SPEARMAN SIRA KORELASYONU KATSAYISINDA TEKRARLANAN DEGERLER VE BİR UYGULAMA Doç. Dr. SelAhattl GÜRİŞ ( ) Değişkeler arasıdaki ilişkii derecesii ölçülmeside farklı istatiksel yötemlerde yararlaılabilir. Değişkeler arasıdaki ilişkii derecesii belirlemesi sözkousu olduğuda ilk akla gele ve e çok kullaıla korelasyo katsayısıdır. Korelasyo katsayısı değişkeler arasıdaki ilişkii doğrusal veya eğrisel olması durumua göre farklı şekillerde hesaplamaktadır. Korelasyo katsayısıı değişkeler arasıdaki ilişkii derecesii ölçmede kullaılabilmesi, değişkeleri dağılımlarıı ormal dağılım olmasıa bağlıdır. Değişkeleri dağılımlarıı ormal dağılım olmaması durumuda korelasyo katsayısıı ilişkii derecesii belirlemeside kullaılması doğru olmaz. Bazı durumlarda da değişkeleri sayısal değerle ri, değişkeleri ifade ettikleri olay ile ilgili gerçek değerleri yasıtmamak tadırlar. Böyle değişkeler içi de korelasyo katsayısı ile yapılacak aalizler yaıltıcı souçlar verebilir( ). Bazı değişkeleri sayısal değerleri seriyi oluştura birimleri icelee karekterlerii gerçek değirii belirlemeyebilir. Bu durumla daha çok itelikleri icelik olarak ifadeside karşılaşılır(). Öreği bir zeka testi uyguladığıı düşüelim. Test soucu elde edile sayısal değerler testi uyguladığı kişileri zekalarıı birbirleri ile oratılı olarak ölçmekte ise, bu pualar korelasyo aalizide kullaılabilir. Fakat test souçları zekalarıı birbirleride e kadar farklı olduğuu kesi olarak belirleyemeyerek, sadece kimi zekasıı kimde daha üstü olduğuu ortaya koyuyorsa bu durumda sıra korelasyou katsayısıı uygulaması uygu olmaktadır. - Spearma Sıra Korelasyou Katsayısı Özellikle yukarıda söz edile iki durumda sıra korelasyou katsayısı uygudur. Spearma sıra korelasyou katsayısıı hesaplamasıda, değişkeleri aldıkları değerlere büyüklüklerie göre birde başlayarak sıra umaraları verilir. Sıralamaya e büyük veya e küçük değere verilerek başlaır ve birer birer arttırılarak. değere kadar devam edilir. Sıralama küçükte büyüğe veya büyükte küçüğe doğru yapılabilir. Burada öemli ola sıralamaı her iki değişke içi de ayı yöde yapıl ı kullaılması masıdır(3). (*) Marmara Üiversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi. () HAYSLETT, H.T. Statistics Made Simple, W.H. Aile, Lodo 97, s. 80. KÖKSAL, Bilge Aloba, istatistik-aaliz Metodları, ikici Baskı, Çağlaya Kitabevi, lstabul, 980, s. 3. () VURAN, Ateş, İstatistik, İ.İ.T.İ.A. Nihad Sayar Yayı ve Yardım Vakfı Yayıları No: 35/58, lstabul, 98, s.. (3) GÜRTAN, Kea, istatistik ve Araştırma Metodları, lstabul Üiversitesi Yayılarıda No. 9, lstabul, 97. s. 53. ' 0
Sıralama yapıldıkta sora katsayı; x l: df r=--- i= s ( -) formülü ile hesaplamaktadır. Burada di sıra farklarıı ifade etmektedir. Yukarıda verile sıra korelasyou katsayısı formülü;.l >GYi-xy I=, r=--r::================ - - L (X;-X). L (Yi-Y).=.= Doğrusal korelasyo katsayısı formülüde türetilmiştir. Sıralarda birii Xi, diğerii Yi ile ifade edersek, sıralar hem Xi hem de Yi içi ilk tam sayıda oluşacaktır. Yalız Xi ve Yi'i ilk. tam sayı olması içi her iki değişkei aldığı değerler sadece birer defa tekrarlamalıdır. Bu durumda, - - + X=Y=-- -~, <Xi-Yl= -~ <>G-Xi= ( -) = =. olacaktır. Ayrıca, olacağıda; _ i~di =i~ (Xj-X) =i~ Xj - i~ Xj'fj+i~ yi ~ v.y = ( + )( + ) _.:!. ~ d~ i= " i= olarak elde edilir. Daha öce verile () umaralı formül, yukarıda verile eşitlikleri () umaralı formülde yerie koulması ile elde edilmiştir (). () umaralı formül ile katsayıı daha kolay hesaplaacağı açıkça görülmektedir. Bu edele değişkeleri aldığı değerlerde tekrarlar olmadı- () BAGIRKAN, Şemsetti, istatistiksel Aaliz, Ösöz Basım ve Yayıcılık, lstabul, 98, s.-'8. MOSTELLER, Frederick; ROURKE, Robert E.K., Sturdy Statistics, Addiso -Wesley Publishig Com., Massachusetts, 973, s. 0. 0
