K yazar z. Hepsi ayn anda s f r olmayan a; b; c; d R say lar için p(s; t) = a + b(s + t) + cst ve q(s; t) = d + e(s + t) + fst olsun ve k = p=q oldu¼gunu kabul edelim. Kapal (s n rl ) bir I aral ¼g e¼ger her s; t I için q(s; t) 6= 0 özelli¼gini sa¼glarsa k için kabul edilebilirdir denir. Bu durumda L (I) üzerinde f L (I); s I için K I f(s) = R p(s;t) f(t)dt ile tan ml sürekli q(s;t) I bir k çekirdekli kompakt ve simetrik bir K I integral operatörünü elde ederiz. Bu durumda k çekirdekli K integral operatörü, L (I) üzerinde kompakt ve simetriktir. k için kabul edilebilir tüm aral klar n kümesini göstermek için Ad(k), T nin kesin pozitif özde¼gerlerinin katl l klar n n toplam için N + (k; I), T nin negatif özde¼gerlerinin katl l klar n n toplam için N (k; I) notasyonlar kullan lacakt r. Daha önce verilen notasyonlarla N + (k; I) = N + (K) ve N (k; I) = N (K) olur. Ayr ca + (k; I) için + (K), (k; I) içinde (K) gösterimleri kullan lmaktad r. Tezin di¼ger bölümlerinde K I hesaplamalar yapaca¼g z. K I operatörünün pozitif ve negatif özde¼gerleri için yaklaş k n n pozitif ve negatif özde¼geri say lar ile ilgili temel bilgiler aşa¼g da verilecektir. Alt k s m.. ve.. de verilen sonuçlar Abbas (997) den al nm şt r... k(s; t) = E¼ger b = ac ise N + (K) = ve N (K) = 0 d r. E¼ger b > ac ise N + (K) = ve N (K) = 0 d r. E¼ger b < ac ise N + (K) = ve N (K) = dur. a + b(s + t) + cst Durumu 4

18 .. k(s; t) = a 0 kabul edebiliriz. a + b(s + t) + cst st. b = 0 olsun. a + c = 0 ise Durumu N + (K) = ve N (K) = 0 d r. E¼ger a + c > 0 ise N + (K) = ve N (K) = 0 d r. E¼ger a + c < 0 ve a = 0 ise N + (K) = 0 ve N (K) = dur. E¼ger a + c < 0 ve a > 0 ise N + (K) = ve N (K) = dur.. b 6= 0 olsun. a > 0 ve ac ise N + (K) = ve N (K) = 0 d r. E¼ger ac < ise aşa¼g daki üç durum söz konusudur. (i) a + c ve a > ise N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (ii) a + c ve c > ise N + (K) = ve N (K) = dir. (iii) 0 a + c < ise N + (K) = ve N (K) = dur. 5

19 6

20 BÖLÜM ÖZDE ¼GERLER IN NÜMER IK HESABI IÇ IN YAKLAŞIM YÖNTEMLER I Bu bölümde özde¼gerlerin bulunmas için kullan lacak yöntemler tan t lacakt r. Bu bölümde Reddy (998) ve Yaşar (988) kaynaklar ndan yararlan lm şt r.. R ITZ YÖNTEM I Bu k s ma, Ritz yönteminde kullan lacak Legendre ve Chebyshev polinomlar n tan tarak başlayaca¼g z. Aşa¼g da verilen iki tan m Yaşar dan (988) al nm şt r. Tan m.. d n P n (s) = n n! ds n s n ile tan mlanan polinoma Legendre polinomu denir. Bir kaç Legendre polinomu olarak P 0 (s) = ; P (s) = s; P (s) = s ; P (s) = 5s s ; P 4 (s) = 8 5s4 0s + ; P 5 (s) = 8 6s5 70s + 5s yaz labilir. Bütün durumlarda P n () = ; P n ( ) = ( ) n dir. Tan m.. T n (s) = cos(n cos s); n = 0; ; ; ::: ile tan mlanan polinoma Chebyshev polinomu denir. T n (s) için indirgeme formülü T n+ (s) = st n (s) T n (s) 7

21 ile verilir. Chebyshev polinomlar n n birkaç T 0 (s) = ; T (s) = s; T (s) = s ; T (s) = 4s s dir. Çekirde¼gi simetrik olan, yani k(s; t) = k(t; s) ba¼g nt s n gerçekleyen aşa¼g daki integral denklem ele al nmaktad r: Z b '(s) = K(s; t)'(t)dt; a s b: a f n (s)g ; ilk n eleman [a; b] aral ¼g üzerinde lineer ba¼g ms z ve L (a; b) de tam olan bir fonksiyonlar dizisi olsun. nx ' n (s) = a j j (s) (.) j= şeklindedir ve burada a j katsay lar k' n k = olacak şekilde belirlenecektir. Bu koşul alt nda hk' n ; ' n i kuadratik formunun de¼gerleri aranacakt r. Sonuç olarak a j ler cinsinden yaz lm ş aşa¼g daki homojen lineer denklem sistemine ulaş lmaktad r (burada bir Lagrange çarpan d r). nx K i ; j i; j aj = 0; i = ; :::; n (.) j= (.) nin s f rdan farkl bir çözümünün olmas için (.) nin determinant s f rdan farkl olmal d r. hk ; i h ; i hk ; i h ; i : : : hk ; n i h ; n i hk ; i h ; i hk ; i h ; i hk ; n i h ; n i = 0... hk n ; i h n ; i hk n ; i h n ; i hk n ; n i h n ; n i (.) (.) denkleminin kökleri k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerini yaklaş k olarak verir. (.) denkleminin en büyük kökü, özde¼gerlerinin en büyü¼günün de¼gerini oldu¼gundan daha küçük 8

