Joural of Egieerig ad Natural Scieces Mühedisli ve Fe Bilileri Dergisi Ivited Review Paer / Çağrılı Derlee Maalesi REGULARIZED TRACES OF DIFFERENTIAL OPERATORS Siga 5/ Mehet BAYRAMOĞLU *, Ehlia ADIGÜZELOV Yıldız Tei Üiversitesi, Kiya-Metaluri Faültesi, Mateati Mühedisliği Böl., Davutaşa-İSTANBUL Yıldız Tei Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Mateati Bölüü, Davutaşa-İSTANBUL Geliş/Received: 5.4.5 ABSTRACT This is a survey article with three arts about the scietific wors doe o regularized trace which are the geeralizatio of trace forulas of atrices ad uclear oerators for differetial oerators. ere the ssecod art is about [3] ad the third art is about [33]. Keywords: ilbert sace, Nuclear oerator, Eigevalue, Sectru, Adoit oerator, Trace of atrix, Regularized trace. MSC uber / uarası: 34L, 34L4 DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN DÜZENLİ İZLERİ ÖZET Bu çalışa atrisleri ve çeirde oeratörleri izi avraıı diferasiyel oeratörler içi geelleştirilesi ola düzeli iz ousuda yaıla bilisel çalışalarla ilgili bir derlee aalesi olu üç ısıda oluşatadır.. ısıda [3] ve 3. ısıda [33] çalışaları yer alatadır. Aahtar Sözcüler: ilbert uzayı, Çeirde oeratör, Özdeğer, Setru, Kedie eş oeratör, Matris izi, Düzeli iz.. GİRİŞ Bir A (a i i, atrisii tr A ( tr A trace A izi tr A a a a olara taılaır.,,, A atrisii a a a a a a det (A I a a a arateristi deleii çözüleri olsu. Burada her çözü edi atlılı sayısı adar yazılıştır. Söz ousu çözüler A atrisii özdeğerleridir. Bilidiği gibi * Sorulu Yazar/Corresodig Autor: e-osta:bayra@yildiz.edu.tr, Tel: ( 449 6 87
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ tr A dir. ( sosuz boyutlu ayrılabilir bir ilbert uzayı ve σ ( de ye tü ta süreli oeratörleri üesi olsu. A σ( ise A * A edie eş egatif olaya bir oeratördür ve * ( A A σ (, []. Bu oeratörü sıfırda farlı özdeğerleri s s s ( olsu. Burada her özdeğer edi atlılı sayısı adar yazılıştır. ( A * A egatif olaya bir oeratör olduğuda s, s,, s ozitif sayılardır. Bu sayılara A oeratörüü s sayıları deir. < ise s ;,, abul edilir. A ı s sayıları baze s (A (,, şelide de yazılabilir. s (A A olduğuu belirteli. A oral oeratör ise s (A (A (,,, dır, []. Burada ( A (A (A, A oeratörüü sıfırda farlı özdeğerleridir. s sayıları s (A < ( oşuluu sağlaya tü A σ( oeratörlerii üesi σ ya da σ ( sigesiyle gösterilir. σ ( A s (A ( σ (A σ( fosiyou ile ayrılabilir bir Baach uzayıdır, []. σ ( uzayıa ait ola bir başa deyişle s sayıları s (A < oşuluu sağlaya A σ( oeratörüe çeirde oeratörü deir. A σ ( ve T B( ise AT, TA σ ( ve dır. AT TA σ ( σ ( A bir çeirde oeratörü ise her { } T A T A e σ ( σ ( ortooral tabaı içi ( Ae,e serisi yaısatır ve bu serii tolaı { e } tabaıı seçiie bağlı değildir, []. Söz ousu serii tolaıa A oeratörüü atris izi deir ve tr A ile gösterilir. tr A içi