ğıda () umaralı formül ile sıra korelasyou katsayısı hesaplaabilir. - Tekrarlaa Değerler ve Spearma Sıra Korelasyou Katsayısı Uygulamada sıra korelasyou katsayısıı hesaplaacağı her durumda değişkeleri alacağı değerleri birer defa tekrar edileceği düşüülemez. Değişkeleri aldığı değerler tekrarlı ise, yai ayı değer birde fazla tekrarlaıyorsa, bu durumda sıralama yapılırke tekrarlaa değerleri sıralarıı aritmatik ortalaması alımaktadır. Öreği bir değişkei k. ve (k + ). değerleri ayı ise, bu değerleri her ikisii de sırası; k+(k+) =k+~ ' olmaktadır. İkide fazla tekrarlar içide ayı işlem yapılmaktadır (5). Daha öce verile () umaralı formül () umaralı formülde elde edilirke sıraları ilk tam sa_yıda_oluştuğu düşüülmüştü. Terarlaa c:jeğerleri sıraları edeiyle X ve Y değişmeyecek, fakat hesaplaacak diğer değerlerde sapmal~r olacaktır. Yie k. ve (k + ). değerleri ayı olması durumuu düşüelim. Bu durumda sıraları karelerii toplamları ve çarpımlarıı toplamları değişecektir. Tekrar yok ise k. ve (k + ). değerleri kareleri toplamı, k + (k + ) = k + k + olacaktır. k. ve (k + ). değerler tekrarlaıyor ise sıraları k+ ' ve kareleri toplamı; ( ) ( ) k+ + k+ =k +k+ olacaktır. Görüldüğü gibi arada / birimlik bir fark oluşmaktadır. Ayı şekilde, eşleşme durumlarıa göre X ve Y çarpımlarıda da bir fark oluşacaktır. Az sayıdaki tekrarlar souçta büyük sapmalara ede olsa bile, arta tekrar sayıları ile fark büyüyecektir. Değerleri tekrarlaması durumuda sıraları kareleri toplamıdaki azalma; t (t_ ) olarak geelleştirilebilir. Bu durumda sıraları kareleri toplamı; x, ( + ) ( + ) _ l:[ t ( t - )] formülü ile hesaplaabilir. Formülde t tekrar sayılarıı ifade etmektedir. _Da- (5) MOSTELLER, ROURKE, age, s. 0. SERPER, Özer, İstatistik, Filiz Kitabevi, lstaiıbul, 980, s. 30-307. 03
ha öce belirtildiği gibi bir daki azalma; d~ğer t ( t - ) iki kere tekrarlaıyorsa = ( - ) kareler toplamı = olacaktır. Öreği 5 birimde oluşa bir seride bir değer, bir değer 3 ve iki değer de şer kaz tekrarlaıyorsa; v = 5 ( 5 + ( x 5 + ) -[ ( - ) 3(3 - ) + ( - ) + ";. + (~ - ) ] = 0-8=3 olacaktır. 3-Uygulama Değişkeleri aldığı değerlerde tekrarlar olduğuda Spearma sıra korelasyou katsayısı ve doğrusal korelasyo katsayısı formülleri ile yapıla cak hesaplamalar soucu farklı değerler elde edilecektir. Gerçek değeri doğrusal korelasyo katsayısı formülü vereceğide değişkeleri değer leri tekrarlı olduğuda bu formülü veya ayı soucu verecek bezerlerii kullaılması gerekecektir. Fakat tekrar sayıları az ise Spearma sıra korelasyou katsayısı formülü ile yapılacak hesaplamalarda sapma az olacağıda bu formülü hesaplama kolaylığı edeiyle, aradaki fark ihmal edilerek bu formül kullaılabilir. 3-Uygulama Değişkeleri değerlerii tekrarlı olması halide Spearma sıra korelasyou katsayısı formülü ile yapılacak hesarlamaları gerçek değeri de sapacağıı göstermek amacı ile bir uygulama yapılmıştır. Yüksek öğreimlerii İktisadi ve İdari Bilimler Fakülteleride sürdüre öğrecileri İstatistik derslerideki başarılarıı, orta öğretimde edidikleri Matematik ve Fe Bilimleri ile ilişkili olması beklemektedir. Matematik ve Fe derslerideki başarıı veya bilgi seviyesii göstergesi ola- -rak öğrecileri üiversite giriş sıavı ikici basamağıda aldıkları Matematik-Fe ağırlıklı puaları alıabilir. Fakat bu puaları, bu koudaki başarıı kesi ölçüsü olarak kabul etmek