22 olarak verir. (.) den yü bulup ve (.) de yerine yaz ld ¼g nda (.) sisteminin s f rdan farkl a j (j = ; ; :::; n) çözümleri elde edilecektir. Böylece, bulunan bu a j de¼gerlerinin (.) de yerine yaz lmas ile elde edilen özde¼gerlere karş l k gelen özfonksiyonlar yaklaş k olarak bulunmaktad r (Kythe ve Puri 00). Ritz yönteminde, P i ; (..) de oldu¼gu gibi i:inci Legendre polinomunu göstermek üzere i(s) = P i (s); i = ; :::; n olsun. Bu polinomlar ( ; ) aral ¼g nda ortogonal olduklar ndan, i 6= j için hp i ; P j i = 0 ve di¼ger durumda hp i ; P i i = = (i + ) eşitli¼gi elde edilir. (s) = P 0 (s) = ; (s) = P (s) = s; (s) = P (s) = s ; 4(s) = P (s) = 5s s oldu¼gundan aşa¼g daki eşitlikler elde edilir: h ; i = h ; i = h ; i = h ; 4 i = h ; i = h ; i = h ; 4 i = h ; i = h ; 4 i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z ds = ; sds = 0; s ds = 0; 5s s ds = 0; s ds = ; s s ds = 0; s 5s s ds = 0; 4 s ds = 5 ; 4 s 5s s ds = 0; 9

23 Z h 4 ; 4 i = 4 5s s ds = 7 : T i ; i:inci Chebshyev polinomunu göstermek üzere i(s) = T i (s); i = ; :::; n olsun. Bu polinomlar da ( ; ) aral ¼g nda ortogonal olduklar ndan ht i ; T j i = 0; i 6= j; ht i ; T j i = ; i = j = 0; ht i ; T j i = ; i = j = ; ; :::; n: elde edilir. (s) = T 0 (s) = ; (s) = T (s) = s; (s) = T (s) = s ; 4(s) = T (s) = 4s s olmak üzere basit hesaplamalarla aşa¼g daki eşitliklerin sa¼gland ¼g görülür: h ; i = h ; i = h ; i = h ; i = h ; i = h ; i = h ; 4 i = h ; 4 i = h ; 4 i = h 4 ; 4 i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z s ds = ; s sds = 0; s s ds = ; s (s ) ds = ; s (s )ds = 0; s s(s )ds = 0; s 4s s ds = 0; s s 4s s ds = 0; s (s ) 4s s ds = 0; s 4s s ds = : 0

24 . KELLOG YÖNTEM I k(s; t) çekirde¼gi pozitif tan ml simetrik bir çekirdek ve w(s), L (a; b) içinde key bir fonksiyon olsun.! (s) =! (s) =.! n (s) =. Z b a Z b a Z b a k(s; t)!(t)dt k(s; t)! (t)dt k(s; t)! n (t)dt (.4) ile tan ml f!(s)g = K n!; n = ; ; ::: fonksiyonlar dizisi ve k!n k k! n k ile belirlenen say dizisi ele al nmaktad r. (.5) k(s; t) çekirde¼ginin ortogonal özfonksiyonlar ' (s); ' (s); ::: ve bunlara karş l k gelen özde¼gerler ::: olsun. Bunlar n yan s ra w(s) fonksiyonu ' (s); ' (s); :::; ' k fonksiyonlar ile ortogonal olsun, fakat ' k (s) fonksiyonu ile ortogonal olmas n. Bu durumda (.5) dizisinin limiti k özde¼geri olacakt r. Bu takdirde!n k! n k fonksiyon dizisi k fonksiyona yak nsayacakt r. p n k!n k (s) özde¼geri ile eşlenen özfonksiyonlar n lineer kombinasyonu olan bir (.6) dizisi de (.5) dizisinin yak nsad ¼g fonksiyona yak nsayacakt r. hw; ' i 6= 0 ise en küçük özde¼geri veren iki ayr formül bulunabilir: k! n k k! n k (.7)

25 ve p n k!n k (.8) (.7) formülü in de¼gerini oldu¼gundan daha büyük olarak verir. k(s; t) çekirde¼gi pozitif tan ml de¼gil ise (.7) ve (.8) formülleri verilen çekirde¼gin özde¼gerinin en küçük olan n n mutlak de¼gerini verir. Bu yöntem sadece özde¼gerinin yaklaş k de¼gerini bulmak için yap lan en iyi yaklaş md r (Krasnov 976).. IZ YÖNTEM I k m (s; t) ile m:inci ard ş k çekirdek gösterilmek üzere A m = Z b a k m (s; t)dt say s na k(s; t) çekirde¼ginin m:inci izi denir ve (K m ) = Z b a k m (s; t)(t)dt; a s t b: dir. s j j A m A m+ (.9) formülü en küçük karakteristik say olan ve m nin yeterince büyük de¼gerleri için geçerlidir. (.9) formülü j j in de¼gerini oldu¼gundan daha büyük olarak verir. Simetrik çekirdekler için çift mertebeden izler aşa¼g daki formül yard m yla hesaplan r (Krasnov 976). A m = Z b Z b jk m (s; t)j dsdt = Z b Z x a a a a jk m (s; t)j dtds (.0)