Regularized Traces of Differetial υ(a tr A (A ( forülüü sağladığı bilietedir, []. Burada her özdeğeri edi cebirsel atlılığı adar tolaıştır. υ (A sıfırda farlı özdeğerleri cebirsel atlılılarıı tolaıdır. Diferasiyel oeratörleri düzeli izi atrisleri ve çeirde oeratörlerii izlerii geelleştirilesi olara abul edilebilir. Saler diferasiyel oeratörleri düzeli izi ile ilgili araştıralar il olara [] çalışası ile başlaıştır. Bu çalışada q (x [,] aralığıda taılı, reel değerli ve süreli türeve sahi ola bir fosiyo ve h, herhagi reel sabitler ola üzere [ q(x ] y(x y (x (3 y ( hy(, y ( y( (4 regüler Stur-Liouville roblei göz öüe alııştır. Bu roblei,,,, özdeğerleri içi c O (5 asitoti forülüü sağladığı bilietedir. Burada c q(tdt h (6 dır. Görüldüğü gibi serisi ırasatır. Dolayısıyla atrisler ve çeirde oeratörleri içi sağlaa ( ve ( iz forülleri (3, (4 roblei içi söz ousu değildir. Buula birlite (3, (4 roblei içi farlı bir iz avraı verilebilir. Buu içi [] çalışasıda (3 deleii yaı sıra y (x µ y(x (7 delei de göz öüe alııştır. (6 forülleride µ, µ,, µ, (7, (4 robleii özdeğerleri ise (5 ve q (tdt oşulu sağladığı tadirde ( µ serisii yaısa olduğu görületedir. Söz ousu serii tolaıa (3, (4 Stur-Liouville robleii düzeli izi deir. [] çalışasıda 4 ( µ [ q( q( ] h şelide bir düzeli iz forülü buluuştur. [] çalışasıda sora []-[9] çalışalarıda ve birço başa çalışalarda çeşitli saler diferasiyel oeratörleri düzeli izleri iceleiştir. 3
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ Oeratör atsayılı diferasiyel oeratörleri düzeli izleri []-[37] çalışalarıda iceleiştir.. SINIRLI OPERATÖR KATSAYILI VE TEKİLLİĞE SAİP OLAN STURM- LIOUVILLE OPERATÖRÜNÜN DÜZENLİ İZİ AKKINDA sosuz boyutlu ayrılabilir bir ilbert uzayı ola üzere L [ ; (, ] diferasiyel ifadeleri ve ayı υ 4 [y] y (x y(x x υ [y] y (x 4 y(x Q(xy(x x ilbert uzayıda υ li y(xx, y( ; υ, x [ y ( ; υ, ie ie sıır oşulları ile oluşturula edie eş oeratörler sırasıyla L ve L olsu. uzayıda oru oşulları sağladığıı varsayalı:. Q(x,] ile göstereli ve Q(x oeratör fosiyouu aşağıdai [ aralığıda iici ertebede zayıf türeve sahitir ve her [,] Q ( (x : (,, edie eş çeirde oeratördür;. Q(x i( x içi <. Burada < < < ile J υ (x Bessel fosiyouu sıfırları gösteriliştir; 3. uzayıda (x ϕ < ( Q olaca şeilde bir { } 4. Q (x (,, σ( ϕ ortooral tabaı vardır; fosiyoları [,] aralığıda sıırlı ve ölçülebilirdir; 5. tr Q(x fosiyou [,η] aralığıda süreli olaca ve (,η sahi olaca şeilde η (, sabiti vardır. aralığıda solu türeve L oeratörüü setruu { } sosuz ola bir özdeğerdir. şelidedir. R ve üesidir. Bu üei her otası atlılığı özdeğerie arşılı gele ortooral özvetörler ( J ( ϕ ;,, ψ ( x xjυ (x υ R sırasıyla L ve L oeratörlerii rezolvetleri olsu. 4