güçtür. Puaı daha yüksek ola öğreci diğeride daha başarılı olarak kabul edilebilir. Burada matematik-fe ağırlıklı üiversite giriş sıavı pualarıı bu koudaki başarıı; İstatistik dersi sıavlarıda alıa otlarda istatistik derslerideki başarıı kesi ölçüsü olmadığı, fakat puaı veya otu az da olsa daha yüksek ola öğrecii daha başarılı olduğu varsayımı ile, Marmara Üiversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesii bir bölümüde İs tatistik dersi ala öğrecilerde küçük bir örek alımıştır. Öğreciler fakülteye Matematik-Türkçe ağırlıklı pualaa göre kaydedilmekte ve ikici sııfta istatistik dersi almaktadırlar. İstatistik dersi fial sıavıda ve daha yüksek ot almış, dersi tekrarlamaya öğrecilerde tesadüfi olarak O öğreci ile ilgili bilgiler aşağıda görülmektedir. 0
ÖSYS Matematik-Fe İstatistik Dersi Sıralar sıra No. 3 5 7 8 9 0 Sıralarda, Xı = 55 xi '= 385 Yi=55 yi=378 Ağırhkh Pualar 398,85 335,9 393,3 7,30 378, 35,9 0,03 38,389 39,30 37,88 X = 5,5 XiYi = 30,5 y = 5,5 di= olarak hesaplamıştır. Bu değerlerle, r 5 = - I.d? Fial Notla 85 55 5 5 70 5 = 0,0909 ( -) r 5 = :EXY-xy = 0,0 ~ (tx _ ~) ('W _,,y ) Xı 3 0 9 ş 5 7 Yı 8,5 8,5 8,5 8.5 olarak bulumuştur. Doğru souç 0,0 dır. İki yolla hesaplaa katsayılar arasıda çok büyük fark olduğu görülmektedir. Değişkeleri değerlerii tekrarlaması durumuda Spearma sıra korelasyou katsayısı formülü ile yapılacak hesaplamaları yaıltıcı souçlar verebileceği uygulama souçlarıda da görülmektedir. Katsayılar test edildiğide souç olumsuzdur. - Souç Değişkeler arasıdaki ilişkii derecesi araştırılırkem başlıca iki sebep Spearma sıra korelasyou katsayısıı kullaılmasıı gerektirmektedir. Değişkelere sıra olarak ilk tam sayı değerleri verilmesi durumuda doğrusal korelasyo katsayısı formülüde türetile ve işlem kolaylığı sağlaya Spearma sıra korelasyou katsayısı formülü, değişkeleri değerlerii tekrarlı olması durumuda değişkeler arasıdaki ilişkii gerçek değerii göstermemektedir. Bu durumda gerçek değerde sapma, değişkeleri değerlerii tekrarlarıa bağlıdır. Tekrar sayısı az olduğuda sapma az olacağıda ihmal edilebilir Fakat tekrar sayısıı azlığı veya çok- 05
luğu sübjektif bir kavramdır ve bu kouda kesi bir ölçü belirlemek çok güçtür. Bu e<;jele ilişkii gerçek değeri aradığıda değişkelere sıralar verildikte sora sıralar arasıdaki ilişkii derecesi Spearma sıra korelasyou katsayısı formülü yerie, doğrusal korelasyo katsayısı f9rmülü ile bulumalıdır. Yapıla uygulama da sapmaı öemli olabileceğii açıkça göstermektedir. YARARLANILAN KAYNAKLAR BAGIRKAN,Şemsetti, İstatistiksel Aaliz, Ösöz Basım ve Yayıcılık, lstabul, 98. CHAO,Licol L., Statistics: Methods ad Aalyses, McGraw-Hill, Book Com., New York, 99 GÜRTAN, Kea, İstatistik ve Arastırma Metodları, lstabul Üiversitesi Yayılarıda No.9,lstabul, 97. HAYSLETT, H.T. Statics Made Simple, W.H.Alla, Lado 97. HUNTSBERGER, David V. GROFT, D.James;BİLLİNGSLEY, Patric; Statistical lferece tor Maagemet Ad Ecoomics, Secod Editio Ally ad Buco ie. Bosta, 980. KÖKSAL, Bilge Aloba, İstatistik-Aaliz Metodları, İkici Baskı, Çağlaya Kitabevi, lstabul, 980. McCALL Robert B., Fudametal Statistics for Psycholagy, Secod Editio, Harcourt Brace Jovaovich ie. New York, 975.. MOSTELLER, Frederick, RROFKE, Robert E.K.,Sturdy Statistics, Addiso-Wesley Publishig Com., Massachusetts, 973. SERPER, Özer, İstatistik, Filiz Kitabevi, lstabul, 980 VURAN.Ateş, İstatistik, İ.İ.T.İ.A. Nihad Sayar Yayı ve yardım vakfı yayıları No: 35/58, lstabul 98. YAMANE,Taro, Statistics- A ltroductory Aalysis, Third Editio, Harper lteratioal Editio, 973 0