26 BÖLÜM R ITZ YÖNTEM I Bu bölümde Ritz yöntemi kullan larak baz özel çekirdekli integral operatörlerinin özde¼gerleri hesaplanacakt r. Bu örneklerin bir k sm Göcen (00) kayna¼g nda verilen örneklere paralel olarak üretilmiştir. Örneklerde, Legendre ve Chebyshev polinomlar al narak Ritz yöntemi kullan lacakt r. Örneklerde çözüm içinde (a) da Legendre polinomlar (b) de Chebyshev polinomlar al nm şt r.. N + (K) = VE N (K) = 0 DURUMU ILE ILG IL I ÖRNEKLER Örnek.. Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 9 + (s + t) + st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün bir tane olan özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. b = ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (a) Ritz yönteminde i (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmektedir. i(s) = P i (s); i = ; :::; n (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j=

27 olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z dir. Bu yüzden (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 5: (s + t) + st st dsdt = 6: (s + t) + st 0: : : : 0 0 = : 0: 9 : = 0 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 0:49 7; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = 4: :49 7 = 9: : olarak elde edilir. Fakat aranan özde¼ger pozitif olaca¼g ndan = 4: dir. Şimdi ayn örnek için (.) formülünde n = al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 5: (s + t) + st 4

28 Z Z st hk ; i = dsdt = 6: (s + t) + st hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z elde edilir. Ayn şekilde (.) sistemi (t ) dsdt = 7: (s + t) + st s (t ) 4 dsdt = 8: (s + t) + st 4 (s ) (t ) dsdt = : (s + t) + st 0: : : : : : : : : = 0:5 + 0: + : : = 0 haline gelir ve = 0:5; = : ; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = = 0:5 = 4:0 = : : = 8: : dir. Yine aranan yaklaş k özde¼ger = 4 olarak bulunmaktad r. (b) i (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmektedir. Dolay s yla i(s) = T i (s); i = ; :::; n 5

29 al nacakt r. Yine (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0:76989 s (9 + (s + t) + st) t p dsdt = 0:08874 s (9 + (s + t) + st) st p dsdt = 0:059 s (9 + (s + t) + st) iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (.) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem 0: : : :059 = 4: 94 8 : : = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 0:5 58; = : bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = : :5 58 = 0: 84 : olarak elde edilir. En küçük pozitif özde¼ger = : olarak bulunur. Yine (.) formülünde n = al nacakt r. s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda Chebyshev polinomlar kullan larak hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0:76989 s (9 + (s + t) + st) t p dsdt = 0:08874 s (9 + (s + t) + st) st p dsdt = 0:059 s (9 + (s + t) + st) 6

30 Z Z t hk ; i = p dsdt = 0:40469 s (9 + (s + t) + st) hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z elde edilir. (.) sistemi s(t ) p dsdt = 0:04579 s (9 + (s + t) + st) (s )(t ) p dsdt = 0: s (9 + (s + t) + st) 0: : : : :059 0: : : : = 7: : : : = 0 haline gelir ve bu denklem çözüldü¼günde = 0:9 08; = 4: 08 0 ; = 4: bulunur. Buradan = = = 0:9 08 = :4, 4: 5 0 = :8, 4: = :88 elde edilir. Aranan özde¼ger yine = :4 olarak bulunur. Örnek.. Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 9 + 6(s + t) + 4st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün bir tane olan özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. 7

31 Çözüm. b = ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (a) Ritz yönteminde i (s) fonksiyonlar n n olusturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmektedir. i(s) = P i (s); i = ; :::; n (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z dir. Bu yüzden (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + 4st t dsdt = 0: (s + t) + 4st st dsdt = 0: (s + t) + 4st 0: :6664 0:6664 0:04885 = : 0: : = 0 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 0:88 ; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = : :88 = 4: 4 07 :

32 olarak elde edilir. Buradan aranan en küçük pozitif özde¼ger = : olarak elde edilir. Şimdi ayn örnek için (.) formülünde n = al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. Ayn şekilde (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + 4st t dsdt = 0: (s + t) + 4st st dsdt = 0: (s + t) + 4st (t ) dsdt = 0: (s + t) + 4st s (t ) dsdt = 0: (s + t) + 4st 4 (s ) (t ) dsdt = 0: (s + t) + 4st 0: :6664 0:0556 0:6664 0: :064 0:0556 0:064 0: = 0:5 + 0: 8 + : : = 0 haline gelir ve = 0:98 ; = 7: ; = 7: bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = = = : 5 0:98 = : : = : :

33 dir. Yine aranan yaklaş k özde¼ger = : 5 olarak bulunmaktad r. (b) i (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmektedir. Dolay s yla i(s) = T i (s); i = ; :::; n al nacakt r. Yine (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = :06 s (9 + 6(s + t) + 4st) t p dsdt = 0:9098 s (9 + 6(s + t) + 4st) st p dsdt = 0:8 s (9 + 6(s + t) + 4st) iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (.) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem :06 0:9098 0:9098 0:8 = 4: 94 8 : 5 + 4: = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 0:40 9; = : 04 0 bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = 0:40 9 = : 46 7 ve = : 04 0 = 49: 4 olarak elde edilir. Aranan en küçük pozitif özde¼ger = : 46 7 olarak bulunur. 0

34 Yine (.) formülünde n = al nacakt r. s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda Chebyshev polinomlar kullan larak hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. (.) sistemi p dsdt = :06 s (9 + 6(s + t) + 4st) t p dsdt = 0:9098 s (9 + 6(s + t) + 4st) st p dsdt = 0:8 s (9 + 6(s + t) + 4st) t p dsdt = 0:57788 s (9 + 6(s + t) + 4st) s(t ) p dsdt = 0: s (9 + 6(s + t) + 4st) (s )(t ) p dsdt = 0:07607 s (9 + 6(s + t) + 4st) :06 0:9098 0: :9098 0:8 0: : : :07607 = 7: : :50 7 5: = 0 haline gelir ve bu denklem çözüldü¼günde = 0:446 79; = : ; = 6: bulunur. Buradan = = = = : 8 0: = 4: 907 : = 5: 769 6: elde edilir. Aranan özde¼ger yine = : 8 dir.