Regularized Traces of Differetial Yardıcı Teore : Q(x oeratör fosiyou 3. oşuluu sağlıyorsa her ρ( L içi QR σ(. İsat: L oeratörüü ortooral özvetörleri uzayıda ortooral bir taba olduğuda isat içi QRψ dizisii yaısa olduğuu göstere yeterlidir, []. QR ψ dir. z i büyü değerleri içi sağlaa Qψ υ xjυ( J ( x Qϕ dx (8 J (z υ cos z ( z υ O z 3 forülüde yararlaara olayca görülebilir i xjυ (x cost. (x [, ; N (9 J ( υ dır. (8 ve (9 da QR ψ cost Qϕ ( elde edilir. ie olduğuda ( da υ ~ 4 QR ψ C, υ Qϕ buluur. Burada C, υ sadece ve υ ye bağlı ola ozitif bir sabittir. yaısa olduğu göz öüe alıırsa so eşitsizlite QR ψ < elde edilir. Teore : Q(x oeratör fosiyou.ve 3. oşullarıı sağlıyorsa Q ϕ serisii 5
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ L oeratörüü setruu ayrı Q, Q aralılarıı birleşiii bir alt üesidir; L oeratörüü setruuu esas ısı { } İsat: R \ Q, Q ise üesidir. QR Q R < ( dir. ( de : B( B( A A(T R TQR tasvirii bir büzüle tasviri olduğu elde edilir. Dolayısıyla R TQR T deleii B ( uzayıa ait ola bir te çözüü vardır. Öte yada R RQR R olduğuda ρ(l dir. Souç olara L oeratörüü setruu ayrı Q, Q σ L Q, Q aralılarıı birleşiii bir alt üesidir: (. Teorei birici ısı isatlaıştır. Yardıcı Teore de ve R R RQR forülüde R R σ( elde edilir. Bu duruda L ve L oeratörlerii setrularıı esas ısılarıı ayı olduları bilietedir, [38]. Öte yada L oeratörüü { } setruuu sadece esas ısıda oluştuğu göz öüe alıırsa L oeratörüü setruuu esas ısıı { } ortaya çıar. Teore de aşağıdailer elde edilir: a L oeratörüü setruuu { } b üesi olduğu üesie ait olaya her otası atlılığı solu ola ayrı bir özdeğerdir; sayısı L oeratörüü atlılığı solu ya da sosuz ola bir özdeğeri olabilir; c { } L oeratörüü ola üzere dir. Q, Q aralığıa ait ola özdeğerleri li 6
Regularized Traces of Differetial özvetörleri ve { ψ }, L oeratörüü { }, ε i özdeğerlerie arşılı gele ortooral ( Q, r { C : Q } ε B (, ψ ψ, B (, ψ ψ olsu. (r r ( r r L B, L B (r, Yardıcı Teore :. ve 3. oşulları sağlaıyorsa ( ;,, yaısatır. İsat: R R oeratörü içi serileri utla B B R R ( forülü sağlaır. L oeratörüü her ( özdeğerii ve L oeratörüü her ( ;,, özdeğerii r çeberii dışıda olduğu göz öüe alıırsa ( de i r ( R R d B d B i r i r ( B B ( ( L d L (3 elde edilir. Kolayca gösterilebilir i R R oeratör fosiyou ρ (L bölgeside σ ( uzayıdai ora göre aalititir. O halde (3 te ( ( L L σ( ;,, (4 buluur. Bezer şeilde L ( ( L σ(;,, (5 olduğu gösterilebilir. 7
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ ( > L oeratörü sadece solu sayıda ozitif olaya özdeğere sahi olduğuda isat içi serisii yaısa olduğuu göstere yeterlidir. Dolayısıyla aşağıda (r olduğuu abul edeceğiz. ( L {, r } r σ olduğuda (r r ( L ψ, ψ, ( L ψ, ψ ; r ( r r (r r (r ( ( L L ψ, ψ ( L L ( ψ ψ ( r (, r > r r > r > dır. (4, (5 ve (6 da ( r (r L σ ( L (6 r ( < (7 r > r r < r r ( cost ( r < elde edilir. (7 ve (8 de buluur. ( < cost (8 < < ;,, er ρ( L ρ(l içi R R σ( olduğuda (5 forülüde ve Yardıcı Teore de yararlaara elde edilir. Burada b ( i b tr tr ( R R ola üzere ( R R d ( (9 buluur. R R R QR forülüde 8