35 Örnek.. Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = + s + t st st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün özde¼gerleri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. 0 a + c < oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 dir. (a) k(s; t) çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörlerin özde¼gerlerini yaklaş k olarak bulurken Ritz yönteminde yine öncelikle koordinat fonksiyonlar için Legendre polinomlar seçilmektir. (.) denkleminde öncelikle n = al n r ve daha sonra ilk iki Legendre polinomu kullan larak hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z + s + t st dsdt = 8 st ( + s + t st) t dsdt = :948 st ( + s + t st) st dsdt = 0 st eşitlikleri elde edilir. Bu de¼gerler (.) sisteminde yaz ld ¼g nda 8 :948 :948 0 = : 5: 8: 6 = 0 bulunur ve buradan = : 4 ; = 5: 4 dir. Böylece yaklaş k özde¼gerler = = = 0:80 4 : 4 = 0:9 05 5: 4

36 dir. En küçük pozitif özde¼ger yaklaş k olarak = 0:9 05 d r. Şimdi Legendre polinomlar n n ilk üçü al n rsa hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z + s + t st dsdt = 8 st ( + s + t st) t dsdt = :948 st ( + s + t st) st dsdt = 0 st ( + s + t st) (t ) dsdt = 0 st eşitlikleri elde edilir. Böylece (.) sistemi ( + s + t st) s (t ) dsdt = 0:9480 st ( + s + t st) (s ) (t ) dsdt = 0 st 8 :948 0 : : : = 0:5 + : + 5: 9 9 6: = 0 halini al r ve buradan = : 85 4; = : 05 ; = 5: 60 bulunur. Dolay s yla özde¼gerler yaklaş k olarak = = = = 0:49 : 85 4 = 0:975 5 : 05 = 0: : 60

37 dir. Böylece pozitif olan özde¼ger yaklaş k olarak = 0:86 56 elde edilir. (b) Ayn integral operatörün yaklaş k özde¼gerleri bulunurken Chebshyev polinomlar n n ilk ikisi kullan l rsa hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z + s + t st p dsdt = :5664 s ( st) ( + s + t st) t p dsdt = 8:5 s ( st) ( + s + t st) st p dsdt = 4:0944 s ( st) iç çarp mlar elde edilir. Bu de¼gerler (.) sisteminde yerine yaz l r ve elde edilen denklemler çözülürse :5664 8:5 8:5 4:0944 = 4: : : 7 = 0 = : 84 ; = 6: 55 olarak bulunur. Böylelikle yine yaklaş k özde¼gerler = = = 0:54 07 : 84 6: 55 = 0:06055 dir ve buradan da en küçük pozitif özde¼gerin yaklaş k olarak de¼gerinin = 0:06055 oldu¼gu görülür. (.) denkleminde şimdi n = al nacakt r. Yine Chebshyev polinomlar n n ilk üçü kullan l rsa hk ; i = Z Z ( + s + t st) p dsdt = :5664 s ( st) 4

38 Z hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z ( + s + t st) t p dsdt = 8:5 s ( st) ( + s + t st) st p dsdt = 4:0944 s ( st) ( + s + t st) (t ) p dsdt = 4:8879 s ( st) ( + s + t st) s(t ) p dsdt = :98405 s ( st) ( + s + t st) (s )(t ) hk ; i = p dsdt = 0 s ( st) eşitlikleri elde edilir. Bulunan de¼gerler (.) sisteminde yerine yaz l rsa :5664 8:5 4:8879 8:5 4:0944 : :8879 : = 7: : 9 06: 0 747: 68 = 0 dan = : 405 4; = 4: ; = 6: 64 olarak bulunur. Böylece özde¼gerlerin yaklaş k de¼gerleri = = = = 0:7 54 : = 0:4 07 4: = 0: : 64 dir ve bundan dolay da en küçük pozitif özde¼gerin yaklaş k özde¼geri = 0:060 9 olarak elde edilir. Örnek..4 Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 5 0(s + t) + 4st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün bir tane olan özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. 5

39 Çözüm. b = ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (a) Ritz yönteminde i (s) fonksiyonlar n n olusturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmektedir. i(s) = P i (s); i = ; :::; n (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z dir. Bu yüzden (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + 4st t dsdt = : (s + t) + 4st st dsdt = : (s + t) + 4st 0:79 48 : : : = : 0: : = 0 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 9: ; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = 9: : = 0: 58 8 = 5:

40 olarak elde edilir. Buradan aranan en küçük pozitif özde¼ger = 0: 58 dir. Şimdi ayn örnek için (.) formülünde n = al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. Ayn şekilde (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + 4st t dsdt = : (s + t) + 4st st dsdt = : (s + t) + 4st (t ) dsdt = 4: (s + t) + 4st s (t ) 4 dsdt = 5: (s + t) + 4st 4 (s ) (t ) 5 dsdt = 9: (s + t) + 4st 0:79 48 : : : : : : : : = 0:5 + 5: : : = 0 haline gelir ve = 9: ; = : ; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = = = 0: 50 9: = 5: : = 4: :