Regularized Traces of Differetial R N R ( N R (QR ( R (QR N elde edilir. Burada N herhagi bir doğal sabittir. (9 da ve so eşitlite N N N ( M ( (i tr [ R (QR ] d ( b buluur. Burada dır. Kolayca gösterilebilir i M ( i b tr [ R(QR ] d [(QR ] d M ( (i tr ( b dır. 5. oşulu sağladığı tadirde [4] çalışasıda yaılalara bezer şeilde li M υ tr Q(x dx 4 tr Q(x dx 4 [ υtr Q( tr Q( ] ( forülüü sağladığı gösterilebilir. Aşağıdai eşitlileri sağladığıı göstereli: li M ;,3,4, (3 Buu öce içi yaalı. ( forülüde yararlaara M ( 4i tr ( QR d ( 4i ( QR b ψ, ψ b ( 4 i (Qψ, ψ d (4 b ( ( d elde edilir. Burada, < yai, < b içi ( ( b d olduğu görületedir. Bu eşitliği, > içi de sağladığı göz öüe alıırsa (4 te 9
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ M ( 4i ( ( (Qψ, ψ (Qψ (Qψ, ψ b, ψ ( ( d ( Qψ (5 buluur. (9 da ve Q(x i. oşuluu sağlaasıda yararlaara Qψ Q(x xjυ(x ϕ dx Jυ ( cost elde edilir. (5 ve (6 da Q(x ϕ dx cost (6 M cost ( cost ( buluur. Kolayca gösterilebilir i ( < (7 dır. So ii bağıtıda li M elde edilir. Bua bezer şeilde li M olduğu isatlaabilir. [] de isatlaış 3 QR QRψ σ( eşitsizliğide ve 3. oşuluda yararlaara ( da b içi
σ ( ( cost ( ( cost ( cost QR ( ( ( cost (8 buluur. cost olduğu göz öüe alıırsa (7 ve(8 de b ( cost ( cost QR ( σ (9 elde edilir. Ayrıca b ( cost R (3 olduğu gösterilebilir. (, (9 ve (3 da yararlaara ( ( ( ( ( ( σ σ σ b ( b ( b ( b d R Q QR d QR QR d (QR d QR tr M 3 ( ( c b c (3 buluur. Burada c ve ( c sadece ye bağlı ola ozitif sabitlerdir. (3 de 4,5, ; M li elde edilir. Böylece (3 forülü isatlaış oldu.,, (, cost olduğu göz öüe alıırsa (3 da b ( cost R (3 buluur. (9, (3 ve (3 de yararlaara Regularized Traces of Differetial
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ b tr N [ R(QR ] elde edilir. Burada d b b b N R(QR d σ ( N R(QR (N cost b 3N cost QR d σ( li b tr N [ R(QR ] d ; N 4,5, (33 olduğu görületedir. ( forülüde ( tr Q(xdx M tr Q(xdx N M N ( i b tr R(QR N d (34 buluur. (, (3, (33 ve (34 te υ ( tr Q(xdx tr Q(xdx 4 4 [ tr Q( tr Q( ] (35 elde edilir. Bu forülü birici tarafıdai tolaa L oeratörüü düzeli izi adıı verilesi doğaldır. Böylece aşağıdai teore isatlaış oldu: Teore : Q(x oeratör fosiyou.,., 3.,4., ve 5. oşullarıı sağlıyorsa L oeratörüü düzeli izi içi (35 forülü sağlaır. 3. SINIR KOŞULUNDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN İKİNCİ DÜZENLİ İZİ İÇİN FORMÜL Bu ısıda [ y] y q(xy y ( x (36 y ( y( y ( (37 sıır değer robleii. düzeli izi içi forül veriliştir. (36 ifadeside yer ala q(x fosiyouu aşağıdai oşulları sağladığı varsayılıştır:
Regularized Traces of Differetial aralığıda reel değerli, 3. ertebede süreli türeve sahi ola bir fosiyodur ve q ( q ( q (,. q (xdx. q(x, [,] göstereli: ile L [,] ve C (C oles sayılar üesidir ilbert uzaylarıı diret tolaıı F (x i herhagi ii F elealarıı iç çarııı [,] C L G(x G F ve (F (x,g (x L [, ]; F,G C ( F,G G F (xg(xdx F G şelide taılayalı. bir ilbert uzayıdır. D(L { F : F (x,f (x [, ] aralığıda utla süreli fosiyolardır, [ F ] L[, ],F ( ve F F ( } ola üzere D(L de ye [F ] L[F] F ( oeratörü (36, (37 robleie arşılı edie eş bir oeratördür. Söz ousu roble L oeratörüü yardııyla L(F F şelide yazılabilir. Görüldüğü gibi (36, (37 robleii setruu ile L oeratörüü setruu çaışırlar. q(x olduğu halde (36, (37 robleie yuarıda oluşturduğuuz şeilde arşılı gele edie eş oeratörü L ile göstereceğiz. L ve L oeratörleri altta sıırlı ve setruları saf ayrıtır, [34]. < < < < ve µ < µ < < µ < sırasıyla L ve L oeratörlerii özdeğerleri olsu. [39] çalışasıda ( O( (38 asitoti forülüü sağladığı ve edie eş L oeratörüü özfosiyolarıda oluşa ta ortooral bir dizii var olduğu bilietedir. Dolayısıyla R ve R sırasıyla L ve L oeratörlerii rezolvetleri ola üzere her ρ(l ve µ ρ( L içi R, çeirde oeratörleridir: R, Rµ σ(. Bua göre R µ de ye 3
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ tr ( R,R µ dır. Bu eşitliği her ii tarafıı ifadesi ile çarı, yi isteildiği adar büyü doğal sayı i abul edere b ( µ µ çeberi üzeride itegre ederse i b tr ( R,R d d i b µ ( µ (39 elde edilir. L ve L oeratörleri arasıda şelide bir bağıtı vardır. Burada Q ile L L Q gösteriliştir. R R RQR forülüde q(xf (x QF, F R N N N R ( R (QR ( R (QR (4 buluur. Bu eşitlite N herhagi bir doğal sayıdır. (39 ve (4 da ( N [ R (QR ] N N ( µ M tr i d b (4 elde edilir. Burada dır. M içi M ( i b tr [ R (QR ] d [(QR ] d ( M tr (4 i b eşitliğii sağladığı gösterilebilir. 4
Regularized Traces of Differetial L oeratörüü { µ } α 3µ si µ ola üzere özdeğerlerie arşılı gale ortooral özfosiyoları α cos µ x ψ α µ si µ (,, şelidedir. { } ψ uzayıı ortooral bir tabaı olduğuda (4 de M içi elde edilir. M i i b b µ tr (QR d i q(x α (Qψ, ψ µ cos µ x dx b d µ (Qψ (QR, ϕ ψ, ψ d T (x µ α cos µ x (43 olsu. O zaa M M qxt ( ( xdx (44 şelide yazılır. li M i hesalayalı. Buu içi aşağıdai fosiyou göz öüe alalı: z cos F(z si z xz 3 ( z si z cosz F(z fosiyou oles düzlei z µ (,, ve z (,,, otalarıda başa her otada aalititir. er z µ ve z otası F(z fosiyouu sadece basit teil otası olabilir ve Res F(z αµ cos z µ µ x (45 Res F(z cos x z (46 dır. F(z fosiyou sağladığı açıtır. ve z otasıda aaliti olduğu halde de bu forülleri z µ 5
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ (38 asitoti forülüde görüldüğü gibi her N içi µ < ( < µ olaca şeilde bir N doğal sayısı vardır. Burada B sosuza gide bir ozitif değişe ve N, A ola üzere tee otaları Bi,A Bi ola S didörtgeii Γ sıırı üzeride F(z fosiyouu itegralii hesalayacağız. Koles aalizde bilidiği gibi F(zdz Res F(z Res i Γ z µ z µ dir. (43, (45, (46 forülleride ve bu so eşitlite Γ T (x F(zdz cos x (47 i buluur. Yardıcı Teore 3: [,] x içi F(z dir. L F (zdz A i A i F(zdz İsat: L,L, L3 ve L 4 yuarıda bahis edile S didörtgeii earları olsu. O tadirde L 4 F (zdz li F(zdz (48 B L ib ir F (zdz F(zdz li F(zdz F(zdz L ib dir. F(z te fosiyo olduğuda r ib z r Re z ib F(zdz ir yazılabilir. Diğer tarafta olduğuda L F (zdz li r z r Re z F(zdz z cos li F(z li z z si z xz 3 ( z si z cosz F (zdz (49 L 6