41 dir. Yine aranan yaklaş k özde¼ger = 0: 50 olarak bulunmaktad r. (b) i (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmektedir. Dolay s yla i(s) = T i (s); i = ; :::; n al nacakt r. Yine (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0:904 s (5 0(s + t) + 4st) t p dsdt = 0:04054 s (5 0(s + t) + 4st) st p dsdt = 0: s (5 0(s + t) + 4st) iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (.) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem 0:904 0: : : = 4: : : = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 9: ; = : 76 0 bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = 9: : 76 0 = 0: 404 = 58: 65 olarak elde edilir. Fakat istenen özde¼ger pozitif olaca¼g ndan = 0: 404 dir. 8

42 Yine (.) formülünde n = al nacakt r. s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda Chebyshev polinomlar kullan larak hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. (.) sistemi p dsdt = 0:904 s (5 0(s + t) + 4st) t p dsdt = 0:04054 s (5 0(s + t) + 4st) st p dsdt = 0: s (5 0(s + t) + 4st) t p dsdt = 0: s (5 0(s + t) + 4st) s(t ) p dsdt = 0:08 s (5 0(s + t) + 4st) (s )(t ) p dsdt = 0:0086 s (9 + (s + t) + st) 0:904 0: : : : :08 0: :08 0:0086 = 7: : : : = 0 haline gelir ve bu denklem çözüldü¼günde = 0:0 98; ; = : ; = : bulunur. Buradan = = = = 9: :0 98 = 44: 46 : = 55: 96 : elde edilir. Aranan özde¼ger yine = 9: 00 6 dir. 9

43 Örnek..5 Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 6 + 4(s + t) + st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün bir tane olan özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. b = ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (a) Ritz yönteminde i (s) fonksiyonlar n n olusturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmektedir. i(s) = P i (s); i = ; :::; n (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z dir. Bu yüzden (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 0: (s + t) + st st dsdt = : (s + t) + st 0: :0 0:0 : = : 0:77 7 5: = 0 0

44 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 0: 9; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = 7: : 9 = : : olarak elde edilir. Fakat aranan özde¼ger pozitif olaca¼g ndan = 7: 50 4 dir. Şimdi ayn örnek için (.) formülünde n = al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. Ayn şekilde (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 0: (s + t) + st st dsdt = : (s + t) + st (t ) dsdt = 0: (s + t) + st s (t ) dsdt = 0: (s + t) + st 4 (s ) (t ) dsdt = 0: (s + t) + st 0: :0 0: :0 : : : : : = 0:5 + 7: : : = 0 haline gelir ve = 0: ; = 8: ; = :

45 bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = = = 7: 500 0: = : : = : : dir. Yine aranan yaklaş k özde¼ger = 7: 500 olarak bulunmaktad r. (b) i (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmektedir. Dolay s yla i(s) = T i (s); i = ; :::; n al nacakt r. Yine (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0:4459 s (6 + 4(s + t) + st) t p dsdt = 0:055 s (6 + 4(s + t) + st) st hk ; i = p dsdt = 0: s (6 + 4(s + t) + st) iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (.) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem 0:4459 0:055 0:055 0: = 4: : : = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 0: 8; = 9: 0 4 bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = 7: : 8 9: 0 = 07: 9 4

46 olarak elde edilir. Buradan en küçük pozitif özde¼ger yaklaş k olarak = 7: 47 8 elde edilir. Yine (.) formülünde n = al nacakt r. s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda Chebyshev polinomlar kullan larak hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. (.) sistemi p dsdt = 0:4459 s (6 + 4(s + t) + st) t p dsdt = 0:055 s (6 + 4(s + t) + st) st p dsdt = 0: s (6 + 4(s + t) + st) t p dsdt = 0:59 s (6 + 4(s + t) + st) s(t ) p dsdt = 0:06988 s (6 + 4(s + t) + st) (s )(t ) p dsdt = 0:0055 s (6 + 4(s + t) + st) 0:4459 0:055 0:59 0:055 0: : :59 0: :0055 = 7: : : : = 0 haline gelir ve bu denklem çözüldü¼günde = 0:57 0; = : 6 0 ; = : bulunur. Buradan = = = = 6: 6 0:57 0 = 750: 4 : 6 0 = 9: 76 :

47 elde edilir. Aranan özde¼ger yine = 6:6 olarak bulunur. Örnek..6 Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 6 (s + t) + 9st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün bir tane olan özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. b = ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (a) Ritz yönteminde i (s) fonksiyonlar n n olusturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmektedir. i(s) = P i (s); i = ; :::; n (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z 6 (s + t) + 9st dsdt = 0:407 t dsdt = 0: (s + t) + 9st st dsdt = 0: (s + t) + 9st 4

48 dir. Bu yüzden (.) sistemi 0:407 0:8548 0:8548 0:0976 = : 0: : = 0 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 0:69 9; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = : 7 5 0:69 9 = 4: 7 06 : olarak elde edilir. Fakat aranan özde¼ger pozitif olaca¼g ndan = : 7 5 dir. Şimdi ayn örnek için (.) formülünde n = al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z dsdt = 0:407 6 (s + t) + 9st t dsdt = 0: (s + t) + 9st st dsdt = 0: (s + t) + 9st (t ) dsdt = 0: (s + t) + 9st s (t ) dsdt = 0: (s + t) + 9st 4 (s ) (t ) dsdt = 0: (s + t) + 9st 5