Regularized Traces of Differetial elde edilir. Ayrıca z u iv ola üzere z i büyü değerleri ve u içi (x v F(z e eşitsizliği sağlaır. Dolayısıyla S didörtgeii alt ve üst earları ola L ve L 4 üzeridei L F (zdz ve F (zdz itegralleri içi L 4 li F(zdz li F(zdz B B L L 4 buluur. (48,(49 ve (5 de elde edilir. L F (zdz (47 forülüde ve Yardıcı Teore 3 te cos x T (x buluur. Burada T (x A i A i F(zdz (5 (5 T (x i A i A i F(zdz dir. T (x i sıırladıralı. [39] çalışasıda isatlaış α cos µ x cos( x O( (5 asitoti forülüde yararlaacağız. (38, (43, (5 ve (5 forülleride T (x µ α cos µ x cos x [ ( O( ][ cos ( x O( ] O( cost cos x (53 elde edilir. Teore 3: q(x fosiyou. ve. oşullarıı sağlıyorsa li M dir. İsat: (43, (44 ve (5 forülleride 8 [ q ( q ( ] 7
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ M q(xt (xdx q(x cos x T (x dx elde edilir. T (x içi 4 q(x cos x dx q(xt (xdx (54 cost T (x < A ( x, x [, eşitsizliği isatlaabilir Ayrıca varsayı gereği q ( q ( olduğuda q(x dir. (53 te ve bu so ii eşitsizlite yararlaara q(xt (xdx 3 q(x T (xdx cost (x 3 q(x T (xdx cost li q(xt (xdx (55 buluur. q(x fosiyou. ve. oşullarıı sağladığıda q(x cos x dx q(x q(xcosx dx [ cosx] q(x si x q (xsix dx 4 q (xsix dx q (x cosx q (x cosx dx 4 q (x cosx dx 8 q (xcosx dx ( q (xcosx dx 6 6 dx, 8
Regularized Traces of Differetial 3 3 cos(. q (x cosx dx cosq (x cosx dx fosiyouu [ ] dir. Bu eşitliği sağ tarafıdai tolalar q (x, aralığıda { cos x} fosiyolarıa gore Fourier serisii ısi tolalarıı ve otalarıdai değerleridir. Bua göre li q(x cos x dx dir. (54, (55 forülleride ve bu so eşitlite li M 8 buluur. Teore 4:. ve. oşulları sağladığı tadirde dir. 5 µ ( Res İsat: Öce ı büyü değerleri içi { } özdeğerleri ( > ise dir. Ayrıca (38 de µ dir. ise 3 [ q ( q ( ] [ q ( q ( ] [ ] [ q ( q ( ] tr (QR b çeberi üzeride µ > µ µ µ ( µ µ ( µ µ ( µ µ µ ( µ µ 8 R ı sıırladıralı. R ı µ ( O( (56 elde edilir. Dolayısıyla ( ( >, ( ( ( ( >, ( µ (57 µ > (58 µ > ( > ( > µ olur. Böylece ( (,, < ve bu edele 9
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ R <, ( b (59 dir. Bezer şeilde R < cost, ( b (6 olduğu gösterilebilir. Bu ez de yararlaara b çeberi üzeride R σ yi sıırladıralı. (57 ve (58 de ( R S (R σ( µ µ µ dx < ( x l( < (6 buluur. (4, (56, (59 ve (6 de M b b cost 5, tr Q [(QR ] R d R σ ( b (QR 4 d cost σ( ( d li M, 6 (6 elde edilir. Bezer şeilde (56, (6 ve (6 de li b tr N [ R (QR ] d, N 6 (63 buluur. (4, (4, (6, (63 te ve Teore 3 te 5 µ ( Res [ tr (QR ] [ q ( q ( ] 8 (64 elde edilir. (64 forülüü sol tarafıdai serii tolaıa (36, (37 sıır değer robleii. düzeli izi deir.
Regularized Traces of Differetial KAYNAKLAR [] Gohberg, I. C. ad Krei, M. G., Itroductio to the Theory Liear o-self Adoit Oerators, Traslatio of Matheatical Moograhs, Vol. 8 (AMS, Providece, R. I., 969. [] Gelfad, I. M. ve Levita, B. M., İici Mertebede bir diferasiyel oeratörü özdeğerleri içi bir forül haıda, Dol. AN SSSR, 953, T. 88, No: 4, 593-596. [3] Diiy, L. A., Gelfad-Levita ı bir forülü haıda, Usei Mate. Nau, 953, T. 8, No:, 9-3. [4] Diiy, L. A., Solu aralıta veriliş bir adi diferasiyel delei dzeta-fosiyou, İzv. AN SSSR, ser. Mate., 955, T. 9, No:4, 87-. [5] Diiy, L. A., Stur-Liouville diferasiyel oeratörleri içi iz forülleri, Usei Mate. Nau, 958, T. 3, No: 3, -43. [6] Gelfad, I. M., İici ertebede bir diferasiyel oeratörü özdeğerleri içi forüller, Usei Mate. Nau, 956, T., 9-98. [7] alberg, C. J. ad Kraer, V. A., Geeralizatio of the trace cocet, Due Matheatical Joural, 96, V. 7, No: 4, 67-68. [8] Gasiov, M. G. ve Levita, B. M., İi sigular Stur-Liouville oeratörüü özdeğerlerii faralrıı tolaı haıda, Dol. AN SSSR, 963, T.5, No. 5, 4-7. [9] Levita, B. M., Stur-Lioville oeratörüü düzeli izii hesalaası, Usei Mate. Nau, 964, T. 9, No:, 6-65. [] Lidsiy, V. B. ve Sadoviçiy, V. A., Bir sııf ta fosiyoları sıfırlarıı düzeli tolaı, Dol. AN SSSR, 967, T.76, No:, 59-6. [] Sadoviçiy, V. A., Yüse ertebede ii diferasiyel oeratörüü farıı izi haıda, Differes. Uraveiya, 966, T., No:, 6-64. [] Sadoviçiy, V. A., Yüse ertebede adi diferasiyel oeratörleri izleri haıda, Mate. Sbori, 967, T. 7, No:, 93-37. [3] Sadoviçiy, V. A., Adi diferasiyel oeratörler içi iz forülleri, Mate. Zaeti, 967, T., No:, 79-88. [4] Sadoviçiy, V. A., Sigüler diferasiyel oeratörleri özdeğerleri içi bazı forüller haıda Bessel fosiyouu sıfırları içi bağıtılar, Vesti MGU, ser. Mate. Mea., 97, No: 3, 77-86. [5] Sadoviçiy, V. A., Diferasiyel oeratörleri sectral teoriside aaliti yöteler, Izd. MGU, 973, 545. [6] Sadoviçiy, V. A., Diferasiyel oeratörleri dzeta-fosiyou ve özdeğerleri, Differes. Uraveiya, 974, T., No: 7, 76-85. [7] Guseyov, G. Ş. ve Levita, B. M., Stur-Liouville oeratörü içi iz forülleri haıda, Vesti MGU, ser. Mate. Mea., 978, No:, 4-49. [8] Dostaic, M. Trace forula of Gelfad-Levita tye, Publ. Ist. Math. (Beograd (N. S., 994, V. 55, 5-65. [9] Albayra, I., Agü, F., Solu aralıta çift ertebede bir diferasiyel delei düzeli izii hesalaası, Siga Joural of Egieerig ad Natural Scieces, 4/4, 7-78. [] alilova, R. Z., Stur-Liouville oerator deleii izii düzeleesi haıda, Fus. Aaliz, Teoriya Fusiy i i Pril Mahaçala, 976, No: 3,. Bölü, 54-6. [] Adıgüzelov, E. E. Oeratör atsayılı ii Stur-Liouville oeratörüü farıı izi haıda, İzv. AN SSSR, Seriya Fiz-Te. I Mat. Nau, No: 5, 976, -4. [] Adıgüzelov, E. E., Avcı, ad Gül, E. The trace forula for Stur-Liouville oerator coefficiet, J. Math. Phys., Volue 4, No: 6,, 6-64.