49 elde edilir. Ayn şekilde (.) sistemi 0:407 0:8548 0: :8548 0:0976 0:0478 0: :0478 0: = 0:5 + 0:50 54 : : = 0 haline gelir ve = 0:8 6; = : ; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = = = : :8 6 = : : = 4: : dir. Yine aranan yaklaş k özde¼ger = : 54 8 olarak bulunmaktad r. (b) i (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmektedir. Dolay s yla i(s) = T i (s); i = ; :::; n al nacakt r. Yine (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0:77098 s (6 (s + t) + 9st) t p dsdt = 0:54 s (6 (s + t) + 9st) st p dsdt = 0:069 s (6 (s + t) + 9st) 6

50 iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (.) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem 0: :54 0:54 0:069 = 4: 94 8 : : = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 0:94 6; = : bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = : 94 0:94 6 = 54: 987 : olarak elde edilir. Burada aranan en küçük pozitif özde¼ger yaklaş k olarak = : 94 dir. Yine (.) formülünde n = al nacakt r. s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda Chebyshev polinomlar kullan larak hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0:77098 s (6 (s + t) + 9st) t p dsdt = 0:54 s (6 (s + t) + 9st) st p dsdt = 0:069 s (6 (s + t) + 9st) t p dsdt = 0:4668 s (6 (s + t) + 9st) s(t ) p dsdt = 0: s (6 (s + t) + 9st) (s )(t ) p dsdt = 0:09074 s (6 (s + t) + 9st) 7

51 elde edilir. (.) sistemi 0: :54 0:4668 0:54 0:069 0: :4668 0: :09074 = 7: : 8 + 4: : 80 0 = 0 haline gelir ve bu denklem çözüldü¼günde = 0: 88; = : ; = : bulunur. Buradan = = = = : : 88 = 50: 7 : = 6: 679 : elde edilir. Aranan özde¼ger yine = : 06 4 dir. Örnek..7 Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 49 4(s + t) + 4st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün bir tane olan özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. b = ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. 8

52 (a) Ritz yönteminde i (s) fonksiyonlar n n olusturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmektedir. i(s) = P i (s); i = ; :::; n (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z dir. Bu yüzden (.) sistemi dsdt = 8: (s + t) + 4st t dsdt = 8: (s + t) + 4st st 4 dsdt = 8: (s + t) + 4st 8: : 4 0 8: 4 0 8: = : 5: 9 0 : = 0 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 4: ; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = : 54 4: = 4: : olarak elde edilir. Fakat aranan özde¼ger pozitif olaca¼g ndan = : 54 9

53 dir. Şimdi ayn örnek için (.) formülünde n = al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. Ayn şekilde (.) sistemi dsdt = 8: (s + t) + 4st t dsdt = 8: (s + t) + 4st st 4 dsdt = 8: (s + t) + 4st (t ) 4 dsdt = 9: (s + t) + 4st s (t ) 5 dsdt = 9: (s + t) + 4st 4 (s ) (t ) 5 dsdt = : (s + t) + 4st 8: : 4 0 9: : 4 0 8: : : : : = 0:5 + : : : = 0 haline gelir ve = 4: ; = 8: ; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = = = : 50 4: = : 09 8: = : : dir. Yine aranan yaklaş k özde¼ger = : 50 olarak bulunmaktad r. 40

54 (b) i (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmektedir. Dolay s yla i(s) = T i (s); i = ; :::; n al nacakt r. Yine (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0:766 s (49 4(s + t) + 4st) t p dsdt = 0:04065 s (49 4(s + t) + 4st) st p dsdt = 0: s (49 4(s + t) + 4st) iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (.) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem 0:766 0: : : = 4: : 4 + 8: = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 4: ; = 4: bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = : 97 4: : 06 0 = 46: 4 4 olarak elde edilir. Burada aranan en küçük pozitif özde¼ger yaklaş k olarak = : 97 dir. Yine (.) formülünde n = al nacakt r. s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda Chebyshev polinomlar kullan larak hk ; i = Z Z p dsdt = 0:766 s (49 4(s + t) + 4st) 4

55 Z hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. (.) sistemi t p dsdt = 0:04065 s (49 4(s + t) + 4st) st p dsdt = 0: s (49 4(s + t) + 4st) t p dsdt = 0:0479 s (49 4(s + t) + 4st) s(t ) p dsdt = 0: s (49 4(s + t) + 4st) (s )(t ) p dsdt = 0: s (49 4(s + t) + 4st) 0:766 0: :0479 0: : : :0479 0: : = 7: : : 07 0 : = 0 haline gelir ve bu denklem çözüldü¼günde = 5: ; = 5: ; = 8: bulunur. Buradan = = = = 9: 6 5: : = 744:0 4 = 9: 8: elde edilir. Aranan özde¼ger yine = 9:6 dir. Örnek..8 Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 6 + 6(s + t) + st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün bir tane olan özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. 4

56 Çözüm. b = ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (a) Ritz yönteminde i (s) fonksiyonlar n n olusturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmektedir. i(s) = P i (s); i = ; :::; n (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z dir. Bu yüzden (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 0: (s + t) + st st dsdt = 0: (s + t) + st 0:4 0: : : = : 7: : = 0 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 0:057 4; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = 7: 50 0:057 4 = : :