M. Bayraoğlu, E. Adıgüzelov Siga 5/ [3] Adıgüzelov, E. E., Bayal, O. ad Bayraov, A., O the sectru ad regularized trace of the Stur-Liouville roble with sectral araeter o the boudary coditio ad with the oerator coefficiet, Iteratioal Joural of Differetial Equatios ad Alicatios, Volue, No: 3,, 37-333. [4] Adıgüzelov, E. E., Başi, Ö. ad Bayal, O., O a regularized trace of a differetial oerator with bouded oerator coefficiet, Iteratioal Math. Joural, Volue 5, No: 3, 4, 73-86. [5] Adıgüzelov, E. E. ad Başi, Ö., O the regularized trace of the differetial oerator equatio give i a fiite iterval, Siga Joural of Egieerig ad Natural Scieces, /4, 47-55. [6] Masudov, F. G., Bayraoğlu, M. ad Adıgüzelov, E.E., O a regularized trace of the Stur-Liouville oerator o a fiite iterval with the ubouded oerator coefficiet, Dol. AN SSSR, Eglish traslatio Soviet Math., Dol, 3(984, No:, 69-73. [7] Bayraoğlu, M., Sıırsız oerator atsayılı diferasiyel delei düzeli izi üzerie, Sectral Theory ad Its Alicatios, No: 7, Bau, 987, 5-4. [8] Alaedov, M. S., Bayraoğlu, M. ad Kataova, V. I., Çift ertebede sıırsız oerator atsayılı bir diferasiyel dele içi iz forülleri, Dol. AN SSSR, 99, T. 37, No: 3, 5-55. [9] Masudov, F. G., Bayraoğlu, M. ad Adıgüzelov, E. E., O asytotics of sectru ad trace of high order differetial oerator coefficiets, Doğa- Tr. J. of Matheatics, 7(993, 3-8, TÜBİTAK. [3] Alaedov, M. S., ad Kataova, V. I., O regularized of the trace of a higher-order differetial oerator with a bouded oerator coefficiet,soviet MAT. Dol., Vol. 43, No:, 486-49, (99. [3] Alaedov, M. S., Bayraoğlu, M. ad Kataova, V. I., O regularized traces of a eve-order differetial equatio with a ubouded oerator coefficiet, Differetial Equatios 9, No:, -9, (993. [3] Bayraoğlu, M. ad Adıgüzelov, E. E., O a regularized trace forula for the Stur- Liouville oerator with a bouded oerator coefficiet ad with a sigularity, Differetial Equatios, 3 (996, No:, 58-585, (997. [33] Albayra, I., Bayraoğlu, M. ad Adıgüzelov, E.E., Forula for the secod regularized trace of the Stur-Liouville roble with a sectral araeter o boudary coditio, Methods of Fuctioal aalysis ad toology, Volue 4, No: 3, -8, 999. [34] Albayra, I., Bayal, O. ad Gül, E., Forula for the highly regularized trace of the Stur-Liouville oerator with ubouded oerator coefficiets havig sigularity, Turish Joural of Math., V. 5, No:, 37-3,. [35] Bayraoğlu, M. ad Şahitür,., Sıır oşuluda setral araetre ola oeratör atsayılı Stur-Liouville deli içi iz forülü, Iteratioal Coferece o Fuctioal Aalysis, Kyiv, August -6,. [36] Bayraoğlu, M. ad Şahitür,., Sıır oşuluda setral araetre ola Stur- Liouville robleii düzeli izi üzerie, SIAM 5 th Aiversary ad Aual Meetig, (8- Teuz,, Philadelhia, ABD,. [37] Gül, E., The trace forula for a differetial oerator coefficiets ad two ters, Doğa- Tr. J. of Matheatics, 8(4, 3-54, TÜBİTAK. [38] Kato, T., Perturbatio theory for liear oerators, Berli-eidelberg-New Yor; Sriger-Verlag, 98. [39] Fulto, S. T., Two-oit boudary value robles with eigevalue araeter cotaied i the boudary coditios, Proceedig of the Royal Society Ediburgh, 77A, 93-38, (977. [4] Gaşiov, I. F., Sigüler diferasiyel oerator deleleri setruuu ve düzeli izii iceleesi, Dotora Tezi, Baü, 99, 3 s.