57 olarak elde edilir. Burada aranan en küçük pozitif özde¼ger yaklaş k olarak = 7: 50 dir. Şimdi ayn örnek için (.) formülünde n = al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. Ayn şekilde (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 0: (s + t) + st st dsdt = 0: (s + t) + st (t ) dsdt = 0: (s + t) + st s (t ) dsdt = 0: (s + t) + st 4 (s ) (t ) 6 dsdt = : (s + t) + st 0:4 0: : : : : : : : = 0:5 + : : : = 0 haline gelir ve = 5: 74 0 ; = : ; = : bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = = = 7: 500 5: 74 0 = : : = 5: :

58 dir. Yine aranan yaklaş k özde¼ger = 7: 5 olarak bulunmaktad r. (b) i (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmektedir. Dolay s yla i(s) = T i (s); i = ; :::; n al nacakt r. Yine (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0:78676 s (6 + 6(s + t) + st) t p dsdt = 0:0000 s (6 + 6(s + t) + st) st p dsdt = 0: s (6 + 6(s + t) + st) iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (.) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem 0: :0000 0:0000 0: = 4: :8 + 4: = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 5: 7 0 ; = : bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = 7: 47 5: 7 0 : = 5655: 4 olarak elde edilir. Dolay s yla aranan en küçük pozitif özde¼ger yaklaş k olarak = 7: 47 dir. 45

59 Yine (.) formülünde n = al nacakt r. s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda Chebyshev polinomlar kullan larak hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. (.) sistemi p dsdt = 0:78676 s (6 + 6(s + t) + st) t p dsdt = 0:0000 s (6 + 6(s + t) + st) st p dsdt = 0: s (6 + 6(s + t) + st) t p dsdt = 0:05866 s (6 + 6(s + t) + st) s(t ) p dsdt = 0:00490 s (6 + 6(s + t) + st) (s )(t ) p dsdt = 0:00044 s (6 + 6(s + t) + st) 0: :0000 0: :0000 0: : : : :00044 = 7: : : : = 0 haline gelir ve bu denklem çözüldü¼günde = 0:067 59; = : ; = : 0 0 bulunur. Buradan = = = = 4: 785 6: : = 85: 4 = 9: 04 : elde edilir. Aranan özde¼ger yine = 4: 785 dir. 46

60 Örnek..9 Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 5 + 5(s + t) + st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün bir tane olan özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. b = ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = 0 d r. (a) Ritz yönteminde i (s) fonksiyonlar n n olusturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmektedir. i(s) = P i (s); i = ; :::; n (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z dir. Bu yüzden (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 0: (s + t) + st st dsdt = 0: (s + t) + st 0:6440 0: : : = : 0: 09 : = 0 47

61 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 8: 0 0 ; = 9: bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = : 00 8: 0 0 = : : olarak elde edilir. Fakat aranan özde¼ger pozitif olaca¼g ndan = : 00 dir. Şimdi ayn örnek için (.) formülünde n = al nacakt r. Buradan hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. Ayn şekilde (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 0: (s + t) + st st dsdt = 0: (s + t) + st (t ) dsdt = 0: (s + t) + st s (t ) dsdt = 0: (s + t) + st 4 (s ) (t ) 6 dsdt = 4: (s + t) + st 0:6440 0: : : : : : : : = 0:5 + 4: : : = 0 haline gelir ve = 8: 0 ; = : ; = 9:

62 bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = = 8: 0 = :0 = : : = : : dir. Yine aranan yaklaş k özde¼ger = olarak bulunmaktad r. (b) i (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmektedir. Dolay s yla i(s) = T i (s); i = ; :::; n al nacakt r. Yine (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = 0:6005 s (5 + 5(s + t) + st) t p dsdt = 0:075 s (5 + 5(s + t) + st) st hk ; i = p dsdt = 0:00770 s (5 + 5(s + t) + st) iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (.) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem 0:6005 0:075 0:075 0:00770 = 4: : : = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 0:08 5; = : bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = : 97 0:08 5 : = 690:

63 olarak elde edilir. Burada aranan en küçük pozitif özde¼ger yaklaş k olarak = : 97 dir. Yine (.) formülünde n = al nacakt r. s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda Chebyshev polinomlar kullan larak hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. (.) sistemi p dsdt = 0:6005 s (5 + 5(s + t) + st) t p dsdt = 0:075 s (5 + 5(s + t) + st) st p dsdt = 0:00770 s (5 + 5(s + t) + st) t p dsdt = 0: s (5 + 5(s + t) + st) s(t ) p dsdt = 0: s (5 + 5(s + t) + st) (s )(t ) p dsdt = 0: s (5 + 5(s + t) + st) 0:6005 0:075 0: :075 0: : : : : = 7: : : : = 0 haline gelir ve bu denklem çözüldü¼günde = 9: ; = 5: ; = : bulunur. Buradan = = = = 0: 5 9: : = 849: 4 = 6: 70 :

64 elde edilir. Aranan özde¼ger yine = 0: 5 dir. Çizelge. Rasyonel çekirdekli baz integral operatörlerin Ritz Yöntemi ile bulunan yaklaş k özde¼gerleri: k(s; t) çekirde¼gi Legendre P olinomlar{ Chebyshev P olinomlar{ n = için n = için n = için n = için 4: :9749 :4 9+(s+t)+st :5765 :5 :467 :8 9+6(s+t)+4st +s+t st 0:905 0:8656 0: :0609 st 0:58 0:50 0:404 9: (s+t)+4st 7:504 7:500 7:478 6:6 6+4(s+t)+st :75 :548 :94 :064 6 (s+t)+9st :54 :50 :97 9:6 49 4(s+t)+4st 7:50 5:5 7:47 4: (s+t)+st :00 :97 0:5 5+5(s+t)+st. N + (K) = VE N (K) = DURUMU ILE ILG IL I ÖRNEKLER Örnek.. Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 5 + (s + t) + st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün en küçük pozitif özde¼geri yaklaş k olarak bulunacakt r. Çözüm. b < ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = d r. (a) Ritz yönteminde i (s) fonksiyonlar n n olusturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre polinomlar sistemi seçilmektedir. i(s) = P i (s); i = ; :::; n 5

65 (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nacakt r. O zaman n (s) = nx a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z dir. Bu yüzden (.) sistemi dsdt = 0: (s + t) + st t dsdt = 0: (s + t) + st st dsdt = : (s + t) + st 0: :0 75 0:0 75 : = : 0: : = 0 haline gelir ve bu sistem çözüldü¼günde = 0:47 6; = 7: bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = : 0 0:47 6 = 5: 5 7: olarak elde edilir. Fakat aranan özde¼ger pozitif olaca¼g ndan = : dir. Şimdi ayn örnek için (.) formülünde n = al nacakt r. Buradan hk ; i = Z Z dsdt = 0: (s + t) + st 5

66 Z hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z Z Z Z elde edilir. Ayn şekilde (.) sistemi t dsdt = 0: (s + t) + st st dsdt = : (s + t) + st (t ) dsdt = : (s + t) + st s (t ) 4 dsdt = 9: (s + t) + st 4 (s ) (t ) dsdt = 6: (s + t) + st 0: :0 75 : :0 75 : : : : : = 0:5 + 0:47 + : 57 0 : = 0 haline gelir ve = 0:47 5; = 9: ; = 8: bulunur. k(s; t) çekirde¼ginin özde¼gerlerinin yaklaş k de¼gerleri = = = = : 7 5 0:47 5 9: = = 5: 56 8: dir. Yine aranan yaklaş k özde¼ger = : 7 5 olarak bulunmaktad r. (b) i (s) fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Chebyshev polinomlar seçilmektedir. Dolay s yla i(s) = T i (s); i = ; :::; n 5

67 al nacakt r. Yine (.) formülündeki terimlerden yaln zca ikisi al nm şt r. Böylece hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = :44476 s (5 + (s + t) + st) t p dsdt = 0:9558 s (5 + (s + t) + st) st p dsdt = 0:067 s (5 + (s + t) + st) iç çarp mlar hesaplan r. Bunlar (.) sisteminde yaz ld ¼g nda sistem : :9558 0:9558 0:067 = 4: 94 8 : : = 0 haline gelir ve bu eşitlik çözüldü¼günde = 0:476 07; = 5: bulunur. Çekirde¼ge karş l k gelen özde¼gerlerin ikisinin yaklaş k de¼geri = = = : : : = 986: 4 olarak elde edilir. Burada aranan en küçük pozitif özde¼ger yaklaş k olarak = : 00 5 dir. Yine (.) formülünde n = al nacakt r. s ras yla aşa¼g daki işlemler yap ld ¼g nda Chebyshev polinomlar kullan larak hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z p dsdt = :44476 s (5 + (s + t) + st) t p dsdt = 0:9558 s (5 + (s + t) + st) st p dsdt = 0:067 s (5 + (s + t) + st) 54

68 Z Z t hk ; i = p dsdt = 0:44064 s (5 + (s + t) + st) hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z elde edilir. (.) sistemi s(t ) p dsdt = 0:09499 s (5 + (s + t) + st) (s )(t ) p dsdt = 0: s (5 + (s + t) + st) : :9558 0: :9558 0:067 0: : : : = 7: : :78 5 : = 0 haline gelir ve bu denklem çözüldü¼günde = 0:55 4; = 5: ; = 9: 78 0 bulunur. Buradan = = = = : 8 5 0:55 4 = 9: 89 5: = 0: 778 9: 78 0 elde edilir. Aranan özde¼ger yine = : 8 5 dir. Örnek.. Ritz yöntemi kullan larak k(s; t) = 4 + s + t + st simetrik çekirde¼gine karş l k gelen integral operatörün en küçük pozitif özde¼geri yaklaş k olarak hesaplanacakt r. 55

69 Çözüm. b < ac oldu¼gundan N + (K) = ve N (K) = dir. (a) Yine öncelikle i (s) polinomlar sistemi seçilmektedir. fonksiyonlar n n oluşturdu¼gu koordinat sistemi için Legendre i(s) = P i (s); i = ; :::; n Bu polinomlar ( ; ) aral ¼g nda ortogonal olduklar ndan hp i ; P j i = 0; i 6= j hp i ; P i i = = (i + ) eşitlikleri elde edilir. (.) denklemindeki terimlerden yaln zca ikisi al nmaktad r. O zaman nx n (s) = a j j (s) j= olmak üzere (s) = a P 0 (s) + a P (s) elde edilir. Daha sonra hk ; i = hk ; i = hk ; i = Z Z Z Z Z Z dsdt = : s + t + st t dsdt = 7: s + t + st st dsdt = : s + t + st iç çarp mlar bulunur. Böylece (.) sistemi : : : 80 0 : 89 0 = : 0:659 5 : = 0 56